50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 6) - hamchoi.vn

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 6)

34002 lượt thi
50 câu hỏi
90 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có bốn con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?

A.16

B.10

C.24

D.36

Chọn C

Từ nhà An đến nhà Bình có bốn cách chọn đường.

Từ nhà Bình đến nhà Cường có sáu cách chọn đường.

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn đường đi từ nhà An đến nhà Cường là: 4.6=24 (cách).

Câu 2:

Cho cấp số nhân: $\frac{- 1}{5}; a; \frac{- 1}{125}$ . Giá trị của a là:

A. $a = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} .$

B. $a = \pm \frac{1}{25} .$

C. $a = \pm \frac{1}{5} .$

D. $a = \pm 5.$

Chọn B

Ta có: $a^{2} = (- \frac{1}{5}) . (- \frac{1}{125}) = \frac{1}{625} \Leftrightarrow a = \pm \frac{1}{25}$

Câu 3:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1$ đồng biến trên khoảng nào trong những khoảng sau?

A. $(4; 5)$

B. $(0; 4)$

C. $(- 2; 2)$

D. $(- 1; 3)$

Câu 4:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ , $(a, b, c \in ℝ)$ đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Dựa vào đồ thị, hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Câu 5:

Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?

A. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

B. $y = x^{4}$

C. $y = - x^{3} + x$

D. $y = x^{3} - 3 x + 2$

Chọn A

Xét hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ ta có $y^{'} = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} > 0$ với nên hàm số $x \neq - 1$ không có cực trị.

Câu 6:

Đồ thị của hàm số nào sau đây có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = - 2 .

A. $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

B. $y = \frac{2 x}{1 - x}$

C. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

D. $y = \frac{1 - 2 x}{1 - x}$

Câu 7:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số nào sau đây?

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2}$

C. $y = - x^{2} + 2 x$

D. $y = x^{3} + 2 x^{2} - x - 1$

Chọn A

Từ đồ thị ta có đây là đồ thị hàm số bậc trùng phương với hệ sốa < 0.

Câu 8:

Cho hàm số y = f(x) như hình vẽ bên.Tìm m để phương trình f(x)=m có 3 nghiệm phân biệt.

A. $[\begin{matrix} m > 2 \\ m < - 2 \end{matrix}$

B. $- 2 < m < 2$

C. $0 < m < 2$

D. $- 2 < m < 0$

Câu 9:

Cho các số dương a,b,c , và $a \neq 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b + c)$

B. $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} |b - c|$

C. $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b c)$

D. $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b - c)$

Chọn C

Theo tính chất logarit ta có: $\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b c)$ .

Câu 10:

Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?

A. $y = \log_{\frac{2}{5}} x$

B. $y = {(\frac{π}{4})}^{x}$

C. $y = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{x})$

D. $y = e^{- x}$

Câu 11:

Cho các số thực dương a và b thỏa mãn $\log_{b} a \sqrt{b} = \log_{\frac{\sqrt{a}}{b}} \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}}$ và $\log_{b} a > 0$ . Tính $m = \log_{b} a$

A. $m = \frac{13}{3}$

B. $m = \frac{13}{6}$

C. $m = \frac{7}{6}$

D. m = 1

Câu 12:

Giải phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) = - 2$ .

A. x = 2

B. $x = \frac{5}{2}$

C. $x = \frac{3}{2}$

D. x = 5

Chọn D

Ta có $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) = - 2$ <=> $x - 1 = {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ <=> $x = 5$ .

Câu 13:

Tập nghiệm của phương trình $3^{x} {.2}^{x + 1} = 72$ là

A. $\{2\}$

B. $\{\frac{1}{2}\}$

C. $\{- 2\}$

D. $\{- 2\}$

Chọn A

Phương trình $3^{x} {.2}^{x + 1} = 72 \Leftrightarrow 6^{x} = 36 \Leftrightarrow x = 2$ .

Câu 14:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x^{3} - 9$ là:

A. $\frac{1}{2} x^{4} - 9 x + C$

B. $4 x^{4} - 9 x + C$

C. $\frac{1}{4} x^{4} + C$

D. $4 x^{3} - 9 x + C$

Chọn A

$\int (2 x^{3} - 9) d x$ $= 2. \frac{x^{4}}{4} - 9 x + C$ $= \frac{x^{4}}{2} - 9 x + C$

Câu 15:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = \cos (3 x + \frac{π}{6})$ .

A. $\int f (x) d x = \frac{1}{3} \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

B. $\int f (x) d x = - \frac{1}{3} \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{1}{6} \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

D. $\int f (x) d x = \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$

Chọn A

Ta có: $\int f (x) d x = \int \cos (3 x + \frac{π}{6}) d x = \frac{1}{3} \sin (3 x + \frac{π}{6}) + C$ .

Câu 16:

Cho $\int_{1}^{2} e^{3 x - 1} d x = m (e^{p} - e^{q})$ với m,p , $q \in ℚ$ và là các phân số tối giản. Giá trị m + p + q bằng

A. 10

B. 6

C. $\frac{22}{3}$

D. 8

Câu 17:

Nếu $\int_{1}^{4} f (x) dx = - 4$ và $\int_{1}^{4} g (x) dx = 6$ thì $\int_{1}^{4} [f (x) - g (x)] dx$ bằng

A. 2

B. -10

C. -4

D. 6

Chọn B

Ta có $\int_{1}^{4} [f (x) - g (x)] dx = \int_{1}^{4} f (x) dx - \int_{1}^{4} g (x) dx = - 4 - 6 = - 10$ .

Câu 18:

Cho số phức $\bar{z} = 3 - 2 i$ . Tìm phần thực và phần ảo của z.

A. Phần thực bằng - 3và phần ảo bằng - 2.

B. Phần thực bằng 3và phần ảo bằng 2.

C. Phần thực bằng 3và phần ảo bằng – 2i.

D. Phần thực bằng 3và phần ảo bằng - 2

Chọn B

Ta có $\bar{z} = 3 - 2 i$ suy ra z = 3 +2i .

Vậy Phần thực của z bằng 3 và phần ảo của z bằng 2.

Câu 19:

Cho hai số phức $z_{1} = 5 - 7 i$ , $z_{2} = 2 - i$ . Tính môđun của hiệu hai số phức đã cho

A. $|z_{1} - z_{2}| = 3 \sqrt{5}$

B. $|z_{1} - z_{2}| = 45$

C. $|z_{1} - z_{2}| = \sqrt{113}$

D. $|z_{1} - z_{2}| = \sqrt{74} - \sqrt{5}$

Chọn A

Ta có: $z_{1} - z_{2} = 3 - 6 i \Rightarrow |z_{1} - z_{2}| = \sqrt{9 + 36} = 3 \sqrt{5}$ .

Câu 20:

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z.

Tìm phần thực và phần ảo cú số phức z.

A. Phần thực bằng 4và phần ảo bằng 3

B. Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 3i.

C. Phần thực bằng 3và phần ảo bằng 4.

D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4i.

Chọn C

Từ hình vẽ ta có M(3;4) nên z=3+4i. Vậy Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4.

Câu 21:

Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là $3 a^{2}$ và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối chóp bằng

A. $6 a^{3}$

B. $2 a^{3}$

C. $3 a^{3}$

D. $a^{3}$

Chọn B

Ta có $V = \frac{1}{3} S_{đ} . h = \frac{1}{3} 3 a^{2} .2 a = 2 a^{3}$ .

Câu 22:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có CC’=2a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và $A C = a \sqrt{2}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho

A. $V = a^{3}$

B. $V = \frac{a^{3}}{2}$

C. $V = 2 a^{3}$

D. $V = \frac{a^{3}}{3}$

Câu 23:

Hình nón có đường sinh l = 2a và bán kính đáy bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng bao nhiêu?

A. $2 π a^{2}$

B. $4 π a^{2}$ .

C. $π a^{2}$

D. $3 π a^{2}$

Chọn A

Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{x q} = π r l$ $= 2 π a^{2}$ .

Câu 24:

Cho hình trụ có bán kính đáy r = 5(cm) và khoảng cách giữa hai đáy bằng7(cm). Diện tích xung quanh của hình trụ là

A. $35 π ({cm}^{2})$

B. $70 π ({cm}^{2})$

C. $120 π ({cm}^{2})$

D. $60 π ({cm}^{2})$

Chọn B

Diện tích xung quanh của hình trụ $S_{x q} = 2 π r h$ $= 2 π 5.7 = 70 π$ $({cm}^{2})$ .

Câu 25:

Trong không gianOxyz, choA(1;1;-3),B(3;-1;1). Gọi M là trung điểm củaAB, đoạn OM có độ dài bằng

A. $\sqrt{5}$

B. $\sqrt{6}$

C. $2 \sqrt{5}$

D. $2 \sqrt{6}$

Chọn A

Ta có M là trung điểm AB nên M(2;0;-1) => OM $= \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}$ .

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 2 y - 4 z - 2 = 0$ . Tính bán kính r của mặt cầu.

A. $r = 2 \sqrt[]{2}$

B. $r = \sqrt[]{26}$

C. $r = 4$

D. $r = \sqrt[]{2}$

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độOxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A (1; 1; 4)$ , $B (2; 7; 9)$ , $C (0; 9; 13)$ .

A. $2 x + y + z + 1 = 0$

B. $x - y + z - 4 = 0$

C. $7 x - 2 y + z - 9 = 0$

D. $2 x + y - z - 2 = 0$

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 5} = \frac{z + 2}{3}$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

A. $\vec{u_{1}} (2; 5; 3)$

B. $\vec{u_{4}} (2; - 5; 3)$

C. $\vec{u_{2}} (1; 3; 2)$

D. $\vec{u_{3}} (1; 3; - 2)$

Chọn B

Câu 29:

Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để cả hai lần xuất hiện mặt sáu chấm là

A. $\frac{1}{36}$

B. $\frac{11}{36}$

C. $\frac{6}{36}$

D. $\frac{8}{36}$

Câu 30:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{3} (2 - x) .$ Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

A. $(- 1; 1)$

B. $(1; 2)$

C. $(- \infty; - 1)$

D. $(2; + \infty)$

Câu 31:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ trên đoạn [-3;3] bằng

A. 20

B. 4

C. 0

D. -16

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình $16^{x} - {5.4}^{x} + 4 \geq 0$ là:

A. $T = (- \infty; 1) \cup (4; + \infty)$

B. $T = (- \infty; 1] \cup [4; + \infty)$

C. $T = (- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$

D. $T = (- \infty; 0] \cup [1; + \infty)$

Câu 33:

Đổi biến x = 4sint của tích phân $I = \int_{0}^{\sqrt{8}} \sqrt{16 - x^{2}} d x$ ta được:

A. $I = - 16 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos^{2} t d t$

B. $I = 8 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 + \cos 2 t) d t$

C. $I = 16 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} t d t$

D. $I = 8 \int_{0}^{\frac{π}{4}} (1 - \cos 2 t) d t$

Câu 34:

Cho số phức z =a+bi, với a,b là các số thực thỏa mãn $a + b i + 2 i (a - b i) + 4 = i$ , với i là đơn vị ảo. Tìm mô đun của

A. $|ω| = \sqrt{229}$

B. $|ω| = \sqrt{13}$

C. $|ω| = 229$

D. $|ω| = 13$

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA= 2a, tam giác ABC vuông tại B, AB = a và BC $= \sqrt{3} a$ (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

A. $90 °$

B. 60 $°$

C. $30 °$

D. $45 °$

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến (SBD) bằng? (minh họa như hình vẽ sau)

$A . \frac{\sqrt{21} a}{28}$

$B . \frac{\sqrt{21} a}{14}$

$C . \frac{\sqrt{2} a}{2}$

$D . \frac{\sqrt{21} a}{7}$

Chọn D

Không mất tính tổng quát, cho a=1.

Gọi N là trung điểm của đoạn AB. Dựng S' sao cho SS'AN là hình chữ nhật.

Chọn hệ trục tọa độ:

A là gốc tọa độ, tia AB ứng với tia Ox, tia AD ứng với tia Oy, tia AS' ứng với tia Oz.

A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), $S (\frac{1}{2}; 0; \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Phương trình mặt phẳng (SBD) là: $\sqrt{3} x + \sqrt{3} y + z - \sqrt{3} = 0$ .

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có O là trung điểm của AC.

Ta có $d (C; (S B D)) = d (A; (S B D)) = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .

Vậy chọn đáp án D

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua hai điểm $A (1; 1; 2), B (3; 0; 1)$ và có tâm thuộc trục Ox. Phương trình của mặt cầu (S) là:

$A . {(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2} = \sqrt{5}$

$B . {(x + 1)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$

$C . {(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$

$D . {(x + 1)}^{2} + y^{2} + z^{2} = \sqrt{5}$

Chọn C

Tâm $I \in O x \Rightarrow I (x; 0; 0)$ , (S) đi qua A,B nên:

$I A = I B \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + 1 + 4 = {(x - 3)}^{2} + 0 + 1 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow I (1; 0; 0)$ .

Bán kính của (S) là $r = I A = \sqrt{5}$ .

Phương trình của mặt cầu (S) là: ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$ .

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;-1;0), B(1;2;1), C(3;-2;0) và D(1;1;-3). Đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là

$A . \{\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = - 1 - 2 t \end{cases}$

$B . \{\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = 1 - 2 t \end{cases}$

$C . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = - 2 - 3 t \end{cases}$

$D . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = - 3 + 2 t \end{cases}$

Chọn A

Ta có $\vec{A B} = (- 1; 3; 1)$ , $\vec{A C} = (1; - 1; 0) \Rightarrow [\vec{A B}, \vec{A C}] = (1; 1; - 2)$ .

Đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là $\{\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = - 1 - 2 t \end{cases}$ .

Câu 39:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y = |x^{3} - 3 x + m|$ có 5 điểm cực trị?

A. 5

B. 3

C. 1

D. Vô số

Chọn B

Xét hàm số $y = x^{3} - 3 x + m$ . Ta có:

$y^{'} = 3 x^{2} - 3$ , $y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Từ bảng biến thiên trên để hàm số đã cho có 5 cực trị thì $m - 2 < 0 < m + 2$ $\Leftrightarrow - 2 < m < 2$ .

Suy ra số giá trị nguyên của m là 3.

Câu 40:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [0; 2018]$ để bất phương trình: $m + e^{\frac{x}{2}} \geq \sqrt[4]{e^{2 x} + 1}$ đúng với mọi $x \in ℝ$ .

A. 2016

B. 2017

C. 2018

D. 2019

Chọn C

TXĐ: $D = ℝ$ .

BPT $\Leftrightarrow m \geq \sqrt[4]{e^{2 x} + 1} - e^{\frac{x}{2}}$ đúng với mọi $x \in ℝ$ .

Đặt $e^{\frac{x}{2}} = t > 0 \Rightarrow m \geq \sqrt[4]{t^{4} + 1} - t = f (t)$ đúng với mọi t>0 $\Leftrightarrow m \geq \underset{[0; + \infty)}{m a x} f (t)) *)$

Ta có: $f^{'} (t) = \frac{t^{3}}{\sqrt[4]{{(t^{4} + 1)}^{3}}} - 1$ ; $f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow \frac{t^{3}}{\sqrt[4]{{(t^{4} + 1)}^{3}}} - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t^{3} = \sqrt[4]{{(t^{4} + 1)}^{3}} \Leftrightarrow t^{12} = {(t^{4} + 1)}^{3} \Leftrightarrow t^{4} = t^{4} + 1$ (Vô nghiệm)

Mặt khác, $\lim_{t \to 0^{+}} f (t) = 1$ ; $\lim_{t \to + \infty} f (t) = 0$ .

Bảng biến thiên:

Vậy $m \geq 1$ . Mà $m \in ℤ, m \in [0; 2018]$ nên $m \in \{1; 2; ...; 2018\} \Rightarrow$ Có 2018 giá trị thỏa mãn

Câu 41:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Biết f(5)=1 và $\int_{0}^{1} x f (5 x) d x = 1$ , khi đó $\int_{0}^{5} x^{2} f' (x) d x$ bằng:

A. 15

B. 23

$C . \frac{123}{5}$

D. -25

Câu 42:

Cho M là tập hợp các số phức z thỏa mãn $|2 z - i| = |2 + i z|$ . Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai số phức thuộc tập hợp M sao cho $|z_{1} - z_{2}| = 1$ . Tính giá trị của biểu thức $P = |z_{1} + z_{2}|$

$A . P = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$B . P = \sqrt{3}$

C. P=2

$D . P = \sqrt{2}$

Chọn B

Gọi $z = x + y i (x; y \in ℝ)$ .

Ta có $|2 z - i| = |2 + i z| A_{1}, \Rightarrow \sqrt{4 x^{2} + {(2 y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(2 - y)}^{2} + x^{2}}$

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} = 1$

Gọi $A_{1}, A_{2}$ là biểu diễn tương ứng của $z_{1}, z_{2} \Rightarrow A_{1}; A_{2}$ thuộc đường tròn (C) có tâm O(0;0), bán kính bằng 1.

Theo giả thiết $|z_{1} - z_{2}| = 1 \Rightarrow A_{1} A_{2} = 1 \Rightarrow Δ O A_{1} A_{2}$ đều cạnh =1.

Khi đó, $P = |z_{1} + z_{2}| = 2 O K = 2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ ( K là trung điểm $A_{1} A_{2}$ ).

Câu 43:

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng 1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA' và BB'. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C'A' tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C'B' tại Q. Thể tích khối đa diện lồi A'MPB'NQ bằng

A. 1

$B . \frac{1}{3}$

$C . \frac{1}{2}$

$D . \frac{2}{3}$

Chọn D

Gọi D là trung điểm của CC', h,S,V lần lượt là chiều cao, diện tích đáy và thể tích của khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Thế thì ta có: $S_{D M N} = S; S_{C^{'} P Q} = 4 S$ .

$\frac{V_{A^{'} M P B^{'} N Q}}{V} = \frac{V_{C . C^{'} P Q} - (V_{M N D . A^{'} B^{'} C^{'}} + V_{C . M N D})}{V} = \frac{\frac{1}{3} .4 S . h - (S . \frac{h}{2} + \frac{1}{3} . S . \frac{h}{2})}{S . h} = \frac{4}{3} - (\frac{1}{2} + \frac{1}{6}) = \frac{2}{3}$

Do đó $V_{A^{'} M P B^{'} N Q} = \frac{2}{3}$ .

Câu 44:

Cho Parabol $(P) : y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d : y = m x + 2$ với là tham số. Gọi $m_{0}$ là giá trị của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là nhỏ nhất. Hỏi $m_{0}$ nằm trong khoảng nào?

$A . (- \sqrt{2}; - \frac{1}{2})$

B. (0;1)

$C . (- 1; \frac{1}{\sqrt{2}})$

$D . (\frac{1}{2}; 3)$

Chọn C

Phương trình hoành độ của (P) và d là $x^{2} - m x - 1 = 0 (1)$ .

Dễ thấy (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi $a, b (a < b)$ là các nghiệm của (1) thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là

$S = \int_{a}^{b} |x^{2} - m x - 1| d x = |\int_{a}^{b} (x^{2} - m x - 1) d x| = |{(\frac{x^{3}}{3} - \frac{m x^{2}}{2} - x)|}_{a}^{b}|$

$= |\frac{b^{3} - a^{3}}{3} - \frac{m (b^{2} - a^{2})}{2} - (b - a)| = |b - a| . |\frac{b^{2} + a b + a^{2}}{3} - \frac{m (b + a)}{2} - 1|$

= $\sqrt{{(b + a)}^{2} - 4 a b} . |\frac{{(b + a)}^{2} - a b}{3} - \frac{m (b + a)}{2} - 1|$

Mà $a + b = m, a b = - 1$ nên $S = \sqrt{m^{2} + 4} . (\frac{m^{2}}{6} + \frac{2}{3}) \geq \frac{4}{3}$ .

Do đó $\min S = \frac{4}{3}$ khi m=0.

Câu 45:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 1 - t \\ z = t \end{cases}$ và hai điểm A(1;0;-1), B(2;1;1). Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA+MB nhỏ nhất

A. M(1;1;0)

$B . M (\frac{3}{2}; \frac{1}{2}; 0)$

$C . M (\frac{5}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

$D . M (\frac{5}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{3})$

Chọn D

Do $M \in d$ nên $M (1 + 2 t; 1 - t; t)$ .

$M A + M B = \sqrt{4 t^{2} + {(t - 1)}^{2} + {(t + 1)}^{2}} + \sqrt{{(2 t - 1)}^{2} + t^{2} + {(t - 1)}^{2}}$ .

$= \sqrt{6 t^{2} + 2} + \sqrt{6 t^{2} - 6 t + 2} = \sqrt{6 t^{2} + 2} + \sqrt{6 {(t - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2}}$

Chọn $\vec{u} = (\sqrt{6} t; \sqrt{2}), \vec{v} = (\sqrt{6} (\frac{1}{2} - t); \frac{1}{\sqrt{2}}) \Rightarrow \vec{u} + \vec{v} = (\frac{\sqrt{6}}{2}; \frac{3}{\sqrt{2}})$

Ta có: $M A + M B = |\vec{u}| + |\vec{v}| \geq |\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{\frac{6}{4} + \frac{9}{2}} = \sqrt{6}$ .

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng hướng $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{6} t}{\sqrt{6} (\frac{1}{2} - t)} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \Leftrightarrow 1 = 1 - 2 t \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$ .

Vậy MA+MB nhỏ nhất $\Leftrightarrow M (\frac{5}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{3})$ .

Câu 46:

Cho hàm số f(x), bảng biến thiên của hàm số f'(x) như sau:

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x^{2} + 2 x)$ là

A. 3

B. 9

C. 5

D. 7

Câu 47:

Cho hai số thực a>1,b>1. Biết phương trình $a^{x} b^{x^{2} - 1} = 1$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = {(\frac{x_{1} x_{2}}{x_{1} + x_{2}})}^{2} - 4 (x_{1} + x_{2})$ .

$A . 3 \sqrt[3]{4}$

B. 4

$C . 3 \sqrt[3]{2}$

$D . \sqrt[3]{4}$

Chọn A

Ta có $a^{x} b^{x^{2} - 1} = 1 \Leftrightarrow x \log_{b} a + (x^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow x^{2} + x \log_{b} a - 1 = 0$

Do phương trình có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ nên theo định lý Viet ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \log_{b} a \\ x_{1} x_{2} = - 1 \end{cases}$

Khi đó $S = \frac{1}{\log_{b}^{2} a} + 4 \log_{b} a$

Đặt $t = \log_{b} a$ , do $a > 1, b > 1 \Rightarrow t > 0$ . Khi đó $S = \frac{1}{t^{2}} + 4 t = \frac{1}{t^{2}} + 2 t + 2 t \geq 3 \sqrt[3]{4}$ .

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{t^{2}} = 2 t \Leftrightarrow t = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ . Vậy $\min S = 3 \sqrt[3]{4}$

Câu 48:

Trong hệ tọa độ Oxy, parabol $y = \frac{x^{2}}{2}$ chia đường tròn tâm O (O là gốc tọa độ) bán kính $r = 2 \sqrt{2}$ thành 2 phần, diện tích phần nhỏ bằng:

$A . 2 π + \frac{3}{4}$

$B . 2 π + \frac{4}{3}$

$C . 2 π - \frac{4}{3}$

$D . \frac{4}{3}$

Chọn B

Phương trình đường tròn: $x^{2} + y^{2} = 8$ .

Ta có: $x^{2} + y^{2} = 8 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt{8 - x^{2}}$ .

Parabol chia hình tròn giới hạn bởi đường tròn (C) thành hai phần. Gọi (S) là phần diện tích giới hạn bởi $y = \sqrt{8 - x^{2}}$ và parapol $(P) : y = \frac{x^{2}}{2}$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (P) $\sqrt{8 - x^{2}} = \frac{x^{2}}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ x = 2 \end{array}$ .

Khi đó ta tính được S như sau.

$S = \int_{- 2}^{2} (\sqrt{8 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{2}) d x = \int_{- 2}^{2} \sqrt{8 - x^{2}} d x - \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{2} d x$ .

Tính $I = \int_{- 2}^{2} \sqrt{8 - x^{2}} d x$ .

Đặt $t = 2 \sqrt{2} \sin x \Rightarrow d t = 2 \sqrt{2} \cos x . d x$ , ta có.

$I = \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} (8 \sqrt{1 - \sin^{2} t} . \cos t) d t = 4 \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} (1 + \cos 2 t) d t = {(4 t + 2 \sin 2 t)|}_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} = 2 π + 4$ .

Ta có: $\int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{2} d x = {\frac{x^{3}}{6}|}_{- 2}^{2} = \frac{8}{3}$ .

Suy ra $S = 2 π + \frac{4}{3}$ .

Câu 49:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn ${|z|}^{2} = 2 |z + \bar{z}| + 4$ và $|z - 1 - i| = |z - 3 + 3 i|$ ?

A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Chọn A

Ta có M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng.

Từ giả thiết ta có: $\{\begin{cases} {|z|}^{2} = 2 |z + \bar{z}| + 4 \\ |z - 1 - i| = |z - 3 + 3 i| \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 4 |x| + 4 \\ x - 2 y - 4 = 0 \end{cases} (I)$

Tập hợp các điểm M(x;y) thỏa mãn $x^{2} + y^{2} = 4 |x| + 4$ là đường tròn (H) gồm hai cung tròn: cung tròn $(C_{1}) : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 = 0$ với $x \geq 0$ và cung tròn $(C_{2}) : x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 = 0$ với x<0.

Suy ra tập hợp các điểm M thỏa (I) là giao điểm của đường thẳng $d : x - 2 y - 4 = 0$ với đường (H). Vì d có 3 điểm chung với đường (H) nên có 3 số phức thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 50:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 12$ và mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z + 11 = 0$ . Xét điểm M di động trên (P), các điểm A,B,C phân biệt di động trên (S) sao cho $A M, B M, C M$ là các tiếp tuyến của (S). Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây ?

$A . E (0; 3; - 1)$

$B . F (\frac{1}{4}; \frac{- 1}{2}; \frac{- 1}{2})$

C. H(0;-1;3)

$D . H (\frac{3}{2}; 0; 2)$

Chọn A

Mặt cầu S có tâm I(1;1;1), bán kính $R = 2 \sqrt{3}$

Xét điểm M(a;b;c); A(x;y;z) ta có hệ:

$\{\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 12 \\ A I^{2} + A M^{2} = I M^{2} \\ a - 2 b + 2 c + 11 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 12 (1) \\ 12 + {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} (2) \\ a - 2 b + 2 c + 11 = 0 (3) \end{cases}$

Lấy (1) – (2) theo vế ta được: $(a - 1) x + (b - 1) y + (c - 1) z - a - b - c - 9 = 0$

Vậy mặt phẳng $(Q) : (a - 1) x + (b - 1) y + (c - 1) z - a - b - c - 9 = 0$ là mặt phẳng đi qua ba tiếp điểm.

Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng (Q) luôn đi qua điểm cố định (0;3;-1).

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan