50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 9)

Câu 1:

Một tổ gồm có 10 học sinh. Số cách chọn ra hai bạn học sinh làm tổ trưởng và tổ phó là:

$A . A_{10}^{2}$

$B . 10^{2}$

$C . C_{10}^{2}$

D. 20

Xem đáp án

Chọn A

Số cách chọn ra hai bạn học sinh làm tổ trưởng và tổ phó là $A_{10}^{2}$

Câu 2:

Cho một cấp số cộng có $u_{4} = 2$ , $u_{2} = 4$ . Hỏi $u_{1}$ và công sai d bằng bao nhiêu?

$A . u_{1} = 6$ và d=1

$B . u_{1} = 1$ và d=1

$C . u_{1} = 5$ và d=-1

$D . u_{1} = - 1$ và d=-1

Xem đáp án

Câu 3:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

$A . (- \infty; - 1)$

B. (0;1)

C. (-1;0)

$D . (- \infty; 0)$

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f'(x)<0 trên các khoảng (-1;0) và $(1; + \infty) \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên (-1;0).

Câu 4:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A. x=-1

B. x=1

C. x=2

D. x=0

Xem đáp án

Chọn D

Theo BBT

Câu 5:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số không có cực trị

B. Hàm số đạt cực đại tại x=0

C. Hàm số đạt cực đại tại x=5

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x=1

Xem đáp án

Chọn B

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại bằng 5 tại x=0.

Câu 6:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 - x}{x + 3}$ là

A. x=2

B. x=-3

C. y=-1

D. y=-3

Xem đáp án

Chọn B

Tập xác định của hàm số $D = ℝ \ \{- 3\}$ .

Ta có $\lim_{x \to {(- 3)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 3)}^{+}} \frac{2 - x}{x + 3} = + \infty$ .

Suy ra đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 3$ .

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

$A . y = - x^{2} + x - 1$

$B . y = - x^{3} + 3 x + 1$

$C . y = x^{4} - x^{2} + 1$

$D . y = x^{3} - 3 x + 1$

Xem đáp án

Chọn D

Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba. Loại đáp án A và C.

Khi $x \to + \infty$ thì $y \to + \infty \Rightarrow a > 0$ .

Câu 8:

Đồ thị hàm số $y = - x^{4} + x^{2} + 2$ cắt trục Oy tại điểm

A. A(0;2)

B. A(2;0)

C. A(0;-2)

D. A(0;0)

Xem đáp án

Chọn A

Với $x = 0 \Rightarrow y = 2$ . Vậy đồ thị hàm số $y = - x^{4} + x^{2} + 2$ cắt trục Oy tại điểm A(0;2).

Câu 9:

Cho a là số thực dương bất kì. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

$A . \log a^{3} = \frac{1}{3} \log a$

$B . \log (3 a) = 3 \log a$

$C . \log (3 a) = \frac{1}{3} \log a$

$D . \log a^{3} = 3 \log a$

Xem đáp án

Câu 10:

Tính đạo hàm của hàm số $y = 6^{x}$

$A . y^{'} = 6^{x}$

$B . y^{'} = 6^{x} \ln 6$

$C . y^{'} = \frac{6^{x}}{\ln 6}$

$D . y^{'} = x {.6}^{x - 1}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y = 6^{x} \Rightarrow y^{'} = 6^{x} \ln 6$

Câu 11:

Cho số thực dương x. Viết biểu thức $P = \sqrt[3]{x^{5}} . \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$ dưới dạng lũy thừa cơ số x ta được kết quả

$A . P = x^{\frac{19}{15}}$

$B . P = x^{\frac{19}{6}}$

$C . P = x^{\frac{1}{6}}$

$D . P = x^{- \frac{1}{15}}$

Xem đáp án

Chọn C

$P = \sqrt[3]{x^{5}} . \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} = x^{\frac{5}{3}} . x^{- \frac{3}{2}} = x^{\frac{5}{3} - \frac{3}{2}} = x^{\frac{1}{6}}$ .

Câu 12:

Nghiệm của phương trình $2^{x - 1} = \frac{1}{16}$ có nghiệm là

A. x=-3

B. x=5

C. x=4

D. x=3

Xem đáp án

Chọn A

$2^{x - 1} = \frac{1}{16} \Leftrightarrow 2^{x - 1} = 2^{- 4} \Leftrightarrow x - 1 = - 4 \Leftrightarrow x = - 3$ .

Câu 13:

Nghiệm của phương trình $\log_{4} (3 x - 2) = 2$ là

A. x=6

B. x=3

$C . x = \frac{10}{3}$

$D . x = \frac{7}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\log_{4} (3 x - 2) = 2 \Leftrightarrow 3 x - 2 = 4^{2} \Leftrightarrow 3 x - 2 = 16 \Leftrightarrow x = 6.$

Câu 14:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = 3 x^{2} + \sin x$ là

$A . x^{3} + \cos x + C$

$B . 6 x + \cos x + C$

$C . x^{3} - \cos x + C$

$D . 6 x - \cos x + C$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\int (3 x^{2} + \sin x) d x = x^{3} - \cos x + C$

Câu 15:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{3 x}$ .

$A . \int f (x) d x = \frac{e^{3 x + 1}}{3 x + 1} + C$

$B . \int f (x) d x = 3 e^{3 x} + C$

$C . \int f (x) d x = e^{3} + C$

$D . \int f (x) d x = \frac{e^{3 x}}{3} + C$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\int e^{3 x} d x = \frac{e^{3 x}}{3} + C$

Câu 16:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ thỏa mãn $\int_{0}^{6} f (x) d x = 7$ , $\int_{6}^{10} f (x) d x = - 1$ . Giá trị của $I = \int_{0}^{10} f (x) d x$ bằng

A. I=5

B. I=6

C. I=7

D. I=8

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $I = \int_{0}^{10} f (x) d x = \int_{0}^{6} f (x) d x + \int_{6}^{10} f (x) d x = 7 - 1 = 6$ .

Vậy I=6

Câu 17:

Giá trị của $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x$ bằng

A. 0

B. 1

C. -1

$D . \frac{π}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x = - \cos x |\begin{array}{l} \frac{π}{2} \\ 0 \end{array} = 1$

Câu 18:

Số phức liên hợp của số phức z=2+i là

$A . \bar{z} = - 2 + i$

$B . \bar{z} = - 2 - i$

$C . \bar{z} = 2 - i$

$D . \bar{z} = 2 + i$

Xem đáp án

Chọn C

Số phức liên hợp của số phức z=2+i là $\bar{z} = 2 - i$ .

Câu 19:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 + i$ và $z_{2} = 1 + 3 i$ . Phần thực của số phức $z_{1} + z_{2}$ bằng

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $z_{1} + z_{2} = (2 + i) + (1 + 3 i) = 3 + 4 i$ . Vậy phần thực của số phức $z_{1} + z_{2}$ bằng 3

Câu 20:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z=-1+2i là điểm nào dưới đây?

A. Q(1;2)

B. P(-1;2)

C. N(1;-2)

D. M(-1;-2)

Xem đáp án

Chọn B

Điểm biểu diễn số phức z=-1+2i là điểm P(-1;2).

Câu 21:

Thể tích của khối lập phương cạnh 2 bằng

A. 6

B. 8

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Chọn B

$V = 2^{3} = 8$

Câu 22:

Cho khối chóp có thể tích bằng $32 c m^{3}$ và diện tích đáy bằng $16 c m^{2}$ Chiều cao của khối chóp đó là

A. 4cm

B. 6cm

C. 3cm

D. 2cm

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $V_{c h o p} = \frac{1}{3} B . h \Rightarrow h = \frac{3 V}{B} = \frac{3.32}{16} = 6 (c m)$

Câu 23:

Cho khối nón có chiều cao h=3 và bán kính đáy r=4. Thể tích của khối nón đã cho bằng

$A . 16 π$

$B . 48 π$

$C . 36 π$

$D . 4 π$

Xem đáp án

Chọn A

Thể tích của khối nón đã cho là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π 4^{2} .3 = 16 π$ .

Câu 24:

Tính theo a thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là a, chiều cao bằng 2a.

$A . 2 π a^{3}$

$B . \frac{2 π a^{3}}{3}$

$C . \frac{π a^{3}}{3}$

$D . π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Thể tích khối trụ là $V = π R^{2} . h = π . a^{2} .2 a = 2 π a^{3}$ .

Câu 25:

Trong không gian Oxyz cho $A (2; - 3; - 6), B (0; 5; 2)$ . Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

$A . I (- 2; 8; 8)$

B. I(1;1;-2)

$C . I (- 1; 4; 4)$

D. I(2;2;-4)

Xem đáp án

Chọn B

Vì I là trung điểm của AB nên $I (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ vậy I(1;1;-2).

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$ Tâm của(S) có tọa độ là

A. (-2;4;-1)

B. (2;-4;1)

C. (2;4;1)

D. (-2;-4;-1)

Xem đáp án

Chọn B

Mặt cầu (S) có tâm I(2;-4;1)

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - 2 y + z - 1 = 0$ . Điểm nào dưới đây thuộc (P)?

A. M(1;-2;1)

B. N(2;1;1)

C. P(0;-3;2)

D. Q(3;0;-4)

Xem đáp án

Chọn B

Lần lượt thay toạ độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình (P), ta thấy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình (P). Do đó điểm N thuộc (P). Chọn đáp án B.

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: $\{\begin{cases} x = 4 + 7 t \\ y = 5 + 4 t \\ z = - 7 - 5 t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

$A . {\vec{u}}_{1} = (7; - 4; - 5)$

$B . {\vec{u}}_{2} = (5; - 4; - 7)$

$C . {\vec{u}}_{3} = (4; 5; - 7)$

$D . {\vec{u}}_{4} = (7; 4; - 5)$

Xem đáp án

Chọn D

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ${\vec{u}}_{4} = (7; 4; - 5)$ . Chọn đáp án D

Câu 29:

Một hội nghị có 15 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người vào ban tổ chức. Xác suất để 3 người lấy ra là nam:

$A . \frac{1}{2}$

$B . \frac{91}{266}$

$C . \frac{4}{33}$

$D . \frac{1}{11}$

Xem đáp án

Câu 30:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $ℝ$ ?

$A . f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4$

$B . f (x) = x^{2} - 4 x + 1$

$C . f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 4$

$D . f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

Xem đáp án

Chọn A

Xét các phương án:

A. $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4$ $\Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 {(x - 1)}^{2} \geq 0$ , $\forall x \in ℝ$ và dấu bằng xảy ra tại x=1. Do đó hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4$ đồng biến trên $ℝ$ .

B. $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ là hàm bậc hai và luôn có một cực trị nên không đồng biến trên $ℝ$ .

C. $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 4$ là hàm trùng phương luôn có ít nhất một cực trị nên không đồng biến trên $ℝ$ .

D. $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ có $D = ℝ \ \{- 1\}$ nên không đồng biến trên .

Câu 31:

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{4} - 10 x^{2} + 2$ trên đoạn [-1;2]. Tổng M+m bằng

A. -27

B. -29

C. -20

D. -5

Xem đáp án

Chọn C

$y = x^{4} - 10 x^{2} + 2 \Rightarrow y^{'} = 4 x^{3} - 20 x = 4 x (x^{2} - 5)$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \sqrt{5} \\ x = - \sqrt{5} \end{array}$ .

Các giá trị $x = - \sqrt{5}$ và $x = \sqrt{5}$ không thuộc đoạn [-1;2] nên ta không tính.

Có $f (- 1) = - 7; f (0) = 2; f (2) = - 22$ .

Do đó $M = \max_{[- 1; 2]} y = 2$ , $m = \min_{[- 1; 2]} y = - 22$ nên M+m=-20

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x \geq 1$ là

$A . (10; + \infty)$

$B . (0; + \infty)$

$C . [10; + \infty)$

$D . (- \infty; 10)$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\log x \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 10$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $[10; + \infty)$ .

Câu 33:

Nếu $\int_{1}^{2} f (x) d x = 2$ thì $\int_{1}^{2} [3 f (x) - 2] d x$ bằng

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Chọn D

$\int_{1}^{2} [3 f (x) - 2] d x = 3 \int_{1}^{2} f (x) d x - \int_{1}^{2} 2 d x = 3.2 - 2 = 4$

Câu 34:

Tính môđun số phức nghịch đảo của số phức $z = {(1 - 2 i)}^{2}$ .

$A . \frac{1}{\sqrt{5}}$

$B . \sqrt{5}$

$C . \frac{1}{25}$

$D . \frac{1}{5}$

Xem đáp án

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), $S A = \sqrt{2} a$ , tam giác ABC vuông cân tại A và $A C = 2 a$ (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng

$A . 30^{o}$

$B . 45^{o}$

$C . 60^{o}$

$D . 90^{o}$

Xem đáp án

Câu 36:

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a, $A C = a \sqrt{3}$ , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = 2 a$ . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng

$A . \frac{a \sqrt{57}}{19}$

$B . \frac{2 a \sqrt{57}}{19}$

$C . \frac{2 a \sqrt{3}}{19}$

$D . \frac{2 a \sqrt{38}}{19}$

Xem đáp án

Chọn B

Từ A kẻ $A D ⊥ B C$ mà $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C$

$\Rightarrow B C ⊥ (S A D) \Rightarrow (S A D) ⊥ (S B C)$ mà $(S A D) \cap (S B C) = S D$

$\Rightarrow$ Từ A kẻ $A E ⊥ S D \Rightarrow A E ⊥ (S B C)$

$\Rightarrow d (A; (S B C)) = A E$

Trong $△ A B C$ vuông tại A ta có: $\frac{1}{A D^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}}$

Trong $△ S A D$ vuông tại A ta có: $\frac{1}{A E^{2}} = \frac{1}{A S^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} = \frac{19}{12 a^{2}} \Rightarrow A E = \frac{2 a \sqrt{57}}{19}$

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(-1;2;0) và đi qua điểm $A (2; - 2; 0)$ là

$A . {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 100.$

$B . {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 5.$

$C . {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 10.$

$D . {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 25.$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $R = I A = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .

Vậy phương trình mặt cầu có dạng: ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 25.$

Câu 38:

Cho hai điểm A(1;-4;4), B(3;2;6). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:

$A . x - 3 y + z + 4 = 0$

$B . x - 3 y - z + 4 = 0$

$C . x + 3 y - z - 4 = 0$

$D . x + 3 y + z - 4 = 0$

Xem đáp án

Câu 39:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $ℝ$ có đồ thị y=f'(x) cho như hình dưới đây. Đặt $g (x) = 2 f (x) - {(x + 1)}^{2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng

$A . \min_{[- 3; 3]} g (x) = g (1)$

$B . \max_{[- 3; 3]} g (x) = g (1)$

$C . \max_{[- 3; 3]} g (x) = g (3)$

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g(x)

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $g (x) = 2 f (x) - {(x + 1)}^{2}$

$\Rightarrow g^{'} (x) = 2 f^{'} (x) - (2 x + 2) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = x + 1$ . Quan sát trên đồ thị ta có hoành độ giao điểm của f'(x) và y=x+1 trên khoảng (-3;3) là x=1.

Vậy ta so sánh các giá trị g(-3), g(1), g(3)

Xét $\int_{- 3}^{1} g^{'} (x) d x = 2 \int_{- 3}^{1} [f^{'} (x) - (x + 1)] d x > 0$

$\Leftrightarrow g (1) - g (- 3) > 0 \Leftrightarrow g (1) > g (- 3)$ .

Tương tự xét $\int_{1}^{3} g^{'} (x) d x = 2 \int_{1}^{3} [f^{'} (x) - (x + 1)] d x < 0$ $\Leftrightarrow g (3) - g (1) < 0 \Leftrightarrow g (3) < g (1)$ .

Xét $\int_{- 3}^{3} g^{'} (x) d x = 2 \int_{- 3}^{1} [f^{'} (x) - (x + 1)] d x + 2 \int_{1}^{3} [f^{'} (x) - (x + 1)] d x > 0$

$\Leftrightarrow g (3) - g (- 3) > 0 \Leftrightarrow g (3) > g (- 3)$ . Vậy ta có $g (1) > g (3) > g (- 3)$ .

Vậy $\max_{[- 3; 3]} g (x) = g (1)$ .

Câu 40:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${(17 - 12 \sqrt{2})}^{x} \geq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}}$ là

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

$(3 + \sqrt{8}) = {(3 - \sqrt{8})}^{- 1}, (17 - 12 \sqrt{2}) = {(3 - \sqrt{8})}^{2}$ .

Do đó ${(17 - 12 \sqrt{2})}^{x} \geq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}} \Leftrightarrow {(3 - \sqrt{8})}^{2 x} \geq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}} \Leftrightarrow {(3 + \sqrt{8})}^{- 2 x} \geq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}}$

$\Leftrightarrow - 2 x \geq x^{2} \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 0$ . Vì x nhận giá trị nguyên nên $x \in \{- 2; - 1; 0\}$ .

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 3 k h i x \geq 1 \\ 5 - x khi x < 1 \end{cases}$ . Tính $I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x + 3 \int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d x$

$A . I = \frac{71}{6}$

B. I=31

C. I=32

$D . I = \frac{32}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

$\begin{array}{l} I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x + 3 \int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d x \\ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) d (\sin x) - \frac{3}{2} \int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d (3 - 2 x) \\ = 2 \int_{0}^{1} f (x) d x + \frac{3}{2} \int_{1}^{3} f (x) d x \\ = 2 \int_{0}^{1} (5 - x) d x + \frac{3}{2} \int_{1}^{3} (x^{2} + 3) d x \\ = 9 + 22 = 31 \end{array}$

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $(1 + i) z + \bar{z}$ là số thuần ảo và $|z - 2 i| = 1$ ?

A. 2

B. 1

C. 0

D. Vô số

Xem đáp án

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ , cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc $45 °$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a

$A . V = a^{3} \sqrt{2}$

$B . V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

$C . V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

$D . V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: góc giữa đường thẳng SC và (ABCD) là góc $\hat{S C A} = 45 °$

$\Rightarrow S A = A C = a \sqrt{2}$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . a^{2} . a \sqrt{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$ .

Câu 44:

Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao GH=4m, chiều rộng AB=4m, $A C = B D = 0, 9 m$ . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là 1200000 đồng/m², còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng/m²

Hỏi tổng chi phí để là hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 11445000(đồng)

B. 7368000(đồng)

C. 4077000(đồng)

D. 11370000(đồng)

Xem đáp án

Chọn A

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox, A trùng O khi đó parabol có đỉnh G(2;4) và đi qua gốc tọa độ.

Gọi phương trình của parabol là $y = a x^{2} + b x + c$

Do đó ta có $\{\begin{cases} c = 0 \\ \frac{- b}{2 a} = 2 \\ 2^{2} a + 2 b + c = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 4 \\ c = 0 \end{cases}$ .

Nên phương trình parabol là $y = f (x) = - x^{2} + 4 x$

Diện tích của cả cổng là $S = \int_{0}^{4} (- x^{2} + 4 x) d x = (- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2}) |_{\begin{array}{l} 0 \end{array}}^{4} = \frac{32}{3} \approx 10, 67 (m^{2})$

Do vậy chiều cao $C F = D E = f (0, 9) = 2, 79 (m)$

$C D = 4 - 2.0, 9 = 2, 2 (m)$

Diện tích hai cánh cổng là $S_{C D E F} = C D . C F = 6, 138 \approx 6, 14 (m^{2})$

Diện tích phần xiên hoa là $S_{x h} = S - S_{C D E F} = 10, 67 - 6, 14 = 4, 53 (m^{2})$

Nên tiền là hai cánh cổng là $6, 14.1200000 = 7368000 (đ)$

và tiền làm phần xiên hoa là $4, 53.900000 = 4077000 (đ)$ .

Vậy tổng chi phí là 11445000 đồng.

Câu 45:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ ; $d_{2} : \frac{x - 5}{- 3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$ và mặt phẳng $(P) : x + 2 y + 3 z - 5 = 0$ . Đường thẳng vuông góc với (P), cắt $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình là

$A . \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 1}{3}$

$B . \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{3}$

$C . \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}$

$D . \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi $∆$ là đường thẳng cần tìm. Gọi $M = Δ \cap d_{1}$ ; $N = Δ \cap d_{2}$ .

Vì $M \in d_{1}$ nên $M (3 - t; 3 - 2 t; - 2 + t)$ ,

vì $N \in d_{2}$ nên $N (5 - 3 s; - 1 + 2 s; 2 + s)$ .

$\vec{M N} = (2 + t - 3 s; - 4 + 2 t + 2 s; 4 - t + s)$ , (P) có một vec tơ pháp tuyến là $\vec{n} = (1; 2; 3)$ ;

Vì $Δ ⊥ (P)$ nên $\vec{n}, \vec{M N}$ cùng phương, do đó:

$\{\begin{cases} \frac{2 + t - 3 s}{1} = \frac{- 4 + 2 t + 2 s}{2} \\ \frac{- 4 + 2 t + 2 s}{2} = \frac{4 - t + s}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} s = 1 \\ t = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} M (1; - 1; 0) \\ N (2; 1; 3) \end{cases}$

$∆$ đi qua M và có một vecto chỉ phương là $\vec{M N} = (1; 2; 3)$ .

Do đó $∆$ có phương trình chính tắc là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}$ .

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị y=f'(x) như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số $g (x) = |2 f (x) - {(x - 1)}^{2}|$ có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3

B. 5

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Chọn B

Xét hàm số $h (x) = 2 f (x) - {(x - 1)}^{2}$ , ta có $h^{'} (x) = 2 f^{'} (x) - 2 (x - 1)$ .

$h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = x - 1 \Leftrightarrow x = 0 \lor x = 1 \lor x = 2 \lor x = 3$ .

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm y=h(x) có 2 điểm cực trị. Đồ thị hàm số $g (x) = |h (x)|$ nhận có tối đa 5 điểm cực trị.

Câu 47:

Tập giá trị của x thỏa mãn $\frac{{2.9}^{x} - {3.6}^{x}}{6^{x} - 4^{x}} \leq 2 (x \in ℝ)$ là $(- \infty; a] \cup (b; c] .$ Khi đó $(a + b + c)!$ bằng

A. 2

B. 0

C. 1

D. 6

Xem đáp án

Chọn C

Điều kiện: $6^{x} - 4^{x} \neq 0 \Leftrightarrow {(\frac{3}{2})}^{x} \neq 1 \Leftrightarrow x \neq 0.$

Khi đó $\frac{{2.9}^{x} - {3.6}^{x}}{6^{x} - 4^{x}} \leq 2 \Leftrightarrow \frac{2. {(\frac{3}{2})}^{2 x} - 3. {(\frac{3}{2})}^{x}}{{(\frac{3}{2})}^{x} - 1} \leq 2$

Đặt $t = {(\frac{3}{2})}^{x}, t > 0$ ta được bất phương trình $\frac{2 t^{2} - 3 t}{t - 1} \leq 2 \Leftrightarrow \frac{2 t^{2} - 5 t + 2}{t - 1} \leq 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t < \frac{1}{2} \\ t > 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(\frac{3}{2})}^{x} \leq \frac{1}{2} \\ 1 < {(\frac{3}{2})}^{x} \leq 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \leq \log_{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} \\ 0 < x \leq \log_{\frac{3}{2}} 2 \end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $(- \infty; \log_{\frac{3}{2}} \frac{1}{2}] \cup (0; \log_{\frac{3}{2}} 2]$

Suy ra $a + b + c = \log_{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} + \log_{\frac{3}{2}} 2 = 0.$

Vậy $(a + b + c)! = 1$

Câu 48:

Cho hàm số $y = x^{4} - 3 x^{2} + m$ có đồ thị $(C_{m})$ , với m là tham số thực. Giả sử $(C_{m})$ cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ

Gọi $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giá trị của m để $S_{1} + S_{3} = S_{2}$ là

$A . - \frac{5}{2}$

$B . \frac{5}{4}$

$C . - \frac{5}{4}$

$D . \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi $x_{1}$ là nghiệm dương lớn nhất của phương trình $x^{4} - 3 x^{2} + m = 0$ , ta có $m = - x_{1}^{4} + 3 x_{1}^{2} (1)$ .

Vì $S_{1} + S_{3} = S_{2}$ và $S_{1} = S_{3}$ nên $S_{2} = 2 S_{3}$ hay $\int_{0}^{x_{1}} f (x) d x = 0$ .

Mà $\int_{0}^{x_{1}} f (x) d x = \int_{0}^{x_{1}} (x^{4} - 3 x^{2} + m) d x = {(\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + m x)|}_{0}^{x_{1}} = \frac{x_{1}^{5}}{5} - x_{1}^{3} + m x_{1}$ $= x_{1} (\frac{x_{1}^{4}}{5} - x_{1}^{2} + m)$ .

Do đó, $x_{1} (\frac{x_{1}^{4}}{5} - x_{1}^{2} + m) = 0 \Leftrightarrow \frac{x_{1}^{4}}{5} - x_{1}^{2} + m = 0$ (2).

Từ (1) và (2), ta có phương trình $\frac{x_{1}^{4}}{5} - x_{1}^{2} - x_{1}^{4} + 3 x_{1}^{2} = 0 \Leftrightarrow - 4 x_{1}^{4} + 10 x_{1}^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{1}^{2} = \frac{5}{2}$ .

Vậy $m = - x_{1}^{4} + 3 x_{1}^{2} = \frac{5}{4}$ .

Câu 49:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 - i| + |z - 3 - 2 i| = \sqrt{5}$ . Giá trị lớn nhất của $|z + 2 i|$ bằng:

A. 10

B. 5

$C . \sqrt{10}$

$D . 2 \sqrt{10}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi $z = x + y i, (x, y \in ℝ)$ .

Khi đó $|z - 1 - i| + |z - 3 - 2 i| = \sqrt{5} \Leftrightarrow |(x - 1) + (y - 1) i| + |(x - 3) + (y - 2) i| = \sqrt{5}$ (1).

Trong mặt phẳng Oxy, đặt $A (1; 1); B (3; 2)$ ; $M (a; b)$ .

$\Rightarrow$ Số phức z thỏa mãn (1) là tập hợp điểm M(a;b) trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn $M A + M B = \sqrt{5}$ .

Mặt khác $A B = \sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2}} = \sqrt{5}$ nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.

Ta có $|z + 2 i| = |a + (b + 2) i|$ . Đặt N(0;-2) thì $|z + 2 i| = M N$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB.

Phương trình $A B : x - 2 y + 1 = 0$ .

Ta có H(-1;0) nên hai điểm A,B nằm cùng phía đối với H.

Ta có $\{\begin{cases} A N = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10} \\ B N = \sqrt{3^{2} + {(2 + 2)}^{2}} = 5 \end{cases}$ .

Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có $A N \leq M N \leq B N = 5$ .

Vậy giá trị lớn nhất của $|z + 2 i|$ bằng 5 đạt được khi $M \equiv B (3; 2)$ , tức là $z = 3 + 2 i$ .

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$ và $M (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \in (S)$ sao cho $A = x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $x_{0} + y_{0} + z_{0}$ bằng

A. 2

B. -1

C. -2

D. 1

Xem đáp án

Chọn B

Tacó: $A = x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0} \Leftrightarrow x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0} - A = 0$ nên $M \in (P) : x + 2 y + 2 z - A = 0$ ,

do đó điểm M là điểm chung của mặt cầu (S) với mặt phẳng (P).

Mặt cầu (S) có tâm $I (2; 1; 1)$ và bán kính R=3.

Tồn tại điểm M khi và chỉ khi $d (I, (P)) \leq R \Leftrightarrow \frac{| 6 - A |}{3} \leq 3 \Leftrightarrow - 3 \leq A \leq 15$

Do đó, với M thuộc mặt cầu (S) thì $A = x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0} \geq - 3$ .

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là tiếp điểm của $(P) : x + 2 y + 2 z + 3 = 0$ với (S) hay M là hình chiếu của I lên (P). Suy ra $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ thỏa: $\{\begin{cases} x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0} + 3 = 0 \\ x_{0} = 2 + t \\ y_{0} = 1 + 2 t \\ z_{0} = 1 + 2 t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ x_{0} = 1 \\ y_{0} = - 1 \\ z_{0} = - 1 \end{cases}$

Vậy $\Rightarrow x_{0} + y_{0} + z_{0} = - 1$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 9)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan