50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 24)

Câu 1:

Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau?

$A . C_{10}^{3}$

$B . 3^{10}$

$C . A_{10}^{3}$

$D . 9. A_{9}^{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Giả sử số tự nhiên cần tìm có dạng $\bar{a b c}$ .

Do $a \neq 0$ nên có 9 cách chọn chữ số a. Hai chữ số b và c có $A_{9}^{2}$ cách chọn.

Vậy có $9. A_{9}^{2}$ số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau

Câu 2:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ , biết $u_{1} = 6$ và $u_{3} = - 2$ . Giá trị của $u_{8}$ bằng

A. -8

B. 22

C. 34

D. -22

Xem đáp án

Chọn D

Từ giả thiết $u_{1} = 6$ và $u_{3} = - 2$ suy ra ta có: $u_{2} = \frac{u_{1} + u_{3}}{2} = 2 \Rightarrow d = u_{2} - u_{1} = 2 - 6 = - 4$ .

Vậy $u_{8} = u_{1} + 7 d = - 22$ .

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng $(- \infty; + \infty),$ có bảng biến thiên như hình sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;0)

B. (0;1)

C. (-1;4)

$D . (1; + \infty)$

Xem đáp án

ChọnB

Từ bảng biến thiên ta thấy hàmsố nghịch biến trên khoảng (0;1).

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm

A. x=2

B. x=-5

C. x=3

D. x=0

Xem đáp án

Chọn D

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có

$f^{'} (x) < 0, \forall x \in (0; 3)$ và f'(x)>0, $\forall x \in (3; + \infty)$ suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=3.

f'(x)>0, $\forall x \in (- \infty; 0)$ và f'(x)<0, $\forall x \in (0; 3)$ suy ra hàm số đạt cực đại tại x=0.

Câu 5:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số là

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Xem đáp án

ChọnC

Hàm số có hai điểm cực trị.

Câu 6:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{5 x + 3}{2 x - 1}$ là

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

ChọnC

Ta có :

Vì $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{5 x + 3}{2 x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{5 + \frac{3}{x}}{2 - \frac{1}{x}} = \frac{5}{2}$ nên đường thẳng $y = \frac{5}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vì $\lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{+}} \frac{5 x + 3}{2 x - 1} = + \infty$ , $\lim_{x \to {\frac{1}{2}}^{-}} \frac{5 x + 3}{2 x - 1} = - \infty$ nên đường thẳng $x = \frac{1}{2}$ là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số.

Vậy độ thị hàm số đã cho có tất cả đường tiệm cận

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên:

$A . y = - x^{3} + 3 x + 2$

$B . y = x^{4} - x^{2} + 2$

$C . y = - x^{2} + x - 2$

$D . y = x^{3} - 3 x + 2$

Xem đáp án

Chọn D

Đồ thị đã cho có hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ nên loại phương án B và C.

Dựa vào đồ thị, ta có $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty \Rightarrow a > 0$ nên loại phương án A

Câu 8:

Đồ thị của hàm số $y = \frac{x - 3}{2 x - 1}$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

A. -2

$B . \frac{1}{2}$

C. 3

D. -3

Xem đáp án

Chọn C

Để tìm tọa độ của giao điểm với trục hoành, ta cho $y = 0 \Leftrightarrow \frac{x - 3}{2 x - 1} = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ .

Câu 9:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{5} (\frac{125}{a})$ bằng

$A . 3 + \log_{5} a$

$B . 3 \log_{5} a$

$C . {(\log_{5} a)}^{3}$

$D . 3 - \log_{5} a$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\log_{5} (\frac{125}{a}) = \log_{5} 125 - \log_{5} a = 3 - \log_{5} a$

Câu 10:

Với x>0, đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} x$ là

$A . \frac{x}{\ln 2}$

$B . \frac{1}{x . \ln 2}$

C. x.ln2

$D . 2^{x} . \ln 2$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $y^{'} = {(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x . \ln 2}$

Câu 11:

Với a là số thực dương tùy ý , $\sqrt[4]{a^{7}}$ bằng

$A . a^{28}$

$B . a^{\frac{4}{7}}$

$C . a^{\frac{7}{4}}$

$D . a^{\frac{1}{28}}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\sqrt[m]{a^{n}} = a^{\frac{n}{m}}$ với mọi a>0 và $m, n \in ℤ^{+} .$

Câu 12:

Nghiệm dương của phương trình $7^{x^{2} + 1} = 16807$ là

A. x=2

B. x=2; x=-2

C. x=-2

D. x=4

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $7^{x^{2} + 1} = 16807 \Leftrightarrow 7^{x^{2} + 1} = 7^{5} \Leftrightarrow x^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \end{array}$

Câu 13:

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (x - 3) = 3$ là:

A. x=11

B. x=12

$C . x = 3 + \sqrt{3}$

$D . x = 3 + \sqrt[3]{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\log_{2} (x - 3) = 3 \Leftrightarrow \log_{2} (x - 3) = \log_{2} 2^{3} \Leftrightarrow x - 3 = 2^{3} \Leftrightarrow x = 11$ .

Câu 14:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 5 x^{4} - 2$ là:

$A . \int f (x) d x = x^{3} + x + C$

$B . \int f (x) d x = x^{5} - x + C$

$C . \int f (x) d x = x^{5} - 2 x + C$

$D . \int f (x) d x = x^{5} + 2 x + C$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\int f (x) d x = \int (5 x^{4} - 2) d x = x^{5} - 2 x + C$

Câu 15:

Cho hàm số f(x)=sin2x. Trong các khằng định sau, khẳng định nào đúng?

$A . \int f (x) d x = \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

$B . \int f (x) d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

$C . \int f (x) d x = 2 \cos 2 x + C$

$D . \int f (x) d x = - 2 \cos 2 x + C$

Xem đáp án

Chọn C

Áp dụng công thức: $\int \sin (a x + b) d x = - \frac{1}{a} \cos (a x + b) + C$ .

Ta có: $\int f (x) d x = \int \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$ .

Câu 16:

Nếu $\int_{1}^{2} f (x) d x = - 3$ và $\int_{1}^{3} f (x) d x = 1$ thì $\int_{2}^{3} f (x) d x$ bằng

A. 4

B. -4

C. -2

D. -3

Xem đáp án

Chọn A

Ta có:

$\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{3} f (x) d x$

$\Leftrightarrow \int_{2}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{3} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x$

$\Leftrightarrow \int_{2}^{3} f (x) d x = 1 - (- 3) = 4$ .

Câu 17:

Tích phân $\int_{1}^{2} x (x + 2) d x$ bằng

$A . \frac{15}{3}$

$B . \frac{16}{3}$

$C . \frac{7}{4}$

$D . \frac{15}{4}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\int_{1}^{2} x (x + 2) d x \int_{1}^{2} (x^{2} + 2 x) d x = (\frac{x^{3}}{3} + x^{2}) |\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array} = \frac{16}{3}$

Câu 18:

Số phức liên hợp của số phức z=2-3i là:

$A . \bar{z} = 3 - 2 i$

$B . \bar{z} = 2 + 3 i$

$C . \bar{z} = 3 + 2 i$

$D . \bar{z} = - 2 + 3 i$

Xem đáp án

Chọn B

Phương pháp: Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ . Số phức liên hợp của số phức z là $\bar{z} = a - b i$ .

Ta có: Số phức liên hợp $\bar{z}$ của số phức z=2-3i là $\bar{z} = 2 + 3 i$

Câu 19:

Cho hai số phức z=2+3i và w=5+i. Số phức z+iw bằng

A. 3+8i

B. 1+8i

C. 8+i

D. 7+4i

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $z + i w = (2 + 3 i) + i (5 + i) = 1 + 8 i$ .

Câu 20:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức 9-5i có tọa độ là

A. (5;-9)

B. (5;9)

C. (9;-5)

D. (9;5)

Xem đáp án

Chọn D

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức 9-5i có tọa độ là (9;5).

Câu 21:

Một khối chóp có thể tích bằng 90 và diện tích đáy bằng 5. Chiều cao của khối chóp đó bằng

A. 54

B. 18

C. 15

D. 450

Xem đáp án

Chọn A.

Chiều cao đáy của khối chóp có thể tích bằng 90 và diện tích đáy bằng 5 là $h = \frac{3 V}{B} = 54$ .

Câu 22:

Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước 5; 7; 8 bằng

A. 35

B. 280

C. 40

D. 56

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước 5; 7; 8 bằng $V = a . b . c = 280$ .

Câu 23:

Một khối nón tròn xoay có chiều cao h=6cm và bán kính đáy r=5cm. Khi đó thể tích khối nón là:

$A . V = 300 π c m^{3}$

$B . V = 20 π c m^{3}$

$C . V = \frac{325}{3} π c m^{3}$

$D . V = 50 π c m^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Thể tích khối nón: $V = \frac{1}{3} π {.5}^{2} .6 = 50 π c m^{3}$ .

Câu 24:

Cho một khối trụ có độ dài đường sinh là l=6cm và bán kính đường tròn đáy là r=5cm. Diện tích toàn phần của khối trụ là

$A . 110 π {cm}^{2}$

$B . 85 π {cm}^{2}$

$C . 55 π {cm}^{2}$

$D . 30 π {cm}^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

$S_{t p} = 2 S_{Đ á y} {+ S}_{X q} = 2 π r^{2} + 2 π r l = 2 π r (r + l) = 110 π {cm}^{2}$

$S_{t p} = 2 S_{Đ á y} {+ S}_{X q} = 2 π r^{2} + 2 π r l = 2 π r (r + l) = 30 π {cm}^{2}$

Câu 25:

Trong không gian Oxyz cho điểm thỏa mãn $\vec{O A} = 2 \vec{i} + \vec{j}$ với $\vec{i} v à \vec{j}$ là hai vectơ đơn vị trên hai trục Ox, Oy. Tọa độ điểm A là

A. A(2;1;0)

B. A(0;2;1)

C. A(0;1;1)

D. A(1;1;1)

Xem đáp án

Chọn A

Vì $\vec{O A} =2 \vec{i} + \vec{j} \Rightarrow \vec{O A} = (2 ; 1 ; 0) \Rightarrow A (2 ; 1 ; 0)$

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 4 z - 7 = 0$ . Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

A. I(1;2;-2), R=4

B. I(1;2;-2), $R = \sqrt{2}$

C. I(-1;-2;2), R=4

D. I(-1;-2;2), R=3

Xem đáp án

Chọn A

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 4 z - 7 = 0$ $\Rightarrow a = 1, b = 2, c = - 2, d = - 7$ .

$\Rightarrow$ Mặt cầu (S) có bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ =4 và có tâm I(1;2;-2).

Câu 27:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x + 3 y - z - 3 = 0$ . Mặt phẳng (P) đi qua điểm nào dưới đây?

A. (1;1;0)

B. (0;1;-2)

C. (2;-1;3)

D. (1;1;1)

Xem đáp án

Chọn D

Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng (P) ta thấy chỉ (1;1;1) thỏa mãn

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 3 z + 2 = 0$ và đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

$A . \vec{u_{2}} = (1; - 2; 2)$

$B . \vec{u_{4}} = (1; 2; 3)$

$C . \vec{u_{3}} = (0; - 2; 3)$

$D . \vec{u_{2}} = (1; - 2; 3)$

Xem đáp án

Chọn D

Vì $d ⊥ (P)$ nên $\Rightarrow \vec{u_{d}}$ cùng phương $\vec{n_{(P)}}$ hay $\vec{n_{(P)}} = (1; - 2; 3)$ là một vectơ chỉ phương của d

Câu 29:

Hàm số $y = \frac{x - 7}{x + 4}$ đồng biến trên khoảng

$A . (- \infty; + \infty)$

B. (-6;0)

C. (1;4)

D. (-5;1)

Xem đáp án

Chọn C

Tập xác định $D = ℝ \ \{- 4\}$ .

Ta có $y^{'} = \frac{11}{{(x + 4)}^{2}} > 0$ , $\forall x \in D$ .

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 4)$ và $(- 4; + \infty)$ .

$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên (1;4).

Câu 30:

Trong một lớp học gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi đó có cả nam và nữ?

$A . \frac{219}{323}$

$B . \frac{219}{323}$

$C . \frac{442}{506}$

$D . \frac{443}{506}$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi A là biến cố “4 học sinh được gọi có cả nam và nữ”, suy ra $\bar{A}$ là biến cố “4 học sinh được gọi toàn là nam hoặc toàn là nữ”

Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{25}^{4} = 12650$ .

Ta có $n (\bar{A}) = C_{15}^{4} + C_{10}^{4} = 1575 \Rightarrow P (\bar{A}) = \frac{n (\bar{A})}{n (Ω)} = \frac{63}{506}$ .

Vậy xác suất của biến cố A là $P (A) = 1 - P (\bar{A}) = 1 - \frac{63}{506} = \frac{443}{506}$ .

Câu 31:

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ trên đoạn [-1;2]

A. M=10

B. M=6

C. M=11

D. M=15

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 12 = 6 (x^{2} + x - 2)$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \in [- 1; 2] \\ x = - 2 \notin [- 1; 2] \end{matrix}$

Ngoài ra $y (- 1) = 15; y (1) = - 5; y (2) = 6$ nên M=15

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(7 + 4 \sqrt{3})}^{a - 1} < 7 - 4 \sqrt{3}$ là

$A . (- \infty; 0)$

$B . (- \infty; 1]$

$C . (0; + \infty)$

$D . (1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $(7 + 4 \sqrt{3}) (7 - 4 \sqrt{3}) = 1$ nên ${(7 + 4 \sqrt{3})}^{a - 1} < 7 - 4 \sqrt{3} \Leftrightarrow {(7 + 4 \sqrt{3})}^{a - 1} < {(7 + 4 \sqrt{3})}^{- 1}$

$\Leftrightarrow a - 1 < - 1 \Leftrightarrow a < 0$ (do $7 + 4 \sqrt{3} > 1$ ).

Câu 33:

Cho $\int_{2}^{4} f (x) d x = 10$ và $\int_{2}^{4} g (x) d x = 5$ . Tính $I = \int_{2}^{4} [3 f (x) - 5 g (x) + 2 x] d x$

A. I=17

B. I=15

C. I=-5

D. I=10

Xem đáp án

Chọn A

$I = 3 \int_{2}^{4} f (x) d x - 5 \int_{2}^{4} g (x) d x + \int_{2}^{4} 2 x d x = 3.10 - 5.5 + 12 = 17$

Câu 34:

Cho số phức z=2-3i. Môđun của số phức $(1 + i) \bar{z}$ bằng

A. 26

B. 25

C. 5

$D . \sqrt{26}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $(1 + i) \bar{z} = (1 + i) (2 + 3 i) = - 1 + 5 i$

Do đó $(1 + i) \bar{z} = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 5^{2}} = \sqrt{26} .$

Câu 35:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có $A B = A D = 2 \sqrt{2}$ và $A A' = 4 \sqrt{3}$ (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng (ABCD) bằng

$A . 60^{0}$

$B . 90^{0}$

$C . 30^{0}$

$D . 45^{0}$

Xem đáp án

Chọn A

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên $A A' ⊥ (A B C D)$ . Do đó góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng (ABCD) là $\hat{A C A'}$ .

Vì $A B = A D = 2 \sqrt{2}$ nên ABCD là hình vuông có đường chéo $A C = A B \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} . \sqrt{2} = 4$ .

Tam giác ÂC' vuông tại $A$ và có $A A' = 4 \sqrt{3}$ , AC=4 nên $\tan \hat{A C A'} = \frac{A A'}{A C} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ .

Suy ra $\hat{A C A'} = 60^{0}$ . Vậy góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng (ABCD) bằng $60^{0}$ .

Câu 36:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 4 và độ dài cạnh bên bằng 6 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) bằng

$A . 2 \sqrt{5}$

$B . 2 \sqrt{7}$

C. 2

$D . \sqrt{7}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi $I = A C \cap B D$ .

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng 4 nên đáy ABCD là hình vuông cạnh AB=4 và hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là tâm I của hình vuông ABCD.

Do đó, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) bằng SI

Ta có $A C = A B \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \Rightarrow I A = \frac{1}{2} A C = 2 \sqrt{2}$

Cạnh bên SA=6 và tam giác SAI vuông tại I nên

$S I = \sqrt{S A^{2} - A I^{2}} = \sqrt{6^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{36 - 8} = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$

Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) bằng $2 \sqrt{7}$ .

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm là điểm I(2;-3;1) và đi qua điểm M(0;-1;2) có phương trình là:

$A . {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3.$

$B . x^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 3.$

$C . x^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9.$

$D . {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

Xem đáp án

Chọn D

Mặt cầu tâm là điểm I(2;-3;1) và đi qua điểm M(0;-1;2) có bán kính là IM.

Ta có $\vec{I M} = (- 2; 2; 1) \Rightarrow r = I M = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9} = 3$

Phương trình mặt cầu là: ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm A(-4;1;-3) và B(0;-1;1) có phương trình tham số là:

$A . \{\begin{cases} x = - 4 + 2 t \\ y = - 1 - t \\ z = - 3 + 2 t \end{cases} .$

$B . \{\begin{cases} x = 4 t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 1 + 4 t \end{cases} .$

$C . \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 + 2 t \end{cases} .$

$D . \{\begin{cases} x = - 4 + 4 t \\ y = - 1 - 2 t \\ z = - 3 + 4 t \end{cases} .$

Xem đáp án

Chọn C

Đường thẳng đi qua điểm A(-4;1;-3) và B(0;-1;1) có vectơ chỉ phương là

$\vec{A B} = (4; - 2; 4) = 2 (2; - 1; 2)$

Phương trình tham số của đường thẳng (AB) đi qua điểm B(0;-1;1) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = \frac{1}{2} \vec{A B} = \frac{1}{2} (4; - 2; 4) = (2; - 1; 2)$ là $\{\begin{cases} x = 2 t \\ y = - 1 - t \\ z = 1 + 2 t \end{cases} .$

Câu 39:

Cho hàm số f(x), đồ thị hàm số y=f'(x) là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = f (\frac{x}{2})$ trên đoạn [-5;3] bằng

A. f(-2)

B. f(1)

C. f(-4)

D. f(2)

Xem đáp án

Chọn A

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} f^{'} (\frac{x}{2}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{x}{2} = - 2 \\ \frac{x}{2} = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 4 \\ x = 2 \end{array}$ .

$g^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow f^{'} (\frac{x}{2}) < 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} < - 2 \Leftrightarrow x < - 4$ .

Bảng biến thiên

Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên [-5;3] bằng $g (- 4) = f (- 2)$ .

Câu 40:

Có bao nhiêu số tự nhiên y sao cho ứng với mỗi y có không quá 148 số nguyên x thỏa mãn $\frac{3^{x + 2} - \frac{1}{3}}{y - \ln x} \geq 0$ ?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Chọn C

Điều kiện: $\{\begin{cases} x > 0 \\ x \neq e^{y} \\ y \geq 0 \end{cases}$

+ Trường hợp 1: $\{\begin{cases} 3^{x + 1} - \frac{1}{3} \leq 0 \\ y - \ln x < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq - 3 \\ x > e^{y} \geq e^{0} = 1 \end{cases} \Rightarrow x \in \emptyset$

+ Trường hợp 2: $\{\begin{cases} 3^{x + 1} - \frac{1}{3} \geq 0 \\ y - \ln x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 3 \\ x < e^{y} \end{cases}$

Kết hợp điều kiện $x > 0; e^{y} \geq e^{0} = 1$ . Ta có $0 < x < e^{y}$

Để có không quá 148 số nguyên x thì $1 \leq e^{y} \leq 149 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq \ln 149 \approx 5, 004$

$\Rightarrow y \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}$ . Có 6 số nguyên y.

Câu 41:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 4 x - 1, x \geq 5 \\ 2 x - 6, x < 5 \end{cases}$ . Tích phân $\int_{0}^{\ln 2} f (3 e^{x} + 1) . e^{x} d x$ bằng

$A . \frac{77}{3}$

$B . \frac{77}{9}$

$C . \frac{68}{3}$

$D . \frac{77}{6}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\lim_{x \to 5^{-}} f (x) = \lim_{x \to 5^{+}} f (x) = f (5) = 4$ nên hàm số liên tục tại x=5.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên R.

Đặt $t = 3 e^{x} + 1 \Rightarrow e^{x} d x = \frac{1}{3} d t$

Đổi cận : $x = 0 \Rightarrow t = 4; x = \ln 2 \Rightarrow t = 7$

Khi đó $I = \frac{1}{3} \int_{4}^{7} f (t) d t = \frac{1}{3} \int_{4}^{7} f (x) d x = \frac{1}{3} (\int_{4}^{5} (2 x - 6) d x + \int_{5}^{7} (x^{2} - 4 x - 1) d x) = \frac{77}{9}$ .

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|z| = |z + \bar{z}| = 1$ ?

A. 0

B. 1

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Ta có Giả sử z=x+yi $(x, y \in ℝ)$ $\Rightarrow \bar{z} = x - y i \Rightarrow z + \bar{z} = 2 x$

Bài ra ta có $\{\begin{cases} |z| = 1 \\ |z + \bar{z}| = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 1 \\ |2 x| = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ x = \pm \frac{1}{2} \end{cases}$

Với $x = \pm \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{4} + y^{2} = 1 \Leftrightarrow y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Do đó có 4 số phức thỏa mãn là $z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ , $z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ , $z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ , $z_{4} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A B = \sqrt{6}$ , $A D = \sqrt{3}$ , tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết hai mặt phẳng (SAB), (SAC) tạo với nhau góc $α$ thỏa mãn $\tan α = \frac{3}{4}$ và cạnh SC=3. Thể tích khối S.ABCD bằng:

$A . \frac{4}{3}$

$B . \frac{8}{3}$

$C . 3 \sqrt{3}$

$D . \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

$V_{S . A B C D} = 2 V_{S . A B C} = 2 V_{B . S A C}$ . Kẻ BH vuông góc với AC tại H.

Ta có: AC=3, $B H = \sqrt{2}$ , HC=1.

$\tan α = \tan \hat{B K H} \Rightarrow K H = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ .

$\sin \hat{S A C} = \frac{K H}{H A} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \Rightarrow \cos \hat{S A C} = \frac{1}{3}$ .

$S C^{2} = S A^{2} + A C^{2} - 2 A S . A C . \cos \hat{S A C} \Rightarrow S A = 2$ .

$S_{S A C} = \frac{1}{2} S A . A C . \sin \hat{S A C} = \frac{1}{2} .2.3. \frac{2 \sqrt{2}}{3} = 2 \sqrt{2}$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = 2. \frac{1}{3} .2 \sqrt{2} . \sqrt{2} = \frac{8}{3}$ .

Câu 44:

Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng $1 m^{2}$ và cạnh BC=x(m) để làm một thùng đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: Chia hình chữ nhật ABCD thành 2 hình chữ nhật ADNM và BCNM, trong đó phần hình chữ nhật ADNM được gò thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng AM; phần hình chữ nhật BCNM được cắt ra một hình tròn để làm đáy của hình trụ trên (phần inox thừa được bỏ đi) Tính gần đúng giá trị để thùng nước trên có thể tích lớn nhất (coi như các mép nối không đáng kể).

A. 0,97m

B. 1,37m

C. 1,12m

D. 1,02m

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $A B . B C = 1 \Rightarrow A B = \frac{1}{B C} = \frac{1}{x} (m)$ .

Gọi r(m) là bán kính đáy hình trụ inox gò được, ta có chu vi hình tròn đáy bằng BC=x(m). Do đó $2 π r = x \Leftrightarrow r = \frac{x}{2 π} (m)$ .

Như vậy $B M = 2 r = \frac{x}{π} \Rightarrow A M = A B - B M = \frac{1}{x} - \frac{x}{π} (m)$ .

Thể tích khối trụ inox gò được là $V = π r^{2} h = π . {(\frac{x}{2 π})}^{2} . (\frac{1}{x} - \frac{x}{π}) = \frac{1}{4 π^{2}} x (π - x^{2})$ .

Xét hàm số $f (x) = x (π - x^{2})$ với x>0.

$f^{'} (x) = π - 3 x^{2}$ ; $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = \sqrt{\frac{π}{3}}$ ;

$f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow x \in (0; \sqrt{\frac{π}{3}})$ và $f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (\sqrt{\frac{π}{3}}; + \infty)$ .

Bởi vậy f(x) đồng biến trên khoảng $(0; \sqrt{\frac{π}{3}})$ và nghịch biến trên khoảng $(\sqrt{\frac{π}{3}}; + \infty)$ .

Suy ra $\max_{(0; + \infty)} f (x) = f (\sqrt{\frac{π}{3}}) = \frac{2 π \sqrt{3 π}}{9} \Rightarrow V_{\max} \Leftrightarrow f {(x)}_{\max} \Leftrightarrow x = \sqrt{\frac{π}{3}} \approx 1, 02 (m)$ .

Câu 45:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(3;3;1), B(0;2;1) và mặt phẳng $(P) : x + y + z - 7 = 0.$ Đường thẳng d nằm trong (P) sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm A,B có phương trình làcác mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

$A . \{\begin{cases} x = t \\ y = 7 + 3 t \\ z = 2 t \end{cases} .$

$B . \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = 7 - 3 t \\ z = t \end{cases} .$

$C . \{\begin{cases} x = t \\ y = 7 - 3 t \\ z = 2 t \end{cases} .$

$D . \{\begin{cases} x = - t \\ y = 7 - 3 t \\ z = 2 t \end{cases} .$

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là $(α) : 3 x + y - 7 = 0.$

Đường thẳng cần tìm d cách đều hai điểm A,B nên d thuộc mặt phẳng $(α)$

Lại có $d \subset (P),$ suy ra $d = (P) \cap (α)$ hay $d : \{\begin{cases} x + y + z - 7 = 0 \\ 3 x + y - 7 = 0 \end{cases} .$ Chọn x=t ta được $\{\begin{cases} z = 2 t \\ y = 7 - 3 t \end{cases} .$

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) là hàm số bậc bốn thỏa mãn f(0)=0. Hàm số y=f'(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $g (x) = |f (x^{2}) - x^{2}|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 3

C. 5

D. 7

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $h (x) = f (x^{2}) - x^{2} \Rightarrow h (0) = 0.$

Ta có $h' (x) = 2 x f' (x^{2}) - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ f' (x^{2}) = 1 \end{array} .$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số t=f'(x) ta có phương trình f'(x)=1 có duy nhất một nghiệm và nghiệm đó dương. Gọi $x_{0}$ là nghiệm của phương trình f'(x)=1.

Suy ra $f' (x^{2}) = 1 \Leftrightarrow x^{2} = x_{0} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{x_{0}} .$

Ta có $y = f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e \Rightarrow f' (x) = 4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$

$\lim_{x \to + \infty} f' (x) = + \infty \Rightarrow a > 0.$

Khi đó $h (x) = f (x^{2}) - x^{2}$ là hàm bậc 8 và $\lim_{x \to + \infty} h (x) = \lim_{x \to + \infty} h (x) = + \infty$

Lập bảng biến thiên của h(x) ta có

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số $g (x) = |h (x)|$ có 5 điểm cực trị.

Câu 47:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với m>1 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn: ${(m^{\log_{5} x} + 3)}^{\log_{5} m} = x - 3 (1)$

A. 4

B. 3

C. 5

D. 8

Xem đáp án

Chọn B

Điều kiện: x>0

Đặt $m^{\log_{5} x} + 3 = u$ thay vào phương trình (1) ta được: $u^{\log_{5} m} = x - 3 \Leftrightarrow x = u^{\log_{5} m} + 3$ .

Vì $u^{\log_{5} m} = m^{\log_{5} u}$ . Từ đó ta có hệ Phương trình $\{\begin{matrix} u = m^{\log_{5} x} + 3 \\ x = u^{\log_{5} m} + 3 \end{matrix}$ .

Xét hàm đặc trưng $f (t) = m^{t} + 3$ trên $ℝ$ .

Do m>1. Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên $ℝ$ .

Do đó, $f (\log_{5} x) = f (\log_{5} u) \Leftrightarrow x = u$ .

Vì thế, ta đưa về xét phương trình: $x = m^{\log_{5} x} + 3 \Leftrightarrow x = x^{\log_{5} m} + 3 \Leftrightarrow x - 3 = x^{\log_{5} m}$

$\Leftrightarrow \log_{5} (x - 3) = \log_{5} (x^{\log_{5} m}) \Leftrightarrow \log_{5} (x - 3) = \log_{5} x . \log_{5} m \Leftrightarrow \log_{5} m = \frac{\log_{5} (x - 3)}{\log_{5} x}$

Do x>0 nên x-3<x nên $\log_{5} m = \frac{\log_{5} (x - 3)}{\log_{5} x} < 1 \Leftrightarrow m < 5$ .

Suy ra $\{\begin{matrix} m \in ℤ \\ 1 < m < 5 \end{matrix} \Rightarrow m \in \{2, 3, 4\}$ .

Vậy, có 3 giá trị tham số thỏa mãn.

Câu 48:

Cho hàm số bậc ba $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ và đường thẳng $d : g (x) = m x + n$ có đồ thị như hình vẽ. Gọi $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ lần lượt là diện tích của các phần giới hạn như hình bên. Nếu $S_{1} = 4$ thì tỷ số $\frac{S_{2}}{S_{3}}$ bằng

$A . \frac{3}{2}$

B. 1

C. 2

$D . \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào đồ thị như hình vẽ, ta có: $f (x) - g (x) = k . x (x + 2) (x - 2)$ .

$g (x) = x + 3$

$S_{1} = S_{2} = \int_{- 2}^{0} k x (x + 2) (x - 2) d x = 4 k$

$S_{2} + S_{3} = \frac{(|g (0)| + |g (2)|) .2}{2} = \frac{(3 + 5) .2}{2} = 8$

Vì $S_{1} = 4 \Rightarrow S_{2} = 4 \Rightarrow S_{3} = 8 - 4 = 4$ . Vậy $\frac{S_{2}}{S_{3}} = 1$ .

Câu 49:

Xét hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1}| = 2, |(1 - i) z_{2}| = \sqrt{6}$ và $|z_{1} - z_{2}| = \sqrt{5}$ . Giá trị lớn nhất $|2 z_{1} + z_{2} - 2021|$ bằng

A. 2044

$B . - \sqrt{23} + 2021$

$C . \sqrt{23} + 2021$

$D . 2 \sqrt{23} + 2021$

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $z_{1} = a + b i, z_{2} = c + d i$ với $a, b, c, d \in ℝ .$ Theo giả thiết thì

$|z_{1}| = 1 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 4$

$|(1 - i) z_{2}| = \sqrt{6} \Leftrightarrow |z_{2}| = \frac{\sqrt{6}}{|1 - i|} = \sqrt{3} \Rightarrow c^{2} + d^{2} = 3$

$|z_{1} - z_{2}| = \sqrt{5} \Rightarrow {(a - c)}^{2} + {(b - d)}^{2} = 5$

Do đó $a^{2} - 2 a c + c^{2} + b^{2} - 2 b d + d^{2} = 5 \Rightarrow a c + b d = 1$

Ta có $2 z_{1} + z_{2} = (2 a + c) + (2 b + d) i$ nên

${|2 z_{1} + z_{2}|}^{2} = {(2 a + c)}^{2} + {(2 b + d)}^{2} = 4 (a^{2} + b^{2}) + (c^{2} + d^{2}) + 4 (a c + b d) = 23$

Áp dụng bất đẳng thức $|z + z^{'}| \leq |z| + |z^{'}|$ , ta có $|2 z_{1} + z_{2} - 2021| \leq |2 z_{1} + z_{2}| + |- 2021| = \sqrt{23} + 2021.$

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm C(-1;2;11), H(-1;2;-1) hình nón (N) có đường cao CH=h và bán kính đáy là $R = 3 \sqrt{2}$ . Gọi M là điểm trên đoạn CH, (C) là thiết diện của mặt phẳng (P) vuông góc với trục CH tại M của hình nón (N). Gọi (N') là khối nón có đỉnh H đáy là (C). Khi thể tích khối nón (N') lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón (N') có tọa độ tâm I(a;b;c) bán kính là d. Giá trị a+b+c bằng

A. 1

B. 3

C. 6

D. -6

Xem đáp án

Chọn C

Đặt HM=x, 0<x<h. Gọi I,R,r lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đáy của nón (N), bán kính đường tròn (C). Khi đó ta có CH=h=12 là chiều cao của $(N), R = 3 \sqrt{2}$ .

Khi đó C,I,H thẳng hàng ( I nằm giữa C,H).

Do tam giác $Δ C E M ∽ Δ C Q H$ nên $\frac{E M}{Q H} = \frac{C M}{C H} \Leftrightarrow E M = \frac{Q H . C M}{C H}$ .

$\Leftrightarrow r = E M = F M = \frac{R (h - x)}{h}$

Thể tích của khối nón đỉnh O đáy là (C) là

$V = \frac{1}{3} π E M^{2} . H M = \frac{1}{3} π {[\frac{R (h - x)}{h}]}^{2} x = \frac{1}{3} π \frac{R^{2}}{h^{2}} {(h - x)}^{2} x$ .

Ta có Xét hàm số $f (x) = \frac{1}{3} π \frac{R^{2}}{h^{2}} {(h - x)}^{2} x$ , (0<x<h)

$f^{'} (x) = \frac{1}{3} π \frac{R^{2}}{h^{2}} (h - x) (h - 3 x)$ ; $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} π \frac{R^{2}}{h^{2}} (h - x) (h - 3 x) \Leftrightarrow x = \frac{h}{3}$ .

Lập bảng biến thiên ta có

Từ bảng biến ta có thể tích khối nón đỉnh O đáy là (C) lớn nhất khi $x = \frac{h}{3}$

Chú ý: Có thể đánh giá dựa vào

${(h - x)}^{2} x = (h - x) (h - x) x = \frac{1}{2} (h - x) (h - x) 2 x \leq \frac{1}{2} {(\frac{h - x + h - x + 2 x}{3})}^{3}$ , 0<x<h

Dấu "=" xảy ra khi ba số $(h - x) = (h - x) = 2 x \Leftrightarrow x = \frac{h}{3}$

Khi đó $H M = x = \frac{h}{3} = 4 r = \frac{R . C M}{h} = \frac{R . (h - x)}{h} = 2 \sqrt{2} = M F$

Gọi P là giao điểm của HM với mặt cầu ngoại tiếp nón (N'). Ta có $Δ H F P$ vuông tại F

$\Rightarrow H F^{2} = H M . H P$

$\Leftrightarrow H M^{2} + M F^{2} = H M . H P \Leftrightarrow 16 + {(2 \sqrt{2})}^{2} = 4. H P \Rightarrow H P = 6$ .

$\Rightarrow d = H I = 3 = \frac{1}{4} H C \Rightarrow \vec{H I} = \frac{1}{4} \vec{H C} \Rightarrow I (- 1; 2; 2)$

Vậy a+b+c+d=6.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 24)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan