50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 28)

Câu 1:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{- 1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ sau: $Cho hàm số y=f(x) xác định trên R\{1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định (ảnh 1)$

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 1) .$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 1) .$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 3) .$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 2:

Tập xác định của hàm số $y = {(x - 2)}^{π}$ là:

A. $(0; + \infty)$ .

B. $[2; + \infty) .$

C. $[0; + \infty) .$

D. $(2; + \infty) .$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 3:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị trên khoảng $(- 3; 3)$ như hình bên dưới.

Khẳng định đúng là:

A. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(- 3; 3)$ bằng 3.

B. Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(- 3; 3)$ bằng 4.

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $(- 3; 3)$ bằng -3.

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng $(- 3; 3)$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 4:

Cho $f (x), g (x)$ là các hàm số xác định và liên tục trên R. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\int f (x) g (x) d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x$ .

B. $\int 2 f (x) d x = 2 \int f (x) d x .$

C. $\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x .$

D. $\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x .$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 5:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = - 2$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = 7$ , khi đó $\int_{0}^{1} [2 f (x) - 3 g (x)] d x$ bằng:

A. -12.

B. 25.

C. -25.

D. 17.

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 6:

Cho $a, b, c > 0, a \neq 1$ . Chọn khẳng định sai.

A. $\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a} b - \log_{a} c .$

B. $\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c .$

C. $\log_{a} b = c \Leftrightarrow b = a^{c} .$

D. $\log_{a} (b + c) = \log_{a} b + \log_{a} c .$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 7:

Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại:

A. $x = - 1.$

B. $x = 1.$

C. $x = 2.$

D. $x = - 3.$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 8:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{1}$ . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d?

A. $M (1; 2; 1) .$

B. $N (2; 3; 1) .$

C. $Q (- 2; - 3; 1) .$

D. $P (3; 5; 0) .$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 9:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{4 x - 1}$ có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào dưới đây?

A. $x = \frac{1}{4} .$

B. $y = \frac{1}{4} .$

C. $x = - 1.$

D. $y = - 1.$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 10:

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1.$

B. $y = - x^{3} + 3 x + 1.$

C. $y = x^{3} - 3 x + 1.$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1.$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 11:

Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là:

A. $2^{7} .$

B. $2! .$

C. $C_{7}^{2} .$

D. $A_{7}^{2} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm $M (2; 1; 3)$ trên đường Ox có tọa độ là:

A. $(2; 0; 0) .$

B. $(2; 0; 3) .$

C. $(0; 1; 3) .$

D. $(2; 1; 0) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Mẹo: Hình chiếu vuông góc của một điểm trên các đường Ox, Oy, Oz lần lượt có dạng $(x; 0; 0); (0; y; 0); (0; 0; z)$ (trên trục nào thì giữ nguyên tọa độ trục đó còn hai tọa độ còn lại bằng 0).

Câu 13:

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (3 x - 8) = 2$ là:

A. 12.

B. 4.

C. -4

D. $- \frac{4}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Nhập vế trái của phương trình. Bấm phím CALC rồi nhập từng đáp án vào ta thấy khi $x = 4$ thì vế trái bằng vế phải. Vậy phương trình có nghiệm là $x = 4$ .

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (3; 0; 0), B (0; - 2; 0), C (0; 0; 1)$ . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A B C)$ là:

A. $\vec{n} = (3; - 2; 1) .$

B. $\vec{n} = (2; - 3; - 6) .$

C. $\vec{n} = (2; 3; 6) .$

D. $\vec{n} = (2; - 3; 6) .$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 15:

Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại:

A. $\{4; 3\} .$

B. $\{3; 5\} .$

C. $\{5; 3\} .$

D. $\{3; 4\} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 16:

Cho khối nón có chiều cao $h = 2$ và bán kính đáy $r = 3$ . Thể tích của khối nón đã cho bằng:

A. $24 π .$

B. $6 π .$

C. $4 π .$

D. $36 π .$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 17:

Cho số phức z có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm $M (3; - 5)$ . Xác định số phức liên hợp $\bar{z}$ của z.

A. $\bar{z} = 3 + 5 i .$

B. $\bar{z} = - 5 + 3 i .$

C. $\bar{z} = 5 + 3 i .$

D. $\bar{z} = 3 - 5 i .$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 18:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 3$ và $u_{2} = 9$ . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng:

A. -6.

B. 3.

C. 12.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 19:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm của phương trình $2 f (x) + 3 = 0$ là:

A. 4.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 20:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln (\sin x)$ .

A. $y' = \frac{1}{\sin x} .$

B. $y' = \frac{- 1}{\sin^{2} x} .$

C. $y' = \tan x .$

D. $y' = \cot x .$

Xem đáp án

Đáp án D

$y' = [\ln (\sin x)]' = \frac{1}{\sin x} . (\sin x)' = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

Câu 21:

Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân cạnh huyền bằng 2a. Tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón.

A. $S_{x q} = π a^{2} .$

B. $S_{x q} = π \sqrt{2} a^{2} .$

C. $S_{x q} = 2 π a^{2} .$

D. $S_{x q} = 2 π \sqrt{2} a^{2} .$

Xem đáp án

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, $A C = a, B C = \sqrt{2} a, S A$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a$ . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng:

A. $60 ° .$

B. $90 ° .$

C. $30 ° .$

D. $45 ° .$

Xem đáp án

Câu 23:

Số phức $z = (1 - i) (1 + 2 i)$ có phần thực là:

A. -1

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 24:

Hiệu giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ là:

A. 4.

B. -4.

C. 2.

D. -2.

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 25:

Gọi S là tập nghiệm của phương trình $9^{x} - {10.3}^{x} + 9 = 0$ . Tổng các phần tử của S bằng:

A. 1.

B. 2.

C. 10.

D. $\frac{10}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án B

$9^{x} - {10.3}^{x} + 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3^{x} = 1 \\ 3^{x} = 9 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} \Rightarrow S = \{0; 2\}$

Câu 26:

Với a, b là các số dương tùy ý khác 1. Rút gọn $P = \log_{a} b^{6} + \log_{a^{2}} b^{6}$ ta được:

A. $P = 9 \log_{a} b .$

B. $P = 15 \log_{a} b . a$

C. $P = 6 \log_{a} b .$

D. $P = 27 \log_{a} b .$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{3}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = - 1 - 2 t \\ y = - t \\ z = 1 - 3 t \end{cases}$ , t là tham số. Vị trí tương đối giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ là:

A. $d_{1}$ chéo $d_{2} .$

B. $d_{1}$ trùng $d_{2} .$

C. $d_{1}$ song song với $d_{2} .$

D. $d_{1}$ cắt $d_{2} .$

Xem đáp án

Câu 28:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình bên và đạo hàm $f' (x)$ liên tục trên R. Giá trị của biểu thức $\int_{1}^{2} f' (x) d x$ bằng:

A. 2.

B. 4.

C. 1.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án D

$\int_{1}^{2} f' (x) d x = f (2) - f (1) = - 2 - (- 2) = 0$

Câu 29:

Cho ba số thực dương a; b; c khác 1. Đồ thị các hàm số $y = a^{x}; y = b^{x}; y = c^{x} a$ được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a < 1 < c < b .$

B. $1 < a < c < b .$

C. $1 < a < b < c .$

D. $a < 1 < b < c .$

Xem đáp án

Câu 30:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ . Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau là:

I. Môđun của z là một số thực dương.

II. $z^{2} = {|z|}^{2} .$

III. $|\bar{z}| = |i z| = |z|$ .

IV. Điểm $M (- a; b)$ là điểm biểu diễn của số phức $\bar{z}$ .

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta thấy nhận xét I sai vì môđun có thể bằng 0; nhận xét IV là sai, tọa độ của M là $(a; - b)$ ; nhận xét II sai ví dụ $z = 2 i$ , ta có $- 4 = 4$ (vô lí).

Câu 31:

Cho $z = x + (x - 1) i, x \in ℝ$ . Có bao nhiêu số thực x để $z^{2}$ là số thuần ảo?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $z^{2} = {[x + (x - 1) i]}^{2} = 2 x - 1 + 2 x (x - 1) i$

Số phức $z^{2}$ là số thuần ảo khi $\{\begin{cases} 2 x - 1 = 0 \\ 2 x (x - 1) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ x \neq 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Rightarrow z = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i .$

Có một số thực x.

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (1; 2; 0)$ và $N (5; - 1; 2)$ . Mặt phẳng trung trực của đoạn MN có phương trình là:

A. $4 x - 3 y + 2 z - \frac{25}{2} = 0.$

B. $4 x - 3 y + 2 z + \frac{25}{2} = 0.$

C. $4 x - 3 y + 2 z - 25 = 0.$

D. $4 x - 3 y + 2 z + 25 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi I là trung điểm $M N \Rightarrow I (3; \frac{1}{2}; 1)$ .

Ta có: $\vec{M N} = (4; - 3; 2)$ .

Mặt phẳng trung trực của MN đi qua trung điểm I của MN và có vectơ pháp tuyến $\vec{M N} = (4; - 3; 2)$ :

$4 (x - 3) - 3 (y - \frac{1}{2}) + 2 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow 4 x - 3 y + 2 z - \frac{25}{2} = 0$

Câu 33:

. Một xe ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 16 m/s thì người lái xe nhìn thấy một chướng ngại vật nên đạp phanh tại điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v (t) = - 2 t + 16$ trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc đạp phanh. Quãng đường mà ô tô đi được cho tới khi dừng hẳn là:

A. 60 m.

B. 64 m.

C. 160 m.

D. 96 m.

Xem đáp án

Đáp án B

Khi ô tô dừng hẳn thì $v (t) = 0 \Leftrightarrow - 2 t + 16 = 0 \Leftrightarrow t = 8$ .

Quãng đường mà ô tô đi được cho đến khi dừng (trong 8 giây cuối) là:

$\int_{0}^{8} (- 2 t + 16) d t = (- t^{2} + 16 t) |\begin{array}{l} ^{8} \\ _{0} \end{array} = 64 (m)$

.

Câu 34:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy là tam giác ABC vuông tại $A, A B = a, \hat{A B C} = 30 °$ , cạnh C’A hợp với mặt đáy góc $60 °$ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

A. $\frac{a^{3}}{6} .$

B. $\frac{a^{3}}{2} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .$

Xem đáp án

Câu 35:

Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x - 1}$ có bao nhiêu tiệm cận?

A. 3.

B. 1.

C. 0.

D. 2.

Xem đáp án

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABC có $\hat{B S C} = 120 °, \hat{C S A} = 60 °, \hat{A S B} = 90 °$ và $S A = S B = S C$ . Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $(A B C)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. I là trung điểm AB.

B. I là trọng tâm tam giác ABC.

C. I là trung điểm AC.

D. I là trung điểm BC.

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $S A = S B = S C = a$ .

Theo giả thiết ta có tam giác SAC đều cạnh a và tam giác SAB vuông cân tại $S \Rightarrow S A = S C = A C = a; A B = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác SBC ta có: $B C^{2} = S B^{2} + S C^{2} - 2. S B . S C . \cos \hat{B S C} = 3 a^{2}$ .

Do $A B^{2} + A C^{2} = 2 a^{2} + a^{2} = 3 a^{2} = B C^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại A.

Vì $S A = S B = S C$ nên hình chiếu của S trên $(A B C)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt khác $Δ A B C$ vuông tại A, suy ra I là trung điểm của BC.

Câu 37:

Tìm x để hàm số $y = x + \sqrt{4 - x^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất:

A. $x = 2 \sqrt{2} .$

B. $x = - 2.$

C. $x = 1.$

D. $x = \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Tập xác định: $D = [- 2; 2]$ .

$y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2}} - x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = x \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ 4 - x^{2} = x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow x = \sqrt{2}$ .

Ta có $y (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2}; y (- 2) = - 2; y (2) = 2$ . Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = - 2$ .

Câu 38:

Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a. Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a được thiết diện là một hình chữ nhật có chiều dài bằng độ dài đường sinh của hình trụ, chiều rộng bằng nửa chiều dài. Thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng:

A. $108 π a^{3} .$

B. $54 π a^{3} .$

C. $135 π a^{3} .$

D. $\frac{135}{2} π a^{3} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Chiều dài hình chữ nhật bằng đường sinh hình trụ nên chiều dài bằng 6a.

Chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng bằng 3a suy ra $E F = \frac{3 a}{2}$ .

Khoảng cách giữa trục và thiết diện bằng 3a nên $O E = 3 a$ .

Bán kính trụ $R = \sqrt{{(3 a)}^{2} + {(\frac{3 a}{2})}^{2}} = \frac{3 a \sqrt{5}}{2}$ .

Thể tích trụ $V = π R^{2} h = π . {(\frac{3 a \sqrt{5}}{2})}^{2} .6 a = \frac{135}{2} π a^{3}$

.

Câu 39:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số $y = |f (x)|$ là:

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án D

Dễ thấy trục hoành cắt đồ thị $y = f (x)$ tại ba điểm phân biệt nên ta có bảng biến thiên của $y = |f (x)|$ như sau:

Suy ra hàm số có 5 điểm cực trị.

Câu 40:

Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $P (x) = {(x^{2} + \frac{1}{x^{3}})}^{30}$ là:

A. $C_{30}^{12} .$

B. $C_{30}^{10} .$

C. $C_{30}^{11} .$

D. $C_{30}^{13} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $P (x) = {(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})}^{30} = \sum_{k = 0}^{30} C_{30}^{k} {(x^{2})}^{30 - k} . {(\frac{1}{x^{3}})}^{k} = \sum_{k = 0}^{30} C_{30}^{k} x^{60 - 5 k}$ .

Số hạng cần tìm không chứa x có k thỏa mãn $60 - 5 k = 0 \Leftrightarrow k = 12$ . Vậy số hạng không chứa x là $C_{30}^{12}$ .

Câu 41:

Nếu $\int_{0}^{1} [f^{2} (x) - f (x)] d x = 5$ và $\int_{0}^{1} {[f (x) + 1]}^{2} d x = 36$ thì $\int_{0}^{1} f (x)$ bằng:

A. 30.

B. 31.

C. 5.

D. 10.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\int_{0}^{1} {[f (x) + 1]}^{2} d x = 36 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} [f^{2} (x) + 2 f (x) + 1] d x = 36$ .

$\begin{array}{l} \Rightarrow \int_{0}^{1} [f^{2} (x) + 2 f (x) + 1] d x - \int_{0}^{1} [f^{2} (x) - f (x)] d x = 36 - 5 \\ \Leftrightarrow \int_{0}^{1} [3 f (x) + 1] d x = 31 \\ \Leftrightarrow 3 \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{1} d x = 31 \end{array}$

$\Leftrightarrow 3 \int_{0}^{1} f (x) d x + x |_{0}^{1} = 31 \Leftrightarrow 3 \int_{0}^{1} f (x) d x + 1 = 31 \Leftrightarrow 3 \int_{0}^{1} f (x) d x = 30 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = 10$

Câu 42:

Cho phương trình $\ln^{2} x - 2 (2 m + 1) \ln x + 3 (4 m - 1) = 0$ (m là tham số). Tập hợp các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[e; e^{3}]$ là:

A. $[\frac{1}{2}; 1] .$

B. $[\frac{1}{2}; 1) .$

C. $(1; 2] .$

D. $(\frac{1}{2}; 1] .$

Xem đáp án

Đáp án B

Từ phương trình đã cho ta có: $[\begin{array}{l} \ln x = 3 \\ \ln x = 4 m - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = e^{3} \\ x = e^{4 m - 1} \end{array}$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow e \leq e^{4 m - 1} < e^{3} \Leftrightarrow 1 \leq 4 m - 1 < 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq m < 1$ .

Câu 43:

Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm O, quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Hoàng tạo ra bằng bao nhiêu? (bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép).

A. $\frac{128 π \sqrt{3}}{27} d m^{3} .$

B. $\frac{128 π \sqrt{3}}{81} d m^{3} .$

C. $\frac{16 π \sqrt{3}}{27} d m^{3} .$

D. $\frac{64 π \sqrt{3}}{27} d m^{3} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Khi hàn hai mép của hình quạt tròn, độ dài đường sinh của hình nón bằng bán kính của hình quạt tròn, tức là $O A = 4 d m$ .

Thể tích của hình nón $V = \frac{1}{3} π . r^{2} . h = \frac{1}{3} π . (16 - h^{2}) . h$ với $0 < h < 4$ .

Ta có $V' (h) = \frac{1}{3} π (16 - 3^{2}) \Rightarrow V' (h) = 0 \Leftrightarrow h = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của hình nón là $\frac{128 π \sqrt{3}}{27} d m^{3}$ .

Câu 44:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 7 - 4 x^{2} k h i 0 \leq x \leq 1 \\ 4 - x^{2} k h i x > 1 \end{cases}$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f (x)$ và các đường thẳng $x = 0, x = 3, y = 0$ là:

A. $\frac{16}{3} .$

B. $\frac{29}{3} .$

C. 10.

D. 9.

Xem đáp án

Đáp án B

Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l} 4 - x^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \notin (1; + \infty) \end{array} \Leftrightarrow x = 2; \\ 7 - 4 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\sqrt{7}}{2} \notin [0; 1] \end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l} S = \int_{0}^{1} |7 - 4 x^{2}| d x + \int_{1}^{2} |4 - x^{2}| d x + \int_{2}^{3} |4 - x^{2}| d x = \int_{0}^{1} (7 - 4 x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (4 - x^{2}) d x + \int_{2}^{3} (x^{2} - 4) d x \\ = (7 x - \frac{4}{3} x^{3}) |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} + (4 x - \frac{x^{3}}{3}) |\begin{array}{l} ^{2} \\ _{1} \end{array} + (\frac{x^{3}}{3} - 4 x) |\begin{array}{l} ^{3} \\ _{2} \end{array} = 7 - \frac{4}{3} + \frac{16}{3} - \frac{11}{3} - 3 + \frac{16}{3} = 10. \end{array}$

Câu 45:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|z^{2}| = 2 |z + \bar{z}| + 4$ và $|z - 1 - i| = |z - 3 + 3 i|$ .

A. 4.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $z = a + b i$ . Khi đó ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 |a| + 4 \\ \sqrt{{(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2}} = \sqrt{{(a - 3)}^{2} + {(b + 3)}^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 |a| + 4 \\ a^{2} + b^{2} - 2 a - 2 b + 2 = a^{2} + b^{2} - 6 a + 6 b + 18 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(2 b + 4)}^{2} + b^{2} = 4 |2 b + 4| + 4 \\ a = 2 b + 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 b + 4 \\ 5 b^{2} + 16 b + 12 = |8 b + 16| \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 b + 4 \\ [\begin{array}{l} 5 b^{2} + 16 b + 12 = 8 b + 16 \\ 5 b^{2} + 16 b + 12 = - 8 b - 16 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 b + 4 \\ [\begin{array}{l} b = \frac{2}{5} \\ b = - 2 \\ b = - \frac{14}{5} \end{array} \end{cases} . \end{array}$

Vậy ta có các số phức $z_{1} = 2 i; z_{2} = \frac{24}{5} + \frac{2}{5} i; z_{3} = - \frac{8}{5} - \frac{14}{5} i$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 46:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu $f' (x)$ như sau:

Hỏi hàm số $y = f (x^{2} - 2 x)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = (x^{2} - 2 x)' f' (x^{2} - 2 x) = (2 x - 2) f' (x^{2} - 2 x)$ .

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 2 = 0 \\ f' (x^{2} - 2 x) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 2 = 0 \\ x^{2} - 2 x = - 2 \\ x^{2} - 2 x = 1 \\ x^{2} - 2 x = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 1 + \sqrt{2} \\ x = 1 - \sqrt{2} \\ x = 3 \\ x = - 1 \end{array} .$

Từ bảng xét dấu ta thấy $f' (x) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < - 2 \\ x > 3 \end{array}$ .

Khi đó $f' (x^{2} - 2 x) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 2 x < - 2 \\ x^{2} - 2 x > 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < - 1 \\ x > 3 \end{array} .$

Bảng biến thiên:

Câu 47:

Cho số phức z thỏa mãn $(z - 2 - i) (\bar{z} - 2 - i) = 25$ . Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số phức $w = 2 \bar{z} - 2 + 3 i$ là đường tròn tâm $I (a; b)$ và bán kính c. Giá trị của $a + b + c$ bằng:

A. 20.

B. 17.

C. 18.

D. 10.

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $w = x + y i (x; y \in ℝ)$ .

Điểm biểu diễn số phức w trong mặt phẳng tức là điểm $M (x; y)$ .

Ta có: $w = 2 \bar{z} - 2 + 3 i \Rightarrow 2 \bar{z} = w + 2 - 3 i \Rightarrow 2 z = \bar{w} + 2 + 3 i$

$(z - 2 + i) (\bar{z} - 2 - i) = 25$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (2 z - 4 + 2 i) (2 \bar{z} - 4 - 2 i) = 100 \\ \Leftrightarrow (\bar{w} + 2 + 3 i - 4 + 2 i) (w + 2 - 3 i - 4 - 2 i) = 100 \\ \Leftrightarrow (\bar{w} - 2 + 5 i) (w - 2 - 5 i) = 100 \\ \Leftrightarrow [(x - 2) - (y - 5) i] [(x - 2) + (y - 5) i] = 100 \\ \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 100 \end{array}$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn M là đường tròn tâm $I (2; 5)$ và bán kính $R = 10 \Rightarrow a + b + c = 17$ .

Câu 48:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (3; - 2; 6), B (0; 1; 0)$ và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$ . Mặt phẳng $(P) : a x + b y + c z - 2 = 0$ đi qua A, B và cắt mặt cầu theo giao tuyến $(S)$ là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính $T = a + b + c$ .

A. $T = 3.$

B. $T = 4.$

C. $T = 5.$

D. $T = 2.$

Xem đáp án

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a, $\hat{A B C} = 60 °, S A ⊥ (A B C D), S A = \frac{3 a}{2}$ . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng:

A. $\frac{3 a}{8} .$

B. $\frac{5 a}{8} .$

C. $\frac{3 a}{4} .$

D. $\frac{5 a}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án A

$Δ A B C$ đều do $\hat{A B C} = 60 °$ và $A B = B C$ .

Lấy I làm trung điểm BC, kẻ $A H ⊥ S I$ tại H (1).

Ta có: $A I ⊥ B C$ (do đều), mà $B C ⊥ S A \Rightarrow B C ⊥ (S A I), A H \subset (S A I) \Rightarrow B C ⊥ A H (2)$ .

Từ (1) và (2) $\Rightarrow A H ⊥ (S B C)$ tại $H \Rightarrow A H = d (A, (S B C))$

Ta có $Δ A B C$ đều cạnh $a \Rightarrow A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét $Δ S A I$ vuông tại A có đường cao AH: $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A I^{2}} = \frac{4}{9 a^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{16}{9 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{3 a}{4} = d (A, (S B C)) .$

Ta có: $\frac{d (O, (S B C))}{d (A, (S B C))} = \frac{O C}{A C} = \frac{1}{2} \Rightarrow d (O, (S B C)) = \frac{1}{2} d (A, (S B C)) = \frac{3 a}{8}$ .

Câu 50:

Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{m x^{2} + (4 - 2 m) x - 6}{2 (x + 9)}$ cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất khi m bằng:

A. $\frac{1}{2} .$

B. $- \frac{1}{2} .$

C. 2.

D. 1. $y = \frac{[m x^{2} + (4 - 2 m) x - 6]'}{[2 (x + 9)]'} = m x + 2 - m$

Xem đáp án

Đáp án B

Để đồ thị có hai điểm cực trị thì phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt. Ta tìm được điều kiện $m < 0$ hoặc $m > \frac{14}{33}$ . Khi đó đường thẳng nối hai điểm cực trị có phương trình là:

$y = \frac{[m x^{2} + (4 - 2 m) x - 6]'}{[2 (x + 9)]'} = m x + 2 - m$ .

Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng nối hai điểm cực trị là:

$h = \frac{|2 - m|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = \sqrt{\frac{{(2 - m)}^{2}}{m^{2} + 1}} \Rightarrow (m^{2} + 1) h^{2} = m^{2} - 4 m + 4 \Leftrightarrow (h^{2} - 1) m^{2} + 4 m + h^{2} - 4 = 0 (*)$

Khi $h = 1$ thì $m = \frac{3}{4}$ . Khi thì (*) là phương trình bậc hai của m. Điều kiện cần và đủ để phương trình này có nghiệm là $Δ' = 4 - (h^{2} - 1) (h^{2} - 4) \geq 0 \Rightarrow h^{2} (h^{2} - 5) \leq 0 \Rightarrow h \leq \sqrt{5}$ .

Khi $h = \sqrt{5}$ thì $4 m^{2} + 4 m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$ (thỏa mãn).

Chú ý: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:

Hàm bậc ba $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) là dư trong phép chia đa thức y cho đa thức y’.

Hàm phân thức $y = \frac{A (x)}{B (x)}$ , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị (nếu có) là $y = \frac{A' (x)}{B' (x)}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 28)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan