Thứ sáu, 15/11/2024
IMG-LOGO

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 15)

  • 33504 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 11:

Họ nguyên hàm của hàm số fx=3.e2lnx với x>0 là


Câu 15:

Hình nào dưới đây không phải hình đa diện?


Câu 22:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P:x+2y3z=0. Cặp vectơ nào dưới đây là cặp VTCP của mặt phẳng (P)?


Câu 27:

Biết rằng số phức z thỏa mãn hệ thức z3+2iz+1=0. Giá trị T=z2+1z bằng:

Xem đáp án

Chọn B

Từ giả thiết, nhận thấy z=0 không thỏa mãn. Nên ta có thể biến đổi như sau:

z3+2iz+1=0z3+1=2izz2+1z=2iT=z2+1z=2i=2


Câu 28:

Nếu chỉ xét các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang thì tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=x22xx+1x21 bằng

Xem đáp án

Chọn C

Tiệm cận ngang: limxy=limxx22xx+1x21=+ không có TCN khi x.

Tiệm cận ngang: limx+y=limx+x22xx+1x21=limx+x22xx.

limx+y=limx+2xx22x+x=1 có TCN y=-1 khi x+.

Tiệm cận đứng: Không tồn tại giới hạn x1 và chỉ tồn tại giới hạn:

limx1y=limx1x22xx+1x21=± có TCĐ là x=-1.

Suy ra đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận.


Câu 29:

Cho một tập A gồm 30 chữ số tự nhiên là 1;2;...;30. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ A ra 4 số mà tích của 4 số được chọn ra là một số chẵn ? 

Xem đáp án

Chọn A

Tổng số cách chọn từ A ra 4 số bất kì là: C204.

Số cách chọn ra 4 số có tích lẻ (cũng như chọn ra được 4 số lẻ) là: C154.

Suy ra số cách chọn ra 4 số mà có tích chẵn là: C204C154=26040.


Câu 30:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x12=y32=zm1 với m là tham số. Để đường thẳng d cắt trục hoành Ox thì giá trị của m nằm trong khoảng nào dưới đây ? 

Xem đáp án

Chọn D

Gọi A là điểm mà đường thẳng d cắt trục Ox. Suy ra tọa độ điểm A có dạng: A(t;0;0).

Thay điểm A vào đường thẳng d, ta được: d:t12=032=0m1m=32.


Câu 31:

Cho phương trình log2xlog10x4+10m=0. Hãy tìm tất cả các giá trị thực của tham số  để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ?

Xem đáp án

Chọn D

Điều kiện: x>0.

Phương trình đã cho log2x1+4logx+10m=0log2x4logx+9m=0.

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì: Δ'=49+m>0m>5.


Câu 32:

Cho hàm số fx=2x+11x    khi  x02m1               khi  x=0. Giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại điểm x=0 là: 

Xem đáp án

Chọn A

Yêu cầu bài toán tương đương với:

limx02x+11x=f0=2m12m1=limx02x+11x2x+1+1=limx022x+1+1=1m=1


Câu 33:

Một vật đang chuyển động thẳng với tốc độ v0=20  m/s thì ở thời điểm t1 chịu tác dụng của một lực hãm và có gia tốc a=12tm/s2. Quãng đường vật đi được tính từ t1 cho đến khi vật dừng lại là: 

Xem đáp án

Chọn D

Vận tốc của vật: v=adt=12tdt=tt2+C   m/s.

Dựa vào điều kiện ban đầu, ta có: v0=20=Cv=tt2+20   m/s.

Vật dừng lại khi v=tt2+20=0t=4  KTMt=5  TM.

Suy ra quãng đường vật đi được tính từ lúc đạp phanh cho tới khi dừng lại là:

05vdt=05tt2+20dt=4256  m.


Câu 34:

Cho hàm số fx=x33mx2+3m1x. Hãy tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số f(x) nghịch biến trên (1;2). 

Xem đáp án

Chọn A

Đạo hàm f'x=3x26mx+3m1=3x22mx+m1

Cách 1: Áp dụng tính chất hàm bậc ba với a>0, để hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2) thì :

f'10f'203m0333m0m1

Cách 2: Cô lập tham số rồi khảo sát hàm : Hàm sô nghịch biến trên khoảng (1;2) khi

     f'x=3x22mx+m10,x1;2x21m2x1,x1;2mx212x1=gx,x1;2

Bảng biến thiên hàm số g(x)

VietJack

Suy ra m1.


Câu 35:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Gọi M là điểm nằm trên cạnh AB sao cho MA=2MB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và CD bằng

Xem đáp án

Chọn D

VietJack

Gọi O=ACBD, suy ra SO là đường cao của hình chóp S.ABCD và có SO=SA2OA2=4a2a222=a142

Ta có

     AB//CDCD//SABdSM,CD=dCD,SAB=dC,SAB=2dO,SAB

Hạ OP vuông góc với AB tại P, hạ OQ vuông góc với SP tại Q. Dễ dàng suy ra được

OQSABdO,SAB=OQ=SO.OPSO2+OP2=a142.a2a1422+a22=a14215

Suy ra dSM,CD=2dO,SAB=2.a14215=a21015


Câu 36:

Cho hàm số có đồ thị y=x+2x1. Biết đồ thị hàm số y=gx=x42mx2+3m đi qua tâm đối xứng của (C). Giá trị nhỏ nhất của hàm số (C) bằng

Xem đáp án

Chọn A

Tâm đối xứng của đồ thị (C) là giao điểm của 2 đường tiệm cận x=1; y=1Tâm đối xứng I(1;1)

Thay vào hàm số y=gx=x42mx2+3m ta được 1=12m+3mm=1

Suy ra hàm số y=gx=x42mx2+3m=x42x2+2=x212+11

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y=g(x) là 1


Câu 37:

Cho khối nón (N) có chiều cao bằng 3 lần bán kính đáy. Dùng một mặt phẳng vuông góc với đường cao của (N) để chia (N) thành hai phần có thể tích bằng nhau . Hỏi tỉ lệ diện tích toàn phần của phần chứa đỉnh nón so với diện tích toàn phần của phần không chứa đỉnh nón bằng bao nhiêu ? 

Xem đáp án

Chọn A

VietJack

Thể tích khối nón (N) bằng V=13π.r2h=13πr2r3=πr333

Ta luôn có hr=h'r'=3

Suy ra thể tích hai phần (sau khi chia mặt phẳng vuông góc với SO) là V'=V2=πr32

Cũng tính được  V'=V2=πr336=13πr'2h'=13πr'2r'3=33πr'3r=r'23

Diện tích tàn phần khối nón bên trên là :

S1=πr'2+πr'r'2+h'2=πr'2+πr'r'2+r'32=3πr'2

Diện tích tàn phần khối nón bên dưới là :

S2=πrr2+h2πr'r'2+h'2+πr'2+πr2=2πr22πr'2+πr'2+πr2

S2=3πr2πr'2

Suy ra tỷ lệ S2S1=3πr'23πr2πr'2=3πr'23πr'243πr'2=3431


Câu 38:

Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng Δ:x12=y21=z+22 và A2;1;3 Gọi d là đường thẳng song song với Δ, d nằm trong mặt phẳng chứa A và Δ sao cho cách đều d và Δ. Tọa độ giao điểm và mặt phẳng (Oyz) là

Xem đáp án

Chọn B

Lấy điểm BΔ có tạo độ là A1;2;2 tọa độ điểm B' đối xứng với B qua A là B'3;4;4 

Đường thẳng d sẽ đi qua điểm B' và song song với đường thẳng 

VTCP của đường thẳng d là u2;1;2 Suy ra phương trình tham số của đường thẳng d:x=32ty=4+tz=42t

Giao của đường thẳng d với mặt phẳng (Oyz) là d:32t=0t=32y=4+t=52z=42t=70;52;7  


Câu 39:

Cho hàm số fx=2x+1. Khi đó f110 có ba chữ số đầu có nghĩa là

Xem đáp án

Chọn B

Ta có  fx=2x+112f'x=12.2.2x+112f'0=12.2=1

f''x=12.2.12.2.2x+132=12x+132f''0=1

f'''x=132.2.2x+152=132x+152f'''0=13

f4x=1352.2.2x+172=1352x+172f40=135

 f11x=135.......1719=654729075


Câu 40:

Cho hàm số trùng phương y=fx=x423m1x2+4m2 có đồ thị (C). Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số m để (C) cắt đường y=5 tại bốn điểm phân biệt sao cho có một điểm có hoành độ nhỏ hơn -2 và các điểm còn lại có hoành độ lớn hơn -1. Tập là ?

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm x423m1x2+4m7=0

Đặt t=x2 Từ điều kiện phương trình có bốn nghiệm phân biệt x4<2<1<x3<x2<x1

Suy ra phương trình gt=t223m1t2+4m7=0 phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 0<t1<1<4<t2

Bảng xét dấu tam thức bậc 2:

VietJack

Suy ra g0>0g1<0g4<0t1+t2>0+44m7>02m4<020m+17<06m2>4m>74m>2m>1720m>1m>74.


Câu 41:

Cho hàm y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình f4.cosx+1=m có đúng 3 nghiêm phân biệt xπ2;π3. Tổng tất cả các phần tử của tập S là:

VietJack

Xem đáp án

Chọn A

Đặt u=4.cosx+1. Phương trình trở thành: f(u)=m. Sử dụng kĩ năng ghép trục. 

  • Bảng biến thiên trên xπ2;π3 như sau: 

VietJack

  • Để phương trình: f(u)=m có ba nghiệm thực xπ2;π3 thì ta phải có: 

m=6m=40<m2m={1;2}m{1;2;4;6}m=13.


Câu 42:

Cho hai parabol P1 P2 tiếp xúc với nhau như hình vẽ. Biết tọa độ đỉnh của hai parabol P1 P2 lần lượt là I10;1 và I10;1 Biết phương trình của parabol (P2)  là: y=ax2+bx+c. Hỏi giá trị của biểu thức P = a+b+3c bằng bao nhiêu ?

VietJack

Xem đáp án

Chọn C

Dễ dàng lập được phương trình của parabo đỉnh I10;1 và đi qua điểm A(1;2) tương ứng là: y=f(x)=x2+1.

Parabol (P2)  có phương trình: y=g(x)=ax2+bx+c đi qua A(1;2) và có đỉnh I2(3; m). Suy ra a+b+c=2b2a=3a+b+c=26a+b=0

Hai parabol tiếp xúc nhau tại điểm A(1;2), tức là tức là phương trình hoành độ giao điểm của chúng là ax2+bx+cy=x2+1 có nghiệm kép  x0=1(1a)x2bx+1c=0 có nghiệm kép x0=1b21a=12a+b=2

Suy ra: a+b+c=26a+b=02a+b=2a=12b=3T=a+b+3c=1c=12.


Câu 43:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập chứa tất cả giá trị nguyên của m để hàm số y=f(x)+2m 3 có 5 điểm cực trị . Số phần tử của S là

VietJack

Xem đáp án

Chọn C

SDCT|f(x)+2m3|=SDCTf(x)+2m3+SNBLf(x)+2m3=0.

Mà ta có số điểm cực trị của fx+2m3 bằng số điểm cực trị của hàm f(x) và bằng 2.

VietJack

Vậy số điểm cực trị của hàm số y=fx+2m3 bằng 5 số điểm cực trị của hàm fx+2m3 bằng 3 số nghiệm bội lẻ của phương trình fx=32m bằng 3.

Dễ thấy 3<32m<632<m<3.

mm1;0;1;2.

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn.


Câu 44:

Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB=BC=6,AD=DC=5,AC=BD. Biết hai mặt phẳng (ACB) và (ACD) tạo với nhau một góc 60o. Khi đó độ dài cạnh AC nằm trong khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Chọn A            

VietJack

Gọi độ dài cạnh: AC=BD=x. Có ΔABC cân tại A và ΔADC cân tại D.

Gọi M là trung điểm của AC suy ra ACBM và ACDM.

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD) là φ=BMD^=60o.

Xét tam giác BCM vuông tại C có: BM=36x24.

Xét tam giác DCM vuông tại C có: DM=25x24.

Xét tam giác BDM có: BD2=BM2+DM22.BM.DM.cos60o

x2=36x24+25x2436x24.25x24x5.


Câu 45:

Cho số phức z thỏa mãn phương trình zz¯+43i+iz+ki=0 với k là số thực. Giá trị lớn nhất của số thực k là

Xem đáp án

Chọn A            

Gọi z=x+yi,x,y.

Khi đó: zz¯+43i+iz+ki=0z2+4z2iz+ki=0   

a2+b2+4a+bi2ia+bi+ki=0a2+b2+4a+2b+4b2a+ki=0

a2+b2+4a+2b=04b2a+k=0a+22+b+12=5        C4b2a+k=0                    d.

Đường tròn (C) có tâm I2;1,R=5.

Điều kiện thỏa mãn: dI;dR4+4+k16+45k10k10.

Suy ra giá trị lớn nhất của số thực k là kmax=10.


Câu 46:

Cho hình chóp S.ABC có SC=a2, tam giác SAB đều cạnh a và tam giác SAC vuông tại A. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là

Xem đáp án

Chọn A

VietJack

Từ giả thiết ta có: AC=SC2SA2=a=ABABC là tam giác cân tại A. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của SB,BCAFBCAFSBC     1.

SBAESBAFSBAEFSBEFSF=FB=FCSBC vuông tại S.

Ta có AF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC nên tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

BC=SC2+SB2=a3.

Từ đó suy ra bán kính mặt cầu là R=OA=OB=a.

Thể tích khối cầu ngoại tiếp SABC là: VSABC=4πa33.


Câu 47:

Cho một vật thể có dạng như hình vẽ. Ba cạnh là ba parabol giống nhau có trục đối xứng song song với SO, mặt phẳng vuông góc với đường cao SO đều cắt vật thể theo thiết diện là tam giác đều. Mặt phẳng trung trực của đường cao cắt vật thể theo thiết diện là tam giác đều có cạnh bằng 43m. Đáy là tam giác đều cạnh là 63m. Thể tích của vật thể bằng

VietJack VietJack

Xem đáp án

Chọn B

+) Gắn trục Ox dọc theo đường cao SO, trục Oy dọc theo OA. Khi đó thiết diện cắt bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox là những tam giác đều có cạnh bằng a. Khoảng cách từ các đỉnh của tam giác thiết diện tới trục Ox là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác thiết diện y=R=a3.

Lập phương trình một parabol đi qua ba điểm S,B,A như hình vẽ.

+) Parabol có dạng x=my2+my+p.

+) Lần lượt cho qua điểm Ax=0;y=6;Bx=6,y=4;Sx=12;y=0 ta được:

36m+6n+p=016m+4n+p=6p=12m=14n=12p=12x=14y212y+12

y=1±494x  x>0y=1+494x  x>0.

+) Xét vật thể dọc theo trục Ox được giới hạn từ x=0 đến x=12. Cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x. Khi đó thiết diện là tam giác đều có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R=y=1+494x=a3a=31+494x.

+) Diện tích thiết diện là Sx=a234=331+494x24.

Suy ra thể tích vật thể V=012Sxdx=012331+494x24dx257,2m3.


Câu 48:

Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m20;20 để phương trình logxmx+x2+1=logx+m9x2+1x có đúng ba nghiệm thực. Số phần tử của S là

Xem đáp án

Chọn C

+) Nhận thấy: x2+1±x>0.

+) Phương trình đã cho logxmx+x2+1=logx+m91x2+1+x=logx+m9x2+1+x.

logxmx+x2+1=log9x+mx2+1+xxm=9x+m.

+) Suy ra: x2m2=9x2=m2+9x2=m29x=±m2+9x=±m29.

+) Ta sẽ xét hai trường hợp có số loga bằng 1 khi nào:

+) Khi xm=1x+m=9xm=9x+m=1x=m±1x=m±9x=m±9x=m±1m=±5m=±4.

+) Để phương trình có ba nghiệm thực phân biệt thì xảy ra các trường hợp sau:

+) Trường hợp 1: Khi m29=0m=±3. Khi đó nghiệm là x=0;x=±m2+9=±32.

+) Trường hợp 2: Khi m=±4m=±5 luôn có 1 nghiệm vi phạm có số loga bằng 1 lên phương trình chỉ có 3 nghiệm phân biệt. Thỏa mãn bài toán.

Suy ra các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn là: m=±4;±5;±3.

Có 6 giá trị m thỏa mãn.


Câu 49:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;-1;1); B(-5;3;-1) và đường thằng d:xm2=yn1=z+1p, trong đó m,n,p>1 là những số thực và n>1. Biết rằng tồn tại vô số mặt phẳng chứa d đồng thời cách đều hai điềm A và B. Giá trị nhỏ nhất của T=m+n+p bằng

Xem đáp án

Chọn B

+) Để tồn tại vô số mặt phẳng (P) đi qua d và cách đều A,B khi và chỉ khi, xảy ra hai trường hợp sau:

+) Đường thẳng d song song với AB hoặc đường thẳng d đi qua trung điểm M(-1;1;0) của AB.

+) Có AB=8;4;2 và VTCP của d là u=2;1;p, suy ra AB không song song với d. Tức là d phải đi qua trung điểm M của AB.

Suy ra d:1m2=1n1=0+1p1m2=1n=1pp=1n1m=2n3.

Suy ra T=m+n+p=2n3+n+1n1=3n1+1n12.3n1.1n1=23.


Câu 50:

Cho tập S gồm các số tự nhiên không vượt quá 107 và có các chữ số được chọn từ hai số 1;2. Chọn ngẫu nhiên từ tập S hai số. Tính xác suất để cả hai số đều chia hết cho 18?

Xem đáp án

Chọn C

+) Tập S chỉ gồm các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 6 chữ số.

+) Số tự nhiên có một chữ số là 1;2=2 số.

+) Số tự nhiên có 2 chữ số là: 11;12;21;22=4 số.

+) Số tự nhiên có 3 chữ số là 23=16 số.

+) Số tự nhiên có 4 chữ số là 24=16 số.

+) Số tự nhiên có 5 chữ số là 25=32 số.

+) Số tự nhiên có 6 chữ số là 26=64 số.

+) Suy ra số phần tử của tập S là: 126.

+) Các số chia hết cho 18 là các số đồng thời chia hết cho 2 và chia hết cho 9. Suy ra chữ số tận cùng là 2 và tổng các chữ số chia hết cho 9. Gọi X là tập các số tự nhiên chia hêt cho 18 ở trong X.

Trường hợp 1: Số trong tập X có 5 chữ số dạng 12222 ( 4 chữ số 2, 1 chữ số 1 và chữ số tận cùng là 2). Trường hợp này số cách chọn là: 1 chữ số 2 cố định cuối… 3 chữ số 2 còn lại xếp vào 4 vị trí và một chữ số 1 thì xếp cố định cuối cùng, tức là có: C43=4.

Trường hợp 2: Số trong tập X có 6 chữ số dạng: 111222, tương tự suy ra số cách chọn là: C52=10.

Suy ra số phần tử của tập X là nX=14.

Khi lấy hai số từ S, không gian mẫu là: C1262, biến cố có lợi là: C142.

Vậy xác suất là P=C142C1262=131125.


Bắt đầu thi ngay