50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 26)

Câu 1:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh đứng thành một hàng dọc?

A. 5!

$B . 5^{3}$

$C . C_{5}^{5}$

$D . A_{5}^{1}$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 2:

Cho cấp số nhân $(u_{n}^{})$ có $u_{1}^{} = 2$ và công bội q=-3. Giá trị của $u_{3}^{}$ là:

A. -6

B. -18

C. 18

D. -4

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $u_{3}^{} = u_{1}^{} q^{2} = 18.$

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. (-2;0)

B. (-2;-1)

$C . (3; + \infty)$

$D . (- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 4:

Cho hàm số bậc ba $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ có đồ thị như sau

Giá trị cực đại của hàm số là:

A. x=2

B. y=-4

C. x=0

D. y=0

Xem đáp án

Chọn D

Câu 5:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên $ℝ$ có đạo hàm $f' (x) = x (x - 2) {(x + 1)}^{2} (x^{2} - 4)$ . Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn C.

$f' (x) = x (x - 2) {(x + 1)}^{2} (x^{2} - 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \\ x = - 1 \\ x = - 2 \end{array}$

Bảng xét dấu f'(x)

Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

Câu 6:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = 1 + \frac{1}{x - 1}$ là đường thẳng:

A. x=1

B. y=-1

C. y=1

D. y=0

Xem đáp án

Chọn C

Câu 7:

Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào ?

$A . y = \frac{1}{9} x^{3} + \frac{1}{3} x + 1.$

$B . y = \frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x + 1.$

$C . y = \frac{1}{4} x^{4} + x^{2} + 1.$

$D . y = - x^{3} + x^{2} - x + 1.$

Xem đáp án

Chọn A

+ Do đây là đồ thị của hàm số bậc ba nên loại đáp án C.

+ Từ đồ thị ta thấy $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty$ nên hệ số của $x^{3}$ dương nên loại đáp án D.

+ Ở đáp án B ta có:

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{9} x^{3} - \frac{1}{3} x + 1 \\ y' = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} \end{array}$

Suy ra hàm số có hai điểm cực trị nên loại B.

+ Vậy chọn đáp án A.

Câu 8:

Đồ thị hàm số $y = - \frac{x^{4}}{2} + x^{2} + \frac{3}{2}$ cắt trục hoành tại mấy điểm?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành:

$- \frac{x^{4}}{2} + x^{2} + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = - 1 \\ x^{2} = 3 \end{array} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3}$ .

Vậy phương trình có 2 nghiệm nên đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm

Câu 9:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{5} (125 a)$ bằng

$A . 3 - \log_{5} a$

$B . 3 + \log_{5} a$

$C . {(\log_{5} a)}^{3}$

$D . 2 + \log_{5} a$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\log_{5} (125 a) = \log_{5} 125 + \log_{5} a = 3 + \log_{5} a .$

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số $y = e^{1 - 2 x}$ là:

$A . y' = 2 e^{1 - 2 x}$

$B . y' = - 2 e^{1 - 2 x}$

$C . y' = - \frac{e^{1 - 2 x}}{2}$

$D . y' = e^{1 - 2 x}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y' = e^{1 - 2 x} . (1 - 2 x)' = - 2 e^{1 - 2 x} .$

Câu 11:

Với a là số thực tuỳ ý, $\sqrt[3]{a^{5}}$ bằng

$A . a^{3}$

$B . a^{\frac{3}{5}}$

$C . a^{\frac{5}{3}}$

$D . a^{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Với số thực a ta có $\sqrt[3]{a^{5}} = a^{\frac{5}{3}}$ .

Câu 12:

Tổng các nghiệm của phương trình $3^{x^{4} - 3 x^{2}} = 81$ bằng

A. 0

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $3^{x^{4} - 3 x^{2}} = 81 \Leftrightarrow x^{4} - 3 x^{2} = 4 \Leftrightarrow x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{2} = - 1 \\ x^{2} = 4 \end{matrix} \Leftrightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$ .

Vậy tổng các nghiệm của phương trình $3^{x^{4} - 3 x^{2}} = 81$ bằng 0

Câu 13:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x) = 2$ là:

$A . x = \frac{3}{2}$

B. x=3

$C . x = \frac{9}{2}$

D. x=1

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình: $\log_{3} (2 x) = 2 \Leftrightarrow 2 x = 3^{2} \Leftrightarrow x = \frac{9}{2}$ .

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = 4 x^{3} + 2021$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

$A . \int f (x) d x = 4 x^{4} + 2021 x + C$

$B . \int f (x) d x = x^{4} + 2021 x + C$

$C . \int f (x) d x = x^{4} + 2021$

$D . \int f (x) d x = x^{4} + C$

Xem đáp án

Chọn B

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $\int f (x) d x = \int (4 x^{3} + 2021) d x = x^{4} + 2021 x + C$ .

Câu 15:

Cho hàm số f(x)=sin3x. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

$A . \int f (x) d x = \frac{1}{3} \cos 3 x + C$

$B . \int f (x) d x = - \frac{1}{3} \cos 3 x + C$

$C . \int f (x) d x = 3 \cos 3 x + C$

$D . \int f (x) d x = - 3 \cos 3 x + C$

Xem đáp án

Chọn B

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $\int f (x) d x = - \frac{1}{3} \cos 3 x + C$

Câu 16:

Nếu $\int_{1}^{2} f (x) d x = 2$ và $\int_{1}^{3} f (x) d x = - 7$ thì $\int_{2}^{3} f (x) d x$ bằng

A. -5

B. 9

C. -9

D. -14

Xem đáp án

Chọn C

Áp dụng tính chất tích phân ta có: $\int_{2}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{3} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x = - 7 - 2 = - 9$

Câu 17:

Tích phân $\int_{0}^{\ln 3} e^{x} d x$ bằng

A. 2

B. 3

C. e

D. e-1

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\int_{0}^{\ln 3} e^{x} d x = {e^{x}|}_{0}^{\ln 3} = e^{\ln 3} - e^{0} = 2$ .

Câu 18:

Số phức liên hợp của số phức z=3-4i là:

$A . \bar{z} = 3 - 4 i$

$B . \bar{z} = 4 - 3 i$

$C . \bar{z} = 4 + 3 i$

$D . \bar{z} = 3 + 4 i$

Xem đáp án

Chọn D

Số phức liên hợp của số phức (a+bi) là (a-bi). Nên $\bar{z} = 3 + 4 i$ là số phức liên hợp của số phức z=3-4i.

Câu 19:

Cho hai số phức $z_{1} = 3 + 5 i$ và $z_{2} = - 6 - 8 i$ . Số phức liên hợp của số phức $z_{2} - z_{1}$ là

A. -9-13i

B. -3+3i

C. -3-3i

D. -9+13i

Xem đáp án

Chọn D

Số phức $z_{2} - z_{1} = (- 6 - 8 i) - (3 + 5 i) = - 9 - 13 i$ .

Vậy số phức liên hợp của số phức $z_{2} - z_{1}$ là -9+13i

Câu 20:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức 23+5i có tọa độ là

A. (23;-5)

B. (23;5)

C. (-23;-5)

D. (-23;5)

Xem đáp án

Chọn A

Số phức liên hợp của số phức 23+5i là số phức 23-5i.

Vậy điểm biểu diễn số phức 23-5i là điểm M(23;-5).

Câu 21:

Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 2 và chiều cao bằng một nửa cạnh đáy là

$A . 2 \sqrt{3}$

$B . \sqrt{3}$

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Chọn B

Ta có đáy là tam giác đều nên $S = \frac{2^{2} \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ .

Ta có chiều cao bằng một nửa cạnh đáy nên : h=1

Vậy thể tích khối lăng trụ $V = S . h = \sqrt{3}$ .

Câu 22:

Cho khối hộp có đáy là hình vuông cạnh bằng 5 và chiều cao khối hộp bằng một nửa chu vi đáy. Thể tích của khối hộp đã cho bằng

$A . 250 c m^{3}$

$B. 125 c m^{3}$

$C . 200 c m^{3}$

$D . 500 c m^{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có diện tích đáy bằng $25 c m^{2}$

Chu vi đáy : $P = 5.4 = 20 c m \Rightarrow h = \frac{P}{2} = 10 c m$

Vậy ta có thể tích khối hộp là $V = 25.10 = 250 c m^{3}$

Câu 23:

Công thức tính thể tích V của hình nón có diện tích đáy $S = 4 π R^{2}$ và chiều cao h là:

$A . V = π R^{2} h$

$B . V = \frac{1}{3} π R^{2} h$

$C . V = \frac{4}{3} π R^{2} h$

$D . V = \frac{2}{3} π R^{2} h$

Xem đáp án

Chọn C

Diện tích đáy đường tròn là $4 π R^{2} \Rightarrow$ Bán kính hình nón là 2R.

$V_{N ó n} = \frac{1}{3} π {(2 R)}^{2} h = \frac{4}{3} π R^{2} h .$

Câu 24:

Một hình trụ có bán kính R=6cm và độ dài đường sinh l=4cm. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó

$A . S_{t p} = 120 c m^{2}$

$B . S_{t p} = 84 c m^{2}$

$C . S_{t p} = 96 c m^{2}$

$D . S_{t p} = 24 c m^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

$S_{t p} = 2 π R . (R + l) = 2 π 6. (6 + 4) = 120 π (c m^{2})$

Câu 25:

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC biết $A (1; 1; 3), B (- 1; 4; 0), C (- 3; - 2; - 3)$ . Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là

A. (-3;3;0)

$B . (\frac{- 3}{2}; \frac{3}{2}; 0)$

C. (-1;1;0)

D. (1;-1;1)

Xem đáp án

Chọn C

Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là $x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = - 1; y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = 1; z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = 0.$

Câu 26:

Trong không gian Oxyz mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ . Tâm I của mặt cầu (S) có tọa độ là

A. (1;-1;-3)

B. (-1;1;3)

C. (2;-2;-6)

D. (-2;2;6)

Xem đáp án

Chọn B

Phương trình mặt cầu là: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2} \Rightarrow$ tọa độ tâm I(-1;1;3).

Câu 27:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình $2 x - y - z + 3 = 0$ . Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P)?

A. M(1;-1;-3)

B. N(-1;1;0)

C. H(2;-2;6)

D. K(-2;2;3)

Xem đáp án

Chọn B

Câu 28:

Trong không gian Oxyz vectơnào dưới đây không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 2}$ ?

$A . \vec{u_{1}} = (- 2; - 1; 2)$

$B . \vec{u_{2}} = (2; 1; - 2)$

$C . \vec{u_{3}} = (- 4; - 2; 4)$

$D . \vec{u_{4}} = (1; - 1; 0)$

Xem đáp án

Chọn D

$\vec{u_{2}} = (2; 1; - 2)$ là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng $d \Rightarrow \vec{u_{1}} = (- 2; - 1; 2)$ và $\vec{u_{3}} = (- 4; - 2; 4)$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d \Rightarrow$ đáp án D sai

Câu 29:

Có 30 chiếc thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên một chiếc thẻ. Tính xác suất để chiếc thẻ được chọn mang số chia hết cho 3

$A . \frac{1}{3}$

$B . \frac{1}{2}$

$C . \frac{3}{10}$

$D . \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Từ 1 đến 30 có 10 số chia hết cho 3 nên xác suất để chọn được 1 chiếc thẻ mang số chia hết cho 3 là $\frac{10}{30} = \frac{1}{3} .$

Câu 30:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $ℝ$ ?

$A . y = - x^{4} - 4 x^{2} + 1$

$B . y = - x^{3} - x + 1$

$C . y = \frac{3 x + 2}{x - 1}$

$D . y = - 2 x^{2} - 3$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $y = - x^{3} - x + 1 \Rightarrow y^{'} = - 3 x^{2} - 1 < 0, \forall x \in ℝ$ nên hàm số đồng biến trên R

Câu 31:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x - 4$ . Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2]. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. M+m=8

B. 2M-m=-2

C. M-2m=10

D. M-m=-8

Xem đáp án

Chọn C

D=R.

$y^{'} = 3 x^{2} - 3 \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in [0; 2] \\ x = - 1 \in [0; 2] \end{array}$ .

Ta có $y (0) = - 4, y (2) = - 2; y (1) = - 6$ .

Vậy $M = - 2, m = - 6$ .

Câu 32:

Bất phương trình mũ $5^{x^{2} - 3 x} \leq \frac{1}{25}$ có tập nghiệm là

$A . T = [\frac{3 - \sqrt{17}}{2}; \frac{3 - \sqrt{17}}{2}]$

$B . T = [\frac{3 - \sqrt{17}}{2}; \frac{3 - \sqrt{17}}{2}]$

C. T=[1;2]

$D . T = (- \infty; 1] \cup [2; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C

$5^{x^{2} - 3 x} \leq \frac{1}{25} \Leftrightarrow x^{2} - 3 x \leq \log_{5} \frac{1}{25} \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 2$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T=[1;2].

Câu 33:

Biết $\int_{1}^{2} f (x) d x = 3$ , $\int_{1}^{5} f (x) d x = 4$ . Tính $\int_{2}^{5} (2 f (x) + x) d x$

$A . \frac{25}{2}$

B. 23

$C . \frac{17}{2}$

D. 19

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\int_{1}^{5} f (x) d x = 4, \int_{1}^{2} f (x) d x = 3 \Rightarrow \int_{2}^{5} f (x) d x = \int_{1}^{5} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x = 1$ .

$\int_{2}^{5} (2 f (x) + x) d x = 2 \int_{2}^{5} f (x) d x + \int_{2}^{5} x d x = 2.1 + {\frac{x^{2}}{2}|}_{2}^{5} = \frac{25}{2}$ .

Câu 34:

Cho số phức z thỏa mãn $z (1 + 2 i) = 1 - 4 i$ . Phần thực của số phức z thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (0;2)

B. (-2;-1)

C. (-4;-3)

$D . (- \frac{3}{2}; - 1)$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $z (1 + 2 i) = 1 - 4 i \Leftrightarrow z = \frac{1 - 4 i}{1 + 2 i} \Leftrightarrow z = \frac{(1 - 4 i) (1 - 2 i)}{5} = - \frac{7}{5} - \frac{6}{5} i$

Vậy phần thực của số phức $z = - \frac{7}{5} \in (- 2; - 1)$ .

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là $α$ . Khi đó, $\tan α$ nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?

$A . \tan α = \sqrt{2}$

$B . \tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$C . \tan α = \sqrt{3}$

$D . \tan α = 1$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\{\begin{matrix} C D ⊥ A D \\ C D ⊥ S A \end{matrix} \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ S D$ .

Do $\{\begin{matrix} C D = (S C D) \cap (A B C D) \\ \begin{array}{l} S D \subset (S C D), S D ⊥ C D \\ A D \subset (A B C D), A D ⊥ C D \end{array} \end{matrix} \Rightarrow \hat{[(A B C D), (S C D)]} = \hat{(S D, A D)} = \hat{S D A} = α$ .

Xét tam giác SAD: $\tan \hat{S D A} = t a n α = \frac{S A}{A D} = \frac{a}{a} = 1$

Câu 36:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy có tâm là O và $S A = a, A B = a$ . Khi đó, khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAD) bằng bao nhiêu ?

$A . \frac{a}{2}$

$B . \frac{a}{\sqrt{2}}$

$C . \frac{a}{\sqrt{6}}$

D. a

Xem đáp án

Chọn C

Ta có : $V_{S . A B C D} = {(A B)}^{3} \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} \Rightarrow V_{S . A O D} = \frac{1}{4} V_{S . A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{24}$ .

Diện tích tam giác SAD là $S_{S A D} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Vậy $d [O, (S A D)] = \frac{3. V_{S A O D}}{S_{S A D}} = \frac{3. \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}}{\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}} = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0) và $B (1; - 1; - 4)$ . Viết phương trình mặt cầu (S) nhận AB làm đường kính

$A . (S) : x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5$

$B . (S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 20$

$C . (S) : {(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 20$

$D . (S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi I là tâm của mặt cầu (S) $\Rightarrow I$ là trung điểm của AB $\Rightarrow I (1; 0; - 2)$ .

$\vec{A B} = (0; - 2; - 4) \Rightarrow A B = 2 \sqrt{5}$ .

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-2) và bán kính $R = \frac{A B}{2} = \sqrt{5}$ .

$\Rightarrow (S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5$ .

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-2;3;4). Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (Oxy).

$A . (d) : \{\begin{matrix} x = - 2 \\ \begin{array}{l} y = 3 + t \\ z = 4 \end{array} \end{matrix}$

$B . (d) : \{\begin{matrix} x = - 2 + t \\ \begin{array}{l} y = 3 \\ z = 4 \end{array} \end{matrix}$

$C . (d) : \{\begin{matrix} x = - 2 \\ \begin{array}{l} y = 3 \\ z = 4 + t \end{array} \end{matrix}$

$D . (d) : \{\begin{matrix} x = - 2 + t \\ \begin{array}{l} y = 3 + t \\ z = 4 + t \end{array} \end{matrix}$

Xem đáp án

Chọn C

Do $(d) ⊥ (O x y) \Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của (d) là $\vec{k} = (0; 0; 1)$ .

Vậy phương trình $(d) : \{\begin{matrix} x = - 2 \\ \begin{array}{l} y = 3 \\ z = 4 + t \end{array} \end{matrix} (t \in ℝ)$

Câu 39:

Cho hàm số f(x) đồ thị của hàm số y=f'(x) là đường cong như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = f (2 x - 1) + 6 x$ trên đoạn $[\frac{1}{2}; 2]$ bằng

$A . f (\frac{1}{2})$

B. f(0)+3

C. f(1)+6

D. f(3)+12

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $t = 2 x - 1 \Rightarrow t \in [0; 3]$ , xét hàm số $h (t) = f (t) + 3 t + 3$ trên [0;3].

Ta có $h^{/} (x) = f^{/} (x) + 3$ , $h^{/} (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = 1 \\ t = 2 \end{array}$ .

$h^{/} (x) > 0 \Leftrightarrow f^{/} (x) > - 3 \Leftrightarrow x \in (1; 3)$

$h^{/} (x) < 0 \Leftrightarrow f^{/} (x) < - 3 \Leftrightarrow x \in (0; 1)$

Ta có bẳng biến thiên sau

Ta có $\min_{[0; 3]} h (t) = h (1) = f (1) + 6$ .

Câu 40:

Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 2186 số nguyên x thỏa mãn $(\log_{3} x - y) \sqrt{3^{x} - 9} \leq 0$

A. 7

B. 8

C. 2186

D. 6

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $(\log_{3} x - y) \sqrt{3^{x} - 9} \leq 0 \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \begin{array}{l} x > 0 \\ 3^{x} \geq 9 \end{array} \\ \log_{3} x \leq y \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \geq 2 \\ x \leq 3^{y} \end{matrix}$

Nếu $3^{y} < 2$ thì bất phương trình vô nghiệm ( không thỏa mãn).

Nếu $3^{y} = 2 \Leftrightarrow y = \log_{3} 2 \approx 0, 631$ thì bất phương trình có tập nghiệm $T = \{2\}$

( không thỏa mãn vì y nguyên dương).

Nếu $3^{y} > 2 \Leftrightarrow y > \log_{3} 2 \approx 0, 631$ , khi đó bất phương trình có tập nghiệm $T = [2; 3^{y}]$

Để mỗi giá trị y, bất phương trình có không quá 2021 nghiệm nguyên x thì $3^{y} \leq 2187 \Leftrightarrow y \leq \log_{3} 2187 = 7$ .

Kết hợp điều kiện y nguyên dương, $0, 631 < y \leq 7$ suy ra có 7 số y thỏa mãn bài toán

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x) = 1$ , $y = g (x) = |x|$ . Giá trị $I = \int_{- 1}^{2} \min \{f (x); g (x)\} d x$

A. 1

$B . \frac{3}{2}$

C. 2

$D . \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Xét bất phương trình $|x| > 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 1 \\ x < - 1 \end{array}$ .

Vậy $\min \{1; |x|\} = 1$ khi 1<x hoặc x<-1

$\min \{1; |x|\} = |x|$ khi -1<x<1

Xét $I = \int_{- 1}^{2} \min \{f (x); g (x)\} d x = \int_{- 1}^{2} \min \{1; |x|\} d x = \int_{- 1}^{1} \min \{1; |x|\} d x + \int_{1}^{2} \min \{1; |x|\} d x$

$I = \int_{- 1}^{1} |x| d x + \int_{1}^{2} d x = \int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{1} x d x + \int_{1}^{2} d x = {\frac{- x^{2}}{2}|}_{- 1}^{0} + {\frac{x^{2}}{2}|}_{0}^{1} + {x|}_{1}^{2}$ =2

Câu 42:

Có tất cả bao nhiêu số phức z mà phần thực và phần ảo của nó trái dấu đồng thời thỏa mãn $|z + \bar{z}| + |z - \bar{z}| = 4$ và $|z - 2 - 2 i| = 3 \sqrt{2} .$

A. 1

B. 3

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Chọn C

Gọi điểm M(x;y) là điểm (x;y) trên mp tọa độ biểu diễn số phức

$z = x + y i (x, y \in ℝ) \Rightarrow \bar{z} = x - y i$ . Khi đó tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là hai cạnh đối AD,BC của hình vuông ABCD độ dài cạnh bằng $2 \sqrt{2}$ và tâm là gốc tọa độ

O.

$|z - 2 - 2 i| = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 18$ .Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức là đường tròn tâm $I (2; 2), R = 3 \sqrt{2}$ .

Vậy có 2 điểm biểu diễn M,P thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có $A B = a, B C = a \sqrt{3}$ . Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối khóp S.ABC.

$A . V = \frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{12}$

$B . V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

$C . V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$

$D . V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi K là trung điểm của đoạn AB. Vì $Δ S A B$ là tam giác đều nên $S K ⊥ A B$ .

$(S A B) ⊥ (A B C)$ theo giao tuyến AB.

$S K ⊥ (A B C) \Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S K . S_{Δ A B C}$ .

$Δ A B C$ vuông tại A có $A B = a, B C = a \sqrt{3} \Rightarrow A C = \sqrt{B C^{2} - A B^{2}} = a \sqrt{2}$

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{1}{2} a . a \sqrt{2} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$ .

$Δ S A B$ là tam giác đều $\Rightarrow S K = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S K . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$ .

Câu 44:

Ông An cần làm một đồ trang trí như hình vẽ. Phần dưới là một phần của khối cầu bán kính 20cm làm bằng gỗ đặc, bán kính của đường tròn phần chỏm cầu bằng 10cm. Phần phía trên làm bằng lớp vỏ kính trong suốt. Biết giá tiền của $1 m^{2}$ kính như trên là 1.500.000 đồng, giá triền của $1 m^{3}$ gỗ là 100.000.000 đồng. Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông An mua vật liệu để làm đồ trang trí là bao nhiêu.

A. 1.000.000

B. 1.100.000

C. 1.010.000

D. 1.005.000

Xem đáp án

Chọn D

Bán kính mặt cầu là R=20cm; bán kính đường tròn phần chỏm cầu là r=10cm.

Theo hình vẽ ta có $\sin α = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \Rightarrow α = 30^{0}$ .

Diện tích phần làm kính là: $S = \frac{360 - 2.30}{360} .4 π {.20}^{2} = \frac{4000 π}{3} (c m^{2})$ .

Xét hình nón đỉnh là tâm mặt cầu, hình tròn đáy có bán kính bằng $r = 10 c m; l = R = 20 c m \Rightarrow h = \sqrt{20^{2} - 10^{2}} = 10 \sqrt{3} c m$

Thể tích phần chỏm cầu bằng

$V_{c hom c a u} = \frac{2.30}{360} . \frac{4}{3} π R^{3} - \frac{1}{3} π r^{2} . h$ = $\frac{16000 π}{9} - \frac{1000 π \sqrt{3}}{3} (c m^{3})$

Vậy số tiền ông An cần mua vật liệu là: $\frac{4000 π}{3} .150 + (\frac{16000 π}{9} - \frac{1000 π \sqrt{3}}{3}) .100 \approx 1.005.000$

Câu 45:

Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng $d : \frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 2},$ $Δ_{1} : \frac{x - 3}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1},$ $Δ_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{1}$ . Đường thẳng $Δ$ vuông góc với d đồng thời cắt $Δ_{1}; Δ_{2}$ tương ứng tại H,K sao cho $H K = \sqrt{27}$ . Phương trình của đường thẳng $Δ$ là

$A . \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1}$

$B . \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{1}$

$C . \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1}$

$D . \frac{x - 1}{- 3} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1}$

Xem đáp án

Chọn A

$H \in Δ_{1} \Leftrightarrow H (3 + 2 t; t; 1 + t)$ , $K \in Δ_{2} \Leftrightarrow K (1 + m; 2 + 2 m; m)$ .

Ta có $\vec{H K} = (m - 2 t - 2; 2 m - t + 2; m - t - 1)$ . Đường thẳng d có một VTCP là $\vec{u_{d}} = (1; 1; - 2)$ .

$Δ ⊥ d \Leftrightarrow \vec{u_{d}} . \vec{H K} = 0 \Leftrightarrow m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2 \Rightarrow \vec{H K} = (- t - 4; t - 2; - 3) .$

Ta có $H K^{2} = {(- t - 4)}^{2} + {(t - 2)}^{2} + {(- 3)}^{2} = 2 {(t + 1)}^{2} + 27 \geq 27, \forall t \in ℝ$ .

$H K = \sqrt{27} \Leftrightarrow t = - 1, m = - 3.$ Khi đó $\vec{H K} = (- 3; - 3; - 3) = - 3 (1; 1; 1)$ , H(1;-1;0).

Phương trình đường thẳng $Δ$ là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1}$ .

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm $f' (x) = 4 x^{3} + 2 x$ và f(0)=1. Số điểm cực tiểu của hàm số $g (x) = f^{3} (x^{2} - 2 x - 3)$ là

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $f (x) = \int (4 x^{3} + 2 x) d x = x^{4} + x^{2} + C$ và $f (0) = 1 \Rightarrow C = 1.$

Do đó ta có: $f (x) = x^{4} + x^{2} + 1 > 0, \forall x .$

Ta có: $g' (x) = 3 (2 x - 2) . f^{2} (x^{2} - 2 x - 3) . f' (x^{2} - 2 x - 3)$ .

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 2 = 0 \\ 4 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{3} + 2 (x^{2} - 2 x - 3) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y=g(x) có hai cực tiểu

Câu 47:

Tổng các nghiệm của phương trình sau $7^{x - 1} = 6 \log_{7} (6 x - 5) + 1$ bằng

A. 2

B. 3

C. 1

D. 10

Xem đáp án

Chọn B

Điều kiện: $x > \frac{5}{6} .$

Đặt $y - 1 = \log_{7} (6 x - 5)$ thì ta có hệ phương trình

$\{\begin{cases} 7^{x - 1} = 6 (y - 1) + 1 \\ y - 1 = \log_{7} (6 x - 5) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7^{x - 1} = 6 y - 5 \\ 7^{y - 1} = 6 x - 5 \end{cases} \Rightarrow 7^{x - 1} + 6 x = 7^{y - 1} + 6 y$ (2)

Xét hàm số $f (t) = 7^{t - 1} + 6 t$ với $t > \frac{5}{6}$ thì $f' (t) = 7^{t - 1} \ln 7 + 6 > 0, \forall t > \frac{5}{6} \Rightarrow f (t)$ đồng biến nên $(2) \Leftrightarrow f (x) = f (y) \Leftrightarrow x = y$ khi đó ta có phương trình $7^{x - 1} - 6 x + 5 = 0.$ (3)

Xét hàm số $g (x) = 7^{x - 1} - 6 x + 5$ với $x > \frac{5}{6}$ thì $g' (x) = 7^{x - 1} \ln 7 - 6 \Rightarrow g " (x) = 7^{x - 1} {(\ln 7)}^{2} > 0$ $\forall x > \frac{5}{6}$

nên suy ra phương trình g(x)=0 có không quá hai nghiệm.

Mặt khác f(1)=g(2)=0 nên x=1 và x=2 là 2 nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=1 và x=2.

Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là 1+2=3.

Câu 48:

Cho parabol $(P_{1}) : y = - x^{2} + 4$ cắt trục hoành tại hai điểm A, B và đường thẳng d:y=a (0<a<4). Xét parabol $(P_{2})$ đi qua A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng y=a. Gọi $S_{1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_{1})$ và d. $S_{2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_{2})$ và trục hoành. Biết $S_{1} = S_{2}$ (tham khảo hình vẽ bên).

Tính $T = a^{3} - 8 a^{2} + 48 a$

A. T=99

B. T=64

C. T=32

D. T=72

Xem đáp án

Chọn B

- Gọi A, B là các giao điểm của $(P_{1})$ và trục Ox $\Rightarrow A (- 2; 0)$ , B(2;0) $\Rightarrow A B = 4$ .

- Gọi M, N là giao điểm của $(P_{1})$ và đường thẳng d $\Rightarrow M (- \sqrt{4 - a}; a)$ , $N (\sqrt{4 - a}; a)$ $\Rightarrow M N = 2 \sqrt{4 - a}$ .

- Nhận thấy: $(P_{2})$ là parabol có phương trình $y = - \frac{a}{4} x^{2} + a$ .

- Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta được:

$S_{1} = 2 \int_{a}^{4} \sqrt{4 - y} . d y = - \frac{4}{3} {({(4 - y)}^{\frac{3}{2}})|}_{a}^{4} = \frac{4}{3} (4 - a) \sqrt{4 - a}$ .

$S_{2} = 2 \int_{0}^{2} (- \frac{a}{4} x^{2} + a) . d x = 2 {(- \frac{a x^{3}}{12} + a x)|}_{0}^{2} = \frac{8 a}{3}$ .

- Theo giả thiết: $S_{1} = S_{2} \Rightarrow \frac{4}{3} (4 - a) \sqrt{4 - a} = \frac{8 a}{3} \Leftrightarrow {(4 - a)}^{3} = 4 a^{2} \Leftrightarrow a^{3} - 8 a^{2} + 48 a = 64$ .

Câu 49:

Cho hai số phức u,v thỏa mãn $|u| = |v| = 10$ và $|3 u - 4 v| = 50$ . Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức $|4 u + 3 v - 10 i|$ .

A. 30

B. 40

C. 60

D. 50

Xem đáp án

Chọn C

Ta có ${|z|}^{2} = z . \bar{z}$ . Đặt $T = |3 u - 4 v|$ , $M = |4 u + 3 v|$ .

Khi đó $T^{2} = (3 u - 4 v) (3 \bar{u} - 4 \bar{v}) = 9 {|u|}^{2} + 16 {|v|}^{2} - 12 (u \bar{v} + v \bar{u})$ .

Tương tự ta có $M^{2} = (4 u + 3 v) (4 \bar{u} + 3 \bar{v}) = 16 {|u|}^{2} + 9 {|v|}^{2} + 12 (u \bar{v} + v \bar{u})$ .

Do đó $M^{2} + T^{2} = 25 ({|u|}^{2} + {|v|}^{2}) = 5000$ .

Suy ra $M^{2} = 5000 - T^{2} = 5000 - 50^{2} = 2500$ hay M=50.

Áp dụng $|z + z^{'}| \leq |z| + |z^{'}|$ ta có

$|4 u + 3 v - 10 i| \leq |4 u + 3 v| + |- 10 i| = 50 + 10 = 60$ .

Suy ra $\max |4 u + 3 v - 10 i| = 60$ .

Câu 50:

Trong hệ trục Oxyz, cho hai mặt cầu $(S_{1}) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 49$ và $(S_{2}) : {(x - 10)}^{2} + {(y - 9)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 400$ và mặt phẳng $(P) : 4 x - 3 y + m z + 22 = 0$ . Có bao nhiêu số nguyên m để mp (P) cắt hai mặt cầu $(S_{1}), (S_{2})$ theo giao tuyến là hai đường tròn không có tiếp tuyến chung?

A. 5

B. 11

C. Vô số

D. 6

Xem đáp án

Chọn D

Mặt cầu $(S_{1})$ có tâm I(1;-3;2), bán kính $R_{1} = 7$ ; mặt cầu $(S_{2})$ có tâm J(10;9;2), bán kính $R_{2} = 20$ . Ta có $\vec{I J} (9; 12; 0)$ , IJ=15.

Mặt phẳng $(P) : 4 x - 3 y + m z + 22 = 0$ có vec tơ pháp tuyến $\vec{n_{P}} (4; - 3; m)$

Do $\vec{I J} . \vec{n_{P}} = 0$ nên IJ song song hoặc chứa trong (P).

Bán kính đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $(S_{1}), (S_{2})$ là $r = \frac{2 \sqrt{p (p - 7) (p - 20) (p - 15)}}{15} = \frac{28}{5}$ với $p = \frac{20 + 7 + 15}{2} = 21$

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến hai mặt cầu là (Q): $3 x + 4 y + 30 = 0$

Ta có $d (I; (Q)) = \frac{21}{5}$ , $d (J; (Q)) = \frac{96}{5}$ nên $d (I; (Q)) + I J = d (J; (Q))$

Ta có mp(P) cắt hai mặt cầu $(S_{1}), (S_{2})$ theo giao tuyến là hai đường tròn, trong đó đường tròn nhỏ ở trong đường tròn lớn khi $\frac{28}{5} < d (I; (P)) < 7 \Leftrightarrow \frac{28}{5} < \frac{|2 m + 35|}{\sqrt{m^{2} + 25}} < 7$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 45 m^{2} - 140 m > 0 \\ \frac{684}{25} m^{2} - 140 m - 441 < 0 \end{cases}$

Và có m nguyên, nên $m \in \{- 2; - 1; 4; 5; 6; 7\}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 26)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan