50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 22)

Câu 1:

Có 5 người đến nghe một buổi hòa nhạc. Số cách xếp 5 người này vào một hàng có 5 ghế là:

A. 130

B. 125

C. 120

D. 100

Xem đáp án

Chọn C

Số cách sắp xếp là số hoán vị của tập có 5 phần tử: $P_{5} = 5! = 120$ .

Câu 2:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = - \frac{1}{2}; u_{7} = - 32$ . Tìm q?

$A . q = \pm 2$

$B . q = \pm 4$

$C . q = \pm 1$

$D . q = \pm \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có

$u_{n} = u_{1} q^{n - 1} \Rightarrow u_{7} = u_{1} . q^{6} \Rightarrow q^{6} = 64 \Rightarrow [\begin{array}{l} q = 2 \\ q = - 2 \end{array}$

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y=f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

$A . (- \infty; 0)$

$B . (- \infty; - 2)$

C. (-1;0)

$D . (0; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình bên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x=3

B. Hàm số đạt cực đại tại x=4

C. Hàm số đạt cực đại tại x=2

D. Hàm số đạt cực đại tại x=-2

Xem đáp án

Chọn C

Giá trị cực đại của hàm số là y=3 tại x=2.

Câu 5:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên và có bảng xét dấu f'(x) như sau:

Kết luận nào sau đây đúng

A. Hàm số có điểm cực trị

B. Hàm số có điểm cực đại

C. Hàm số có điểm cực trị

D. Hàm số có điểm cực tiểu

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào bảng xét dấu, ta có:

f'(x) đổi dấu 3 lần khi qua các điểm 1,3,4. Suy ra loại phương án A.

f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm 1,4 và đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm 3. Suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Câu 6:

Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1 - 4 x}{2 x - 1}$ .

A. y=2

B. y=4

$C . y = \frac{1}{2}$

D. y=-2

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{- 4 x + 1}{2 x - 1} = - 2$ . Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y=-2.

Câu 7:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

$A . y = - x^{3} + x^{2} - 2$

$B . y = - x^{4} + 3 x^{2} - 2$

$C . y = x^{4} - 2 x^{2} - 3$

$D . y = - x^{2} + x - 1$

Xem đáp án

Chọn C

Đồ thị đi qua M(0;-3), suy ra loại các phương án A, B, D.

Câu 8:

Đồ thị của hàm số $y = - x^{4} - 3 x^{2} + 1$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A. -3

B. 0

C. 1

D. -1

Xem đáp án

Chọn C

Trục tung có phương trình: x=0. Thay x=0 vào $y = - x^{4} - 3 x^{2} + 1$ được: y=1.

Câu 9:

Cho a>0, $a \neq 1$ . Tính $\log_{a} (a^{2})$

A. 2a

B. -2

C. 2

D. a

Xem đáp án

Chọn C

$\log_{a} (a^{2}) = 2$ .

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số $y = 3^{x}$ là

A. y'=xln3

$B . y^{'} = x {.3}^{x - 1}$

$C . y^{'} = \frac{3^{x}}{\ln 3}$

$D . y^{'} = 3^{x} \ln 3$

Xem đáp án

Chọn D

Theo công thức đạo hàm ta có $y^{'} = 3^{x} \ln 3$ .

Câu 11:

Cho a là số thực dương khác 1. Khi đó $\sqrt[4]{a^{\frac{2}{3}}}$ bằng

$A . \sqrt[3]{a^{2}}$

$B . a^{\frac{8}{3}}$

$C . a^{\frac{3}{8}}$

$D . \sqrt[6]{a}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\sqrt[4]{a^{\frac{2}{3}}} = {(a^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{2}{3} . \frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{a}$

Câu 12:

Phương trình $\log_{2} (x + 1) = 4$ có nghiệm là

A. x=4

B. x=15

C. x=3

D. x=16

Xem đáp án

Chọn B

Đk: $x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1$ .

Ta có $\log_{2} (x + 1) = 4 \Leftrightarrow x + 1 = 2^{4} \Leftrightarrow x + 1 = 16 \Leftrightarrow x = 15$ . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=15.

Câu 13:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x + 7) - \log_{3} (x - 1) = 2$ là

A. x=2

B. x=2

$C . x = \frac{16}{7}$

$D . x = \frac{13}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Điều kiện $\{\begin{cases} 2 x + 7 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - \frac{7}{2} \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow x > 1$ .

Ta có $\log_{3} (2 x + 7) - \log_{3} (x - 1) = 2 \Leftrightarrow \log_{3} (2 x + 7) = \log_{3} (x - 1) + 2$

$\Leftrightarrow \log_{3} (2 x + 7) = \log_{3} [9 (x - 1)]$

$\Leftrightarrow 2 x + 7 = 9 x - 9 \Leftrightarrow x = \frac{16}{7}$ (thỏa mãn điều kiện).

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = - 2 x^{3} + x - 1$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

$A . \int f (x) d x = - x^{3} + x^{2} - x + C$

$B . \int f (x) d x = - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

$C . \int f (x) d x = - \frac{1}{4} x^{4} + x^{2} - x + C$

$D . \int f (x) d x = - \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 15:

Cho hàm số f(x)=sin2x-3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

$A . \int f (x) d x = - \cos 2 x + C$

$B . \int f (x) d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x - 3 x + C$

$C . \int f (x) d x = - \cos 2 x - 3 x + C$

$D . \int f (x) d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x + C$

Xem đáp án

Chọn B

$\int f (x) d x = \int (\sin 2 x - 3) d x = \frac{1}{2} \int \sin 2 x d (2 x) - 3 \int d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x - 3 x + C .$

Câu 16:

Nếu $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 7$ và $\int_{- 1}^{2} f (t) d t = 9$ thì $\int_{1}^{2} f (x) d x$ bằng

A. -2

B. 16

C. 2

D. Không xác định được

Xem đáp án

Chọn C

Ta có :

+) $\int_{- 1}^{2} f (t) d t = \int_{- 1}^{2} f (x) d x = 9$ .

+) Áp dụng công thức : $\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x (a < c < b) .$

$\int_{- 1}^{2} f (x) d x = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x \Rightarrow \int_{1}^{2} f (x) d x = \int_{- 1}^{2} f (x) d x - \int_{- 1}^{1} f (x) d x = 9 - 7 = 2.$

Câu 17:

Tích phân $\int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$ bằng

$A . - \frac{1}{4}$

$B . \frac{1}{4}$

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Cách 1 : $\int_{1}^{4} \sqrt{x} d x = \frac{1}{2 \sqrt{x}} |\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} .$

Cách 2 : Sử dụng máy tính CASIO .

Câu 18:

Số phức liên hợp của số phức z=-7i có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là:

A. M(0;-7)

B. M(-7;0)

C. M(7;0)

D. M(0;7)

Xem đáp án

Chọn D

Số phức liên hợp của số phức z=-7i là số phức $\bar{z} = 7 i$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M(0;7)

Câu 19:

Cho hai số phức $z = 2 - i; w = 3 + 2 i$ . Số phức z+w bằng

A. -1-3i

B. 6-2i

C. 5+i

D. 1+3i

Xem đáp án

Chọn C

$z + w = (2 + 3) + (- 1 + 2) i = 5 + i$

Câu 20:

Cho số phức z=-2+3i. Điểm biểu diễn của $\bar{z}$ trên mặt phẳng tọa độ là

A. M(2;3)

B. N(-2;-3)

C. P(2;-3)

D. Q(-2;3)

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\bar{z} = - 2 - 3 i$ nên điểm biểu diễn của $\bar{z}$ là (-2;-3).

Câu 21:

Một khối chóp có diện tích đáy bằng 4 và chiều cao bằng 6. Thể tích của khối chóp đó là

A. 24

B. 12

C. 8

D. 6

Xem đáp án

Chọn C

Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3} .4.6 = 8$ .

Câu 22:

Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là 2;3;5 là

A. 30

B. 10

C. 15

D. 120

Xem đáp án

Chọn A

Thể tích khối hộp chữ nhật là $V = 2.3.5 = 30$ .

Câu 23:

Công thức V của khối trụ có bán kính r và chiều cao h là

$A . V = π r^{2} h$

$B . V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

$C . V = π r h^{2}$

$D . V = \frac{1}{3} π r h^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Công thức V của khối trụ có bán kính r và chiều cao h là $V = π r^{2} h$ .

Câu 24:

Một hình trụ có bán kính đáy r=2cm và độ dài đường sinh l=5cm. Diện tích xung quanh của hình trụ đó là

$A . 10 π c m^{2}$

$B . 20 π c m^{2}$

$C . 50 π c m^{2}$

$D . 5 π c m^{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Diện tích xung quanh của hình trụ đó là $S = 2 π r l = 2 π .2.5 = 20 π$ .

Câu 25:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\vec{a} = (- 1; 2; 0)$ , $\vec{b} = (2; 1; 0)$ , $\vec{c} = (- 3; 1; 1)$ . Tìm tọa độ của vectơ $\vec{u} = \vec{a} + 3 \vec{b} - 2 \vec{c}$ .

A. (10;-2;13)

B. (-2;2;-7)

C. (-2;-2;7)

D. (11;3;2)

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $3 \vec{b} = (6; 3; 0)$ , $2 \vec{c} = (- 6; 2; 2)$ .

Suy ra $\vec{u} = \vec{a} + 3 \vec{b} - 2 \vec{c} = (- 1 + 6 - (- 6); 2 + 3 - 2; 0 + 0 - 2) = (11; 3; - 2)$ .

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 y + 4 z - 2 = 0$ . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. 1

$B . \sqrt{7}$

$C . 2 \sqrt{2}$

D. 7

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $a = 0; b = 1; c = - 2; d = - 2$ .

Suy ra $R = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} - (- 2)} = \sqrt{7}$

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm $A (- 1; 0; 1), B (2; 1; 0)$ . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với AB.

$A . (P) : 3 x + y - z + 4 = 0$

$B . (P) : 3 x + y - z - 4 = 0$

$C . (P) : 3 x + y - z = 0$

$D . (P) : 2 x + y - z + 1 = 0$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\vec{A B} = (3; 1; - 1)$ .

Mặt phẳng (P) qua điểm A(-1;0;1) và vuông góc với đường thẳng AB nên có 1 véc tơ pháp tuyến $\vec{A B} = (3; 1; - 1) \Rightarrow (P) : 3 (x + 1) + 1 (y - 0) - 1 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow 3 x + y - z + 4 = 0$ .

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z + 7}{- 5} .$ Vectơ nào dưới đây không phải là một vectơ chỉ phương của d?

$A . \vec{u_{4}} = (1; 3; 5)$

$B . \vec{u_{3}} = (1; 3; - 5)$

$C . \vec{u_{1}} = (- 1; - 3; 5)$

$D . \vec{u_{2}} = (2; 6; - 10)$

Xem đáp án

Chọn A

Đường thẳng $d : \frac{x + 2}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z + 7}{- 5}$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u_{3}} = (1; 3; - 5)$ cùng phương với các véc tơ $\vec{u_{1}} = (- 1; - 3; 5), \vec{u_{2}} = (2; 6; - 10)$ .

Câu 29:

Một hộp đèn có 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để trong 3 bóng có 1 bóng hỏng

$A . \frac{11}{50}$

$B . \frac{13}{112}$

$C . \frac{28}{55}$

$D . \frac{5}{6}$

Xem đáp án

Câu 30:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (2 m - 1) + 1$ đồng biến trên R

A. Không có giá trị m thỏa mãn

B. m=1

$C . m \neq 1$

$D . m \in ℝ$

Xem đáp án

Câu 31:

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} + 11 x - 2$ trên đoạn [0;2]. Giá trị của biểu thức $A = 2 M - 5 m$ bằng?

A. A=3

B. A=-4

C. A=16

$D . A = \frac{1037}{27} .$

Xem đáp án

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x^{2} + 2 x} \leq 8$ là

$A .$ $(- \infty; - 3]$

B. [-3;1]

C. (-3;1)

D. (-3;1]

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có : $2^{x^{2} + 2 x} \leq 8 \Leftrightarrow 2^{x^{2} + 2 x} \leq 2^{3} \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 3 \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 1$

Câu 33:

Cho $\int_{1}^{2} [3 f (x) - 2 x] d x = 6$ . Khi đó $\int_{1}^{2} f (x) d x$ bằng

A. 1

B. -3

C. 3

D. -1

Xem đáp án

Chọn C.

$\begin{array}{l} \int_{1}^{2} [3 f (x) - 2 x] d x = 6 \Leftrightarrow 3 \int_{1}^{2} f (x) d x - 2 \int_{1}^{2} x d x = 6 \Leftrightarrow 3 \int_{1}^{2} f (x) d x - 2. {\frac{x^{2}}{2}|}_{1}^{2} = 6 \\ \Leftrightarrow 3 \int_{1}^{2} f (x) d x = 9 \Leftrightarrow \int_{1}^{2} f (x) d x = 3 . \end{array}$

Câu 34:

Cho số phức z=1+i. môđun của số phức $z . (4 - 3 i)$ bằng

$A . |z| = 5 \sqrt{2}$

$B . |z| = \sqrt{2}$

$C . |z| = 25 \sqrt{2}$

$D . |z| = 7 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn A.

$z . (4 - 3 i) = (1 + i) (4 - 3 i) = 7 + i \Rightarrow |z (1 + i)| = \sqrt{7^{2} + {(- 1)}^{2}} = 5 \sqrt{2} .$

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, $A B = a, A D = a \sqrt{3}, S A = 2 a \sqrt{2}$ (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phằng (SAB) bằng

$A . 30^{\circ}$

$B . 45^{\circ}$

$C . 60^{\circ}$

$D . 90^{\circ}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $C B ⊥ A B$ và $C B ⊥ S A$ (vì $S A ⊥ (A B C D)$ ) , suy ra $C B ⊥ (S A B)$ tại B.

Ta có $\{\begin{matrix} C B ⊥ (S A B) \\ B \in (S A B) \\ S \in (S A B) \end{matrix} \Rightarrow$ đường thẳng SB là hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC trên mặt phẳng (SAB).

Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là $\hat{C S B}$ .

Xét $Δ C S B$ vuông tại B, ta có

$\tan \hat{C S B} = \frac{B C}{S B} = \frac{A D}{\sqrt{S A^{2} + A B^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{a^{2} + {(2 a \sqrt{2})}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \hat{C S B} = 30 °$ .

Câu 36:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 3, đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB=2 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng

$A . \frac{\sqrt{13}}{13}$

$B . \frac{13}{36}$

$C . \frac{6}{13}$

$D . \frac{6 \sqrt{13}}{13}$

Xem đáp án

Chọn D

* Kẻ $A H ⊥ A' B \Rightarrow A H ⊥ (A' B C) \Rightarrow d (A, (A' B C)) = A H$ .

* Chứng minh $A H ⊥ (A' B C)$ , thật vậy

Ta có $A H ⊥ A' B$ và $A H ⊥ B C$ (vì $B C ⊥ (A B B' A')$ ) , suy ra $A H ⊥ (A' B C)$ .

* Tính AH

Xét $Δ A' A B$ vuông tại A, ta có

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A A'^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{13}{36} \Rightarrow A H = \sqrt{\frac{36}{13}} = \frac{6 \sqrt{13}}{13} .$

Câu 37:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(2;4;1), N(-2;2;3). Phương trình mặt cầu đường kính MN là

$A . x^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

$B . x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9.$

$C . x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

$D . x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3.$

Xem đáp án

Chọn B

Mặt cầu đường kính MN có tâm là trung điểm của đoạn thẳng MN. Suy ra tọa độ tâm mặt cầu là I(0;3;-1)

Bán kính mặt cầu: $R = \frac{1}{2} M N = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 4 + 16} = \frac{6}{2} = 3.$

Phương trình mặt cầu có tâm I(0;3;-1), bán kính R=3: $x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9.$

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua A(1;0;2) và vuông góc với mặt phẳng $(P) : x - y + 3 z - 7 = 0 ?$

$A . \{\begin{cases} x = t \\ y = - t \\ z = 3 t \end{cases} .$

$B . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 1 \\ z = 3 + 2 t \end{cases} .$

$C . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - t \\ z = 2 + 3 t \end{cases} .$

$D . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 2 + 3 t \end{cases} .$

Xem đáp án

Chọn C

Đường thẳng cần tìm nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (1; - 1; 3)$ làm một vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng cần tìm đi qua điểm A(1;0;2), nhận $\vec{n} = (1; - 1; 3)$ là vec tơ chỉ phương là $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - t \\ z = 2 + 3 t \end{cases} .$

Câu 39:

Cho hàm số f(x), đồ thị của hàm số y=f'(x) là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = 2 f (x) - {(x + 1)}^{2}$ trên đoạn [-3;3] bằng

A. f(0)-1

B. f(3)-4

C. 2f(1)=4

D. f(3)-16

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $g^{'} (x) = 2 f^{'} (x) - 2 (x + 1)$

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = x + 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \pm 3 \end{array}$ .

Dựa vào hình vẽ ta có bảng biến thiên

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số $g (x) = 2 f (x) - {(x + 1)}^{2}$ trên đoạn [-3;3] là $g (1) = 2 f (1) - 4$

Câu 40:

Có bao nhiêu số nguyên y trong đoạn [-2021;2021] sao cho bất phương trình ${(10 x)}^{y + \frac{\log x}{10}} \geq 10^{\frac{11}{10} \log x}$ đúng với mọi x thuộc (1;100):

A. 2021

B. 4026

C. 2013

D. 4036

Xem đáp án

Chọn A

${(10 x)}^{y + \frac{\log x}{10}} \geq 10^{\frac{11}{10} \log x} \Leftrightarrow (y + \frac{\log x}{10}) \log (10 x) \geq \frac{11}{10} \log x$ $\Leftrightarrow (y + \frac{\log x}{10}) (1 + \log x) \geq \frac{11}{10} \log x (1)$ .

Đặt logx=t. Ta có $x \in (1; 100) \Rightarrow \log x \in (0; 2)$ $t \in (0; 2)$ . Bất phương trình trở thành

$(y + \frac{t}{10}) (t + 1) \geq \frac{11}{10} t (2) \Leftrightarrow y (t + 1) \geq \frac{- t^{2} + 10 t}{10}$ $\Leftrightarrow \frac{- t^{2} + 10 t}{10 (t + 1)} \leq y (2)$ .

Xét hàm số $f (t) = \frac{- t^{2} + 10 t}{10 (t + 1)}$ trên khoảng (0;2), ta có $f^{'} (t) = \frac{- t^{2} - 2 t + 10}{10 {(t + 1)}^{2}}$

$\Rightarrow f^{'} (t) > 0, \forall t \in (0; 2) \Rightarrow f (0) < f (t) < f (2), \forall t \in (0; 2)$ $\Leftrightarrow 0 < f (t) < \frac{8}{15}, \forall t \in (0; 2)$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow (2)$ đúng với mọi $t \in (0; 2) \Leftrightarrow f (t) \leq y, \forall t \in (0; 2) \Leftrightarrow y \geq \frac{8}{15}$ .

Kết hợp với điều kiện $y \in [- 2021; 2021] \Rightarrow y \in [\frac{8}{15}; 2021]$ . Vậy có tất cả 2021 giá trị nguyên của y thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 41:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 2 x - 2 k h i x \leq 0 \\ x^{2} +4 x - 2 k h i x > 0 \end{cases}$ . Tích phân $I = \int_{0}^{π} \sin 2 x . f (cos x) d x$ bằng

$A . I = \frac{9}{2}$

$B . I = - \frac{9}{2}$

$C . I = - \frac{7}{6}$

$D . I = \frac{7}{6}$

Xem đáp án

Chọn A

Do $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = f (0) = - 2$ nên hàm số f(x) liên tục tại điểm x=0.

Đặt t=cosx $\Rightarrow d t = - \sin x d x$ .

Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 1$ ; $x = π \Rightarrow t = - 1$ .

Ta có:

$\int_{0}^{π} \sin 2 x . f (cos x) d x = \int_{0}^{π} 2 \sin x . cos x . f (cos x) d x = - \int_{1}^{- 1} 2 t . f (t) d t = 2 \int_{- 1}^{1} t . f (t) d t$

$= 2 \int_{- 1}^{0} x . f (x) d x + 2 \int_{0}^{1} x . f (x) d x = 2 \int_{0}^{1} x (x^{2} + 4 x - 2) d x + 2 \int_{- 1}^{0} x . (2 x - 2) d x$

$= 2 (\frac{x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{3} - x^{2}) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} + 4. {(\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2})|}_{- 1}^{0} = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{9}{2}$ .

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|z| = \sqrt{13}$ và $(z - 2 i) (\bar{z} - 4 i)$ là số thuần ảo?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Gọi z=x+yi với $x, y \in ℝ$ .

Ta có $|z| = \sqrt{13} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 13 (1)$ .

Mà $(z - 2 i) (\bar{z} - 4 i) = (x + y i - 2 i) (x - y i - 4 i) = (x^{2} + y^{2} + 2 y - 8) + (- 6 x) . i$ là số thuần ảo khi $x^{2} + y^{2} + 2 y - 8 = 0 \Rightarrow 13 + 2 y - 8 = 0 \Rightarrow y = - \frac{5}{2}$ .

Từ $y = - \frac{5}{2}$ thay vào (1) ta được $[\begin{array}{l} x = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \\ x = - \frac{3 \sqrt{3}}{2} \end{array}$ .

Vậy có 2 số phức thoả yêu cầu bài toán.

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, $B C = a \sqrt{3}$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc $30^{°}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

$A . \sqrt{3} a^{3}$

$B . \frac{2 a^{3}}{3}$

$C . \frac{\sqrt{3} a^{3}}{3}$

$D . \frac{2 \sqrt{6} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên $S A ⊥ B C$ , do $B C ⊥ A B$ nên $B C ⊥ (S A B)$ . Ta có SB là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (SAB ), do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc $\hat{C S B} = 30^{°}$ . Trong tam giác SBC, ta có $S B = B C . \cot 30^{°} = a \sqrt{3} . \sqrt{3} = 3 a$ .

Trong tam giác SAB, ta có $S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = 2 a \sqrt{2}$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . A B . B C = \frac{1}{3} 2 a \sqrt{2} . a . a \sqrt{3} = \frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{3}$ .

Câu 44:

Ông Bảo làm mái vòm ở phía trước ngôi nhà của mình bằng vật liệu tôn. Mái vòm đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bên dưới. Biết giá tiền của 1 $m^{2}$ tôn là 300.000 đồng. Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bảo mua tôn là bao nhiêu ?

A. 18.850.000 (đồng)

B. 5.441.000 (đồng)

C. 9.425.000 (đồng)

D. 10.883.000 (đồng)

Xem đáp án

Chọn D

Gọi r là bán kính đáy của hình trụ. Khi đó: $\frac{6}{\sin 120^{0}} = 2 r \Leftrightarrow r = 2 \sqrt{3} .$

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có góc ở tâm của cung này bằng $120^{0}$ .

Và độ dài cung này bằng $\frac{1}{3}$ chu vi đường tròn đáy.

Suy ra diện tích của mái vòm bằng $\frac{1}{3} S_{x q}$ ,

(với $S_{x q}$ là diện tích xung quanh của hình trụ).

Do đó, giá tiền của mái vòm là $\frac{1}{3} S_{x q} .300.000 = \frac{1}{3} . (2 π r l) .300.000 = \frac{1}{3} . (2 π .2 \sqrt{3} .5) .300.000 ≃ 10882796, 19.$

Câu 45:

Trong không gian Oxyz cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 36.$ Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua E nằm trong mặt phẳng (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $Δ$ là

$A . \{\begin{cases} x = 2 + 9 t \\ y = 1 + 9 t \\ z = 3 + 8 t \end{cases}$

$B . \{\begin{cases} x = 2 - 5 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 \end{cases}$

$C . \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 \end{cases}$

$D . \{\begin{cases} x = 2 + 4 t \\ y = 1 + 3 t . \\ z = 3 - 3 t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn C

Mặt cầu $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 36,$ có tâm I(3;2;5) và bán kính R=6

Ta có: $\vec{E I} = (1; 1; 2) \Rightarrow E I = |\vec{E I}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{6} < 6 = R .$ Do đó điểm E nằm trong mặt cầu (S)

Ta lại có: $E \in (P)$ và $\{\begin{cases} E \in Δ \\ Δ \subset (P) \end{cases}$ nên giao điểm của $(Δ)$ và (S) nằm trên đường tròn (C) giao tuyến tâm K của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S), trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P)

Giả sử $Δ \cap (S) = \{A; B\}$ . Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi $d (K, Δ)$ lớn nhất.

Gọi F là hình chiếu của K trên $(Δ)$ khi đó $d (K; Δ) = K F \leq K E$ .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $F \equiv E .$

Ta có $\{\begin{cases} I K ⊥ (P) \\ K E ⊥ Δ \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} I K ⊥ Δ \\ K E ⊥ Δ \end{cases} \Rightarrow I E ⊥ Δ$ .

Ta có: $[{\vec{n}}_{(P)}, \vec{E I}] = (5; - 5; 0)$ , cùng phương với $\vec{u} = (1; - 1; 0)$ .

Vì $\{\begin{cases} Δ \subset (P) \\ Δ ⊥ I E \end{cases}$ nên $Δ$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; - 1; 0)$ .

Suy ra phương trình đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 \end{cases}$ .

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) là một hàm đa thức có bảng xét dấu f'(x) như sau

Số điểm cực trị của hàm số $g (x) = f (x^{2} - |x|)$

A. 5

B. 3

C. 1

D. 7

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $g (x) = f (x^{2} - |x|) = f ({|x|}^{2} - |x|)$ . Số điểm cực trị của hàm số $f (|x|)$ bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số f(x) cộng thêm 1.

Xét hàm số

$h (x) = f (x^{2} - x) \Rightarrow h^{'} (x) = (2 x - 1) f^{'} (x^{2} - x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ x^{2} - x = - 1 \\ x^{2} - x = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{array}$ .

Bảng xét dấu hàm số $h (x) = f (x^{2} - x)$

Hàm số $h (x) = f (x^{2} - x)$ có 2 điểm cực trị dương, vậy hàm số $g (x) = f (x^{2} - |x|) = f ({|x|}^{2} - |x|)$ có 5 điểm cực trị.

Câu 47:

Có bao nhiêu số nguyên $m \in (- 20; 20)$ để phương trình $7^{x} + m = 6 \log_{7} (6 x - m)$ có nghiệm thực

A. 19

B. 21

C. 18

D. 20

Xem đáp án

Chọn D

Đặt: $t = \log_{7} (6 x - m) \Leftrightarrow 6 x - m = 7^{t} \Leftrightarrow 6 x - 7^{t} = m$ . Khi đó phương trình trở thành $7^{x} + (6 x - 7^{t}) = 6 t \Leftrightarrow 7^{x} + 6 x = 7^{t} + 6 t \Leftrightarrow x = t$ .

Khi đó ta có PT: $6 x - 7^{x} = m$ . Xét hàm số $f (x) = 6 x - 7^{x}; x \in ℝ$

Có $f' (x) = 6 - 7^{x} \ln 7 \Rightarrow f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \log_{7} \frac{6}{\ln 7} = x_{0}$ . Ta có BBT

Từ BBT ta thấy PT có nghiệm

$m \leq y (x_{0}) = 6 \log_{7} \frac{6}{\ln 7} - 7^{\log_{7} \frac{6}{\ln 7}} \approx 0, 389$ ;

Mà $m \in (- 20; 20); m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 19; - 18; ...; 0\}$

Câu 48:

Cho hàm số bậc bốn trùng phương y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số f(x) đạt cực trị tại ba điểm $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ thỏa mãn $x_{1} + x_{3} = 4$ . Gọi $S_{1}$ và $S_{2}$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình. Tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ bằng

$A . \frac{2}{5} .$

$B . \frac{7}{16} .$

$C . \frac{1}{2} .$

$D . \frac{7}{15} .$

Xem đáp án

Chọn B

Rõ ràng kết quả bài toán không đổi khi ta tịnh tiến đồ thị sang trái sao cho $x_{2} = 0$ .

Gọi $g (x) = a x^{4} + b x^{2} + c$ , ta có hàm số g(x) là chẵn và có 3 điểm cực trị tương ứng là

-2;0;2 là các nghiệm của phương trình $4 a x^{3} + 2 b x = 0$ .

Dựa vào đồ thị g(x), ta có g(0)=0. Từ đó suy ra $g (x) = a (x^{4} - 8 x^{2})$ với a>0.

Do tính đối xứng của hàm trùng phương nên diện tích hình chữ nhật bằng $2 S_{1} + S_{2} = |g (2)| .4 = 64 a$

Ta có $S_{1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số g(x), trục hoành, đường thẳng x=-2;x=0. $S_{1} = \int_{- 2}^{0} |g (x)| d x = a \int_{- 2}^{0} |x^{4} - 8 x^{2}| d x = \frac{224 a}{15}$ . Suy ra $S_{2} = 64 a - 2. \frac{224 a}{15} = \frac{512 a}{15}$ .

Vậy $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{224}{512} = \frac{7}{16}$ .

Câu 49:

Cho các số phức $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ thỏa mãn $|z_{1} + 1 - 4 i| = 2, |z_{2} - 4 - 6 i| = 1$ và $|z_{3} - 1| = |z_{3} - 2 + i|$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z_{3} - z_{1}| + |z_{3} - z_{2}|$ .

$A . \frac{\sqrt{14}}{2} + 2$

$B . \sqrt{29} - 3$

$C . \frac{\sqrt{14}}{2} + 2 \sqrt{2}$

$D . \sqrt{85} - 3$

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $z_{1} = x_{1} + y_{1} i (x_{1}, y_{1} \in ℝ)$ .

$|z_{1} + 1 - 4 i| = 2 \Leftrightarrow {(x_{1} + 1)}^{2} + {(y_{1} - 4)}^{2} = 4$ .

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức $z_{1}$ là đường tròn $(C_{1}) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ có tâm $I_{1} (- 1; 4)$ , bán kính $R_{1} = 2$ .

Đặt $z_{2} = x_{2} + y_{2} i (x_{2}, y_{2} \in ℝ)$ .

$|z_{2} - 4 - 6 i| = 1 \Leftrightarrow {(x_{2} - 4)}^{2} + {(y_{2} - 6)}^{2} = 1$ .

Vậy tập hợp điểm N biểu diễn số phức $z_{2}$ là đường tròn $(C_{2}) : {(x - 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 1$ có tâm $I_{2} (4; 6)$ , bán kính $R_{2} = 1$ .

Đặt $z_{3} = x_{3} + y_{3} i$ $(x_{3}, y_{3} \in ℝ)$ .

$|z_{3} - 1| = |z_{3} - 2 + i| \Leftrightarrow x_{3} - y_{3} - 2 = 0$ .

Vậy tập hợp điểm A biểu diễn số phức $z_{3}$ là đường thẳng $d : x - y - 2 = 0$ .

Khi đó: $P = |z_{3} - z_{1}| + |z_{3} - z_{2}| = A M + A N$

Mặt khác, $d (I_{1}, d) = \frac{\sqrt{14}}{2} > R_{1}; d (I_{2}, d) = 2 \sqrt{2} > R_{2}$ và $I_{1}, I_{2}$ nằm cùng phía đối với d.

Gọi $({C^{'}}_{2})$ là đường tròn đối xứng với với $(C_{2})$ qua d, suy ra $({C^{'}}_{2}) : {(x - 8)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ và gọi N' là điểm đối xứng với N qua d. $({C^{'}}_{2})$ có tâm ${I^{'}}_{2} (8; 2)$ , bán kính ${R^{'}}_{2} = 1$ .

Ta có:

$A M + M I_{1} \geq A I_{1} \Rightarrow A M \geq A I_{1} - M I_{1} = A I_{1} - 2$ .

$A N + N I_{2} = A N^{'} + N^{'} {I^{'}}_{2} \geq A {I^{'}}_{2} \Rightarrow A N^{'} \geq A {I^{'}}_{2} - N^{'} {I^{'}}_{2} = A {I^{'}}_{2} - 1$ .

Suy ra $P = A M + A N = A M + A N^{'} \geq A I_{1} + A {I^{'}}_{2} - 3 \geq I_{1} {I^{'}}_{2} - 3 = \sqrt{85} - 3$ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 điểm $I_{1}, A, {I^{'}}_{2}$ thẳng hàng.

Vậy $\min P = \sqrt{85} - 3$ .

Câu 50:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;0;0); B(3;4;-4). Xét khối trụ (T) có trục là đường thẳng AB và có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi (T) có thể tích lớn nhất, hai đáy của (T) nằm trên hai mặt phẳng song song lần lượt có phương trình là $x + b y + c z + d_{1} = 0$ và $x + b y + c z + d_{2} = 0$ . Khi đó giá trị của biểu thức $b + c + d_{1} + d_{2}$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. (0;21)

B. (-11;0)

C. (-29;-18)

D. (-20;-11)

Xem đáp án

Chọn C

Mặt cầu đường kính AB có tâm I(1;2;-2) và bán kính bằng 3.

Gọi $x, (0 < x < 3)$ là bán kính đáy của (T), khi đó (T) có chiều cao bằng $h = 2 \sqrt{9 - x^{2}}$ , do đó thể tích của (T) bằng

$V = 2 π x^{2} \sqrt{9 - x^{2}} = 4 π . \sqrt{\frac{x^{2}}{2} . \frac{x^{2}}{2} . (9 - x^{2})} \leq 4 π \sqrt{{(\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + (9 - x^{2})}{3})}^{3}} = 12 π \sqrt{3}$ .

(T) có thể tích lớn nhất bằng $V_{\max} = 12 π \sqrt{3}$ khi $x = \sqrt{6}$ .

Khi đó gọi (P) là mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (T), (P) có phương trình tổng quát dạng $x + 2 y - 2 z + d = 0$ . Khoảng cách từ tâm I(2;2;-2) đến (P) bằng $\sqrt{3}$ nên

$\frac{|2 + 2.2 - 2. (- 2) + d|}{3} = \sqrt{3} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} d = 3 \sqrt{3} - 10 \\ d = - 3 \sqrt{3} - 10 \end{array}$ .

Vậy $b + c + d_{1} + d_{2} = 2 - 2 + 3 \sqrt{3} - 10 - 3 \sqrt{3} - 10 = - 20$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 22)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan