50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 27)

Câu 1:

Cho tập hợp $S = \{1; 3; 5; 7; 9\}$ . Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau được lập từ các phần tử của tập S?

A. 3!

$B . 3^{5}$

$C . C_{5}^{3}$

$D . A_{5}^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Từ yêu cầu của bài toán, ta chọn 3 chữ số từ 5 phần tử của tập S rồi sắp xếp lại thứ tự là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử

Câu 2:

Cho một dãy cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = \frac{1}{2}$ và $u_{2} = 2$ . Giá trị của $u_{4}$ bằng

A. 32

B. 6

$C . \frac{1}{32}$

$D . \frac{25}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Dãy cấp số nhân đã cho có công bội $q = \frac{u_{2}}{u_{1}} = 4$

Suy ra số hạng Tiệm cận đứng $u_{4} = u_{1} . q^{3} = \frac{1}{2} .64 = 32.$

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;2)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0)

D. Hàm số đồng biến điệu trên (0;2)

Xem đáp án

Chọn B

Lý thuyết

Câu 4:

Hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tìm khẳng định đúng?

A. Hàm số có ba điểm cực trị

B. Hàm số có giá trị cực đại là x=-1

C. Hàm số đạt cực đại tại x=0.

D. Hàm số có điểm cực tiểu là x=1

Xem đáp án

Chọn A

Lý thuyết

Câu 5:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $ℝ$ và có f'(x) bảng xét dấu của như sau:

Hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

Lý thuyết

Câu 6:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ . Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là

A. Đường thẳng x=1

B. Đường thẳng x=2

C. Đường thẳng y=2

D. Đường thẳng y=1

Xem đáp án

Chọn A

Lý thuyết

Câu 7:

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số nào dưới đây có đồ thị là hình vẽ trên?

$A . y = x^{4} - 4 x^{2} + 2$

$B . y = x^{3} - 3 x + 2$

$C . y = - x^{4} + 4 x^{2} + 2$

$D . y = - x^{3} + 3 x + 2$

Xem đáp án

Chọn D

Từ đồ thị ta có hàm số đã cho phải là hàm số bậc 3, vậy hai phương án A, C bị loại.

Mặt khác $\lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$ , suy ra hệ số bậc ba âm. Vậy chọn phương án D.

Câu 8:

Đồ thị của hàm số $y = (x^{2} - 2) (x^{2} + 2)$ cắt trục tung tại điểm có tọa độ là

A. (0;4)

B. (0;-4)

C. (4;0)

D. (-4;0)

Xem đáp án

Chọn B

Với x=0, suy ra $y = (0^{2} - 2) (0^{2} + 2) = - 4$ . Vậy tọa độ giao điểm là (0;-4).

Câu 9:

Với a là số thực dương tùy ý, $\ln (e a^{π})$ bằng

$A . 1 + a \ln π$

$B . 1 - π \ln a$

$C . 1 + π \ln a$

$D . 1 + \ln π + \ln a$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\ln (e a^{π}) = \ln e + \ln a^{π} = 1 + π \ln a$

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số $y = π^{x}$ là

$A . x π^{x - 1}$

$B . \frac{π^{x}}{\ln π}$

$C . π^{x}$

$D . π^{x} lnπ$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $y^{'} = π^{x} \ln π$

Câu 11:

Với a là số thực dương tùy ý, $\sqrt[3]{a^{2}}$ bằng

$A . a^{6}$

$B . a^{\frac{1}{6}}$

$C . a^{\frac{3}{2}}$

$D . a^{\frac{2}{3}}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\sqrt[3]{a^{2}} = a^{\frac{2}{3}}$

Câu 12:

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (2 x - 2) = 1$ là

A. x=2

B. x=1

C. x=-2

D. x=3

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\log_{2} (2 x - 2) = 1 \Leftrightarrow 2 x - 2 = 2 \Leftrightarrow 2 x = 4 \Leftrightarrow x = 2$ .

Câu 13:

Nghiệm của phương trình $1 + \log_{2} (x + 1) = 3$ là

A. x=3

B. x=1

C. x=7

D. x=4

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $1 + \log_{2} (x + 1) = 3 \Leftrightarrow \log_{2} (x + 1) = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{5} + 4}{x^{2}}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

$A . \int f (x) d x = \frac{x^{4}}{4} + \frac{4}{x} + C$

$B . \int f (x) d x = x^{3} - \frac{4}{x} + C$

$C . \int f (x) d x = \frac{x^{4}}{4} - \frac{1}{x} + C$

$D . \int f (x) d x = \frac{x^{4}}{4} - \frac{4}{x} + C$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $f (x) = \frac{x^{5} + 4}{x^{2}} = x^{3} + \frac{4}{x^{2}}$ suy ra $\int f (x) d x = \int (x^{3} + \frac{4}{x^{2}}) d x = \frac{x^{4}}{4} - \frac{4}{x} + C$ .

Câu 15:

Cho hàm số f(x)=sin3x+1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

$A . \int f (x) d x = \frac{1}{3} \cos 3 x + x + C$

$B . \int f (x) d x = - \frac{1}{3} \cos 3 x + x + C$

$C . \int f (x) d x = 3 \cos 3 x + x + C$

$D . \int f (x) d x = - 3 \cos 3 x + x + C$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\int f (x) d x = \int (\sin 3 x + 1) d x = - \frac{1}{3} \cos 3 x + x + C$

Câu 16:

Nếu $\int_{- 1}^{2} f (x) d x = 3$ và $\int_{- 1}^{3} f (x) d x = - 2$ thì $\int_{2}^{3} f (x) d x$ bằng

A. 1

B. 5

C. -5

D. -1

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

$\int_{2}^{3} f (x) d x = \int_{2}^{- 1} f (x) d x + \int_{- 1}^{3} f (x) d x = - 3 + (- 2) = - 5$

Câu 17:

Tích phân $\int_{0}^{\ln 2} e^{x} d x$ bằng

$A . e^{2}$

B. 1

C. 2

$D . e^{2} - 1$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

$\int_{0}^{\ln 2} e^{x} d x = {e^{x}|}_{0}^{\ln 2} = 2 - 1 = 1$ .

Câu 18:

Tìm số phức $z = z_{1} + z_{2}$ biết $z_{1} = 1 + 3 i$ , $z_{2} = - 2 - 2 i$ .

A. z=-1+i

B. z=-1-i

C. z=1+i

D. z=1-i

Xem đáp án

Chọn A

$z = z_{1} + z_{2} = (1 + 3 i) + (- 2 - 2 i) = - 1 + i$ .

Câu 19:

Tìm số phức liên hợp của số phức z=i(3i+1).

$A . \bar{z} = 3 + i$

$B . \bar{z} = - 3 - i$

$C . \bar{z} = 3 - i$

$D . \bar{z} = - 3 + i$

Xem đáp án

Chọn B

$z = i (3 i + 1) = - 3 + i$ nên suy ra $\bar{z} = - 3 - i$ .

Câu 20:

Cho số phức z=-2+i. Điểm nào dưới đây là biểu diễn của số phức w=iz trên mặt phẳng toạ độ?

A. M(-1;-2)

B. P(-2;1)

C. N(2;1)

D. Q(1;2)

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $w = i z = i (- 2 + i) = - 1 - 2 i$ .

Vậy điểm biểu diễn số phức w=iz là điểm M(-1;-2)

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, $S A = A B = a$ , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

$A . \frac{a^{3}}{3}$

$B . \frac{a^{3}}{6}$

$C . \frac{a^{3}}{2}$

$D . \frac{3 a^{3}}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích của khối chóp S.ABC: $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{a^{3}}{6}$ .

Câu 22:

Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

$A . \frac{2}{3} a^{3}$

$B . \frac{4}{3} a^{3}$

$C . 2 a^{3}$

$D . 4 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $V = S . h = a^{2} .2 a = 2 a^{3}$ .

Câu 23:

Tính thể tích V của khối nón có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 6.

$A . V = 108 π$

$B . V = 54 π$

$C . V = 36 π$

$D . V = 18 π$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ $= \frac{1}{3} π {.3}^{2} .6 = 18 π$ .

Câu 24:

Tính diện tích xung quanh S của hình trụ có bán kính bằng 3 và chiều cao bằng 4.

$A . S = 36 π$

$B . S = 24 π$

$C . S = 12 π$

$D . S = 42 π$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $S_{x q} = 2 π r h = 2 π .3.4 = 24 π$

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với $A (1; 2; 1); B (3; 1; - 2); C (2; 0; 4)$ . Trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ là

A. (6;3;3)

B. (2;-1;1)

C. (-2;1;-1)

D. (2;1;1)

Xem đáp án

Chọn D

G là trọng tâm tam giác ABC thì $x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = 2; y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = 1$

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 2)}^{2} = 16$ có đường kính bằng

A. 8

B. 4

C. 16

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Bán kính $r = \sqrt{16} = 4$ nên đường kính là 8

Câu 27:

Trong không gian , mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm M(-2;1;1)?

A. x+y-z=0

$B . x - 2 y + z + 3 = 0$

C. x+y+x+1=0

$D . x - y - z + 3 = 0$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2;-1) và B(-1;0;0)?

$A . \vec{u_{1}} (2; 2; 1)$

$B . \vec{u_{2}} (- 2; 2; 1)$

$C . \vec{u_{3}} (- 2; - 2; - 1)$

$D . \vec{u_{4}} (2; 2; - 1)$

Xem đáp án

Chọn D

Đường thẳng đi qua hai điểm A,B nên có một vectơ chỉ phương là $\vec{B A} (2; 2; - 1)$

Câu 29:

Chọn ngẫu nhiên một số trong số 21 số nguyên không âm đầu tiên. Xác suất để chọn được số lẻ bằng

$A . \frac{10}{21}$

$B . \frac{11}{21}$

$C . \frac{9}{21}$

$D . \frac{4}{7}$

Xem đáp án

Chọn A

Tập hợp 21 số nguyên không âm đầu tiên là $\{0; 1; 2; 3; ....; 19; 20\}$ .

Không gian mẫu có 21 phần tử. Trong 21 số nguyên không âm đầu tiên có 10 số lẻ nên tương ứng có 10 kết quả thuận lợi. Vậy xác suất là $\frac{10}{21}$ .

Câu 30:

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên R?

A. y=tanx

$B . y = x^{3} - x^{2} + x + 1$

$C . y = x^{4} + 1$

$D . y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

Xem đáp án

Chọn B

Hàm số $y = x^{3} - x^{2} + x + 1$ có $y' = 3 x^{2} - 2 x + 1 > 0, \forall x \in ℝ$ nên đồng biến trên R.

Câu 31:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ trên đoạn [-1;5]. Tổng M+m bằng

A. 270

B. 8

C. 280

D. 260

Xem đáp án

Chọn D

+) Hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ xác định và liên tục trên đoạn [-1;5].

+) Ta có $y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in (- 1; 5) \\ x = - 2 \notin (- 1; 5) \end{array}$ .

+) f(-1)=14; f(1)=-6; f(5)=266.

Vậy $m = \underset{[- 1; 5]}{m i n} f (x) = f (1) = - 6$ , $M = \max_{[- 1; 5]} f (x) = f (5) = 266$

$\Rightarrow M + m = 260$

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{2}{3})}^{4 x} \leq {(\frac{2}{3})}^{x - 2}$ ?

$A . x \geq - \frac{2}{3}$

$B . x \leq \frac{2}{3}$

$C . x \geq \frac{2}{5}$

$D . x \leq \frac{2}{5}$

Xem đáp án

Chọn A

${(\frac{2}{3})}^{4 x} \leq {(\frac{2}{3})}^{x - 2} \Leftrightarrow 4 x \geq x - 2 \Leftrightarrow x \geq - \frac{2}{3} .$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \geq - \frac{2}{3}$

Câu 33:

Nếu $\int_{1}^{2} [2 f (x) + 1] d x = 5$ thì $\int_{1}^{2} f (x) d x$ bằng ?

A. 2

B. -2

C. 3

D. -3

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\int_{1}^{2} [2 f (x) + 1] d x = 2 \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{1}^{2} d x = 2 \int_{1}^{2} f (x) d x + 1 = 5 \Rightarrow \int_{1}^{2} f (x) d x = 2$

Câu 34:

Cho số phức z=3-4i. Khi đó mô đun của số phức (1-i)z bằng ?

$A . 5 \sqrt{2}$

B. 10

C. 20

$D . 2 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $|(1 - i) z| = |1 - i| |z| = \sqrt{2} .5$

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và $A B = a \sqrt{2}$ . Biết $S A ⊥ (A B C)$ và SA=a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

$A . 30 °$

$B . 45 °$

$C . 60 °$

$D . 90 °$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi M là trung điểm BC.

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên $A M ⊥ B C$ .

Do $\begin{array}{l} S A ⊥ B C \\ A M ⊥ B C \end{array}\} \Rightarrow (S A M) ⊥ B C$ .

Ta có $\{\begin{cases} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ (S A M) ⊥ B C \\ (S A M) \cap (S B C) = S M \\ (S A M) \cap (A B C) = A M \end{cases} \Rightarrow (\hat{(S B C), (A B C)}) = (\hat{S M, A M})$ .

Suy ra góc giữa (SBC) và (ABC) bằng góc $\hat{S M A}$ .

Xét tam giác ABC vuông cân tại A và $A B = a \sqrt{2} \Rightarrow B C = 2 a; A M = a$

Xét tam giác SMA vuông tại A. Ta có $\tan \hat{S M A} = \frac{S A}{A M} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \hat{S M A} = 45 °$ .

Câu 36:

Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa một mặt bên và mặt đáy bằng $60^{°}$ . Tính độ dài đường cao SH

$A . S H = \frac{a \sqrt{2}}{3}$

$B . S H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$C . S H = \frac{a}{2}$

$D . S H = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi M là trung điểm của BC.

Do ABC là tam giác đều nên $A M ⊥ B C$ .

Vì $\{\begin{array}{l} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ S M \subset (S B C) : S M ⊥ B C \\ A M \subset (A B C) : A M ⊥ B C \end{array} \Rightarrow \hat{S M A} = 60^{°}$ .

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC. Vì S.ABC là hình chóp đều nên $S H ⊥ (A B C)$ .

Do ABC là tam giác đều $A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow H M = \frac{1}{3} A M = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Trong tam giác vuông SHM có $S H = H M . \tan 60^{°} = \frac{a \sqrt{3}}{6} . \sqrt{3} = \frac{a}{2}$

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, A(-3;4;2), B(-5;6;2), C(-10;17,-7). Viết phương trình mặt cầu tâm C, bán kính AB

$A . {(x + 10)}^{2} + {(y - 17)}^{2} + {(z - 7)}^{2} = 8$

$B . {(x + 10)}^{2} + {(y - 17)}^{2} + {(z + 7)}^{2} = 8$

$C . {(x - 10)}^{2} + {(y - 17)}^{2} + {(z + 7)}^{2} = 8$

$D . {(x + 10)}^{2} + {(y + 17)}^{2} + {(z + 7)}^{2} = 8$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\vec{A B} = (- 2; 2; 0) \Rightarrow A B = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$ .

Phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB: ${(x + 10)}^{2} + {(y - 17)}^{2} + {(z + 7)}^{2} = 8$ .

Câu 38:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho M(1;-2;1), N(0;1;3). Phương trình đường thẳng qua hai điểm M, N là

$A . \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 1}{2}$

$B . \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 2}{1}$

$C . \frac{x}{- 1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 3}{2}$

$D . \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 3}{1}$

Xem đáp án

Chọn C

Đường thẳng MN đi qua N(1;0;3) và có vectơ chỉ phương là $\vec{M N} = (- 1; 3; 2)$ có phương trình là $\frac{x}{- 1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 3}{2}$ .

Câu 39:

Cho hàm số f(x) đồ thị của hàm số y=f'(x) là đường cong như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = f (2 x + 1) - 4 x - 3$ trên đoạn $[- \frac{3}{2}; 1]$ bằng

A. f(0)

B. f(-1)+1

C. f(2)-5

D. f(1)-3

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $t = 2 x + 1 \Rightarrow t \in [- 2; 3]$ , xét hàm số $h (t) = f (t) - 2 t - 1$ trên [-2;3].

Ta có $h^{/} (x) = f^{/} (x) - 2$ , $h^{/} (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = 1 \\ t = 2 \end{array}$ .

$h^{/} (x) > 0 \Leftrightarrow f^{/} (x) > 2 \Leftrightarrow x \in (1; 3)$

$h^{/} (x) < 0 \Leftrightarrow f^{/} (x) < 2 \Leftrightarrow x \in (- 2; 1)$

Ta có bẳng biến thiên sau

Ta có $\min_{[-; 3]} h (t) = h (1) = f (1) - 3$ .

Câu 40:

Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y luôn có ít hơn 2021 số nguyên x thoả mãn $[\log_{2} (x + 3) - 1] . (\log_{2} x - y) < 0$

A. 20

B. 9

C. 10

D. 11

Xem đáp án

Chọn C

Điều kiện: x>0

Với điều kiện trên: $[\log_{2} (x + 3) - 1] . (\log_{2} x - y) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} \log_{2} (x + 3) - 1 < 0 \\ \log_{2} x - y > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} \log_{2} (x + 3) - 1 > 0 \\ \log_{2} x - y < 0 \end{cases} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} \log_{2} (x + 3) < 1 \\ \log_{2} x > y \end{cases} \\ \{\begin{cases} \log_{2} (x + 3) > 1 \\ \log_{2} x < y \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + 3 < 2 \\ x > 2^{y} \end{cases} \\ \{\begin{cases} x + 3 > 2 \\ x < 2^{y} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x < - 1 \\ x > 2^{y} \end{cases} \\ \{\begin{cases} x > - 1 \\ x < 2^{y} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{y} < x < - 1 (s a i) \\ - 1 < x < 2^{y} \end{array} \Leftrightarrow - 1 < x < 2^{y}$

So điều kiện ta được: $0 < x < 2^{y}$

Ứng với mỗi y luôn có ít hơn 2021 số nguyên x $\Leftrightarrow 2^{y} \leq 2021 \Leftrightarrow y \leq \log_{2} 2021$

Vì y là số nguyên dương nên $y \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\}$

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - m (x \geq 0) \\ 2 \cos x - 3 (x < 0) \end{cases}$ liên tục trên $ℝ$ . Giá trị $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f |2 \cos x - 1| \sin x d x$

$A . \frac{- 2}{3}$

B. 0

$C . \frac{1}{3}$

$D . \frac{- 1}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Hàm f(x) liên tục trên $ℝ$ suy ra

$\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) \Rightarrow \lim_{x \to 0^{+}} (x^{2} - m) = \lim_{x \to 0^{-}} (2 \cos x - 3) \Rightarrow m = 1$

Xét bất phương trình 2cosx-1>0 với $0 < x < \frac{π}{2}$ .

$\Leftrightarrow 2 \cos x > 1 \Leftrightarrow \cos x > \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 < x < \frac{π}{3}$

Vậy 2cosx-1>0 khi $0 < x < \frac{π}{3}$ ,

2cosx-1<0 khi $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ .

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f |2 \cos x - 1| \sin x d x = \int_{0}^{\frac{π}{3}} f |2 \cos x - 1| \sin x d x + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} f |2 \cos x - 1| \sin x d x$

$I = \int_{0}^{\frac{π}{3}} f (2 \cos x - 1) \sin x d x + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} f (1 - 2 \cos x) \sin x d x$

Xét $I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{3}} f (2 \cos x - 1) \sin x d x$

Xét t=2cosx-1 $\Rightarrow d t = - 2 \sin x d x \Rightarrow \frac{- d t}{2} = \sin x d x$

Suy ra $I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{3}} f (2 \cos x - 1) \sin x d x = \int_{1}^{0} f (t) \frac{-d t}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (x) d x$

$I_{1} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x^{2} -1) d x = {\frac{x^{3}}{6} - \frac{x}{2}|}_{0}^{1} = \frac{- 1}{3}$

Xét $I_{2} = \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} f (1 - 2 \cos x) \sin x d x$

Xét t=1-2cosx $\Rightarrow d t = 2 \sin x d x \Rightarrow \frac{d t}{2} = \sin x d x$

Suy ra $I_{2} = \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} f (2 \cos x - 1) \sin x d x = \int_{0}^{1} f (t) \frac{d t}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f (x) d x$

$I_{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x^{2} -1) d x = {\frac{x^{3}}{6} - \frac{x}{2}|}_{0}^{1} = \frac{- 1}{3}$

Suy ra $I = I_{1} + I_{2} = \frac{- 2}{3}$ .

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức z thỏa $|z - 2 - i| = |z - 3 i|$ và $|z - 2 - 3 i| \leq 2$ ?

A. Vô số

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

Gọi điểm M(x;y) là điểm trên mp tọa độ Oxy biểu diễn số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$

$|z - 2 - i| = |z - 3 i|$ : Tập hợp M(x;y) là trung trực của đoạn thẳng AB với $A (2; 1), B (0; 3)$

$|z - 2 - 3 i| \leq 2$ : Tập hợp M(x;y) là hình tròn (kể cả biên) có bán kính r=2 và tâm I(2;3)

Do đó có vô số só phức thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AD, cạnh bên SB hợp với đáy một góc $60 °$ . Tính theo thể tích của khối chóp S.ABCD.

$A . V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{2}$

$B . V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6}$

$C . V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{4}$

$D . V = \frac{a^{3} \sqrt{5}}{6}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi H là trung điểm của AD $\Rightarrow S H ⊥ (A B C D) \Rightarrow B H$ là hình chiếu vuông góc của SB trên (ABCD).

$\Rightarrow \hat{S B H} = \hat{(S B, (A B C D))} = 60 °$ .

$Δ A B H$ vuông tại A $\Rightarrow B H = \sqrt{A B^{2} + A H^{2}} = \sqrt{a^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

$Δ S B H$ vuông tại H $\Rightarrow S H = H B . \tan 60 ° = \frac{a \sqrt{15}}{2} .$

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6}$ .

Câu 44:

Ông Bảo làm mái vòm ở phía trước ngôi nhà của mình bằng vật liệu tôn. Mái vòm đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bên dưới. Biết giá tiền của 1 $m^{2}$ tôn là 300.000 đồng. Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bảo mua tôn là bao nhiêu ?

A. 18.850.000 đồng

B. 5.441.000 đồng

C. 9.425.000 đồng

D. 10.883.000 đồng

Xem đáp án

Chọn D

Gọi r là bán kính đáy của hình trụ. Khi đó: $\frac{6}{\sin 120^{0}} = 2 r \Leftrightarrow r = 2 \sqrt{3} .$

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có góc ở tâm của cung này bằng $120^{0}$ .

Và độ dài cung này bằng $\frac{1}{3}$ chu vi đường tròn đáy.

Suy ra diện tích của mái vòm bằng $\frac{1}{3} S_{x q}$ ,

(với $S_{x q}$ là diện tích xung quanh của hình trụ).

Do đó, giá tiền của mái vòm là

$\frac{1}{3} S_{x q} .300.000 = \frac{1}{3} . (2 π r l) .300.000 = \frac{1}{3} . (2 π .2 \sqrt{3} .5) .300.000 ≃ 10882796, 19.$

Câu 45:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ và $d_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 2}{- 2}$ . Gọi $∆$ là đường thẳng song song với $(P) : x + y + z - 7 = 0$ và cắt $d_{1}; d_{2}$ lần lượt tại A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình đường thẳng $∆$ là:

$A . \{\begin{cases} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = \frac{- 9}{2} + t \end{cases}$

$B . \{\begin{cases} x = 12 - t \\ y = 5 \\ z = - 9 + t \end{cases}$

$C . \{\begin{cases} x = 6 \\ y = \frac{5}{2} - t \\ z = \frac{- 9}{2} + t \end{cases}$

$D . \{\begin{cases} x = 6 - 2 t \\ y = \frac{5}{2} + t \\ z = \frac{- 9}{2} + t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn A

$A \in d_{1} \Rightarrow A (1 + 2 a; a; - 2 - a), B \in d_{2} \Rightarrow B (1 + b; - 2 + 3 b; 2 - 2 b)$ .

$\vec{A B} (b - 2 a; 3 b - a - 2; - 2 b + a + 4)$ .

(P) có vtpt $\vec{n} (1; 1; 1)$ .

$\begin{array}{l} Δ / / (P) \Rightarrow \vec{A B} . \vec{n} = 0 \Leftrightarrow b = a - 2 \Rightarrow \vec{A B} (- a - 1; 2 a - 5; - a + 6) \\ \Rightarrow A B^{2} = 6 a^{2} - 30 a + 62 \geq 6 {(a - \frac{5}{2})}^{2} + \frac{49}{2} \geq \frac{49}{2} \end{array}$

$A B_{\min}$ khi $a = \frac{5}{2} \Rightarrow A (6; \frac{5}{2}; \frac{- 9}{2}), \vec{A B} = \frac{7}{2} (- 1; 0; 1) \Rightarrow Δ : \{\begin{cases} x = 6 - t \\ y = \frac{5}{2} \\ z = \frac{- 9}{2} + t . \end{cases}$

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ sau

Biết f(0)=0. Hỏi hàm số $g (x) = |\frac{1}{3} f (x^{3}) - 2 x|$ có bao nhiêu điểm cực trị

A. 1

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $h (x) = \frac{1}{3} f (x^{3}) - 2 x \Rightarrow h^{'} (x) = x^{2} f^{'} (x^{3}) - 2$

Ta có $h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x^{3}) = \frac{2}{x^{2}}, (x \neq 0), (1)$

Đặt $t = x^{3} \Rightarrow x = \sqrt[3]{t}$

Từ (1) ta có: $f^{'} (t) = \frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}}, (2)$

Xét $m (t) = \frac{2}{\sqrt[3]{t^{2}}} \Rightarrow m^{'} (t) = - \frac{4}{3} . \frac{1}{\sqrt[3]{t^{5}}}$

Lúc này ta có hình vẽ 2 đồ thị như sau

Suy ra pt (2) có 1 nghiệm $t = t_{0} > 0 \Rightarrow$ pt (1) có nghiệm $x = \sqrt[3]{t_{0}} = x_{0} > 0$

Bảng biến thiên của $h (x), g (x) = |h (x)|$ như sau

Vậy hàm số y=g(x) có 3 điểm cực trị.

Câu 47:

Có bao nhiêu số tự nhiên a sao cho tồn tại số thực x thoả $2021^{x^{3} - a^{3 \log (x + 1)}} (x^{3} + 2020) = a^{3 \log (x + 1)} + 2020$

A. 9

B. 8

C. 5

D. 12

Xem đáp án

Chọn A

Xét phương trình: $2021^{x^{3} - a^{3 \log (x + 1)}} = \frac{a^{3 \log (x + 1)} + 2020}{x^{3} + 2020}$ , điều kiện: x>-1,

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x^{3} - a^{3 \log (x + 1)} = \log_{2021} (a^{3 \log (x + 1)} + 2020) - \log_{2021} (x^{3} + 2020) \\ \Leftrightarrow x^{3} + \log_{2021} (x^{3} + 2020) = a^{3 \log (x + 1)} + \log_{2021} (a^{3 \log (x + 1)} + 2020) (*) \end{array}$

Xét hàm số $f (t) = t^{3} + \log_{2021} (t^{3} + 2020)$ , trên $(0; + \infty)$

$f' (t) = 3 t^{2} + \frac{3 t^{2}}{(t^{3} + 2020) \ln 2021} > 0, \forall t > 0$ nên hàm số f(t) đồng biến trên $(0; + \infty)$

Do đó (*) trở thành: $x = a^{\log (x + 1)} \Leftrightarrow x = {(x + 1)}^{\log a} \Leftrightarrow \log x = \log a . \log (x + 1)$

$\Leftrightarrow \log a = \frac{\log x}{\log (x + 1)} < 1, \forall x > - 1$ nên $a < 10 \Rightarrow a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

Câu 48:

Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Biết hàm số y=f(x) đạt cực trị tại các điểm $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ thỏa mãn $x_{3} = x_{1} + 2$ , $f (x_{1}) + f (x_{3}) + \frac{2}{3} f (x_{2}) = 0$ và (C) nhận đường thẳng $d : x = x_{2}$ làm trục đối xứng. Gọi $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ là diện tích của các miền hình phẳng được đánh dấu như hình bên. Tỉ số $\frac{S_{1} + S_{2}}{S_{3} + S_{4}}$ gần kết quả nào nhất

A. 0,60

B. 0,55

C. 0,65

D. 0,70

Xem đáp án

Chọn A

Nhận thấy kết quả bài toán không đổi khi ta tịnh tiến đồ thị (C) sang bên trái sao cho đường thẳng $d : x = x_{2}$ trùng với trục tung khi đó (C) là đồ thị của hàm trùng phương y=g(x) có ba điểm cực trị $x_{1} = - 1, x_{2} = 0, x_{3} = 1$ . Suy ra $y = g (x) = k (x^{4} - 2 x^{2}) + c (k > 0)$

Lại có $f (x_{1}) + f (x_{3}) + \frac{2}{3} f (x_{2}) = 0 \Rightarrow - 2 k + 2 c + \frac{2}{3} c = 0 \Leftrightarrow c = \frac{3}{4} k$

Suy ra : $y = g (x) = k (x^{4} - 2 x^{2}) + \frac{3}{4} k$

Khi đó: $S_{1} + S_{2} = k \int_{0}^{1} |x^{4} - 2 x^{2} + \frac{3}{4}| d x = \frac{28 \sqrt{2} - 17}{60} k$ .

Ta lại có : $g (0) - g (1) = k \Rightarrow S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4} = k .1 = k$ .

Suy ra $S_{3} + S_{4} = k - \frac{28 \sqrt{2} - 17}{60} k = \frac{77 - 28 \sqrt{2}}{60} k \Rightarrow \frac{S_{1} + S_{2}}{S_{3} + S_{4}} = \frac{28 \sqrt{2} - 17}{77 - 28 \sqrt{2}} \approx 0, 604$

Câu 49:

Cho hai số phức u,v thỏa mãn $|u| = |v| = 10$ và $|3 u - 4 v| = 50$ . Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức $|4 u + 3 v - 10 i|$

A. 30

B. 40

C. 60

D. 50

Xem đáp án

Chọn C

Ta có ${|z|}^{2} = z . \bar{z}$ . Đặt $T = |3 u - 4 v|$ , $M = |4 u + 3 v|$ .

Khi đó $T^{2} = (3 u - 4 v) (3 \bar{u} - 4 \bar{v}) = 9 {|u|}^{2} + 16 {|v|}^{2} - 12 (u \bar{v} + v \bar{u})$ .

Tương tự ta có $M^{2} = (4 u + 3 v) (4 \bar{u} + 3 \bar{v}) = 16 {|u|}^{2} + 9 {|v|}^{2} + 12 (u \bar{v} + v \bar{u})$ .

Do đó $M^{2} + T^{2} = 25 ({|u|}^{2} + {|v|}^{2}) = 5000$ .

Suy ra $M^{2} = 5000 - T^{2} = 5000 - 50^{2} = 2500$ hay M=50.

Áp dụng $|z + z^{'}| \leq |z| + |z^{'}|$ ta có

$|4 u + 3 v - 10 i| \leq |4 u + 3 v| + |- 10 i| = 50 + 10 = 60$ .

Suy ra $\max |4 u + 3 v - 10 i| = 60$ .

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;3;3) và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(x - 2)}^{2} + {(x - 3)}^{2} = 12$ . Xét khối trụ (T) nội tiếp mặt cầu (S) và có trục đi qua điểm A. Khi khối trụ (T) có thể tích lớn nhất thì hai đường tròn đáy của (T) nằm trên hai mặt phẳng có phương trình dạng $x + a y + b z + c = 0$ và $x + a y + b z + d = 0$ . Giá trị a+b+c+d bằng

$A . - 4 + 4 \sqrt{2}$

B. -5

C. -4

$D . - 5 + 4 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi r,h lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của mặt trụ (T) và R là bán kính mặt cầu (S), ta có : $R = 2 \sqrt{3}$ , $h = 2 \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ .

Thể tích khối trụ (T) là $V = π r^{2} . h = 2 π r^{2} \sqrt{R^{2} - r^{2}} = π \sqrt{2.} \sqrt{r^{2} . r^{2} (2 R^{2} - 2 r^{2})}$

Mà theo Cô-si ta có: $\sqrt[3]{r^{2} . r^{2} (2 R^{2} - 2 r^{2})} \leq \frac{r^{2} + r^{2} + 2 R^{2} - 2 r^{2}}{3} = \frac{2}{3} R^{2}$

Suy ra : $r^{2} . r^{2} (2 R^{2} - 2 r^{2}) \leq \frac{8}{27} R^{6} \Rightarrow V \leq \frac{4 π \sqrt{3}}{9} R^{3}$ . Dấu “=” xẩy ra khi $r = \frac{R \sqrt{6}}{3}$

Vậy khi khối trụ (T) đạt thể tích lớn nhất thì chiều cao $h = 2 \sqrt{R^{2} - {(\frac{R \sqrt{6}}{3})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{3} R}{3} = 4$ ( Có thể dùng phương pháp hàm số).

Mặt khác tâm của khối trụ (T) chính là tâm I(1;2;3) của mặt cầu nên trục của khối trụ (T) nằm trên đường thẳng $I A : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 \end{cases}$ . Vậy hai đáy của khối trụ nằm trên 2 mặt phẳng vuông góc với đường thẳng AI và cách tâm I một khoảng bằng 2. Gọi $M (1 + t; 2 + t; 3) \in I A$ là tâm của đường tròn đáy hình trụ, ta có $I M = 2 \Leftrightarrow \sqrt{t^{2} + t^{2}} = 2 \Leftrightarrow 2 t^{2} = 4$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \sqrt{2} \Rightarrow M (1 + \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2}; 3) \\ t = - \sqrt{2} \Rightarrow M (1 - \sqrt{2}; 2 - \sqrt{2}; 3) \end{array}$

Vậy 2 mặt phẳng chứa 2 đường tròn đáy của mặt trụ có phương trình là:

$(x - 1 - \sqrt{2}) + (y - 2 - \sqrt{2}) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 - 2 \sqrt{2} = 0$

Và $(x - 1 + \sqrt{2}) + (y - 2 + \sqrt{2}) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 + 2 \sqrt{2} = 0$

Vậy: a+b+c+d=-5

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 27)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan