50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 17)

Câu 1:

Lớp 12C có 24 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một đội bóng đá nam của lớp gồm 11 người để thi đấu giải bóng đá do đoàn trường tổ chức?

A. 13!

$B . A_{24}^{11}$

$C . C_{24}^{11}$

D. 11!

Xem đáp án

Mỗi cách chọn ra 1 đội bóng 11 người là một tổ hợp chập 11 của 24. Vậy sẽ có $C_{24}^{11}$ cách chọn ra một đội bóng.

Chọn C

Câu 2:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 5$ và d=-3. Giá trị của $u_{6}$ bằng

A. -10

B. 2

$C . \frac{- 3}{5}$

$D . - \frac{5}{3}$

Xem đáp án

Ta có $u_{1} = 5, d = - 3$ . Do $(u_{n})$ là cấp số cộng nên $u_{6} = u_{1} + 5 d = 5 + 5. (- 3) = - 10$ .

Chọn A

Câu 3:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?

$A . (- \infty; - 1)$

B. (0;1)

C. (-1;0)

$D . (0; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f'(x)<0 trên các khoảng (-1;0) và $(1; + \infty) \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên (-1;0).

Câu 4:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

A. x=0

B. x=-2

C. x=2

D. x=1

Xem đáp án

Chọn C

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu bằng -2 tại x=2.

Câu 5:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R có đạo hàm $f^{'} (x) = (x - 1) (x - x^{2}) (x + 4)$ .

Hàm số f(x) có bao nhiêu cực trị?

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 4 \end{array}$ (nghiệm bội chẵn)

Vậy f'(x) không đổi dấu khi đi qua x=1

Câu 6:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ là đường thẳng

A. x=2

B. x=-2

C. y=2

$D . y = - \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

$\underset{x \to \pm \infty}{l i m} \frac{2 x - 1}{x + 2} = 2$ => tiệm cận ngang y=2.

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

$A . y = x^{2} + x$

$B . y = - x^{3} + 3 x + 1$

$C . y = - x^{4} - x^{2} + 1$

$D . y = x^{3} - 3 x + 1$

Xem đáp án

Chọn D

Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba.

Khi $x \to + \infty$ thì $y \to + \infty \Rightarrow a > 0$ .

Câu 8:

Cho hàm số $y = \frac{x + 2}{2 x - 1}$ có đồ thị như hình 1. Đồ thị hình 2 là đồ thị của hàm số nào sau đây?

$A . y = \frac{|x| + 2}{2 |x| - 1}$

$B . y = |\frac{x + 2}{2 x - 1}|$

$C . y = \frac{x + 2}{|2 x - 1|}$

$D . y = \frac{|x + 2|}{2 x - 1}$

Xem đáp án

Chọn A

Đồ thị hàm chẵn đối xứng nhau qua Oy

Câu 9:

ln(4e) bằng

A. 1+ln2

B. 2ln2

C. 1+2ln2

D. 1-2ln2

Xem đáp án

Ta có $\ln (4 e) = \ln 4 + \ln e = 2 \ln 2 + 1$

Chọn C

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{3} x$ là:

$A . y^{'} = \frac{x}{\ln 3}$

B. y'=xln3

$C . y^{'} = \frac{3}{x}$

$D . y^{'} = \frac{1}{x \ln 3}$

Xem đáp án

Áp dụng công thức $y = \log_{a} x \Rightarrow y' = \frac{1}{x \ln a}$

Chọn D

Câu 11:

Với a là số thực dương tùy ý, $a \sqrt[3]{a}$ bằng

$A . a^{4}$

$B . a^{\frac{4}{3}}$

$C . a^{\frac{3}{4}}$

$D . a^{2}$

Xem đáp án

Ta có $a \sqrt[3]{a} = a . a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3}}$

Chọn B

Câu 12:

Nghiệm của phương trình $3^{4 x + 3} = 27$ là:

A. x=0

B. x=4

C. x=1

D. x=-1

Xem đáp án

Ta có $3^{4 x + 3} = 27 \Leftrightarrow 4 x + 3 = 3 \Leftrightarrow x = 0$

Chọn A

Câu 13:

Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{3} (x^{2} - 8 x - 7) = 2$ là:

A. 4

B. 8

C. -8

D. -4

Xem đáp án

Ta có $\log_{3} (x^{2} - 8 x - 7) = 2 \Leftrightarrow x^{2} - 8 x - 7 = 3^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 8 x - 16 = 0$

Vậy tổng các nghiệm phương trình là 8

Chọn B

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = 4 x^{3} - 3$ . Trong các khẳng đinh sau, khằng định nào đúng?

$A . \int f (x) d x = 3 x^{4} + 3 x + C$

$B . \int f (x) d x = 12 x^{2} + C$

$C . \int f (x) d x = \frac{1}{5} x^{4} - 3 x + C$

$D . \int f (x) d x = x^{4} - 3 x + C$

Xem đáp án

Áp dụng CT: $\int (4 x^{3} - 3) d x = x^{4} - 3 x + C$

Chọn D

Câu 15:

Cho hàm số $f (x) = e^{5 x} .$ Trong các khằng định sau, khẳng định nào đúng?

$A . \int f (x) d x = 5 e^{4 x} + C$

$B . \int f (x) d x = \frac{1}{5} e^{4 x} + C$

$C . \int f (x) d x = \frac{1}{5} e^{5 c} - C$

$D . \int f (x) d x = e^{4 x} \ln 4 - C$

Xem đáp án

Áp dụng CT: $\int e^{5 x} d x = \frac{1}{5} e^{5 x} + C$

Chọn C

Câu 16:

Nếu $\int_{1}^{2} f (x) d x = 15$ thì $\int_{1}^{2} [3 f (x) - 2] d x$ bằng

A. 43

B. 11

C. 49

$D . \frac{17}{2}$

Xem đáp án

Áp dụng CT: $\int_{1}^{2} 3 f (x) d x = 3 \int_{1}^{2} f (x) d x = 3.15 = 45$

Chọn A

Câu 17:

Tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x$ bằng

A. -1

B. 1

$C . \frac{π}{4}$

$D . \frac{π}{2}$

Xem đáp án

Áp dụng CT: $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x = s inx |\begin{matrix} \frac{π}{2} \\ 0 \end{matrix} = 1$

Chọn B

Câu 18:

Mô đun của số phức z=6+8i bằng

A. 3

B. 7

C. 10

D. 4

Xem đáp án

Ta có $z = 6 + 8 i \Rightarrow |z| = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10$

Chọn C

Câu 19:

Cho hai số phức z=5+2i và w=-3i+4. Số phức z+w bằng

A. z=6+2i

B. z=2+2i

C. z=9-i

D. z=6-8i

Xem đáp án

Ta có z=5+2i; w=-3i+4 $\Rightarrow z + w = 5 + 2 i - 3 i + 4 = 9 - i$

Chọn C

Câu 20:

Cho số phức z=4-2i. Trong mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây biểu diễn số phức $\bar{z}$

A. M(4;2)

B. N(-2;4)

C. P(2;-4)

D. Q(4;-2)

Xem đáp án

Ta có z=4-2i $\Rightarrow \bar{z} = 4 + 2 i \Rightarrow M (4; 2)$

Chọn A

Câu 21:

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh $\sqrt{3}$ và chiều cao h=4. Thể tích khối chóp S.ABC bằng

$A . 2 \sqrt{3}$

$B . 4 \sqrt{3}$

$C . 3 \sqrt{3}$

$D . \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Vì tam giác ABC là tam giác đều nên diện tích tam giác ABC bằng: $S_{A B C} = {(\sqrt{3})}^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .

Thể tích của hình chóp $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . h . S_{A B C} = \frac{1}{3} .4. \frac{3 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ .

Câu 22:

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B=6, và chiều cao h=3. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. 3

B. 18

C. 6

D. 9

Xem đáp án

Chọn B

Tta có $V = B . h \Rightarrow V = 6.3 = 18$ .

Câu 23:

Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón là

$A . S_{x q} = πrh$

$B . S_{x q} = πr l$

$C . S_{x q} = 2 πr l$

$D . S_{x q} = \frac{1}{3} {πr}^{2} h$

Xem đáp án

Chọn B

Diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón là $S_{x q} = πr l$

Câu 24:

Cho hình trụ có bán kính đáy r=2 và chiều cao h=4. Diện tích xung quanh của hình trụ này bằng

$A . 16 π .$

$B . 12 π .$

$C . 20 π .$

$D . 24 π .$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có đường sinh của hình trụ là l=h=2

Suy ra diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{x q} = 2 π r l = 2 π .2.4 = 16 π .$

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{O M} = (- 1; 3; 4)$ . Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục Oz là

A. (0;3;4)

B. (0;0;-4)

C. (-1;3;0)

D. (0;0;4)

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\vec{O M} = (- 1; 3; 4) \Rightarrow M (- 1; 3; 4)$ .

Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục Oz là (0;0;4).

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$ có diện tích bằng?

$A . 36 π$

$B . 9 π$

$C . 12 π$

$D . 18 π$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $S = 4 π R^{2} = 4 π .9 = 36 π$ .

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(Q) : 2 x - y + 3 z - 1 = 0$ . Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

A. (2;-1;-3)

B. (2;1;3)

C. (-2;1;3)

D. (2;-1;3)

Xem đáp án

Chọn D

Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(Q)}} = (2; - 1; 3)$ .

Vì (P)//(Q) nên (P) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n_{(P)}} = \vec{n_{(Q)}} = (2; - 1; 3)$ .

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 + 4 t \\ z = 5 - t \end{cases}$ , $(t \in ℝ)$ . Véctơ nào dưới đây là một vecto chỉ phương của đường thẳng d?

$A . \vec{u_{2}} = (2; 3; 5)$

B. $\vec{u_{3}} = (0; 4; - 1)$

$C . \vec{u_{1}} = (2; 4; - 1)$

$D . \vec{u_{4}} = (2; - 4; - 1)$

Xem đáp án

Chọn B

Đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 + 4 t \\ z = 5 - t \end{cases}$ , $(t \in ℝ)$ có $\vec{u_{3}} = (0; 4; - 1)$ là một vecto chỉ phương

Câu 29:

Trong một hộp có 100 thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Chọn ngẫu nhiên 1 thẻ, xác suất để chữ số ghi trên thẻ được chọn là một số chia hết cho 4 là bao nhiêu?

$A . \frac{17}{100}$

$B . \frac{1}{4}$

$C . \frac{2}{5}$

$D . \frac{3}{10}$

Xem đáp án

Từ số 1 đến 100 có tất cả 100:4=25 số chia hết cho 4.

Gọi là biến cố chữ sỗ ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 4

$\Rightarrow$ Ta có: $n (Ω) = 100$ , $n (A) = 25 \Rightarrow P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ .

Chọn B

Câu 30:

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên R?

$A . f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 4 x - 4$

$B . f (x) = - x^{2} - x + 1$

$C . f (x) = - x^{3} + 2 x^{2} - 4 x$

$D . f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$

Xem đáp án

Chọn C

Vì: $f' (x) = - 3 x^{2} + 4 x - 4 < 0 \begin{matrix} \forall x \in R \end{matrix}$

Câu 31:

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 3}$ trên đoạn [0;2]. Tích M.m bằng:

A. 1

B. -2

$C . \frac{1}{3}$

D. -3

Xem đáp án

Chọn A

$y' = \frac{- 4}{{(x - 3)}^{2}} < 0 \begin{matrix} \end{matrix} \forall x \in [0; 2]$

Hàm số liên tục và đơn điệu trên [0;2]

$\underset{[0; 2]}{M ax y} = y (0) = - \frac{1}{3} \begin{matrix} \underset{[0; 2]}{M i n y} = y (2) = - 3 \end{matrix}$

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x^{2} + 3 x} \leq 16$ là

A. [-4;1]

$B . (- \infty; - 3]$

C. [-3;0]

$D . [0; + \infty)$

Xem đáp án

Ta có $2^{x^{2} + 3 x} \leq 16 \Leftrightarrow x^{2} + 3 x \leq \log_{2} 16 \Leftrightarrow x^{2} + 3 x \leq 4 \Leftrightarrow - 4 \leq x \leq 1$

Chọn A

Câu 33:

Nếu $\int_{2}^{9} f (x) d x = 8$ ; $\int_{5}^{13} f (x) d x = 10$ và $\int_{5}^{9} f (x) d x = 6$ .Tính $\int_{2}^{13} f (x) d x$

A. 24

B. 16

C. 18

D. 12

Xem đáp án

Ta có: $\int_{2}^{9} f (x) d x = \int_{2}^{5} f (x) d x + \int_{5}^{9} f (x) d x \Leftrightarrow 8 = \int_{2}^{5} f (x) d x + 6 \Rightarrow \int_{2}^{5} f (x) d x = 2$ .

Lại có: $\int_{2}^{13} f (x) d x = \int_{2}^{5} f (x) d x + \int_{5}^{13} f (x) d x = 2 + 10 = 12$

Chọn D

Câu 34:

Cho hai số phức z=4-2i và w=-3i+4. Phần ảo của số phức $z . \bar{w}$ là:

A. -1

B. -13

C. 7

D. -11

Xem đáp án

Ta có $z . \bar{w} = (4 - 2 i) . (- 3 i - 4) = 7 - 11 i$ . Do vậy phần ảo của số phức cần tìm là -11.

Chọn D

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy, $S A = a \sqrt{3}$ . Tính cosin góc giữa SB và AC

$A . \frac{1}{2}$

$B . \frac{\sqrt{3}}{2}$

$C . \frac{\sqrt{2}}{4}$

$D . \frac{3}{4}$

Xem đáp án

Gọi $α$ là góc giữa SB và AC

Gọi I là trung điểm của SD $\Rightarrow O I$ là đường trung bình của $Δ S B D$

$\Rightarrow O I / / S B$ , $O I = \frac{S B}{2} = \frac{\sqrt{S A^{2} + A B^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{3 a^{2} + a^{2}}}{2} = a$

Vì $O I / / S B \Rightarrow α$ bằng góc giữa OI và AC hay $α = \hat{A O I}$

Ta có: $A I = \frac{S D}{2} = \frac{\sqrt{S A^{2} + A D^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{3 a^{2} + a^{2}}}{2} = a$ $\Rightarrow A I = O I \Rightarrow Δ A O I$ cân tại I.

Gọi H là trung điểm của $O A \Rightarrow I H ⊥ O A$

Và $O H = \frac{O A}{2} = \frac{A C}{4} = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ . Xét $Δ O H I$ , ta có: $\cos \hat{H O I} = \frac{O H}{O I} = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Vậy $\cos α = \cos \hat{H O I} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

Chọn C

Câu 36:

Cho hình lăng trụ đứng ABCA'B'C', biết $△ A B C$ vuông tại A và $A B = a; A C = a \sqrt{3}$ . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') bằng:

A. 2a

$B . \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$C . \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$D . \frac{3 a}{4}$

Xem đáp án

Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC.

Vì lăng trụ ABCA'B'C' là lăng trụ đứng nên

$\begin{array}{l} B B' ⊥ (A B C) \\ \Rightarrow B B' ⊥ A H \subset (A B C) \end{array}$

Do đó ta có

$\begin{array}{l} A H ⊥ B C \\ A H ⊥ B B' \\ B C \cap B B' = B \end{array}\} \Rightarrow A H ⊥ (B C C' B') \Rightarrow d (A; (B C C' B') = A H$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $△ A B C$ ta có

$\begin{array}{l} \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a \sqrt{3})}^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} \\ \Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{3}}{2} \end{array}$

Chọn B

Câu 37:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4). Mặt cầu tâm A tiếp xúc với trục tọa độ x'Ox có bán kính R bằng

A. R=4

B. R=5

C. R=2

D. R=3

Xem đáp án

Chọn B

Gọi A' là hình chiếu của điểm A trên trục tọa độ x'Ox. Ta có: A'(2;0;0) $\Rightarrow \vec{A^{'} A} = (0; 3; 4)$ Mặt cầu tâm A tiếp xúc với trục tọa độ x'Ox có bán kính $R = d (A, O x) = |\vec{A^{'} A}| = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 4^{2}} = 5$ .

Vậy R=5.

Câu 38:

Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;-1;2) và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 5}{1}$ ; $d_{2} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z + 1}{2}$ . Đường thẳng d đi qua M đồng thời vuông góc với cả $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình là

$A . \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 5}{1}$

$B . \frac{x + 1}{4} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 2}{- 5}$

$C . \frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 5}$

$D . \frac{x + 1}{- 4} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{5}$

Xem đáp án

Chọn C

Đường thẳng $d_{1}$ có một véctơ chỉ phương là $\vec{u_{1}} = (2; 3; 1)$ .

Đường thẳng $d_{2}$ có một véctơ chỉ phương là $\vec{u_{2}} = (3; 2; 2)$ .

Do $\{\begin{cases} d ⊥ d_{1} \\ d ⊥ d_{2} \end{cases} \Rightarrow d$ có một véctơ chỉ phương là: $\vec{u} = [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (4; - 1; - 5)$ .

Mặt khác, d đi qua điểm M(1;-1;2).

Vậy phương trình đường thẳng d là: $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{- 5}$ .

Câu 39:

Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của H = $(x + y) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$ . Biết x, y thoả mãn điều kiện $1 \leq x \leq y \leq 2.$ Hỏi giá trị của tích M.m là

A. 8

B. 4

C. 18

D. 28

Xem đáp án

Chọn C

Ta có H = $(x + y) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 2 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ .

Vì thế nếu đặt $t = \frac{x}{y}$ ta có hàm số theo biến số t sau: $H (t) = 2 + t + \frac{1}{t} .$

Từ điều kiện ràng buộc $1 \leq x \leq y \leq 2$ ta suy ra: $\frac{1}{2} \leq \frac{x}{y} \leq 1$ , do đó $t \in [\frac{1}{2}; 1]$ .

Bài toán trở thành: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $H (t) = 2 + t + \frac{1}{t}$ trên $[\frac{1}{2}; 1]$ .

Vì $H^{'} (t) = \frac{1 - t^{2}}{t^{2}} \leq 0 \forall t \in [\frac{1}{2}; 1]$ nên H(t) là hàm số nghịch biến trên đoạn $[\frac{1}{2}; 1]$

Từ đó: GTLN của H(t) trên đoạn $[\frac{1}{2}; 1]$ là $\frac{9}{2}$ khi: t = $\frac{1}{2}$ .

GTNN trên đoạn này của H(t) bằng 4 khi: t = 1.

Đáp số: Max(H) = $\frac{9}{2}$ $\Leftrightarrow$ (x; y) = (1; 2) ; Min(H) = 4 $\Leftrightarrow$ x = y (với $1 \leq x, y \leq 2) .$

Câu 40:

Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 8 số nguyên x thỏa mãn $({5.3}^{x} - 4) (3^{x} - y) < 0 ?$

A. 2187

B. 6561

C. 2186

D. 19683

Xem đáp án

Đặt: $t = 3^{x}, t > 0$

Ta có BPT: $(5 t - 4) (t - y) < 0 \Leftrightarrow \frac{4}{5} < t < y \Leftrightarrow \log_{3} \frac{4}{5} < x < \log_{3} y$ (do $y \geq$ )

Nếu $\log_{3} y > 8$ thì $x \in \{0; 1; 2......; 8\}$ đều là nghiệm nên không thỏa mãn.

Vậy $\log_{3} y \leq 8 \Leftrightarrow y \leq 3^{8} = 6561 \Rightarrow y \in \{1; 2; 3; .......; 6561\}$

Chọn B

Câu 41:

Cho hàm số: $f (x) = \{\begin{matrix} 3 x + 2 \begin{matrix} ; & x \leq 5 \end{matrix} \\ 4 - 6 x^{2} \begin{matrix} ; & x > 5 \end{matrix} \end{matrix}$ . Tích phân $\int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{f (3 \ln x + 4)}{x} d x$ bằng

A. 137

B. -73

C. -128

D. 125

Xem đáp án

Tích phân $\int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{f (3 \ln x + 4)}{x} d x$ . Đặt $3 \ln x + 4 = t \Rightarrow \frac{d x}{x} = \frac{1}{3} d t$

$\begin{array}{l} \int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{f (3 \ln x + 4)}{x} d x = \int_{1}^{7} f (t) . \frac{1}{3} d t = \frac{1}{3} \int_{1}^{5} f (t) d t + \frac{1}{3} \int_{5}^{7} f (t) d t \\ = \frac{1}{3} \int_{1}^{5} (3 t + 2) d t + \frac{1}{3} \int_{5}^{7} (4 - 6 t^{2}) d t = - 128 \end{array}$

Chọn C

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 5 i| = \sqrt{13}$ và $(1 + i) z + (2 - i) \bar{z}$ là một số thuần ảo?

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Gọi $z = x + y i; M (x; y)$ là điểm biểu diễn số phức z

Khi đó $(1 + i) z + (2 - i) \bar{z} = (1 + i) (x + y i) + (2 - i) (x - y i) = 3 x - 2 y - b i$ là một số thuần ảo

$\Rightarrow 3 x - 2 y = 0$

Mặt khác $|z - 1 + 5 i| = \sqrt{13} \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 13$

Như vậy điểm M(x;y) vừa thuộc đường tròn $(C) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 13$ có tâm I(1;-5), bán kính $R = \sqrt{13}$ ; vừa thuộc đường thẳng $Δ : 3 x - 2 y = 0$

Ta có $d (I; Δ) = \frac{|3.1 - 2. (- 5)|}{\sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{13}{\sqrt{13}} = \sqrt{13} = R$

Vậy $Δ$ tiếp xúc với đường tròn (C) nên có một số phức z thỏa mãn đề bài.

Chọn B

Câu 43:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a cạnh bên hợp với đáy một góc 60°. Gọi M là điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:

$A . \frac{7}{3}$

$B . \frac{7}{5}$

$C . \frac{1}{7}$

$D . \frac{6}{5}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi $\{\begin{cases} B M \cap A D = \{P\} \\ M N \cap S D = \{Q\} \end{cases}$

Khi đó ta có: P là trung điểm của AD và Q là trọng tâm $Δ S M C .$

Gọi V là thể tích của khối chóp S.ABCD.

$V_{1}$ là thể tích khối chóp PDQ.BCN và $V_{2}$ là thể tích khối chóp còn lại.

Khi đó: $V = V_{1} + V_{2}$

Ta có: $\frac{V_{M . P D Q}}{V_{M . B C N}} = \frac{M P}{M B} . \frac{M D}{M C} . \frac{M Q}{M N} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{1}{6}$

Lại có: $V_{M . B C N} = V_{M . P D Q} + V_{1} \Rightarrow V_{1} = \frac{5}{6} V_{M . B C N}$

Mà: $\{\begin{cases} S_{A M B C} = S_{A B D C} \\ d (N; (A B C D)) = \frac{1}{2} d (D; (A B C D)) \end{cases} \Rightarrow V_{M . B C N} = V_{N . M B C} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D} = \frac{V}{2}$

$\Rightarrow V_{1} = \frac{5}{12} V \Rightarrow V_{2} = V - V_{1} = \frac{7}{12} V \Rightarrow \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{7}{5} .$

Câu 44:

Một hộp nữ trang (tham khảo hình vẽ). Biết $A B = 16 c m; A D = \frac{8 \sqrt{3}}{3} c m; A E = 22 c m$ . Các tứ giác ABFE và DCGH, AEHD và BFGC, ABCD và EFGH là các hình chữ nhật bằng nhau từng đôi một. CD và GH là một phần của cung tròn có tâm là trung điểm của AB và EF. Tính thể tích của hộp nữ trang gần nhất với giá trị nào sau?

$A . 3591 (c m^{3})$

$B . 3592 (c m^{3})$

$C . 3593 (c m^{3})$

$D . 3590 (c m^{3})$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và FE. Thể tích của hộp nữ trang là hai lần thể tích của của lăng trụ đứng tam giác MBC.NFG và một phần thể tích của hình trụ có tâm hai đáy là M và N và bán kính hình trụ là MC.

$V_{M B C . N F G} = S_{Δ M B C} . B F = \frac{1}{2} .8. \frac{16 \sqrt{3}}{3} .22 = \frac{1408 \sqrt{3}}{3} (c m^{3})$ , $M C = \frac{16 \sqrt{3}}{3} c m .$

Thể tích của hình trụ có chiều cao h=22cm, và bán kính đáy $r = \frac{16 \sqrt{3}}{3} c m$ là $V_{t r u} = π . r^{2} . h = π . \frac{256}{3} .22 = \frac{5632 π}{3} (c m^{3})$

Xét $Δ M C D$ ta có $cos \hat{C M D} = \frac{M D^{2} {+MC}^{2} - C D^{2}}{2MC.MD} . \Leftrightarrow cos \hat{C M D} = \frac{\frac{256}{3} + \frac{256}{3} - 256}{2. \frac{256}{3}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{C M D} = 120^{0} .$

Thể tích của hộp nữ trang là: $V = 2. \frac{1408 \sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3} . \frac{5632 π}{3} \approx 3591, 75 (c m^{3})$ .

Câu 45:

Trong không gian vói hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD thỏa mãn CD=2AB và diện tích bằng 27, đỉnh A(-1;-1;0), phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1}$ . Biết điểm $D (a; b; c)$ và hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm A. Giá trị a+b+c bằng

A. -6

B. -22

C. -2

D. -11

Xem đáp án

Chọn A

Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng CD.

Khi đó $H (2 + 2 t; - 1 + 2 t; 3 + t) \Rightarrow \vec{A H} (3 + 2 t; 2 t; 3 + t)$ .

Đường thẳng CD có vtcp là: $\vec{u} (2; 2; 1)$ . Ta có:

$\vec{A H} ⊥ \vec{u} \Rightarrow \vec{A H} . \vec{u} = 0 \Rightarrow 2 (3 + 2 t) + 2.2 t + 3 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H (0; - 3; 2) \Rightarrow A H = 3$ .

Đường thẳng AB đi qua A và song song với $C D \Rightarrow$ phương trình AB là: $\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}$

$B \in A B \Rightarrow B (- 1 + 2 a; - 1 + 2 a; a) \Rightarrow A B = 3 |a| \Rightarrow C D = 6 |a|$

Theo bài ra ta có: $S_{A B C D} = \frac{A B + C D}{2} . A H \Leftrightarrow \frac{3 |a| + 6 |a|}{2} .3 = 27 \Leftrightarrow |a| = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 2 \\ a = - 2 \end{array}$

Với $a = - 2 \Rightarrow B (- 5; - 5; - 2)$ (ktm).

Với $a = 2 \Rightarrow B (3; 3; 2)$ (tmđk)

Ta có: $\vec{D H} = \frac{1}{2} \vec{A B} \Rightarrow D (- 2; - 5; 1) \Rightarrow a + b + c = - 6$ .

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R. Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $g (x) = f (x^{2}) + \frac{2020 - 1010 x^{2}}{1009}$ có bao nhiêu cực trị?

A. 3

B. 5

C. 9

D. 7

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $g' (x) = 2 x . f' (x^{2}) - \frac{2020}{1009} x$ .

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow 2 x (f' (x^{2}) - \frac{1010}{1009}) = 0$

Ta có $1 < \frac{1010}{1009} < 2$ và dựa vào đồ thị của hàm số y=f'(x), ta suy ra

đồ thị của hàm số g'(x)=0 có nghiệm:

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = a < 0 \\ x^{2} = b > 0 \\ x^{2} = c > 0 \\ x^{2} = d > 0 \end{array}$

Ta có $1 < \frac{1010}{1009} < 2$ và dựa vào đồ thị của hàm số y=f'(x), ta suy ra

đồ thị của hàm số g(x) cắt trục hoành tại 7 cực trị.

Câu 47:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m đề phương trình $\frac{x (m - 1)}{x - 2} = {(\frac{1}{2})}^{\ln (x + 1)} + \frac{1}{2^{x} - 1} + \frac{x + 1}{x - 3}$ có đúng 2 nghiệm dương ?

A. vô số

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Từ bảng biến thiên ta thấy để thỏa mãn yêu cầu của đề bài thì $m \leq 2$ .

Do m nguyên dương nên ta có $m \in \{1; 2\}$

Câu 48:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, (a, b, c \in ℝ, a \neq 0)$ có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y=9x-18 tại điểm có hoành độ dương.Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành

A. S=7

$B . S = \frac{1}{4}$

$C . S = \frac{27}{4}$

$D . S = \frac{25}{4}$

Xem đáp án

Câu 49:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 + i| = 2$ . Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = {|z + 2 - i|}^{2} + {|z - 2 - 3 i|}^{2}$ bằng:

A. 18

$B . 38 + 8 \sqrt{10}$

$C . 18 + 2 \sqrt{10}$

$D . 16 + 2 \sqrt{10}$

Xem đáp án

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 6 z - 13 = 0$ và đường thẳng $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{1} .$ Biết điểm $M (a; b; c); a < 0$ thuộc đường thẳng d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (Với A, B, C là các tiếp điểm) thỏa mãn $\hat{A M B} = 60 °$ , $\hat{B M C} = 90 °$ , $\hat{C M A} = 120 °$ . Tổng a+b+c bằng

$A . \frac{10}{3}$

B. 2

C. -2

D. 1

Xem đáp án

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và có bán kính $R = 3 \sqrt{3}$ .

Vì MA, MB và MC là các tiếp tuyến của (S) nên MA=MB=MC nên MI là trục của tam giác ABC.

Đặt MA=x. Khi đó AB=x. $B C = x \sqrt{2}$ và $C A = x \sqrt{3}$ . Như vậy $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2} \Rightarrow$ tam giác ABC vuông tại B.

Gọi J là trung điểm AC ta có J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Rightarrow J \in M I$ và $B J = \frac{1}{2} A C = \frac{x \sqrt{3}}{2}$ .

Trong tam giác vuông MBI ta có: $\frac{1}{B J^{2}} = \frac{1}{M B^{2}} + \frac{1}{B I^{2}} \Leftrightarrow \frac{4}{3 x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{27} \Leftrightarrow x = 3$ .

$M I^{2} = M B^{2} + I B^{2} = 9 + 27 = 36 \Rightarrow M I = 6$ .

Phương trình tham số của $d : \{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = - 2 + t \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

$M \in d$ nên $M (- 1 + t; - 2 + t; 1 + t)$ với t<1 (vì $a = - 1 + t < 0$ )

$M I = 6 \Leftrightarrow {(2 + t)}^{2} + {(4 - t)}^{2} + {(4 + t)}^{2} = 36 \Leftrightarrow 3 t^{2} - 4 t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = \frac{4}{3} (L) \end{array}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 17)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan