50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 23)

Câu 1:

Cần chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là:

$A . A_{30}^{3}$

$B . 3^{30}$

C. 10

$D . C_{30}^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người là một tổ hợp chập 3 của 30 phần tử, nên có $C_{30}^{3}$ cách.

Câu 2:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ , biết $u_{2} = 3$ và $u_{4} = 7$ . Giá trị của $u_{15}$ bằng

A. 27

B. 31

C. 35

D. 29

Xem đáp án

Chọn D

Từ giả thiết $u_{2} = 3$ và $u_{4} = 7$ suy ra ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} u_{1} + d = 3 \\ u_{1} + 3 d = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ d = 2 \end{cases}$ .

Vậy $u_{15} = u_{1} + 14 d = 29$ .

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng $(- \infty; + \infty),$ có bảng biến thiên như hình sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ , suy ra hàm số cũng đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ .

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. 0

B. -1

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại điểm x=0 và giá trị cực tiểu y=1.

Câu 5:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây

.

Số điểm cực trị của hàm số là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 6:

Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ .

$A . x = \frac{1}{2},$ y=-1

B. x=1; y=-2

C. x=-1. y=2

D. x=-1; $y = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có :

Vì $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x - 1}{x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2$ nên đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vì $\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 x - 1}{x + 1} = - \infty$ , $\lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 x - 1}{x + 1} = + \infty$ nên đường thẳng x=-1 là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số

Câu 7:

Đường cong trong hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào?

$A . y = - x^{3} + 3 x + 1$

$B . y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

$C . y = x^{3} - 3 x + 1$

$D . y = x^{3} - 3 x^{2} - 1$

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào đồ thị ta có: Hàm số có dạng $y = {ax}^{3} + b x^{2} + c x + d$ , $\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = \pm \infty$ nên hệ số a>0, giao của đồ thị hàm số với trục tung tại điểm có tung độ $y_{0} > 0.$

Nên chọn C.

Câu 8:

Đồ thị của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A. 0

B. 1

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: Đồ thị của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$ cắt trục tung tại điểm M(0;-2)

Nên chọn D.

Câu 9:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{2} (8 a)$ bằng

$A . \frac{1}{2} + \log_{2} a .$

$B . 3 - \log_{2} a .$

$C . {(\log_{2} a)}^{3} .$

$D . 3 + \log_{2} a .$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\log_{2} (8 a) = \log_{2} 8 + \log_{2} a = \log_{2} 2^{3} + \log_{2} a .$

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số $y = 2021^{x}$ là

$A . y^{'} = 2021^{x} \ln 2012.$

$B . y^{'} = 2021^{x} .$

$C . y^{'} = \frac{2021^{x}}{\ln 2021} .$

$D . y^{'} = 2021^{x} \ln 2021.$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: ${(a^{x})}^{'} = a^{x} . \ln a \Rightarrow {(2021^{x})}^{'} = 2021^{x} . \ln 2021$

Câu 11:

Với a là số thực dương tùy ý, $\sqrt[3]{a^{6}}$ bằng

$A . a^{6} .$

$B . a^{3} .$

$C . a^{2} .$

$D . a^{\frac{1}{2}} .$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: Với a là số thực dương tùy ý thì $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$ thay n=3; m=6 suy ra $\sqrt[3]{a^{6}} = a^{2} .$

Câu 12:

Nghiệm của phương trình $10^{2 x - 4} = 100$ là

A. x=-3

B. x=-1

C. x=1

D. x=3

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $10^{2 x - 4} = 100 \Leftrightarrow 10^{2 x - 4} = 10^{2} \Leftrightarrow 2 x - 4 = 2 \Leftrightarrow x = 3.$

Câu 13:

Nghiệm của phương trình $\log_{3} (5 x) = 4$

$A . x = \frac{27}{5}$

$B . x = \frac{81}{5}$

C. x=5

D. x=3

Xem đáp án

Chọn B

Điều kiện: x>0.

Ta có: $\log_{3} (5 x) = 4 \Leftrightarrow 5 x = 3^{4} \Leftrightarrow 5 x = 81 \Leftrightarrow x = \frac{81}{5}$ .

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = 2 x^{2} + 1$ . Trong các khẳng đinh sau, khẳng định nào đúng?

$A . \int f (x) d x = \frac{2}{3} x^{3} + x + C$

$B . \int f (x) d x = \frac{2}{3} x^{3} - x + C$

$C . \int f (x) d x = 3 x^{3} + x + C$

$D . \int f (x) d x = \frac{2}{3} x^{3} + C$

Xem đáp án

Chọn A

Áp dụng công thức nguyên hàm có bản: $\int f (x) d x = \int (2 x^{2} + 1) d x = 2 \int x^{2} d x + \int d x = \frac{2}{3} x^{3} + x + C$

Câu 15:

Cho hàm số f(x)=cos5x. Trong các khẳng đinh sau, khẳng định nào đúng?

$A . \int f (x) d x = 5 \sin 5 x + C$

$B . \int f (x) d x = - \frac{1}{5} \sin 5 x + C$

$C . \int f (x) d x = \frac{1}{5} \sin 5 x + C$

$D . \int f (x) d x = - 5 \sin 5 x + C$

Xem đáp án

Chọn C .

Áp dụng công thức nguyên hàm có bản: $\int f (x) d x = \int \cos 5 x d x = \frac{1}{5} \int \cos 5 x d (5 x) = \frac{1}{5} \sin 5 x + C$ .

Câu 16:

Nếu $\int_{1}^{2} f (x) d x = 21$ và $\int_{2}^{3} f (x) d x = - 4$ thì $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng

A. 3

B. -17

C. 25

D. 17

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{3} f (x) d x = 21 - 4 = 17$ .

Câu 17:

Tích phân $\int_{- 1}^{2} x^{4} d x$ bằng

$A . \frac{33}{5}$

$B . \frac{23}{5}$

$C . \frac{17}{5}$

$D . - \frac{33}{5}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\int_{- 1}^{2} x^{4} d x = {\frac{x^{5}}{5}|}_{- 1}^{2} = \frac{33}{5}$

Câu 18:

Số phức liên hợp của số phức z=-2+3i là

$A . \bar{z} = 2 - 3 i$

$B . \bar{z} = 2 + 3 i$

$C . \bar{z} = - 2 - 3 i$

$D . \bar{z} = - 2 + 3 i$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i$ .

Do đó: $z = - 2 + 3 i \Rightarrow \bar{z} = - 2 - 3 i$

Câu 19:

Cho hai số phức z=4+i và w=2-5i. Số phức iz+w bằng

A. -1-i

B. 1-i

C. 1+i

D. -1+i

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $i z + w = i (4 + i) + (2 - 5 i) = 1 - i$

Câu 20:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức 4+7i có tọa độ là

A. (7;-4)

B. (7;4)

C. (4;7)

D. (4;-7)

Xem đáp án

Chọn D.

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức 4+7i có tọa độ là (4;-7).

Câu 21:

Một khối chóp có thể tích bằng 30 và diện tích đáy bằng 6. Chiều cao của khối chóp đó bằng

A. 15

B. 180

C. 5

D. 10

Xem đáp án

Chọn A.

Chiều cao đáy của khối chóp có thể tích bằng 30 và diện tích đáy bằng 6 là $h = \frac{3 V}{B} = 15$ .

Câu 22:

Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước 6; 8; 10 bằng

A. 160

B. 480

C. 48

D. 60

Xem đáp án

Chọn B.

Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước 6; 8; 10 bằng $V = a . b . c = 480$ .

Câu 23:

Một khối nón tròn xoay có độ dài đường sinh l=10cm và bán kính đáy r=8cm. Khi đó thể tích khối nón là:

$A . V = 128 c m^{3}$

$B . V = 92 π c m^{3}$

$C . V = \frac{128}{3} π c m^{3}$

$D . 128 π c m^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Chiều cao h của khối nón là $h = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6 cm$ .

Thể tích khối nón: $V = \frac{1}{3} π {.8}^{2} .6 = 128 π c m^{3}$ .

Câu 24:

Cho một khối trụ có độ dài đường sinh là l=2cm và bán kính đường tròn đáy là r=3cm. Diện tích toàn phần của khối trụ là

$A . 30 π {cm}^{2}$

$B . 15$ $π {cm}^{2}$

$C . 55 π {cm}^{2}$

$D . 10 π {cm}^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

$S_{t p} = 2 S_{Đ á y} {+ S}_{X q} = 2 π r^{2} + 2 π r l = 2 π r (r + l) = 30 π {cm}^{2}$

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;-1;-3), B(-2;2;1). Vectơ $\vec{A B}$ có tọa độ là:

A. (-3;3;4)

B. (-1;1;2)

C. (3;-3;4)

D. (-3;1;4)

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\vec{A B} = (- 2 - 1; 2 - (- 1); 1 - (- 3)) = (- 3; 3; 4)$

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-2;1;1), B(0;-1;1). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

$A . {(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 8$

$B . {(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$

$C . {(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 8$

$D . {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$

Xem đáp án

Chọn A

Mặt cầu đường kính AB nhận trung điểm I của AB là tâm và bán kính $R = \frac{A B}{2}$ .

Ta có I(-1;0;1) và $R = \frac{A B}{2} = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 0^{2}} = \sqrt{8}$ .

Vậy phương trình mặt cầu là ${(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 8$ .

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 3}{2}$ . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?

A. N(2;-1;-3)

B. P(5;-2;-1)

C. Q(-1;0;-5)

D. M(-2;1;3)

Xem đáp án

Chọn D

Thay tọa độ điểm N(2;-1;-3) vào phương trình đường thẳng $d$ ta có $\frac{2 - 2}{3} = \frac{- 1 + 1}{- 1} = \frac{- 3 + 3}{2}$ suy ra $N \in d$ .

Thay tọa độ điểm P(5;-2;-1) vào phương trình đường thẳng d ta có $\frac{5 - 2}{3} = \frac{- 2 + 1}{- 1} = \frac{- 1 + 3}{2}$ suy ra $P \in d$ .

Thay tọa độ điểm Q(-1;0;-5) vào phương trình đường thẳng d ta có $\frac{- 1 - 2}{3} = \frac{0 + 1}{- 1} = \frac{- 5 + 3}{2}$ suy ra $Q \in d$ .

Thay tọa độ điểm M(-2;1;3) vào phương trình đường thẳng d ta có $\frac{- 2 - 2}{3} \neq \frac{1 + 1}{- 1} \neq \frac{3 + 3}{2}$ suy ra $M \notin d$ .

Câu 28:

Cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm M(2;0;-1) và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (4; - 6; 2)$ .

Phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là:

$A . \{\begin{cases} x = 4 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = 2 + t \end{cases}$

$B . \{\begin{cases} x = - 2 + 4 t \\ y = - 6 t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$

$C . \{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = - 1 + t \end{cases}$

$D . \{\begin{cases} x = - 2 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = 1 + t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn C

Đường thẳng $Δ$ đi qua điểm M(2;0;-1) và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (4; - 6; 2)$ hay (2;-3;1). Phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là: $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = - 1 + t \end{cases}$ .

Câu 29:

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để mặt 3 chấm xuất hiện là

$A .$ $\frac{1}{6}$

$B . \frac{5}{6}$

$C . \frac{1}{2}$

$D . \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Không gian mẫu: $Ω = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$

Biến cố xuất hiện: $A = \{3\}$

Suy ra $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{1}{6}$ .

Câu 30:

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-3;3] và có đạo hàm f'(x) trên khoảng (-3;3). Đồ thị của hàm số y=f'(x) như hình vẽ sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-3;-1) và (1;3)

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1;1)

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-2;3)

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-3;-1) và (1;3)

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào đồ thị ta thấy $f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in (- 2; 3)$ và dấu "=" chỉ xảy ra tại x=1 nên hàm số đồng biến trên khoảng (-2;3).

Câu 31:

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = 4 x^{3} - 3 x - 1$ trên đoạn $[\frac{1}{4}; \frac{4}{5}]$ . Tổng M+m bằng

$A . - \frac{59}{16}$

$B . - \frac{6079}{2000}$

$C . - \frac{67}{20}$

$D . - \frac{419}{125}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $f^{'} (x) = 12 x^{2} - 3$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \in [\frac{1}{4}; \frac{4}{5}] \\ x = - \frac{1}{2} \notin [\frac{1}{4}; \frac{4}{5}] \end{array}$ .

$f (\frac{1}{4}) = - \frac{27}{16}$ , $f (\frac{1}{2}) = - 2$ , $f (\frac{4}{5}) = - \frac{169}{125}$ .

Do đó $max_{[\frac{1}{4}; \frac{4}{5}]} f (x) = - \frac{169}{125} = M$ , $min_{[\frac{1}{4}; \frac{4}{5}]} f (x) = - 2 = m$ .

Vậy $M + m = - \frac{419}{125}$ .

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(0, 1)}^{\ln (x - 4)} \geq 1$ là

A. (4;5]

$B . (- \infty; 5]$

$C . [5; + \infty)$

$D . (4; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A

Điều kiện: x>4.

Ta có ${(0, 1)}^{\ln (x - 4)} \geq 1 \Leftrightarrow \ln (x - 4) \leq 0 \Leftrightarrow x - 4 \leq 1 \Leftrightarrow x \leq 5$ .

Đối chiếu với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S=(4;5].

Câu 33:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [2;4], biết f(2)=5 và f(4)=21. Tính $I = \int_{2}^{4} [2 f^{'} (x) - 3] d x$

A. I=26

B. I=29

C. I=-35

D. I=-38

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $I = \int_{2}^{4} [2 f^{'} (x) - 3] d x = {[2 f (x) - 3 x]|}_{2}^{4} = 2 f (4) - 3.4 - 2 f (2) + 3.2 = 26$

Câu 34:

Cho số phức z thỏa mãn $\bar{z} = 3 + 4 i$ . Tìm phần ảo của số phức $z^{2} - i |z|$ .

A. -7

B. -29

C. -27

D. 19

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\bar{z} = 3 + 4 i \Rightarrow z = 3 - 4 i$ .

$z^{2} - i |z| = {(3 - 4 i)}^{2} - i |3 - 4 i| = 9 - 24 i + 16 i^{2} - i \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}} = - 7 - 29 i$ .

Vậy phần ảo của số phức $z^{2} - i |z|$ là -29.

Câu 35:

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A B = a, A D = a \sqrt{2}, S A = 3 a$ và $S A ⊥ (A B C D)$ . Góc giữa đường thẳng SCvà mặt phẳng (ABCD) bằng:

$A . 60^{0}$

$B . 120^{0}$

$C . 30^{0}$

$D . 90^{0}$

Xem đáp án

Chọn A

Vì $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow \hat{(S C; (A B C D))} = \hat{S C A}$ .

Ta có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{3} .$

$\Rightarrow \tan \hat{S A C} = \frac{S A}{A C} = \frac{3 a}{a \sqrt{3}} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S C A} = 60^{0} .$

Câu 36:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc $60^{Ο}$ . Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).

$A . \frac{1}{2}$

$B . \frac{\sqrt{7}}{2}$

$C . \frac{\sqrt{42}}{14}$

$D . \frac{\sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

$(S C; (A B C D)) = \hat{S C O} = 60^{0}$ . $O C = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow S O = O C \tan 60^{0} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Gọi I là trung điểm BC, kẻ $O H ⊥ S I$ tại H.

$\Rightarrow O H ⊥ (S B C) \Rightarrow d (O; (S B C)) = O H$ .

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O I^{2}} + \frac{1}{S O^{2}} \Rightarrow O H = \frac{\sqrt{42}}{14}$ .

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(-2;1;1) và B(0;-1;1). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB

$A . {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 2$

$B . {(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 8$

$C . {(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$

$D . {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 8$

Xem đáp án

Chọn C

Theo đề ta có mặt cầu đường kính AB có tâm I(-1;0;1) là trung điểm của AB và bán kính $R = \frac{A B}{2} = \sqrt{2}$

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng nào dưới đây đi qua A(3;5;7) và song song với $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4}$ .

$A . \{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = 3 + 5 t \\ z = 4 + 7 t \end{cases}$

$B . \{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 5 + 3 t \\ z = 7 + 4 t \end{cases}$

C. Không tồn tại

$D . \{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 + 5 t \\ z = 3 + 7 t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi $Δ$ là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.

Ta có: $Δ$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (2; 3; 4)$ và qua $A (3; 5; 7) \Rightarrow (Δ) : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 5 + 3 t \\ z = 7 + 4 t \end{cases}$ .

Câu 39:

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f=(x) như hình vẽ bên dưới. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = f (2 x) - 2 x + 1$ trên đoạn $[- \frac{1}{2}; 1]$ bằng

A. f(0)-1

B. f(1)

C. f(2)-1

D. f(1)+2

Xem đáp án

Chọn C

Xét hàm số $g (x) = f (2 x) - 2 x + 1$ trên đoạn $[- \frac{1}{2}; 1]$

Ta có $g' (x) = 2 f' (2 x) - 2, g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (2 x) = 1 \Leftrightarrow 2 x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} .$ Số nghiệm của phương trình g'(x)=0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(2x) và đường thẳng y=1

Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = f (2 x) - 2 x + 1$ trên đoạn $[- \frac{1}{2}; 1]$ bằng g(1)=f(2)-1.

Câu 40:

Có bao nhiêu số nguyên y sao cho với mỗi không có quá 50 số nguyên x thoả mãn bất phương trình sau: $2^{y - 3 x} \geq \log_{3} (x + y^{2})$ ?

A. 15

B. 11

C. 19

D. 13

Xem đáp án

Chọn A

Điều kiện: $x + y^{2} > 0$

Xét hàm số: $f (x) = 2^{y - 3 x} - \log_{3} (x + y^{2})$ với $x \in (- y^{2}; + \infty)$

Ta có: $f^{'} (x) = - {3.3}^{y - 3 x} \ln 3 - \frac{1}{(x + y^{2}) \ln 3} < 0, \forall x \in (- y^{2}; + \infty)$

Bảng biến thiên

Từ đó suy ra bất phương trình có nghiệm $x \in (- y^{2}; x_{o}]$

Để tập nghiệm của bất phương trình không chứa quá 50 số nguyên thì $f (- y^{2} + 51) < 0$

$\Leftrightarrow 2^{y - 3 (- y^{2} + 51)} < \log_{3} 51$

$\Leftrightarrow 3 y^{2} + y - 153 < \log_{2} (\log_{3} 51)$

$\Leftrightarrow - 7, 35 < y < 7, 02$

Vì $y \in ℤ$ nên $y \in \{- 7; - 6; ....; 6; 7\}$

Câu 41:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} + m khi x \geq 0 \\ 2 x \sqrt{3 + x^{2}} khi x < 0 \end{cases}$ liên tục trên $ℝ$ . Tích phân $I = \int_{- 1}^{1} f (x) d x$ bằng

$A . I = e + 2 \sqrt{3} - 22$

$B . I = e + 2 \sqrt{3} + \frac{22}{3}$

$C . I = e - 2 \sqrt{3} - \frac{22}{3}$

$D . I = e + 2 \sqrt{3} - \frac{22}{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (e^{x} + m) = m + 1$ , $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (2 x \sqrt{3 + x^{2}}) = 0$ và f(0)=m+1.

Vì hàm số đã cho liên tục trên $ℝ$ nên liên tục tại x=0.

Suy ra $\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0)$ hay $m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$ .

Khi đó $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \int_{- 1}^{0} 2 x \sqrt{3 + x^{2}} d x + \int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x = \int_{- 1}^{0} \sqrt{3 + x^{2}} d (3 + x^{2}) + \int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x$

$= {\frac{2}{3} (3 + x^{2}) \sqrt{3 + x^{2}}|}_{- 1}^{0} + {(e^{x} - x)|}_{0}^{1} = e + 2 \sqrt{3} - \frac{22}{3}$ .

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|z + i| + |z - i| = 4$ và $(z + i) \bar{z}$ là số thực?

A. 1

B. 2

C. 0

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Gọi z=x+yi với $x, y \in ℝ$ .

Ta có $(z + i) \bar{z} = z . \bar{z} + i \bar{z} = x^{2} + y^{2} + y + x i \in ℝ \Rightarrow x = 0$ .

Mà $|z + i| + |z - i| = 4 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} + \sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}} = 4$ $\Leftrightarrow |y + 1| + |y - 1| = 4 (2)$ (do x=0).

TH 1: Nếu $y \geq 1$ thì $(2) \Leftrightarrow 2 y = 4 \Leftrightarrow y = 2 \Rightarrow z = 2 i$ .

TH 2: Nếu -1<y<1 thì $(2) \Leftrightarrow y + 1 + 1 - y = 4$ vô nghiệm.

TH 3: Nếu $y \leq - 1$ thì $(2) \Leftrightarrow - y - 1 + 1 - y = 4 \Leftrightarrow y = - 2 \Rightarrow z = - 2 i$

Vậy có 2 số phức thoả yêu cầu bài toán.

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AD=2a, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến (SCD) bằng $\frac{a}{2}$ . Tính thể tích khối chóp theo a

$A . \frac{4 \sqrt{15}}{45} a^{3}$

$B . \frac{4 \sqrt{15}}{15} a^{3}$

$C . \frac{2 \sqrt{5}}{15} a^{3}$

$D . \frac{2 \sqrt{5}}{45} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Kẻ $A H ⊥ S D (1)$ .

Ta có $\{\begin{cases} C D ⊥ A D \\ C D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ A H (2)$ .

Từ (1), (2) ta có $A H ⊥ (S C D) \Rightarrow d (A, (S C D)) = A H \Rightarrow A H = \frac{a}{2}$ .

Trong $Δ S A D$ ta có $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} \Rightarrow S A = \frac{A H . A D}{\sqrt{A D^{2} - A H^{2}}} = \frac{\frac{a}{2} \cdot 2 a}{\sqrt{4 a^{2} - \frac{a^{2}}{4}}} = \frac{2 a \sqrt{15}}{15}$ .

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là $V = \frac{1}{3} S A . A B . A D = \frac{1}{3} \cdot \frac{2 a \sqrt{15}}{15} . a .2 a = \frac{4 \sqrt{15}}{45} a^{3}$ .

Câu 44:

Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R=10dm. Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h=4dm. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi. Bán kính viên bi gần với số nào sau đây nhất?

A. 2,09dm

B. 9,63dm

C. 3,07dm

D. 4,53dm

Xem đáp án

Chọn A

Gọi x(dm) là bán kính của viên bi, (0<x<5).

$\Rightarrow$ Thể tích viên bi là $V_{1} = \frac{4}{3} π x^{3} (d m^{3})$

Thể tích nước ban đầu: $V_{0} = π h^{2} (R - \frac{h}{3}) = \frac{416}{3} π (d m^{3}) .$

Thể tích sau khi thả viên bi: $V_{2} = π {(2 x)}^{2} (10 - \frac{2 x}{3}) = \frac{4 π x^{2} (30 - 2 x)}{3} (d m^{3}) .$

Ta có: $V_{0} = V_{2} - V_{1} \Leftrightarrow 3 x^{3} - 30 x^{2} + 104 = 0 \Rightarrow x ≃ 2, 09 d m .$

Câu 45:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(0;-1;2) và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}, d_{2} : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 2}{4}$ . Phương trình đường thẳng đi qua M, cắt cả $d_{1}$ và $d_{2}$ là:

$A . \frac{x}{- \frac{9}{2}} = \frac{y + 1}{\frac{9}{2}} = \frac{z + 3}{8}$

$B . \frac{x}{3} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z - 2}{4}$

$C . \frac{x}{9} = \frac{y + 1}{- 9} = \frac{z - 2}{16}$

$D . \frac{x}{- 9} = \frac{y + 1}{9} = \frac{z - 2}{16}$

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi $Δ$ là đường thẳng cần tìm.

$Δ \cap d_{1} = A (t_{1} + 1; - t_{1} - 2; 2 t_{1} + 3), Δ \cap d_{2} = B (2 t_{2} - 1; - t_{2} + 4; 4 t_{2} + 2)$ .

$\vec{M A} = (t_{1} + 1; - t_{1} - 1; 2 t_{1} + 1), \vec{M B} = (2 t_{2} - 1; - t_{2} + 5; 4 t_{2})$ .

Ta có M,A,B thẳng hàng $\Leftrightarrow \vec{M A} = k \vec{M B} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t_{1} + 1 = k (2 t_{2} - 1) \\ - t_{1} - 1 = k (- t_{2} + 5) \\ 2 t_{1} + 1 = 4 k t_{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t_{1} = \frac{7}{2} \\ k = - \frac{1}{2} \\ k t_{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t_{1} = \frac{7}{2} \\ t_{2} = - 4 \end{cases}$ .

Suy ra $\vec{M B} = (- 9; 9; - 16)$ .

Đường thẳng $Δ$ đi qua điểm M(0;-1;2), một VTCP $\vec{u} = (9; - 9; 16)$ có phương trình là: $\frac{x}{9} = \frac{y + 1}{- 9} = \frac{z - 2}{16}$

.

Câu 46:

Cho f(x) là hàm bậc bốn thỏa mãn f(0)=0. Hàm số f'(x) có đồ thị như hình vẽ

Hàm số $g (x) = |2 f (x^{2} + x) - x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 2 x|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Chọn D

Gọi $h (x) = 2 f (x^{2} + x) - x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + 2 x = 2 f (x^{2} + x) - {(x^{2} + x)}^{2} + 2 (x^{2} + x)$ .

$\Rightarrow h' (x) = 2 (2 x + 1) f' (x^{2} + x) - 2 (2 x + 1) (x^{2} + x) + 2 (2 x + 1)$ .

$\Rightarrow h' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x + 1 = 0 \\ f' (x^{2} + x) - (x^{2} + x) + 1 = 0 (*) \end{array}$

Đặt $t = x^{2} + x$ . Khi đó phương trình (*) trở thành $f' (t) - t + 1 = 0$

$\Leftrightarrow f' (t) = t - 1$ .

Ta vẽ đồ thị hai hàm số y=f'(t) và y=t-1 trên cùng một hệ trục tọa độ

Dựa vào đồ thị ta thấy $f' (t) > t - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 2 < t < 0 \\ t > 2 \end{array}$ .

Khi đó: $[\begin{array}{l} - 2 < x^{2} + x < 0 \\ x^{2} + x > 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 1 < x < 0 \\ x < - 2 \lor 1 < x \end{array}$ .

Bảng biến thiên :

Vậy hàm số $g (x) = |h (x)|$ có 7 điểm cực trị.

Câu 47:

Có bao nhiêu số nguyên $m (m \geq 2)$ sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn ${(m^{\ln x} + 4)}^{\ln m} + 4 = x ?$

A. 8

B. 9

C. 1

D. vô số

Xem đáp án

Chọn C

ĐK: x>0

Đặt $y = m^{\ln x} + 4 > 0$ thế vào phương trình ta có $y^{\ln m} + 4 = x \Leftrightarrow x = 4 + m^{\ln y}$ vì $m^{\ln y} = y^{\ln m}$

Khi đó ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} y = m^{\ln x} + 4 (1) \\ x = m^{\ln y} + 4 (2) \end{cases}$

Xét hàm số $f (t) = m^{t} + 4 \Rightarrow f' (t) = \ln m . m^{t} > 0$ (Do $m \geq 2$ ). Nên hàm số f(t) đồng biến trên R.

Khi đó: x=y

Từ (2) : $x = m^{\ln x} + 4 \Leftrightarrow x^{\ln m} = x - 4 \Leftrightarrow \ln (x^{\ln m}) = \ln (x - 4) \Leftrightarrow \ln m . \ln x = \ln (x - 4)$ $\Leftrightarrow \ln m = \frac{\ln (x - 4)}{\ln x}$

Do x>0 nên $x - 4 < x \Rightarrow \ln (x - 4) < \ln x \Rightarrow \frac{\ln (x - 4)}{\ln x} < 1$

Nên $\ln m < 1 \Leftrightarrow m < e$ hay $m \in \{2\}$

Câu 48:

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị (C) là đường cong trong hình bên. Biết hàm số f(x) đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{2} = x_{1} + 2$ và $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) = - 3$ . Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị (C). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d ( phần được tô đậm trong hình) bằng

A. 1

B. 2

$C . \frac{1}{4}$

$D . \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Tịnh tiến điểm uốn về gốc tọa độ, ta được đồ thị mới như hình vẽ

Vì f(x) là hàm bậc ba, nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng nên $f (x) = a x^{3} + c x$ .

Chọn $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 1$ , khi đó $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

Ta lại có $f (x) = \frac{1}{3} x (3 x^{2} - 3) - 2 x$ , suy ra d: y=-2x.

Diện tích hình phẳng cần tìm là $S = 2 \int_{- 1}^{0} \frac{1}{3} x (3 x^{2} - 3) d x = \frac{1}{2}$

Câu 49:

Cho các số phức $z_{1}$ và $z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1} + 1 + i| = 1$ và $|z_{2} - 2 - 3 i| = 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z_{1} - z_{2}| .$

A. 2

$B . \frac{3}{2}$

$C . \frac{5}{2}$

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

Giả sử M, N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức $z_{1}$ và $z_{2}$

$|z_{1} + 1 + i| = 1 \Rightarrow M \in (I; 1), I (- 1; - 1)$

$|z_{2} - 2 - 3 i| = 2 \Rightarrow N \in (J; 2), J (2; 3)$

$P = |z_{1} - z_{2}| = M N$

Ta thấy hai đường tròn (I) và (J) nằm ngoài nhau. Do đó

$M'' N'' \leq M N \leq M' N'$ .

$P = |z_{1} - z_{2}| = M N$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $M \equiv M'', N \equiv N''$ .

$P_{\min} = I J - R - r = 2, P_{m a x} = I + R + r = 8$ .

Câu 50:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(a;0;0). B(0;b;0), C(0;0;c) với $a \geq 4, b \geq 5, c \geq 6$ và mặt cầu (S) có bán kính bằng $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$ ngoại tiếp tứ diện O.ABC. Khi tổng OA+OB+OC đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng $(α)$ đi qua tâm I của mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (OAB) có dạng $mx + n y + p z + q = 0$ ( với $m,n,p,q \in ℤ; \frac{q}{p}$ là phân số tối giản). Giá trị $T = m + n + p + q$ bằng

A. 3

B. 9

C. 5

D. -5

Xem đáp án

Chọn D

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là $R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}{2} = \frac{3 \sqrt{10}}{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 90.$

Ta có $P = O A + O B + O C = a + b + c$ . Đặt $x = a - 4 \geq 0, y = b - 5 \geq 0, z = c - 6 \geq 0.$

Khi đó $a^{2} + b^{2} + c^{2} = {(x + 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2} + {(z + 6)}^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8 x + 10 y + 12 z + 77 = 90.$

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8 x + 10 y + 12 z = 13.$

$T = {(x + y + z)}^{2} + 12 (x + y + z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8 x + 10 y + 12 z + 2 (x y + y z + z x + 2 x + y) .$

Vì $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8 x + 10 y + 12 z = 13$ và $x, y, z \geq 0$ nên ${(x + y + z)}^{2} + 12 (x + y + z) - 13 \geq 0.$

$\Leftrightarrow x + y + z \geq 1 \Leftrightarrow a - 4 + b - 5 + c - 7 \geq 1 \Leftrightarrow a + b + c \geq 16 \Rightarrow {\{O A + O B + O C\}}_{\min} = 16.$

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi $a = 4, b = 5, c = 7$ .

Suy ra, $A (4; 0; 0), B (0; 5; 0), C (0; 0; 7)$ .

Gọi mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$

Vì $A (4; 0; 0), B (0; 5; 0), C (0; 0; 7), O (0; 0; 0)$ nên ta có hệ

$\{\begin{cases} 16 - 8 a + d = 0 \\ 25 - 10 b + d = 0 \\ 47 - 14 z + d = 0 \\ d = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = \frac{5}{2} \\ c = \frac{7}{2} \\ d = 0 \end{cases}$

Tâm của mặt cầu (S) là $I (2; \frac{5}{2}; \frac{7}{2})$ .

Mặt phẳng $(α)$ song song với mặt phẳng $(O A B) \equiv (O x y) : z = 0 \Rightarrow (α) : z + e = 0$ .

Vì $I (2; \frac{5}{2}; \frac{7}{2})$ thuộc $(α)$ nên $\frac{7}{2} + e = 0 \Leftrightarrow e = - \frac{7}{2}$

Suy ra, $2 z - 7 = 0 \Rightarrow m = 0; n = 0; p = 2; q = - 7$ .

$T= m + n + p + q = -5$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 23)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan