50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 18)

Câu 1:

Cần chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là:

$A . A_{30}^{3}$

$B . 3^{30}$

C. 10

$D . C_{30}^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người là một tổ hợp chập 3 của 30 phần tử, nên có $C_{30}^{3}$ cách.

Câu 2:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ , biết $u_{2} = 3$ và $u_{4} = 7$ . Giá trị của $u_{15}$ bằng

A. 27

B. 31

C. 35

D. 29

Xem đáp án

Chọn D

Từ giả thiết $u_{2} = 3$ và $u_{4} = 7$ suy ra ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} u_{1} + d = 3 \\ u_{1} + 3 d = 7 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ d = 2 \end{cases}$ .

Vậy $u_{15} = u_{1} + 14 d = 29$ .

Câu 3:

Cho hàm sốy=f(x) xác định và liên tục trên khoảng $(- \infty; + \infty),$ có bảng biến thiên như hình sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ , suy ra hàm số cũng đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ .

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm

A. x=1

B. x=-2

C. x=2

D. x=-1

Xem đáp án

Chọn D

Căn cứ vào đồ thị ta có

$f^{'} (x) < 0$ , $\forall x \in (- 2; - 1)$ và $f^{'} (x) > 0$ , $\forall x \in (- 1; 0)$ suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x=-1.

f'(x)>0, $\forall x \in (0; 1)$ và f'(x)<0, $\forall x \in (1; 2)$ suy ra hàm số đạt cực đại tại x=1.

Hàm số không đạt cực tiểu tại hai điểm $x = \pm 2$ vì f'(x) không đổi dấu khi đi qua $x = \pm 2$ .

Câu 5:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $ℝ$ và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây

.

Số điểm cực trị của hàm số là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 6:

Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ .

$A . x = \frac{1}{2},$ y=-1

B. x=1; y=-2

C. x=-1; y=2

$D . x = - 1; y = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có :

Vì $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x - 1}{x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2$ nên đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Vì $\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{2 x - 1}{x + 1} = - \infty$ , $\lim_{x \to - 1^{-}} \frac{2 x - 1}{x + 1} = + \infty$ nên đường thẳng x=-1 là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

$A . y = - x^{4} + 4 x^{2}$

$B . y = x^{4} - 4 x^{2} - 3$

$C . y = x^{3} - 3 x^{2} + 3$

$D . y = - x^{3} + 3 x^{2} - 3$

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào hình dạng đồ thị, ta thấy đây là dạng đồ thị của hàm số bậc 3, hệ số a<0.

Câu 8:

Đồ thị của hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2}$ cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị của hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2}$ và trục hoành:

$- x^{4} + 2 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} (- x^{2} + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \sqrt{2} \\ x = - \sqrt{2} \end{array}$ .

Phương trình có 3 nghiệm nên đồ thị của hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2}$ cắt trục hoành tại 3 điểm

Câu 9:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{5} (\frac{25}{a})$ bằng

$A . 2 - \log_{5} a$

$B . 2 \log_{5} a$

$C . \frac{2}{\log_{5} a}$

$D . 2 + \log_{5} a$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\log_{5} (\frac{25}{a}) = \log_{5} 25 - \log_{5} a = 2 - \log_{5} a$

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số $y = 2021^{x}$ là:

$A . y^{'} = 2021^{x} \ln 2021$

$B . y^{'} = 2021^{x}$

$C . y^{'} = \frac{2021^{x}}{\ln 2021}$

$D . y^{'} = x {.2021}^{x - 1}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $y = 2021^{x} \Rightarrow y^{'} = 2021^{x} . \ln 2021$

Câu 11:

Với a là số thực dương tùy ý, $a . \sqrt[3]{a^{2}}$ bằng

$A . a^{7}$

$B . a^{\frac{5}{3}}$

$C . a^{\frac{3}{5}}$

$D . a^{\frac{1}{7}}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $a . \sqrt[3]{a^{2}} = a . a^{\frac{2}{3}} = a^{1 + \frac{2}{3}} = a^{\frac{5}{3}}$

Câu 12:

Nghiệm của phương trình ${(\frac{1}{4})}^{3 x - 4} = \frac{1}{16}$ là

A. x=3

B. x=2

C. x=1

D. x=-1

Xem đáp án

Chọn B

${(\frac{1}{4})}^{3 x - 4} = \frac{1}{16} \Leftrightarrow {(\frac{1}{4})}^{3 x - 4} = {(\frac{1}{4})}^{2} \Leftrightarrow 3 x - 4 = 2 \Leftrightarrow x = 2$ .

Vậy x=2 là nghiệm của phương trình đã cho.

Câu 13:

Tích các nghiệm của phương trình $2^{x^{2} - 2 x} = 8$ là

A. 2

B. 0

C. -3

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $2^{x^{2} - 2 x} = 8 \Leftrightarrow 2^{x^{2} - 2 x} = 2^{3} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$ .

Nên tích các nghiệm của phương trình là -3.

Câu 14:

Hàm số $F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3$ là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

$A . f (x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x + 1$

$B . f (x) = 3 x^{2} - 4 x$

$C . f (x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{2}{3} x^{3} + 3 x$

$D . f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 3$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có F(x) là một nguyên hàm của f(x) nếu $F^{'} (x) = f (x)$ .

Mà ${[F (x)]}^{'} = {(x^{3} - 2 x^{2} + 3)}^{'} = 3 x^{2} - 4 x \Rightarrow f (x) = 3 x^{2} - 4 x$ .

Câu 15:

Biết F(x) là một nguyên hàm của của hàm số f(x)=cos2x thỏa mãn $F (\frac{π}{2}) = 1$ . Tính $F (\frac{π}{4})$ .

$A . \frac{3}{2}$

$B . - \frac{3}{2}$

$C . \frac{1}{2}$

$D . - \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $F (x) = \int cos 2 x d x = \frac{1}{2} \int cos 2 x d (2 x) = \frac{1}{2} \sin 2 x + C$ .

Mà $F (\frac{π}{2}) = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \sin (2. \frac{π}{2}) + C = 1 \Rightarrow C = 1.$

Suy ra $F (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x + 1 \Rightarrow F (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2} \sin (2. \frac{π}{4}) + 1 = \frac{3}{2}$ .

Câu 16:

Cho $\int_{2}^{3} f (x) d x = - 2$ . Tính $I = \int_{- \frac{3}{2}}^{- 1} f (- 2 x) d x$ ?

A. -1

B. 1

C. 4

D. -4

Xem đáp án

Chọn A

$I = \int_{- \frac{3}{2}}^{- 1} f (- 2 x) d x = - \frac{1}{2} \int_{- \frac{3}{2}}^{- 1} f (- 2 x) d (- 2 x) = - \frac{1}{2} \int_{3}^{2} f (x) d x = - 1.$

Câu 17:

Cho đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng ( tô đậm) trong hình là

$A . S = \int_{a}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{b} f (x) d x$

$B . S = \int_{a}^{0} f (x) d x - \int_{b}^{0} f (x) d x$

$C . S = \int_{0}^{a} f (x) d x + \int_{0}^{b} f (x) d x$

$D . S = \int_{a}^{0} f (x) d x + \int_{b}^{0} f (x) d x$

Xem đáp án

Chọn D

Diện tích S của hình phẳng ( tô đậm) trong hình là $S = \int_{a}^{0} f (x) d x - \int_{0}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{0} f (x) d x + \int_{b}^{0} f (x) d x$

Câu 18:

Cho hai số phức $z_{1} = 3 + 2 i$ và $z_{2} = 4 i$ . Phần thực của số phức $z_{1} . z_{2}$ là

A. -8

B. 8

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $z_{1} . z_{2} = (3 + 2 i) .4 i = - 8 + 12 i .$ Nên phần thực của số phức $z_{1} . z_{2}$ là -8

Câu 19:

Cho hai số phức z và w thỏa mãn $z = - i + 2$ và $\bar{w} = - 3 - 2 i$ . Số phức $\bar{z} . w$ bằng:

A. -8-i

B. -4-7i

C. -4+7i

D. -8+i

Xem đáp án

Chọn D

$z = - i + 2 \Rightarrow \bar{z} = 2 + i$ .

$\bar{w} = - 3 - 2 i \Rightarrow w = - 3 + 2 i$ .

Do đó $\bar{z} . w = (2 + i) (- 3 + 2 i) = - 8 + i .$

Câu 20:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm đối xứng với điểm biểu diễn số phức z=-2i+4 qua trục Oy có tọa độ là

A. (4;2)

B. (-4;2)

C. (4;-2)

D. (-4;-2)

Xem đáp án

Chọn D

Số phức z=-2i+4 có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là M(4;-2).

Điểm đối xứng với M qua Oy là M'(-4;-2).

Câu 21:

Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, biết diện tích hình bình hành ABCD bằng 8 và chiều cao khối chóp bằng 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. 8

B. 4

C. 24

D. 6

Xem đáp án

Chọn B

Vì ABCD là hình bình hành nên $S_{A B C} = \frac{1}{2} S_{A B C D} = \frac{1}{2} .8 = 4.$

$V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{A B C} . h = \frac{1}{3} .4.3 = 4.$

Câu 22:

Đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3,4,12 có độ dài là

A. 13

B. 30

C. 15

D. 6

Xem đáp án

Chọn A

Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c thì có độ dài đường chéo là $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ Do đó độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật đã cho là $\sqrt{3^{2} + 4^{2} + 12^{2}} = 13.$

Câu 23:

Công thức thể tích của khối nón có bán kính đáy là $\frac{r}{2}$ và chiều cao h là

$A . V = \frac{π r^{2} h}{4}$

$B . V = \frac{π r^{2} h}{12} .$

$C . V = \frac{π r^{2} h}{24}$

$D . V = \frac{π r^{2} h}{6} .$

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích khối nón có bán kính đáy là $\frac{r}{2}$ và chiều cao h là: $V = \frac{1}{3} . π {(\frac{r}{2})}^{2} . h = \frac{π r^{2} h}{12}$ .

Câu 24:

Hình trụ có đường cao h=2cm và đường kính đáy là 10cm. Diện tích toàn phần của hình trụ đó bằng

$A . 240 π c m^{2} .$

$B . 120 π c m^{2} .$

$C . 70 π c m^{2} .$

$D . 140 π c m^{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Đường kính đáy hình trụ là $10 c m \Rightarrow$ bán kính đáy là r=5cm

Diện tích toàn phần của hình trụ là: $S = 2 π r (r + h) = 2 π r (r + h) = 2 π .5. (5 + 2) = 70 π$ .

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;3) và B(4;2;1). Độ dài đoạn thẳng AB bằng

$A . \sqrt{2}$

$B . 2 \sqrt{3}$

$C . 5 \sqrt{2}$

$D . \sqrt{14}$

Xem đáp án

Chọn D.

$A B = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} + {(1 - 3)}^{2}} = \sqrt{14}$ . Chọn đáp án D

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 25$ có tâm là

$A . I_{1} (0; - 1; 3)$

$B . I_{2} (0; 1; - 3)$

$C . I_{3} (0; - 1; - 3)$

$D . I_{4} (0; 1; 3)$

Xem đáp án

Chọn B.

Mặt cầu đã cho có tâm là điểm $I_{2} (0; 1; - 3)$ . Chọn đáp án B

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục Oy?

$A . \vec{i} (1; 0; 0)$

$B . \vec{j} (0; 1; 0)$

$C . \vec{k} (0; 0; 1)$

$D . \vec{h} (1; 1; 1)$

Xem đáp án

Chọn B.

Vectơ $\vec{j} (0; 1; 0)$ là một vectơ chỉ phương của trục Oy. Do đó nó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục Oy. Chọn đáp án B.

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm I(2;1;1)?

$A . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{cases}$

$B . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = t \end{cases}$

$C . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = t \end{cases}$

$D . \{\begin{cases} x = t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn C.

Xét các phương án A, B, C. Ta có $1 + t = 2 \Leftrightarrow t = 1$ . Thay t=1 vào y,z ta thấy phương án C thỏa mãn. Chọn đáp án C

Câu 29:

Chọn ngẫu nhiên một số trong 10 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số nguyên tố bằng

$A . \frac{3}{10}$

$B . \frac{2}{5}$

$C . \frac{1}{2}$

$D . \frac{1}{5}$

Xem đáp án

Chọn B.

Trong 10 số nguyên dương đầu tiên có 4 số nguyên tố là 2, 3, 5, 7. Do đó xác suất để chọn được số nguyên tố bằng $\frac{4}{10}$ hay là $\frac{2}{5}$ .

Câu 30:

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng (1;5)?

$A . \frac{2 x + 1}{x - 2}$

$B . \frac{x - 3}{x - 4}$

$C . y = \frac{3 x - 1}{x + 1}$

$D . y = \frac{x + 1}{3 x + 2}$

Xem đáp án

Chọn D.

Xét hàm số $y = \frac{x + 1}{3 x + 2}$ có tập xác định $D = (- \infty; - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}; + \infty)$ và $y^{'} = \frac{- 1}{{(3 x + 2)}^{2}} < 0$ với mọi $x \neq - \frac{2}{3}$ . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (1;5). Chọn đáp án D

Câu 31:

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 6 x + 1$ trên đoạn [0;3]. Khi đó 2M-m có giá trị bằng

A. 0

B. 18

C. 10

D. 11

Xem đáp án

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (25 - x^{2}) \leq 2$ là

$A . (- 5; - 4] \cup [4; 5)$

$B . (- \infty; - 4] \cup [4; + \infty)$

C. (4;5)

$D . [4; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\log_{3} (25 - x^{2}) \leq 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 25 - x^{2} > 0 \\ 25 - x^{2} \leq 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} < 25 \\ x^{2} \geq 16 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 5 < x \leq - 4 \\ 4 \leq x < 5 \end{array}$ .

Do tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = (- 5; - 4] \cup [4; 5)$

Câu 33:

Nếu $\int_{0}^{\frac{π}{2}} [2020 f (x) + \sin 2 x] d x = 2021$ thì $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ bằng

$A . \frac{1011}{1010}$

B. 1

$C . \frac{2021}{2020}$

D. -1

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\int_{0}^{\frac{π}{2}} [2020 f (x) + \sin 2 x] d x = 2021 \Leftrightarrow 2020 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin 2 x d x = 2021$ .

Khi đó ta có $2020 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x - \frac{1}{2} {(c os 2 x)|}_{0}^{\frac{π}{2}} = 2021 \Leftrightarrow 2020 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + 1 = 2021$ .

Do đó $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = 1$

Câu 34:

Cho số phức z=2-3i. Gọi a,b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức $w = (1 - 2 i) \bar{z}$ . Khi đó giá trị của biểu thức $P = a + b + 2021$ bằng

A. 2020

B. 2014

C. 2028

D. 2032

Xem đáp án

Câu 35:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có $A B = a, A A^{'} = a \sqrt{2}$ . Góc giữa đường thẳng A'C với mặt phẳng (AA'B'B) bằng:

$A . 30 °$

$B . 60 °$

$C . 45 °$

$D . 90 °$

Xem đáp án

Câu 36:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật $A B = a, A D = a \sqrt{3}$ , $S A ⊥ (A B C D)$ và SA=2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) bằng:

$A . \frac{2 \sqrt{57} a}{19}$

$B . \frac{\sqrt{57} a}{19}$

$C . \frac{2 \sqrt{5} a}{5}$

$D . \frac{\sqrt{5} a}{5}$

Xem đáp án

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(3;-1;2) và tiếp xúc với trục Ox có phương trình là:

$A . {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9$

$B . {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 5$

$C . {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 1$

$D . {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$

Xem đáp án

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có A(0;1;-2), B(3;-2;1) và C(1;5;-1). Phương trình tham số của đường thẳng CD là:

$A . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 5 - t \\ z = - 1 + t \end{cases}$

$B . \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 5 - t \\ z = - 1 + t \end{cases}$

$C . \{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 5 + 3 t \\ z = - 1 + 3 t \end{cases}$

$D . \{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = - 5 - t \\ z = 1 + t \end{cases}$

Xem đáp án

Câu 39:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Bảng biến thiên của hàm số y=f'(x) được cho như hình vẽ. Trên [-4;2] hàm số $y = f (1 - \frac{x}{2}) + x$ đạt giá trị lớn nhất bằng?

A. f(2)-2

$B . f (\frac{1}{2}) + 2.$

C. f(2)+2

$D . f (\frac{3}{2}) - 1$

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $g (x) = f (1 - \frac{x}{2}) + x \Rightarrow g' (x) = - \frac{1}{2} f' (1 - \frac{x}{2}) + 1.$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (1 - \frac{x}{2}) = 2.$

Đặt $t = 1 - \frac{x}{2} \Rightarrow t \in [0; 3] .$

Vẽ đường thẳng y=2 lên cùng một bảng biến thiên ta được

Ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $t = 2 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow \max_{[- 4; 2]} g (x) = g (- 2) = f (2) - 2.$

Câu 40:

Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa $(3^{x + 1} - \sqrt{3}) (3^{x} - y) < 0$ mãn ?

A. 59149

B. 59050

C. 59049

D. 59048

Xem đáp án

Câu 41:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 2 x - 4 khi x \geq 4 \\ \frac{1}{4} x^{3} - x^{2} + x khi x < 4 \end{cases}$ . Tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (2 \sin^{2} x + 3) \sin 2 x d x$ bằng

$A . \frac{28}{3}$

B. 8

$C . \frac{341}{48}$

$D . \frac{341}{96}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 4^{+}} f (x) = \lim_{x \to 4^{+}} (2 x - 4) = 4; \lim_{x \to 4^{-}} f (x) = \lim_{x \to 4^{-}} (\frac{1}{4} x^{3} - x^{2} + x) = 4; f (4) = 4 \\ \Rightarrow \lim_{x \to 4^{+}} f (x) = \lim_{x \to 4^{-}} f (x) = f (4) \end{array}$

Nên hàm số đã cho liên tục tại x=4

Xét $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (2 \sin^{2} x + 3) \sin 2 x d x$

Đặt $2 \sin^{2} x + 3 = t \Rightarrow \sin 2 x d x = \frac{1}{2} d t$

Với $x = 0 \Rightarrow t = 3$

$x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = 5$

$I = \int_{3}^{5} f (t) \frac{1}{2} d t = \frac{1}{2} \int_{3}^{5} f (t) d t = \frac{1}{2} \int_{3}^{4} (\frac{1}{4} t^{3} - t^{2} + t) d t + \frac{1}{2} \int_{4}^{5} (2 t - 4) d t = \frac{341}{96}$ .

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|z| = \sqrt{5}$ và $(z - 3 i) (\bar{z} + 2)$ là số thực?

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, $S A ⊥ (A B C)$ , AB=a. Biết góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) bằng $30 °$ . Thể tích khối chóp S.ABC bằng

$A . \frac{a^{3}}{6}$

$B . \frac{a^{3}}{3}$

$C . a^{3}$

$D . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Chọn A

Từ A kẻ $A H ⊥ S B$ tại B.

Ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A H$ .

Lại có $\{\begin{cases} A H ⊥ S B \\ A H ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (S B C)$ .

Từ đó suy ra $(A C, (S B C)) = (A C, H C) = \hat{A C H} = 30 °$ .

Tam giác ABC vuông cân tại B nên $A C = A B \sqrt{2} = a \sqrt{2}$ .

Xét $Δ A H C$ vuông tại $H : A H = A C . \sin \hat{A C H} = a \sqrt{2} . \sin 30 ° = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Xét $Δ S A B$ vuông tại $A : \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} \Rightarrow \frac{1}{S A^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \Rightarrow S A = a$ .

Diện tích tam giác ABC là $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B^{2} = \frac{a^{2}}{2}$ .

Thể tích khối chóp S.ABC là $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{A B C} . S A = \frac{a^{3}}{6}$ .

Câu 44:

Cổ động viên bóng đá của đội tuyển Indonesia muốn làm một chiếc mũ có dạng hình nón sơn hai màu Trắng và Đỏ như trên quốc kỳ. Biết thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ ở bề mặt phần hình nón có đáy là cung nhỏ $\overset{⏜}{M B N}$ , phần còn là của hình nón sơn màu Trắng. Tính tỉ số phần diện tích hình nón được sơn màu Đỏ với phần diện tích sơn màu Trắng.

$A . \frac{2}{7}$

$B . \frac{2}{5}$

$C . \frac{1}{4}$

D $. \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $S O = O A = O B = r \Rightarrow S M = r \sqrt{2} = M N$

Do dó tam giác OMN vuông cân tại O.

Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón, $S_{d}$ là diện tích xung quanh của phần hình nón được sơn màu đỏ, ứng với góc $\hat{M O N} = 90^{0}$ nên $\frac{S_{1}}{S} = \frac{90^{0}}{360^{0}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{S_{d}}{S_{t}} = \frac{1}{3} .$

Câu 45:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $(d_{1}) : \{\begin{cases} x = t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = t \end{cases}$ và $(d_{2}) : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{3}$ . Đường thẳng $Δ$ cắt cả hai đường thẳng $d_{1}$ , $d_{2}$ và song song với đường thẳng $d : \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 7}{4} = \frac{z - 3}{- 2}$ đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. M(1;1;-4)

B. N(0;-5;6)

C. P(0;5;-6)

D. Q(-2;-3;-2)

Xem đáp án

Chọn B

Gọi $\{\begin{cases} A = Δ \cap d_{1} \Rightarrow A (a; - 1 + 2 a; a) \\ B = Δ \cap d_{2} \Rightarrow B (b; 1 - 2 b; 1 + 3 b) \end{cases} \Rightarrow \vec{A B} = (- a + b; - 2 a - 2 b + 2; - a + 3 b + 1) .$

Ta có: $\vec{A B} // {\vec{u}}_{d} \Rightarrow \frac{- a + b}{1} = \frac{- 2 a - 2 b + 2}{4} = \frac{- a + 3 b + 1}{- 2} \Rightarrow \{\begin{cases} - 2 a + 6 b = 2 \\ 3 a - 5 b = 1 \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 1 \end{cases} \Rightarrow A (2; 3; 2), B (1; - 1; 4) .$

$\Rightarrow Δ$ qua B(1;-1;4) và có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; 4; - 2)$

$\Rightarrow (Δ) : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 1 + 4 t \\ z = 4 - 2 t \end{cases}$ đi qua điểm N(0;-5;6)

Câu 46:

Cho hàm số f(x) và có y=f'(x) là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực đại của hàm số $g (x) = f ({|x|}^{3}) - |x|$ là

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Xét hàm số $h (x) = f (x^{3}) - x$

Ta có $h^{'} (x) = 3 x^{2} f^{'} (x^{3}) - 1$

$h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x^{3}) = \frac{1}{3 x^{2}} (x \neq 0) (1)$

Đặt $x^{3} = t \Rightarrow x = \sqrt[3]{t} \Rightarrow x^{2} = \sqrt[3]{t^{2}}$ .

Khi đó (1) trở thành: $f^{'} (t) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{t^{2}}}$ (2)

Vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ , y=f'(x) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, ta được:

Từ đồ thị suy ra phương trình (2) có hai nghiệm $t_{1} = a > 0$ và $t_{2} = b < 0$ .

$\Rightarrow (1)$ có hai nghiệm $x = \sqrt[3]{a} > 0$ và $x = \sqrt[3]{b} < 0$ .

Bảng biến thiên của h(x), $g (x) = h (|x|)$ .

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $g (x) = h (|x|) = f ({|x|}^{3}) - |x|$ có 1 điểm cực đại.

Câu 47:

Có bao nhiêu m nguyên $m \in [- 2021; 2021]$ để phương trình $6^{x} - 2 m = \log_{\sqrt[3]{6}} (18 (x + 1) + 12 m)$ có nghiệm?

A. 211

B. 2020

C. 2023

D. 212

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình $6^{x} - 2 m = \log_{\sqrt[3]{6}} (18 (x + 1) + 12 m) \Leftrightarrow 6^{x} = 2 m + 3 \log_{6} [6 (3 x + 2 m + 3)]$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6^{x} = 2 m + 3 [1 + \log_{6} (3 x + 2 m + 3)] \\ \Leftrightarrow 6^{x} = 3 \log_{6} (3 x + 2 m + 3) + 2 m + 3, (*) \end{array}$

Đặt $y = \log_{6} (3 x + 2 m + 3) \Leftrightarrow 6^{y} = 3 x + 2 m + 3, (1)$

Mặt khác, PT(*) trở thành: $6^{x} = 3 y + 2 m + 3, (2)$

Lấy (1) trừ vế với vế cho (2), ta được

$6^{y} - 6^{x} = 3 x - 3 y \Leftrightarrow 6^{x} + 3 x = 6^{y} + 3 y (3)$

Xét hàm số $f (t) = 6^{t} + 3 t, t \in ℝ .$

Ta có $f' (t) = 6^{t} \ln 6 + 3 > 0, \forall t \in ℝ .$ Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R

Mà PT (3) $f (x) = f (y) \Leftrightarrow x = y .$

Thay y=x vào PT (1), ta được $6^{x} = 3 x + 2 m + 3 \Leftrightarrow 6^{x} - 3 x = 2 m + 3$ .

Xét hàm số $g (x) = 6^{x} - 3 x$ , với $x \in ℝ$ . Ta có $g' (x) = 6^{x} \ln 6 - 3 \Rightarrow g' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \log_{6} (\frac{3}{\ln 6})$

Từ đó suy ra PT đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow 2 m + 3 \geq g (\log_{6} \frac{3}{\ln 6}) \approx 0, 81 \Rightarrow m \geq - 1, 095$

Vậy có 2023 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu.

BBT:

Câu 48:

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị (C) là đường cong (C) trong hình bên. Hàm số f(x) đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}, x_{2}$ thỏa $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ . Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị (C), M,N,K là giao điểm của (C) với trục hoành; S là diện tích của hình phẳng được gạch trong hình, $S_{2}$ là diện tích tam giác NBK. Biết tứ giác MAKB nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ bằng

$A . \frac{2 \sqrt{6}}{3}$

$B . \frac{\sqrt{6}}{2}$

$C . \frac{5 \sqrt{3}}{6}$

$D . \frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Chọn D

Kết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị (C) sang trái sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ O. (như hình dưới)

Do f(x) là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng $(O \equiv N)$ .

Đặt $x_{1} = - a, x_{2} = a$ , với a>0 $\Rightarrow f' (x) = k (x^{2} - a^{2})$ với k>0

$\Rightarrow f (x) = k (\frac{1}{3} x^{3} - a^{2} x) \Rightarrow x_{M} = - a \sqrt{3}, x_{K} = a \sqrt{3}$

Có MAKB nội tiếp đường tròn tâm O $\Rightarrow O A = O M = a \sqrt{3}$

Có $f (x_{1}) = \sqrt{O A^{2} - {x_{1}}^{2}} \Leftrightarrow f (- a) = a \sqrt{2} \Leftrightarrow k (- \frac{1}{3} a^{3} + a^{3}) = a \sqrt{2} \Leftrightarrow k = \frac{3 \sqrt{2}}{2 a^{2}}$

$\Rightarrow f (x) = \frac{3 \sqrt{2}}{2 a^{2}} (\frac{1}{3} x^{3} - a^{2} x)$

$S_{1} = \int_{- a \sqrt{3}}^{0} f (x) d x = \frac{3 \sqrt{2}}{2 a^{2}} {(\frac{1}{12} x^{4} - \frac{a^{2}}{2} x^{2})|}_{- a \sqrt{3}}^{0} = \frac{9 \sqrt{2}}{8} a^{2}$

$S_{2} = S_{Δ A M O} = \frac{1}{2} f (- a) . M O = \frac{1}{2} a \sqrt{2} . a \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} a^{2}$

Vậy $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .

Câu 49:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức $z_{1}$ có điểm biểu diễn M , số phức $z_{2}$ có điểm biểu diễn là N thỏa mãn $|z_{1}| = 1$ , $|z_{2}| = 3$ và $\hat{M O N} = 120 °$ . Giá trị lớn nhất của $|3 z_{1} + 2 z_{2} - 3 i|$ là $M_{0}$ , giá trị nhỏ nhất của $|3 z_{1} - 2 z_{2} + 1 - 2 i|$ là $m_{0}$ . Biết $M_{0} + m_{0} = a \sqrt{7} + b \sqrt{5} + c \sqrt{3} + d$ , với $a, b, c, d \in ℤ$ . Tính a+b+c+d ?

A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

Xem đáp án

Chọn B

Gọi $M_{1}$ là điểm biểu diễn của số phức $3 z_{1}$ , suy ra $O M_{1} = 3$ .

Gọi $N_{1}$ là điểm biểu diễn của số phức $2 z_{2}$ , suy ra $O N_{1} = 6$ . Gọi P là điểm sao cho $\vec{O M_{1}} + \vec{O N_{1}} = \vec{O P}$ . Suy ra tứ giác $O M_{1} P N_{1}$ là hình bình hành.

Do từ giả thiết $\hat{M O N} = 120 °$ , suy ra $\hat{M_{1} O N_{1}} = 120 °$ .

Dùng định lí cosin trong tam giác $O M_{1} N_{1}$ ta tính được $M_{1} N_{1} = \sqrt{9 + 36 - 2.3.6. (- \frac{1}{2})} = 3 \sqrt{7}$ ;

và định lí cosin trong tam giác $O M_{1} P$ ta có $O P = \sqrt{9 + 36 - 2.3.6. \frac{1}{2}} = 3 \sqrt{3}$ .

Ta có $M_{1} N_{1} = |3 z_{1} - 2 z_{2}| = 3 \sqrt{7}$ ; $O P = |3 z_{1} + 2 z_{2}| = 3 \sqrt{3}$ .

 Tìm giá trị lớn nhất của $|3 z_{1} + 2 z_{2} - 3 i|$ .

Đặt $3 z_{1} + 2 z_{2} = w_{1} \Rightarrow |w_{1}| = 3 \sqrt{3}$ , suy ra điểm biểu diễn $w_{1}$ là A thuộc đường tròn $(C_{1})$ tâm O(0;0) bán kính $R_{1} = 3 \sqrt{3}$ . Gọi điểm $Q_{1}$ là biểu diễn số phức 3i.

Khi đó $|3 z_{1} + 2 z_{2} - 3 i| = A Q_{1}$ , bài toán trở thành tìm ${(A Q_{1})}_{m a x}$ biết điểm A trên đường tròn $(C_{1})$ . Dễ thấy ${(A Q_{1})}_{m a x} = O Q_{1} + R_{1} = 3 + 3 \sqrt{3}$ .

 Tìm giá trị nhỏ nhất của $|3 z_{1} - 2 z_{2} + 1 - 2 i| = |3 z_{1} - 2 z_{2} - (- 1 + 2 i)|$ .

Đặt $3 z_{1} - 2 z_{2} = w_{2} \Rightarrow |w_{2}| = 3 \sqrt{7}$ , suy ra điểm biểu diễn $w_{2}$ là B thuộc đường tròn $(C_{2})$ tâm O(0;0) bán kính $R_{1} = 3 \sqrt{7}$ . Gọi điểm $Q_{2}$ là biểu diễn số phức -1+2i.

Khi đó $|3 z_{1} - 2 z_{2} - (- 1 + 2 i)| = B Q_{2}$ , bài toán trở thành tìm ${(B Q_{2})}_{\min}$ biết điểm B trên đường tròn $(C_{2})$ . Dễ thấy điểm $Q_{2}$ nằm trong đường tròn $(C_{2})$ nên ${(B Q_{2})}_{\min} = R_{2} - O Q_{2} = 3 \sqrt{7} - \sqrt{5}$ .

Vậy $M_{0} + m_{0} = 3 \sqrt{7} + 3 \sqrt{3} - \sqrt{5} + 3$ .

Câu 50:

Trong không gian Oxyz. Cho $d : \frac{x - 4}{2} = \frac{y - 5}{- 1} = \frac{z - 3}{2}$ và hai điểm A(3;1;2);B(-1;3;-2) Mặt cầu tâm I bán kính R đi qua hai điểm hai điểm A,B và tiếp xúc với đường thẳng d. Khi R đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,I. là $(P) : 2 x + b y + c z + d = 0.$ Tính d+b-c

A. 0

B. 1

C. -1

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Gọi E là trung điểm của $A B \Rightarrow E (1; 2; 0)$ và $I E = \sqrt{R^{2} - 9}$

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là $(α) : 2 x - y + 2 z = 0$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên d

Gọi M là hình chiếu vuông góc của E lên $d \Rightarrow E M = d_{(E; d)} = 9$

Toạ độ M là nghiệm hệ $\{\begin{cases} x = 2 t + 4 \\ y = - t + 5 \\ z = 2 t + 3 \\ 2 x - y + 2 z = 0 \end{cases} \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow M (2; 6; 1) \Rightarrow M E = 3 \sqrt{2}$

Vì $(α) ⊥ d$ và $I H + I E \geq E M \Rightarrow R$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow I, H, E$ thẳng hàng.

$\Rightarrow R + \sqrt{R^{2} - 9} = 3 \sqrt{2} \Rightarrow R = \frac{9 \sqrt{2}}{4}$

Vậy $\Rightarrow \vec{E I} = \frac{1}{4} \vec{E H} \Rightarrow I (\frac{5}{4}; 3; \frac{1}{4}) \Rightarrow \vec{I A} = (\frac{7}{4}; - 2; \frac{7}{4})$

$\Rightarrow \vec{n} = [\vec{A B}; \vec{I A}] = (- 18; 0; 18) = - 18 (1; 0; - 1)$

$(P) : 2 x - 2 z-2 = 0 \Rightarrow b = 0; c = - 2; d = - 2 \Rightarrow d + b - c = 0$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề)

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán học năm 2022 chọn lọc, có lời giải ( Đề 18)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan