Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
-
637 lượt thi
-
13 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABC trong đó SA,AB,BC đôi một vuông góc và SA=AB=BC=1. Khoảng cách giữa hai điểm S và C nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?
Xem đáp án
Do\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SA \bot AB}\\{SA \bot BC}\end{array}} \right.\) nên\[SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot AC\]
Như vậy \[SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt 3 \]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 2:
Cho hình chóp A.BCD có cạnh \[AC \bot (BCD)\] và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết \(AC = a\sqrt 2 \) và M là trung điểm của BD. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng
Xem đáp án
Dựng hình chiếu H của C trên AM
Do \[\Delta BCD\] đều cạnh aa nên đường cao \[MC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
\[d\left( {C,AM} \right) = CH = \frac{{AC.MC}}{{\sqrt {A{C^2} + M{C^2}} }} = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 3:
Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi H là trung điểm của BC, khoảng cách từ S đến AH bằng:
Xem đáp án
Gọi O là chân đường cao của hình chóp nên O là tâm tam giác đáy.
Do đó O là trọng tâm tam giác ABC hay\[O \in AH\]
Ta có \[AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}.3a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \]
\[{\rm{d}}\left( {S,AH} \right) = SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a\]Đáp án cần chọn là: C
Câu 4:
Cho hình chóp A.BCDcó cạnh \[AC \bot (BCD)\]và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết \(AC = a\sqrt 2 \), khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:
Xem đáp án
Gọi M là trung điểm của BD.
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC \bot BD}\\{CM \bot BD}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot AM\) (Định lý 3 đường vuông góc)
\[ \Rightarrow d\left( {A;BD} \right) = AM\]
\[CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\] (vì tam giác BCD đều).
Ta có: \[AM = \sqrt {A{C^2} + M{C^2}} = \sqrt {2{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABCD có \[SA \bot \left( {ABCD} \right),\] đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và \(\widehat B = {60^0}\)Biết SA=2a. Tính khoảng cách từ A đến SC.
Xem đáp án
Kẻ \[AH \bot SC\] khi đó \[d\left( {A,SC} \right) = AH\]
ABCD là hình thoi cạnh bằng a và\[\hat B = {60^ \circ } \Rightarrow {\rm{\Delta }}ABC\] đều nên\[AC = a\]
Trong tam giác vuông SAC ta có:
\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\]
\[ \Rightarrow AH = \frac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 6:
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ đỉnh AA của hình lập phương đó đến đường thẳng DB′ bằng
Xem đáp án
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống DB′.
Dễ thấy \[AD \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow {\rm{\Delta }}ADB'\] vuông đỉnh A.
Lại có\[AD = a;AB' = a\sqrt 2 \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{B^{\prime 2}}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến SA nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
Xem đáp án
Ta có:\[SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot MA\] hay A là hình chiếu của M trên SASA.
Khi đó\[d\left( {M,SA} \right) = MA = \sqrt {A{D^2} + D{M^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 8:
Cho hình chóp S.ABCD có \[SA \bot (ABCD),SA = 2a,\;ABCD\] là hình vuông cạnh bằng a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.
Xem đáp án
Kẻ\[OH \bot SC\] khi đó\[d\left( {O,SC} \right) = OH\] Ta có:\[{\rm{\Delta }}SAC \sim {\rm{\Delta }}OHC(g - g)\] nên\[\frac{{OH}}{{SA}} = \frac{{OC}}{{SC}} \Rightarrow OH = \frac{{OC}}{{SC}}.SA\]
Mà: \[OC = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = a\sqrt 6 \]
Vậy\[OH = \frac{{OC}}{{SC}}.SA = \frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]
Đáp án cần chọn là: A
Câu 9:
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng aa và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng α. Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng
Xem đáp án
\[SO \bot (ABCD),\;\]O là tâm của hình vuông ABCD.
Kẻ \[OH \bot SD\], khi đó\[d\left( {O;SD} \right) = OH,\alpha = \widehat {SDO}\]
\[OD = \frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow OH = OD\sin \alpha = \frac{{a\sqrt 2 \sin \alpha }}{2}\]
Đáp án cần chọn là: D
Câu 10:
Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng \(a\sqrt 2 \). Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) bằng
Xem đáp án
Bước 1:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
S.ABCD là hình chóp đều nên O là hình chiếu của S lên (ABCD).
\[d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SO\]
Bước 2:
ABCD là hình vuông nên
\[\begin{array}{*{20}{l}}{AC = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a = > AO = a}\\{ = > S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = 2{a^2} - {a^2} = {a^2}}\\{ = > SO = a}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: C
Câu 11:
Cho tứ diện SABC trong đó SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một vàSA=3a, SB=a,SC=2a. Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:
Xem đáp án
+ Dựng\[AH \bot BC \Rightarrow d\left( {A,BC} \right) = AH\]
+ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AS \bot (SBC) \supset BC \Rightarrow AS \bot BC}\\{AH \bot BC}\end{array}} \right.\),AHcắt AS cùng nằm trong (SAH).
\[ \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right) \supset SH \Rightarrow BC \bot SH\]
Xét trong \[{\rm{\Delta }}SBC\] vuông tại S có SH là đường cao ta có:
\[\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}} \Rightarrow S{H^2} = \frac{{4{a^2}}}{5} \Rightarrow SH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\]
+ Ta dễ chứng minh được\[AS \bot \left( {SBC} \right) \supset SH \Rightarrow AS \bot SH \Rightarrow {\rm{\Delta }}ASH\] vuông tại S.
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho \[{\rm{\Delta }}ASH\] vuông tại S ta có:
\[A{H^2} = S{A^2} + S{H^2} = 9{a^2} + \frac{{4{a^2}}}{5} = \frac{{49{a^2}}}{5} \Rightarrow AH = \frac{{7a\sqrt 5 }}{5}\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 12:
Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết \[SA = 3a,\;AB = a\sqrt 3 A,\;BC = a\sqrt 6 \]. Khoảng cách từ B đến SC bằng
Xem đáp án
Vì SA,AB,BC vuông góc với nhau từng đôi một nên\[CB \bot SB\]
Kẻ \[BH \bot SC\], khi đó\[d\left( {B;SC} \right) = BH\]
Ta có:\[SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {9{a^2} + 3{a^2}} = 2\sqrt 3 a\]
Trong tam giác vuông SBC ta có:
\[\frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{SB.BC}}{{\sqrt {S{B^2} + B{C^2}} }} = 2a\]
Đáp án cần chọn là: B
Câu 13:
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng aa. Khoảng cách từ ba điểm nào sau đây đến đường chéo AC′ bằng nhau ?
Xem đáp án
Dễ thấy các tam giác \[ABC',C'CA,ADC'\] là các tam giác vuông bằng nhau nên các đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền cũng bằng nhau.
Vậy:\[d\left( {B,AC'} \right) = d\left( {C,AC'} \right) = d\left( {D,AC'} \right)\]
Đáp án cần chọn là: B