50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án - đề 20

Câu 1:

Trong các hàm số được cho bởi các phương án sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \cot 2 x$

B. $y = \sin 2 x$

C. $y = \tan 2 x$

D. $y = \cos 2 x$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 2:

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào xác định với mọi giá trị thực của x ?

A. $y = {(2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

B. $y = {(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{3}}$

C. $y = {(1 - 2 x)}^{- 3}$

D. $y = {(1 + 2 \sqrt{x})}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 3:

Cho hàm số $y = a^{x}, 0 < a \neq 1.$ Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số $y = a^{x}$ có tập xác định là và có tập giá trị là $(0; + \infty)$

B. Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ có đường tiệm cận ngang là trục hoành

C. Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ có đường tiệm cận đứng là trục tung

D. Hàm số $y = a^{x}$ đồng biến trên tập xác định của nó khi a>1

Xem đáp án

Đáp án C

Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ có đường tiệm cận ngang là trục hoành và không có tiệm cận đứng.

Câu 4:

Đường thẳng $y = 4 x - 2$ và đồ thị hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x$ có tất cả bao nhiêu giao điểm?

A. 3

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm là: $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x = 4 x - 2 \Leftrightarrow x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} (x - 2) - (x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \pm 1 \end{array} \Rightarrow 3$ giao điểm.

Câu 5:

Giải bất phương trình $\log_{\frac{π}{4}} (x^{2} - 3 x) < \log_{\frac{π}{4}} (x + 4) ?$

A. $2 - 2 \sqrt{2} < x < 2 + 2 \sqrt{2}$

B. $2 - 2 \sqrt{2} < x < 0$

C. $[\begin{array}{l} - 4 < x < 2 - 2 \sqrt{2} \\ x > 2 + 2 \sqrt{2} \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} x < 2 - 2 \sqrt{2} \\ x > 2 + 2 \sqrt{2} \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án C

ĐK: $\{\begin{cases} 0 > x > - 4 \\ x > 3 \end{cases} .$ Vì $0 < \frac{π}{4} < 1$ nên bất phương trình

$\Leftrightarrow x^{2} - 3 x > x + 4 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 4 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < 2 - 2 \sqrt{2} \\ x > 2 + 2 \sqrt{2} \end{array}$

Câu 6:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x^{2}}{x - 2}$ trên (2;6]

A. $\min_{(2; 6]} y = 9$

B. $\min_{(2; 6]} y = 8$

C. $\min_{(2; 6]} y = 3$

D. $\min_{(2; 6]} y = 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = \frac{x^{2} - 4 x}{{(x - 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 4 \end{array} .$

Lập bảng biến thiên

$\Rightarrow \min_{(2; 6]} y = 8 \Leftrightarrow x = 4.$

Câu 7:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng nhau

B. Hình chóp đều có các cạnh đáy bằng nhau

C. Hình chóp đều có các cạnh bên bằng nhau

D. Tứ diện đều là một chóp tam giác đều.

Xem đáp án

Đáp án A

Hình chóp đều có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Câu 8:

Trong các hàm số $f_{1} (x) = \sin x; f_{2} (x) = \sqrt{x + 1}; f_{3} (x) = x^{3} - 3 x$ và $f_{4} (x) = \{\begin{cases} x + \sqrt{x - 1} k h i x \geq 1 \\ 2 - x k h i x < 1 \end{cases}$ có tất cả bao nhiêu hàm số là hàm liên tục trên R ?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Các hàm số $f_{1}, f_{3}$ liên tục trên R. Hàm số f2liên tục trên R. Xét hàm f4 .

Ta có: $\lim_{x \to 1^{+}} f_{4} (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x + \sqrt{x - 1}) = 1 = f_{4} (1); \lim_{x \to 1^{-}} f_{4} (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (2 - x) = 1 = f_{4} (1) \Rightarrow f_{4}$

liên tục trên R. Vậy có tất cả 3 hàm số liên tục trên R.

Câu 9:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với số hạng đầu là $u_{1} = - 2017$ và công sai $d = 3.$ Bắt đầu từ số hạng nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương?

A. $u_{674}$

B. $u_{672}$

C. $u_{675}$

D. $u_{673}$

Xem đáp án

Đáp án A

Công thức số hạng tổng quát là: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = - 2017 + (n - 1) .3 = 3 n - 2020.$

Ta có: $u_{n} > 0 \Leftrightarrow 3 n - 2020 > 0 \Leftrightarrow n > \frac{2020}{3} ~ 673, 3 \Rightarrow$ Bắt đầu từ số hạng $u_{674}$ các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương.

Câu 10:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình $\sin \frac{x}{2} + (m - 1) c os \frac{x}{2} = \sqrt{5}$ vô nghiệm?

A. m>3 hoặc $m \leq - 1$

B. $- 1 \leq m \leq 3$

C. $m \geq 3$ hoặc m<-1

D. $- 1 < m < 3$

Xem đáp án

Đáp án D

Để phương trình vô nghiệm thì ${(\sqrt{5})}^{2} > 1^{2} + {(m - 1)}^{2} \Leftrightarrow {(m - 1)}^{2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < m - 1 < 2 \Leftrightarrow - 1 < m < 3.$

Câu 11:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với $A B = 2 a, A D = 3 a$ . Cạnh bên SA vuông góc với đáy $(A B C D) v à S A = a$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V = 6 a^{3}$

B. $V = a^{3}$

C. $V = 3 a^{3}$

D. $V = 2 a^{3}$

Xem đáp án

: Đáp án D

Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} a .2 a .3 a = 2 a^{3} .$

Câu 12:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + (9 m - 6) x$ đồng biến trên R

A. $[\begin{array}{l} m \geq 2 \\ m \leq 1 \end{array}$

B. $1 \leq m \leq 2$

C. $[\begin{array}{l} m > 2 \\ m < 1 \end{array}$

D. $1 < m < 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 m x + 9 m - 6$ . Hàm số đồng biến trên R

$\Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow Δ^{'} \leq 0 \Leftrightarrow 9 m^{2} - 3 (9 m - 6) \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 2$

Câu 13:

Cho hàm số $y = x - 2 \sqrt{x} .$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty) .$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) .$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 1) .$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số có tập xác định $D = [0; + \infty) .$

Ta có $y' = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow \{\begin{cases} y' > 0 \Leftrightarrow x > 1 \\ y' < 0 \Leftrightarrow x < 1 \end{cases} .$

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ , nghịch biến trên khoảng (0;1).

Câu 14:

Trong các hàm số được cho dưới đây, đồ thị của hàm số nào không có đường tiệm cận?

A. $y = \frac{1}{x}$

B. $y = \frac{2 x + 1}{2 - x}$

C. $y = \frac{x}{x^{2} + 1}$

D. $y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 15:

Cho tam giác ABC vuông tại A có ba cạnh CA, AB, BC lần lượt tạo thành một cấp số nhân có công bội q. Tìm q ?

A. $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

B. $\frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{5}}}{2}$

C. $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{2 \sqrt{5} - 2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $A C . B C = A B^{2} \Leftrightarrow A C . B C = B C^{2} - A C^{2} \Leftrightarrow A C^{2} q^{2} = A C^{2} q^{4} - A C^{2} \Rightarrow q^{2} = q^{4} - 1$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} q^{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ q^{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{array} \Rightarrow q^{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{5}}}{2} .$

Câu 16:

Cho f(x)là một đa thức thỏa mãn $\lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 16}{x - 1} = 24.$ Tính $\lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 16}{(x - 1) (\sqrt{2 f (x) + 4} + 6)} .$

A. $I = 24$

B. $I = + \infty$

C. $I = 2$

D. $I = 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Chọn $f (x) - 16 = 24 (x - 1) \Rightarrow f (x) = 24 x - 8 \Rightarrow f (1) = 16.$

$\lim_{x \to 1} \frac{f (x) - 16}{(x - 1) (\sqrt{2 f (x) + 4} + 6)} = \frac{24}{\sqrt{2.16 + 4} + 6} = 2.$

Câu 17:

Khi đặt $t = \log_{5} x$ thì bất phương trình ${\log_{5}}^{2} (5 x) - 3 \log_{\sqrt{5}} x - 5 \leq 0$ trở thành bất phương trình nào dưới đây?

A. $t^{2} - 6 t - 4 \leq 0$

B. $t^{2} - 6 t - 5 \leq 0$

C. $t^{2} - 4 t - 4 \leq 0$

D. $t^{2} - 3 t - 5 \leq 0$

Xem đáp án

Đáp án C

$B P T \Leftrightarrow {[1 + \log_{5} x]}^{2} = 6 \log_{5} x - 5 \leq 0 \Leftrightarrow {\log_{5}}^{2} x - 4 \log_{5} x \leq 0 \overset{t = \log_{5} x}{\to} t^{2} - 4 t - 4 \leq 0.$

Câu 18:

Một khối lập phương có độ dài đường chéo bằng $a \sqrt{6} .$ Tính thể tích của khối lập phương đó.

A. $V = 64 a^{3}$

B. $V = 8 a^{3}$

C. $V = 2 \sqrt{2} a^{3}$

D. $V = 3 \sqrt{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Độ dài cạnh của hình lập phương là: $\sqrt{\frac{{(a \sqrt{6})}^{2}}{3}} = a \sqrt{2} .$

Thể tích khối lập phương là: $V = {(a \sqrt{2})}^{2} = 2 \sqrt{2} a^{3} .$

Câu 19:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm đa giác đáy ABCD. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $B D ⊥ (S A C)$

B. $B C ⊥ (S A B)$

C. $A C ⊥ (S B D)$

D. $O S ⊥ (A B C D)$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 20:

Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Cực đại của hàm số là 4

B. Cực tiểu của hàm số là 3

C. $\max_{ℝ} y = 4$

D. $\min_{ℝ} y = 3$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên R

Câu 21:

Tính đạo hàm của hàm số $y = \log_{9} (x^{2} + 1) .$

A. $y' = \frac{2 x \ln 9}{x^{2} + 1}$

B. $y' = \frac{1}{(x^{2} + 1) \ln 9}$

C. $y' = \frac{x}{(x^{2} + 1) \ln 3}$

D. $y' = \frac{2 \ln 3}{x^{2} + 1}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = \frac{(x^{2} + 1)'}{(x^{2} + 1) \ln 9} = \frac{x}{(x^{2} + 1) \ln 3} .$

Câu 22:

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết $A B = 3 a,$ góc giữa đường thẳng A’B và mặt đáy lăng trụ bằng $30^{\circ} .$ Tính thể tích V của khối chóp A’.ABC.

A. $V = \frac{3 \sqrt{3} a^{3}}{2}$

B. $V = \frac{9 \sqrt{3} a^{3}}{2}$

C. $V = \frac{27 \sqrt{3} a^{3}}{2}$

D. $V = \frac{9 \sqrt{3} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $A' A = A B \tan 30^{\circ} = 3 a . \frac{1}{\sqrt{3}} = a \sqrt{3}; S_{A B C} = \frac{1}{2} (3 a^{2}) = \frac{9 a^{2}}{2}$

Thể tích khối chóp A’.ABC là $V = \frac{1}{3} A' A . S_{A B C} = \frac{1}{3} a \sqrt{3} . \frac{9 a^{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} a^{3}}{2} .$

Câu 23:

Tính diện tích của mặt cầu (S) khi biết nửa chu vi đường tròn lớn của nó bằng $4 π .$

A. $S = 16 π .$

B. $S = 64 π .$

C. $S = 8 π .$

D. $S = 32 π .$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi bán kính đường tròn lớn là R.

Ta có: $π R = 4 π \Leftrightarrow R = 4.$

Diện tích của mặt cầu (S) là: $S = 4 π R^{2} = 4 π 4^{2} = 64 π .$

Câu 24:

Tìm cực đại của hàm số $y = - \frac{1}{4} x^{4} + 2 x^{2} - 1.$

A.3

B.0

C.-1

D. $\pm 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = - x^{3} + 4 x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 2 \end{array} .$ (Chú ý cực đại là giá trị cực đại ).

Mặt khác $\{\begin{cases} y (0) = - 1 \\ y (\pm 2) = 3 \end{cases} \Rightarrow y_{C D} = 3.$

Câu 25:

Giải bât phương trình ${(\frac{3}{4})}^{x^{2} - 4} \geq 1$ ta được tập nghiệm là T. Tìm T ?

A. $T = [- 2; 2]$

B. $T = [2; + \infty)$

C. $T = (- \infty; - 2]$

D. $T = (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

$B P T \Leftrightarrow x^{2} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 2 \Rightarrow T = [- 2; 2] .$

Câu 26:

Từ 6 điểm phân biệt thuộc đường thẳng $Δ$ và một điểm không thuộc đường thẳng $Δ$ ta có thể tạo được tất cả bao nhiêu tam giác?

A. 210

B. 30

C. 15

D. 35

Xem đáp án

Đáp án C

Số tam giác tạo được bằng $C_{6}^{2} = 15.$

Câu 27:

Giải phương trình $\log_{2} (2 x - 2) = 3.$

A. $x = 3$

B. $x = 2$

C. $x = 5$

D. $x = 4$

Xem đáp án

Đáp án C

$P T \Leftrightarrow 2 x - 2 = 2^{3} = 8 \Leftrightarrow x = 5.$

Câu 28:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, $S A = a$ . Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC).

A. $d = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

B. $d = \frac{a \sqrt{2}}{3}$

C. $d = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

D. $d = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi I là trung điểm của BC,H là hình chiếu của A xuống SI.

Ta có: $\{\begin{cases} B C ⊥ A H \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A I) \Rightarrow A H ⊥ (S B C)$

Ta có: $A I = \sqrt{{(2 a)}^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3}$

$\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A I^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a \sqrt{3})}^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$d (A; (S B C)) = A H = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Câu 29:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = {(x - 3)}^{2} (x + 2) (\sqrt{x} - 1) .$ Hỏi hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

$f' (x)$ đổi dấu khi đi qua điểm $x = 1,$ suy ra $y = f (x)$ có 1 điểm cực trị.

Câu 30:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây, hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \frac{x + 2}{1 - 2 x}$

B. $y = \frac{x - 2}{1 + 2 x}$

C. $y = \frac{x + 2}{2 x - 1}$

D. $y = \frac{x - 2}{2 x - 1}$

Xem đáp án

ĐÁP ÁN C

Câu 31:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} + m^{2} x - 2 m^{2} + 2 m - 9$ , m là tham số. Gọi S là tất cả các giá trị của m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0; 3]$ không vượt quá 3. Tìm S?.

A. $S = (- \infty; - 3) \cup (1; + \infty)$

B. $S = [- 3; 1]$

C. $S = (- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$

D. $S = (- 3; 1)$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = x^{2} + m^{2} \geq 0 (\forall x \in [0; 3])$

Do đó hàm số đồng biến trên đoạn $[0; 3]$

Khi đó $\underset{[0; 3]}{M ax} y = y (3) = 9 + 3 m^{2} - 2 m^{2} + 2 m - 9 = m^{2} + 2 m \leq 3 \Leftrightarrow - 3 \leq m \leq 1$

Câu 32:

Cho điểm H(4;0) đường thẳng $x = 4$ cắt hai đồ thị hàm số $y = \log_{a} x$ và $y = \log_{b} x$ lần lượt tại 2 điểm A, B sao cho $A B = 2 B H$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $b = a^{3}$

B. $a = b^{3}$

C. $a = 3 b$

D. $b = 3 a$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $A B = 2 B H \Rightarrow A H = 3 B H \Rightarrow \log_{a} 4 = 3 \log_{b} 4 \Leftrightarrow \frac{1}{\log_{4} a} = \frac{3}{\log_{4} b} \Leftrightarrow a^{3} = b .$

Câu 33:

Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy R.

A. $S_{x q} = 2 π R h$

B. $S_{x q} = π R^{2} h$

C. \ $S_{x q} = π R h$

D. $S_{x q} = 4 π R h$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 34:

Tính tổng $S = 2 C_{2017}^{0} - 2 C_{2017}^{1} + 4 C_{2017}^{2} - 8 C_{2017}^{3} + ... + 2^{2016} C_{2017}^{2016} - 2^{2017} C_{2017}^{2017} ?$

A. -1

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Xét khai triển ${(1 - x)}^{2017} = C_{2017}^{0} - C_{2017}^{1} x + C_{2017}^{2} x^{2} - ... - 2^{2017} C_{2017}^{2017} x^{2017} .$

Cho $x = 2$ ta được $C_{2017}^{0} - 2 C_{2017}^{1} + 4 C_{2017}^{2} - 8 C_{2017}^{3} + ... + 2^{2016} C_{2017}^{2016} - 2^{2017} C_{2017}^{2017} = - 1$

Lại có $C_{2017}^{0} = 1 \Rightarrow S = 2 C_{2017}^{0} - 2 C_{2017}^{1} + 4 C_{2017}^{2} - 8 C_{2017}^{3} + ... + 2^{2016} C_{2017}^{2016} - 2^{2017} C_{2017}^{2017} = 0.$

Câu 35:

Hết ngày 31 tháng 12 năm 2017, dân số tỉnh X là 1,5 triệu người. Với tốc độ tăng dân số hằng năm không thay đổi là $1, 5 %$ và chỉ có sự biến động dân số do sinh-tử thì trong năm 2027 (từ 1/1/2027 đến hết ngày 31/12/2027) tại tỉnh X có tất cả bao nhiêu trẻ em được sinh ra, giả sử rằng tổng số người tử vong trong năm $2027 l à 2700$ người và chỉ là những người trên hai tuổi?

A. 28812

B. 28426

C. 23026

D. 23412

Xem đáp án

Đáp án B

Tổng số người tăng lên trong năm 2027 là: $1, 5 {(1 + 1, 5 %)}^{10} - 1, 5 {(1 + 1, 5 %)}^{9} = 25726$ người.

Số dân tăng lên này bằng số người sinh ra trừ số người tử vong năm 2027

Do đó trong năm 2027 có $25726 + 2700 = 28426$ người.

Câu 36:

Khi cắt khối trụ (T) bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục của trụ (T) một khoảng bằng $a \sqrt{3}$ là được thiết diện là hình vuông có diện tích bằng $4 a^{2} .$ Tính thể tích V của khối trụ (T)?.

A. $V = 7 \sqrt{7} π a^{3}$

B. $V = \frac{7 \sqrt{7}}{3} π a^{3}$

C. $V = \frac{8}{3} π a^{3}$

D. $V = 8 π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Cạnh hình vuông bằng $2 a \Rightarrow h_{(T)} = 2 a$

Bán kính đáy $R = \sqrt{{(a \sqrt{3})}^{2} + {(\frac{2 a}{2})}^{2}} = 2 a$

Suy ra $V = π R^{2} h = 8 π a^{3}$

Câu 37:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x - 1} + 2017}{\sqrt{x^{2} - 2 m x + m + 2}}$ đúng 3 đường tiệm cận?

A. $2 < m \leq 3$

B. $2 \leq m \leq 3$

C. $m < 2$

D. $m > 2$ hoặc $m < - 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} y = 0 \Rightarrow$ đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là $y = 0$ .

Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì phương trình : $g (x) = x^{2} - 2 m x + m + 2 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt

$x_{1} > x_{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' = m^{2} - m - 2 > 0 \\ (x_{1} - 1) (x_{2} - 1) \geq 0 \\ x_{1} - 1 + x_{2} - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (m + 1) (m - 2) > 0 \\ x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) + 1 \geq 0 \\ x_{2} + x_{2} > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (m + 1) (m - 2) > 0 \\ m + 2 - 2 m + 1 > 0 \\ 2 m > 2 \end{cases} \Leftrightarrow 3 \geq m > 2.$

Câu 38:

Cho hàm số $y = f (x) v à y = g (x)$ là hai hàm liên tục trên R có đồ thị hàm số $y = f' (x)$ là đường cong nét đậm và $y = g' (x)$ là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi 3 giao điểm A, B, C của đồ thị $y = f' (x) v à y = g' (x)$ trên hình vẽ lần lượt có hoành độ là a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $h (x) = f (x) - g (x)$ trên đoạn $[a; c] ?$

A. $\underset{[a; c]}{M i n} h (x) = h (0)$

B. $\underset{[a; c]}{M i n} h (x) = h (a)$

C. $\underset{[a; c]}{M i n} h (x) = h (b)$

D. $\underset{[a; c]}{M i n} h (x) = h (c)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $h' (x) = f' (x) - g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = a \\ x = b \\ x = c \end{array}$

Với $x \in [a; b]$ thì đồ thị $g' (x)$ nằm trên $f' (x)$ nên $g' (x) > f' (x) \Rightarrow h' (x) < 0$ hàm số nghịch biến trên đoạn $[a; b]$

Tương tự với $x \in [b; c]$ thì $h (x)$ đồng biến.

Do đó $\underset{[a; c]}{M i n} h (x) = h (b) .$

Câu 39:

Cho phương trình $\frac{(1 + \cos x) (c os 2 x - \cos x) - \sin^{2} x}{\cos x + 1} = 0.$ Tính tổng tất cả các nghiệm năm trong khoảng $(0; 2018 π)$ của phương trình đã cho?

A. $1019090 π$

B. $2037171 π$

C. $2035153 π$

D. $1017072 π$

Xem đáp án

Đáp án D

ĐK: $\cos x \neq - 1$ . Khi đó $P T \Leftrightarrow \frac{(1 + \cos x) (2 c {os}^{2} x - \cos x - 1) - (1 - c {os}^{2} x)}{1 + \cos x} = 0$

$\Leftrightarrow 2 c {os}^{2} x - \cos x - 1 - (1 - \cos x) = 0 \Leftrightarrow 2 c {os}^{2} x = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 1 \\ \cos x = - 1 (l o a i) \end{array} \Leftrightarrow x = k 2 π$

Do $x \in (0; 2018) \Rightarrow k \in [1; 1008] \Rightarrow \sum = (1 + 2 + 3 + ... + 1008) .2 π = \frac{1 + 1008}{2} .1008.2 π = 1017072 π$

Câu 40:

Cho chuyển động được xác định bởi phương trình $s (t) = t^{3} - 2 t^{2} + 3 t$ với t tính bằng giây, s(t) là quãng đường chuyển động tính theo mét. Tính từ lúc bắt đầu chuyển động, tại thời điểm $t = 2$ giây thì gia tốc a của chuyển động có giá trị bằng bao nhiêu?

A. $a = 8 m / s^{2}$

B. $a = 6 m / s^{2}$

C. $a = 7 m / s^{2}$

D. $a = 16 m / s^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình vận tốc của vật là $v (t) = s' (t) = 3 t^{2} - 4 t + 3$

Phương trình gia tốc là: $a = v' (t) = 6 t - 4 \Rightarrow a (2) = 8 m / s^{2} .$

Câu 41:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $A B = a \sqrt{6}$ , cạnh $S C = 4 \sqrt{3} a .$ Hai mặt phẳng $(S A D) v à (S A C)$ cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD và M là trung điểm của SC. Tính góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ACD)

A. $30 °$

B. $60 °$

C. $90 °$

D. $45 °$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi O là tâm của hình vuông $A B C D \Rightarrow O M ⊥ (A B C D) .$

Suy ra $\hat{M B; (A C D)} = \hat{M B; (A B C D)} = \hat{(M B; O B)} \hat{= M B O}$

Tam giác SAC vuông $\Rightarrow S A = \sqrt{S C^{2} - A C^{2}} = 6 a \Rightarrow O M = 3 a$

Tam giác OMB vuông tại O, có $\tan \hat{M B O} = \frac{O M}{O B} = \frac{3 a}{\sqrt{3} a} = \sqrt{3} .$

Vậy góc giữa đường thẳng BM và mp (ACD) là $60^{\circ}$ .

Câu 42:

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn $\log_{6} x = \log_{9} x = \log_{4} (2 x + 2 y) .$ Tính tỉ số x/y

A. $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$

B. $\frac{x}{y} = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$

C. $\frac{x}{y} = \frac{1}{\sqrt{3} + 1}$

D. $\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $\log_{6} x = \log_{9} x = \log_{4} (2 x + 2 y) = t \Rightarrow \{\begin{cases} x = 6^{t} \\ y = 9^{t} \end{cases}$ và $2 x + 2 y = 4^{t} .$

$\Rightarrow {2.6}^{y} + {2.9}^{t} = 4^{t} \Leftrightarrow {[{(\frac{2}{3})}^{t}]}^{2} - 2. {(\frac{2}{3})}^{t} - 2 = 0 \Leftrightarrow {(\frac{2}{3})}^{t} = 1 + \sqrt{3} \Rightarrow \frac{x}{y} = 1 + \sqrt{3}$

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCDvới đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, đáy nhỏ của hình thang là CD, cạnh bên $S C = a \sqrt{15} .$ Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của cạnh AD, khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SHC) bằng $2 \sqrt{6} a .$ Tính thể tích V của khối chóp S,ABCD?

A. $V = 8 \sqrt{6} a^{3}$

B. $V = 12 \sqrt{6} a^{3}$

C. $V = 4 \sqrt{6} a^{3}$

D. $V = 24 \sqrt{6} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Tam giác SAD đều cạnh $2 a \Rightarrow S H = a \sqrt{3} \Rightarrow H C - 2 a \sqrt{3} .$

Kẻ BK vuông góc $H C \Rightarrow B K ⊥ (S H C) \Rightarrow B K - 2 a \sqrt{6}$

Diện tích tam giác BHC là $S_{Δ B H C} = \frac{1}{2} B K . H C = 6 a^{2} \sqrt{2}$

Mà $S_{A B C D} = S_{Δ H A B} + S_{_{Δ} H C D} + S_{_{Δ} H B C} = \frac{1}{2} S_{A B C D} + S_{_{Δ} H B C} \Rightarrow S_{A B C D} = 2 x S_{_{Δ} H B C} = 12 a^{2} \sqrt{2}$

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S H . S_{_{Δ} H B C} = \frac{1}{3} . a \sqrt{3} .12 a^{2} \sqrt{2} = 4 \sqrt{6} a^{3}$

Câu 44:

Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi, $A C = 2 a, \hat{B A D} = 120^{\circ} .$ Hình chiếu vuông góc của điểm B trên mặt phẳng $(A' B' C' D')$ là trung điểm cạnh A' B' góc giữa mặt phẳng $(A C' D')$ và mặt đáy lăng trụ bằng $60^{\circ}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ $A B C D . A' B' C' D'$

A. $V = 2 \sqrt{3} a^{3}$

B. $V = 3 \sqrt{3} a^{3}$

C. $V = \sqrt{3} a^{3}$

D. $V = 6 \sqrt{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi H là trung điểm của BC, kẻ $H K ⊥ C' D' (K \in C' D')$

Suy ra $B H ⊥ (A' B' C' D') \Rightarrow \hat{(A C' D'); (A' B' C' D')} = \hat{B K H}$

Tam giác A’C’D’ đều cạnh $2 a \Rightarrow H K = d (A'; C' D') = a \sqrt{3}$

Tam giác BHK vuông tại H $\Rightarrow B H = \tan 60^{\circ} x H K = 3 a$

Diện tích hình thoi A’B’C’D’ là $S_{A' B' C' D'} = 2 a^{2} \sqrt{3} .$

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’D’ là $V = B H . S_{A' B' C' D'} = 3 a .2 a^{2} \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} a^{3}$

Câu 45:

Lớp 10X có 25 học sinh, chia lớp 10X thành hai nhóm A và B sao cho mỗi nhóm đều có học sinh nam và học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên hai học sinh từ hai nhóm, mỗi nhóm một học sinh. Tính xác suất để chọn được hai học sinh nữ. Biết rằng, trong nhóm A có đúng 9 học sinh nam và xác suất chọn được hai học sinh nam bằng 0,54

A. 0,42

B. 0,04

C. 0,46

D. 0,23

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi số học sinh nữ trong nhóm A là $x (x \in ℕ^{*})$

Gọi số học sinh nam trong nhóm B là $y (y \in ℕ^{*})$

=>Số học sinh nữ trong nhóm B là $25 - 9 - x - y = 16 - x - y \Rightarrow x + y < 16$

Khi đó, Nhóm A: nam, x nữ và nhóm B: y nam, $16 - x - y$ nữ.

Xác suất để chọn được hai học sinh nam là $\frac{C_{9.}^{1} C_{y}^{1}}{C_{9 + x}^{1} . C_{25 - 9 - x}^{1}} = 0, 54 \Leftrightarrow \frac{9 y}{(9 + x) (16 - x)} = \frac{27}{50} .$

$\Rightarrow y = \frac{30}{50} (9 + x) (16 - x) \Rightarrow x < 16.$ Vì $y \in ℕ^{*} \Rightarrow \frac{3}{50} (9 + x) (16 - x) \in ℕ^{*} .$

$\Rightarrow (x, y) = \{(1; 9), (6; 9), (11; 6)\} .$ Mặt khác $x + y < 16 \Rightarrow [\begin{array}{l} (x, y) = (1; 9) \\ (x, y) = (6; 9) \end{array} .$

( Khi chia nhóm thì A,B có vai trò như nhau nên có 2 cặp thỏa mãn )

Vậy xác suất để chọn đươc hai học sinh nữ là 0,04

Câu 46:

Khi cắt khối nón (N) bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $2 \sqrt{3} a .$ Tính thể tích V của khối nón (N)

A. $V = 3 \sqrt{6} π a^{3}$

B. $V = \sqrt{6} π a^{3}$

C. $V = \sqrt{3} π a^{3}$

D. $V = 3 \sqrt{3} π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Theo bài ra, khối nón (N) có $\{\begin{cases} r = a \sqrt{3} \\ h = a \sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow V_{(N)} = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {(a \sqrt{3})}^{2} a \sqrt{3} = \sqrt{3} π a^{3} .$

Câu 47:

Khi đồ thị hàm số $y = x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có hai điểm cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị ấy đi qua gốc tọa độ, hãy tìm giá trị nhỏ nhất minT của biểu thức $T = b c d + b c + 3 d .$

A. $\min T = - 4$

B. $\min T = - 6$

C. $\min T = 4$

D. $\min T = 6$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = 3 x^{2} + 2 b x + c \Rightarrow y'' = 6 x + 2 b$ suy ra $y' - \frac{y' . y''}{18} = \frac{2}{3} (c - \frac{b^{2}}{3}) x + d - \frac{b c}{9} .$

Do đó, phương trình đi qua hai điểm cực trị là $y = \frac{2}{3} (c - \frac{b^{2}}{3}) x + d - \frac{b c}{9} (d) .$

Mà (d) đi qua gốc tọa độ O $\Rightarrow d - \frac{b c}{9} = 0 \Leftrightarrow b c = 9 d .$ Khi đó $T = 9 d^{2} + 12 d \geq - 4.$

Chú ý: Hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có phương trình đt đi qua hai điểm cực trị là $f (x) = y - \frac{y' . y''}{18 a} .$

Câu 48:

Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + 2$ tại điểm $A (- 1; 1)$ vuông góc với đường thẳng $x - 2 y + 3 = 0$ . Tính $a^{2} - b^{2} .$

A. 10

B. 13

C. -2

D. -5

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y = a x^{4} + b x^{2} + 2 \to y' = 4 a x^{3} + 2 b x \Rightarrow y' (1) = - 4 a - 2 b .$

Theo bài ra, ta có $\{\begin{cases} y' (- 1) = - 2 \\ y (- 1) = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 4 a - 2 b = - 2 \\ a + b + 2 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 3 \end{cases} \Rightarrow a^{2} - b^{2} = - 5.$

Câu 49:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCD.A'B'C'D' có bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy ABC bằng $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ và góc giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng $60^{\circ}$ . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB' và BC' ?

A. $d = \frac{2 \sqrt{2} a}{3}$

B. $d = \frac{4 a}{3}$

C. $d = \frac{2 \sqrt{3} a}{3}$

D. $d = \frac{2 \sqrt{6} a}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Tam giác ABC đều có $R_{Δ A B C} = \frac{2 a \sqrt{3}}{3} \Rightarrow A B = 2 a .$

Dựng hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, O là trung điểm của B’D’

khi đó $B C' / / A D' \Rightarrow \hat{B' A D'} = 60^{\circ} \Rightarrow Δ A B' D$ đều cạnh

$B' D' = 2 a \sqrt{3} \Rightarrow A D = 2 a \sqrt{3} \Rightarrow A A' = \sqrt{A' D^{2} - A D^{2}} = 2 a \sqrt{2}$

Lại có:

$\begin{array}{l} d (A B'; B C') = d (B C'; (A B' D')) = d (B; (A B' D')) = d (A'; (A' B' D')) \\ = A' H = \frac{A' O . AA'}{\sqrt{A' O^{2} + A A'^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{2}}{3} . \end{array}$

Câu 50:

Cho hình chóp S,ABCDcó đáy ABCD là hình vuông, các tam giác SAB và SAD là những tam giác vuông tại A . Mặt phẳng (P)đi qua A và vuông góc với cạnh bên SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Biết $S C = 8 a, \hat{A S C} = 60^{\circ} .$ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp đa diện ABCD.MNP

A. $V = 24 π a^{3}$

B. $V = 32 \sqrt{3} π a^{3}$

C. $V = 18 \sqrt{3} π a^{3}$

D. $V = 6 π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Nối $S O \cap A N = E$ , qua E kẻ đường thẳng song song với BD. Cắt SB,SD lần lượt tại $M, P \Rightarrow m p (P) \equiv (A M N P) .$

Ta có $S A ⊥ A B, S A ⊥ A D \Rightarrow S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow B C ⊥ (S A B) .$

Mà $SC ⊥ (A M N P) \Rightarrow S C ⊥ A M$ suy ra $A M ⊥ (S B C) .$

Do đó $A M ⊥ M C$ mà O là trung điểm của $A C \Rightarrow O A = O M = O C .$

Tương tự, ta chứng minh được O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối

đa diện $A B C D . M N P \Rightarrow R = \frac{A C}{2} = \frac{4 a \sqrt{3}}{2} = 2 a \sqrt{3} .$

Vậy thể tích cần tính là $V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(2 \sqrt{3})}^{3} = 32 \sqrt{3} π a^{3} .$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án

Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án - đề 20

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan