50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án - đề 25

Câu 1:

Đồ thị hàm số $y = \sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} - \sqrt{4 x^{2} + 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y = \frac{4 x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} + \sqrt{4 x^{2} + 1}} \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{4 x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} + \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{4 + \frac{2}{x}}{\sqrt{4 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}} = 1 \Rightarrow y = 1$ là TCN.

$\lim_{x \to - \infty} = \lim_{x \to - \infty} = \frac{4 x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 4 x + 3} + \sqrt{4 x^{2} + 1}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 4 - \frac{2}{x}}{\sqrt{4 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}} = - 1 \Rightarrow y = - 1$ là TCN.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường TCN.

Câu 2:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Độ dài cạnh bên bằng 4a. Mặt phẳng $(B C C' B')$ vuông góc với đáy và $\hat{B' B C} = 30^{\circ}$ .Thể tích khối chóp $A . C C' B'$ là

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{18}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó $B I ⊥ (B C C' B') .$

Ta có: $A I = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l} S_{B' C' C} = \frac{1}{2} . a .4 a . \sin 30^{\circ} = a^{2} \\ V_{A . C C' B'} = \frac{1}{3} A I . S_{B' C' C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} . \end{array}$

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu: $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$ và mặt phẳng $(P) : 4 - 3 y - = 0.$ Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P)và mặt cầu (S) có đúng 1 điểm chung.

A. $m = 1$

B. $m = - 1$ hoặc $m = - 21$

C. $m = 1$ hoặc $m = 21$

D. $m = - 9$ hoặc $m = 31$

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt cầu (S)tâm $I (2; - 1; - 2)$ và bán kính $R = 2.$ . Để mặt phẳng (P)và mặt cầu (S)có đúng 1 điểm chung thì $d (I; (P)) = R \Leftrightarrow \frac{|4.2 - 3 (- 1) - m|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 21 \end{array} .$

Câu 4:

Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?

A. $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ với $k \in ℝ$

B. $\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x, f (x); g (x)$ liên tục trên R

C. $\int x^{α} d x = \frac{1}{α + 1} x^{α + 1} + C$ với $α \neq - 1$

D. $(\int f (x) d x)' = f (x)$

Xem đáp án

Đáp án A

Nếu $k = 0 \Rightarrow \int 0 d x = C; k \int f (x) d x = 0.$

Câu 5:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, MC. Thể tích của khối chóp N.ABCD là:

A. V/6

B. V/4

C. V/2

D. V/3

Xem đáp án

Đáp án B

Vì $N C = M N$ và $M A = M S$ nên $d (N; (A B C D)) = \frac{1}{2} d (M; (A B C D))$

Thể tích khối chóp N.ABCD là: $V = \frac{1}{3} d (N; (A B C D)) . S_{A B C D} = \frac{1}{4} . \frac{1}{3} d (S; (A B C D)) . S_{A B C D} = \frac{V}{4}$

Câu 6:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{3}} (x - 1) + \log_{3} (11 - 2 x) \geq 0$ là:

A. $S = (1; 4]$

B. $S = (- \infty; 4]$

C. $S = (3; \frac{11}{2})$

D. $S = (1; 4)$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $\{\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 11 - 2 x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < x < \frac{11}{2} (*)$

Với điều kiện (*) thì bất phương trình trở thành:

$\log_{3} (11 - 2 x) - \log_{3} (x - 1) \geq 0 \Leftrightarrow \log_{3} \frac{11 - 2 x}{x - 1} \geq 0$ $\Leftrightarrow \frac{11 - 2 x}{x - 1} \geq 1 \Leftrightarrow 11 - 2 x \geq x - 1 \Leftrightarrow x \leq 4.$

So sánh với (*) ta có: $1 < x \leq 4.$

Câu 7:

Biết $\int_{0}^{4} x \ln (x^{2} + 9) d x = a \ln 5 + b \ln 3 + c$ trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị của biểu thức $T = a + b + c$ là:

A. 10

B. 9

C. 8

D. 11

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln (x^{2} + 9) \\ d v = x d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x \\ v = \frac{x^{2} + 9}{2} \end{cases} \Rightarrow \int_{0}^{4} x \ln (x^{2} + 9) d x = \frac{x^{2} + 9}{2} \ln (x^{2} + 9) |{}_{0}^{4}- \int_{0}^{4} x d x$

$= 25 \ln 5 - 9 \ln 3 - 8 \Rightarrow a = 25; b = - 9; c = - 8 \Rightarrow a + b + c = 8.$

Câu 8:

Số điểm cực trị của hàm số $y = {(x - 1)}^{2017}$ là

A. 0

B. 2017

C. 1

D. 2016

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 2017 {(x - 1)}^{2016} \geq 0 \forall x \Rightarrow$ hàm số không có cực trị.

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, cho véc tơ $\vec{a}$ biểu diễn của các véc tơ đơn vị là $\vec{a} = 2 \vec{i} + \vec{k} - 3 \vec{j}$ . Tọa độ của véc tơ $\vec{a}$ là:

A. $(1; 2; - 3)$

B. $(2; - 3; 1)$

C. $(2; 1; - 3)$

D. $(1; - 3; 2)$

Xem đáp án

Đáp án B

$\vec{a} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} + \vec{k}$

Câu 10:

Hàm số nào trong bốn hàm số liệt kê ở dưới nghịch biến trên các khoảng xác định của nó?

A. $y = {(\frac{1}{3})}^{- x}$

B. $y = {(\frac{e}{2})}^{- 2 x + 1}$

C. $y = {(\frac{3}{e})}^{x}$

D. $y = 2017^{x}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 11:

Đường thẳng $y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x + 3}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A. $A B = \sqrt{34}$

B. $A B = 8$

C. $A B = 6$

D. $A B = \sqrt{17}$

Xem đáp án

Đáp án A

PT hoành độ giao điểm là $x + 1 = \frac{x + 3}{x - 1} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x^{2} - x - 4 = 0 \end{cases}, Δ = \sqrt{17} > 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x_{A} + x_{B} = 1 \\ y_{A} + y_{B} = - 4 \end{cases}$

Suy ra $\{\begin{cases} A (x_{A}; x_{A} + 1) \\ B (x_{B}; x_{B} + 1) \end{cases} \Rightarrow A B = \sqrt{2 {(x_{A} - x_{B})}^{2}} = \sqrt{2 {(x_{A} + x_{B})}^{2} - 8 x_{A} x_{B}} = \sqrt{2 {(1)}^{2} - 8 (- 4)} = \sqrt{34}$

Câu 12:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = e^{x^{2} - 2 x} .$

A. $D = ℝ$

B. $D = [0; 2]$

C. $D = ℝ \ \{0; 2\}$

D. $D = \emptyset$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 13:

Tìm tập nghiệm S của phương trình $4^{x + \frac{1}{2}} - {5.2}^{x} + 2 = 0.$

A. $S = \{- 1; 1\}$

B. $S = \{- 1\}$

C. $S = \{1\}$

D. $S = (- 1; 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

$P T \Leftrightarrow {(2^{x})}^{2} 2 - 5 (2^{x}) + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x} = 2 \\ 2^{x} = \frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \end{array} \Rightarrow S = \{- 1; 1\}$

Câu 14:

Giải phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) = - 2.$

A. $x = 2$

B. $x = \frac{5}{2}$

C. $x = \frac{3}{2}$

D. $x = 5$

Xem đáp án

Đáp án D

$P T \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 = 4 \end{cases} \Rightarrow x - 1 = 4 \Leftrightarrow x = 5.$

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm $B (2; 1; - 3),$ đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(Q) : x + y + 3 z = 0, (R) : 2 x - y + z = 0$ là:

A. $4 x + 5 y - 3 z + 22 = 0$

B. $4 x - 5 y - 3 z - 12 = 0$

C. $2 x + y - 3 z - 14 = 0$

D. $4 x + 5 y - 3 z - 22 = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Các vtpt của (Q)và (R)lần lượt là: $\vec{n_{1}} (1; 1; 3)$ và $\vec{n_{2}} (2; - 1; 1)$

=> vtpt của (P)là: $\vec{n} = [\vec{n_{1}}; \vec{n_{2}}] = (4; 5; - 3)$

$\Rightarrow (P) : 4 (x - 2) + 5 (y - 1) - 3 (z + 3) h a y (P) : 4 x + 5 y - 3 z - 22 = 0.$

Câu 16:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$

B. $y = x^{3} - 3 x + 2$

C. $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 2$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 17:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = {(2 - x)}^{2} e^{x}$ trên đoạn [1;3] là

A. e

B. 0

C. $e^{3}$

D. $e^{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 2 (x - 2) e^{x} + {(x - 2)}^{2} e^{x} = x (x - 2) e^{x} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Suy ra $y (1) = e, y (2) = 0, y (3) = e^{3} \Rightarrow \underset{[1; 3]}{m ax} y = e^{3} .$

Câu 18:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{m}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + (m - 2) x - 3 m$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$ .

A. $- \frac{1}{4} \leq m < 0$

B. $m \leq - \frac{1}{4}$

C. m<0

D. m>0

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = m x^{2} - 2 (m + 1) x + m - 2.$ Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; + \infty) \Leftrightarrow y' \leq 0, \forall x \in (- \infty; + \infty) .$

TH1: $m = 0 \Rightarrow y' \leq 0 \Leftrightarrow - 2 x - 2 \leq 0 \Leftrightarrow x \geq - 1 \Rightarrow$ hàm số không nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$

TH2: $m \neq 0 \Rightarrow y' \leq 0, \forall x \in (- \infty; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 0 \\ Δ' (y') \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 0 \\ {(m + 1)}^{2} - 3 m (m - 2) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 0 \\ m \leq - \frac{1}{4} \end{cases} \Rightarrow m \leq - \frac{1}{4}$ Kết hợp 2 TH, suy ra $m \leq - \frac{1}{4} .$

Câu 19:

Hình bên có bao nhiêu mặt?

A. 10

B. 7

C. 9

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 20:

Tập nghiệm S của bất phương trình $5^{x + 2} < {(\frac{1}{25})}^{- x}$ là

A. $S = (- \infty; 2)$

B. $S = (- \infty; 1)$

C. $S = (1; + \infty)$

D. $S = (2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

$B P T \Leftrightarrow 5^{x + 2} < 5^{2 x} \Leftrightarrow x + 2 < 2 x \Leftrightarrow x > 2 \Rightarrow S = (2; + \infty)$

Câu 21:

Biết f(x) là hàm liên tục trên R và $\int_{0}^{9} f (x) d x = 9.$ Khi đó giá trị của $\int_{1}^{4} f (3 x - 3) d x$ là

A. 27

B. 3

C. 24

D. 0

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = 3 x - 3 \Rightarrow d t = 3 d x \Rightarrow \{\begin{cases} x = 1, t = 0 \\ x = 4, t = 9 \end{cases} \Rightarrow \int_{1}^{4} f (3 x - 3) d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{9} f (t) d t = \frac{1}{3} \int_{0}^{9} f (x) d x = 3$

Câu 22:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 2} .$ Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 2$

B. Hàm số có cực trị.

C. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;3)

D. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 2) \cup (2; + \infty) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 23:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x$ nghịch biến trên khoảng nào?

A. $(- \infty; - 1)$

B. $(- \infty; + \infty)$

C. $(- 1; 1)$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1) \Rightarrow y' < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1.$

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1).

Câu 24:

Hàm số $y = \log_{2} (x^{2} - 2 x)$ đồng biến trên

A. $(1; + \infty)$

B. $(- \infty; 0)$

C. $(0; + \infty)$

D. $(2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số có tập xác định $D = (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$

Ta có $y' = \frac{2 x - 2}{(x^{2} - 2 x) \ln 2} \Rightarrow y' > 0 \Leftrightarrow x > 1$

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$

Câu 25:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 5.$ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất có phương trình là

A. $y = 3 x + 9$

B. $y = 3 x + 3$

C. $y = 3 x + 12$

D. $y = 3 x + 6$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M (a; b)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài.

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x + 6 \Rightarrow y' (a) = 3 a^{2} - 6 a + 6 = 3 {(a - 1)}^{2} + 3 \geq 3 \Rightarrow \min y' (a) = 3 \Leftrightarrow a = 1$

Suy ra $y (1) = 9 \Rightarrow P T T T$ tại $M (1; 9)$ là $y = 3 (x - 1) + 9 y = 3 x + 6$

Câu 26:

Tam giác ABC vuông cân đỉnh A có cạnh huyền là 2. Quay hình tam giác ABC quanh trục BC thì được khối tròn xoay có thể tích là:

A. $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$

B. $\frac{4}{3} π$

C. $\frac{2}{3} π$

D. $\frac{1}{3} π$

Xem đáp án

Đáp án C

Khối tròn xoay tạo thành 2 khối nón, đó là: khối nón đỉnh B, đường sinh AB và khối nón đỉnh C đường sinh CA. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành là: $V = 2. \frac{1}{3} π {.1}^{2} .1 = \frac{2 π}{3} .$

Câu 27:

Có bao nhiêu số thực b thuộc $(π; 3 π)$ sao cho $\int_{π}^{b} 4 c os 2 x d x = 1 ?$

A. 8

B. 2

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\int_{π}^{b} 4 c os 2 x d x = 2 \sin 2 x |{}_{π}^{b} = 2 \Leftrightarrow \sin (2 b) = 1 \sin (2 b) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = \frac{π}{12} + k π \\ b = \frac{5 π}{12} + k π \end{array} (k \in ℤ)$

$b \in (π; 3 π) \Rightarrow [\begin{array}{l} π < \frac{π}{12} + k_{1} π < 3 π \\ π < \frac{5 π}{12} + k_{2} π < 3 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{11}{12} < k_{1} < \frac{35}{12} \\ \frac{7}{12} < k_{2} < \frac{31}{12} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} k_{1} \{1; 2\} \\ k_{2} \{1; 2\} \end{array}$

Suy ra có 4 giá trị thực của b thuộc $(π; 3 π)$ thỏa mãn đề bài.

Câu 28:

Cho hình trụ có diện tích toàn phần là $4 π$ và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Tính thể tích khối trụ.

A. $\frac{π \sqrt{6}}{9}$

B. $\frac{4 π \sqrt{6}}{9}$

C. $\frac{π \sqrt{6}}{12}$

D. $\frac{4 π}{9}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi bán kính đáy là R=>độ dài đường sinh là: 2R

Diện tích toàn phần của hình trụ là: $S_{t p} = 2 π R^{2} + 2 π R .2 R = 6 π R^{2} = 4 π \Leftrightarrow R = \frac{2}{\sqrt{6}}$

Thể tích khối trụ là: $V = π R^{2} .2 R = 2 π {(\frac{2}{\sqrt{6}})}^{3} = \frac{4 π \sqrt{6}}{9} .$

Câu 29:

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $y = {(x^{2} + m)}^{\sqrt{2}}$ có tập xác định là R.

A. $\forall m \in ℝ$

B. $m \neq 0$

C. m>0

D. $m \geq 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số có tập xác định $D = ℝ \Leftrightarrow x^{2} + m > 0 \Rightarrow m > 0$

Câu 30:

Hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây không có cực trị?

A. $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

B. $y = x^{4}$

C. $y = - x^{3} + x$

D. $y = |x|$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 31:

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v (t) = 7 t (m / s) .$ Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a = - 35 (m / s^{2}) .$ Tính quãng đường của ô tô đi được tính từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

A. $87.5 m é t$

B. $96.5 m é t$

C. $102.5 m é t$

D. $105 m é t$

Xem đáp án

Đáp án D

Sau 5s đầu người lái xe đi được $\int_{0}^{5} 75 d t = 87, 5 m$

Vận tốc đạt được sau 5s là: $s = v (5) = 35 m / s$

Khi gặp chướng ngại vật, vận tốc của vật giảm theo PT: $v = 35 - 35 t$

Quãng đường vật đi được từ khi gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn là: $s = \int_{0}^{1} (35 - 35 t) d t = 17, 5 m$

Do đó $\sum s = 105 m é t$

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x) = 2018 \ln (e^{\frac{x}{2018}} + \sqrt{e}) .$ Tính giá trị biểu thức $T = f' (1) + f' (2) + ... + f' (2017) .$

A. $T = \frac{2019}{2}$

B. $T = 1009$

C. $T = \frac{2017}{2}$

D. $T = 1008$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $f' (x) = 2018. \frac{(e^{\frac{x}{2018} + \sqrt{e}})'}{e^{\frac{x}{2018}} + \sqrt{e}} = \frac{e^{\frac{x}{2018}}}{e^{\frac{x}{2018}} + \sqrt{e}} = g (x)$

Lại có: $g (a) + g (2018 - a) = \frac{e^{\frac{a}{2018}}}{e^{\frac{a}{2018}} + \sqrt{e}} + \frac{e^{1 - \frac{a}{2018}}}{e^{1 - \frac{a}{2018}} + \sqrt{e}} = \frac{e^{\frac{a}{2018}}}{e^{\frac{a}{2018}} + \sqrt{e}} + \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{a}{2018}} + \sqrt{e}} = 1$

Do đó $T = g (1) + g (2017) + g (2) + g (2016) + ... + g (1010) + g (1009) = 1008 + g (1009)$

$= 1008 + \frac{1}{2} = \frac{2017}{2} .$

Câu 33:

Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương (a,b)để hàm số $y = \frac{2 x - a}{4 x - b}$ có đồ thị trên $[1; + \infty)$ như hình vẽ bên?

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = \frac{- 2 b + 4 a}{{(4 x - b)}^{2}}$

Hàm số liên tục và nghịch biến trên $[1; + \infty)$ nên $\{\begin{cases} \frac{b}{4} < 1 \\ - 2 b + 4 a < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b < 4 \\ b > 2 a \end{cases} \overset{a, b \in ℕ^{*}}{\to} \{a; b\} = \{1; 3\}$

Câu 34:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Tam giác SAB có diện tích bằng $2 a^{2} .$ Thể tích khối nón có đỉnh là S và đường tròn đáy nội tiếp ABCD là

A. $\frac{π a^{3} \sqrt{7}}{8}$

B. $\frac{π a^{3} \sqrt{7}}{7}$

C. $\frac{π a^{3} \sqrt{7}}{4}$

D. $\frac{π a^{3} \sqrt{15}}{24}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $S_{S A B} = \frac{1}{2} S H . A B = 2 a^{2} \Rightarrow S H = 4 a$

$\Rightarrow S O = \sqrt{S H^{2} - O H^{2}} = \frac{3 a \sqrt{7}}{2}$

$V_{(N)} = \frac{1}{3} π R^{2} h = \frac{1}{3} . {(\frac{a}{2})}^{2} . \frac{3 a \sqrt{7}}{2} = \frac{π a^{3} \sqrt{7}}{8}$

Câu 35:

Cho a,b,c>1 Biết rằng biểu thức $P = \log_{a} (b c) + \log_{b} (a c) + 4 \log_{c} (a b)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi $\log_{b} c = n .$ Tính giá trị $m + n$ .

A. 12

B. 25/2

C. 14

D. 10

Xem đáp án

Đáp án A

$P = \log_{a} (b c) + \log_{b} (a c) + 4 \log_{c} (a b) = \log_{a} b + \log_{a} c + \log_{b} a + 4 \log_{b} c + 4 \log_{c} b$

Ta có: $\log_{a} b + \log_{b} a \geq 2; \log_{a} c + 4 \log_{c} a \geq 4; \log_{b} c + 4 \log_{c} b \geq 4$

Khi đó $P \geq 10 = m$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ \log_{a} c = 4 \log_{c} a \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ \log_{a} c = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ \log_{b} c = 2 \end{cases}$

Vậy $m + n = 12.$

Câu 36:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $x^{3} - 3 x^{2} - m^{3} + 3 m^{2} = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

A. $m = 2$

B. $\{\begin{cases} - 1 < m < 3 \\ m \neq 0; m \neq 2 \end{cases}$

C. m>1

D. không có m

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow (x - m) (x^{2} + x m + m^{2}) - 3 (x - m) (x + m) = 0$

$\Leftrightarrow (x - m) (x^{2} + m x - 3 x + m^{2} - 3 m) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = m \\ g (x) = x^{2} + (m - 3) x + m^{2} - 3 m \end{cases}$

PT có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g (x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác m

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = {(m - 3)}^{2} - 4 (m^{2} - 3 m) > 0 \\ g (m) = 3 m^{2} - 6 m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 m^{2} + 6 m + 9 > 0 \\ m \neq 0; m \neq 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 < m < 3 \\ m \neq 0; m \neq 2 \end{cases}$

Câu 37:

Cho hàm số $y = x^{4} - 3 x^{2} - 2.$ Tìm số thực dương m để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc tọa độ.

A. $m = 2$

B. $m = \frac{3}{2}$

C. $m = 3$

D. $m = 1$

Xem đáp án

ĐAp án A

Phương trình hoành độ giao điểm là: $x^{4} - 3 x^{2} - 2 - m = 0 (1)$

Gọi $A (x; m); B (- x; m)$ là tọa độ giao điểm

Khi đó $Δ O A B$ vuông tại O khi $\bar{O A} . \bar{O B} = - x^{2} + m^{2} = 0 \Leftrightarrow |x| = |m|$

Khi đó $m^{4} - 3 m^{2} - 2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 2$ (thỏa mãn).

Câu 38:

Số giá trị nguyên của m để phương trình $(m + 1) {.16}^{x} - 2 (2 m - 3) {.4}^{x} + 6 m + 5 = 0$ có 2 nghiệm trái dấu là

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = 4^{x} > 0 \Rightarrow (m + 1) t^{2} - 2 (2 m - 3) + 6 m + 5 = 0$

ĐK để PT có 2 nghiệm là: $\{\begin{cases} \frac{2 m - 3}{m + 1} > 0 \\ \frac{6 m + 5}{m + 1} > 0 \\ Δ' = {(2 m - 3)}^{2} - (m + 1) (6 m + 5) \end{cases} (*)$

Khi đó: $4^{x_{1}} = t_{1}; 4^{x_{2}} = t_{2} \Rightarrow x_{1} x_{2} = \log_{4} t_{1} . \log_{4} t_{2} < 0 \Leftrightarrow 0 < t_{1} < 1 < t_{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (t_{1} - 1) (t_{2} - 1) < 0 \Leftrightarrow t_{1} t_{2} - t_{1} - t_{2} + 1 < 0 \\ \Leftrightarrow \frac{6 m + 5}{m + 1} - 2 \frac{2 m - 3}{m + 1} + 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{3 m + 12}{m + 1} < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < - 4 \end{array}$

Kết hợp (*) $\Rightarrow m = - 2; m = - 3.$

Câu 39:

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{2 x - 3} .$ Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng

A. $d = \frac{1}{\sqrt{2}}$

B. $d = 1$

C. $d = \sqrt{2}$

D. $d = \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $I (\frac{3}{2}; \frac{1}{2}) .$ PTTT tại điểm M bất kì là: $y = \frac{- 1}{{(2 x_{0} - 3)}^{2}} (x - x_{0}) + \frac{x_{0} - 1}{2 x_{0} - 3} (Δ)$

Khi đó: $d (I; Δ) = \frac{|\frac{1}{2 (2 x_{0} - 3)} + \frac{x_{0} - 1}{2 x_{0} - 3} - \frac{1}{2}|}{\sqrt{(\frac{1}{2 x_{0} - 3} + 1)}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{{(2 x_{0} - 3)}^{2}} + {(2 x_{0} - 2)}^{2}}} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D), A B C D$ là hình chữ nhật. $S A = A D = 2 a .$ Góc giữa (SBC)và mặt đáy ABCD là $60 °$ . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Thể tích khối chóp S.AGD là

A. $\frac{32 a^{3} \sqrt{3}}{27}$

B. $\frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{27}$

C. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{9}$

D. $\frac{16 a^{3}}{9 \sqrt{3}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của BC ta có: $\frac{S G}{S M} = \frac{2}{3}$

Do $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S B A) \Rightarrow \hat{S B A} = \hat{(S B C; A B C)} = 60^{\circ}$

Ta có: $A B \tan 60^{\circ} = S A \Rightarrow A B = \frac{2 a}{\sqrt{3}} .$

$\begin{array}{l} S_{A M B} = \frac{1}{2} A B . A D = \frac{2 a^{2}}{\sqrt{3}} \Rightarrow V_{S . A M D} = \frac{1}{3} S A . S_{A M B} = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{9} \\ V_{S . A M D} = \frac{2}{3} V_{S . A M D} = \frac{8 \sqrt{3} a^{3}}{27} \end{array}$

Câu 41:

Biết $\int_{1}^{e} \frac{(x + 1) \ln x + 2}{1 + x \ln x} d x = a . e + b . \ln (\frac{e + 1}{e})$ trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó, tỷ số a/blà

A. 1/2

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\int_{1}^{e} \frac{(x + 1) \ln x + 2}{1 + x \ln x} d x = \int_{1}^{e} \frac{1 + x \ln x + 1 + \ln x}{1 + x \ln x} d x = \int_{1}^{e} (1 + \frac{1 + \ln x}{1 + x \ln x}) d x = \int_{1}^{e} d x + \int_{1}^{e} \frac{1 + \ln x}{1 + x \ln x} d x$

$= x| {}_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{d (1 + x \ln x)}{1 + x \ln x} = e - 1 + \ln |1 + x \ln x| |{}_{1}^{e} = e - 1 + \ln (e + 1) = e + \ln (\frac{e + 1}{e}) \Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \end{cases} .$

Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCcó tam giác ABC có góc A bằng $120 °$ và $B C = 2 a$ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a.

A. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{6}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R_{Δ A B C} = \frac{B C}{2. \sin A} = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$ (định lí sin)

Vì $S A = S B = S C$ suy ra hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C \Rightarrow I A = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Tam giác SAI vuông tại I, có $S I = S A^{2} - I A^{2} = \frac{2 a \sqrt{6}}{3}$

Áp dụng CTTN, bán kính mặt cầu cần tính là $R_{S . A B C} = \frac{S A^{2}}{2. S I} = 4 a^{2} : (2. \frac{2 a \sqrt{6}}{3}) = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Câu 43:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm $M (1; 2; 3)$ và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.

A. $6 x + 3 y - 2 z - 6 = 0$

B. $x + 2 y + 3 z - 14 = 0$

C. $x + 2 y + 3 z - 11 = 0$

D. $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 3$

Xem đáp án

Đáp án B

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và M là trực tâm $Δ A B C \Rightarrow O M ⊥ (A B C)$

Suy ra mp $(A B C)$ nhận $\vec{O M}$ làm véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm M(1;2;3)

Vậy phương trình $m p (P) : 1. (x - 1) + 2. (y - 2) + 3. (z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 3 z - 14 = 0$

Câu 44:

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B. Đặt $α$ là góc giữa AB và đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện OO’AB đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau đây là đúng ? Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a.

A. $\tan α = \sqrt{2}$

B. $\tan α = \frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $\tan α = \frac{1}{2}$

D. $\tan α = 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Kẻ đường sinh AA’, gọi D là điểm đối xứng A’ qua tâm O’.

Kẻ BH vuông góc với $A' D \Rightarrow B H ⊥ (A O O' A') \Rightarrow V_{O O' A B} = \frac{1}{3} . B H . S_{Δ O O' A}$

Mà $S_{Δ O O' A} = \frac{1}{2} . O O' . O A = 2 a^{2} \Rightarrow V_{O O' A B} = \frac{2 a^{2}}{3} x B H$

Để $V_{O O' A B}$ lớn nhất $\Leftrightarrow B H = B O' (H \equiv O') \Rightarrow A' B = 2 a \sqrt{2}$

Tam giác AA’B vuông tại A’, có $\tan \hat{A B A'} = \frac{A A'}{A' B} = \frac{2 a}{2 a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy $\hat{A B; (O')} = \hat{(A B; A' B)} = \hat{A B A'} = α \Rightarrow \tan α = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Câu 45:

Biết rằng phương trình $\sqrt{2 - x} + \sqrt{2 + x} - \sqrt{4 - x^{2}} = m$ có nghiệm khi m thuộc [a;b] với $a, b \in ℝ$ . Khi đó giá trị của biểu thức $T = (a + 2) \sqrt{2} + b$ là

A. $T = 3 \sqrt{2} + 2$

B. $T = 6$

C. $T = 8$

D. $T = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = \sqrt{2 - x} + \sqrt{2 + x} \Leftrightarrow t^{2} = 4 + 2 \sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = \frac{t^{2} - 4}{2}$ và $x \in [- 2; 2] \Rightarrow t \in [2; 2 \sqrt{2}]$

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: $t - \frac{t^{2} - 4}{2} = m \Leftrightarrow 2 m = - t^{2} + 2 t + 4 = f (t) .$

Xét hàm số $f (t) = - t^{2} + 3 t + 4$ trên đoạn $[2; 2 \sqrt{2}] \Rightarrow \min_{[2; 2 \sqrt{2}]} f (t) = - 4 + 4 \sqrt{2}; \underset{[2; 2 \sqrt{2}]}{m a x} f (t) = 4$

Do đó, để phương trình $f (t) = 2 m$ có nghiệm $\Leftrightarrow - 2 + 2 \sqrt{2} \leq m \leq 2 \Rightarrow \{\begin{cases} a = - 2 + 2 \sqrt{2} \\ b = 2 \end{cases}$

Vậy $T = (a + 2) \sqrt{2} + b (- 2 + 2 \sqrt{2} + 2) \sqrt{2} + 2 = 6$

Câu 46:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (- 2; 3; 1), B (2; 1; 0)$ và $C (- 3; - 1; 1) .$ Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và $S_{A B C D} = 3 S_{Δ A B C} .$

A. $D (8; 7; - 1)$

B. $[\begin{array}{l} D (- 8; - 7; 1) \\ D (12; 1; - 3) \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} D (8; 7; - 1) \\ D (- 12; - 1; 3) \end{array}$

D. $D (- 12; - 1; 3)$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì ABCD là hình thang $\Rightarrow A D / / B C \Rightarrow {\vec{u}}_{_{A D}} = {\vec{u}}_{B C} = (- 5; - 2; 1)$

=>Phương trình đường thẳng AD là $\frac{x + 2}{- 5} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 1}{1} \Rightarrow D (- 5 t - 2; - 2 t + 3; t + 1)$

Ta có $S_{A B C D} = 3 S_{Δ A B C} \Leftrightarrow S_{Δ A B C} + S_{Δ A C D} = 3 S_{Δ A B C} \Leftrightarrow S_{Δ A C D} = 2 S_{Δ A B C}$

Mà diện tích tam giác ABC là $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} |[\bar{A B}; \bar{A C}]| = \frac{\sqrt{341}}{2} \Rightarrow S_{Δ A C D} = \sqrt{341}$

Mặt khác $|[\bar{A D}; \bar{A C}]| = \sqrt{341 t^{2}} \Rightarrow \frac{1}{2} \sqrt{341 t^{2}} = \sqrt{341} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = - 2 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} D (- 12; - 1; 3) \\ D (8; 7; - 1) \end{array}$

Vì ABCD là hình thang $\to D (- 12; - 1; 3)$

Câu 47:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (0; 0; - 1), B (- 1; 1; 0),$ $C (1; 0; 1) .$ Tìm điểm M sao cho $3 M A^{2} + 2 M B^{2} - M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $M (\frac{3}{4}; \frac{1}{2}; - 1)$

B. $M (- \frac{3}{4}; \frac{1}{2}; 2)$

C. $M (- \frac{3}{4}; \frac{3}{2}; - 1)$

D. $M (- \frac{3}{4}; \frac{1}{2}; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $I (x_{I}; y_{I}; z_{I})$ thỏa mãn điều kiện $3 \bar{I A} + 2 \bar{I B} - \bar{I C} = \bar{0} \Rightarrow I (- \frac{3}{4}; \frac{1}{2}; - 1)$

Ta có $P = 3 M A^{2} + 2 M B^{2} - M C^{2} = 3 {(\bar{M I} + \bar{I A})}^{2} + 2 {(\vec{M I} + \bar{I B})}^{2} - {(\bar{M I} + \bar{I C})}^{2}$

$= 4 M I^{2} + 2 \bar{M I} \underset{0}{\underset{⏟}{(3 \bar{I A} + 2 \bar{I B} - \bar{I C})}} + 3 I A^{2} + 2 I B^{2} - I C^{2} = 4 M I^{2} + 3 I A^{2} + 2 I B^{2} - I C^{2}$

Suy ra $P_{\min} \Leftrightarrow M I \min \Rightarrow M$ trùng với điểm I. Vậy $M (- \frac{3}{4}; \frac{1}{2}; - 1)$

Câu 48:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2.$ Diện tích S của tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có giá trị là

A. 3

B. 1/2

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 4 x^{3} - 4 x; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y (0) = 2 \\ x = \pm 1 \Rightarrow y (\pm 1) = 1 \end{array}$

Suy ra 3 điểm cực trị của ĐTHS là $A (0; 2), B (1; 1), C (- 1; 1)$

Khi đó $A B = A C = \sqrt{2}, B C = 2 \Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B^{2} = \frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{2} = 1$

Câu 49:

Trên đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 5}{3 x - 1}$ có bao nhiêu điểm có tọa độ là các số nguyên?

A. 4

B. vô số

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

Có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc ĐTHS là $A (0; 5), B (- 4; 1) .$

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (1; - 6; 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + 7 = 0.$ Điểm B thay đổi thuộc Oz, điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm B là

A. $B (0; 0; 1)$

B. $B (0; 0; - 2)$

C. $B (0; 0; - 1)$

D. $B (0; 0; 2)$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi M, N lần lượt là hai điểm đối xứng với A qua Oz và mặt phẳng (P) ( hình vẽ bên: Điểm A nằm giữa Oz, (P) vì O, A cùng phía với (P) và $d (O z; (P) > d (A; (P)))$ .

Khi đó $C_{Δ A B C} = A B + B C + A C = B M + B C + C N$

Suy ra ${\{B M + B C + C N\}}_{\min} \Rightarrow B, C, M, N$ thẳng hàng.

Hay B là hình chiếu của A trên Oz, Vậy $B (0; 0; 1)$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án

Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án - đề 25

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan