50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án - đề 8

Câu 1:

Tứ diện ABCD có tam giác BCD đều cạnh a, AB vuông góc với mặt phẳng $(B C D), A B = 2 a .$ M là trung điểm của AD, gọi $φ$ là góc giữa đường thẳng CM với mp(BCD), khi đó:

A. $\tan φ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\tan φ = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

C. $\tan φ = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

D. $\tan φ = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi I là trung điểm BD. Khi đó $\hat{I C M} = φ$

Ta có: $\tan φ = \frac{I M}{C I} = \frac{a}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Câu 2:

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc $B A C = 60^{o},$ SA vuông góc với mp(ABCD) góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng $60 ° .$ Khoảng cách từ A đến mp (SBC) bằng:

A. $\frac{a \sqrt{2}}{3}$

B. 2a

C. $\frac{3 a}{4}$

D. a

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi E và H lần lượt là hình chiếu của A lên CB và SE

Ta có: $A E = A B \sin \hat{A B E} = s i n 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$A H = A E \sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2} a . \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 a}{4}$

Câu 3:

Tính giới hạn $L = \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\sqrt{2 - x} - 1}$

A. L=-6

B. L=- 4

C. L= 2

D. L=- 2

Xem đáp án

Đáp án C

$L = \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\sqrt{2 - x} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(1 - x) (\sqrt{2 - x} + 1)}{1 - x} = \lim_{x \to 1} \sqrt{2 - x} + 1 = 2$

Câu 4:

Cho hàm số y=lnx Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Miền giá trị của hàm số là khoảng $(0; + \infty)$

B. Đồ thị không có đường tiệm cận đứng khi $x \to 0^{+}$

C. Hàm số có tập xác định là R

D. Hàm số đồng biến trong khoảng $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y' = \frac{1}{x} > 0 \Leftrightarrow x > 0 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trong khoảng $(0; + \infty)$

Câu 5:

Thiết diện qua trục của một hình nón (N) là một tam giác vuông cân, có cạnh góc vuông bằng a diện tích toàn phần của hình nón (N) bằng:

A. $\frac{π \sqrt{2} a^{2}}{2}$

B. $\frac{π (1 + \sqrt{2}) a^{2}}{2}$

C. $\frac{π (1 + \sqrt{3}) a^{2}}{2}$

D. $\frac{π a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Độ dài đường sinh là $l = a .$

Bán kính đáy là: $R = \frac{\sqrt{a^{2} + a^{2}}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Diện tích toàn phần của hình nón là: $S = π R^{2} + π R l = π {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} + π \frac{a \sqrt{2}}{2} . a = \frac{π (1 + \sqrt{2}) a^{2}}{2}$

Câu 6:

Xen giữa số 3 và số 768 là 7 số để được một cấp số nhân có $u_{1} = 3.$ Khi đó $u_{5}$ là:

A. 72

B. -48

C. $\pm 48$

D. 48

Xem đáp án

Đáp án D

Giả sử cấp số nhân có công bội là q.

Ta có: $u_{9} = u_{1} q^{8} = 768 \Leftrightarrow 3 q^{8} = 768 \Leftrightarrow q = \pm 2$

$u_{5} = u_{1} q^{4} = 3. (\pm 2) = 48$

Câu 7:

Số cạnh của hình mười hai mặt đều là

A. 30

B. 16

C. 12

D. 20

Xem đáp án

Đp án A

Câu 8:

Biết rằng hệ số của $x^{4}$ trong khai triển nhị thức Newton ${(2 - x)}^{n}, (n \in ℕ^{*})$ bằng 280. Tìm n.

A. n=8

B. n=6

C. n=7

D. n=5

Xem đáp án

Đáp án C

${(2 - x)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} {(- x)}^{k} {.2}^{n - k} \Rightarrow$ hệ số của $x^{4}$ là: $C_{n}^{4} {(- 1)}^{4} {.2}^{n - 4} = 280 \Leftrightarrow n = 7$

Câu 9:

Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích ? của khối chóp có thể tích lớn nhất.

A. V=144

B. V=576

C. $V = 576 \sqrt{2}$

D. $V = 144 \sqrt{6}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $R = \frac{S A^{2}}{2 S O} = 9$

Suy ra $\frac{S O^{2} + O A^{2}}{S O} = 18$

Mặt khác $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} S O . \frac{A C^{2}}{2} = \frac{2}{3} S O . O A^{2}$

$= \frac{2}{3} S O . (18 S O - S O^{2}) .$ đặt $S O = t (0 < t < 18),$ xét hàm số

$f (t) = \frac{2}{3} t^{2} (18 - t) = \frac{8}{3} . \frac{t}{2} . \frac{t}{2} (18 - t) \leq \frac{8}{3} {(\frac{t + 18 - t}{3})}^{3} = 576$

Câu 10:

Giải phương trình $3 s i n^{2} x - 2 c o s x+ 2 = 0$

A. $x = \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$

B. $x = k π, k \in ℤ$

C. $x = k 2 π, k \in ℤ$

D. $x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình đã cho $3 s i n^{2} x - 2 c o s x+ 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c o s x = 1 \\ c o s x = - \frac{5}{3} < - 1 (L) \end{array} \Leftrightarrow$ $x = k 2 π, k \in ℤ$

Câu 11:

Cho hình nón (N) có đường cao SO=h và bán kính đáy bằng R, gọi M là điểm trên đoạn SO, đặt $O M = x, 0 < x < h . (C)$ là thiết diện của mặt phẳng (P) vuông góc với trục SO tại M, với hình nón (N). Tìm x để thể tích khối nón đỉnh O đáy là (C) lớn nhất.

A. h/2

B. $\frac{h \sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{h \sqrt{3}}{2}$

D. h/3

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi r là bán kính đáy của hình nón đỉnh O.

Ta có $\frac{r}{R} = \frac{h - x}{h} \Rightarrow r = (\frac{h - x}{h}) R$

Chiều cao của khối nón đỉnh O là x

Thể tích của khối nón đỉnh O là:

$V = \frac{1}{3} π {(\frac{h - x}{h})}^{2} x = \frac{π R^{2}}{6 h^{2}} (h - x) (h - x) 2 x \leq \frac{π R^{2}}{6 h^{2}} {(\frac{h - x + h - x + 2 x}{3})}^{3} = \frac{π R^{2}}{6 h^{2}} {(\frac{2 h}{3})}^{3} = \frac{4 π R^{2} h}{81}$

$\Rightarrow V_{m a x} \Leftrightarrow h - x = 2 x \Leftrightarrow x = \frac{h}{3}$

Câu 12:

Khối nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng $15 π .$ Thể tích V của khối nón (N) là:

A. $V = 12 π$

B. $V = 20 π$

C. $V = 36 π$

D. $V = 60 π$

Xem đáp án

Đáp án A

Độ dài đường sinh là $l = \frac{15 π}{3 π} = 5$

Chiều cao của khối chóp là $h = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$

Thể tích của khối nón là $V = \frac{1}{3} π 3^{2} 4 = 12 π$

Câu 13:

Cho bốn hàm số $f_{1} (x) = 2 x^{3} - 3 x + 1, f_{2} (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}, f_{3} (x) = \cos x + 3$ và $f_{4} (x) = \log_{3} x .$ Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập hợp R

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số liên tục trên tập hợp $ℝ \Leftrightarrow$ hàm số có tập xác định $D = ℝ$

Hàm số $f_{1} (x)$ và $f_{3} (x)$ liên tục trên R

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = \ln (x^{2} - 5 x) .$ Tìm tập nghiệm S của phương trình

A. $S = \emptyset$

B. $S = \{\frac{5}{2}\}$

C. $S = \{0; 5\}$

D. $S = (- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số có tập xác định $D = (- \infty; 0) \cup (5; + \infty)$

Ta có $f' (x) = \frac{2 x - 5}{x^{2} - 5} \Rightarrow f' (x) = 0 \Leftrightarrow 2 x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2} \notin D \Rightarrow S = \emptyset$

Câu 15:

Số hạng không chứa x trong khai triển ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{6}$

A. 110

B. 240

C. 60

D. 420

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{6} = \sum_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} x^{6 - k} {(- \frac{2}{x^{2}})}^{k} = \sum_{k = 0}^{6} C_{6}^{k} {(- 2)}^{k} x^{6 - 3 k}$

Số hạng không chứa x $\Leftrightarrow 6 - 3 k = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow a_{2} = C_{6}^{2} {(- 2)}^{2} = 60$

Câu 16:

Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a, thể tích của (H) bằng:

A. $\frac{a^{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Thể tích của (H) là: $V = B h = \frac{1}{2} a^{2} \sin 60 ° . a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Câu 17:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?

A. 32

B. 72

C. 36

D. 24

Xem đáp án

Đáp án B

Số cần lập là $\bar{a b c d e f},$ ta có $a + b + c - 1 = d + e + f \Leftrightarrow 20 = 2 (d + e + f) \Leftrightarrow d + e + f = 10$

Với mỗi $f \in \{1; 3; 5\} \Rightarrow d, e$ có 4 cách chọn, suy ra $\bar{a b c d e f}$ có $4.3! = 24$ cách chọn

Suy ra có $3.24 = 72$ số có thể lập thỏa mãn đề bài

Câu 18:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1} .$ Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?

A. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó

B. Hàm số nghịch biến trên tập R

C. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$

D. Hàm số nghịch biến trên $ℝ \ \{- 1\}$

Xem đáp án

Đáp án C

Tập xác định: $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty)$

Ta có $f' (x) = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall x \in D \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$

Câu 19:

Phương trình $2 c o s x - \sqrt{2} = 0$ có tất cả các nghiệm là

A. $[\begin{array}{l} x = \frac{3 π}{4} + k 2 π \\ x = - \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

B. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

C. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

D. $[\begin{array}{l} x = \frac{7 π}{4} + k 2 π \\ x = - \frac{7 π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow 2 c o s x = \sqrt{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Câu 20:

Khối chóp O.ABC có $O B = O C = a, \hat{A O B} = \hat{A O C} = 45 °, \hat{B O C} = 60 °, O A = a \sqrt{2} .$ Khi đó thể tích khối tứ diện O.ABC bằng:

A. $\frac{a^{2}}{12}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

D. $\frac{a^{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $A B^{2} = A C^{2} = a^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2} - 2 a . a \sqrt{2} c o s 45 ° = a^{2}$

$\Rightarrow A B = A C = a$

Tam giác cân OBC có góc $\hat{B O C} = 60 ° \Rightarrow$ đều

Gọi I và H lần lượt là trung điểm của BC và hình chiếu của O lên AI. Khi đó $O H ⊥ (A B C)$

Ta có

$\begin{array}{l} A I = O I = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \\ \cos \hat{O I A} = - \frac{1}{3} \Rightarrow \sin \hat{O I A} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ S_{I O A} = \frac{1}{2} I O^{2} \sin \hat{O I A} = \frac{1}{2} O H . A I \Rightarrow O H = \frac{a \sqrt{6}}{3} \\ S_{A B C} = \frac{1}{2} a^{2} \sin 60 ° = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \end{array}$

Thể tích khối tứ diện O.ABC là $V = \frac{1}{3} O H . S_{A B C} = \frac{1}{3} \frac{a \sqrt{6}}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Câu 21:

Hình trụ có bán kính đáy r. Gọi O và O' là tâm của hai đường tròn đáy, với $O O' = 2 r .$ Một mặt cầu (S ) tiếp xúc với hai đáy hình trụ tại O và O'. Gọi V_C và V_T lần lượt là thể tích khối cầu và khối trụ tương ứng. Khi đó $\frac{V_{C}}{V_{T}}$ bằng:

A. 1/2

B. 3/4

C. 2/3

D. 3/5

Xem đáp án

Đáp án C

Bán kính hình cầu là $R = r$

Ta có $\frac{V_{C}}{V_{T}} = \frac{\frac{4}{3} π r^{3}}{π r^{2} .2 r} = \frac{2}{3}$

Câu 22:

Hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 1 khi x \leq 1 \\ x + m khi x > 1 \end{cases}$ liên tục tại điểm $x_{0} = 1$ khi m nhận giá trị

A. m=-2

B. m=2

C. m=-1

D. m=1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x + m) = 1 + m \\ \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + 1) = 2 \\ f (1) = 2 \end{array}$

Hàm số liên tục tại diểm $x_{0} = 1 \Leftrightarrow \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) \Rightarrow 1 + m = 2 \Leftrightarrow m = 1$

Câu 23:

Một hộp chứa 20 bi xanh và 15 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 4 bi. Tính xác suất để 4 bi lấy được có đủ hai màu

A. $\frac{4610}{5236}$

B. $\frac{4615}{5236}$

C. $\frac{4651}{5236}$

D. $\frac{4615}{5263}$

Xem đáp án

Đáp án B

Lấy ngẫu nhiên 4 bi từ hộp bi, ta có $C_{35}^{4} = 52630$ cách

Gọi A là biến cố “lấy được 4 bi có đủ 2 màu”, ta có

+TH1: 1 đỏ, 3 xanh, suy ra có $C_{15}^{1} C_{30}^{3} = 17100$ cách

+TH2: 2 đỏ, 2 xanh, suy ra có $C_{15}^{2} C_{30}^{2} = 19950$ cách

+TH3: 3 đỏ, 1 xanh, suy ra có $C_{15}^{3} C_{30}^{1} = 9100$ cách

Suy ra $P (A) = \frac{17100 + 19950 + 9100}{52630} = \frac{4615}{5263}$

Câu 24:

Tất cả các nghiệm của phương trình $\tan x + \sqrt{3} \cot x - \sqrt{3} - 1 = 0$ là

A. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = \frac{π}{3} + k π \end{array} (k \in ℤ)$

B. $[\begin{array}{l} x = - \frac{π}{4} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k π \end{array} (k \in ℤ)$

C. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

D. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k π \end{array} (k \in ℤ)$

Xem đáp án

Đáp án A

$P T \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sin 2 x \neq 0 \\ \tan x + \frac{\sqrt{3}}{\tan x} - \sqrt{3} - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq k \frac{π}{2} \\ \tan^{2} x - (\sqrt{3} + 1) \tan x + \sqrt{3} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq k \frac{π}{2} \\ [\begin{array}{l} \tan x = \sqrt{3} \\ \tan x = 1 \end{array} \end{cases}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = \sqrt{3} \\ \tan x = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{3} + k π \\ x = \frac{π}{4} + k π \end{array} (k \in ℤ)$

Câu 25:

Có 14 người gồm 8 nam và 6 nữ. Số cách chọn 6 người trong đó có đúng 2 nữ là

A. 1078

B. 1414

C. 1050

D. 1386

Xem đáp án

Đáp án C

Số cách chọn là $C_{8}^{4} C_{6}^{2} = 1050$ cách

Câu 26:

Hình trụ có bán kính đáy bằng a và thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh hình trụ đó bằng:

A. $\frac{π a^{2}}{2}$

B. $π a^{2}$

C. $3 π a^{2}$

D. $4 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Độ dài đường sinh $l = 2 a$

diện tích xung quanh hình trụ đó bằng $S_{x q} = 2 π r l = 2 π . a .2 a = 4 π a^{2}$

Câu 27:

Cho phương trình $(m - 1) \log_{\frac{1}{3}}^{2} {(x + 1)}^{2} + 4 (m - 5) \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{x + 1} + 4 m - 4 = 0 (1) .$ Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên âm để phương trình (1) có nghiệm thực trong đoạn $[- \frac{2}{3}; 2]$

A. 6

B. 5

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: $x \in [- \frac{2}{3}; 2] \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 4 (m - 1) {[\log_{3}^{} (x + 1)]}^{2} + 4 (m - 5) \log_{3} (x + 1) + 4 m - 4 = 0$

Đặt $t = \log_{3} (x + 1) \Rightarrow \in [- 1; 1] \Rightarrow (1) \Leftrightarrow (m - 1) t^{2} + (m - 5) t + m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{t^{2} + 5 t + 1}{t^{2} + t + 1} (2)$

Xét hàm số $f (t) = \frac{t^{2} + 5 t + 1}{t^{2} + t + 1}, t \in [- 1; 1],$ ta có $f' (t) = \frac{4 (t^{2} - 1)}{{(t^{2} + t + 1)}^{2}} \Rightarrow f' (t) = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1$

Suy ra $f (- 1) \leq \underset{[- 1; 1]}{f (t)} \leq f (1) \Leftrightarrow - 1 \leq \underset{[- 1; 1]}{f (t)} \leq \frac{7}{3} \Rightarrow (2) \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq \frac{7}{3}$

Suy ra có 3 giá trị nguyên âm của m thỏa đề bài

Câu 28:

Cho hai hàm số $y = e^{x}$ và $y = \ln x$ . Xét các mệnh đề sau

(I) Đồ thị hai hàm số đối xứng qua đường thẳng y=x

(II) Tập xác định của hai hàm số trên là R

(III) Đồ thị hai hàm số cắt nhau tại đúng một điểm.

(IV) Hai hàm số đều đồng biến trên tập xác định của nó.

Có bao nhiêu mệnh đề sai trong các mệnh đề trên?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Các mệnh đề sai là (II) và (III)

Câu 29:

Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AD=x và các cạnh còn lại đều bằng $a = 2 \sqrt{3} .$ Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất

A. $x = \sqrt{6}$

B. $x = \sqrt{14}$

C. $x = 3 \sqrt{2}$

D. $x = 2 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là trung điểm BC khi đó $\{\begin{cases} A H ⊥ B C \\ D H ⊥ B C \end{cases}$

SUY RA $B C ⊥ (A H D)$ và ta có $A H = D H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Gọi E là trung điểm của AD do tam giác AHD cân nên

$H E ⊥ A D \Rightarrow H E = \sqrt{A H^{2} - A E^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4}}$

Ta có $V_{A B C D} = V_{B A H D} + V_{C A H D} = \frac{1}{3} B C . S_{A H D} = \frac{1}{3} a \frac{1}{2} H E . A D$

Lại có

$\begin{array}{l} \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4}} . x = 2. \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4}} . \frac{x}{2} \leq \frac{3 a^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4} \\ = \frac{3 a^{2}}{4} \Rightarrow V_{A B C D} \leq \frac{a^{3}}{8} \Rightarrow V_{m a x} = \frac{a^{3}}{8} \end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $3 a^{2} = 2 x^{2} \Leftrightarrow x = \frac{a \sqrt{6}}{2} = 3 \sqrt{2}$

Câu 30:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số có hai điểm cực trị.

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3

C. Hàm số có một điểm cực trị.

D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số cho 2 điểm cực trị $x = - 1; x = 0$

Câu 31:

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mp(ABCD), $S A = 2 a .$ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng:

A. $2 π a^{2}$

B. $π a^{2}$

C. $3 π a^{2}$

D. $6 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $R = \sqrt{\frac{S A^{2}}{4} + R_{d}^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = a \sqrt{\frac{3}{2}} \Rightarrow S = 4 π R^{2} = 6 π a^{2}$

Câu 32:

Tìm nghiệm của phương trình $\log_{2} (3 - 2 x) = 3$

A. x=1

B. x=-2

C. x=-5/2

D. x= - 3/2

Xem đáp án

Đáp án C

$\log_{2} (3 - 2 x) = 3 \Leftrightarrow 3 - 2 x = 2^{3} = 8 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{2}$

Câu 33:

Phương trình $s i n x+ \sqrt{3} \cos x = 1$ có tập nghiệm là:

A. $\{- \frac{π}{6} + k π; - \frac{π}{2} + k π\}$ với $k \in ℤ$

B. $\{- \frac{π}{6} + k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π\}$ với $k \in ℤ$

C. $\{- \frac{π}{6} + k 2 π; - \frac{π}{2} + k 2 π\}$ với $k \in ℤ$

D. $\{\frac{7 π}{6} + k 2 π; \frac{π}{2} + k 2 π\}$ với $k \in ℤ$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $P T \Leftrightarrow 2 s i n x (x + \frac{π}{3}) = 1 \Leftrightarrow s i n x (x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array}$

Câu 34:

Cho phương trình $25^{x} - {20.5}^{x - 1} + 3 = 0.$ Khi đặt $t = 5^{x},$ ta được phương trình nào sau đây?

A. $t^{2} - 3 = 0$

B. $t^{2} - 4 t + 3 = 0$

C. $t^{2} - 20 t + 3 = 0$

D. $t^{2} - \frac{20}{t} + 3 = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

$P T \Leftrightarrow {(5^{x})}^{2} - {4.5}^{x} + 3 = 0$

Câu 35:

Số nghiệm của phương trình $\frac{\sin x \sin 2 x + 2 \sin x \cos^{2} x + \sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} = \sqrt{3} \cos 2 x$ trong khoảng $(- π; π)$ là:

A. 2

B. 4

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Đáp án A

DK: $\sin x + \cos x \neq 0 \Leftrightarrow \tan x \neq - 1 \Leftrightarrow x \neq - \frac{π}{4} + k π$

Khi đó $P T \Leftrightarrow \frac{\sin x \sin 2 x + \sin 2 x \cos x + \sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} = \sqrt{3} \cos 2 x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{(\sin x + \cos x) (\sin 2 x + 1)}{\sin x + \cos x} = \sqrt{3} (\cos^{2} x - \sin^{2} x) \\ \Leftrightarrow \sin^{2} x - 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x = \sqrt{3} (\sin x + \cos x) (\cos x - \sin x) \\ \Leftrightarrow (\sin x + \cos x) (\sin x + \cos x) = \sqrt{3} (\sin x + \cos x) (\cos x - \sin x) \\ \Leftrightarrow (\sin x + \cos x) = \sqrt{3} (\cos x - \sin x) \\ \Leftrightarrow (1 + \sqrt{3}) \sin x = (\sqrt{3} - 1) \cos x \Leftrightarrow \tan x = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \\ \Leftrightarrow x = \frac{π}{12} + k π \end{array}$

có 2 nghiệm thuộc $(- π; π)$

Câu 36:

Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{x},$ với x là số thực dương.

A. $P = x^{\frac{1}{12}}$

B. $P = x^{\frac{7}{12}}$

C. $P = x^{\frac{2}{3}}$

D. $P = x^{\frac{2}{7}}$

Xem đáp án

Đáp án B

$P = x^{\frac{1}{3}} \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{4}} = {x^{\frac{1}{3}}}^{+ \frac{1}{4}} = x^{\frac{7}{12}}$

Câu 37:

Cho hàm số $y = \frac{a x - b}{x - 1}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a < 0; b < 0$

B. $0 < b < a$

C. $b < 0 < a$

D. $a < b < 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Tiệm cận ngang $y = a \Rightarrow a > 0$

Giao với trục tung $(0; b) \Rightarrow b < 0$

Câu 38:

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1},$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = \frac{1}{3} x - 5$ và tiếp điểm có hoành độ dương

A. $y = - 3 x + 10$

B. $y = - 3 x + 2$

C. $y = - 3 x + 6$

D. $y = - 3 x - 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y' = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}}$

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = \frac{1}{3} x - 5$ nên $\frac{- 3}{{(x_{0} - 1)}^{2}} . \frac{1}{3} = - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 2 \\ x_{0} = 0 \end{array}$

Do tiếp điểm có hoành độ dương nên $x_{0} = 2 \Rightarrow P T T T : y = - 3 (x - 2) + 4 = - 3 x + 10$

Câu 39:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ biết $u_{1} = - 5, d = 2.$ Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?

A. 100

B. 50

C. 75

D. 44

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = 81 \Rightarrow n = 44$

Câu 40:

Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mp (ABC), góc giữa SB và mp (ABC) bằng $60 °,$ tam giác ABC đều cạnh a, thể tích khối chóp S.ABC bằng:

A. $a \sqrt{3}$

B. $\frac{a^{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3}}{2}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}; S A = A B \tan 60 ° = a \sqrt{3} \Rightarrow V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{a^{3}}{4}$

Câu 41:

Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C nhất là 40 km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD/ km, đi đường bộ là 3 USD/ km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất $(A B = 40 k m, B C = 10 k m) ?$

A. 10 km

B. 65/2 km

C. 40 km

D. 15/2 km

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $A D = x \Rightarrow B D = A B - A D = 40 - x \Rightarrow C D = \sqrt{B D^{2} + B C^{2}} = \sqrt{(40 - x) + 10^{2}}$

Suy ra kinh phí người đó phải bỏ là $T = 3 x + 5 \sqrt{x^{2} - 80 x + 1700} \overset{}{\to} f (x)$

Khảo sát hàm số f(x)trên (0;40) suy ra $\min f (x) = 160 \Leftrightarrow x = \frac{65}{2} k m$

Và chi phí người đó chỉ đi đường thủy là $t = 5 \sqrt{40^{2} + 10^{2}} = 500 \sqrt{17} U S D$

VẬY kinh phí nhỏ nhất cần bỏ ra khi đi đường bộ là 65/2

Câu 42:

Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn $\log_{9} x = \log_{12} y = \log_{16} (x + y)$ và $\frac{x}{y} = \frac{- a + \sqrt{b}}{2},$ với a, b là hai số nguyên dương. Tính $P = a . b$

A. P=6

B. P =5

C.P=8

D. P = 4

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $\log_{9} x = \log_{12} y = \log_{16} (x + y) = t \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 9^{t} \\ y = 12^{t} \end{cases}$ và $x + y = 16^{t}$

Suy ra $9^{t} + 12^{t} = 16^{t} \Leftrightarrow {(3^{t})}^{2} + 3^{t} {.4}^{t} - {(4^{t})}^{2} = 0 \Leftrightarrow {[{(\frac{3}{4})}^{t}]}^{2} + {(\frac{3}{4})}^{t} - 1 = 0 \Leftrightarrow {(\frac{3}{4})}^{t} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Vậy $\frac{x}{y} = \frac{9^{t}}{12^{t}} = {(\frac{3}{4})}^{t} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{- a + \sqrt{b}}{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 5 \end{cases} \Rightarrow P = a b = 5$

Câu 43:

Cho hình lăng trụ $A B C . A' B' C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A, A B = a .$ Biết thể tích của khối lăng trụ $A B C . A' B' C'$ là $V = \frac{4 a^{3}}{3} .$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và $B' C'$

A. $h = \frac{8 a}{3}$

B. $h = \frac{3 a}{8}$

C. $h = \frac{2 a}{3}$

D. $h = \frac{a}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Diện tích tam giác ABC là $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B^{2} = \frac{a^{2}}{2}$

Chiều cao của khối lăng trụ là $V_{A B C . A' B' C'} = S_{A B C} \times h \Rightarrow h = \frac{8 a}{3}$

Ta có $B C / / B' C' \Rightarrow d (A B; B' C') = d (B' C'; (A B C)) = d (B'; (A B C)) = h = \frac{8 a}{3}$

Câu 44:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương $f (x) = \log_{2} m$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt?

A. 5

B. 8

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Đáp án D

Số nghiệm của phương trình $f (x) = \log_{2} m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và $f (x) = \log_{2} m$ Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng để $f (x) = \log_{2} m$ có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow - 1 < \log_{2} m < 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 8$

Kết hợp với $m \in ℤ^{*},$ ta được $m = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}$ là giá trị cần tìm

Câu 45:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $9^{x + 1} - {20.3}^{x} + 8 = 0.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $x_{1} + x_{2} = \log_{3} \frac{8}{9}$

B. $x_{1} + x_{2} = \log_{3} \frac{20}{9}$

C. $x_{1} x_{2} = \log_{3} \frac{8}{9}$

D. $x_{1} x_{2} = \frac{8}{9}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $9^{x + 1} - {20.3}^{x} + 8 = 0 \Leftrightarrow 9 {(3^{x})}^{2} - {20.3}^{x} + 8 = 0 (*)$

Đặt $t = 3^{x} > 0,$ khi đó $(*) \Leftrightarrow 9 t^{2} - 20. t + 8 = 0 \Rightarrow t_{1} t_{2} = \frac{8}{9} \Leftrightarrow 3^{x_{1}} {.3}^{x_{2}} = \frac{8}{9} \Leftrightarrow$ $x_{1} + x_{2} = \log_{3} \frac{8}{9}$

Câu 46:

Tính đạo hàm của hàm số $y = \log_{2} (x^{2} + x + 1)$

A. $y' = - \frac{2 x + 1}{(x^{2} + x + 1) \ln 2}$

B. $y' = \frac{2 x + 1}{(x^{2} + x + 1) \ln 2}$

C. $y' = \frac{2 x + 2}{(x^{2} + x + 1) \ln 2}$

D. $y' = - \frac{x + 1}{(x^{2} + x + 1) \ln 2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y = \log_{2} (x^{2} + x + 1) \Rightarrow y' = \frac{(x^{2} + x + 1)'}{(x^{2} + x + 1) \ln 2} = \frac{2 x + 1}{(x^{2} + x + 1) \ln 2}$

Câu 47:

Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $f (x) = - x^{3} + 3 x - 4$ và $M (x_{0}; 0)$ là điểm trên trục hoành sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất, đặt $T = 4 x_{0} + 2015.$ Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A. T= 2017

B. T= 2019

C. T= 2018

D. T= 2016

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f' (x) = - 3 x^{2} + 3; f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \Rightarrow f (- 1) = - 6 \\ x = 1 \Rightarrow f (1) = - 2 \end{array}$

Suy ra 2 điểm cực trị của hàm số là $A (- 1; - 6); B (1; - 2)$

Do đó, chu vi tam giác MAB là

$C = M A + M B + M C = \sqrt{{(x_{0} + 1)}^{2} + 6^{2}} + \sqrt{{(x_{0} + 1)}^{2} + 2^{2}} + 3 \sqrt{2}$

Mặt khác $\sqrt{{(x_{0} + 1)}^{2} + 6^{2}} + \sqrt{{(x_{0} + 1)}^{2} + 2^{2}} \geq \sqrt{{(x_{0} + 1 + 1 - x_{0})}^{2} + {(6 + 2)}^{2}} = \sqrt{68}$

Vậy $C \geq \sqrt{68} + 3 \sqrt{2} .$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{x_{0} + 1}{6} = \frac{1 - x_{0}}{2} \Leftrightarrow x_{0} = \frac{1}{2} \Rightarrow T = 2017$

Câu 48:

Đồ thị hàm số $y = \frac{3 x + 2}{1 - 2 x}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất nên có 2 đường tiệm cận

Câu 49:

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $f (x) = x^{5} - 5 x^{3} - 20 x + 2$ trên đoạn $[- 1; 3] ?$

A. M=26

B. M=46

C. M=- 6

D. M= 50

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} - 20; \forall x \in ℝ$

Phương trình $f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Tính các giá trị $f (- 1) = 26; f (2) = - 46; f (3) = 50.$

Vậy $\max_{[- 1; 3]} f (x) = 50$

Câu 50:

Cho hàm số bậc ba $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $a < 0, b < 0, c < 0, d < 0$

B. $a < 0, b < 0, c > 0, d < 0$

C. $a < 0, b > 0, c < 0, d < 0$

D. $a > 0, b > 0, c > 0, d < 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty; \lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty \overset{}{\to} a < 0$

Đồ thị hàm số $y = f (x)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ âm $\Rightarrow d < 0$

Hàm số có 2 điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - \frac{2 b}{3 a} > 0 \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{3 a} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b > 0 \\ c < 0 \end{cases}$

Vậy $a < 0, b > 0, c < 0, d < 0$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án

Tổng hợp 25 đề luyện thi THPTQG môn Toán chọn lọc, cực hay có đáp án - đề 8

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan