Phương pháp:

Sử dụng các công thức logarit.

Cách giải:

Ta có ${\log }_{a^c}b=\frac{1}{c}{\log }_{a}b$ nên đáp án A sai.

Chọn A.

Phương pháp:

- Tìm đạo hàm của hàm số.

- Tìm nghiệm phương trình y' = 0.

Cách giải:

Ta có $y=x^4-2x^2+3\Rightarrow y\text{'}=4x^3-4x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=-1\end{array}\right..$

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tích phân: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx,\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Cách giải:

Ta có $T=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)-2g\left(x\right)\right]dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-2\underset{0}{\overset{1}{\int }}g\left(x\right)dx=2-2.5=-8.$

Chọn D.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính tổ hợp.

Cách giải:

Số tập con có 3 phần tử của tập hợp 7 phần tử là $C_7^3.$

Chọn D.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính tổ hợp.

Cách giải:

Số tập con có 3 phần tử của tập hợp 7 phần tử là $C_7^3.$

Chọn D.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính SHTQ của cấp số nhân: $u_n=u_1.q^{n-1}$ với  là công bội.

Cách giải:

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_2=u_1.q=12\end{array}\right.\Rightarrow q=\frac{u_2}{u_1}=4.$

Chọn B.

Phương pháp:

Sử dụng công thức $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).

Cách giải:

Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên $\underset{2}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(9\right)-F\left(2\right)=4-5=-1.$

Chọn A.

Phương pháp:

Điểm M(a; b) là điểm biểu diễn cho số phức z = a + bi

Cách giải:

Ta có M(-2; 1) là điểm biểu diễn số phức z = -2 + i.

Chọn D.

Phương pháp:

Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có TCN $y=\frac{a}{c}.$

Cách giải:

Đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{2x-4}$ có TCN $y=\frac{1}{2}.$

Chọn C.

Phương pháp:

Khối nón có đường cao h và bán kính r có thể tích $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$

Cách giải:

Khối nón có đường cao h và bán kính r có thể tích $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h.$

Chọn B.

Phương pháp:

Mặt phẳng $\left(\alpha \right):Ax+By+Cz+D=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$

Cách giải:

Mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x-y+3z-1=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;3\right).$

Chọn B.

Phương pháp:

Số phức liên hợp của z = a + bi là $\overline{z}=a-bi.$

Cách giải:

Ta có $z=3+4i\Rightarrow \overline{z}=3-4i.$

Chọn C.

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính modun số phức: $z=a+bi\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}.$

Cách giải:

Ta có $z=2+i\Rightarrow \left|z\right|=\sqrt{2^2+1}=\sqrt{5}$.

Chọn D.

Phương pháp:

Áp dụng các tính chất hàm số mũ và hàm logarit.

Cách giải:

Hàm số $y=a^x$ đồng biến trên $ℝ$ khi a > 1 và nghịch biến trên $ℝ$ khi 0 < a < 1 nên các đáp án B, D sai.

Với $a>0;a\ne 1$ thì đồ thị hàm số không luôn đi qua M(a; 1) nên đáp án C sai.

Chọn A.

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m.

Cách giải:

Số nghiệm của hàm số $f\left(x\right)+3=0\iff f\left(x\right)=-3$ là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = -3.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.

Chọn A.

Phương pháp:

- Tính y'. Tìm các nghiệm $x_i\in \left[-1;1\right]$ của phương trình y' = 0.

- Tính $y\left(-1\right);y\left(1\right);y\left(x_i\right)$

- KL: $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }=\max \left\{y\left(-1\right);y\left(1\right);y\left(x_i\right)\right\}$

Cách giải:

Hàm số xác định trên [-1; 1]

Ta có $y=\frac{2x+3}{x-2}\Rightarrow y\text{'}=\frac{-7}{{\left(x-2\right)}^2}<0\forall x\ne 2$ nên hàm số là hàm nghịch biến trên [-1; 1]

Ta có $y\left(-1\right)=-\frac{1}{3},y\left(1\right)=-5.$

Vậy $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }y=y\left(-1\right)=-\frac{1}{3}.$

Chọn C.

Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng l và bán kính đáy bằng R có diện tích xung quanh $S_{xq}$ cho bởi công thức $S_{xq}=2\pi Rl.$

Cách giải:

Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng l và bán kính đáy bằng R có diện tích xung quanh $S_{xq}$ cho bởi công thức $S_{xq}=2\pi Rl.$

Chọn B.

Phương pháp:

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên các khoảng xác định của nó.

Cách giải:

TXĐ: $D=ℝ\backslash \left\{-2\right\}.$ Ta có $y=\frac{2x+1}{x+2}\Rightarrow y\text{'}=\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}>0\forall x\in D$.

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(-\infty ;-2\right)$; $\left(-2;+\infty \right)$.

Chọn A.

Phương pháp:

Hàm số $y=a^x\left(0<a\ne 1\right)$ xác định với mọi $x\in ℝ.$

Cách giải:

Hàm số $y=a^x\left(0<a\ne 1\right)$ xác định với mọi $x\in ℝ$ nên có tập giá trị là $ℝ.$

Chọn C.

Phương pháp:

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ là $k=y\text{'}\left(x_0\right)$.

Cách giải:

TXĐ $D=ℝ\backslash \left\{2\right\}$

Ta có $y=\frac{2x-3}{2-x}=\frac{2x-3}{-x+2}\Rightarrow y\text{'}=\frac{1}{{\left(2-x\right)}^2}.$

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 là $k=y\text{'}\left(-1\right)=\frac{1}{9}.$

Chọn D.

Phương pháp:

- Mặt phẳng đi qua trục cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông $\Rightarrow h=2r.$

- Thể tích khối trụ có chiều cao h bán kính đáy r là $V=\pi r^{2}h.$

Cách giải:

Mặt phẳng đi qua trục của hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh nên $h=2r=2.2a=4a.$

Khi đó thể tích khối trụ là $V=\pi r^{2}h=\pi .{\left(2a\right)}^2.4a=16\pi a^3.$

Chọn A.

Phương pháp:

- Mặt phẳng (Q) song song với $\left(P\right):ax+by+cz+d=0$ có dạng $\left(Q\right):ax+by+cx+d\text{'}=0\left(d\text{'}\ne d\right).$

- Thay tọa độ điểm A vào phương trình (Q) tìm hệ số d'.

Cách giải:

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng $\left(Q\right):x+2y-3z+2=0$ nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng 

$x+2y-3z+a=0\left(a\ne 2\right).$

Vì $A\left(2;-1;3\right)\in \left(P\right)\Rightarrow 2+2.\left(-1\right)-3.3+a=0\iff a=9.$

Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: $x+2y-3z+9=0.$

Chọn B.

Phương pháp:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x\right),y=g\left(x\right)$, đường thẳng x = a, x = b là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx.$

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: $x^2-2x-1=-x^2+3\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=2\end{array}\right..$

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo là:

                                         $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left[\left(-x^2+3\right)-\left(x^2-2x-1\right)\right]dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(-2x^2+2x+4\right)dx$

Chọn D.

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính đạo hàm của hàm số và quy tắc tính đạo hàm của tích: $\left(uv\right)\text{'}=u\text{'}v+uv\text{'}.$

Cách giải:

$y=\left(x^2-x+1\right)e^x$

$\Rightarrow y\text{'}=\left(2x-1\right)e^x+\left(x^2-x+1\right)e^x$

        $=\left(x^2+x\right)e^x$

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng: $\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C\Rightarrow f\left(x\right)=F\text{'}\left(x\right).$

Cách giải:

$\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{x^3}{3}+e^x+C\Rightarrow f\left(x\right)=\left(\frac{x^3}{3}+e^x+C\right)\text{'}=x^2+e^x.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Tìm nghiệm bội lẻ của phương trình f'(x) = 0.

- Lập BXD f'(x)

Cách giải:

Ta có $f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow \left(x^2-1\right){\left(x-3\right)}^2\left(x+2\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=1 \left(nghiệmkép\right)\\ x=-1 \left(nghiệm\text{ đơ}n\right)\\ x=3 \left(nghệmbộihai\right)\\ x=-2 \left(nghệm đơn\right)\end{array}\right.$

Bảng xét dấu f'(x):

Dựa vào BXD f'(x) ta thấy hàm số có 2 điểm cực tiểu $x=-2,x=1.$

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có cạnh bên vuông góc với đáy là $R=\sqrt{\frac{h^2}{4}+R_{day}^2}$ trong đó h là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy và $R_{day}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp.

Cách giải:

Tam giác BCD vuông tại C có $BD=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{{\left(3a\right)}^2+{\left(4a\right)}^2}=5a.$

Vì $\Delta BCD$ vuông tại C nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$ là $R_{day}=\frac{1}{2}BD=\frac{5a}{2}.$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là $R=\sqrt{\frac{A{B}^2}{4}+R_{day}^2}=\sqrt{\frac{{\left(5a\right)}^2}{4}+{\left(\frac{5a}{2}\right)}^2}=\frac{5a\sqrt{2}}{2}.$

Chọn B

Phương pháp:

Hàm phân thức không có tiệm cận đứng khi mẫu vô nghiệm hoặc bị rút gọn hết mẫu.

Cách giải:

Đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-3x+m}{x-m}$ không có tiệm cận đứng khi phương trình $2x^2-3x+m=0$ có nghiệm là x = m.

Khi đó $2m^2-3m+m=0\iff 2m^2-2m=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=1\end{array}\right..$

$\Rightarrow S=\left\{0;1\right\}.$ Vậy tập hợp S có 2 phần tử.

Chọn C.

Phương pháp:

- Đặt $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi.$ Giải phương trình tìm a, b.

- Điểm biểu diễn số phức z = a + bi là M(a; b)

Cách giải:

Đặt $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi$

Khi đó ta có:

$z+2\overline{z}=6+2i$

$\iff a+bi+2\left(a-bi\right)=6+2i$

$\iff 3a-bi=6+2i$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3a=6\\ b=-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-2\end{array}\right.$

$\Rightarrow z=2-2i$

Vậy điểm biểu diễn số phức z = 2 - 2i là (2; -2)

Chọn C.

Phương pháp:

Sử dụng tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số.

Cách giải:

Ta có $A=\underset{0}{\overset{2}{\int }}xf\text{'}\left(x\right)dx$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}x=u\\ dv=f\text{'}\left(x\right)dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}dx=du\\ v=f\left(x\right)\end{array}\right..$

Khi đó $A=x.f\left(x\right)\left|\begin{array}{l}2\\ 0\end{array}\right.-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=2f\left(2\right)-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Xét $B=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2x\right)dx.$ Đặt $t=2x\Rightarrow dt=2dx.$ Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=0\\ x=1\Rightarrow t=2\end{array}\right..$

Khi đó ta có $B=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=2\Rightarrow \underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=4.$

Vậy $A=2.1-4=-2.$

Chọn A. 

Phương pháp:

- Hai khối chóp có cùng chiều cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích đáy.

- Sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số diện tích đáy.

Cách giải:

Hai khối chóp A.BCD và A.MNP có cùng chiều cao là khoảng cách từ A đến (BCD) nên $\frac{V_{AMNP}}{V_{ABCD}}=\frac{S_{\Delta MNP}}{S_{\Delta BCD}}.$

Dễ thấy tam giác MNP đồng dạng tam giác DBC theo tỉ số $k=\frac{1}{2}$ nên $\frac{V_{AMNP}}{V_{ABCD}}=\frac{S_{\Delta MNP}}{S_{\Delta BCD}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}.$

Mà $V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB.AC.AD=\frac{1}{6}\mathrm{.6.7.4}=28.$

Vậy $V_{AMNP}=\frac{1}{4}{V}_{ABCD}=\frac{1}{4}.28=7.$

Chọn B.

Phương pháp:

- Đặt $t=e^{-2x}\Rightarrow t\in \left(0;\frac{1}{4}\right),$ đưa hàm số về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất ẩn t

- Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ đồng (nghịch) biến trên (a; b) khi $\left\{\begin{array}{l}y\text{'}>0\left(y\text{'}<0\right)\\ -\frac{d}{c}\notin \left(a;b\right)\end{array}\right.$

Cách giải:

Đặt $t=e^{-2x}.$ Với $x\in \left(\ln 2;+\infty \right)\Rightarrow t\in \left(0;\frac{1}{4}\right),$ đồng thời x, t trái nhau về tính đơn điệu.

Do đó để hàm số $y=\frac{e^{-2x}+m}{m{e}^{-2x}+1}$ đồng biến trên $\left(\ln 2;+\infty \right)$ thì hàm số $y=\frac{t+m}{mt+1}$ nghịch biến trên $\left(0;\frac{1}{4}\right).$

Ta có $y\text{'}=\frac{1-m^2}{{\left(mt+1\right)}^2}\forall t\ne -\frac{1}{m}.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}1-m^2<0\\ \left[\begin{array}{l}-\frac{1}{m}\le 0\\ -\frac{1}{m}\ge \frac{1}{4}\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>1\\ m<-1\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}m>0\\ -4\le m<0\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}m>1\\ -4\le m<-1\end{array}\right..$

Chọn A.

Phương pháp:

- Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dạng mặt chắn.

- Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (ABC).

- Mặt phẳng (P) tiếp xúc với S(I; R) khi và chỉ khi $d\left(I;\left(P\right)\right)=R.$

- Khoảng cách từ điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ đến mặt phẳng $\left(P\right):Ax+By+Cz+D=0$ là:

                                         $d\left(M;\left(P\right)\right)=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Cách giải:

Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$

Vì $M\left(\frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7}\right)\in \left(ABC\right)$ nên ta có $\frac{1}{7a}+\frac{2}{7b}+\frac{3}{7c}=1\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7.$

Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=\frac{72}{7}$ có tâm I(1; 2;3) bán kính $R=\sqrt{\frac{72}{7}}.$

Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên $d\left(I;\left(ABC\right)\right)=R.$

$\Rightarrow \frac{\left|\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1\right|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=\sqrt{\frac{72}{7}}\iff \frac{6}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=\sqrt{\frac{72}{7}}\Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{7}{2}.$

Chọn D.

Phương pháp:

- So sánh $V_{B\text{'}.AEF},V_{B\text{'}.AA\text{'}MF}.$

- So sánh $V_{B\text{'}.AA\text{'}MF},V_{ABF.A\text{'}B\text{'}M},$ từ đó so sánh $V_{B\text{'}.AA\text{'}MF},V.$

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của B'C' ta có: $S_{\Delta AEF}=\frac{1}{2}{S}_{AA\text{'}MF}\Rightarrow V_{B\text{'}.AEF}=\frac{1}{2}{V}_{B\text{'}.AA\text{'}MF}.$

Mà $V_{B\text{'}.AA\text{'}MF}=\frac{2}{3}{V}_{ABF.A\text{'}B\text{'}M}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}V=\frac{1}{3}V.$

$\Rightarrow V_{B\text{'}.AEF}=\frac{1}{2}{V}_{B\text{'}.AA\text{'}MF}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}V=\frac{1}{6}V.$

Vậy $\frac{V_1}{V}=\frac{1}{6}.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Nhân liên hợp.

- Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Cách giải:

Ta có

     $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{x^2-x+1}{x+\sqrt{x-1}}dx=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{\left(x-\sqrt{x-1}\right)\left(x^2-x+1\right)}{x^2-x+1}dx$

$=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x-\sqrt{x-1}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}-\frac{2}{3}\left(x-1\right)\sqrt{x-1}\right)\left|\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right.$