Các bài toán về mặt phẳng và mặt cầu
-
755 lượt thi
-
21 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;−1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) có phương trình 2x−2y−z+3=0. Bán kính của (S) là:
Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (α)nên ta có R=d(I,α)
Suy raR=d(I,α)=|2.2−2.1−(−1)+3|√4+4+1=63=2
Đáp án cần chọn là: A
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;−1) và đi qua điểm A(2;1;2). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với (S) tại A?
Ta có→AI=(1;1;−3)
Vì (P) tiếp xúc với (S) tại A.
⇔IA⊥(P)⇒→IA=→nP
Do đó, phương trình mặt phẳng (P) có dạngx+y−3z+d=0(∗)
Mặt khác, vì A∈(P) nên ta có2+1−3.2+d=0⇔d=3
Vậy ta có(P):x+y−3z+3=0
Đáp án cần chọn là: D
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y+1)2+(z+2)2=4 và 2 đường thẳng Δ1:{x=2ty=1−tz=tvà Δ2:x−1−1=y1=z−1. Một phương trình mặt phẳng (P) song song với Δ1,Δ2 và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:
(S) có tâmI(1;−1;−2);R=2
Vì (P) song song với Δ1,Δ2 có vtcp tương ứng là→u1=(2;−1;1);→u2=(−1;1;−1)
ta có →nP=[→u1,→u2]=(|−111−1|;|12−1−1|;|2−1−11|)=(0;1;1)
Gọi(P):y+z+d=0
d(I;P)=|−1−2+d|√2=|d−3|√2
⇒|d−3|√2=2⇔[d−3=2√2d−3=−2√2⇔[d=3+2√2d=3−2√2⇔[y+z+3+2√2=0y+z+3−2√2=0
Đáp án cần chọn là: D
Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;−1;0),B(1;1;−1) và mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x+4y−2z−3=0. Mặt phẳng (P) đi qua A,B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:
(S):x2+y2+z2−2x+4y−2z−3=0có tâm I(1;−2;1) và bán kính R=3.
Do (P) đi qua A,B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên (P) đi qua tâm I của (S)
Ta có:→IA=(−1;1;−1),→IB=(0;3;−2);→n(P)=[→IA,→IB]=(1;−2;−3)
Phương trình mặt phẳng(P):1(x−−0)−−2(y+1)−−3(z−−0)=0hayx−−2y−−3z−−2=0
Đáp án cần chọn là: B
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−2)2+(y+1)2+(z−4)2=10 và mặt phẳng (P):−2x+y+√5z+9=0. Gọi (Q) là tiếp diện của (S) tại M(5;0;4) . Tính góc giữa (P) và (Q).
Gọi mặt cầu tâm I(2;−1;4).
Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) (tâm I, bán kính R) tại điểm M chính là mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với bán kính IM tại tiếp điểm M
Mặt phẳng qua M(5;0;4) vuông góc vớiIM(→IM=(3;1;0))có phương trình:
(Q):3(x−5)+y=0⇔3x+y−15=0
Có:→nP(−2;1;√5);→nQ(3;1;0)
Nên ta có:
cos^((P);(Q))=|cos^(→nP;→nQ)|=|−6+1|√10.√10=12⇒^((P);(Q))=600
Đáp án cần chọn là: B
Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=9và mặt phẳng (P):2x−2y+z+3=0. Gọi M(a;b;c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó:
Giả sử M(a;b;c) là điểm cần tìm.
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R=3.Gọi Δ là đường thẳng qua I và vuông góc với mp(P).
⇒Δ:{x=1+2ty=2−2tz=3+t
Đường thẳng Δ cắt mặt cầu tại 2 điểm A,B. Toạ độ A,B là nghiệm của hệ:
{x=1+2ty=2−2tz=3+t(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=9⇔{t=1t=−1
⇔{A(3;0;4)B(−1;4;2)
Ta có:d(A;(P))=|2.3−2.0+4+3|√22+22+1=133
vàd(B;(P))=|2.(−1)−2.4+2+3|√22+22+1=53
Do đó điểm cần tìm là điểmA≡M⇒a+b+c=3+0+4=7
Đáp án cần chọn là: C
Câu 7:
Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ tâm I của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S):(x−1)2+(y−1)2+(z−1)2=64với mặt phẳng(α):2x+2y+z+10=0.
(S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=8.
Tâm đường tròn giao tuyến (C) là hình chiếu vuông góc H của I trên (P).
Đường thẳng Δ qua I và vuông góc với (P) có phương trình là
x−12=y−12=z−11
DoH∈Δ nênH(2t+1;2t+1;t+1)
Ta cóH∈(P) nên:
2(2t+1)+2(2t+1)+t+1+10=0⇔9t+15=0⇔t=−53
⇒H(−73;−73;−23)
Đáp án cần chọn là: A
Câu 8:
Cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình (S):(x−5)2+(y+3)2+(z−7)2=72và điểm B(1;1;−9). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Giả sử →n=(1;m;n)là véctơ pháp tuyến của (P). Lúc đó:
(S) có tâm I(5;−3;7) và bán kínhR=6√2
Theo đề bài ta có phương trình (P) có dạngx+m(y−8)+n(z−2)=0
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên
d(I,(P))=|5+m(−3−8)+n(7−2)|√1+m2+n2=|5−11m+5n|√1+m2+n2=6√2
⇔|5−11m+5n|=6√2.√1+m2+n2⇔25+121m2+25n2−110m+50n−110mn=72(1+m2+n2)⇔49m2−110m+50n−110mn−47n2−47=0⇔49m2−110m(n+1)−47n2+50n−47=0(1)Δ′=3025(n+1)2−49(−47n2+50n−47)=5328n2+3600n+5328>0
Phương trình (*) luôn có nghiệm
d(B,(P))=|1+m(1−8)+n(−9−2)|√1+m2+n2=|1−7m−11n|√1+m2+n2=>d(B,(P))max
Mặt khác\frac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}}
\frac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }} = \frac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}
\begin{array}{*{20}{l}}{72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)}\\{ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)}\\{ \Leftrightarrow - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)}\end{array}Từ (1) và (2) \Rightarrow m.n = \frac{{276}}{{49}}
Đáp án cần chọn là: A
Câu 9:
Mặt phẳng (Oyz) cắt mặt cầu (S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 4z - 3 = 0 theo một đường tròn có tọa độ tâm là
Phương trình mặt phẳng(Oyz):x = 0nên ta loại được đáp án A.
Véc tơ pháp tuyến của\left( {Oyz} \right):\vec n = (1;0;0)
Tọa độ của mặt cầu (S) là I\left( { - 1;1; - 2} \right)
Gọi điểm O là điểm cần tìm cóO\left( {0;b;c} \right)
Do IO vuông góc với (Oyz) nên\overrightarrow {OI} cùng phương với\vec n = (1;0;0)
Suy rab = 1;c = - 2
Đáp án cần chọn là: D
Câu 10:
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(−1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):2x−y−2z+1=0
Khoảng cách từ I đến (P) được tính theo công thức
d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2 - 2.3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3
Phương trình mặt cầu cần tìm là {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9
Đáp án cần chọn là: D
Câu 11:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm A(1;2;1);B(3;2;3), có tâm thuộc mặt phẳng (P):x−y−3=0 , đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính R của mặt cầu (S)?
Gọi I là tâm mặt cầu\left( S \right),I\left( {a,b,c} \right)
Suy raa - b - 3 = 0 \Rightarrow a = b + 3 \Rightarrow I(b + 3;b;c)
I{A^2} = I{B^2} = {R^2} \Leftrightarrow {(b + 2)^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 1)^2} = {b^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 3)^2}
\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow {{\left( {b + 2} \right)}^2} + {{\left( {c - 1} \right)}^2} = {b^2} + {{\left( {c - 3} \right)}^2}}\\{ \Leftrightarrow {b^2} + 4b + 4 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} + {c^2} - 6c + 9}\\{ \Leftrightarrow 4b + 4c - 4 = 0}\\{ \Leftrightarrow b + c - 1 = 0 \Leftrightarrow c = 1 - b}\end{array}
{R^2} = {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( { - b} \right)^2} = 3{b^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow R \ge 2\sqrt 2
\min R = 2\sqrt 2 khi b=0
Đáp án cần chọn là: D
Câu 12:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,(α) cắt mặt cầu (S) tâm I(1;−3;3) theo giao tuyến là đường tròn tâm H(2;0;1) , bán kính r=2 . Phương trình (S) là:
Gọi E là một điểm thuộc đường tròn.
Ta cóIH = d\left( {I,(\alpha )} \right);\,R = IE;\,r = HE
IH = \sqrt {1 + {3^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {14}
Tam giác IHE vuông tại H nênIE = \sqrt {I{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {14 + 4} = \sqrt {18}
Suy ra phương trình mặt cầu (S) là:
{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18
Đáp án cần chọn là: A
Câu 13:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(−3;2;−4) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)?
Vì mặt cầu có tâmI( - 3;2; - 4)tiếp xúc với mp(Oxz) nên r=2.
Phương trình mặt cầu cần tìm là : {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4
Đáp án cần chọn là: C
Câu 14:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 25 và mặt phẳng (\alpha ):2x + y - 2z + m = \;0. Tìm các giá trị của m để \left( \alpha \right)\;và (S) không có điểm chung.
Mặt cầu (S) có tâm I(−1;2;3) bán kính R=5.
Để mặt cầu với mặt phẳng không có điểm chung thì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn hơn bán kính mặt cầu.
Ta có
d(I,(\alpha )) > 5 \Leftrightarrow \frac{{|2.( - 1) + 2 - 2.3 + m|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} > 5
\Leftrightarrow |m - 6| > 15 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 6 > 15}\\{m - 6 < - 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 21}\\{m < - 9}\end{array}} \right.
Đáp án cần chọn là: A
Câu 15:
Mặt cầu (S) có tâm I(−1;2;−5) cắt mặt phẳng (P):2x - 2y - z + 10 = 0\;theo thiết diện là hình tròn có diện tích 3\pi . Phương trình của (S) là:
Gọi O là tâm của đường tròn thiết diện, E là một điểm thuộc đường tròn.
Ta có: IO = d\left( {I,(P)} \right);R = IE
IO = d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{|2.( - 1) - 2.2 + 5 + 10|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = 3
S = 3\pi = \pi .O{E^2} \Leftrightarrow O{E^2} = 3
Tam giác IOE vuông tại O nên{R^2} = I{E^2} = I{O^2} + O{E^2} = 3 + 9 = 12.
Suy ra phương trình mặt cầu (S) là:
{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 12
hay{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0
Đáp án cần chọn là: A
Câu 16:
Trong không gian vớ hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;−1) và đi qua điểm A(2;1;2). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với (S) tại A?
(P) là mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A nếu và chỉ nếu (P) đi qua A và\overrightarrow {IA} \bot \left( P \right)
Ta có:\overrightarrow {IA} = ( - 1; - 1;3) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Mà (P) lại đi qua A(2;1;2) nên:\left( P \right): - 1\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y - 1} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3z + 3 = 0
Đáp án cần chọn là: D
Câu 17:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x - 2y + 2z - 3 = 0\;và mặt cầu (S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0. Giả sử M \in \left( P \right)\; và N \in \left( S \right)\; sao cho \overrightarrow {MN} cùng phương với vectơ \overrightarrow u = \left( {1;0;1} \right)\;và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN
(S) có tâm I(–1;2;1) và R=1.
Gọi \vec v\left( {t;0;t} \right) là vectơ cùng phương với vectơ\vec u\left( {1;0;1} \right) sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến (S) thành (S′) tiếp xúc với (P)
Phép tịnh tiến vectơ \vec v\left( {t;0;t} \right) biến I thànhI'(--1 + t;2;1 + t)
Suy ra (S′) có tâm I′ và bán kínhR' = R = 1
(S′) tiếp xúc (P)
\Leftrightarrow d(I;(P)) = 1 \Leftrightarrow \frac{{| - 1 + t - 2.2 + 2(1 + t) - 3|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1
\Leftrightarrow |3t - 6| = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3}\\{t = 1}\end{array}} \right.
Với t = 3 \Rightarrow \vec v\left( {3;0;3} \right) \Rightarrow \left| {\vec v} \right| = 3\sqrt 2
Vớit = 1 \Rightarrow \vec v\left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left| {\vec v} \right| = \sqrt 2
Vậy giá trị lớn nhất của MN là 3\sqrt 2
Đáp án cần chọn là: C
Câu 18:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z + 5 = 0. Tiếp diện của (S) tại điểm M(−1;2;0) có phương trình là:
Mặt cầu (S) có tâm I(−1;2;−3) và bán kính R=3
Ta có : M( - 1;2;0) \in \left( S \right)
Gọi \left( \alpha \right)là mặt phẳng tiếp diện của (S) tại M.
Khi đó \left( \alpha \right) đi qua M và nhận\overrightarrow {IM} \left( {0;0;3} \right) làm véctơ pháp tuyến
Vậy\left( \alpha \right):0(x + 1) + 0(y - 2) + 3(z - 0) = 0 \Leftrightarrow z = 0
Đáp án cần chọn là: D
Câu 19:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 4z + 9 - {m^2} = 0. Gọi T là tập các giá trị của m để mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tích các giá trị của mm trong T bằng:
Mặt cầu\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 4z + 9 - {m^2} = 0có tâmI\left( { - 3;0;2} \right)và bán kính R = \sqrt {{m^2} + 4}
Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là x = 0 \Rightarrow d\left( {I;\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{1} = 3
\Rightarrow R = \sqrt {{m^2} + 4} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 5
Tích các giá trị của m là\sqrt 5 .\left( { - \sqrt 5 } \right) = - 5
Đáp án cần chọn là: A
Câu 20:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\; và mặt phẳng (P):2x - y + z - 3 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc Δ và tiếp xúc với (P) tại điểm H(1;−1;0). Phương trình của (S) là:
VìI \in {\rm{\Delta }}:\,\,\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}nên ta gọi I\left( {1 - 2t;\,\,2t;\,\,2 + t} \right)
Vì (S) tiếp xúc với\left( P \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0tại điểm H(1;−1;0) nên ta có:d\left( {I;\left( P \right)} \right) = IH = R
\Leftrightarrow \frac{{\left| {2.\left( {1 - 2t} \right) - 2t + 2 + t - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2t} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - t} \right)}^2}}
\Leftrightarrow \frac{{\left| { - 5t + 1} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {9{t^2} + 8t + 5}
\Leftrightarrow 25{t^2} - 10t + 1 = 54{t^2} + 48t + 30
\Leftrightarrow 29{t^2} + 58t + 29 = 0
\Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 = 0
\Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} = 0
\Leftrightarrow t = - 1
\Rightarrow I\left( {3; - 2;1} \right)và R = IH = \sqrt 6
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6
Đáp án cần chọn là: C
Câu 21:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 2z - 3 = 0\;và đường thẳng \Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}. Mặt phẳng \left( \alpha \right)\;vuông góc với \Delta và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính lớn nhất. Phương trình \left( \alpha \right)\;là:
Đường thẳng{\rm{\Delta }}:\,\,\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}} có 1 VTCP là\vec u = \left( {3; - 2; - 1} \right)
Vì\left( \alpha \right) \bot {\rm{\Delta }} nên mặt phẳng\left( \alpha \right) có 1 VTPT là\vec n = \vec u = \left( {3; - 2; - 1} \right). Khi đó phương trình mặt phẳng\left( \alpha \right) có dạng3x - 2y - z + d = 0
Mặt cầu\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 2z - 3 = 0 có tâmI\left( {4; - 1; - 1} \right) bán kínhR = \sqrt {16 + 1 + 1 + 3} = \sqrt {21}
Gọi r là bán kính đường tròn \left( C \right),d = d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right)
Áp dụng định lí Pytago ta có:{R^2} = {r^2} + {d^2}, do đó để rr đạt GTLN thì dd phải đạt GTNN (vìR = \sqrt {21} không đổi).
Ta có:d = \frac{{\left| {3.4 - 2.\left( { - 1} \right) - 1.\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {15 + d} \right|}}{{\sqrt {14} }} \ge 0 suy ra{d_{\min }} = 0 \Leftrightarrow d = - 15
Vậy phương trình mặt phẳng \left( \alpha \right)cần tìm là:3x - 2y - z - 15 = 0
Đáp án cần chọn là: D