Thứ sáu, 22/11/2024
IMG-LOGO

Đề số 4

  • 4566 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của khối trụ đó bằng a và thiết diện qua trục là một hình vuông

Xem đáp án

Đáp án A

Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của khối trụ đó bằng a và thiết diện qua trục là một hình vuông (ảnh 1)

Vì thiết diện qua trục khối trụ là hình vuông nên đường cao của khối trụ là h=AD=2.r=2a .

Thể tích khối trụ là: V=πr2h=2πa3 .


Câu 2:

Cho hàm số y=x33x2+2 . Đồ thị hàm số có điểm cực đại là
Xem đáp án

Đáp án C

TXĐ: D= .

Ta có: y'=3x26x=0x=0x=2 .

Cho hàm số y=x^3-3^2+2 . Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0;2).


Câu 3:

Trong không gian Oxyz, đuờng thẳng dx12=y21=z32  đi qua điểm nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án C

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào đường thẳng.

Thấy tọa độ điểm P thỏa mãn x12=y21=z32 .


Câu 4:

Hàm số y=x33x29x+1  đồng biến trên khoảng nào trong những khoảng sau?
Xem đáp án

Đáp án B

TXĐ: D= .

Ta có: y'=3x26x9=0x=1x=3

Bảng xét dấu y'  như sau:
Hàm số  y=x^3-3x^2-9x+1 đồng biến trên khoảng nào trong những khoảng sau?  (ảnh 1)
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ;1  và 3;+  ; nên đồng biến trên (4;5)  .

Câu 5:

Nghiệm của phương trình log2x+log4x=log123 
Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: x>0

Ta có: log2x+12log2x=log2133log2x=2log213log2x3=log213

x3=13x=133(thỏa mãn).


Câu 6:

Cho 01fxdx=2  01gxdx=5 , khi đó 01fx2gxdx  bằng
Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: 01fx2gxdx=01fxdx201gxdx=22.5=8 .

Câu 7:

Cho khối trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao  bằng 3a . Thể tích của khối trụ bằng

Xem đáp án

Đáp án B

Thể tích khối trụ: V=hπr2=3aπa2=π3a3 .

 


Câu 8:

Số nghiệm của phương trình π2x2+x3=1  là:

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình tương đương với: π2x2+x3=π02x2+x3=0x=1x=32 .

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.


Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A3;1;3  , B1;3;1  và (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . Một vectơ pháp tuyến của (P) có tọa độ là:
Xem đáp án

Đáp án D

(P) là mặt phẳng trung trực của AB nên nhận AB=2;4;2  làm một véctơ pháp tuyến. Suy ra u=1;2;1=12AB  cũng là một véctơ pháp tuyến của (P).


Câu 10:

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=e2x6ex  , biết F(0)=7. Tính tổng các nghiệm của phương trình F(x)=5  .
Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: fx=e2x6ex=ex6.ex

Do đó Fx=ex+6ex+C  F0=e0+6e0+C=7C=0 .

Suy ra Fx=ex+6ex .

Phương trình Fx=5ex+6ex=5e2x5ex+6=0ex=2ex=3x=ln2x=ln3 .

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:ln2+ln3=ln6 .


Câu 11:

Trong không gian với hệ trục độ Oxyz, cho phương trình đường thẳng Δ  : x=1+2ty=1+3tz=2tt . Trong các điểm dưới đây, điểm nào thuộc đường thẳng Δ  ?

Xem đáp án

Đáp án B

Ta thay tọa độ điểm (-1;-4;3) vào phương trình đường thẳng Δ  thì ta thấy thỏa mãn. Do đó điểm (-1;-4;3)   thuộc đường thẳng Δ .


Câu 12:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác
Xem đáp án

Đáp án B

Mỗi số có ba chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử.

Nên số các số lập được là A63=120 .


Câu 13:

Biết bốn số 5; x; 15; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của 3x+2y  bằng
Xem đáp án

Đáp án B

Theo giả thiết, bốn số 5; x; 15; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên theo tính chất các số hạng của một cấp số cộng, ta có: x=5+152y=x+y2x=10y=20 . Vậy 3x+2y=70 .


Câu 14:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức z=4+5i  có tọa độ là
Xem đáp án

Đáp án A

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức z=4+5i  có tọa độ là (-4;5).


Câu 15:

Đồ thị trong hình vẽ bên dưới là của đồ thị hàm số nào sau đây?

Đồ thị trong hình vẽ bên dưới là của đồ thị hàm số nào sau đây?  (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án A

Từ đồ thị suy ra hệ số  nên nhận đáp án A hoặc C.

Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ dương (d>0), nên chọn đáp án A.


Câu 16:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x24x2x+1  trên đoạn 0;3 .

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số  y=x24x2x+1liên tục trên 0;3  .

Ta có y'=2x2+2x42x+12=02x2+2x4=0x=20;3x=10;3

Ta lại có: y0=0  ;y1=1 ; y3=37 .

Do đó: miny0;3=y1=1 .


Câu 17:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=x33+mx22mx+1  có hai điểm cực trị.

Xem đáp án

Đáp án D

TXĐ: D= .

Ta có:y'=x2+2mx2m .

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y'=0   có hai nghiệm phân biệt

Δ'>0m22m>0m>2m<0.


Câu 18:

Tìm các giá trị của tham số thực m để số phức z=m21+m+1i  là số thuần ảo.

Xem đáp án

Đáp án C

Để z là số thuần ảo m21=0m=±1 .

Lỗi học sinh thường mắc: “z là số thuần ảo” m21=0m+10m=1 .


Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu có tâm I1;2;1  và tiếp xúc với mặt phẳng (P)  : 2x2yz8=0  có phương trình là

Xem đáp án

Đáp án C

Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên bán kính mặt cầu là:

dI,P=r24+184+4+1=3r=3.

Vậy phương trình mặt cầu là: S:x12+y22+z+12=9 .

Câu 20:

Cho a là số thực dương tùy ý khác 1. Mệnh đề đúng là
Xem đáp án

Đáp án C

 


Câu 21:

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z=x+yi (x,y   thỏa mãn zi=4  là đường cong có phương trình

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: zi=4x+y1i=4x2+y12=4x2+y12=16  .


Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình là xz3=0xz3=0xz3=0xz3=0 . Tính góc giữa (P) và mặt phẳng (Oxy)  .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: nP=1;0;1nOxy=0;0;1 .

Gọi  là góc giữa mặt phẳng (P)   và mặt phẳng (Oxy)

cosφ=nP.nOxynP.nOxy=1.0+0.0+1.112+02+12.02+02+12=12φ=45°.

Câu 23:

Với số thực 0<a<1  bất kì, tập nghiệm của bất phương trình a2x+1>1  

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có a2x+1>12x+1<0  (vì 0<a<1 )x<12 .


Câu 24:

Ký hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=fx  , trục hoành, đường x=a, x=b  (như hình vẽ). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Ký hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) , trục hoành, đườngx=a, x=b  ,   (như hình vẽ). Khẳng định nào sau đây là đúng?   (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có diện tích hình phẳng được tính bởi công thức:S=abfxdx=acfxdx+cbfxdx

Do fx<0 ,xa;c ; fx>0 ,  xc;bnên ta có: S=acfxdx+cbfxdx

.


Câu 25:

Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 4π  và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Thể tích khối trụ đã cho bằng

Xem đáp án

Đáp án A

Thiết diện qua trục là hình vuông R=h2

Khi đó: Stp=2πRh+2πR2=2π.h2.h+2πh22=3πh22=4πh=263R=63  .

Vậy V=πR2h=4π69


Câu 26:

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=x23x+2x32x2  

Xem đáp án

Đáp án B

TXĐ:D=\0;2 .

limx+x23x+2x32x2=limx+1x3x2+2x312x=0 ;

limxx23x+2x32x2=limx1x3x2+2x312x=0 .

Suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y=0.

limx2x23x+2x32x2=limx2x2x1x2x2=limx2x1x2=14

Nên x=2 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

limx0x23x+2x32x2=limx0x2x1x2x2=limx0x1x2=

Suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x=0.

Vậy tổng số các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 2 tiệm cận.


Câu 27:

Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A'B'C'D'  biết AC'=a3  .

Xem đáp án

Đáp án A

Tính thể tích V của khối lập phương ABCD. A'B'C'D'  biết  . (ảnh 1)

Đặt độ dài cạnh của khối lập phương là x x>0  .

Khi đó:CC'=x ; AC=x2  .

Tam giác vuông ACC' , có  AC'=AC2+CC'2x3=a3x=a

Vậy thể tích khối lập phương  V=a3(đvtt).


Câu 28:

Cho hàm số fx=5ex2  . Tính P=f'x2x.fx+15f0f'0 .
Xem đáp án

Đáp án A

Ta có f'x=10x.ex2  .

Do đóf'0=0  f0=5 .

Vậy P=f'x2xfx+15f0f'0=10xex22x.ex2+15.50=1 .


Câu 29:

Cho hàm số y=fx  có đồ thị như hình vẽ dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình fx+1=m  có bốn nghiệm thực phân biệt?

Cho hàm số   có đồ thị như hình vẽ dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x)+1=m  có bốn nghiệm thực phân biệt? (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có fx=m1 .

Số nghiệm của phương trình  là số giao điểm của đồ thị hàm số y=fx  và đường thẳng y=m1 .

Cho hàm số   có đồ thị như hình vẽ dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x)+1=m  có bốn nghiệm thực phân biệt? (ảnh 2)


Câu 30:

Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D'  có đáy là hình thoi cạnh a,BAD^=60° . Hình chiếu vuông góc của B'  xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên BB'=a  . Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi O=ACBD  .

Theo giả thiết B'OABCD

Do đó BB',ABCD^=BB',BO^=B'BO^  

Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a, suy ra BO=12BD=a2 .

Tam giác vuông B'BO, có cosB'BO^=BOBB'=12B'BO^=60°  .

Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D'  có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD=60 độ . Hình chiếu vuông góc của  xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên BB'=a . Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. (ảnh 1)


Câu 31:

Biết rằng phương trình log222x5log2x=0  có hai nghiệm phân biệt x1  x2 . Tính x1.x2  .

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện:x>0 .

Phương trình tương đương với:

log22+log2x25log2x=0.

1+log2x25log2x=0log22x3log2x+1=0

 Phương trình log22x3log2x+1=0  có hai nghiệm phân biệt x1  và x2  .

Ta có: log2x1.x2=log2x1+log2x2  .

Theo định lí Vi-et, ta có: log2x1+log2x2=31=3log2x1.x2=3x1.x2=8


Câu 32:

Một khối nón làm bằng chất liệu không thấm nước, có khối lượng riêng lớn hơn khối lượng riêng của nước, có đường kính đáy bằng a và chiều cao 12, được đặt trong và trên đáy của một cái cốc hình trụ bán kính đáy a như hình vẽ, sao cho đáy của khối nón tiếp xúc với đáy của cốc hình trụ. Đổ nước vào cốc hình trụ đến khi mực nước đạt đến độ cao 12 thì lấy khối nón ra. Hãy tính độ cao của nước trong cốc sau khi đã lấy khối nón ra.
Một khối nón làm bằng chất liệu không thấm nước, có khối lượng riêng lớn hơn khối lượng riêng của nước, có đường kính đáy bằng a và chiều cao 12, được đặt trong và trên đáy của một cái cốc hình trụ bán kính đáy a như hình vẽ, sao cho đáy của khối nón tiếp xúc với đáy của cốc hình trụ. Đổ nước vào cốc hình trụ đến khi mực nước đạt đến độ cao 12 thì lấy khối nón ra. Hãy tính độ cao của nước trong cốc sau khi đã lấy khối nón ra.  (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án B

Gọi V, R, h lần lượt là thể tích khối trụ (khối chứa phần nước trong cốc), bán kính đáy cốc và chiều cao của lượng nước trong cốc khi chưa lấy khối nón ra.

Suy ra:  V=πR2h  .

Gọi V1 ,R1 ,  h1lần lượt là thể tích, bán kính đáy và chiều cao của khối nón.

Suy ra:   V1=13πR12h1       .

Gọi V2 , R2 , h2  là thể tích lượng nước đổ vào và độ cao của nước trong cốc sau khi đã lấy khối nón ra.

Suy ra:   V2=13πR2h2       .

Từ , (1), (2), (3)   ta có:  VV1=V2πR2h13πR12h1=πR2h2

R2h13R12h1=R2h2h2=R2h13R12h1R2         .

Thay R=a  ,R1=a2 h=h1=12   vào (4) ta có:  
h2=1213.14.12=11

Câu 33:

Biết rằng Fx  là nguyên hàm của hàm số fx=4x31x2+3x   và thỏa mãn 5F1+F2=43 TínhF2 .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có  f4x31x2+3xdx=x4+1x+32x2+C

Theo giả thiết 5F1+F2=43572+C+452+C=43C=12 .

Suy ra .Fx=x4+1x+32x2+12Fx=24+12+32.22+12=23

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a2  . Cạnh bên SA=2a  và vuông góc với mặt đáy ABCD . Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng SBC .

Xem đáp án

Đáp án C

Do AD//BC  nên dD,SBC=dA,SBC .

Gọi K là hình chiếu của A trên SB, suy ra AKSB

Khi dA,SBC=AK=SA.ABSA2+AB2=2a33 .


Câu 35:

Cho điểm A1;2;3  và hai mặt phẳng (P): 2x+2y+z+1=0, (Q): 2xy+2z1=0 : . Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả (P)và (Q) 
Xem đáp án

Đáp án D

Ta có nP=2;2;1  ; nQ=2;1;2 .

Gọiud  là véctơ chỉ phương của đường thẳng d.

Do udnPudnQud=nP,nQ=5;2;6 .

Mặt khác đường thẳng d đi qua A1;2;3   và có véctơ chỉ phương  ud=5;2;6 nên phương trình chính tắc của dx15=y22=z36 .


Câu 36:

Cho hàm số fx=x+2ax+2baax+1 . Có bao nhiêu cặp số thực a;bđể hàm số đồng biến trên .
Xem đáp án

Đáp án B

 Ta có: f'x=3ax22a2+4ab+2x2a3+4a2b+a+2b

Theo bài ta có: f'x0x

a=02x+2b0,xkhoâng thoûa maõna>0Δ'0a>0a2+2ab+123a2a3+4a2b+a+2b0

a>07a48a3b+4a2b2a22ab+10a>02ab4a2+122+342a2120

a>02ab4a2+12=02a21=0a=22b=324

Nhận xét: Hàm số fx=kx+ax+bx+c  đồng biến trên R khi k>0a=b=c  ; nghịch biến trên  khi


Câu 37:

Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn x2z¯=7+3i+z . Tính mô-đun của số phức w=1z+z2  bằng
Xem đáp án

Đáp án B

Đặt  z=a+bia,b

Ta có: z2z¯=7+3i+za2+b22abi=7+3i+a+bi

 a2+b23a+7+b3i=0a2+b23a+7=0b3=0

a2+9=3a7b=3a73a2+9=9a242a+49b=3a73a=4nhana=54loaib=3b=3a=4

Vậy z=4+3iw=1z+z2=4+21iw=457


Câu 39:

Cho một đa giác đều (H) có 15 đỉnh. Người ta lập một tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của . Tính số tứ giác được lập thành mà không có cạnh nào là cạnh của (H)  .
Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi các đỉnh của đa giác là , ,..., .

Để chọn được một tứ giác thoả mãn ta thực hiện qua các công đoạn:

Chọn một đỉnh có 15 cách, giả sử là 4.

Ta tìm số cách chọn ba đỉnh còn lại, tức ba đỉnh , ,  và giữa ,    đỉnh; giữa ,    đỉnh; giữa ,     đỉnh và giữa ,    đỉnh, theo giả thiết có

 x1+x2+x3+x4=154=11xm1,m=1,4¯

Số cách chọn ra ba đỉnh này bằng số nghiệm tự nhiên của phương trình x1+x2+x3+x4=11

 và bằng C11141=C103 .

Vậy số các tứ giác có thể bằng , tuy nhiên vì vai trò bốn đỉnh như nhau nên mỗi đa giác được tính 4 lần, do đó số tứ giác bằng 15C1034=450 .

Tổng quát: Đa giác có n đỉnh, số tứ giác lập thành từ 4 đỉnh không có cạnh của đa giác là: n4.Cn53 .


Câu 40:

Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol nhu hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.

Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol nhu hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.   (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol nhu hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.   (ảnh 2)

Giả sử phương trình của parabol là (P): y=ax2+bx+c .

Ta có parabol có đỉnh là (0;3)   và đi qua điểm 32;0  nên có hệ phương trình

b=0c=394a+c=0a=43b=0c=3P:y=43x2+3

Cắt vật thể bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 32x32 , ta thấy thiết diện thu được là một hình chữ nhật có chiều rộng 43x2+3 bằng  mét và chiều dài bằng 6 mét.

Diện tích thiết diện thu được là 643x2+3=8x2+18 .

Vậy thể tích phần không gian bên trong trại là 32328x2+18dx=36m3 .


Câu 41:

Cho hàm số: y=12m2x513mx3+10x2m2m20x+1 . Tổng tất cả các giá trị thực của m để hàm số đã cho đồng biến trên R bằng
Xem đáp án

Đáp án C

Theo bài ra ta có: xgx=m2x4mx2+20xm2+m+200  ,x , .

Ta có gx=0  có một nghiệm x=1 , do vậy để ,  thì trước tiên gx0  không đổi dấu khi qua điểm x=-1, tức gx  có nghiệm kép

 x=1g'1=04m2x32mx+20x=0x=14m2+2m+20=0m=2m=52Với m=2gx=4x4+2x2+20x+14=2x+122x24x+70 x,  (thỏa mãn).

Với m=52gx=254x452x2+20x+654=54x+125x210x+130 x,  (thỏa mãn).

Nên S=2+52=12 .


Câu 42:

Cho hàm số y=14x4x3+x2+m  . Tính tổng tất cả các số nguyên m để max1;2y11  .
Xem đáp án

Đáp án C

Xét hàm số y=14x4x3+x2+m  liên tục trên đoạn 1;2 .

Ta có f'x=x33x2+2x=0x=01;2x=11;2x=21;2

Ta lại có: f1=94+m ;f0=m ;f1=14+m ; f2=m .

Khi đó:max1;2fx=maxf1;f0;f1;f2=f1=m+94max1;2fx=minf1;f0;f1;f2=f0=f2=m .

Suy ra: max1;2y=maxm;m+94 .

Theo yêu cầu bài toán  max1;2y11m+9411mm+94m11m+94m534m354m9811m11m98

98m35411m9811m354.

 

m nguyên nên m=11;10;...;8 .

Kết luận: tổng các số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 11109...+8=30 .

Tìm tham số để maxα;βfxa   (với a>0).

 


Câu 43:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f3sinxcosx12cosxsinx+4=fm2+4m+4   nghiệm?
Cho hàm số   liên tục trên   và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình   có nghiệm?  (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án A

Đặt t=3sinxcosx12cosxsinx+42t+1cosxt+3sinx=14t   Phương trình *  có nghiệm 2t+12+t+324t+12911t1  , suy ra .

Từ đồ thị y=fx  ta có

y=fx đồng biến trên 0;+

m2+4m+4=m+220;+.

 t0;+

Nên f3sinxcosx12cosxsinx+4=fm2+4m+4ft=fm2+4m+4

t=m2+4m+4

Phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi

0m2+4m+41m2+4m+413m1

Do mm3;2;1 .


Câu 44:

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C'  có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AA' và BB'. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C'A' tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C'B' tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi A'.MPB'NQ bằng
Xem đáp án

Đáp án D

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C'  có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng  AA' và BB' . Đường thẳng CM cắt đường thẳng C'A'  tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C'B'  tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi   bằng (ảnh 1)

Ta có A'  là trung điểm PC'  , B'  là trung điểm QC' .

Do đó  VC.C'PQ=SC'PQSC'A'B'.VC.A'B'C'=4VC.A'B'C'=413VABC.A'B'C'=43 Mặt khác VA'B'C'.MNC=A'MA'A+B'NB'B+C'CC'C3.VABC.A'B'C'=12+12+13.VABC.A'B'C'=23

Do đó VA'MB'NQ=VC.C'PQVA'B'C'.MNC=4323=23 .


Câu 45:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị f'x  như hình vẽ bên dưới 
Cho hàm số   liên tục trên   và có đồ thị   như hình vẽ bên dưới (ảnh 1)

Bất phương trình log5fx+m+2+fx>4m  nghiệm đúng với mọi x1;4  khi và chỉ khi

Xem đáp án

Đáp án D

Bất phương trình đã cho tương đương với: m>4log5fx+m+2fx , x1;4 .

Xét hàm số gx=4log5fx+m+2fx  trên 1;4 .

Bài toán trở thành tìm m để m>gx  ,x1;4mmax1;4gx .

Ta có  g'x=f'xfx+m+2ln5f'x=f'x1fx+m+2ln5+1=0x=1x=1x=4

Bảng biến thiên hàm g(x) trên  0;3

Cho hàm số   liên tục trên   và có đồ thị   như hình vẽ bên dưới (ảnh 2)

 Trong đó:  g1=4log5f1+m+2f1g4=4log5f4+m+2f4

Dựa vào đồ thị , ta có 11f'xdx<41f'xdxf1f1<f1f4f1>f4 .

Suy ra g1<g4  .

Do đó ta có mmax1;4gx=g4=4log5f4+m+2f4

Đặt t=f4+m+2   (với t>0).

Bất phương trình trở thành: t+log5t6t5 .

Do đó: f4+m+25m3f4 .

Vậy m3f4 .


Câu 46:

Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BCE là điểm thuộc tia đối DB sao cho BDBE=k  . Biết rằng mặt phẳng chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích là 112a3294 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án C

Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, BC và E là điểm thuộc tia đối DB sao cho  . Biết rằng mặt phẳng  chia khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh B có thể tích là  . Khẳng định nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

Ta có diện tích khối tứ diện đều cạnh a bằng V0=a3212  .

Theo Ta-let ta có: EPEN=EQEM=k1k1+12=2k12k1

 VEDPQ=EPEN.EQEM.DEBEVBMQE=4k122k12.k1k14V0

Do đó VBMNPQD=k4V04k122k12.k1k14V0=k4V0.14k13k2k12

 VBMNPQD=2249V0hay k4V0=k4V0.14k13k2k12k=4 .


Câu 47:

Cho hai số thực a, b thỏa mãn a2+b2>1  loga2+b2a+b1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P=2a+4b3  

Xem đáp án

Đáp án A

Do a2+b2>1  nên từ  loga2+b2a+b1loga2+b2a+bloga2+b2a2+b2

a+ba2+b2>1.

Suy ra:  a2+b2>1a122+b12212

Khi đó: P=2a+4b3=2a12+4b1222+42.a122+b122

 20.12=10. (Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki)

Dấu “=” xảy ra khi: a2+b2>1a122=b124>0a122+b122=12a=12+110b=12+210 .

Vậy Pmax=10  khi a=12+110b=12+210


Câu 48:

Cho hàm số fx  có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2   và thỏa mãn fx>0  khi x1;2  . Biết 12f'xdx=10  và 12f'xfxdx=ln2  .Tính f2 .
Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:  12f'xfxdx=ln212dfxfx=ln2lnfx21=ln2lnf2lnf1=ln2

f2=2f1

Lại có:  12f'xdx=10fx21=10f2f1=10

Từ đó f2=2f1f2f1=10f2=20f1=10  .

Lập hệ phương trình theo ẩn f(2), f(1) từ các điều kiện bài cho, sử dụng công thức abf'xdx=fbfa .


Câu 49:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+2y2z+2018=0 và (Q) : x+my+m1z+2017=0 . Khi hai mặt phẳng    tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm H nào dưới đây nằm trong mặt phẳng (Q)?

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có nP=1;2;2 ; nQ=1;m;m1 .

Gọi φ  là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) 0°φ90°  .

Ta có nP.nQ=3  ; nP=3 ;  nQ=2m22m+2cosφ=12m22m+2

Để  (P) và (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì cosφ  lớn nhất 2m22m+2  nhỏ nhất.

2m22m+2=2m122+3232  nên giá trị lớn nhất là cosφ=23  khi m=12  .

Khi đó : x+12y12z+2017=0 .

Vậy H2017;1;1Q .


Câu 50:

Cho hàm số đa thức fx=mx5+nx4+px3+qx2+hx+r ,m,n,p,q,h,r . Đồ thị hàm số y=f'x  cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là –1; ; ; . Số điểm cực trị của hàm số gx=fxm+n+p+q+h+r  
Cho hàm số đa thức f(x)= mx^5+nx^4+px^3+px^2=hx+m ,  . Đồ thị hàm số   cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là –1;  ;  ;  . Số điểm cực trị của hàm số   là  (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án B

Vì –1;32 ;52 ; 113  là nghiệm của phương trình f'x=0   nên:

f'x=5mx4+4nx3+3px2+2qx+h=5mx+1x32x52x113

Suy ra: 5mx4+4nx3+3px2+2qx+h=5mx4203x3+434x2+143x554

Đồng nhất hệ số, ta được n=253m ; p=21512m ;q=353m ; h=2754m .

Suy ra gx=fx+932mr .

Xét hx=fx+932mrh'x=f'x=0  có bốn nghiệm phân biệt nên h(x) có bốn cực trị.

Xét  hx=0mx5254mx4+21512mx3+353mx22744mx+r=932m+r

x5254x4+21512x3+353x22744x+932=0.

Đặt kx=x5254x4+21512x3+353x22744x+932

 Cho hàm số đa thức f(x)= mx^5+nx^4+px^3+px^2=hx+m ,  . Đồ thị hàm số   cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là –1;  ;  ;  . Số điểm cực trị của hàm số   là  (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình hx=0kx=0  có 3 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số g(x) có 7 cực trị.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan