50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 8

Câu 1:

Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A.

8 a^{3} .

B.

2 \sqrt{3} a^{3} .

C.

\frac{\sqrt{3} a^{3}}{2} .

D.

\frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{3} .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $V = S h = \frac{\sqrt{3} {(2 a)}^{2}}{4} .2 a = 2 \sqrt{3} a^{3} .$

Câu 2:

Cho hàm số

y = a x^{4} + b x^{3} + c x + d (a, b, c, d \in ℝ; a \neq 0)

có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Các điểm cực tiểu của hàm số là

A.

x_{C T} = 0.

B.

x_{C T} = - 2

và

x_{C T} = 1.

C.

x_{C T} = - 1

và

x_{C T} = 2.

D. $x_{C T} = - 1$ và $x_{C T} = \frac{49}{32} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào đồ thị ta có điểm cực tiểu của hàm số là: $x_{C T} = - 2$ và $x_{C T} = 1.$

Câu 3:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho

\vec{a} = (2; - 3; 3), \vec{b} = (0; 2; - 1), \vec{c} = (3; - 1; 5) .

Tìm tọa độ của véctơ

\vec{u} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} - 2 \vec{c}

A.

(10; - 2; 13) .

B.

(- 2; 2; - 7) .

C.

(- 2; - 2; 7) .

D.

(- 2; 2; 7) .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

\{\begin{cases} 2 \vec{a} = (4; - 6; 6) \\ 3 \vec{b} = (0; 6; - 3) \\ - 2 \vec{c} = (- 6; 2; - 10) \end{cases} \Rightarrow \vec{u} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} - 2 \vec{c} = (- 2; 2; - 7)

Câu 4:

Cho hàm số $y = \sqrt{x^{2} - 6 x + 5}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(5; + \infty) .$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(3; + \infty) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- \infty; 1) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 3) .

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: $D = (- \infty; 1] \cup [5; + \infty)$

Ta có

y' = \frac{x - 3}{\sqrt{x^{2} - 6 x + 5}} > 0, \forall x \in (5; + \infty)

Câu 5:

Cho $a = \log_{3} 15,$ thì $P = \log_{25} 15$ bằng ?

A.

P = \frac{a}{2 (a - 1)} .

B.

P = \frac{a}{2 (a + 1)} .

C.

P = \frac{a}{2 (1 - a)} .

D.

P = \frac{2 a}{a - 1} .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $P = \log_{25} 15 = \log_{5^{2}} (5.3) = \frac{1}{2} (\log_{5} 5 + \log_{5} 3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{5} 3 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \log_{3} 5}$

Mà $a = \log_{3} 15 = \log_{3} (5.3) = \log_{3} 5 + 1 \Rightarrow \log_{3} 5 = a - 1$

Vậy $P = \log_{25} 15 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 (a - 1)} = \frac{a}{2 (a - 1)} .$

Câu 6:

Tích phân $\int_{0}^{2019} 2^{x} d x$ bằng:

A.

\frac{2^{2019} - \ln 2}{2} .

B.

\frac{2^{2019} - 1}{\ln 2} .

C.

\frac{2^{2020} - 2}{\ln 2} .

D.

\frac{2^{2020} - \ln 2}{2} .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\int_{0}^{2019} 2^{x} d x = {\frac{2^{x}}{\ln 2}|}_{0}^{2019} = \frac{2^{2019} - 1}{\ln 2}$

Câu 7:

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh 3cm là

A.

\frac{27 π \sqrt{3}}{2} c m^{3} .

B.

\frac{9 π \sqrt{3}}{2} c m^{3} .

C.

9 π \sqrt{3} c m^{3} .

D.

\frac{27 π \sqrt{3}}{8} c m^{3} .

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi R là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình lập phương

ABCD.EFGH

Ta có $C E = A B . \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} c m$

Suy ra: $R = \frac{1}{2} C E = \frac{3 \sqrt{3}}{2} c m$

Thể tích khối cầu là: $V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} = \frac{27 \sqrt{3}}{2} π (c m^{3})$

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh 3cm là (ảnh 1)

Câu 8:

Cho phương trình $4^{x^{2} - 2 x} + 2^{x^{2} - 2 x + 3} - 3 = 0.$ Khi đặt $2^{x^{2} - 2 x} = t$ (với t >0) ta được phương trình nào dưới đây?

A.

4 t - 3 = 0.

B.

2 t^{2} - 3 = 0.

C. $t^{2} + 8 t - 3 = 0.$

D.

t^{2} + 2 t - 3 = 0.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình tương đương với: ${(2^{x^{2} - 2 x})}^{2} + {8.2}^{x^{2} - 2 x} - 3 = 0$

Câu 9:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (1; - 2; 1), B (- 1; 3; 3), C (2; - 4; 2) .$ Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

\vec{n_{1}} = (- 1; 9; 4) .

A.

B.

\vec{n_{4}} = (9; 4; - 1) .

C.

\vec{n_{3}} = (4; 9; - 1) .

D.

\vec{n_{2}} = (9; 4; 11) .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\vec{A B} = (- 2; 5; 2), \vec{A C} = (1; - 2; 1)$

Véctơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{A B}, \vec{A C}] = (9; 4; - 1)$

Câu 10:

Hàm số $f (x) = (x - 1) e^{x}$ có một nguyên hàm F(x) là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x=0

A.

F (x) = (x - 1) e^{x} .

B.

F (x) = (x - 1) e^{x} + 1.

C.

F (x) = (x - 2) e^{x} .

D.

F (x) = (x - 2) e^{x} + 3.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $F (x) = \int f (x) d x = \int (x - 1) e^{x} d x$

Đặt: $\{\begin{cases} u = x - 1 \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = e^{x} \end{cases}$

Do đó: $F (x) = \int (x - 1) e^{x} d x = (x - 1) e^{x} - \int e^{x} d x = (x - 1) e^{x} - e^{x} + C$

Theo giả thiết: $F (0) = 1 \Leftrightarrow (0 - 1) . e^{o} - e^{o} + C = 1 \Leftrightarrow C = 3$

$\Rightarrow F (x) = (x - 1) e^{x} - e^{x} + 3 = (x - 2) e^{x} + 3$

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2}$ có véctơ chỉ phương là

A.

\vec{u_{1}} (1; 2; 3) .

B.

\vec{u_{2}} (2; 1; 2) .

C.

\vec{u_{3}} (2; - 1; 2) .

D.

\vec{u_{4}} (- 1; - 2; - 3) .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

\vec{u_{3}} (2; - 1; 2)

là véctơ chỉ phương của đường thẳng

Câu 12:

Với k và n là các số nguyên dương tùy ý thỏa mãn $k \leq n$ , mệnh đề nào dưới đây sai?

A.

C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} .

B. $C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!} .$

C. $C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k} .$

D. $C_{n}^{k} = C_{k}^{n} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 13:

Cho cấp số nhân

(u_{n})

với

u_{1} = - 9; u_{4} = \frac{1}{3} .

Tìm công bội của cấp số nhân đã cho.

A.

\frac{1}{3} .

B.

- 3.

C. 3

D.

- \frac{1}{3} .

Xem đáp án

Đáp án D

$(u_{n})$ là cấp số nhân nên ta có: $u_{4} = u_{1} . q^{3} \Rightarrow q = \sqrt[3]{\frac{u_{4}}{u_{1}}} = \sqrt[3]{\frac{- 1}{27}} = - \frac{1}{3}$

Vậy công bội của cấp số nhân đã cho: $q = - \frac{1}{3}$ .

Câu 14:

Môdun của số phức z=5-2i bằng

A.

\sqrt{29} .

B. 3

C. 7

D. 29

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

|z| = |5 - 2 i| = \sqrt{5^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{29} .

Câu 15:

Đồ thị trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A.

y = x^{4} - 2 x^{2} .

B.

y = x^{4} - 2 x^{2} - 1.

C.

y = x^{3} - 2 x^{2} + x .

D.

y = - x^{4} + 2 x^{2} .

Xem đáp án

Đáp án A

Đồ thị đi qua điểm (0;0) loại đáp án B, đồ thị có dạng $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ loại đáp án C, quan sát: $\lim_{x \to + \infty} = + \infty \Rightarrow a > 0$ loại đáp án D.

Câu 16:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên đoạn

[- 1; 2]

và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn

[- 1; 2]

. Ta có

2 M + m

bằng

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-1;2] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M , n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1;2] . Ta có 2M+n bằng (ảnh 1)

A. 5.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào đồ thị, suy ra: $\{\begin{cases} m = \underset{[- 1; 2]}{\min_{⏟}} y = f (2) = - 2 \\ M = \max_{[- 1; 2]} y = f (1) = 3 \end{cases}$

Do đó $2 M + m = 2.3 + (- 2) = 4$

Câu 17:

Cho hàm số

y = f (x)

có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình bên. Hàm số

g (x) = 2 f (x + 2) + (x + 1) (x + 3)

có bao nhiêu điểm cực

A. 1

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $g' (x) = 2 f' (x + 2) + 2 (x + 2) = 0 \Leftrightarrow f' (x + 2) = - (x + 2)$

Đặt $t = x + 2,$ phương trình trở thành: $f' (t) = - t$ chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f' (t)$ và đường thẳng $d : y = t$ (hình vẽ).

Dựa vào đồ thị, suy ra $f' (t) = - t \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = 0 \\ t = 1 \\ t = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 3 \\ x = - 2 \\ x = - 1 \\ x = 0 \end{array}$

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình bên. Hàm số g(x)=2f(x+2)+(x+1)(x+3) có bao nhiêu điểm cực (ảnh 2)

Bảng biến thiên hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số g(x) có một điểm cực tiểu.

Câu 18:

Tìm các số thực a và b thỏa mãn

2 a + (b + i) i = 1 + 2 i

với i là đơn vị ảo.

A.

a = 0, b = 2.

B.

a = \frac{1}{2}, b = 1.

C.

a = 0, b = 1.

D.

a = 1, b = 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

2 a + (b + i) i = 1 + 2 i \Leftrightarrow (2 a - 1) + b = 1 + 2 i \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 a - 1 = 1 \\ b = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ b = 2 \end{array}

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 2 a z + 10 a = 0$ . Tập hợp các giá trị thực của để có chu vi đường tròn lớn bằng $8 π$ là

A.

\{1; 10\} .

B.

\{2; - 10\} .

C.

\{- 1; 11\} .

D. $\{1; - 11\} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Đường tròn lớn có chu vi bằng $8 π$ nên bán kính của (S) là: $\frac{8 π}{2 π} = 4$

Từ phương trình của (S) suy ra bán kính của (S) là: $\sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10} .$

Do đó: $\sqrt{2^{2} + 1^{2} + a^{2} - 10 a} = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = 11 \end{array}$

Câu 20:

Cho hai số thực a và b với $1 < a < b$ . Chọn khẳng định đúng

A.

1 < \log_{a} b < \log_{b} a .

B.

\log_{a} b < 1 < \log_{b} a .

C.

\log_{a} b^{2} < 1 < \log_{b} a .

D. $\log_{b} a < 1 < \log_{a} b .$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì $1 < a < b$ nên $\log_{b} a < \log_{b} b = 1,$ suy ra đáp án A, B, C sai.

Vì $1 < a < b,$ suy ra $\{\begin{cases} \log_{a} b > \log_{a} a = 1 \\ \log_{b} a < \log_{b} b = 1 \end{cases}$

Vậy

\log_{b} a < 1 < \log_{a} b,

nên chọn D.

Câu 21:

Gọi

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} - 5 z + 7 = 0

. Tính

P = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}

A.

4 \sqrt{7} .

B. 56.

C. 14.

D.

2 \sqrt{7} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $Δ = {(- 5)}^{2} - 4.1.7 = - 3 \Rightarrow \sqrt{Δ} = i \sqrt{3}$

Phương trình đã cho có 2 nghiệm: $[\begin{array}{l} z_{1} = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \\ z_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \end{array} \Rightarrow P = {|\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i|}^{2} + {|\frac{52}{} - \frac{\sqrt{3}}{2} i|}^{2} = 14$

Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

B (2; 1; - 3)

, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng

(Q) : x + y + 3 z = 0

và

(R) : 2 x - y + z = 0

là

A.

4 x + 5 y - 3 z - 22 = 0.

B.

4 x - 5 y - 3 z - 12 = 0,

C.

2 x + y - 3 z - 14 = 0.

D.

4 x + 5 y - 3 z + 22 = 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\vec{n_{1}} = (1; 1; 3)$ và $\vec{n_{2}} = (2; - 1; 1)$ lần lượt là các vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng (Q) và (R).

Vì mặt phẳng (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R) nên ta chọn vecto pháp tuyến mặt phẳng (P) là $\vec{n} = [\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}} = (4; 5; - 3)]$

Mặt phẳng đi qua điểm $B (2; 1; - 3)$ nên phương trình mặt phẳng là: $4 (x - 2) + 5 (y - 1) - 3 (z + 3) = 0 \Leftrightarrow 4 x + 5 y - 3 z - 22 = 0$

Câu 23:

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x^{2} - 3 x} < 16$ là

A.

(- \infty; - 1) .

B.

(4; + \infty) .

C.

(- 1; 4) .

D.

(- \infty; - 1) \cup (4; + \infty) .

Xem đáp án

Đáp án C

Bất phương trình tương đương với: $2^{x^{2} - 3 x} < 2^{4} \Leftrightarrow x^{2} - 3 x < 4 \Leftrightarrow - 1 < x < 4$

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm: $S = (- 1; 4)$

Câu 24:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = (x + 1) \ln x

, trục hoành và đường thẳng

x = e

A.

S = \frac{e^{2} + 5}{4} .

B.

S = \frac{e^{2} + 7}{6} .

C.

S = \frac{e^{2} + 3}{2} .

D.

S = \frac{e^{2} + 9}{8} .

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm: $(x + 1) \ln x = 0$ (điều kiện: $x > 0)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 1 = 0 \\ \ln x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 (loai) \\ x = 1 (thoa man) \end{cases}$

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là: $S = \int_{1}^{0} |(x + 1) \ln x| d x = \int_{1}^{0} (x + 1) \ln x d x$

Đặt: $\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = (x + 1) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = \frac{x^{2}}{2} + x \end{cases}$

$\begin{array}{l} S = {(\frac{x^{2}}{2} + x) \ln x|}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} (\frac{x^{2}}{2} + x) \frac{1}{x} d x \\ = \frac{e^{2}}{2} + e - \int_{1}^{e} (\frac{x}{2} + 1) d x = \frac{e^{2}}{2} + e - {(\frac{x^{2}}{4} + x)|}_{1}^{e} = \frac{e^{2} + 5}{4} . \end{array}$

Câu 25:

Cho khối nón có bán kính đáy bằng a, góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng $30^{o}$ . Thể tích khối nón đã cho bằng

A.

\frac{4 \sqrt{3} π a^{3}}{3} .

B.

\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{3} .

C.

\sqrt{3} π a^{3} .

D.

\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{9} .

Xem đáp án

Đáp án D

Theo giả thiết ta có: $r = I B = a, \hat{S B I} = 30^{o}$

Chiều cao $S I = I B . \tan 30^{o} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Thể tích khối nón là: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π a^{2} . \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{9}$

Cho khối nón có bán kính đáy bằng a, góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng 30 độ . Thể tích khối nón đã cho bằng (ảnh 1)

Câu 26:

Tìm tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{(m + 1) x - 5 m}{2 x - m}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1.$

A.

m = - 1.

B.

m = \frac{1}{2} .

C. m=2

D. m=1

Xem đáp án

Đáp án D

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$y = \frac{(m + 1) x - 5 m}{2 x - m}$ là: $y = \lim_{x \to + \infty} \frac{(x + 1) x - 5 m}{2 x - m} = \frac{m + 1}{2}$

Theo bài ra ta có: $\frac{m + 1}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 1$

Câu 27:

Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng

3 a^{2} .

A.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .

B.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

C.

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .

Xem đáp án

Đáp án D

Xét khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều và $A A' ⊥ (A B C)$

Diện tích xung quang lăng trụ là $S_{x q} = 3. S_{A B B' A'}$

$\Leftrightarrow 3 a^{2} = 3. (A A' . A B) \Leftrightarrow 3 a^{2} = 3 (A A' . a) \Rightarrow A A' = a$

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ (đvdt)

Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng 3a^2 (ảnh 1)

Thể tích khối lăng trụ là: $V_{A B C . A' B' C'} = S_{Δ A B C} . A A' = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

(đvtt).

Câu 28:

Cho hàm số $y = e^{- 2 x}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

y'' + y' - y = 0.

B.

y'' + y' + y = 0.

C.

y'' + y' + 2 y = 0.

D. $y'' + y' - 2 y = 0.$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\{\begin{cases} y' = - 2 e^{- 2 x} \\ y'' = 4 e^{- 2 x} \end{cases}$

Khi đó: $y'' + y' - 2 y = 4 e^{- 2 x} - 2 e^{- 2 x} - 2 e^{- 2 x} = 0$

Câu 29:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên như hình bên

Phương trình f(x)=m có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi

A.

m \in (- 1; 2) .

B.

m \in (- 1; 1) .

C.

m \in (1; 2) .

D.

m \in [1; 2) .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình f(x)=m có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số y=f(x) cắt đường thẳng y=m tại hai điểm phân biệt.

$\Leftrightarrow 1 < m < 2.$

Câu 30:

Cho tứ diện ABCD có $A B = A C = A D$ và $\hat{B A C} = \hat{B A D} = 60^{o}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\vec{A B}$ và $\vec{C D} ?$

A.

60^{o} .

B.

45^{o} .

C.

120^{o} .

D.

90^{o} .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\vec{A B} . \vec{C D} = \vec{A B} . (\vec{A D} - \vec{A C}) = \vec{A B} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A C}$

$\begin{array}{l} = |\vec{A B}| . |\vec{A D}| . \cos (\vec{A B} . \vec{A D}) - |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B} . \vec{A C}) \\ = |\vec{A B}| . |\vec{A D}| . \cos 60^{o} - |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos 60^{o} \end{array}$ Mà $A C = A D \Rightarrow \vec{A B} . \vec{C D} = 0 \Rightarrow (\vec{A B}, \vec{C D}) = 90^{o}$

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD và góc BAC= góc BAD=60 độ . Hãy xác định góc giữa cặp vecto AB và CD (ảnh 1)

Câu 31:

Phương trình

\log_{2017} x + \log_{2016} x = 0

có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: $x > 0$

Phương trình tương đương với: $\log_{2017} x + \log_{2016} 2017. \log_{2017} x = 0$

\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log_{2017} x . (1 + \log_{2016} 2017) = 0 \\ \Leftrightarrow \log_{2017} x = 0 \Leftrightarrow x = 1 \end{array}

Câu 32:

Cho hình lăng trụ đều và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai mặt đáy của hình lăng trụ. Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích khối lăng trụ và khối trụ. Tính $\frac{V_{1}}{V_{2}} .$

A.

\frac{3 \sqrt{2}}{4 π} .

B.

\frac{3 \sqrt{5}}{4 π} .

C.

\frac{5 \sqrt{2}}{4 π} .

D.

\frac{3 \sqrt{3}}{4 π} .

Xem đáp án

Đáp án D

Giả sử lăng trụ đều có cạnh đáy là a, chiều cao h .

Khi đó, bán kính đáy của hình trụ là $R = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Do đó: $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{h . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}}{h . π . \frac{a^{2}}{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{4 π}$

Cho hình lăng trụ đều và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai mặt đáy của hình lăng trụ. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích khối lăng trụ và khối trụ. Tính V1/V2 (ảnh 1)

Câu 33:

Biết rằng $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{3 x + 1}$ và thỏa mãn $F (0) = \frac{e}{3}$ . Giá trị của $\ln^{3} (3 F (1))$ bằng

A. – 8.

B. 27.

C. 64.

D. 81.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\int e^{3 x + 1} d x = \frac{1}{3} e^{3 x + 1} + c$

Theo giả thiết $F (0) = \frac{e}{3} \Rightarrow \frac{e}{3} + C = \frac{e}{3} \Leftrightarrow C = 0$

Suy ra

F (x) = \frac{1}{3} e^{3 x + 1} \Rightarrow \ln^{3} (3 F (1)) = \ln^{3} (3. \frac{1}{3} e^{4}) = 64

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông với đáy, góc $\hat{S B D} = 60^{o}$ . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO.

A.

d = \frac{a \sqrt{3}}{3} .

B.

d = \frac{a \sqrt{6}}{4} .

C.

d = \frac{a \sqrt{2}}{2} .

D.

d = \frac{a \sqrt{5}}{5} .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $Δ S A B = Δ S A D (c - g - c)$ , suy ra $S B = S D$

Lại có $\hat{S B D} = 60^{o}$ , suy ra $Δ S B D$ đều cạnh $S B = S D = B D = a \sqrt{2}$

Tam giác vuông SAB, có $S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = a$

Gọi E là trung điểm AD, suy ra $O E / / A B$ và $A E ⊥ O E$

Do đó $d (A B, S O) = d (A B, (S O E)) = d (A, (S O E))$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông với đáy, góc SBD=60 độ . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO. (ảnh 1)

Kẻ $A K ⊥ S E$

Khi đó $d (A, (S O E)) = A K = \frac{S A . A E}{\sqrt{S A^{2} + A E^{2}}} = \frac{a \sqrt{5}}{5} .$

Câu 35:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(α) : x - 3 y + z = 0$ và $(β) : x + y - z + 4 = 0$ . Phương trình tham số của đường thẳng d là

A.

\{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = 2 - 2 t \end{cases} .

B.

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = t \\ z = 2 + 2 t \end{cases} .

C.

\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = t \\ z = 2 + 2 t \end{cases} .

D.

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + 2 t \end{cases} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\vec{n_{(α)}} = (1; - 3; 1)$ và $\vec{n_{(β)}} = (1; 1; - 1)$

Suy ra $[\vec{n_{(α)}}, \vec{n_{(β)}}] = (2; 2; 4)$ , một vecto chỉ phương của đường thẳng d là $\vec{u_{d}} = (1; 1; 2) \Rightarrow$ loại A.

+ Đáp án B tọa độ điểm đi qua là $(2; 0; 2)$ không thỏa mãn phương trình $(α) \Rightarrow$ loại đáp án B.

+ Đáp án C tọa độ điểm đi qua là $(- 2; 0; 2)$ thỏa mãn phương trình $(α)$ và $(β) \Rightarrow$ đáp án đúng C.

+ Đáp án D tọa độ điểm đi qua là $(2; 0; - 2)$ không thỏa mãn phương trình $(β) \Rightarrow$ loại đáp án đúng D.

Câu 36:

Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 3 (m^{2} - 1) x$ đồng biến trên khoảng (1;2)

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án C

TXĐ: $D = ℝ$

Ta có $y' = 3 x^{2} + 6 x - 3 x (m^{2} - 1)$

Để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) khi và chỉ khi $y' \geq 0, \forall x \in (1; 2)$

$m^{2} \leq x^{2} + 2 x + 1, \forall x \in (1; 2)$

Bảng biến thiên hàm số $y = x^{2} + 2 x + 1$ trên khoảng (1;2)

Từ bảng biến thiên, suy ra $m^{2} \leq \min_{[1; 2]} (x^{2} + 2 x + 1) = 4 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$

Mà $m \in ℤ,$ suy ra $m \in \{- 2; - 1; 0; 1; 2\}$

Vậy có 5 giá trị m thỏa mãn.

Câu 37:

Cho số phức z thỏa mãn $2 {|z + 1|}^{2} = {|z - i|}^{2}$ . Tính môdun của số phức $z + 2 + i$

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi: $z = x + y i (x, y \in ℝ)$

Ta có: $2 {|z + 1|}^{2} = {|z - i|}^{2} \Leftrightarrow 2 {|x + y i + 1|}^{2} = {|x + y i - i|}^{2}$

$\Leftrightarrow 2 [{(x + 1)}^{2} + y^{2}] = x^{2} + {(y - 1)}^{2} \Leftrightarrow x^{2} + 4 x + y^{2} + 2 y + 1 = 0 \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$

Do đó $|z + 2 + i| = \sqrt{{(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} = \sqrt{4} = 2$

Câu 38:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên , thỏa mãn

3 x . f (x) - x^{2} . f' (x) = 2 f^{2} (x), f (x) \neq 0

với

x \in (0; + \infty)

và

f (1) = \frac{1}{2} .

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn [1;2] . Tính M + m.

A.

\frac{6}{5} .

B.

\frac{7}{5} .

C.

\frac{21}{10} .

D.

\frac{9}{10} .

Xem đáp án

Đáp án C

Vì x>0 nên $3 x . f (x) - x^{2} . f' (x) = 2 f^{2} (x) \Leftrightarrow 3 x^{2} . f (x) - x^{3} . f' (x) = 2 x . f^{2} (x)$

Vì $f (x) \neq 0$ nên $3 x^{2} . f (x) - x^{3} . f' (x) = 2 x . f^{2} (x) \Leftrightarrow 3 x^{2} . \frac{1}{f (x)} - x^{3} . \frac{f' (x)}{f^{2} (x)} = 2 x$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} . \frac{1}{f (x)} - x^{3} . \frac{f' (x)}{f^{2} (x)} = 2 x \Leftrightarrow (x^{3} . \frac{1}{f (x)})' = 2 x \Rightarrow x^{3} . \frac{1}{f (x)} = x^{2} + C$

Mà $f (1) = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} .$

Xét hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$ trên đoạn [1;2]

$f' (x) = \frac{x^{4} + 3 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} > 0, \forall x \in [1; 2],$ suy ra hàm số đồng biến trên [1;2].

Khi đó $\{\begin{cases} \min_{[1; 2]} f (x) = f (1) = \frac{1}{2} \\ \max_{[1; 2]} f (x) = f (2) = \frac{8}{5} \end{cases} \Rightarrow M + m = \frac{21}{10}$

Câu 39:

Trung tâm giáo dục EDU muốn gửi số tiền M vào ngân hàng và dùng số tiền thu được (cả lãi và tiền gốc) để trao 10 suất học bổng hằng tháng cho học sinh nghèo ở TP. Đà Nẵng, mỗi suất 1 triệu đồng. Biết lãi suất ngân hàng là 1% /tháng, và trung tâm EDU bắt đầu trao học bổng sau một tháng tiền gửi. Để đủ tiền trao học bổng cho học sinh trong 10 tháng, trung tâm cần gửi vào ngân hàng số tiền M ít nhất là:

A. 108500000 đồng.

B. 119100000 đồng.

C. 94800000 đồng

D. 120000000 đồng

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi lãi suất là a.

Số tiền sau tháng thứ nhất và đã phát học bổng là: $M (1 + a) - 10$

Số tiền sau tháng thứ hai và đã phát học bổng là:

$[M (1 + a) - 10] (1 + a) - 10 = M {(1 + a)}^{2} - 10 (1 + a) - 10$

Số tiền sau tháng thứ ba và đã phát học bổng là:

$[M {(1 + a)}^{2} - 10 (1 + a) - 10] (1 + a) - 10 = M {(1 + a)}^{3} - 10 [{(1 + a)}^{2} + (1 + a) + 1]$

.........................................

Số tiền sau tháng thứ 10 và đã phát học bổng là:

$M {(1 + a)}^{10} - 10 [{(1 + a)}^{9} + ... + (1 + a) + 1] = M {(1 + a)}^{10} - 10. \frac{{(1 + a)}^{10} - 1}{a}$

Theo yêu cầu đề bài:

$M {(1 + a)}^{10} - 10. \frac{{(1 + a)}^{10} - 1}{a} = 0 \Leftrightarrow M = \frac{10 [{(1 + a)}^{10} - 1]}{a {(1 + a)}^{10}}$

Thay $a = 1 %$

Ta tìm được $M = 94713045 \approx 94 800 000.$

Câu 40:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^{2}; y = \frac{x^{2}}{27}; y = \frac{27}{x} .$

A.

\frac{728}{3} - 27 \ln 3.

B.

27 \ln 3.

C.

27 \ln 3 - \frac{52}{3} .

D.

\frac{676}{3} - 27 \ln 3.

Xem đáp án

Đáp án B

Các hoành độ giao điểm $\{\begin{cases} x^{2} = \frac{x^{2}}{27} \Leftrightarrow x = 0 \\ x^{2} = \frac{27}{x} \Leftrightarrow x = 3 \\ \frac{x^{2}}{27} = \frac{27}{x} \Leftrightarrow x = 9 \end{cases}$

Gọi S là diện tích cần xác định, ta có $S = S_{1} + S_{2}$

$= \int_{0}^{3} (x^{2} - \frac{x^{2}}{27}) d x + \int_{3}^{9} (\frac{27}{x} - \frac{x^{2}}{27}) d x = {(\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{81})|}_{0}^{3} + {(27 \ln x - \frac{x^{3}}{81})|}_{3}^{9} = 27 \ln 3$

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x^2, y=x^2?27; y=27/x (ảnh 1)

Câu 41:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = |x^{3} - m x^{2} - 9 x + 9 m|$ trên đoạn $[- 2; 2]$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. 3.

B. 5.

C. 4.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $f (x) = x^{3} - m x^{2} - 9 x + 9 m$

Dễ thấy $\min_{[- 2; 2]} |f (x)| \geq 0$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi phương trình $f (x) = 0$ có nghiệm $x \in [- 2; 2]$

Ta có: $f (x) = x^{2} (x - m) - 9 (x - m) = (x^{2} - 9) (x - m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = - 3 \\ x = m \end{array}$

Do đó điều kiện cần và đủ để $f (x) = 0$ có nghiệm $x \in [- 2; 2]$ là $m \in [- 2; 2]$

Mà $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 2; - 1; 0; 1; 2\}$

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 42:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với $M (0; 10), N (100; 10)$ và $P (100; 0)$ . Gọi S là tập hợp tất cả các điểm $A (x; y) (x; y \in ℤ)$ nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của OMNP. Lấy ngẫu nhiên một điểm $A (x; y) \in S$ . Xác suất để $x + y \leq 90$ bằng

A.

\frac{845}{1111} .

B.

\frac{473}{500} .

C.

\frac{169}{200} .

D.

\frac{86}{101} .

Xem đáp án

Đáp án D

Điểm A(x;y) nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của $O M N P \Rightarrow 0 \leq x \leq 100; 0 \leq y \leq 10$

Có 101 cách chọn x, 11 cách chọn y.

Do đó số phần tử của không gian mẫu tập hợp các điểm có tọa độ nguyên nằm trên hình chữ nhật OMNP là $n (Ω) = 101.11$

Gọi X là biến cố: “Các điểm A(x;y) thỏa mãn $x + y \leq 90 "$

Vì $x \in [0; 100]; y \in [0; 10]$ và $x + y \leq 90 \Rightarrow [\begin{array}{l} y = 0 \to x = \{0; 1; 2; ...90\} \\ ......... \\ y = 1 \to x = \{0; 1; 2; ...89\} \end{array}$

Khi đó có $91 + 90 + ... + 81 = \frac{(81 + 91) .11}{2} = 946$ cặp (x;y) thỏa mãn.

Vậy xác suất cần tính là $P = \frac{n (X)}{n (Ω)} = \frac{946}{101.11} = \frac{86}{101} .$

Câu 43:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (- 2; 2; - 2); B (3; - 3; 3)$ . Điểm M trong không gian thỏa mãn $\frac{M A}{M B} = \frac{2}{3} .$ Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng

A.

6 \sqrt{3} .

B.

12 \sqrt{3} .

C.

\frac{5 \sqrt{3}}{2} .

D.

5 \sqrt{3} .

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi M(x;y;z)

Ta có $\frac{M A}{M B} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3 M A = 2 M B \Leftrightarrow 9 M A^{2} = 4 M B^{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9 [{(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2}] = 4 [{(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 3)}^{2}] \\ \Leftrightarrow {(x + 6)}^{2} + {(y - 6)}^{2} + {(z + 6)}^{2} = 108 \end{array}$

Như vậy, điểm $M \in (S)$ có tâm I(-6;6;-6) bán kính $R = \sqrt{108} = 6 \sqrt{3}$

Do đó

O M_{\max} = O I + R = \sqrt{{(- 6)}^{2} + 6^{2} + {(- 6)}^{2}} + 6 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} .

Câu 44:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn $[- \frac{3 π}{2}; 2 π]$ của phương trình $2 f (\cos x) - 3 = 0$ là

A. 4.

B. 7.

C. 6.

D. 8.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $2 f (\cos x) - 3 = 0 \Leftrightarrow f (\cos x) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x = a \in (- \infty; - 1) \\ \cos x = b \in (- 1; 0) \\ \cos x = c \in (0; 1) \\ \cos x = d \in (1; + \infty) \end{cases}$

Vì $\cos x \in [- 1; 1]$ nên $\cos x = a \in (- \infty; - 1)$ và $\cos x = d \in (1; + \infty)$ vô nghiệm.

Xét đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên $[- \frac{3 π}{2}; 2 π]$

Phương trình $\cos x = b \in (- 1; 0)$ có 4 nghiệm phân biệt.

Phương trình $\cos x = c \in (0; 1)$ có 3 nghiệm phân biệt, không trùng với nghiệm nào của phương trình $\cos x = b \in (- 1; 0)$ .

Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[- \frac{3 π}{2}; 2 π] .$

Câu 45:

Cho hàm số f(x). Hàm số f'(x) có bảng biến thiên như sau:

Biết phương trình $f (x) > 2^{x} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in (- 1; 1)$ khi và chỉ khi:

A.

m > f (1) - 2.

B.

m \leq f (1) - 2.

C.

m \leq f (- 1) - \frac{1}{2} .

D.

m > f (- 1) - \frac{1}{2} .

Xem đáp án

Đáp án B

Bất phương trình đã cho tương đương với: $m < f (x) - 2^{x}, \forall x \in (- 1; 1)$ .

Xét hàm số $g (x) = f (x) = 2^{x}$ trên (-1;1)

Bài toàn trở thành tìm m để $m < g (x), \forall x \in (- 1; 1) \Leftrightarrow m \leq \min_{[- 1; 1]} g (x)$

Ta có $g' (x) = f' (x) - 2^{x} . \ln 2$

Nhận xét: Với $x \in (- 1; 1) \Rightarrow \{\begin{cases} - 1 < f' (x) < 0 \\ - 2^{x} . \ln 2 < 0 \end{cases} \Rightarrow g' (x) < 0$

Do đó ta có $m \leq \min_{[- 1; 1]} g (x) = g (1) = f (1) - 2^{1} = f (1) - 2$

Vậy $m \leq f (1) - 2$

Câu 46:

Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;0;2), B(-2;0;5), C(0;-1;7) . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy một điểm S . Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB,SC . Biết khi S di động trên d

d (S \neq A)

thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định D . Tính độ dài đoạn thẳng AD .

A.

A D = 3 \sqrt{3} .

B.

A D = 6 \sqrt{2} .

C.

A D = 3 \sqrt{6} .

D.

A D = 6 \sqrt{3} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $A B^{2} = 8, B C^{2} = 9, C A^{2} = 27 \Rightarrow A B^{2} + B C^{2} = C A^{2}$

Do đó $Δ A B C$ vuông tại B suy ra $B C ⊥ (S A B)$

Nên $\{\begin{cases} A H ⊥ S B \\ A H ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (S B C) \Rightarrow A H ⊥ S C \Rightarrow S C ⊥ (A H K)$

Gọi $D = (A H K) \cap B C,$ ta có $\{\begin{cases} A D ⊥ S C \\ A D ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow A D ⊥ (S A C) \Rightarrow A D ⊥ A C$

Do đó D cố định và $A D = A C = \tan A C B = A C . \frac{A B}{B C} = 3 \sqrt{3} . \frac{3 \sqrt{2}}{3} = 3 \sqrt{6} .$

Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;0;2), B(-2;0;5), C(0;-1;7) . Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy một điểm S . Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB,SC . Biết khi S di động trên d(S khác A) thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định D . Tính độ dài đoạn thẳng AD . (ảnh 1)

Câu 47:

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn $\sqrt{\log_{2} \frac{x}{4}} + \sqrt{\log_{3} \frac{y}{9}} + \sqrt{\log_{5} \frac{z}{25}} = 3$ . Tính giá trị nhỏ nhất của $S = \log_{2001} x . \log_{2018} y . \log_{2019} z .$

A.

\min S = 27. \log_{2001} 2. \log_{2018} 3. \log_{2019} 5.

B.

\min S = 44. \log_{2001} 2. \log_{2018} 3. \log_{2019} 5.

C.

\min S = 88. \log_{2001} 2. \log_{2018} 3. \log_{2019} 5.

D.

\min S = \frac{289}{8} . \log_{2001} 2. \log_{2018} 3. \log_{2019} 5.

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $x \geq 4; y \geq 9; z \geq 25.$

Đặt $\{\begin{cases} a = \sqrt{\log_{2} \frac{x}{4}} \Rightarrow a^{2} = \log_{2} \frac{x}{4} \Rightarrow a^{2} = \log_{2} x - 2 \Rightarrow \log_{2} x = a^{2} + 2 \\ b = \sqrt{\log_{3} \frac{y}{9}} \Rightarrow \log_{3} y = b^{2} + 2 \\ c = \sqrt{\log_{5} \frac{z}{25}} \Rightarrow \log_{5} z = c^{2} + 2 \end{cases}$

Khi đó $a, b, b \geq 0$ và $a + b + c = 3$

Ta có: $\{\begin{cases} \log_{2001} x = \log_{2001} 2. \log_{2} x = (a^{2} + 2) . \log_{2001} 2 \\ \log_{2018} y = (b^{2} + 2) . \log_{2018} 3 \\ \log_{2019} z = (c^{2} + 2) . \log_{2019} 5 \end{cases}$

Suy ra $S = \underset{P}{\underset{⏟}{(a^{2} + 2) (b^{2} + 2) (c^{2} + 1)}} . \log_{2001} 2. \log_{2018} 3. \log_{2019} 5.$

Ta có: $(a^{2} + 2) (b^{2} + 2) = (a^{2} + 1) (1 + b^{2}) + a^{2} + b^{2} + 3 \geq {(a + b)}^{2} + \frac{{(a + b)}^{2}}{2} + 3$

(Bunhiacopxki)

$\begin{array}{l} \Rightarrow (a^{2} + 2) (b^{2} + 2) \geq \frac{3}{2} {(a + b)}^{2} + 3 = 3 [\frac{1}{2} {(a + b)}^{2} + 1] \\ \Rightarrow P = (a^{2} + 2) (b^{2} + 2) (c^{2} + 2) \geq 3 [\frac{1}{2} {(a + b)}^{2} + 1] (c^{2} + 2) \\ = 3 [1 + \frac{{(a + b)}^{2}}{4} + \frac{{(a + b)}^{2}}{4}] (c^{2} + 1 + 1) \geq 3 {(c + \frac{a + b}{2} + \frac{a + b}{2})}^{2} = 3 {(a + b + c)}^{2} = 27 \end{array}$

$P = 27$ khi a=b=c hay x=8, y=27, z=125

Suy ra $S_{\min} = 27. \log_{2001} 2. \log_{2018} 3. \log_{2019} 5$

Câu 48:

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên [0;1], có đạo hàm dương và liên tục trên [0;1], thỏa mãn

\int_{0}^{1} [f^{3} (x) + 4 {[f' (x)]}^{3}] d x \leq 3 \int_{0}^{1} f' (x) . f^{2} (x) d x .

và

f (0) = 1

Tính

I = \int_{0}^{1} f (x) d x .

A.

I = 2 (\sqrt{e} - 1) .

B.

I = 2 (e^{2} - 1) .

C.

I = \frac{\sqrt{e} - 1}{2} .

D.

I = \frac{e^{2} - 1}{2} .

Xem đáp án

Đáp án A

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ta có

$\begin{array}{l} f^{3} (x) = 4 + \frac{f^{3} (x)}{2} + \frac{f^{3} (x)}{2} \geq 3 \sqrt[3]{4 {[f' (x)]}^{3} . \frac{f^{3} (x)}{2} . \frac{f^{3} (x)}{2}} \\ = 3 f' (x) . f^{2} (x) \end{array}$

Suy ra $\int_{0}^{1} [f^{3} (x) + 4 {[f' (x)]}^{3}] d x \geq 3 \int_{0}^{1} f' (x) . f^{2} (x) d x$ .

Mà $\int_{0}^{1} \{f^{3} (x) + 4 {[f' (x)]}^{3}\} d x \leq 3 \int_{0}^{1} f' (x) . f^{2} (x) d x$ nên dấu “=” xảy ra, tức là

$\begin{array}{l} 4 = \frac{f^{3} (x)}{2} = \frac{f^{3} (x)}{2} \Leftrightarrow f' (x) = \frac{1}{2} f (x) \\ \frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{1}{2} \Rightarrow \int \frac{f' (x)}{f (x)} d x = \frac{1}{2} \int d x \Rightarrow \ln |f (x)| = \frac{1}{2} x + C \Rightarrow f (x) = e^{\frac{1}{2} x + C} \end{array}$

Theo giả thiết $f (0) = 1 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = e^{\frac{1}{2} x} \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = 2 (\sqrt{e} - 1)$

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC với mặt phẳng bằng (SAB) bằng

30^{o}

. Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng BM . Khi điểm di động trên cạnh CD thì thể tích của khối chóp S.ABH đạt giá trị lớn nhất bằng

A.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .

B.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .

C.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2} .

D.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .

Xem đáp án

Đáp án D

Góc giữa SC và (SBD là $\hat{C S B} \Rightarrow \hat{C S B} = 30^{o}$

Ta có $\tan \hat{C S B} = \frac{B C}{S B} \Rightarrow S B = a \sqrt{3}; S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = a \sqrt{2}$

Đặt CM=x (với $0 \leq x \leq a) \Rightarrow D M = a - x$

Ta có $\{\begin{cases} B M ⊥ S H \\ B M ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B M ⊥ (S A H) \Rightarrow B M ⊥ A H$

Ta có: $S_{Δ B M C} = \frac{1}{2} B C . C M = \frac{1}{2} a x;$

$\begin{array}{l} S_{Δ A D M} = \frac{1}{2} A D . D M = \frac{1}{2} a (a - x) \\ S_{Δ A B M} = S_{A B C D} - S_{Δ A M C} - S_{Δ A D M} = \frac{a^{2}}{2} \end{array}$

Ta có: $S_{Δ A B M} = \frac{1}{2} A H . B M \Rightarrow A H = \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}, B H = \sqrt{A B^{2} - A H^{2}} = \frac{a x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}$

Thể tích của khối chóp S. ABH là: $V = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B H} = \frac{1}{3} S A . \frac{1}{2} B H . A H$

$= \frac{1}{6} a \sqrt{2} . \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} . \frac{a x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{6} a^{4} . \frac{x}{a^{2} + x^{2}}$

Xét hàm số $f (x) = \frac{x}{a^{2} + x^{2}}$ với $x \in [0; a]$

Ta có $f' (x) = \frac{a^{2} - x^{2}}{{(a^{2} + x^{2})}^{2}}; f' (x) = 0 \Rightarrow x = a$

Trên đoạn $[0; a]$ ta có $f' (x) \geq 0, \forall x \in [0; a]$

Vậy giá trị lớn nhất của V tại $x = a \Rightarrow V_{\max} = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3} .$

Ngoài ra, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm Vmax, thật vậy ta có: $V = \frac{\sqrt{2}}{6} a^{4} . \frac{x}{a^{2} + x^{2}} \leq \frac{\sqrt{2}}{6} a^{4} . \frac{1}{2 a} = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{12} .$

Câu 50:

Giả sử $x_{o}$ là nghiệm của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ . Cho hàm số $y = f (x) = M x$ với $M = \max \{|\frac{b}{a}|; |\frac{c}{a}|\}$ . Tìm các giá trị của tham số a sao cho hàm số $g (x) = - f (x) + a x$ nghịch biến trên R.

A.

a \leq \frac{x_{o}^{2}}{x_{o} + 1} .

B.

a \leq - \frac{x_{o} + 1}{x_{o}} .

C.

a \leq \frac{x_{o}^{2}}{|x_{o}| + 1} .

D.

a \leq - \frac{|x_{o}| + 1}{x_{o}} .

Xem đáp án

Đáp án C

Do $a \neq 0$ theo bài ra ta có $a x_{0}^{2} + b x_{0} + c = 0 \Leftrightarrow x_{0}^{2} = - (\frac{b}{a} x_{0} + \frac{c}{a})$

$\Rightarrow x_{o}^{2} + - (\frac{b}{a} x_{o} + \frac{c}{a}) \leq |- (\frac{b}{a} x_{o} + \frac{c}{a})| \leq |\frac{b}{a} x_{o}| + |\frac{c}{a}| \leq M (|x_{o}| + 1) \Rightarrow M \geq \frac{x_{o}^{2}}{|x_{o}| + 1} .$

Ta có $f (x) = M x \Rightarrow f' (x) = M \Rightarrow g' (x) = - M + a$

Hàm số g(x) nghịch biến trên R $\Leftrightarrow g' (x) \leq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow a \leq M, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow a \leq \frac{x_{o}^{2}}{|x_{0}| + 1}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề)

Đề số 8

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan