50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 3

Câu 1:

Cho mặt cầu $S_{(O; r)}$ có diện tích đường tròn lớn là 2π. Khi đó, mặt cầu $S_{(O; r)}$ có bán kính là:

A.

r = \sqrt{2}

B.

r = 2

C. r=4

D. r=1

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có, mặt cầu $S_{(O; r)}$ có bán kính đường tròn lớn bằng r.

Do mặt cầu $S_{(O; r)}$ có diện tích đường tròn lớn là 2π nên $π r^{2} = 2 π \Rightarrow r = \sqrt{2}$ (do r>0 ).

Câu 2:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

A. 1

B. 2

C. 0

D. 5

Xem đáp án

Đáp án D

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là $f (2) = 5$ .

Câu 3:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3), B(-1;0;1). Trọng tâm G của tam giác OAB có tọa độ là

A. (0;1;1)

B. $(0; \frac{2}{3}; \frac{4}{3})$

C. (0;2;4)

D. (-2;-2;-2)

Xem đáp án

Đáp án B

Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác ta có $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{1 - 1 + 0}{3} = 0 \\ y_{G} = \frac{2 + 0 + 0}{3} = \frac{2}{3} \\ z_{G} = \frac{3 + 1 + 0}{3} = \frac{4}{3} \end{cases} \Rightarrow G (0; \frac{2}{3}; \frac{4}{3})$ .

Vậy trọng tâm G của tam giác OAB có tọa độ là: $(0; \frac{2}{3}; \frac{4}{3})$ .

Câu 4:

Hàm số f(x) có đồ thị như sau

Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-2;-1)

B. (-1;1)

C. (-2;1)

D. (-1;2)

Xem đáp án

Đáp án A

Từ đồ thị hàm số ta có, hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Trong các khoảng đã cho trong các đáp án, chỉ có khoảng

(- 2; - 1) \subset (- \infty; - 1)

thỏa mãn

Câu 5:

Tập xác định của hàm số

y = \log_{2} \frac{x - 1}{x + 5}

là?

A. $D = (- \infty; - 5) \cup (1; + \infty)$

B. $D = (- 5; 1]$

C. $D = (- \infty; - 5) \cup [1; + \infty)$

D. $D = (- 5; 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số $y = \log_{2} \frac{x - 1}{x + 5}$ xác định khi và chỉ khi $\frac{x - 1}{x + 5} > 0$

$\Leftrightarrow (x - 1) (x + 5) \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 5 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < - 5 \\ x > 1 \end{array}$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = (- \infty; - 5) \cup (1; + \infty)$ .

Câu 6:

Cho

\int_{- 1}^{2} f (x) d x = 2

và

\int_{- 1}^{2} g (x) d x = - 1

. Tính

I = \int_{- 1}^{2} (x + 2 f (x) - 3 g (x)) d x

A.

I = \frac{5}{2}

B.

I = \frac{7}{2}

C.

I = \frac{17}{2}

D.

I = \frac{11}{2}

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $I = \int_{- 1}^{2} x dx + 2 \int_{1}^{2} f (x) d x - 3 \int_{1}^{2} g (x) d x = \frac{3}{2} + 2.2 - 3. (- 1) = \frac{17}{2}$ .

Câu 7:

Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy bằng a. Thể tích của khối nón là

A.

\frac{π a^{3} \sqrt{2}}{24}

B.

\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{12}

C.

\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{24}

D.

\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{8}

Xem đáp án

Đáp án C

Khối nón có đường kính đáy là a nên bán kính đáy là $R = \frac{a}{2}$ .

Độ dài đường sinh $l = a$ nên đường cao khối nón:

$h = \sqrt{l^{2} - R^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$

Thể tích khối nón:

$V = \frac{1}{3} π R^{2} h = \frac{1}{3} π {(\frac{a}{2})}^{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3} π}{24} a^{3}$ .

Câu 8:

Cho phương trình

\log_{2} {(2 x - 1)}^{2} = 2 \log_{2} (x - 2)

Số nghiệm thực của phương trình là

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: $\{\begin{cases} 2 x - 1 \neq 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 2$ .

Phương trình đã cho tương đương với: $2 \log_{2} (2 x - 1) = 2 \log_{2} (x - 2)$

$\Leftrightarrow 2 x - 1 = x - 2 \Leftrightarrow x = - 1$ (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 9:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : 3 x + y - 2 z + 1 = 0

. Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của (P) ?

A.

\vec{n_{3}} = (- 2; 1; 3)

B.

\vec{n_{4}} = (3; - 2; 1)

C.

\vec{n_{2}} = (1; - 2; 1)

D.

\vec{n_{1}} = (3; 1; - 2)

Xem đáp án

Đáp án D

Từ phương trình tổng quát của mặt phẳng suy ra véctơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\vec{n_{1}} = (3; 1; - 2)$ .

Câu 10:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = 2 x (3 + e^{x})

là

A.

3 x^{2} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C

B.

6 x^{2} + 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C

C.

3 x^{2} + e^{x} - 2 x e^{x} + C

D. $3 x^{2} + 2 x e^{x} + 2 e^{x} + C$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\int f (x) d x = \int 2 x (3 + e^{x}) d x = 6 \int x dx + 2 \int x e^{x} d x$

Đặt: $\{\begin{cases} u = x \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = e^{x} \end{cases}$ .

Do đó: $\int f (x) d x = 3 x^{2} + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) = 3 x^{2} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

Câu 11:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm

M (1; - 2; 3)

và vuông góc với mặt phẳng

(P) : x + y - 2 z + 3 = 0

.

A. $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 - 2 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 - 2 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 - 2 t \\ z = - 2 + 3 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - 2 - 3 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\vec{n_{(P)}} = (1; 1; - 2)$ .

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Do $d ⊥ (P) \Rightarrow \vec{u_{d}} = \vec{n_{(P)}} = (1; 1; - 2)$ , suy ra loại C, D.

Đường thẳng $d : \{\begin{cases} q u a M (1; - 2; 3) \\ \vec{u_{d}} = (1; 1; - 2) \end{cases}$ .

Do đó có phương trình $d : \{\begin{cases} x = 1 + t^{'} \\ y = - 2 + t^{'} \\ z = 3 - 2 t^{'} \end{cases} (t^{'} \in ℝ)$ .

Chọn $t^{'} = 1 \Rightarrow N (2; - 1; 1) \in Δ$ .

Vậy $d : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 - 2 t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

Câu 12:

Sắp xếp năm bạn học sinh Nam, Bình, An, Hạnh, Phúc vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Nam luôn ngồi chính giữa là

A. 16

B. 24

C. 60

D. 120

Xem đáp án

Đáp án B

Xếp bạn Nam ngồi giữa có 1 cách.

Số cách xếp 4 bạn học sinh Bình, An, Hạnh, Phúc vào 4 chỗ còn lại là một hoán vị của 4 phần tử nên có 4! cách.

Vậy có 24 cách xếp.

Câu 13:

Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{n} = 3^{n}

. Tính

u_{n + 1}

?

A.

u_{n + 1} = 3^{n} + 3

B.

u_{n + 1} = {3.3}^{n}

C.

u_{n + 1} = 3^{n} + 1

D. $u_{n + 1} = 3 (n + 1)$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $u_{n + 1} = 3^{n + 1} = {3.3}^{n}$ .

Câu 14:

Tính môđun của số phức z, biết:

(1 - 2 i) z + 2 - i = - 12 i

.

A. 5

B.

\sqrt{7}

C.

\frac{1}{2}

D.

2 \sqrt{2}

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình tương đương với: $z = \frac{- 2 - 11 i}{1 - 2 i} = \frac{(- 2 - 11 i) (1 + 2 i)}{1^{2} + {(- 2)}^{2}} = 4 - 3 i$

$\Rightarrow |z| = \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}} = 5$ .

Câu 15:

Đồ thị trong hình vẽ bên dưới là của đồ thị hàm số nào sau đây?

A.

y = x^{3} - 3 x^{2} - 1

B.

y = x^{4} - 2 x^{2} - 1

C.

y = x^{4} + 2 x^{2} - 1

D.

y = x^{2} - 1

Xem đáp án

Đáp án C

Từ đồ thị và giả thiết suy ra đây là đồ thị của hàm số bậc 4 hoặc bậc 2 nên loại phương án A.

Đồ thị đi qua điểm $A (1; 2)$ nên chọn đáp án C.

Câu 16:

Giá trị lớn nhất của hàm số

y = \sqrt{- x^{2} + 4 x}

trên khoảng

(0; 3)

là

A. 4

B. 2

C. 0

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

TXĐ: $D = [0; 4]$ .

Xét hàm số $y = \sqrt{- x^{2} + 4 x}$ trên khoảng $(0; 3)$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{- x + 2}{\sqrt{- x^{2} + 4 x}} = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in (0; 3)$ .

Bảng biến thiên hàm số $y = \sqrt{- x^{2} + 4 x}$ trên khoảng $(0; 3)$ như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: $\max_{(0; 3)} y = y (2) = 2$ .

Câu 17:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = {(x^{2} - 2 x - 3)}^{3}, \forall x \in ℝ$ . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-3;1)

B. $(3; + \infty)$

C. (-1;3)

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 3 \\ x < - 1 \end{array}$ .

Câu 18:

Tìm các số thực x và y thỏa mãn

3 x - 2 + (2 y + 1) i = x + 1 - (y - 5) i

(với i là đơn vị ảo).

A.

x = \frac{3}{2}; y = - 2

B.

x = - \frac{3}{2}; y = - \frac{4}{3}

C.

x = 1; y = \frac{4}{3}

D.

x = \frac{3}{2}; y = \frac{4}{3}

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình tương đương với: $3 x - 2 + (2 y + 1) i = x + 1 + (5 - y) i$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x - 2 = x + 1 \\ 2 y + 1 = 5 - y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3}{2} \\ y = \frac{4}{3} \end{cases}$

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

M (6; 2; - 5)

,

N (- 4; 0; 7)

. Viết phương trình mặt cầu đường kính MN?

A.

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 62

B.

{(x - 5)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 6)}^{2} = 62

C.

{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 62

D.

{(x + 5)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 6)}^{2} = 62

Xem đáp án

Đáp án A

Mặt cầu đường kính MN nhận trung điểm của đoạn thẳng MN là tâm và có bán kính $R = I M = \sqrt{{(6 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} + {(- 5 - 1)}^{2}} = \sqrt{62}$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 62$ .

Câu 20:

Cho x, y là các số thực dương tùy ý, đặt

\log_{3} x = a, {log}_{3} y = b

. Chọn mệnh đề đúng

A.

\log_{\frac{1}{27}} (\frac{x}{y^{3}}) = \frac{1}{3} a - b

B.

\log_{\frac{1}{27}} (\frac{x}{y^{3}}) = \frac{1}{3} a + b

C.

\log_{\frac{1}{27}} (\frac{x}{y^{3}}) = - \frac{1}{3} a - b

D. $\log_{\frac{1}{27}} (\frac{x}{y^{3}}) = - \frac{1}{3} a + b$

Xem đáp án

Đáp án D

Do x, y là các số thực dương nên ta có: $\log_{\frac{1}{27}} (\frac{x}{y^{3}}) = - \frac{1}{3} \log_{3} (\frac{x}{y^{3}}) = - \frac{1}{3} (\log_{3} x - \log_{3} y^{3})$

= - \frac{1}{3} (\log_{3} x - 3 \log_{3} y) = - \frac{1}{3} \log_{3} x + \log_{3} y = - \frac{1}{3} a + b

Câu 21:

Kí hiệu là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 3 x + 5 = 0$ . Giá trị của $|z_{1}| + |z_{2}|$ bằng

A.

2 \sqrt{5}

B.

\sqrt{5}

C. 3

D. 10

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $z^{2} - 3 z + 5 = 0 \Leftrightarrow z = \frac{3 \pm i \sqrt{11}}{2}$ (bấm máy tính).

Khi đó $|z_{1}| + |z_{2}| = 2 \sqrt{5}$ .

Câu 22:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(Q) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0$ và mặt phẳng(P) không qua O, song song mặt phẳng (Q) và $d ((P), (Q)) = 1$ . Phương trình mặt phẳng (P) là

A.

x + 2 y + 2 z + 3 = 0

B.

x + 2 y + 2 z = 0

C.

x + 2 y + 2 z + 1 = 0

D.

x + 2 y + 2 z - 6 = 0

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi phương trình mặt phẳng (P) có dạng $x + 2 y + 2 z + d = 0$ (với $d \neq 0; d \neq - 3$ ).

Có $d ((P), (Q)) = 1 \Leftrightarrow \frac{|d + 3|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = 1 \Rightarrow [\begin{array}{l} d = 0 \\ d = - 6 \end{array}$ .

Kết hợp điều kiện, suy ra (P) có dạng: $x + 2 y + 2 z - 6 = 0$ .

Câu 23:

Bất phương trình

3^{2 x + 1} - {7.3}^{x} + 2 > 0

có nghiệm

A.

[\begin{array}{l} x < - 1 \\ x > \log_{2} 3 \end{array}

B.

[\begin{array}{l} x < - 2 \\ x > \log_{2} 3 \end{array}

C.

[\begin{array}{l} x < - 1 \\ x > \log_{3} 2 \end{array}

D.

[\begin{array}{l} x < - 2 \\ x > \log_{3} 2 \end{array}

Xem đáp án

Đáp án C

Bất phương trình tương đương với: ${3.3}^{2 x} - {7.3}^{x} + 2 > 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3^{x} < \frac{1}{3} \\ 3^{x} > 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < \log_{3} \frac{1}{3} \\ x > \log_{3} 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < - 1 \\ x > \log_{3} 2 \end{array}$

Câu 24:

Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y = f (x)$ , trục hoành và 2 đường thẳng $x = - 1, x = 2$ trong hình vẽ bên.

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và 2 đường thẳng trong hình vẽ bên. Đặt: . Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Đặt: $S_{1} = \int_{1}^{0} f (x) d x; S_{2} = \int_{0}^{2} f (x) d x$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

S = S_{1} + S_{2}

B.

S = - S_{1} - S_{2}

C.

S = S_{1} - S_{2}

D.

S = S_{2} - S_{1}

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $S = \int_{- 1}^{2} |f (x) d x| = \int_{- 1}^{0} |f (x) d x| + \int_{0}^{2} |f (x) d x| = - \int_{- 1}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{2} f (x) d x$

$= - S_{1} + S_{2} = S_{2} - S_{1}$ .

Câu 25:

Một khối trụ có thể tích bằng 6π. Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính đáy của khối trụ đó gấp 3 lần thì thể tích của khối trụ mới bằng bao nhiêu

A. 162π

B. 27π

C. 18π

D. 54π

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi h và R lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ.

Khi đó ta có thể tích khối trụ là: $V_{1} = π R^{2} h = 6 π$ .

Nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính đáy của khối trụ đó gấp 3 lần thì thể của khối trụ mới là: $V_{2} = π {(3 R)}^{2} h = 9 π R^{2} h = 9 V_{1} = 54 π$ .

Câu 26:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{- 2 x + 2019}{|x| - 2018}$ là

A.

y = \pm 2

B.

x = \pm 2

C.

x = \pm 2018

D.

y = \pm 2018

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 x + 2019}{|x| - 2018} = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 x + 2019}{x - 2018} = - 2$ nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = - 2$ .

Lại có $\lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 x + 2019}{|x| - 2018} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 x + 2019}{- x - 2018} = 2$ nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ .

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là $y = \pm 2$ .

Câu 27:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh $A B = a$ , $B C = 2 a$ . Hai mặt bên $(S A B)$ và $(S A D)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(A B C D)$ , cạnh $S A = a \sqrt{15}$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A.

V = \frac{2 a^{3} \sqrt{15}}{6}

B. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{15}}{3}$

C.

V = 2 a^{3} \sqrt{15}

D.

V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{3}

Xem đáp án

Đáp án B

Vì $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) \\ (S A D) ⊥ (A B C D) \end{cases} \Rightarrow S A ⊥ (A B C D)$ .

Chiều cao khối chóp là: $S A = a \sqrt{15}$ .

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: $S_{A B C D} = A B . B C = 2 a^{2}$ (đvdt).

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{2 a^{3} \sqrt{15}}{3}$

(đvdt).S

Câu 28:

Tính đạo hàm của hàm số

y = {(2 x^{2} + x - 1)}^{\frac{2}{3}}

A.

y^{'} = \frac{2 (4 x + 1)}{3 \sqrt[3]{2 x^{2} + x - 1}}

B.

y^{'} = \frac{2 (4 x + 1)}{3 \sqrt[3]{{(2 x^{2} + x - 1)}^{2}}}

C.

y^{'} = \frac{3 (4 x + 1)}{2 \sqrt[3]{2 x^{2} + x - 1}}

D.

y^{'} = \frac{3 (4 x + 1)}{2 \sqrt[3]{{(2 x^{2} + x - 1)}^{2}}}

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y^{'} = \frac{2}{3} {(2 x^{2} + x - 1)}^{- \frac{1}{3}} {(2 x^{2} + x - 1)}^{'} = \frac{2}{3} . \frac{1}{\sqrt[3]{2 x^{2} + x - 1}} (4 x + 1) = \frac{2 (4 x + 1)}{3 \sqrt[3]{2 x^{2} + x - 1}}$ .

Câu 29:

Tìm m để đường thẳng $y = x - 2 m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x + 1}$ tại hai điểm phân biệt?

A.

[\begin{array}{l} m \geq 1 \\ m \leq - 3 \end{array}

B.

- 3 < m < 1

C. $- 3 \leq m \leq 1$

D.

[\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 3 \end{array}

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = x - 2 m$ và đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x + 1}$ là:

(với $x \neq - 1$ ) $\Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + 3 - 2 m = 0$ (1).

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x - 3}{x + 1}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} > 0 \\ {(- 1)}^{2} - 2 m . (- 1) + 3 - 2 m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} + 2 m - 3 > 0 \\ 4 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 3 \end{array}$ .

Vậy $[\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 3 \end{array}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

A B = a, A C = a \sqrt{3}

. Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng

(S A C)

.

A.

d = \frac{a \sqrt{39}}{13}

B. d=a

C.

d = \frac{2 a \sqrt{39}}{13}

D.

d = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra $S H ⊥ B C \Rightarrow S H ⊥ (A B C)$ .

Gọi K là trung điểm AC, suy ra $H K ⊥ A C$ .

Kẻ $H E ⊥ S K (E \in S K)$ .

Khi đó $d (B, (S A C)) = 2 d (H, (S A C)) = 2 H E = 2 \frac{S H . H K}{\sqrt{S H^{2} + H K^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{39}}{13}$ .

Câu 31:

Biết rằng phương trình

\log_{3} (3^{x + 1} - 1) = 2 x + \log_{\frac{1}{3}} 2

có hai nghiệm

x_{1}

và

x_{2}

. Hãy tính tổng

S = 27^{x_{1}} + 27^{x_{2}}

.

A. S= 180

B. S=45

C. S=9

D. S=252

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $3^{x + 1} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1$ .

Phương trình tương đương với: $\log_{3} (3^{x + 1} - 1) = 2 x - \log_{3} 2 \Leftrightarrow \log_{3} (3^{x + 1} - 1) + \log_{3} 2 = 2 x$

$\Leftrightarrow \log_{3} [(3^{x + 1} - 1) .2] = 2 x \Leftrightarrow (3^{x + 1} - 1) .2 = 3^{2 x} \Leftrightarrow {6.3}^{x} - 2 = 3^{2 x}$

$\Leftrightarrow 3^{2 x} - {6.3}^{x} + 2 = 0 \overset{V i - e t}{\to} \{\begin{cases} 3^{x_{1}} + 3^{x_{2}} = 6 \\ 3^{x_{1}} {.3}^{x_{2}} = 2 \end{cases}$

Ta có $S = 27^{x_{1}} + 27^{x_{2}} = {(3^{x_{1}} + 3^{x_{2}})}^{3} - {3.3}^{x_{1}} {.3}^{x_{2}} . (3^{x_{1}} + 3^{x_{2}}) = 6^{3} - 3.2.6 = 180$ .

Câu 32:

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Tính tỉ số k giữa thể tích khối trụ ngoại tiếp và thể tích khối trụ nội tiếp hình lập phương đã cho.

A.

k = \sqrt{2}

B. k=2

C.

k = 2 \sqrt{2}

D. k=4

Xem đáp án

Đáp án B

Hai khối trụ có chung đường cao nên $k = \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{π R^{2} h}{π r^{2} h} = {(\frac{R}{r})}^{2} = 2$ với $R = \frac{A C}{2} = \frac{A B \sqrt{2}}{2}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy; $r = \frac{A B}{2}$ là bán kính đường tròn nội tiếp đáy.

Câu 33:

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = e^{- x} (2 e^{x} + 1)$ , biết $F (0) = 1$ .

A.

F (x) = 2 + e^{- x}

B.

F (x) = 2 x + e^{- x}

C.

F (x) = 2 x - e^{- x} + 1

D.

F (x) = 2 x - e^{- x} + 2

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\int e^{- x} (2 e^{x} + 1) d x = \int (2 + e^{- x}) d x = 2 x - e^{- x} + C$ .

Theo giả thiết $F (0) = 1 \Rightarrow - 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2$ .

Suy ra $F (2) = 2 x - e^{- x} + 2$ .

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SD với đáy bằng $60 °$ . Tính khoảng cách d từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) theo a.

A.

d = \frac{a \sqrt{3}}{2}

B.

d = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}

C.

d = \frac{a \sqrt{5}}{2}

D.

d = \frac{\sqrt{3}}{2}

Xem đáp án

Đáp án A

Xác định $60 ° = \hat{S D, (A B C D)} = \hat{S D, A D} = \hat{S D A}$ và $S A = A D . \tan \hat{S D A} = 2 a \sqrt{3}$ .

Ta có $d (C, (S B D)) = d (A, (S B D))$ .

Kẻ $A E ⊥ B D$ và kẻ $A K ⊥ S E$ .

Khi đó $d (A, (S B D)) = A K$ .

Tam giác vuông BAD, có $A E = \frac{A B . A D}{\sqrt{A B^{2} + A D^{2}}} = \frac{2 a}{\sqrt{5}}$ .

Tam giác vuông SAE, có $A K = \frac{S A . A E}{\sqrt{S A^{2} + A E^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $d (C, (S B D)) = A K = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Câu 35:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng

d : \frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z + 4}{- 5}

và

d^{'} : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 4}{- 2} = \frac{z - 4}{- 1}

.

A.

\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}

B.

\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4}

C.

\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{2}

D.

\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{- 1}

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $M (2 + 2 m; 3 + 3 m; - 4 - 5 m) \in d; N (- 1 + 3 n; 4 - 2 n; 4 - n) \in$ .

Ta có $\vec{M N} = (- 3 + 3 n - 2 m; 1 - 2 n - 3 m; 8 - n + 5 m)$ .

Mà do MN là đường vuông góc chung của d và $d^{'}$ nên $\{\begin{cases} M N ⊥ d \\ M N ⊥ d^{'} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 (- 3 + 3 n - 2 m) + 3 (1 - 2 n - 3 m) - 5 (8 - n + 5 m) = 0 \\ 3 (- 3 + 3 n - 2 m) - 2 (1 - 2 n - 3 m) - 1 (8 - n + 5 m) = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 38 m + 5 n = 43 \\ - 5 m + 14 n = 19 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 1 \\ n = 1 \end{cases}$ .

Suy ra $M (0; 0; 1), N (2; 2; 3)$ .

Ta có nên đường vuông góc chung MN là: $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1}$ .

Câu 36:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số $y = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} - m}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ ?

A.

(- \infty; 2]

B.

(- \infty; 1)

C.

(- \infty; 1]

D.

(- \infty; 2)

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = e^{x}$ (khi $x \in (0; + \infty)$ thì $t \in (1; + \infty)$ ).

Khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số $y = \frac{t - 1}{t - m}$ đồng biến trên $(1; + \infty)$ .

TXĐ: . $D = ℝ / \{m\}$

Ta có $y^{'} = \frac{- m + 1}{{(t - m)}^{2}}$ .

Để hàm số đồng biến trên $(1 + \infty)$ thì $\{\begin{cases} y^{'} > 0, \forall x \in (1; + \infty) \\ m \notin (1; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 - m > 0 \\ m \leq 1 \end{cases} \Rightarrow m < 1$ .

Câu 37:

Cho các số phức

z_{1}, z_{2}

thỏa mãn

|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{3}

và

|z_{1} - z_{2}| = 2

. Tính

|2 z_{1} + 3 z_{2}|

.

A.

\sqrt{52}

B. $\sqrt{53}$

C.

5 \sqrt{2}

D.

\sqrt{51}

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

{|2 z_{1} + 3 z_{2}|}^{2} = 4 {|z_{1}|}^{2} + 9 {|z_{2}|}^{2} + 6 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} - {|z_{1} - z_{2}|}^{2}) = 51 \Rightarrow |2 z_{1} + 3 z_{2}| = \sqrt{51}

Câu 38:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $M = \max_{[0; 2]} \{|a|; |a + 1|\}$ để hàm số $y = f (x + 1) + \frac{20}{m} \ln (\frac{2 - x}{2 + x})$ nghịch biến trên khoảng (-1;1)?

Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số y=f(x+1)+20/mln((2-x)/(2+x) để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) ? (ảnh 1)

A. 3

B. 6

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $y = f (x + 1) + \frac{20}{m} \ln (\frac{2 - x}{2 + x})$ xác định trên (-1;1).

Ta có: $y^{'} = f^{'} (x + 1) + \frac{20}{m} . \frac{- 4}{4 - x^{2}}$ .

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi

$y^{'} \leq 0, \forall x \in (- 1; 1) \Rightarrow f^{'} (x + 1) - \frac{80}{m (4 - x^{2})} \leq 0, \forall x \in (- 1; 1)$ (*).

Đặt t=x+1 khi đó $x \in (- 1; 1) \Rightarrow t \in (0; 2)$ .

Từ (*) ta có $f^{'} (t) - \frac{80}{m} . \frac{1}{(3 - t) (t + 1)} \leq 0, \forall t \in (0; 2)$

$\Rightarrow \frac{80}{m} \geq f^{'} (t) . (3 - t) (t + 1), \forall t \in (0; 2)$ (1).

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ ta có $f^{'} (x) = - {(x + 1)}^{2} (x - 2)$ .

Suy ra ta có $f^{'} (t) = - {(t + 1)}^{2} (t - 2)$ .

Xét hàm số $V P_{(1)} = g (t) = - {(t + 1)}^{2} (t - 2) (3 - t) (t + 1), \forall t \in (0; 2)$ .

$g^{'} (t) = - {(t + 1)}^{2} (- 5 t^{2} + 18 t - 13) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = \frac{13}{5} \\ t = 1 \end{array}$

.Bảng biến thiên hàm g(t)

Dựa vào bảng xét dấu và từ (1) ta có $\frac{80}{m} \geq \max_{(0; 2)} g (t) = g (1) \Leftrightarrow \frac{80}{m} \geq 16 \Leftrightarrow m \leq 5$ .

Câu 39:

Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổi. Mức cường độ âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức $L_{M} = \log \frac{k}{R^{2}}$ (Ben) với k là hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B lần lượt là $L_{A} = 3$ (Ben) và $L_{B} = 5$ (Ben). Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến 2 chữ số sau dấu phẩy).

A. 3,59 (Ben)

B. 3,06 (Ben)

C. 3,69 (Ben)

D. 4 (Ben)

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $L_{A} < L_{B} \Rightarrow O A > O B$ .

Gọi I là trung điểm AB.

Ta có: $L_{A} = \log \frac{k}{O A^{2}} \Rightarrow \frac{k}{O A^{2}} = 10^{L_{A}} \Rightarrow O A = \frac{\sqrt{k}}{{\sqrt{10}}^{L_{A}}}$

$L_{B} = \log \frac{k}{O B^{2}} \Rightarrow \frac{k}{O B^{2}} = 10^{L_{B}} \Rightarrow O B = \frac{\sqrt{k}}{{\sqrt{10}}^{L_{B}}}$

$L_{I} = \log \frac{k}{O I^{2}} \Rightarrow \frac{k}{O I^{2}} = 10^{L_{I}} \Rightarrow O I = \frac{\sqrt{k}}{{\sqrt{10}}^{L_{I}}}$

Ta có: $O I = \frac{1}{2} (O A - O B) \Rightarrow \frac{\sqrt{k}}{{\sqrt{10}}^{L_{I}}} = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{k}}{{\sqrt{10}}^{L_{A}}} - \frac{\sqrt{k}}{{\sqrt{10}}^{L_{B}}}) \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt{10}}^{L_{I}}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{{\sqrt{10}}^{L_{A}}} - \frac{1}{{\sqrt{10}}^{L_{B}}})$

$\Rightarrow L_{I} = - 2 \log [\frac{1}{2} (\frac{1}{{\sqrt{10}}^{L_{A}}} - \frac{1}{{\sqrt{10}}^{L_{B}}})] \Rightarrow L_{I} \approx 3,69$ .

Câu 40:

Có bao nhiêu số có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho số đó chia hết cho 15?

A. 234

B. 243

C. 132

D. 432

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi số số cần lập có dạng: $ℕ = \bar{a b c d} (1 \leq a, b, c, d \leq 9)$ .

Để $ℕ ⋮ 15 \Rightarrow ℕ ⋮ 3$ và $ℕ ⋮ 5$ .

+ $ℕ ⋮ 5 \Rightarrow d = 5$

+ $ℕ ⋮ 3 \Rightarrow (a + b + c + 5) ⋮ 3$ .

Chọn a có 9 cách, chọn b có 9 cách chọn thì:

+ Nếu $a + b + 5$ chia hết cho 3 thì $c \in \{3; 6; 9\} \Rightarrow$ c có 3 cách chọn.

+ Nếu $a + b + 5$ chia cho 3 dư 1 thì $c \in \{2; 5; 8\} \Rightarrow$ c có 3 cách chọn.

+ Nếu $a + b + 5$ chia cho 3 dư 2 thì $c \in \{1; 4; 7\} \Rightarrow$ c có 3 cách chọn.

Vậy, theo quy tắc nhân ta có: $9.9.3 = 243$ số.

Câu 41:

Tích tất cả các số thực m để hàm số $y = |\frac{4}{3} x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + m|$ có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng 18 là

A. 432

B. -216

C. -432

D. 288

Xem đáp án

Đáp án C

Xét hàm số $f (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + m$ liên tục trên đoạn [0;3] .

Ta có $f^{'} (x) = 4 x^{2} - 12 x + 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in [0; 3] \\ x = 2 \in [0; 3] \end{array}$ .

Ta lại có: $f (0) = m; f (1) = \frac{10}{3} + m; f (2) = \frac{8}{3} + m; f (3) = 6 + m$ .

Khi đó: $\{\begin{cases} \max_{[0; 3]} f (x) = \max \{f (0); f (1); f (2); f (3)\} = f (3) = m + 6 \\ \min_{[0; 3]} f (x) = \min \{f (0); f (1); f (2); f (3)\} = f (0) = m \end{cases}$ .

Theo đề bài: $\min_{[0; 3]} y = 18$ nên ta có: $\{\begin{cases} m (m + 6) > 0 \\ \frac{|m + 6 + m| - |m + 6 - m|}{2} = 18 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 24 \\ m = 18 \end{array}$ .

Kết luận: Tích các số thực m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $- 24.18 = - 432$ .

Câu 42:

Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số $y = 3 f (x + 2) - x^{3} + 3 x$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

(1; + \infty)

B.

(- \infty; - 1)

C.

(- 1; 0)

D. (0;2)

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y^{'} > 0 \Leftrightarrow 3 f^{'} (x + 2) - 3 x^{2} + 3 > 0 \Leftrightarrow f^{'} (x + 2) > x^{2} - 1$ .

Đặt t=x+2, bất phương trình trở thành: $f^{'} (t) > {(t - 2)}^{2} - 1$ , không thể giải trực tiếp bất phương trình:

Ta sẽ chọn t sao cho

$\{\begin{cases} {(t - 2)}^{2} - 1 < 0 \\ f^{'} (t) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 < t - 2 < 1 \\ t \in (1; 2) \cup (2; 3) \cup (4; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 < t < 3 \\ t \in (1; 2) \cup (2; 3) \cup (4; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 < t < 2 \\ 2 < t < 3 \end{cases}$

Khi đó $[\begin{array}{l} 1 < x + 2 < 2 \\ 2 < x + 2 < 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 1 < x < 0 \\ 0 < x < 1 \end{array}$ .

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-1;0), (0;1) .

Câu 43:

Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây?

A. 202 triệu đồng

B. 208 triệu đồng

C. 218 triệu đồng

D. 200 triệu đồng

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi O, I lần lượt là tâm của các đường tròn bán kính bằng 20 mét và bán kính bằng 15 mét.

Gắn hệ trục Oxy, vì OI=30 mét nên I(0;30).

Phương trình hai đường tròn lần lượt là $x^{2} + y^{2} = 20^{2}$ và $x^{2} + {(y - 30)}^{2} = 15^{2}$ .

Gọi A, B là các giao điểm của hai đường tròn đó.

Tọa độ A, B là nghiệm của hệ $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 20^{2} \\ x^{2} + {(y - 30)}^{2} = 15^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm \frac{5 \sqrt{455}}{12} \\ y = \frac{215}{12} \end{cases}$ .

Tổng diện tích hai đường tròn là $π (20^{2} + 15^{2}) = 625 π (m^{2})$ .

Phần giao của hai hình tròn chính là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = 30 - \sqrt{15^{2} - x^{2}}$ và $y = \sqrt{20^{2} - x^{2}}$ .

Do đó diện tích phần giao giữa hai hình tròn là $S = \int_{- \frac{5 \sqrt{455}}{12}}^{\frac{5 \sqrt{455}}{12}} (\sqrt{20^{2} - x^{2}} + \sqrt{15^{2} - x^{2}} - 30) d x \approx 60,2546 (m^{2})$ .

Số tiền để làm phần giao giữa hai hình tròn là: $300 000.60,2546 \approx 18 076 386$ (đồng).

Số tiền để làm phần còn lại là: $100 000. (625 π - 2.60,2546) = 184 299 220$ (đồng).

Vậy tổng số tiền làm sân khấu là: $184 299 220 + 18 076 386 \approx 202 375 606$ (đồng).

Câu 44:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f (\frac{6 x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1} + 2) + 1 = m$ có nghiệm?

A. 4

B. 2

C. 5

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $u = \frac{6 x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1} + 2$ .

Ta có $u^{'} = \frac{- 12 x^{5} + 12 x}{{(x^{4} + x^{2} + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}$ .

Bài toán trở thành tìm m nguyên để phương trình $f (u) = m - 1$ có nghiệm $u \in [2; 4]$ .

Dựa vào đồ thị đề bài cho suy ra f(u)=m-1 có nghiệm $\Leftrightarrow 1 \leq m - 1 \leq 5 \Leftrightarrow 2 \leq m \leq 6$ .

Câu 45:

Cho hàm số y=f(x) . Hàm số

y = f^{'} (x)

có đồ thị như sau:

Bất phương trình $f (x) > x^{2} - 2 x + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in (1; 2)$ khi và chỉ khi

A.

m \leq f (2)

B.

m < f (1) - 1

C.

m \geq f (2) - 1

D.

m \geq f (1) + 1

Xem đáp án

Đáp án A

Bất phương trình đã cho tương đương với: $m < f (x) - x^{2} + 2 x, \forall x \in (1; 2)$ .

Xét hàm số $g (x) = f (x) - x^{2} + 2 x$ trên (1;2).

Bài toán trở thành tìm m để $m < g (x), \forall x \in (1; 2) \Leftrightarrow m \leq \min_{[1; 2]} g (x)$ .

Ta có $g^{'} (x) = f^{'} (x) - 2 (x - 1)$ .

Nhận xét: Với $x \in (1; 2) \Rightarrow \{\begin{cases} f^{'} (x) < 0 \\ - 2 (x - 1) < 0 \end{cases} \Rightarrow g^{'} (x) < 0$ .

Do đó ta có $m \leq \min_{[1; 2]} g (x) = g (2) = f (2) - 2^{2} + 2.2 = f (2)$ .

Vậy $m \leq f (2)$ .

Câu 46:

Cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9

. Tìm các điểm

M, N \in (S)

sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất, khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất, với (P): x-2y+2z+7=0 .

A. M(2;2;0), N(0;-2;4)

B.

M (2; - 2; 4), N (0; 2; 0)

C.

M (3; - 2; 1), N (0; - 2; 4)

D.

M (2; 2; 0), N (0; 2; 0)

Xem đáp án

Đáp án B

Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;2), bán kính R=3 .

Ta làm theo hai cách.

Ta có: (P): x-2y+2z+7=0 nên $d (I; (P)) = \frac{|1 - 2.0 + 2.2 + 7|}{3} = 4 > 3 = R$ .

Do đó mặt phẳng (P) không có điểm chung với mặt cầu (S).

Tất cả các điểm thuộc mặt cầu (S) đều nằm trong miền giới hạn bởi hai mặt phẳng song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu, nên điểm có khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất là các giao điểm của đường thẳng Δ với mặt cầu (S), với (Δ)

là đường thẳng qua I và vuông góc với .

Phương trình đường thẳng Δ: $Δ : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 t \\ z = 2 + 2 t \end{cases} (t \in ℝ)$

Gọi . $J = Δ \cap (S)$

Ta có $J \in (S)$ nên .

Suy ra hai điểm thỏa mãn $J_{1} (0; 2; 0), J_{2} (2; - 2; 4)$ .

Khoảng cách từ các điểm $J_{1}, J_{2}$ đến (P) là

Vậy các điểm cần tìm là $M (2; - 2; 4), N (0; 2; 0)$ .

Câu 47:

Cho x, y là các số dương thỏa mãn

\log_{2} \frac{x^{2} + 5 y^{2}}{x^{2} + 10 x y + y^{2}} + 1 + x^{2} - 10 x y + 9 y^{2} \leq 0

. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

P = \frac{x^{2} + x y + 9 y^{2}}{x y + y^{2}}

. Tính

T = 10 M - m

.

A. T=60

B. T=94

C. T=104

D. T=50

Xem đáp án

Đáp án B

Bất phương trình tương đương với: $\log_{2} (x^{2} + 5 y^{2}) - \log_{2} (x^{2} + 10 x y + y^{2}) + \log_{2} 2 + 2 (x^{2} + 5 y^{2}) - (x^{2} + 10 x y + y^{2}) \leq 0$

$\Leftrightarrow \log_{2} (2 x^{2} + 10 y^{2}) + 2 (x^{2} + 5 y^{2}) \leq \log_{2} (x^{2} + 10 x y + y^{2}) + (x^{2} + 10 x y + y^{2})$ $\Leftrightarrow 2 x^{2} + 10 y^{2} \leq x^{2} + 10 x y + y^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 10 x y + 9 y^{2} \leq 0 \Leftrightarrow {(\frac{x}{y})}^{2} - 10 (\frac{x}{y}) + 9 \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq \frac{x}{y} \leq 9$ Khi đó: $P = \frac{x^{2} + x y + 9 y^{2}}{x y + y^{2}} = \frac{{(\frac{x}{y})}^{2} + \frac{x}{y} + 9}{\frac{x}{y} + 1}$

Đặt $t = \frac{x}{y}$ (với $1 \leq t \leq 9$ ).

Xét hàm số: $f (t) = \frac{t^{2} + t + 9}{t + 1}$ .

Ta có: $f^{'} (t) = \frac{t^{2} + 2 t - 8}{{(t + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 4 \\ t = 2 \end{array}$ .

Ta lại có: $f (1) = \frac{11}{2}; f (2) = 5; f (9) = \frac{99}{10}$ .

Nên $M = \frac{99}{10}, m = 5$ .

Vậy $T = 10 M - m = 94$ .

Câu 48:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $a \sqrt{2}$ . Lấy M, N lần lượt trên cạnh AB', A'C sao cho $\frac{A M}{A B^{'}} = \frac{A^{'} N}{A^{'} C} = \frac{1}{3}$ . Tính thể tích V của khối BMNC'C.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{108}$

B.

\frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{27}

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{6}}{108}$

D.

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{27}

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi G, K lần lượt là tâm các hình chữ nhật $A B B^{'} A^{'}$ và $A A^{'} C^{'} C$ .

Ta có: $\frac{A M}{A B^{'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{A M}{A G} = \frac{2}{3}$ (do G là trung điểm $A B^{'}$ ).

Xét tam giác $A B A^{'}$ có AG là trung tuyến và $\frac{A M}{A G} = \frac{2}{3}$ .

Suy ra M là trọng tâm tam giác $A B A^{'}$ .

Do đó BM đi qua trung điểm I của AA' .

Ta có: $\frac{A^{'} N}{A^{'} C} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{A^{'} N}{A^{'} K} = \frac{2}{3}$ (do K là trung điểm $A^{'} C$ ).

Xét tam giác AA'C có A'K là trung tuyến và $\frac{A^{'} N}{A^{'} K} = \frac{2}{3}$ , suy ra N là trọng tâm của tam giác .

Do đó C'N đi qua trung điểm I của AA' .

Từ M là trọng tâm tam giác ABA' và N trọng tâm của tam giác AA'C, suy ra: $\frac{I M}{I B} = \frac{I N}{I C^{'}} = \frac{1}{3}$ .

Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt là thể tích các khối chóp IMNC; .

Ta có: $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{I M}{I B} . \frac{I N}{I C^{'}} . \frac{I C}{I C} = \frac{1}{9}$ .

Mà $V_{1} + V = V_{2} \Rightarrow V = \frac{8}{9} V_{2}$ .

Hạ AH vuông góc với BC tại H thuộc BC.

Ta được AH vuông góc với mặt phẳng , song song với mặt phẳng nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng bằng khoảng cách từ A đến và bằng AH.

Ta có: $A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}, V_{2} = \frac{1}{3} d (I; (B B^{'} C^{'} C)) . S_{Δ B C C^{'}} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$ .

Suy ra: $V = \frac{8}{9} V_{2} = \frac{2 a^{3} \sqrt{6}}{27}$ .

Câu 49:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định trên R và thỏa mãn $f^{'} (x) + 4 x - 6 x . e^{x^{2} - f (x) - 2019} = 0$ và f(0)=-2019. Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình f(x)<7 là

A. 91

B. 46

C. 45

D. 44

Xem đáp án

Đáp án C

Theo giả thiết $f^{'} (x) + 4 x - 6 x . e^{x^{2} - f (x) - 2019} = 0 \Leftrightarrow 6 x (1 - e^{x^{2} - f (x) - 2019}) = 2 x - f^{'} (x), \forall x \in ℝ$ (1).

TH1: Nếu $1 - e^{x^{2} - f (x) - 2019} = 0$ thì $x^{2} - f (x) - 2019 = 0 \Leftrightarrow f (x) = x^{2} - 2019$ ta có (1) đúng với mọi $x \in ℝ$ .

Do đó $f (x) < 7 \Leftrightarrow x^{2} - 2019 < 7 \Leftrightarrow x^{2} < 2026 \Leftrightarrow - \sqrt{2026} < x < \sqrt{2026}$ .

Vì x nguyên dương nên $x \in \{1; 2; 3; ...; 45\}$ .

Trong trường hợp này có 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.

TH2: Nếu thì ta có thể giả sử rằng tồn tại hàm số có đạo hàm xác định trên và thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Khi đó, tại ta có nên (mâu thuẫn).

Vậy có tất cả 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 50:

Xét số phức z có phần thực dương và ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, $\frac{1}{z}$ và $z + \frac{1}{z}$ . Biết tứ giác OABC là một hình bình hành, giá trị nhỏ nhất của ${|z + \frac{1}{z}|}^{2}$ bằng

A.

\sqrt{2}

B. 2

C.

2 \sqrt{2}

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $O A = |z|, A B = |\frac{1}{z} - z|, B C = |(z + \frac{1}{z}) - \frac{1}{z}| = |z|, O C = |z + \frac{1}{z}|$ .

Vì OABC là một hình bình hành nên $\{\begin{cases} O A = B C \\ A B = O C \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |z| = |z| \\ |\frac{1}{z} - z| = |z + \frac{1}{z}| \end{cases} \Leftrightarrow |\frac{1}{z} - z| = |z + \frac{1}{z}| \Leftrightarrow |\frac{1 - z^{2}}{z}| = |\frac{1 + z^{2}}{z}| \Leftrightarrow |1 - z^{2}| = |1 + z^{2}|$

Đặt $z = x + y i \Rightarrow z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 x y i$ vậy điều kiện trở thành: $|1 - z^{2}| = |1 + z^{2}| \Leftrightarrow |(x^{2} - y^{2} - 1) + 2 x y i| = |(x^{2} - y^{2} + 1) + 2 x y i|$

$\Leftrightarrow {(x^{2} - y^{2} - 1)}^{2} + 4 x^{2} y^{2} = {(x^{2} - y^{2} + 1)}^{2} + 4 x^{2} y^{2} \Leftrightarrow {(x^{2} - y^{2} - 1)}^{2} = {(x^{2} - y^{2} + 1)}^{2}$ .

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} - 1 = x^{2} - y^{2} + 1 \\ x^{2} - y^{2} - 1 = - (x^{2} - y^{2} + 1) \end{array} \Leftrightarrow x^{2} - y^{2} = 0 \Leftrightarrow y^{2} = x^{2}$ Khi đó ${|z + \frac{1}{z}|}^{2} = {|\frac{1 + z^{2}}{z}|}^{2} = {|\frac{(x^{2} - y^{2} + 1) + 2 x y i}{x + y i}|}^{2} = \frac{{(x^{2} - y^{2} + 1)}^{2} + 4 x^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

$= 2 x^{2} + \frac{1}{2 x^{2}} \geq 2 \sqrt{2 x^{2} . \frac{1}{2 x^{2}}} = 2$

Dấu bằng xảy ra tại $\{\begin{cases} 2 x^{2} = \frac{1}{2 x^{2}} \\ y^{2} = x^{2} \\ x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow (x; y) = (\frac{1}{\sqrt{2}}; - \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}})$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề)

Đề số 3

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan