50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 12

Câu 1:

Trong hình vẽ bên, điểm P biểu diễn số phức $z_{1}$ , điểm Q biểu diễn số phức $z_{2}$ . Tìm số phức $z = z_{1} + z_{2}$ .

Trong hình vẽ bên, điểm P biểu diễn số phức z1 , điểm Q biểu diễn số phức z2 . Tìm số phức z=z1+z2 . (ảnh 1)

A.

1 + 3 i

.

B.

- 3 + i

.

C.

- 1 + 2 i

.

D.

2 + i

.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $z_{1} = - 1 + 2 i$ ; $z_{2} = 2 + i \Rightarrow z_{1} + z_{2} = 1 + 3 i$ .

Câu 2:

Giả sử f(x) và g(x) là các hàm số bất kỳ liên tục trên R và a, b, c là các số thực. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

\int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{a} f (x) d x = 0

.

B.

\int_{a}^{b} c f (x) d x = c \int_{a}^{b} f (x) d x

.

C.

\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x . \int_{a}^{b} g (x) d x

.

D.

\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x

.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x \neq \int_{a}^{b} f (x) d x . \int_{a}^{b} g (x) d x$ nên đáp án C sai.

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) có tập xác định và bảng biến thiên như hình vẽ

Cho hàm số f(x) có tập xác định và bảng biến thiên như hình vẽ (ảnh 1)

Mệnh đề nào sau đây sai về hàm số đã cho?

A. Giá trị cực đại bằng 2.

B. Hàm số có 2 điểm cực tiểu.

C. Giá trị cực tiểu bằng –1.

D. Hàm số có 2 điểm cực đại.

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số chỉ có 1 điểm cực tiểu là $(0; - 1)$ nên đáp án B sai.

Câu 4:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = - 1$ , $u_{4} = 4$ . Số hạng $u_{6}$ là

A. 8.

B. 6.

C. 10.

D. 12.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

\{\begin{cases} u_{1} = - 2 \\ u_{4} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = - 2 \\ u_{1} + 3 d = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = - 2 \\ d = 2 \end{cases} \Rightarrow u_{6} = u_{1} + 5 d = 8

.

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ vuông góc với mặt phẳng $(α)$ : $x + 2 z + 3 = 0$ . Một vectơ chỉ phương của $Δ$ là

A.

\vec{b} = (2; - 1; 0)

.

B.

\vec{v} = (1; 2; 3)

.

C.

\vec{a} = (1; 0; 2)

.

D.

\vec{u} = (2; 0; - 1)

.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\vec{u_{Δ}} = \vec{u_{α}} = (1; 0; 2)$ .

Câu 6:

Tính đạo hàm của hàm số

y = {(3 x)}^{e} + \log_{2} \frac{1}{x}

.

A.

y^{'} = e {(3 x)}^{e - 1} - \frac{1}{x \ln 2}

.

B.

y^{'} = 3 e {(3 x)}^{e - 1} - \frac{1}{x}

.

C.

y^{'} = {(3 x)}^{e} \ln (3 x) - \frac{1}{x \ln 2}

.

D.

y^{'} = 3 e {(3 x)}^{e - 1} - \frac{1}{x \ln 2}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y = 3^{e} . x^{e} - \log_{2} x \Rightarrow y^{'} = 3^{e} . e . x^{e - 1} - \frac{1}{x \ln 2} = 3 e {(3 x)}^{e - 1} - \frac{1}{x \ln 2}$ .

Câu 7:

Tất cả các nguyên hàm của hàm số

f (x) = \sin 5 x

là

A.

\frac{1}{5} \cos 5 x + C

.

B.

\cos 5 x + C

.

C.

- \cos 5 x + C

.

D.

- \frac{1}{5} \cos 5 x + C

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} \sin 5 x d x = - \frac{1}{5} \cos 5 x + C$ .

Câu 8:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây? (ảnh 1)

A.

(2; 4)

.

B.

(0; 3)

.

C.

(2; 3)

.

D. $(- 1; 4)$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số đã cho đồng biến trên $(1; 3)$ nên cũng đồng biến trên $(2; 3)$ .

Câu 9:

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? (ảnh 1)

A.

y = x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 1

.

B.

y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1

.

C.

y = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x - 1

.

D.

y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 1

.

Xem đáp án

Đáp án D

Dựa vào hệ số a>0 ta loại được đáp án C. Đồ thị cắt trục tung tại y=-1 nên loại B.

Từ đồ thị ta thấy hàm số có hai điểm cực trị $x_{1} = 1$ ; $x_{2} = 3 \Rightarrow x_{1} + x_{2} = 4$ ; $x_{1} . x_{2} = 3$ .

Câu 10:

Giả sử $[0; 1]$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $a^{2} b^{3} = 4^{4}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

2 \log_{2} a - 3 \log_{2} b = 8

.

B.

2 \log_{2} a + 3 \log_{2} b = 8

.

C.

2 \log_{2} a + 3 \log_{2} b = 4

.

D.

2 \log_{2} a - 3 \log_{2} b = 4

.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $a^{2} b^{3} = 4^{4} \Leftrightarrow a^{2} b^{3} = 2^{8} \Leftrightarrow \log_{2} (a^{2} b^{3}) = \log_{2} 2^{8} \Leftrightarrow 2 \log_{2} a + 3 \log_{2} b = 8$ .

Câu 11:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz?

A.

(α) : z = 0

.

B.

(P) : x + y = 0

.

C.

(Q) : x + 11 y + 1 = 0

.

D.

(β) : z = 1

.

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt phẳng song song với trục Oz là (Q): $x + 11 y + 1 = 0$ .

Đường thẳng Oz nằm trong mặt phẳng (P): x+y=0 nên đáp án B không đúng.

Câu 12:

Nghiệm của phương trình

2^{x - 3} = \frac{1}{2}

là

A. 0.

B. 2.

C. –1.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $2^{x - 3} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x - 3 = - 1 \Leftrightarrow x = 2$ .

Câu 13:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Số tập con có 4 phần tử của tập 6 phần tử là

C_{6}^{4}

.

B. Số cách xếp 4 quyển sách vào 4 trong 6 vị trí ở trên giá là

A_{6}^{4}

.

C. Số cách chọn và xếp thứ tự 4 học sinh từ nhóm 6 học sinh là

C_{6}^{4}

.

D. Số cách xếp 4 quyển sách trong 6 quyển sách vào 4 vị trí trên giá là

A_{6}^{4}

.

Xem đáp án

Đáp án C

Số cách chọn và xếp thứ tự 4 học sinh từ nhóm 6 học sinh là

A_{6}^{4}

nên đáp án C sai

Câu 14:

Cho F(x) là nguyên hàm của

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x + 2}}

thỏa mãn

F (2) = 4

. Giá trị

F (- 1)

bằng

A.

\sqrt{3}

.

B. 1.

C.

2 \sqrt{3}

.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\int_{- 1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x + 2}} d x = F (2) - F (- 1) \Leftrightarrow F (2) - F (- 1) = 2 \Leftrightarrow F (- 1) = F (2) - 2 = 2$ .

Câu 15:

Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình $2^{x} < 3 - \frac{2}{2^{x}}$ là khoảng (a;b). Giá trị a+b bằng

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $2^{x} < 3 - \frac{2}{2^{x}} \Leftrightarrow {(2^{x})}^{2} - {3.2}^{x} + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < 2^{x} < 2 \Leftrightarrow 0 < x < 1$

Do đó suy ra a=0, $b = 1 \Rightarrow a + b = 1$ .

Câu 16:

Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 2 x} + x}{x - 1}$ bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án C

Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là $y = 2$ và $y = 0$ , không có TCĐ.

Câu 17:

Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ cắt mặt phẳng (P) $2 x - 3 y + z - 2 = 0$ tại điểm $I (a; b; c)$ . Khi đó $a + b + c$ bằng

A. 9.

B. 5.

C. 3.

D. 7.

Xem đáp án

Đáp án D

$I (1 + 2 t; 3 - t; 1 + t)$ mà $I \in (P) \Rightarrow 2 (1 + 2 t) - 3 (3 - t) + (1 + t) - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I (3; 2; 2)$ .

Do đó $a + b + c = 7$ .

Câu 18:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x + 1) {(x - 2)}^{2}$ với mọi $x \in ℝ$ . Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $[- 1; 2]$ là

A.

f (- 1)

.

B.

f (0)

.

C.

f (3)

.

D.

f (2)

.

Xem đáp án

Đáp án B

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $f (0)$ .

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ : $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(α)$ : $x - y + 2 z = 0$ . Góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng $(α)$ bằng

A. 30°.

B. 60°.

C. 150°.

D. 120°.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

\{\begin{cases} \vec{u_{Δ}} = (1; 2; - 1) \\ \vec{n_{(α)}} = (1; - 1; 2) \end{cases} \to \sin (Δ; (α)) = \frac{|\vec{u_{Δ}} . \vec{n_{(α)}}|}{|\vec{u_{Δ}}| |\vec{n_{(α)}}|} = \frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{1}{2} \Rightarrow (Δ; (α)) = 30 °

.

Câu 20:

Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0 và x=4, biết rằng khi cắt bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $(0 < x < 4)$ thì được thiết diện là nửa hình tròn có bán kính $R = x \sqrt{4 - x}$ .

A.

V = \frac{64}{3}

.

B.

V = \frac{32}{3}

.

C.

V = \frac{64 π}{3}

.

D.

V = \frac{32 π}{3}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $V = \int_{0}^{4} \frac{1}{2} π {(x \sqrt{4 - x})}^{2} d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{4} (4 x^{2} - x^{3}) = \frac{π}{2} (\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}) |\begin{array}{l} 4 \\ 0 \end{array} = \frac{32}{3} π$ .

Câu 21:

Cho số thực a>2, gọi $z_{1}$ , $z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 2 z + a = 0$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

z_{1} + z_{2}

là số thực.

B.

z_{1} - z_{2}

là số ảo

C.

\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}}

là số ảo

D.

\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}}

là số thực

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{{(z_{1} + z_{2})}^{2} - 2 z_{1} z_{2}}{z_{1} z_{2}} = \frac{2^{2} - 2 a}{a} = \frac{4 - 2 a}{a}

;

z_{1} + z_{2} = 2

là số thực khác 0

Câu 22:

Cho các số thực a, b thỏa mãn $1 < a < b$ và $\log_{a} b + \log_{b} a^{2} = 3$ . Tính giá trị của biểu thức $T = \log_{a b} \frac{a^{2} + b}{2}$ .

A.

\frac{1}{6}

.

B.

\frac{3}{2}

.

C. 6.

D.

\frac{2}{3}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\log_{a} b + 2 \log_{b} a = 3$

Đặt $t = \log_{a} b > 1 \to t + \frac{2}{t} = 3 \Leftrightarrow t^{2} - 3 t + 2 = 0 \Rightarrow t = 2$

$\Rightarrow \log_{a} b = 2 \Rightarrow b = a^{2} \Rightarrow T = \log_{a^{3}} a^{2} = \frac{2}{3}$ .

Câu 23:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - \frac{1}{3} x + 1$ và trục hoành như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây sai?

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x)=1/3 x^3-x^2-1/3x+1 và trục hoành như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây sai? (ảnh 1)

A.

S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{3} f (x) d x

.

B.

S = 2 \int_{1}^{3} f (x) d x

.

C.

S = 2 \int_{- 1}^{1} f (x) d x

.

D.

S = \int_{- 1}^{3} |f (x)| d x

.

Xem đáp án

Đáp án B

Từ hình vẽ dễ thấy đáp án A, D đúng.

Đáp án B sai do kết quả của tích phân $\int_{1}^{3} f (x) d x < 0$ mà diện tích không thể âm.

Câu 24:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(1;2;-3) và tiếp xúc với trục Oy có bán kính bằng

A.

\sqrt{10}

B. 2.

C.

\sqrt{5}

.

D.

\sqrt{13}

.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

R = d (I; O y) = |y_{1}| = 2

.

Câu 25:

Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng 2, đường cao bằng 1. Tìm đường kính của mặt cầu chứa điểm S và chứa đường tròn đáy hình nón đã cho.

A. 4.

B. 2.

C. 1.

D.

2 \sqrt{3}

.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có tâm I của mặt cầu chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.

$S_{S A B} = \frac{1}{2} S O . A B = \frac{S A . S B . A B}{4 R} \Rightarrow R = \frac{S A^{2}}{2 S O} = \frac{2^{2}}{2.1} = 2$

Câu 26:

Cắt mặt xung quanh của một hình trụ dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng ta được hình vuông có chu vi bằng

8 π

. Thể tích của khối trụ đã cho bằng

A.

2 π^{2}

.

B.

2 π^{3}

.

C.

4 π

.

D.

4 π^{2}

.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có chiều cao $h = \frac{8 π}{4} = 2 π$

Bán kính đáy $r = \frac{h}{2 π} = 1 \Rightarrow V = π r^{2} h = 2 π^{2}$

Câu 27:

Cho các số phức

z_{1}

,

z_{2}

thỏa mãn

|z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{3}

và

|z_{1} - z_{2}| = 2

. Môđun

|z_{1} + z_{2}|

bằng

A. 2

B. 3

C.

\sqrt{2}

D. $2 \sqrt{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Áp dụng công thức đặc biệt: ${|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})$

Thay số dễ dàng được đáp án đúng là D.

Câu 28:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A = \frac{\sqrt{2} a}{2}$ , tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A.

V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{12}

.

B.

V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{3}

.

C.

V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{4}

.

D.

V = \frac{\sqrt{6} a^{3}}{6}

.

Xem đáp án

Đáp án A

Kẻ $S H ⊥ A C \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

$S C = \sqrt{A C^{2} - S A^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = a \sqrt{\frac{3}{2}} \Rightarrow S H = \frac{S A . S C}{A C} = \frac{\frac{a}{\sqrt{2}} . a \sqrt{\frac{3}{2}}}{a \sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{4}$

$\Rightarrow V = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{4} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $M (1; 2; 3)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (2; 4; 6)$ . Phương trình nào sau đây không phải là của đường thắng ?

A.

\{\begin{cases} x = - 5 - 2 t \\ y = - 10 - 4 t \\ z = - 15 - 6 t \end{cases}

.

B.

\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 4 + 2 t \\ z = 6 + 3 t \end{cases}

.

C.

\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + 4 t \\ z = 3 + 6 t \end{cases}

.

D.

\{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 6 + 4 t \\ z = 12 + 6 t \end{cases}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Cả 4 đáp án đều thỏa mãn về vectơ chỉ phuơng, ta xét điểm đi qua.

Thay tọa độ $(- 5; 10; - 15)$ , $(2; 4; 6)$ , $(1; 2; 3)$ , $(3; 6; 12)$ vào phương trình $Δ$ : $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{6}$ thì ta thấy $(3; 6; 12)$ không thỏa mãn.

Câu 30:

Đạo hàm của hàm số là

f (x) = \frac{\log_{2} x}{x}

.

A.

f^{'} (x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}

.

B.

f^{'} (x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2} \ln 2}

.

C.

f^{'} (x) = \frac{1 - \log_{2} x}{x^{2} \ln 2}

.

D.

f^{'} (x) = \frac{1 - \log_{2} x}{x^{2}}

.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $f^{'} (x) = \frac{\frac{1}{x \ln 2} x - \log_{2} x}{x^{2}} = \frac{1 - \ln 2. \log_{2} x}{x^{2} \ln 2} = \frac{1 - \ln x}{x^{2} \ln 2}$ .

Câu 31:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Hàm số $y^{'} = f^{'} (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số $g (x) = f (x) - x$ có bao nhiêu điếm cực trị?

Cho hàm số y=f(x) . Hàm số y'=f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số g(x)=f(x)-x có bao nhiêu điếm cực trị? (ảnh 1)

A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $g^{'} (x) = f^{'} (x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = a > 1 \end{array}$

Xét bảng sau:

Hàm số đạt cực trị tại $x = a$ .

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Hàm số $y = \log_{x} (f (2 x))$ đồng biến trên khoảng

Cho hàm số y=f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Hàm số y=logx (f(2x)) đồng biến trên khoảng (ảnh 1)

A.

(1; 2)

.

B.

(- \infty; - 1)

.

C.

(- 1; 0)

.

D.

(- 1; 1)

.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y = \log_{2} (f (2 x)) \Rightarrow y^{'} = \frac{{[f (2 x)]}^{'}}{f (2 x) \ln 2} = \frac{2. f^{'} (2 x)}{f (2 x) \ln 2}$

Do $f (2 x) > 0 (\forall x \in ℝ) \Rightarrow y^{'} > 0 \Leftrightarrow f^{'} (2 x) > 0$

Dựa vào bảng biến thiên suy ra $f^{'} (2 x) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 1 < 2 x < 1 \\ 2 x > 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \\ x > 1 \end{array}$ .

Suy ra hàm số $y = \log_{2} (f (2 x))$ đồng biến trên khoảng $(1; 2)$ .

Câu 33:

Gọi S là tập hợp các số nguyên m sao cho tồn tại 2 số phức phân biệt

z_{1}

,

z_{2}

thỏa mãn đồng thời các phương trình |z-1|=|z-i| và |z+2m|=m+1 . Tổng các phần tử của S là

A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ .

Ta có $|a + b i - 1| = |a + b i - i| \Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} + b^{2} = a^{2} + {(b - 1)}^{2} \Leftrightarrow a = b \Rightarrow z = a + a i$

Lại có: $|z + 2 m| = m + 1 \Leftrightarrow |a + a i + 2 m| = m + 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \geq - 1 \\ {(a + 2 m)}^{2} + a^{2} = {(m + 1)}^{2} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} m \geq - 1 \\ 2 a^{2} + 4 m a + 3 m^{2} - 2 m - 1 = 0 \end{cases}$ .

Để tồn tại 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ${Δ^{'}}_{m} = 4 m^{2} - 2 (3 m^{2} - 2 m - 1) > 0$

$\Leftrightarrow - 2 m^{2} + 4 m + 2 > 0 \Leftrightarrow 1 - \sqrt{2} < m < 1 + \sqrt{2}$

Kết hợp $\{\begin{cases} m \geq - 1 \\ m \in ℤ \end{cases} \Rightarrow m = \{0; 1; 2\} \Rightarrow S = \{0; 1; 2\} \Rightarrow T = 3$

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a , AD=2a ,

S A ⊥ (A B C D)

, SA=a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng S.ABC.

A.

\frac{a \sqrt{6}}{6}

B.

\frac{a \sqrt{6}}{2}

.

C.

\frac{a \sqrt{6}}{3}

.

D.

\frac{a \sqrt{3}}{3}

.

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi I là trung điểm của AD ABCI là hình vuông cạnh a

$\Rightarrow Δ A C I$ có đường trung tuyến $C I = \frac{A D}{2} \Rightarrow Δ A C D$ vuông tại C $\Rightarrow A C ⊥ C D$

Dựng $D x // A C$

$d (A C; S D) = d (A C; (S D x)) = d (A; (S D x))$

Dựng $A E ⊥ D x$ , $A F ⊥ S E \Rightarrow d (A; (S D x)) = A F$

Ta có: $A E = C D = \sqrt{C I^{2} + I D^{2}} = a \sqrt{2}$

Suy ra $A F = \frac{S A . S E}{\sqrt{S A^{2} + A E^{2}}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Câu 35:

Người ta sản xuất một vật lưu niệm (N) bằng thủy tinh trong suốt có dạng khối tròn xoay mà thiết kế qua trục của nó là một hình thang cân (xem hình vẽ). Bên trong (N) có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính lần lượt là $R = 3 cm$ , $r = 1 cm$ tiếp xúc với nhau và cùng tiếp xúc với mặt xung quanh của (N), đồng thời hai khối cầu lần lượt tiếp xúc với hai mặt đáy của (N). Tính thể tích của vật lưu niệm đó

Người ta sản xuất một vật lưu niệm (N) bằng thủy tinh trong suốt có dạng khối tròn xoay mà thiết kế qua trục của nó là một hình thang cân (xem hình vẽ). Bên trong (N) có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính lần lượt là (ảnh 1)

A.

\frac{485 π}{6} (c m^{3})

.

B.

81 π (c m^{3})

.

C.

72 π (c m^{3})

.

D.

\frac{728}{9} π (c m^{3})

.

Xem đáp án

Đáp án D

Giả sử thiết diện là hình thang ABPQ

Gọi I, K lần lượt là tâm của đường tròn nhỏ và to.

Gọi M, N là hình chiếu của I, K lên một cạnh bên, điểm $E = I K \cap M N$ (hình vẽ) trong đó $I K = r + R = 4 c m$ .

Ta có: $\frac{E I}{E K} = \frac{I M}{K N} = \frac{r}{R} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{E I}{E I + I K} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{E I}{E I + 4} = \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow E I = 2 \Rightarrow \sin \hat{I E M} = \frac{I M}{E I} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{I E M} = 30 °$

Suy ra $\hat{E B O} = 60 ° \Rightarrow \hat{K B O} = 30 ° \Rightarrow O B = K O \cot 30 ° = 3 \sqrt{3}$

Mặt khác , $E H = I E - I H = 2 - 1 = 1 c m$

Thể tích của vật thể cần tìm là:

V = \frac{1}{3} π O B^{2} . E O - \frac{1}{3} π H P^{2} . E H = \frac{728 π}{9}

Câu 36:

Cho hàm số f(x) liên tục trên có f(0)=0 và đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên. Hàm số

y = |3 f (x) - x^{3}|

đồng biến trên khoảng

A.

(2; + \infty)

.

B.

(- \infty; 2)

.

C.

(0; 2)

.

D.

(1; 3)

.

Xem đáp án

Đáp án C

Xét hàm số $y = g (x) = 3 f (x) - x^{3}$

Vẽ đồ thị hàm số $y = x^{2}$ ta thấy $f^{'} (x) \geq x^{2}$ , $\forall x \in (0; 2) \Rightarrow g^{'} (x) = 3 f^{'} (x) - 3 x^{2} \geq 0$ ,

Do đó hàm số $y = g (x)$ đồng biến trên khoảng (0;2) và $g (0) = 3 f (0) - 0 = g (0)$

$\Rightarrow g (x) \geq g (0) = 0 (\forall x \in (0; 2))$

Do đó $y = |g (x)| = g (x)$ , $\forall x \in (0; 2) \Rightarrow g (x)$ đồng biến trên khoảng $(0; 2)$ .

Câu 37:

Cho số thực m và hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình $f (2^{x} + 2^{- x}) = m$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[- 1; 2]$ ?

Cho số thực m và hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình f(2^x+2^-x) có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn ? (ảnh 1)

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = 2^{x} + 2^{- x} \Rightarrow t^{'} = 2^{x} \ln 2 - 2^{- x} \ln 2 = 0 \Rightarrow 2^{x} = 2^{- x} \Rightarrow x = 0$

Mặt khác $t (- 1) = \frac{5}{2}$ , $t (0) = 2$ , $t (2) = \frac{17}{4}$ .

Từ bảng biến thiên ta có nhận xét:

Với $[\begin{array}{l} t = 2 \\ \frac{5}{2} < t < \frac{17}{4} \end{array}$ thì 1 giá trị của t có một giá trị của x, với $t \in (2; \frac{5}{2}] \Rightarrow$ 1 giá trị của t có 2 giá trị của x.

Với $t \in (2; \frac{17}{4}] \Rightarrow$ Phương trình f(t)=m có nhiều nhất 2 nghiệm.

Khi đó phương trình đã cho có nhiều nhất 3 nghiệm khi phương trình f(t)=m có 2 nghiệm $t_{1} \in (2; \frac{5}{2}]$ và 1 nghiệm $t_{2} \in (\frac{5}{2}; \frac{17}{4}]$

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;0;1) , B(-2;2;0) , (2;-2;3) . Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau?

A.

P (- 1; 2; - 2)

.

B.

M (- 1; 3; 4)

.

C.

(0; 3; - 2)

.

D.

(- 5; 3; 3)

.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\vec{A C} = (2; - 2; 2) = 2 (1; - 1; 1) \Rightarrow$ Phương trình đường thẳng AC: $\{\begin{cases} x = t \\ y = - t \\ z = 1 + t \end{cases}$

Gọi $H (t; - t; 1 + t) \in A C$ là chân đường cao hạ từ B xuống AC

Ta có $\vec{B H} = (t + 3; - t - 2; t + 1)$ và $\vec{B H} . \vec{u_{A C}} = 0 \Leftrightarrow t + 3 + t + 2 + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 2$

Suy ra $\vec{B H} = (1; 0; - 1) \Rightarrow \vec{B H} : \{\begin{cases} x = - 3 + t \\ y = 2 \\ z = - t \end{cases} \Rightarrow P (- 1; 2; - 2) \in B H$ .

Câu 39:

Trong Lễ tổng kết Tháng thanh niên, có 10 đoàn viên xuất sắc gồm 5 nam và 5 nữ được tuyên dương khen thưởng. Các đoàn viên này được sắp xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang trên sân khấu để nhận giấy khen. Tính xác suất để trong hàng ngang trên không có bất kì 2 bạn nữ nào đứng cạnh nhau

A.

\frac{1}{7}

B.

\frac{1}{42}

.

C.

\frac{5}{252}

.

D.

\frac{25}{252}

.

Xem đáp án

Đáp án B

Xếp 10 học sinh thành 1 hàng ngang có: $|Ω| = 10!$ cách sắp xếp.

Gọi A là biến cố: “Hàng ngang không có 2 bạn nữ nào đứng cạnh nhau”

Sắp xếp 5 bạn nam thành 1 hàng có: 5! cách sắp xếp, khi đó có 6 vị trí để xếp 5 bạn nữ xen kẽ để không có hai bạn nữ đứng cạnh nhau (6 vị trí bao gồm 2 vị trí đầu, cuối và 4 vị trí giữa 2 bạn nam)

Do đó $|Ω_{A}| = 5! . A_{6}^{5} = 86400$ cách.

Xác suất cần tìm là: $P = \frac{|Ω_{A}|}{|Ω|} = \frac{1}{42}$ .

Câu 40:

Giả sử m là số thực thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số

f (x) = 31^{x} + 3^{x} + m x

trên R là 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

m \in (- 10; - 5)

.

B.

m \in (- 5; 0)

.

C.

m \in (0; 5)

.

D.

m \in (5; 10)

.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $f^{'} (x) = 31^{x} \ln 31 + 3^{x} \ln 3 + m$ .

TH1: Với $m \geq 0 \Rightarrow f^{'} (x) > 0$ , $\forall x \in ℝ$ ; suy ra hàm số đồng biến trên Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

TH2: Với m<0 thì phương trình $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 31^{x} \ln 31 + 3^{x} \ln 3 = - m$ .

Do hàm số $y = 31^{x} \ln 31 + 3^{x} \ln 3$ đồng biến trên R Phương trình $f^{'} (x) = - m f^{'} (x) = - m$ có nghiệm duy nhất x=a. Do m<0 thì $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ , $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .

ta có bảng biến thiên

Suy ra $\min_{ℝ} f (x) = f (a) = 2$ , mặt khác $f (0) = 2 \Rightarrow a = 0$ .

Do đó $- m = 31 ° . \ln 31 + 3 ° . \ln 3 \Leftrightarrow m = - \ln 31 - \ln 3 \approx - 4,49$ .

Câu 41:

Cho hàm số $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + m$ (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn $[- 20; 20]$ sao cho $\max_{[0; 2]} |f (x)| < 3 \min_{[0; 2]} |f (x)|$ . Tổng các phân tử của S bằng

A. 63.

B. 51.

C. 195

D. 23.

Xem đáp án

Đáp án A

Xét hàm số $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + m$ trên đoạn $[0; 2]$

Ta có: $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 4 x$ ; $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}$ .

Ta lại có: $f (1) = m - 1$ ; $f (2) = m + 8$ ; $f (0) = m$ .

$\max_{[0; 2]} f (x) = m + 8$ ; $\min_{[0; 2]} f (x) = m - 1$ .

- Nếu $m - 1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq 1$ thì $\max_{[0; 2]} |f (x)| = m + 8$ ; $\min_{[0; 2]} |f (x)| = m - 1$ .

Khi đó $\max_{[0; 2]} |f (x)| < 3 \min_{[0; 2]} |f (x)| \Leftrightarrow 8 + m < 3 (m - 1) \Leftrightarrow m > \frac{11}{2}$ .

- Nếu $m + 8 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 8$ thì $\max_{[0; 2]} |f (x)| = 1 - m$ ; $\min_{[0; 2]} |f (x)| = - m - 8$ .

Khi đó $\max_{[0; 2]} |f (x)| < 3 \min_{[0; 2]} |f (x)| \Leftrightarrow 1 - m < 3 (- m - 8) \Leftrightarrow m < - \frac{25}{2}$

- Nếu $(m - 1) (m + 8) < 0 \Leftrightarrow - 8 < m < 1$ thì $\max_{[0; 2]} |f (x)| = \max \{|m + 8|, |1 - m|\} = \max \{m + 8,1 - m\}$ ; $\min_{[0; 2]} |f (x)| = 0$ .

Khi đó, không thỏa mãn điều kiện $\max_{[0; 2]} |f (x)| < 3 \min_{[0; 2]} |f (x)|$

Do đó: $[\begin{array}{l} m < - \frac{25}{2} \\ m > \frac{11}{2} \end{array}$ kết hợp với $m \in [- 20; 20]$ ta có $m \in [- 20; - \frac{25}{2}) \cup (\frac{11}{2}; 20]$

Mà $m \in ℤ \Rightarrow S = \{- 20; - 19; - 18; ...; - 13; 6; 7; ...; 20\}$ .

Tổng các phần tử của S bằng $6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 63$ .

Câu 42:

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm f'(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn f(1)=.f(0) và $\int_{0}^{1} \frac{d x}{f^{2} (x)} + \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x \leq 2$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

f (1) = \sqrt{\frac{2 e}{e - 1}}

.

B.

f (1) = \frac{2 (e - 2)}{e - 1}

.

C.

f (1) = \sqrt{\frac{2 e^{2}}{e^{2} - 1}}

.

D.

f (1) = \sqrt{\frac{2 (e - 2)}{e - 1}}

.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\int_{0}^{1} \frac{d x}{f^{2} (x)} + \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} [\frac{1}{f^{2} (x)} + {[f^{'} (x)]}^{2}] d x \overset{A M - G M}{\geq} 2 \int_{0}^{1} \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x$ $= 2 \ln |f (x)| |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = 2 \ln |f (1)| - 2 \ln |f (0)| = 2 \ln |\frac{f (1)}{f (0)}| = 2 \ln e = 2$ .

.

Mà $\int_{0}^{1} \frac{d x}{f^{2} (x)} + \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x \leq 2$ nên dấu “=” xảy ra, tức là $f^{'} (x) = \frac{1}{f (x)} \Leftrightarrow f (x) . f^{'} (x) = 1$ .

$\Rightarrow \int_{}^{} f (x) . f^{'} (x) d x = \int_{}^{} x d x \Rightarrow \frac{f^{2} (x)}{2} = x + C \Rightarrow f (x) = \sqrt{2 x + 2 C}$ Theo giả thiết $f (1) = e . f (0)$ nên ta có $\sqrt{2 + 2 C} = e \sqrt{2 C} \Leftrightarrow 2 + 2 C = e^{2} .2 C \Leftrightarrow C = \frac{1}{e^{2} - 1}$

$\Rightarrow f (x) = \sqrt{2 x + \frac{2}{e^{2} - 1}} \Rightarrow f (1) = \sqrt{2 + \frac{2}{e^{2} - 1}} = \sqrt{\frac{2 e^{2}}{e^{2} - 1}}$ .

Câu 43:

Một biển quảng cáo có dạng hình Elip với bốn đỉnh A1 , A2, A3, như hình vẽ bên. Người ta chia Elip bởi Parabol có đỉnh B1, trục đối xứng B1B2, và đi qua các điểm M, N. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/

m^{2}

và trang trí đèn Led phần còn lại với giá 500.000 đồng/

m^{2}

. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng

A_{1} A_{2} = 4 M

,

B_{1} B_{2} = 2 m

,

M N = 2 m

.

Một biển quảng cáo có dạng hình Elip với bốn đỉnh A1 , A2, A3, như hình vẽ bên. Người ta chia Elip bởi Parabol có đỉnh B1, trục đối xứng B1B2, và đi qua các điểm M, N (ảnh 1)

A. 2.341.000 đồng.

B. 2.057.000 đồng.

C. 2.760.000 đồng.

D. 1.664.000 đồng.

Xem đáp án

Đáp án A

Chọn hệ tọa độ Oxy, với O là trung điểm $A_{1} A_{2} \Rightarrow A_{1} (- 2; 0)$ , $A_{2} (2; 0)$

Phương trình $(E) \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ mà $M (- 1; y_{M})$ , $N (1; y_{N})$ thuộc $(E) \Rightarrow M (- 1; \frac{\sqrt{3}}{2})$ , $N (1; \frac{\sqrt{3}}{2})$

Gọi phương trình parabol (P) là $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$

Dựa vào hình vẽ, ta thấy (P) có đỉnh $B_{1} (0; - 1)$ và đi qua $M (- 1; \frac{\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow (P) : y = (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) x^{2} - 1$

Khi đó, diện tích phần tô đậm là $S_{1} = \int_{- 1}^{1} |\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} - (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) x^{2} + 1| d x \approx 2,67 m^{2}$ .

Diện tích của elip là $S_{2} = 2 π \Rightarrow$ Diện tích phần còn lại là $S_{3} = S_{2} - S_{1} \approx 3,61 m^{2}$

Vậy kinh phí sử dụng để trang trí là

200. S_{1} + 500. S_{2} \approx 2.339.000

đồng

Câu 44:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị m để phương trình

|f (\frac{3 x^{2} + 2 x + 3}{2 x^{2} + 2})| = m

có nghiệm

A.

- 4 \leq m \leq - 2

.

B.

m > - 4

.

C.

2 < m < 4

.

D.

2 \leq m \leq 4

.

Xem đáp án

Đáp án D

Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm $y = |f (x)|$ là

Đặt $t = \frac{3 x^{2} + 2 x + 3}{2 x^{2} + 2}$

Ta có $t^{'} = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(2 x^{2} + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array}$

Dựa vào bảng biến thiên ta có $x \in ℝ \Leftrightarrow t \in [1; 2]$

Vậy phương trình $|f (\frac{3 x^{2} + 2 x + 3}{2 x^{2} + 2})| = m$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $|f (t)| = m$ có nghiệm $t \in [1; 2] \Leftrightarrow 2 \leq m \leq 4$ .

Câu 45:

Cho hàm số y=f(x) . Hàm số y=f'(x) có bảng biến thiên

Bất phương trình $f (x) < 3 e^{x + 2} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in [- 2; 2]$ khi và chỉ khi

A.

m \geq f (- 2) - 3

.

B.

m > f (2) - 3 e^{4}

.

C.

m \geq f (2) - 3 e^{4}

.

D.

m > f (- 2) - 3

.

Xem đáp án

Đáp án D

Bài toán tương đương với: $m > f (x) - 3 e^{x + 2}$ , $\forall x \in [- 2; 2]$ .

Xét hàm số $g (x) = f (x) - 3 e^{x + 2}$ trên $[- 2; 2]$ .

Bài toán trở thành tìm m để $m > g (x)$ , $\forall x \in [- 2; 2] \Leftrightarrow m > \max_{[- 2; 2]} g (x)$ .

Ta có $g^{'} (x) = f^{'} (x) - 3 e^{x + 2}$ .

Nhận xét: $x \in (- 2; 2) \Rightarrow \{\begin{cases} 1 < f^{'} (x) < 3 \\ - 3 e^{4} < - 3 e^{x + 2} < - 3 \end{cases} \Rightarrow g^{'} (x) < 0$ .

Do đó ta có $\Leftrightarrow m > \max_{[- 2; 2]} g (x) = g (- 2) = f (- 2) - 3$ .

Vậy $m > f (- 2) - 3$ .

Câu 46:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại A, $\hat{A B C} = 30 °$ , $B C = 32$ , đường thẳng BC có phương trình $\frac{x - 4}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z + 7}{- 4}$ đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng $(α)$ : $x + z - 3 = 0$ . Biết đỉnh C có cao độ âm. Tính hoành độ của đỉnh A.

A.

\frac{3}{2}

.

B. 3.

C.

\frac{9}{2}

.

D.

\frac{5}{2}

.

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $B (b + 4; b + 5; - 4 b - 7)$ mà $B \in (α) \Rightarrow b + 4 - 4 b - 7 - 3 = 0 \Leftrightarrow b = - 2 \Rightarrow B (2; 3; 1)$ .

Gọi $C (c + 4; c + 5; - 4 c - 7) \Rightarrow \vec{B C} = (c + 2; c + 2; - 4 c - 8) \Rightarrow B C = \sqrt{18 {(c + 2)}^{2}}$

Mà $B C = 3 \sqrt{2} \Rightarrow {(c + 2)}^{2} = 1 \Rightarrow c = - 1 (V_{2} - V_{1}) \Rightarrow C (3; 4; - 3)$

Ta có $\cos \hat{A B C} = \frac{A B}{B C} \Rightarrow A B = B C . c o s \hat{A B C} = 3 \sqrt{2} . \cos 30 ° = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$ ; $A C = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Gọi $A (x; y; z) \Rightarrow \{\begin{cases} A \in (α) \\ A B = \frac{3 \sqrt{6}}{2} \\ A B = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x + z - 3 = 0 \\ {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = \frac{27}{2} \\ {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \frac{9}{2} \end{cases}$

Giải hệ, ta được $(x; y; z) = (\frac{9}{2}; 4; - \frac{3}{2})$ .

Vậy điểm A có hoành độ $x_{A} = \frac{9}{2}$ .

Câu 47:

Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn $e^{x - 4 y + \sqrt{1 - x^{2}}} - e^{y^{2} + \sqrt{1 - x^{2}}} - y = \frac{y^{2} - x}{4}$ giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x^{3} + 2 y^{2} - 2 x^{2} + 8 y - x + 2$ là $\frac{a}{b}$ với a, b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $S = a + b$ .

A. S=85

B. S=31

C. S=75

D. S=41

Xem đáp án

Đáp án A

Theo giả thiết ta có $- 1 \leq x \leq 1$ và có biến đổi

$4 e^{x - 4 y + \sqrt{1 + x^{2}}} - 4 e^{y^{2} + \sqrt{1 - x^{2}}} = y^{2} - (x - 4 y)$

$\Leftrightarrow x - 4 y + \sqrt{1 - x^{2}} + 4 e^{x - 4 y + \sqrt{1 + x^{2}}} = y^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} + 4 e^{y^{2} + \sqrt{1 - x^{2}}}$

$\Leftrightarrow f (x - 4 y + \sqrt{1 - x^{2}}) = f (y^{2} + \sqrt{1 - x^{2}})$

$\Leftrightarrow x - 4 y + \sqrt{1 - x^{2}} = y^{2} + \sqrt{1 - x^{2}} \Leftrightarrow x = y^{2} + 4 y$ Trong đó $f (t) = t + 4 e^{t}$ đồng biến trên R.

Do đó $P = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 + 2 (y^{2} + 4 y) = f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 2 \leq \max_{[- 1; 1]} f (x) = f (\frac{1}{3}) = \frac{58}{27}$ .

Vậy:

S = 58 + 27 = 85

.

Câu 48:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, , SAB là tam giác đều, $\hat{S A D} = 120 °$ . Tính thể tích của khối chóp SABCD.

A.

a^{3} \sqrt{3}

.

B.

\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{2}

.

C.

a^{3} \sqrt{6}

.

D.

\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}

.

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp

Ta có $A S = A B = A D \Rightarrow A H ⊥ (S B D) \Rightarrow V_{S . A B D} = \frac{1}{3} A H . S_{Δ S B D}$

Tam giác SBD có $S B = 2 a$ , $S D = 2 \sqrt{3} a$ , $B D = a \sqrt{13}$

Suy ra $S_{Δ S B D} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \frac{\sqrt{183} a^{2}}{4}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp $Δ S B D$ là: $R_{Δ S B D} = \frac{S B . S D . B D}{4 S_{Δ S B D}} = \frac{4 a \sqrt{793}}{61}$

Tam giác SAH có

Do đó thể tích khối chóp S.ABD là $V_{S . A B D} = \frac{1}{3} A H . S_{Δ S B D} = \frac{1}{3} . \frac{6 a \sqrt{61}}{61} . \frac{a^{2} \sqrt{183}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy thể tích khối chóp đã cho là $V_{S . A B C D} = 2 V_{S . A B D} \sqrt{3} a^{3}$ .

Câu 49:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ${9.3}^{2 x} - m (4 \sqrt[4]{x^{2} + 2 x + 1} + 3 m + 3) {.3}^{x} + 1 = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt?

A. Vô số.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình đã cho trở thành: ${9.3}^{2 x} - m [4 \sqrt{|x + 1|} + 3 (m + 1)] {.3}^{x} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {9.3}^{x} + \frac{1}{3^{x}} = m [4 \sqrt{|x + 1|} + 3 (m + 1)] \Leftrightarrow 3^{x + 2} + 3^{- x} = m [4 \sqrt{|x + 1|} + 3 (m + 1)]$

Nhận thấy $x_{0}$ là nghiệm của $(*)$ thì $- x_{0} - 2$ cũng là nghiệm

Do đó $x_{0} = - x_{0} - 2 \Leftrightarrow x_{0} = - 1$ là nghiệm của $(*) \to 6 = 3 m (m + 1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 2 \end{array}$

TH1: Với $m = 1$ , ta được ${9.3}^{x} + \frac{1}{3^{x}} = 4 \sqrt{x + 1} + 6 \Leftrightarrow {(3^{x + 1} - 1)}^{2} = {4.3}^{x} \sqrt{|x + 1|}$

Do đó phương trình có ba nghiệm x=-2;x=0 ; x=-1.

TH2: Với m=-2, ta được ${9.3}^{x} + \frac{1}{3^{x}} = - 8 \sqrt{x + 1} + 6 \Leftrightarrow {(3^{x + 1} - 1)}^{2} = {8.3}^{x} \sqrt{|x + 1|} = 0 \Leftrightarrow x = - 1$

Vậy m=1 là giá trị nguyên duy nhất thỏa mãn bài toán.

Câu 50:

Cho các số phức z và w thỏa mãn $(2 + i) |z| = \frac{z}{w} + 1 - i$ . Tìm giá trị lớn nhất của $T = |w + 1 - i|$ .

A.

\frac{4 \sqrt{2}}{3}

.

B.

\frac{\sqrt{2}}{3}

.

C.

\frac{2 \sqrt{2}}{3}

.

D.

\sqrt{2}

.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $(2 + i) |z| = \frac{z}{w} + 1 - i \Leftrightarrow 2 |z| + |z| i - 1 + i = \frac{z}{w} \Leftrightarrow 2 |z| - 1 + (|z| + 1) i = \frac{z}{w}$ (lấy môđun hai vế)

$\Leftrightarrow \sqrt{{(2 |z| - 1)}^{2} + {(|z| + 1)}^{2}} = \frac{|z|}{|w|} \Leftrightarrow {|w|}^{2} = \frac{{|z|}^{2}}{5 {|z|}^{2} - 2 |z| + 2} \overset{t = |z| > 0}{\to} {|w|}^{2} = f (t) = \frac{t^{2}}{5 t^{2} - 2 t + 2}$

Xét hàm số $f (t) = \frac{t^{2}}{5 t^{2} - 2 t + 2}$ trên $(0; + \infty) \to \max_{(0; + \infty)} f (t) = \frac{2}{9}$

Do đó ${|w|}^{2} \leq \frac{2}{9} \Leftrightarrow |w| \leq \frac{\sqrt{2}}{3}$

Lại có $T = |w + 1 - i| \leq |w| + |1 - i| \leq \frac{\sqrt{2}}{3} + \sqrt{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề)

Đề số 12

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan