50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 15

Câu 1:

Cho phương trình $z^{2} - m z + 2 m - 1 = 0$ trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = - 10$ là:

A.

m = 2 + 2 \sqrt{2} i .

B.

m = 2 \pm 2 \sqrt{2} i .

C.

m = - 2 - 2 \sqrt{2} i .

D.

m = 2 - 2 \sqrt{2} i .

Xem đáp án

Câu 1: Đáp án B

Áp dụng định lý Vi-ét cho phương trình $z^{2} - m z + 2 m - 1 = 0$ trong tập số phức ta có:

${\begin{cases} z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a} = m \\ z_{1} z_{2} = \frac{c}{a} = 2 m - 1 \end{cases}$

Khi đó: $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = - 10 \Leftrightarrow {(z_{1} + z_{2})}^{2} - 2 z_{1} z_{2} = - 10$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2 (2 m - 1) = - 10 \Leftrightarrow m^{2} - 4 m + 12 = 0 \Leftrightarrow m = 2 \pm 2 \sqrt{2} i .$

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 3}{3}$ và $d_{2} : \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{6} .$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

d_{1}

cắt

d_{2} .

B.

d_{1}

trùng

d_{2} .

C.

d_{1}

//

d_{2} .

D.

d_{1}

chéo

d_{2} .

Xem đáp án

Đáp án C

Đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 3}{3}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; 2; 3)$ và đi qua $M_{1} (1; 0; 3)$

Đường thẳng $d_{2} : \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 2}{6}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (2; 4; 6)$ và đi qua $M_{2} (0; 1; 2)$

Nhận thấy $\vec{u_{2}} = 2 \vec{u_{1}}$ nên $\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}$ cùng phương. Lại có, thay tọa độ $M_{2} (0; 1; 2)$ $d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 3}{3}$ ta được $\frac{0 - 1}{1} = \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{3} \Leftrightarrow - 1 = \frac{1}{2} = - \frac{1}{3}$

(vô lý) nên $M_{2} \notin d_{1} .$

Vậy $d_{1} / / d_{2} .$

Câu 3:

Đồ thị hàm số

y = \frac{2 x - 3}{x - 1}

có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:

A.

x = 1

và

y = - 3.

B.

x = - 1

và

y = 2.

C.

x = 2

và

y = 1.

D.

x = 1

và

y = 2.

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ có đường TCĐ: $x = 1$ và đường TCN: $y = 2.$

Câu 4:

Một người gửi số tiền 2 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,65%/tháng. Biết rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Số tiền người đó lãnh được sau hai năm, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi là:

A.

{(1,0065)}^{24}

triệu đồng.

B.

2. {(1,0065)}^{24}

triệu đồng.

C.

{(2,0065)}^{24}

triệu đồng.

D.

2. {(2,0065)}^{24}

triệu đồng.

Xem đáp án

Đáp án B

Số tiền sau 2 năm (24 tháng) người đó nhận được là $M = 2 {(1 + 0,65 %)}^{24} = 2. {(1,0065)}^{24}$ triệu đồng.

Câu 5:

Phát biểu nào sau đây là đúng

A. Hình tứ diện đều có: 6 đỉnh, 6 cạnh, 4 mặt.

B. Hình tứ diện đều có: 4 đỉnh, 4 cạnh, 4 mặt.

C. Hình tứ diện đều có: 6 đỉnh, 4 cạnh, 4 mặt.

D. Hình tứ diện đều có: 4 đỉnh, 6 cạnh, 4 mặt.

Xem đáp án

Đáp án D

Hình tứ diện đều có 4 mặt, 4 đỉnh và 6 cạnh.

Câu 6:

Cho số thực a thỏa mãn

\int_{- 1}^{a} e^{x + 1} d x = e^{2} - 1 .

Số thực a là

A.

- 1.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\int_{- 1}^{a} e^{x + 1} d x = e^{x + 1} |_{\begin{array}{l} - 1 \end{array}}^{\begin{array}{l} a \end{array}} = e^{a + 1} - e^{- 1 + 1} = e^{a + 1} - 1.$

Theo đề bài $\int_{- 1}^{a} e^{x + 1} d x = e^{2} - 1$ nên $e^{a + 1} - 1 = e^{2} - 1 \Leftrightarrow a + 1 = 2 \Leftrightarrow a = 1.$

Câu 7:

Cho số phức z thỏa mãn $3 z + 2 \bar{z} = {(4 - i)}^{2} .$ Môđun của số phức z là

A. -73

B.

- \sqrt{73} .

C. 73

D.

\sqrt{73} .

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $z = a + b i (a, b \in ℝ) \Rightarrow \bar{z} = a - b i .$

Ta có: $3 z + 2 \bar{z} = {(4 - i)}^{2} \Leftrightarrow 3 (a + b i) + 2 (a - b i) = 16 - 8 i + i^{2}$

$\Leftrightarrow 5 a + b i = 15 - 8 i \Leftrightarrow {\begin{cases} 5 a = 15 \\ b = - 8 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 3 \\ b = - 8 \end{cases} \Rightarrow z = 3 - 8 i$

Vậy $| z | = \sqrt{3^{2} + 8^{2}} = \sqrt{73} .$

Câu 8:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại

x = 0

và cực tiểu tại

x = - 2.

B. Hàm số đạt cực đại tại

x = 2

và cực tiểu tại

x = 0.

C. Hàm số đạt cực đại tại

x = - 2

và cực tiểu tại

x = 0.

D. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và cực đại tại $x = 0.$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Lại có ${y^{'}}^{'} = 6 x - 6$ , suy ra ${y^{'}}^{'} (0) = 6.0 - 6 = - 6 < 0$ và ${y^{'}}^{'} (2) = 6.2 - 6 = 6 > 0$

Nên x=0 là điểm cực đại của hàm số và x=2 là điểm cực tiểu của hàm số.

Câu 9:

Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ có cực đại mà không có cực tiểu?

A.

y = \frac{x - 2}{x + 1} .

B.

y = - 17 x^{3} + 2 x^{2} + x + 5.

C.

y = \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1} .

D.

y = - 10 x^{4} - 5 x^{2} + 7.

Xem đáp án

Đáp án D

Đáp án A: Hàm phân thức không có cực trị nên loại A.

Đáp án B: Hàm bậc ba nếu có cực đại thì chắc chắn có cực tiểu nên loại B.

Do đó ta chỉ xét các hàm số ở mỗi đáp án C và D.

Đáp án D: $y^{'} = - 40 x^{3} - 10 x = - 10 x (4 x^{2} + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Ngoài ra đổi dấu từ dương sang âm qua x=0 nên x=0 là điểm cực đại của hàm số, hàm số không có cực tiểu.

Câu 10:

Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC vuông góc từng đôi một và $O A = a; O B = 2 a; O C = 3 a .$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC. Thể tích của khối tứ diện OCMN theo a bằng.

A.

\frac{a^{3}}{4} .

B.

a^{3} .

C.

\frac{3 a^{3}}{4} .

D.

\frac{2 a^{3}}{3} .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $V_{O A B C} = \frac{1}{3} O A . S_{O B C} = \frac{1}{3} . a . \frac{1}{2} .2 a .3 a = a^{3}$

Lại có $\frac{V_{O C M N}}{V_{O C A B}} = \frac{O C}{O C} . \frac{O M}{O A} . \frac{O N}{O B} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$V_{O C M N} = \frac{1}{4} V_{O C A B} = \frac{1}{4} . a^{3} = \frac{a^{3}}{4} .$

Cho khối tứ diện OABC với OA, OB, OC vuông góc từng đôi một và OA=a; Ob=2b; OC=3a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC. Thể tích của khối tứ diện OCMN theo a bằng. (ảnh 1)

Câu 11:

Đối với hàm số $y = \ln \frac{1}{x + 1}$ , khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A.

x y^{'} - 1 = - e^{y} .

B.

x y^{'} + 1 = - e^{y} .

C.

x y^{'} - 1 = e^{y} .

D.

x y^{'} + 1 = e^{y} .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y = \ln \frac{1}{x + 1} = \ln 1 - \ln (x + 1)$

Suy ra $y^{'} = {[- \ln (x + 1)]}^{'} = - \frac{{(x + 1)}^{'}}{x + 1} = - \frac{1}{x + 1}$

Do đó $x y^{'} - 1 = x . (- \frac{1}{x + 1}) - 1 = \frac{- x - (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x - 1}{x + 1}$

$e^{y} = e^{- \ln (x + 1)} = e^{\ln \frac{1}{x + 1}} = \frac{1}{x + 1} = x y^{'} + 1$

Vậy $x y^{'} + 1 = e^{y}$

Câu 12:

Đường con trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A.

y = - x^{2} + x - 1.

B.

y = x^{3} - 3 x + 1.

C.

y = - x^{3} + 3 x + 1.

D.

y = x^{4} - x^{2} + 1.

Xem đáp án

Đáp án B

Từ hình dáng đồ thị hàm số ta xác định rằng đây là đồ thị hàm đa thức bậc ba nên loại A và D.

Lại có điểm có tọa độ $(- 1; 3)$ thuộc đồ thị hàm số nên ta thay $x = - 1; y = 3$ vào hai hàm số còn lại thì chỉ có hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ thỏa mãn.

Câu 13:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

y = x^{3}, y = 4 x

là:

A. 9.

B. 8.

C. 13.

D. 12

Xem đáp án

Đáp án B

Xét phương trình $x^{3} = 4 x \Leftrightarrow x (x^{2} - 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \\ x = - 2 \end{array}$

Do đó: $S = \int_{- 2}^{2} | x^{3} - 4 x | d x = \int_{- 2}^{0} | x^{3} - 4 x | d x + \int_{0}^{2} | x^{3} - 4 x | d x = \int_{- 2}^{0} (x^{3} - 4 x) d x + \int_{0}^{2} (x^{3} - 4 x) d x$

$= (\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}) |_{\begin{array}{l} - 2 \end{array}}^{\begin{array}{l} 0 \end{array}} - (\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}) |_{\begin{array}{l} 0 \end{array}}^{\begin{array}{l} 2 \end{array}} = 4 + 4 = 8.$

Câu 14:

Một hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính R bằng với đường cao của hình nón. Tỉ số thể tích của hình nón và hình cầu ngoại tiếp hình nón bằng:

A.

\frac{1}{2} .

B.

\frac{1}{3} .

C.

\frac{1}{4} .

D.

\frac{1}{6} .

Xem đáp án

Đáp án C

Vì hình nón có bán kính R và chiều cao h bằng nhau nên và thể tích hình nón đã cho là $V_{n} = \frac{1}{3} π R^{2} h = \frac{1}{3} π R^{2} . R = \frac{1}{3} π R^{3}$

Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là tam giác cân SAB có nên $S H = h = R = H B = \frac{B A}{2}$ vuông tại S. Khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB và H cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón đỉnh S.

Nên bán kính mặt cầu là $H S = R$ nên thể tích hình cầu này là $V_{c} = \frac{4}{3} π R^{3} .$

Suy ra $\frac{V_{n}}{V_{c}} = \frac{\frac{1}{3} π R^{3}}{\frac{4}{3} π R^{3}} = \frac{1}{4} .$

Một hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính R bằng với đường cao của hình nón. Tỉ số thể tích của hình nón và hình cầu ngoại tiếp hình nón bằng: (ảnh 1)

Câu 15:

Cho hai số phức

z_{1} = 1 + 2 i

và

z_{2} = 2 - 3 i .

Phần ảo của số phức

w = 3 z_{1} - 2 z_{2}

là:

A. 12.

B. 11.

C. 12i.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $w = 3 z_{1} - 2 z_{2} = 3 (1 + 2 i) - 2 (2 - 3 i) = 3 + 6 i - 4 + 6 i = - 1 + 12 i$

Vậy phần ảo của w là 12.

Câu 16:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = 3 x^{2} + e^{- x} .

A.

\int f (x) d x = x^{3} + e^{- x} + C .

B.

\int f (x) d x = x^{3} - e^{- x} + C .

C.

\int f (x) d x = x^{2} - e^{- x} + C .

D.

\int f (x) d x = x^{3} - e^{x} + C .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\int f (x) d x = \int (3 x^{2} + e^{- x}) d x = 3. \frac{x^{3}}{3} - e^{- x} + C = x^{3} - e^{- x} + C .$

Câu 17:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y = \frac{m}{3} x^{3} + 2 x^{2} + m x + 1

có 2 điểm cực trị thỏa mãn

x_{C D} < x_{C T} .

A.

f (e) + f (π) = f (3) + f (4) .

B.

f (e) - f (π) \leq 0.

C.

f (e) + f (π) < 2 f (2) .

D.

f (1) + f (2) = 2 f (3) .

Xem đáp án

Đáp án C

Vì $f (x) < 0; \forall x > 0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0; + \infty)$ suy ra

$f (1) > f (2) > f (e) > f (3) > f (π) > f (4)$

Khi đó ${\begin{cases} f (e) > f (3) \\ f (π) > f (4) \end{cases} \Rightarrow f (e) + f (π) > f (3) + f (4)$

+ $f (e) > f (π)$ nên A sai

+ ${\begin{cases} f (e) < f (2) \\ f (π) < f (2) \end{cases} \Rightarrow f (e) + f (π) < 2 f (2)$ nên nên B sai

+ ${\begin{cases} f (e) < f (2) \\ f (π) < f (2) \end{cases} \Rightarrow f (e) + f (π) < 2 f (2)$ nên C đúng

+ ${\begin{cases} f (1) > f (3) \\ f (2) > f (3) \end{cases} \Rightarrow f (1) + f (2) > 2 f (3)$ nên D sai

Câu 18:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R sao cho $f^{'} (x) < 0; \forall x > 0.$ Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

f (e) + f (π) = f (3) + f (4) .

B.

f (e) - f (π) \leq 0.

C.

f (e) + f (π) < 2 f (2) .

D.

f (1) + f (2) = 2 f (3) .

Xem đáp án

Đáp án C

Vì $f (x) < 0; \forall x > 0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0; + \infty)$ suy ra

$f (1) > f (2) > f (e) > f (3) > f (π) > f (4)$

Khi đó

${\begin{cases} f (e) > f (3) \\ f (π) > f (4) \end{cases} \Rightarrow f (e) + f (π) > f (3) + f (4)$ + nên A sai

+ $f (e) > f (π)$ nên $f (e) - f (π) > 0$ nên B sai

+ ${\begin{cases} f (e) < f (2) \\ f (π) < f (2) \end{cases} \Rightarrow f (e) + f (π) < 2 f (2)$ nên C đúng

+ ${\begin{cases} f (1) > f (3) \\ f (2) > f (3) \end{cases} \Rightarrow f (1) + f (2) > 2 f (3)$ nên D sai

Câu 19:

Cho hàm số $y = - x^{4} + 4 x^{2} + 10$ và các khoảng sau:

(I): $(- \infty; - \sqrt{2});$ (II): $(- \sqrt{2}; 0);$ (III): $(0; \sqrt{2}) .$

Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

A. (I) và (II).

B. Chỉ (II).

C. Chỉ (I).

D. (I) và (III).

Xem đáp án

Đáp án D

$y = - x^{4} + 4 x^{2} + 10 \Rightarrow y^{'} = - 4 x^{3} + 8 x = - 4 x (x^{2} - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{array} .$

Nhận thấy: $y^{'} > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < - \sqrt{2} \\ 0 < x < \sqrt{2} \end{array}$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - \sqrt{2})$ và $(0; \sqrt{2})$ (khoảng (I) và (III))

Câu 20:

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hàm số

y = a^{x}

với

a > 1

nghịch biến trên khoảng

(- \infty; + \infty) .

B. Hàm số

y = a^{x}

với

0 < a < 1

đồng biến trên khoảng

(- \infty; + \infty) .

C. Đồ thị hàm số

y = a^{x}

và đồ thị hàm số

y = \log_{x} a

đối xứng nhau qua đường thẳng

y = x .

D. Đồ thị hàm số

y = a^{x}

với

a > 0

và

a \neq 1

luôn đi qua điểm

M (a; 1) .

Xem đáp án

Đáp án C

+ Hàm số $y = a^{x}$ với $a > 1$ thì đồng biến trên nên A sai.

+ Hàm số $y = a^{x}$ với $0 < a < 1$ thì nghịch biến trên nên B sai.

+ Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ và đồ thị hàm số $y = \log_{a} x$ đối xứng nhau qua đường thẳng nên C đúng

+ Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ luôn đi qua điểm $M (1; a)$ nên D sai.

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 4}{3}$ và $d^{'} : {\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = - t \\ z = - 2 + 3 t \end{cases}$ cắt nhau. Phương trình mặt phẳng chứa d và d' là

A.

6 x + 9 y + z + 8 = 0.

B.

6 x - 9 y - z - 8 = 0.

C.

- 2 x + y + 3 z - 8 = 0.

D.

6 x + 9 y + z - 8 = 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Mặt phẳng $(P)$ chứa d và nếu nó đi qua $M = d \cap d^{'}$ và nhận $[\vec{u_{d}}, \vec{u_{d^{'}}}]$ làm vectơ pháp tuyến.

d : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 4}{3} \Rightarrow d : {\begin{cases} x = 1 - 2 t^{'} \\ y = - 2 + t^{'} \\ z = 4 + 3 t^{'} \end{cases}

Gọi M là giao điểm của d và , khi đó ${\begin{cases} 1 - 2 t^{'} = - 1 + t \\ - 2 + t^{'} = - t \\ 4 + 3 t^{'} = - 2 + 3 t \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 t^{'} + t = 2 \\ - t^{'} - t = - 2 \\ - 3 t^{'} + 3 t = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} t^{'} = 0 \\ t = 2 \end{cases} .$

Suy ra $M (1; - 2; 4) .$

Ta có: $\vec{u_{d}} = (- 2; 1; 3), \vec{u_{d^{'}}} = (1; - 1; 3) \Rightarrow \vec{n} = [\vec{u_{d}}; \vec{u_{d^{'}}}] = (6; 9; 1)$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M (1; - 2; 4)$ và nhận $\vec{n} = (6; 9; 1)$ làm vectơ pháp tuyến nên

$(P) : 6 (x - 1) + 9 (y + 2) + 1 (z - 4) = 0 \Leftrightarrow 6 x + 9 y + z + 8 = 0.$

Câu 22:

Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua đỉnh là một tam giác vuông cân. Hãy chọn câu sai trong các câu sau:

A. Hai đường sinh tùy ý thì vuông góc với nhau.

B. Đường cao bằng tích bán kính đáy và

C. Đường sinh hợp với trục góc

Xem đáp án

Đáp án A

Hình nón đỉnh S có thiết diện đi qua đỉnh là tam giác vuông cân SAB khi đó xét tam giác vuông SHB có đường cao $S H = H B . \tan 45 °$ nên B đúng.

Tam giác SBH vuông có $∠ S B H = 45 °$ nên vuông cân, suy ra $∠ H S B = 45 °$ hay đường sinh hợp với trục SH góc $H S B = 45 °$ nên C đúng

Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua đỉnh là một tam giác vuông cân. Hãy chọn câu sai trong các câu sau: (ảnh 1)

Và đường sinh SB tạo với đáy góc nên D đúng.

Hai đường sinh bất kì SB, SC chưa chắc vuông góc với nhau nên A sai.

Câu 23:

Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc $60 °$ ?

A.

(P) : 2 x + 11 y - 5 z + 3 = 0

và

(Q) : - x + 2 y + z - 5 = 0.

B.

(P) : 2 x + 11 y - 5 z + 3 = 0

và

(Q) : x + 2 y - z - 2 = 0.

C.

(P) : 2 x - 11 y + 5 z - 21 = 0

và

(Q) : 2 x + y + z - 2 = 0.

D.

(P) : 2 x - 5 y + 11 z - 6 = 0

và

(Q) : - x + 2 y + z - 5 = 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Đáp án A: $\vec{n_{P}} = (2; 11; - 5), \vec{n_{Q}} = (- 1; 2; 1)$

$\Rightarrow \cos α = \frac{| 2. (- 1) + 11.2 + (- 5) .1 |}{\sqrt{2^{2} + 11^{2} + {(- 5)}^{2}} . \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \Rightarrow α = 60 °$

Câu 24:

Cho 4 điểm A(3;-2;-2); B(3;2;0); C(0;2;1);D(-1;1;2) Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là

A.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = \sqrt{14} .

B.

{(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 14.

C.

{(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = \sqrt{14} .

D.

{(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 14.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\vec{B C} = (- 3; 0; 1); \vec{B D} = (- 4; - 1; 2) \Rightarrow [\vec{B C}; \vec{B D}] = (1; 2; 3)$

Mặt phẳng $(B C D)$ đi qua $B (3; 2; 0)$ và có 1 vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [\vec{B C}; \vec{B D}] = (1; 2; 3)$ nên phương trình mặt phẳng $(B C D)$ là $1 (x - 3) + 2 (y - 2) + 3 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 3 z - 7 = 0$

Vì mặt cầu $(S)$ tâm A tiếp xúc với mặt phẳng $(B C D)$ nên bán kính mặt cầu là

$R = d (A; (B C D)) = \frac{| 3 + 2. (- 2) + 3. (- 2) - 7 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \sqrt{14}$

Phương trình mặt cầu (S) là ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 14.$

Câu 25:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{- x + 1}{2 x + 3}$ trên đoạn $[0; 2]$ là:

A. 2.

B.

\frac{1}{3} .

C.

- \frac{1}{7} .

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y^{'} = \frac{- 1.3 - 2.1}{{(2 x + 3)}^{2}} = - \frac{5}{{(2 x + 3)}^{2}} < 0, \forall x \neq - \frac{3}{2}$

Do đó hàm số nghịch biến trên

[0; 2] \Rightarrow \min_{[0; 2]} y = y (2) = - \frac{1}{7} .

Câu 26:

Cho số phức z=5-4i Mô đun của số phức z là

A. 3.

B.

\sqrt{41} .

C. 1.

D. 9.

Xem đáp án

Đáp án B

Số phức $z = 5 - 4 i$ có môđun $| z | = \sqrt{5^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt{41}$

Câu 27:

Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: $| \bar{z} + 1 - i | \leq 4$

A. Đường tròn tâm

I (- 1; - 1),

bán kính

R = 4.

B. Hình tròn tâm

I (1; - 1)

, bán kính

R = 4.

C. Hình tròn tâm

I (- 1; - 1),

bán kính

R = 4

(cả những điểm nằm trên đường tròn).

D. Đường tròn tâm

I (1; - 1),

bán kính

R = 4.

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ , khi đó:

$| \bar{z} + 1 - i | \leq 4 \Leftrightarrow | (x + 1) - (y + 1) i | \leq 4 \Leftrightarrow \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} \leq 4 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} \leq 4^{2}$

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn bài toán là hình tròn tâm $I (- 1; - 1),$ bán kính $R = 4$ (kể cả những điểm nằm trên đường tròn).

Câu 28:

Nếu

{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{x} > \sqrt{3} + \sqrt{2}

thì

A.

x > - 1.

B.

\forall x \in ℝ .

C.

x < 1.

D.

x < - 1.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1 \Leftrightarrow \sqrt{3} + \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{- 1} .$

Nên ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{x} > \sqrt{3} + \sqrt{2} \Leftrightarrow {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{x} > {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{- 1} \Leftrightarrow x < - 1$

(vì $0 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 1$ )

Câu 29:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ $\vec{a} (2; 1; 0)$ và $\vec{b} (- 1; m - 2; 1) .$ Tìm m để $\vec{a} ⊥ \vec{b} .$

A.

m = 0.

B.

m = 4.

C.

m = 2.

D.

m = 3.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow 2. (- 1) + 1. (m - 2) + 0.1 = 0 \Leftrightarrow m - 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4.$

Câu 30:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? (ảnh 1)

A.

y = \log_{2} x .

B.

y = \log_{2} (2 x) .

C.

y = \log_{\sqrt{2}} x .

D.

y = \log_{\frac{1}{2}} x .

Xem đáp án

Đáp án A

Từ đồ thị ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên $(0; + \infty)$ nên $a > 1$ , loại D.

Điểm có tọa độ $(\frac{1}{2}; - 1)$ thuộc đồ thị hàm số nên ta thay $x = \frac{1}{2}; y = - 1$ vào từng hàm số còn lại, chỉ có hàm số $y = \log_{2} x$ thỏa mãn $(d o \log_{2} (\frac{1}{2}) = - 1)$ nên chọn A.

Câu 31:

Trong không gian hệ tọa độ , cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 36,

điểm

I (1; 2; 0)

và đường thẳng

d : \frac{x - 2}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{- 1} .

Tìm tọa độ điểm M thuộc

(S)

thuộc sao cho I là trung điểm của

M N .

A.

[\begin{array}{l} M (3; 2; 1) \\ N (3; 6; - 1) \end{array} .

B.

[\begin{array}{l} M (- 3; - 2; 1) \\ N (3; 6; - 1) \end{array} .

C.

[\begin{array}{l} M (- 3; 2; 1) \\ N (3; 6; 1) \end{array} .

D.

[\begin{array}{l} M (- 3; - 2; - 1) \\ N (3; 6; 1) \end{array} .

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $(α)$ là mặt phẳng chứaB'G và song song $(α)$ với CD và CC'

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của với CD và

Khi đó ta có: $M N / / C^{'} D$ và $\frac{C M}{C D} = \frac{C N}{C C^{'}} = \frac{2}{3}$

Và $(α)$ là mặt phẳng $(A M N B^{'}), (H)$ là phần khối đa diện chứa C.

Khi đó ta có: $V_{(H)} = V_{M . B C N B^{'}} + V_{B^{'} . A B M}$

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=36 điểm I(1;2;0) và đường thẳng d: (x-2)/3=(y-2)/4=z/-1 Tìm tọa độ điểm M thuộc M thuộc d sao cho I là trung điểm của (ảnh 1)

Ta có: BCNB' là hình thang vuông tại B, C có diện tích:

$S_{B C N B^{'}} = \frac{1}{2} (B B^{'} + C N) . B C = \frac{1}{2} (4 a + \frac{2}{3} .4 a) .4 a = \frac{40 a^{2}}{3}$

$\Rightarrow V_{M B C N B^{'}} = \frac{1}{3} M C . S_{B C N B^{'}} = \frac{1}{3} . \frac{2}{3} .3 a . \frac{40}{3} a^{2} = \frac{80 a^{3}}{9}$

Mặt khác $S_{Δ A B M} = S_{A B C D} - S_{Δ B C M} - S_{Δ A D M} = 3 a .4 a - \frac{1}{2} .4 a . \frac{2}{3} .3 a - \frac{1}{2} .4 a . \frac{1}{3} .3 a = 6 a^{2}$

$\Rightarrow V_{B^{'} A B M} = \frac{1}{3} B B^{'} . S_{A B M} = \frac{1}{3} .4 a .6 a^{2} = 8 a^{3} \Rightarrow V_{(H)} = \frac{80}{9} a^{3} + 8 a^{3} = \frac{152}{9} a^{3}$

Thể tích hình hộp chữ nhật là: $V = 3 a .4 a .4 a = 48 a^{3} \Rightarrow \frac{V_{(H)}}{V} = \frac{152 a^{3}}{9} . \frac{1}{48 a^{3}} = \frac{19}{54} .$

Câu 32:

Trong không gian hệ tọa độ

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 36,

điểm

I (1; 2; 0)

và đường thẳng

, d : \frac{x - 2}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{- 1} .

Tìm tọa độ điểm M thuộc d, N thuộc

(S)

sao cho I là trung điểm của MN

A.

[\begin{array}{l} M (3; 2; 1) \\ N (3; 6; - 1) \end{array} .

B.

[\begin{array}{l} M (- 3; - 2; 1) \\ N (3; 6; - 1) \end{array} .

C.

[\begin{array}{l} M (- 3; 2; 1) \\ N (3; 6; 1) \end{array} .

D.

[\begin{array}{l} M (- 3; - 2; - 1) \\ N (3; 6; 1) \end{array} .

Xem đáp án

Đáp án B

+ Đường thẳng $d : \frac{x - 2}{3} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z}{- 1} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = 2 + 4 t \\ z = - t \end{cases}$

Vì $M \in d \Rightarrow M (2 + 3 t; 2 + 4 t; - t)$

$I (1; 2; 0)$ là trung điểm đoạn MN

$\Rightarrow {\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{M} + x_{N}}{2} \\ y_{I} = \frac{y_{M} + y_{N}}{2} \\ z_{I} = \frac{z_{M} + z_{N}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{N} = 2 x_{I} - x_{M} = - 3 t \\ y_{N} = 2 y_{I} - y_{M} = 2 - 4 t \Rightarrow N (- 3 t; 2 - 4 t; t) \\ z_{N} = 2 z_{I} - z_{M} = t \end{cases}$

Vì $N \in (S)$ nên thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt cầu:

$(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 36$ ta được:

${(- 3 t - 1)}^{2} + {(- 4 t)}^{2} + {(t - 3)}^{2} = 36 \Leftrightarrow 26 t^{2} - 26 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \Rightarrow N (- 3; - 2; 1) \\ t = - 1 \Rightarrow N (3; 6; - 1) \end{array} .$

Câu 33:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y=f(x) như hình vẽ bên. Khi đó giá trị của biểu thức $\int_{0}^{4} f^{'} (x - 2) d x + \int_{0}^{2} f^{'} (x + 2) d x$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y=f(x) như hình vẽ bên. Khi đó giá trị của biểu thức tích phân từ 0 đến 4 của f'(x-2)dx+ tích phân từ 0 đến 2 của f'(x+2)dx bằng bao nhiêu? (ảnh 1)

A. 2.

B. 8.

C. 10.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\int_{0}^{4} f^{'} (x - 2) d x + \int_{0}^{2} f^{'} (x + 2) d x = \int_{0}^{4} f^{'} (x - 2) d (x - 2) + \int_{0}^{2} f' (x + 2) d (x + 2)$

$= f (x - 2) |_{\begin{array}{l} 0 \end{array}}^{\begin{array}{l} 4 \end{array}} + f (x + 2) |_{\begin{array}{l} 0 \end{array}}^{\begin{array}{l} 2 \end{array}}$

$= f (2) - f (- 2) + f (4) - f (2) = f (4) - f (- 2) = 4 - (- 2) = 6.$

Câu 34:

Cho tứ diện ABCD có $A B = C D = 11 m, B C = A D = 20 m, B D = A C = 21 m .$ Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

A.

770 m^{3} .

B.

340 m^{3} .

C.

720 m^{3} .

D.

360 m^{3} .

Xem đáp án

Đáp án D

Dựng hình hộp chữ nhật AMCN.PBQD như hình bên.

Khi đó: tứ diện ABCD thỏa mãn

$A B = C D = 11 m; B C = A D = 20 m; B D = A C = 21 m .$

Gọi các kích thước hình hộp chữ nhật là m, n, p.

Gọi $y = f (m^{2} + 4 m + 4)$

Ta có: $V_{P A D B} = V_{M A B C} = V_{Q B C D} = V_{N A C D} = \frac{1}{3} . N D . S_{A C N}$

Cho tứ diện ABCD có AB=CD=11m, BC=AD=20m, BD=AC=21m Tính thể tích khối tứ diện ABCD. (ảnh 1)

Suy ra $V_{P A D B} + V_{M A B C} + V_{Q B C D} + V_{N A C D} = \frac{1}{6} V + \frac{1}{6} V + \frac{1}{6} V + \frac{1}{6} V = \frac{2}{3} V .$

Mà $V_{P A D B} + V_{M A B C} + V_{Q B C D} + V_{N A C D} + V_{A B C D} = V$

Suy ra: $V_{A B C D} = \frac{1}{3} V = m . n . p$

Xét các tam giác vuông APB; APD; PDB, theo định lý Pytago ta có:

${\begin{cases} m^{2} + n^{2} = B D^{2} \\ m^{2} + p^{2} = A D^{2} \\ p^{2} + n^{2} = A B^{2} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m^{2} + n^{2} = 21^{2} \\ m^{2} + p^{2} = 20^{2} \\ p^{2} + n^{2} = 11^{2} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m^{2} + n^{2} + p^{2} = 481 \\ m^{2} + n^{2} = 21^{2} \\ m^{2} + p^{2} = 20^{2} \\ p^{2} + n^{2} = 11^{2} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m = 6 \sqrt{10} \\ n = 9 \\ p = 2 \sqrt{10} \end{cases}$

$V_{A B C D} = \frac{1}{3} m . n . p = \frac{1}{3} .6 \sqrt{10} .9.2 \sqrt{10} = 360 m^{3}$

Câu 35:

Cho số phức z thỏa mãn

| z + i + 1 | = | \bar{z} - 2 i | .

Tìm giá trị nhỏ nhất của

| z | .

A.

- \frac{1}{2} .

B.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

C.

\frac{1}{2} .

D.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ .

Ta được: $| (x + 1) + (y + 1) i | = | x - (y + 2) i |$

$\Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = x^{2} + {(y + 2)}^{2}$

$\Leftrightarrow 2 x + 1 + 2 y + 1 = 4 y + 4 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0.$

Cho số phức z thỏa mãn |z+i+1|=|z ngang -2i| Tìm giá trị nhỏ nhất của |z| (ảnh 1)

Do đó tập hợp các số phức z thỏa mãn bài toán là đường thẳng $x - y - 1 = 0.$

Từ hình vẽ ta thấy $| z |$ đạt GTNN khi $| z | = O H = d (O; (Δ)) = \frac{| 0 - 0 - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 36:

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

y = x^{4} - 2 m^{2} x^{2} + m^{4} + 1

có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

A.

m = \pm 1.

B.

m = - 1.

C.

m = 1.

D. Không tồn tại m.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

$y^{'} = 4 x^{3} - 4 m^{2} x = 0 \Leftrightarrow 4 x (x^{2} - m^{2}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m^{2} \end{array}$

Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là

$m^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = m^{4} + 1 \\ x = m \Rightarrow y = 1 \\ x = - m \Rightarrow y = 1 \end{array}$

Gọi $A (0; m^{4} + 1); B (- m; 1); C (m; 1)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

Vì B, C đối xứng nhau qua trục Oy và $O, A \in O y$ nên ${\begin{cases} O B = O C \\ A B = A C \end{cases}$

Lại có cạnh OA chung nên $Δ B A O = Δ C A O$ (c-c-c) suy ra $O B A = O C A,$

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x^4-2m^2x^2+m^4+1 có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc O tạo thành một tứ giác nội tiếp. (ảnh 1)

mà tứ giác OBAC nội tiếp nên $O B A + O C A = 180 ° \Rightarrow O B A = O C A = 90 °$

Hay $A B ⊥ O B \Rightarrow \vec{A B} . \vec{O B} = 0$

Ta có $\vec{A B} = (- m; - m^{4}); \vec{O B} = (- m; 1) \Rightarrow \vec{A B} . \vec{O B} = m^{2} - m^{4} = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} (1 - m^{2}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 (L) \\ m = 1 (T M) \\ m = - 1 (T M) \end{array}$

Vậy $m = \pm 1.$

Câu 37:

Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức sau:

$\log_{2} a + \log_{3} a + \log_{5} a = \log_{2} a . \log_{3} a . \log_{5} a ?$

A. 1.

C. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện: $a > 0$

Ta có: $\log_{2} a + \log_{3} a + \log_{5} a = \log_{2} a . \log_{3} a . \log_{5} a$

$\Leftrightarrow \log_{2} a + \log_{3} 2. \log_{2} a + \log_{5} 2. \log_{2} a = \log_{2} a . \log_{3} 2. \log_{2} a . \log_{5} 2. \log_{2} a$

$\Leftrightarrow \log_{2} a (1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2) = \log_{2}^{3} a . \log_{3} 2. \log_{5} 2$

$\Leftrightarrow \log_{2} a (\log_{2}^{2} a . \log_{3} 2. \log_{5} 2 - 1 - \log_{3} 2 - \log_{5} 2) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} a = 0 \\ \log_{2}^{2} . \log_{3} 2. \log_{5} 2 - 1 - \log_{3} 2 - \log_{5} 2 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ \log_{2}^{2} a = \frac{1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2}{\log_{3} 2. \log_{5} 2} \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ \log_{2} a = \sqrt{\frac{1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2}{\log_{3} 2. \log_{5} 2}} = t_{1} \\ \log_{2} a = - \sqrt{\frac{1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2}{\log_{3} 2. \log_{5} 2}} = t_{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 1 \\ a = 2^{t_{1}} > 0 \\ a = 2^{t_{2}} > 0 \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm $a > 0.$

Câu 38:

Gọi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{x + 3}{x - 3},$ độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB là

A. 2.

B. 4.

C.

4 \sqrt{3} .

D.

2 \sqrt{3} .

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện: $x \neq 3.$

Ta có $y = \frac{x + 3}{x - 3} = 1 + \frac{6}{x - 3} .$

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = 3$ và tiệm cận ngang $y = 1.$

Suy ra tâm đối xứng của đồ thị (C) là $I (3; 1) .$

Với $A, B \in (C)$ và A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị (C)

Để AB nhỏ nhất thì A; I; B thẳng hàng hay I là trung điểm của AB.

Gọi $A (x_{A}; 1 + \frac{6}{x_{A} - 3}); B (x_{B}; 1 + \frac{6}{x_{B} - 3})$ thuộc đồ thị .

Vì là trung điểm của AB nên $x_{A} + x_{B} = 2 x_{1} \Leftrightarrow x_{A} + x_{B} = 6 \Leftrightarrow x_{B} = 6 - x_{A}$

Suy ra

$A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(\frac{6}{x_{B} - 3} - \frac{6}{x_{A} - 3})}^{2}}$

$= \sqrt{{(6 - 2 x_{A})}^{2} + {(\frac{6}{3 - x_{A}} - \frac{6}{x_{A} - 3})}^{2}} = \sqrt{4 {(x_{A} - 3)}^{2} + \frac{144}{{(x_{A} - 3)}^{2}}}$

Ta có $A B^{2} = 4 {(x_{A} - 3)}^{2} + \frac{144}{{(x_{A} - 3)}^{2}} \geq 2 \sqrt{4 {(x_{A} - 3)}^{2} . \frac{144}{{(x_{A} - 3)}^{2}}} = 48$ (áp dụng BĐT Côsi)

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{- 1}$ và hai điểm $A (1; 2; - 1), B (3; - 1; - 5) .$ Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng $Δ .$ sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. Khi đó, gọi là giao điểm của d với đường thẳng $Δ .$ Giá trị $P = a + b + c$ bằng

A. -2

B. 4.

C. 2.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M = d \cap Δ$ thì $M (- 1 + 2 t; 3 t; - 1 - t)$

Khi đó $\vec{A M} = (- 2 + 2 t; 3 t - 2; - t), \vec{B A} = (- 2; 3; 4), \vec{B M} = (- 4 + 2 t; 3 t + 1; 4 - t)$

$[\vec{B M}; \vec{B A}] = (15 t - 8; - 6 t + 8; 12 t - 10)$

$\Rightarrow d (B, d) = \frac{| [\vec{B M}, \vec{B A}] |}{| \vec{A M} |} = \frac{\sqrt{{(15 t - 8)}^{2} + {(- 6 t + 8)}^{2} + {(12 t - 10)}^{2}}}{\sqrt{{(2 t - 2)}^{2} + {(3 t - 2)}^{2} + t^{2}}}$

$= \sqrt{\frac{{(15 t - 8)}^{2} + {(- 6 t + 8)}^{2} + {(12 t - 10)}^{2}}{{(2 t - 2)}^{2} + {(3 t - 2)}^{2} + t^{2}}} = \sqrt{\frac{405 t^{2} - 576 t + 228}{14 t^{2} - 20 t + 8}}$

Xét hàm số $f (t) = \frac{405 t^{2} - 576 t + 228}{14 t^{2} - 20 t + 8}$ tìm GTLN được $\max f (t) = 29$ tại $t = 2.$

Do đó $M (3; 6; - 3)$ hay $a = 3; b = 6; c = - 3 \Rightarrow a + b + c = 6.$

Câu 40:

Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn $x^{2} + y^{2} = 16$ (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là

Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn x^2+y^2=16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là (ảnh 1)

A.

\int_{- 1}^{4} 4 (16 - x^{2}) d x .

B.

\int_{- 4}^{4} 4 π x^{2} d x .

C.

\int_{- 4}^{4} 4 x^{2} d x .

D.

\int_{- 4}^{4} 4 π (16 - x^{2}) d x .

Xem đáp án

Đáp án A

Đường tròn $x^{2} + y^{2} = 16$ có tâm và bán kính $R = 4.$

Gọi thiết diện cắt trục Ox tại điểm $H (x; 0) (- 4 < x < 4)$ thì $O H = x$ và thiết diện cắt đường tròn đáy tại A, B (hình vẽ), suy ra

Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn x^2+y^2=16 (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là (ảnh 2)

Xét tam giác vuông OAH có $H A = \sqrt{O A^{2} - O H^{2}} = \sqrt{16 - x^{2}} \Rightarrow A B = 2 \sqrt{16 - x^{2}}$

Diện tích thiết diện là $S = A B^{2} = {(2 \sqrt{16 - x^{2}})}^{2} = 4 (16 - x^{2})$

Thể tích vật thể là

V = \int_{- 4}^{4} 4 (16 - x^{2}) d x .

Câu 41:

Cho hàm f(x) liên tục trên [0;1], biết $\int_{0}^{1} [f^{2} (x) + 2 \ln^{2} (\frac{2}{e})] d x = 2 \int_{0}^{1} [f (x) \ln (x + 1)] d x .$ Tích phân $I = \int_{0}^{1} f (x) d x .$

A.

I = \ln \frac{e}{4} .

B.

I = \ln \frac{4}{e} .

C.

I = \ln \frac{e}{2} .

D.

I = \ln \frac{2}{e} .

Xem đáp án

Đáp án B

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần ta tính được:

$\int_{0}^{1} \ln^{2} (x + 1) d x = 2 \ln^{2} \frac{2}{e} = \int_{0}^{1} 2 \ln^{2} \frac{2}{e} d x .$

Do đó giả thiết tương đương với:

$\int_{0}^{1} {[f (x) - \ln (x + 1)]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow f (x) = \ln (x + 1), \forall x \in [0; 1]$

Suy ra $I = \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} \ln (x + 1) d x = \ln \frac{4}{e} .$

Câu 42:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{2 x + m}{x - 1} .$ Tính tổng các giá trị của tham số m để $| \max_{[2; 3]} f (x) - \min_{[2; 3]} f (x) | = 2.$

A. -4

B. -2

C. -1

D. -3

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số $y = f (x) = \frac{2 x + m}{x - 1}$ xác định và liên tục trên đoạn $[2; 3]$

Với $m = - 2$ , hàm số trở thành $y = 2 \Rightarrow \max_{[2; 3]} f (x) = \min_{[2; 3]} f (x) = 2$ (không thỏa mãn).

Với $m \neq - 2,$ ta có $y^{'} = \frac{- 2 - m}{{(x - 1)}^{2}} .$

Khi đó hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên $[2; 3] .$

Suy ra $[\begin{array}{l} \max_{[2; 3]} f (x) = f (2); \min_{[2; 3]} f (x) = f (3) \\ \max_{[2; 3]} f (x) = f (3); \min_{[2; 3]} f (x) = f (2) \end{array}$

Do đó: $| \max_{[2; 3]} f (x) - \min_{[2; 3]} f (x) | = | f (3) - f (2) | = | \frac{6 + m}{2} - (4 + m) | = | \frac{2 + m}{2} |$

Theo giả thiết $| \max_{[2; 3]} f (x) - \min_{[2; 3]} f (x) | = 2 \Leftrightarrow | \frac{2 + m}{2} | = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - 6 \end{array} .$

Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là -4

Câu 43:

Số nghiệm của phương trình $\log_{2} x . \log_{3} (2 x - 1) = 2 \log_{2} x$ là:

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện: ${\begin{cases} x > 0 \\ 2 x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$

Khi đó phương trình $\Leftrightarrow \log_{2} x . \log_{3} (2 x - 1) - 2 \log_{2} x = 0 \Leftrightarrow \log_{2} x [\log_{3} (2 x - 1) - 2] = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} x = 0 \\ \log_{3} (2 x - 1) - 2 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ 2 x - 1 = 9 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 5 \end{array}$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Câu 44:

Cho phương trình

2^{| \frac{28}{3} x + 1 |} = 16^{x^{2} - 1} .

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên.

B. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên

C. Tích các nghiệm của phương trình là một số dương.

D. Phương trình vô nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $2^{| \frac{28}{3} x + 1 |} = 16^{x^{2} - 1} \Leftrightarrow 2^{| \frac{28}{3} x + 1 |} = 2^{4 (x^{2} - 1)} \Leftrightarrow | \frac{28}{3} x + 1 | = 4 (x^{2} - 1)$ (với $[\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x \leq - 1 \end{array}$ )

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{28}{3} x + 1 = 4 (x^{2} - 1) \\ \frac{28}{3} x + 1 = 4 (1 - x^{2}) \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 12 x^{2} - 28 x - 15 = 0 \\ 12 x^{2} + 28 x - 9 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{7 + \sqrt{94}}{6} (t h o û a m a õ n) \\ x = \frac{7 - \sqrt{94}}{6} (l o a ï i) \\ x = \frac{- 7 + 2 \sqrt{19}}{6} (l o a ï i) \\ x = \frac{- 7 - 2 \sqrt{19}}{6} (t h o û a m a õ n) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{7 + \sqrt{94}}{6} \\ x = \frac{- 7 - 2 \sqrt{19}}{6} \end{array}$

Câu 45:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị hàm y=f'(x) như hình vẽ

Tìm m để bất phương trình $f (x + 1) - \frac{1}{3} x^{3} + x - m > 0$ có nghiệm trên $[0; 2] .$

A.

m < f (0) .

B.

m < f (3) - \frac{2}{3} .

C.

m < f (2) + \frac{2}{3} .

D.

m < f (1) .

Xem đáp án

Đáp án B

Bài toán tương đương với: $m < f (x + 1) - \frac{1}{3} x^{3} + x$ có nghiệm trên $[0; 2]$

Xét hàm số $g (x) = f (x + 1) - \frac{1}{3} x^{3} + x$ trên $[0; 2] .$

Bài toán trở thành tìm m để $m < g (x)$ có nghiệm trên $[0; 2]$

$\Leftrightarrow m < \max_{[0; 2]} g (x)$

Ta có $g^{'} (x) = f^{'} (x + 1) - x^{2} + 1 = 0.$

TH1: $x \in [0; 1) \Rightarrow {\begin{cases} 0 < f^{'} (x + 1) \\ 0 < - x^{2} + 1 \end{cases} \Rightarrow g^{'} (x) > 0$

TH2: $x = 1 \Rightarrow {\begin{cases} f^{'} (x + 1) = 0 \\ - x^{2} + 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow g^{'} (x) = 0.$

Suy ra $g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

TH3: $x \in (1; 2] \Rightarrow {\begin{cases} f^{'} (x + 1) < 0 \\ - x^{2} + 1 < 0 \end{cases} \Rightarrow g^{'} (x) < 0.$

Ta có bảng biến thiên của hàm g(x) trên [0;2]

Dựa vào bảng biến thiên ta có $m < \max_{[0; 2]} g (x) = g (2) = f (2) + \frac{2}{3} .$

Vậy $m < f (2) + \frac{2}{3} .$

Câu 46:

Một hình lập phương có diện tích mặt chéo bằng $a^{2} \sqrt{2} .$ Gọi V là thể tích khối cầu và S là diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói trên. Khi đó tích S.V bằng

A.

S V = \frac{3 π^{2} a^{5}}{2} .

B.

S V = \frac{3 \sqrt{3} π^{2} a^{5}}{2} .

C.

S V = \frac{3 \sqrt{6} π^{2} a^{5}}{2} .

D.

S V = \frac{\sqrt{3} π^{2} a^{5}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi hình lập phương ABCD. A'B'C'D' cạnh x có diện tích mặt chéo $S_{A C C^{'} A^{'}} = a^{2} \sqrt{2}$

Ta có $A C = \sqrt{A D^{2} + D C^{2}} = x \sqrt{2}$ nên $S_{A C C^{'} A^{'}} = A C . A A^{'} = x \sqrt{2} . x = a^{2} \sqrt{2} \Rightarrow x = a$

$R = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là $V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{3} = \frac{\sqrt{3} π a^{3}}{2}$

Nên thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương là $S = 4 π R^{2} = 4 π . {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} = 3 π a^{2}$

Một hình lập phương có diện tích mặt chéo bằng Gọi V là thể tích khối cầu và S là diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói trên. Khi đó tích S.V bằng (ảnh 1)

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là $S = 4 π R^{2} = 4 π . {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} = 3 π a^{2}$

Suy ra $S . V = 3 π a^{3} . \frac{\sqrt{3}}{2} π a^{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} π^{2} a^{5}$ .

Câu 47:

Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số $y = - x^{4} + (2 m - 3) x^{2} + m$ nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$ là $(- \infty; \frac{p}{q}),$ trong đó phân số $\frac{p}{q}$ tối giản và q>0 Hỏi tổng q+p là:

A. 7.

B. 5.

C. 9.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y^{'} = - 4 x^{3} + 2 (2 m - 3) x = 2 x (- 2 x^{2} + 2 m - 3)$

Hàm số nghịch biến trên $(1; 2) \Leftrightarrow y^{'} \leq 0, \forall x \in (1; 2) \Leftrightarrow 2 x (- 2 x^{2} + 2 m - 3) \leq 0, \forall x \in (1; 2)$

$\Leftrightarrow - 2 x^{2} + 2 m - 3 \leq 0, \forall x \in (1; 2)$ (vì )

$\Leftrightarrow 2 m - 3 \leq 2 x^{2}, \forall x \in (1; 2)$

Dễ thấy hàm số $f (x) = 2 x^{2}$ đồng biến trên (1;2) nên $f (x) > f (1) = 2$

Do đó $2 m - 3 \leq 2 x^{2}, \forall x \in (1; 2) \Leftrightarrow 2 m - 3 \leq 2 \Leftrightarrow m \leq \frac{5}{2}$

Suy ra $m \in (- \infty; \frac{5}{2}] \Rightarrow p = 5, q = 2 \Rightarrow p + q = 7$

Câu 48:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. Khi đó, mặt phẳng (P) đi qua điểm nào sau đây?

A.

M_{1} (- 1; - 2; 0) .

B.

M_{2} (1; - 2; 0) .

C.

M_{3} (- 1; 2; 0) .

D.

M_{1} (1; 2; 0) .

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi H là hình chiếu của O xuống mặt phẳng . Khi đó nên OH lớn nhất khi

Hay (P) là mặt phẳng qua $A (1; 1; 1)$ và nhận $\vec{O A} = (1; 1; 1)$ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là $1 (x - 1) + 1 (y - 1) + 1 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 3 = 0$

Thay tọa độ các điểm $M_{1}; M_{2}; M_{3}; M_{4}$ vào phương trình mặt phẳng (P) ta thấy chỉ có điểm $M_{4} (1; 2; 0)$ thỏa mãn $1 + 2 + 0 - 3 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$ (luôn đúng) nên $M_{4} \in (P) .$

Câu 49:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

\log_{2} x + \log_{2} (x + 3 y) \leq 2 + 2 \log_{2} y .

Biết giá trị lớn nhất của biểu thức

S = \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} - x y + 2 y^{2}}} - \frac{2 x + 3 y}{x + 2 y}

là $\sqrt{a} - \frac{b}{c}$ với a, b, c là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $P = a + b + c .$

A. P=30

B. P=15

C. P=17

D. P=10

Xem đáp án

Đáp án D

Theo giả thiết ta có: $\log_{2} (x^{2} + 3 x y) \leq \log_{2} (4 y^{2}) \Leftrightarrow x^{2} + 3 x y \leq 4 y^{2} \Leftrightarrow {(\frac{x}{y})}^{2} + 3 (\frac{x}{y}) \leq 4$

$\Rightarrow 0 < t = \frac{x}{y} \leq 1.$

Khi đó $S = f (t) = \frac{t + 1}{\sqrt{t^{2} - t + 2}} - \frac{2 t + 3}{t + 2}$ (với ).

Ta có $f^{'} (t) = \frac{5 - 3 t}{2 \sqrt{{(t^{2} - t + 2)}^{3}}} - \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} \geq \frac{2}{2 \sqrt{2^{3}}} - \frac{1}{{(t + 2)}^{2}} = \frac{{(t + 2)}^{2} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} {(t + 2)}^{2}} > 0$

Do đó $\max S = \max_{(0; 1]} f (t) = f (1) = \sqrt{2} - \frac{5}{3} \Rightarrow {\begin{cases} a = 2 \\ b = 5 \\ c = 3 \end{cases} \Rightarrow P = 10.$

Câu 50:

Cho số phức $z = {(\frac{2 + 6 i}{3 - i})}^{m}, m$ nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị $m \in [1; 50]$ để z là số thuần ảo?

A. 25.

B. 50.

C. 26.

D. 24.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $z = {(\frac{2 + 6 i}{3 - i})}^{m} = {(\frac{(2 + 6 i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)})}^{m} = {(2 i)}^{m} = 2^{m} . i^{m}$

+ Với $m = 4 k (k \in ℤ)$ thì $z = 2^{m}$

+ Với $m = 4 k + 2 (k \in ℤ)$ thì $z = - 2^{m}$

+ Với $m = 4 k + 1 (k \in ℤ)$ thì $z = 2^{m} . i$

+ Với $m = 4 k + 3 (k \in ℤ)$ thì $z = - 2^{m} . i$

Vậy để z là số thuần ảo thì $[\begin{array}{l} m = 4 k + 1 \\ m = 4 k + 3 \end{array} (k \in ℤ)$ mà $1 \leq m \leq 50$

Nên $[\begin{array}{l} 1 \leq 4 k + 1 \leq 50 \\ 1 \leq 4 k + 3 \leq 50 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 0 \leq 4 k \leq 49 \\ - 2 \leq 4 k \leq 47 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 0 \leq k \leq 12,25 \\ - 0,5 \leq k \leq 11,75 \end{array} \Rightarrow {\begin{cases} k \in {0; 1; 2; 3; ...; 12} \\ k \in {0; 1; 2; ....; 11} \end{cases}$

Vậy có tất cả giá trị của k thỏa mãn điều kiện, tức cũng có 25 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề)

Đề số 15

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan