Thứ sáu, 22/11/2024
IMG-LOGO

Đề số 7

  • 4560 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Quay hình vuông ABCD cạnh a xung quanh một cạnh. Thể tích của khối trụ được tạo thành là

Xem đáp án

Đáp án D

Quay hình vuông ABCD cạnh a xung quanh một cạnh ta được một khối trụ có độ dài đường cao là a, bán kính đáy là a.

Thể tích khối trụ là V=πa2.a=πa3


Câu 2:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. 

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A.

Từ bảng biến thiên ta có:

·        Hàm số y=f(x) có tập xác định là D=\1, suy ra hàm số không đạt cực trị tại x=1 .

Do đó các mệnh đề ở đáp án B và C là các mệnh đề sai.

·        Hàm số không có điểm cực đại nên không có giá trị cự đại bằng 1.

Do đó mệnh đề ở đáp án D là mệnh đề sai.

·        Tại x=2 thì f'(x) và đổi dấu từ âm sang dương nên x=2 là điểm cực tiểu của hàm số và dễ thấy hàm số không có điểm cực đại, suy ra mệnh đề ở đáp án A đúng.

Vậy mệnh đề của đáp án A là đúng.


Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;3;2), B(3;-1;4). Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có xI=xA+xB2=2yI=yA+yB2=1zI=zA+zB2=3I2;1;3

Câu 4:

Cho hàm số y=2x4x+1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án C.

TXĐ: D=\1

Ta có y'=2.14.1x+12=2x+12>0,xD .

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng ;1  1;+ .


Câu 5:

Cho x, y là hai số thực dương khác 1 và α,β là hai số thực tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Xem đáp án

Đáp án A.

Mệnh đề xαyβ=xyαβ  là mệnh đề sai.


Câu 6:

Cho 02fxdx=3  02gxdx=2 . Tính tích phân I=022x+fx2gxdx
Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có I=022x+fx2gxdx=022xdx+02fxdx202gxdx

=4+32.2=11.


Câu 7:

Cho hình nón bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4. Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng

Xem đáp án

Đáp án C.

Diện tích toàn phần của hình nón là: Stp=πR2+πRl=9π+15π=24π .


Câu 8:

Tìm tập nghiệm của phương trình log12x23x+10=3 .

Xem đáp án

Đáp án A.

Phương trình tương đương với: log12x23x+10=log128

x23x+10=8x23x+2=0x=1x=2

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: S=1;2


Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng α:x+y+z6=0 . Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng α ?
Xem đáp án

Đáp án C.

Thay tọa độ các điểm của các đáp án, ta thấy đáp án C là: 11+16=50 , suy ra điểm M không thuộc mặt phẳng α .


Câu 10:

Họ các nguyen hàm của hàm số fx=1x+1  
Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có 1x+1dx=lnx+1+C=ln2x+2+C .


Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trục Ox có phương trình tham số là
Xem đáp án

Đáp án B.

Trục Ox đi qua O(0;0;0) và nhận i0;0  làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là x=ty=0z=0


Câu 12:

Trong khai triển a21b , số hạng thứ 5 là

Xem đáp án

Đáp án B.

Theo công thức tổng quát ở lý thuyết thì ta có số hạng thứ 5 là:

C74.a23.1b4=35a6b4.


Câu 13:

Cho cấp số cộng un  có số hạng tổng quát là un=3n2 . Tìm công sai d của cấp số cộng.

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có un+1un=3n+123n+2=3 .

Suy ra d=3 là công sai của cấp số cộng

Câu 14:

Cho hai số phức z1=1+3i z2=34i . Môđun của số phức w=z1z2  
Xem đáp án

Đáp án D.

Cách 1:

Ta có: w=z1z2=1+3i34i=1+3i3+4i25=925+1325i

Do đó w=925+1325i=9252+13252=105

Cách 2: Ta có: w=z1z2=z1z2=105


Câu 15:

Đồ thị trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?
Đồ thị trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây? (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án C.

Dựa vào đồ thị ta thấy có hai tiệm cận là x=1  y=1  nên loại đáp án D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;1) nên loại đáp án A và B, chỉ có đáp án C đúng.


Câu 16:

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x+4x  trên khoảng 0;+ . Tìm m.
Xem đáp án

Đáp án A.

Hàm số y=x+4x  liên tục trên 0;+

Ta có: y'=14x2=0x=20;+x=20;+

Bảng biến thiên hàm số y=x+4x  trên 0;+  như sau

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x+4/x trên khoảng (0;+vô cực) . Tìm m. (ảnh 1)

 

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m=min0;+y=y2=4

 


Câu 17:

Cho hàm số y=mx2m3xm  (với m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

Xem đáp án

Đáp án D.

TXĐ: D=\m

Ta có y'=m2+2m+3xm2

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì: y'>0,xD

m2+2m+3>01<m<3

Mà mm0;1;2

Vậy S=0;1;2


Câu 18:

Tính tổng T của phần thực và phần ảo của số phức z=2+3i2  .

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có z=2+3i2=22+2.2.3i+3i2=2+62i9=7+62i

Suy ra T=7+62


Câu 19:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A1;1;2,B3;2;3 . Mặt cầu (S) có tâm I thuộc Ox và đi qua hai điểm A, B có phương trình.

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi Ia;0;0OxIA1a;1;2IB3a;2;3

Do (S) đi qua hai điểm A,B nên IA=IB1a2+5=3a2+13

 4a=16a=4

(S) có tâm I(4;0;0), bán kính R=IA=14

S:x42+y2+z2=14x2+y2+z28x+2=0


Câu 20:

Đặt log32=a , khi đó  log162 bằng

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có: log1627=log2433=34log23=34a .

Công thức biến đổi: logabcd=dblogac  (với 0<a1;cd>0  )


Câu 21:

Kí hiệu z1,z2,z3,z4  là bốn nghiệm phức của phương trình z4+4z25=0 . Giá trị của z12+z22+z32+z42  bằng

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có: z4+4z25=0z2=1z2=5

Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là: z1=1,z2=1,z3=i5,z4=i5

Do đó: z12+z22+z32+z42=12+12+52+52=12


Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi (P)   là mặt phẳng đi qua hai điểm A2;1;1,B1;2;3  và (P) vuông góc với mặt phẳng Q:x+y+z=0 . Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) 
Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có AB=3;3;4,Q  có vectơ pháp tuyến là nQ=1;1;1

Gọi vectơ pháp tuyến của (P) là nP

nPAB  nPnQ  nên ta chọn nP=AB,nQ=1;1;0

Lại có n4=12;12;0  cùng phương với nP  nên chọn đáp án C

Câu 23:

Tập nghiệm S của bất phương trình log22x5log2x60  
Xem đáp án

Đáp án D.

Điều kiện: x>0

Bất phương trình tương đương với: 1log2x621x2612x64

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S=12;64


Câu 26:

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=x21x1  bằng

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có limxy=1;limx+y=1  nên y=1;y=1  là các đường TCN.

limx1+y=+  nên x=1  là các đường TCĐ.


Câu 27:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'  có tất cả các cạnh đều bằng 2a, đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. Tính theo a thể tích V  của khối hộp đã cho.

Xem đáp án

Đáp án D.

Cho hình hộp  ABCD. A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng  2a, đáy ABCD là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của đỉnh   trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. Tính theo a thể tích V  của khối hộp đã cho. (ảnh 1)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD,

suy ra    A'OABCD 

Tam giác A'OA vuông tại O, có

A'O=AA'2AO2=4a22a2=a2

Diện tích hình vuông ABCD là:

 SABCD=4a2(đvdt)

Thể tích khối hộpABCD. A'B'C'D'   là:

 VABCD.A'B'C'D'=SΔABCD.A'O=4a32(đvdt)


Câu 28:

Tính đạo hàm của hàm số y=2x2

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có y'=x2'.2x2.ln2=2x.2x2.ln2=x.21+x2.ln2     Áp dụng công thức au'=u'.au.lna


Câu 29:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên R và có bảng biến thiên sau:
Cho hàm số y=f(x)  xác định và liên tục trên R  và có bảng biến thiên sau: (ảnh 1)
Tìm m để phương trình f(x)=m+1   có 4 nghiệm phân biệt
Xem đáp án

Đáp án D.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình fx=m+1  có 4 nghiệm phân biệt thì 4<m+1<15<m<0


Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD^=60° , SA=SB=SD=a32 . Gọi φ  là góc giữa hai mặt phẳng SBD  ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc BAD=60 độ ,  SA=SB=SD=(a căn 3)/2. Gọi  anpha là góc giữa hai mặt phẳng  (SBD) và (ABCD) . Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Từ giả thiết suay ra tam giác ABD đều cạnh a.

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD)

Do SA=SB=SC nên suy ra H cách đều các đỉnh của tam giác

ABD hay H là tâm của tam giác đều ABD.

Suy ra HI=13AI=a36  và SH=SA2AH2=a156

ABCD là hình thoi nên HIBD

Tam giác SBD cân tại S nên SIBD

Do đó SBD,ABCD^=SI,AI^=SIH^

Trong tam giác vuông SHI, có tanSIH^=SHHI=5

Câu 31:

Tính P tích tất cả các nghiệm của phương trình log2xlogx64=1.
Xem đáp án

Đáp án B.

Điều kiện: 0<x1

Phương trình tương đương với: log2x6logx2=1

Đặt t=log2xt0 , phương trình trở thành t6t=1t2t6=0t0t=3t=2

log2x=3log2x=2x=8=x1x=14=x2P=x1x2=2


Câu 32:

Cho  đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô đậm quay quanh đường thằng AD bằng
Cho   đều cạnh a và nội tiếp trong đường tròn tâm O, AD là đường kính của đường tròn tâm O. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng AD bằng: (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi thể tích của khối tròn xoay sinh ra do phần tô đậm quay quanh đường thẳng ADV1.

Gọi thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình tam giác ABC quay quanh đường thẳng ADV2.

Gọi thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình tròn đường kính AD quay quanh đường thẳng ADV3.

Khi đó: V1=V3V2=43π.OA313π.HC2.AH

=43.π.a33313.π.a22.a32=23πa33216


Câu 33:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \0  thỏa mãn f'x+fxx=x2  f1=1 . Giá trị của f32   bằng 

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có f'x+fxx=x2x.f'x+fx=x3x.fx'=x3x.fx=x3dx=x44+C

Vì f1=114+C=1C=54fx=x3454xf32=196


Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC=2a,BC=a . Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C. Tính khoảng cách d từ trung điểm M của SC đến mặt phẳng (SBD).

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi O là trung điểm AC, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do đỉnh S cách đều các điểm A, B, C nên SOABCD

Ta có dM,SBD=12dC,SBD

Kẻ CEBD

Khi đó dC,SBD=CE=CB.CDCB2+CD2=a32

Vậy dM,SBD=12CE=a34


Câu 35:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M2;1;1   và hai đường thẳng d1:x21=y12=z12,d2:x22=y+31=z11 . Đường thẳng Δ  cắt d1,d2  lần lượt tại AB sao cho M là trung điểm của AB có phương trình

Xem đáp án

Đáp án A.

Do A=Δd1  suy ra Ad  nên A2+t;12t;1+2t

M là trung điểm AB, suy ra Bt+2;2t3;2t+1

Theo giả thiết Bd2,  nên t+222=2t3+31=2t+111t=0A2;1;1B2;3;1

Đường thẳng Δ  đi qua hai điểm A2;1;1,B2;3;1  nên Δ:x=2y=1+tz=1


Câu 36:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y=2x+1x+m   nghịch biến trên khoảng 2;+ ?

Xem đáp án

Đáp án A.

TXĐ: D=/m

Ta có y'=2m1x+m2

Để hàm số nghịch biến trên 2;+  thì y'<0,x2;+m2;+

2m1<0m2m<12m22m<12


Câu 37:

Cho số phức w thỏa mãn w=1i2.z , biết z=m . Tính w .
Xem đáp án

Đáp án C.

Lấy môđun 2 vế của w=1i2.z , ta được: w=1i2.z=1i2.z=2i.z=2m


Câu 38:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị hàm số y=f(x) như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y=2021ffx1 .

Cho hàm số  y=f(x) có đạo hàm liên tục trên  R và đồ thị hàm số y=f(x)  như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số  y=2021 ^(f(f(x)-1).   (ảnh 1)

Xem đáp án

Ta có y'=f'xf'fx1.2021ffx1ln2021=0f'x=0           (1)f'fx1=0   (2)

Ta có 1x1=1x2=1x3=3x4=6  và 2fx1=1fx1=1fx1=3fx1=6fx=0fx=2fx=4fx=7

Dựa vào đồ thị ta có

+ f(x)=0 có 1 nghiệm  là nghiệm bội 1.

+ f(x)=2 có 5 nghiệm  là các nghiệm bội 1.

+ f(x)=4 có 1 nghiệm  là nghiệm bội 1.

+ f(x)=7 có 1 nghiệm  là nghiệm bội 1.

Suy ra y' có 12 nghiệm phân biệt mà qua đó y' đổi dấu.

Vậy hàm số y=2021ffx1  có 12 điểm cực trị.


Câu 39:

Bất phương trình 1+2x+12a21x4=0  có 2 nghiệm phân biệt x1,x2  thỏa mãn x1x2=log1+23 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt t=1+2xt>01+2x=1t

Phương trình đã cho trở thành: t+12at4=0t24t+12a=0    (1)

Ta cần tìm a để (1) có hai nghiệm dương t1;t2  khi đó: x1x2=log1+2t1log1+2t2 =log1+2t1t2=log1+23t1t2=3t1=3t2

Kết hợp Vi-ét ta có: t1+t2=4t1t2=12at1=3t2t1=3t2=112a=3t1=3t2=1a=1


Câu 40:

Bạn Hùng trúng tuyển vào đại học nhưng vì không đủ nộp tiền học phí Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm 3 000 000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3%/năm. Sau khi tốt nghiệp đại học Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất 0,25%/tháng trong vòng 5 năm. Số tiền T mà Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến hàng đơn vị) là

Xem đáp án

Đáp án D.

Tính tổng số tiền mà Hùng nợ sau 4 năm học:

Sau 1 năm số tiền Hùng nợ là: 3+3r=31+r

Sau 2 năm số tiền Hùng nợ là: 31+r2+31+r

Tương tự: Sau 4 năm số tiền Hùng nợ là: 31+r4+31+r3+31+r2+31+r=12927407,43=A

Tính số tiền T mà Hùng phải trả trong 1 tháng:

Sau 1 tháng số tiền còn nợ là: A+ArT=A1+rT

Sau 2 tháng số tiền còn nợ là: A1+rT+A1+rT.rT=A1+r2T1+rT

Tương tự sau 60 tháng số tiền còn nợ là: A1+r60T1+r59T1+r58...T1+rT

Hùng trả hết nợ khi và chỉ khi A1+r60T1+r59T1+r58...T1+rT=0

A1+r60T1+r591+r58...1+r1=0

A1+r60T.1+r6011+r1=0

T=A1+r601+r601232,289


Câu 41:

Cho hàm số y=x3+x2+m2+1x+27 . Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 3;1  có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tích các phần tử của S

Xem đáp án

Đáp án D.

Xét hàm số fx=x3+x2+m2+1x+27  liên tục trên đoạn 3;1 .

Ta có f'x=3x2+2x+m2+1>0  với mọi x3;1

Ta lại có f3=63m2;f1=26m2

Suy ra max3;1fx=max63m2;26m2=M

Ta có  M63m2M26m2M63m23M3m2784M72M18

Dấu “=” xảy ra khi 63m2=26m2=1863m23m78>0m2=8m=22m=22

Vậy với m=22m=22  thì giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 3;1  có giá trị nhỏ nhất.

Khi đó tích các giá trị là 22.22=8


Câu 42:

Cho tập hợp A=1;2;3;...;10 . Chọn ngẫu nhiên ba số từ A. Tìm xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp

Xem đáp án

Đáp án D.

Chọn 3 số bất kì có C103=120  cách.

TH1: 3 số chọn ra là 3 số tự nhiên liên tiếp có 8 cách

TH2: 3 số chọn ra là 2 số tự nhiên liên tiếp

·        3 số chọn ra có cặp (1;2) hoặc (9;10) có 2.7=14   cách

·        3 số chọn ra có cặp 2;3,3;4,...,8;9  có 6.6=36   cách

Vậy xác suất cần tìm là 12081436120=715 .


Câu 43:

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa hình tròn (phần tô đậm) và cách nhau một khoảng 4 m. Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô đậm) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150 000 đồng/m2 và 100 000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa hình tròn (phần tô đậm) và cách nhau một khoảng 4 m. Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô đậm) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150 000 đồng/m2 và 100 000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) (ảnh 1)

 

Xem đáp án

Đáp án D.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa hình tròn (phần tô đậm) và cách nhau một khoảng 4 m. Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô đậm) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150 000 đồng/m2 và 100 000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) (ảnh 2)

Ta có Parabol có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm (2;4)

nên có phương trình y=x2

Đường tròn tâm là gốc tọa độ đi qua điểm có tọa độ (2;4)

nên có bán kính R=25  có phương trình x2+y2=20

Gọi S là diện tích phần tô đậm.

Ta có S=2220x2x2dx11,9396

Diện tích nửa hình tròn là  nên diện tích phần còn lại là: 10πS

Vậy số tiến cần tìm là: S.150000+10πS.100  0003  738   574  (đồng).


Câu 44:

Cho hàm số y=fx  có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt gx=3ffx+4 . Số điểm cực trị của hàm số  
Cho hàm số y=f(x)  có đạo hàm trên R  và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt g(x)=3f(f(x)+4 . Số điểm cực trị của hàm số  g(x) là (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án B.

Cho hàm số y=f(x)  có đạo hàm trên R  và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt g(x)=3f(f(x)+4 . Số điểm cực trị của hàm số  g(x) là (ảnh 2)

Ta có: g'x=3f'fx.f'x .

g'x=03f'fx.f'x=0

f'fx=0f'x=0fx=0fx=ax=0x=a2<a<3

Ta có f(x)=0 có 3 nghiệm đơn phân biệt x1,x2,x3  khác 0 và a.

2<a<3  nên fx=a  có 3 nghiệm đơn phân biệt x4,x5,x6  khác x1,x2,x3,0,a

Suy ra g'x=0  có 8 nghiệm đơn phân biệt.

Do đó hàm số gx=3ffx+4  có 8 điểm cực trị.


Câu 45:

Cho hàm số y=fx  . Hàm số y=f'x  có bảng biến thiên như sau
Cho hàm số y=f(x) . Hàm số  y=f'(x) có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)

Bất phương trình fx>2cosx+3m  nghiệm đúng với mọi x0;π2  khi và chỉ khi.

Xem đáp án

Đáp án A.

Bất phương trình đã cho tương đương với: 3m<fx2cosx,x0;π2

Xét hàm số gx=fx2cosx  trên  0;π2.

Bài toán trở thành tìm m để 3m<gx,x0;π23mmin0;π2gx

Ta có g'x=f'x+2cosx.sinx.ln2

Nhận xét: Với x0;π21<f'x<60<2cosx.sinx.ln2g'x>0

Do đó ta có 3mmin0;π2gx=g0=f02cos0=f02

Vậy m13f02


Câu 46:

Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng chứa đường thẳng AB, đi qua điểm C' của cạnh SC chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số SC'SC .

Xem đáp án

Đáp án C.

Xét khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng chứa đường thẳng AB, đi qua điểm  của cạnh SC chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số SC'/SC . (ảnh 1)

Gọi O là tâm mặt đáy (ABCD) của hình chóp

tứ giác đều S.ABCD.

Trong (SAD), gọi I  là giao điểm của SO và AC'

Trong (SBD), gọi D' là giao điểm của BISD

ABC'ABC'D'

Ta có CD//C'D'SC'SC=SD'SD=k

VS.ABC'D'VS.ABCD=VS.ABC'+VS.AC'D'VS.ABCD=k.VS.ABC+k2.VS.ACDVS.ABCD=12k.VS.ABCD+12k2.VS.ABCDVS.ABCD=12

12k+12k2=12k=512k=512  (loai)


Câu 47:

Cho a,b,c  là các số thực biết log2a+b+ca2+b2+c21=aa2+bb2+cc2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=3a+2b+ca+b+c

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có: log2a+b+ca2+b2+c2+1=aa2+bb2+cc2

log2a+b+c+2a+b+c+1=log2a2+b2+c2+1+a2+b2+c2+1

log22a+2b+2c+2a+2b+2c=log2a2+b2+c2+1+a2+b2+c2+1*

Xét hàm ft=log2t+t  (với t>0  )

Ta có f't=1tln2+1>0,t0;+,  nên hàm số f(t) đồng biến trên 0;+ .

Nhận thấy: f2a+2b+2c=fa2+b2+c2+1 , nên 2a+2b+2c=a2+b2+c2+1  là nghiệm duy nhất của phương trình (*) hay a12+b12+c12=2

Ta lại có, P=3a+2b+ca+b+cP3a1+P2b1+P1c1=63P**

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

63P2=P3a1+P2b1+P1c12

2P32+P22+P123P212P+806233P6+233

Vậy Pmax=6+233  khi a=3+13,b=13,c=133


Câu 48:

Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương trên [0;1], có đạo hàm dương liên tục trên [0;1], thỏa mãn 01x.f'xfxdx1  f0=1;f1=e2 . Tính giá trị của f12 .
Xem đáp án

Đáp án C.

Hàm dưới dấu tích phân là x.f'xfx=x.f'xfx,x0;1

Điều này làm ta liên tưởng đến đạo hàm đúng f'xfx , muốn vậy ta phải đánh giá theo AMGM  như sau: f'xfx+mx2m.x.f'xfx  với m0  và x0;1

Do đó ta cần tìm tham số m0  sao cho 01f'xfx+mxdx2m.01x.f'xfxdx

Hay lnfx10+mx22102m.1lnf1lnf0+m22m20+m22m

Để dấu “=” xảy ra thì ta cần có 20+m2=2mm=4

Với m=4 thì đẳng thức xảy ra nên f'xfx=4x

f'xfxdx=4xdxlnfx=2x2+Cfx=e2x2+C

Theo giả thiết f0=1f1=e2C=0fx=e2x2f12=e


Câu 49:

Cho phương trình: 8x+3x.4x+3x2+1.2x=m31x3+m1x  có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc 0;10 .
Xem đáp án

Đáp án B.

Phương trình tương đương với: 8x+3x.4x+3x2.2x+2x=m3x3x3+mxx

8x+3x.4x+3x2.2x++x3+2x+x=m3x3+mx

2x3+3.2x2.x+3.2x.x2+x3+2x+x=m3x3+mx2x+x3+2x+x=m3x3+mx

Xét hàm số ft=t3+t,f't=3t2+1>0,t                

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R; nhận thấy f2x+x=fmx2x+x=mx   là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ta có: 2x+x=mxm=2xx+1  (vì x=0 không là nghiệm của phương trình).

Bài toán trở thành tìm m để phương trình m=2xx1  có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc (0;10).

Xét hàm số fx=2xx+1,x0f'x=2xxln21x2=0x=1ln20;10

Ta có bảng biến thiên:

Cho phương trình: 8^x+3x4^x+(3x^2+1)2^x=(m^3-1)x^3+(m-1)x  có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc (0;10) . (ảnh 1)

Nhìn vào bảng biến thiên, suy ra: eln2+1<m<5175mm3;4;...;102;103

Vậy có 101 giá trị nguyên m thỏa mãn đề bài.


Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;1;2,B1;0;4,C0;1;3  và điểm M thuộc mặt cầu S:x2+y2+z12=1 . Khi biểu thức MA2+MB2+MC2  đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn AM bằng

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi G là trọng tâm ΔABC

Ta có G(0;0;3) và GS

Khi đó: MA2+MB2+MC2=MG+GA2+MG+GB2+MG+GC2

=3MG2+2MGGA+GB+GC+GA2+GB2+GC2=3MG2+6Do đó MA2+MB2+MC2minMG  ngắn nhất.

Ta lại có, mặt cầu (S) có bán kính R=1 tâm I(0;0;1) thuộc Oz và (S) qua O.

GOz  nên MG ngắn nhất khi M=OzS

Do đó M0;0;2 . Vậy MA=2

 


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan