50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 6

Câu 1:

Thể tích khối lập phương tăng thêm bao nhiêu lần nếu độ dài cạnh của nó tăng gấp đôi?

A. 8.

B. 7.

C. 1.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án B

Giả sử cạnh ban đầu là a thì cạnh lúc sau là 2a.

Có thể tích tăng thêm là:

Δ V = V_{2} - V_{1} = {(2 a)}^{3} - a^{3} = 7 a^{3} = 7 V_{1}

Câu 2:

Hàm số

y = 2 x^{3} - x^{2} + 5

có điểm cực đại là

A.

x = \frac{1}{3} .

B. x=0

C. M(0;5)

D. y=5

Xem đáp án

Đáp án B

TXĐ: $D = ℝ$ .

Ta có: $\{\begin{cases} y' = 6 x^{2} - 2 x \\ y'' = 12 x - 2 \end{cases} .$

Ta lại có: $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{1}{3} \end{array} .$

Nhận thấy: $y'' (0) = - 2 < 0 \Rightarrow x = 0$ là điểm cực đại của hàm số.

Câu 3:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu

\vec{u}

là véctơ chỉ phương của trục Oy thì

A.

\vec{u}

cùng hướng với

\vec{j} = (0; 1; 0)

.

B.

\vec{u}

cùng phương với

\vec{j} = (0; 1; 0)

.

C.

\vec{u}

cùng hướng với

\vec{i} = (1; 0; 0)

.

D.

\vec{u}

cùng phương với

\vec{i} = (1; 0; 0)

.

Xem đáp án

Đáp án B

Trục Oy có một véctơ chỉ phương là $\vec{j} = (0; 1; 0)$ .

Mà $\vec{u}$ cũng là véctơ chỉ phương của trục Oy nên $\vec{u}$ cùng phương với véctơ $\vec{j}$ .

Câu 4:

Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$ ?

A.

y = - x^{4} + 3 x^{2} - 2 x + 1.

B.

y = \frac{x + 1}{2 x - 2} .

C.

y = - x^{3} + x^{2} - 2 x + 1.

D.

y = x^{3} + 3.

Xem đáp án

Đáp án C

Loại A và B vì hàm bậc bốn và hàm bậc nhất trên bậc nhất không bao giờ đơn điệu trên $(- \infty; + \infty)$ .

Xét hàm $y = - x^{3} + x^{2} - 2 x + 1$ .

TXĐ: D=R.

Ta có: $y' = - 3 x^{2} + 2 x - 2 = - 3 [{(x - \frac{1}{3})}^{2} + \frac{5}{9}] < 0, \forall x \in ℝ$ .

Suy ra hàm số nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$ .

Xét hàm: $y = x^{3} + 3$ .

TXĐ: D=R.

Ta có: $y' = 3 x^{2} \geq 0$ ; suy ra hàm số đồng biến trên $(- \infty; + \infty)$ .

Câu 5:

Cho a, b là các số thực dương,

a \neq 1

và

n \neq 0

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

\log_{a^{n}} b = \log_{a} b^{n} .

B.

\log_{a^{n}} b = \sqrt[n]{\log_{a} b} .

C.

\log_{a^{n}} b = \log_{a}^{n} b^{} .

D.

\log_{a^{n}} b = \frac{1}{n} \log_{a} b .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\log_{a^{n}} b = \frac{1}{n} \log_{a} b$ .

Câu 6:

Biết f(x) là hàm liên tục trên R và $\int_{0}^{9} f (x) d x = 9$ . Khi đó giá trị của $\int_{1}^{4} f (3 x - 3) d x$ là:

A. 0

B. 27

C. 3

D. 24

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt: $t = 3 x - 3 \Rightarrow d t = 3 d x$ .

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 1 \Rightarrow t = 0 \\ x = 4 \Rightarrow t = 9 \end{cases}$ .

Ta có: $\int_{1}^{4} f (3 x - 3) d x = \int_{0}^{9} \frac{1}{3} f (t) d t = \frac{1}{3} \int_{0}^{9} f (t) d t = \frac{1}{3} \int_{0}^{9} f (x) d x = \frac{1}{3} .9 = 3$ .

Vậy $\int_{1}^{4} f (3 x - 3) d x = 3$ .

Câu 7:

Cho hình trụ tròn xoay có thiết diện qua trục là hình vuông có diện tích $4 a^{2}$ . Thể tích khối trụ đã cho là:

A.

2 π a^{3} .

B.

\frac{2 π a^{3}}{3} .

C.

8 π a^{3} .

D.

4 π a^{3} .

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi V là thể tích khối trụ tròn xoay đáy là hình tròn bán kính r và có chiều cao h.

Theo giả thiết, ta có: $h^{2} = 4 a^{2} \Rightarrow h = 2 a; r = \frac{2 a}{2} = a$ .Do đó, thể tích khối trụ tròn xoay là: $V = π r^{2} h = π a^{2} .2 a = 2 π a^{3}$ .

Câu 8:

Gọi

x_{1}, x_{2}

là 2 nghiệm của phương trình . Khi đó giá trị

4^{x + 1} - {5.2}^{x + 1} + 4 = 0

là:

A.

S = - 1.

B.

S = 0.

C.

S = 1.

D.

S = 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình tương đương với: ${4.4}^{x} - {5.2.2}^{x} + 4 = 0 \Leftrightarrow 4. {(2^{x})}^{2} - {10.2}^{x} + 4 = 0$ .

Đặt $t = 2^{x}$ (với $t > 0$ ) $\Rightarrow 4 t^{2} - 10 t + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 2 \\ t = \frac{1}{2} \end{array}$ (thỏa mãn).

+ Với $t = 2 \Rightarrow 2^{x} = 2 \Rightarrow x = 1.$

+ Với $t = \frac{1}{2} \Rightarrow 2^{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = - 1.$

Do đó: $S = 0$ .

Câu 9:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz?

A.

(α) : z = 0.

B.

(P) : x + y = 0.

C.

(Q) : x + 11 y + 1 = 0.

D. $(β) : z = 1.$

Xem đáp án

Đáp án C

Trục Oz có một vectơ chỉ phương là $\vec{k} = (0; 0; 1)$ , nếu một mặt phẳng song song với trục Oz thì vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng đó phải vuông góc với vectơ $\vec{k}$ , tức là $\vec{n} = (a; b; 0)$ với $a, b \in ℝ$ .

Cả hai mặt phẳng $(P), (Q)$ cùng thỏa mãn điều kiện trên, mặt khác, vì $O \in (P)$ và $O \notin (Q)$ nên mặt phẳng $(P)$ chứa trục Oz (loại), mặt phẳng (Q) song song trục Oz (nhận).

Câu 10:

Cho biết hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f' (x)$ và có một nguyên hàm là $F (x)$ . Tìm $I = \int [2 f (x) + f' (x) + 1] d x$ ?

A.

I = 2 x F (x) + x + 1.

B.

I = 2 F (x) + x f (x) + C .

C.

I = 2 x F (x) + f (x) + x + C .

D.

I = 2 F (x) + f (x) + x + C .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $I = \int [2 f (x) + f' (x) + 1] d x = 2 F (x) + f (x) + x + C$ .

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = - 3 + 5 t \end{cases}$ . Phương trình chính tắc của d là:

A.

\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 3}{- 3} = \frac{z + 3}{5} .

B.

\frac{x + 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 3}{5} .

C.

\frac{x}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z}{5} .

D.

\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 3}{5} .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $d : \{\begin{cases} x = 2 + 2 t \\ y = - 3 t \\ z = - 3 + 5 t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = \frac{x - 2}{2} \\ t = \frac{y}{- 3} \\ t = \frac{z + 3}{5} \end{cases} .$

Do đó phương trình chính tắc của d là: $\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 3}{5} .$

Câu 12:

Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?

A. 15.

B. 360.

C. 24.

D. 17280.

Xem đáp án

Đáp án B

Số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

Suy ra có $A_{6}^{4} = 360$ cách.

Câu 13:

Công thức nào sau đây là đúng với một cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$ , công sai d và số tự nhiên $n \geq 2$ .

A.

u_{n} = u_{1} - (n - 1) d .

B.

u_{n} = u_{1} + (n + 1) d .

C.

u_{n} = u_{1} + (n - 1) d .

D.

u_{n} = u_{1} + d .

Xem đáp án

Đáp án C

Một cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$ , công sai d thì số hạng tổng quát được tính theo công thức: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ (với $n \geq 2$ ).

Câu 14:

Số phức liên hợp của số phức

z = 2 - 3 i

là

A.

z = 3 + 2 i .

B.

\bar{z} = 3 - 2 i .

C.

\bar{z} = 2 + 3 i .

D.

\bar{z} = - 2 + 3 i .

Xem đáp án

Đáp án C

Số phức liên hợp của số phức $z = 2 - 3 i$ là $\bar{z} = 2 + 3 i$ .

Câu 15:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị như hình bên. Tính $f (2)$ .

Cho hàm số y=ax^4+bx^2+c có đồ thị như hình bên. Tính f(2) . (ảnh 1)

A. f(2)=15

B. f(2)=18

C. f(2)=16

D. f(2)=17

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 4 a x^{3} + 2 b x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = - \frac{b}{2 a} \end{array} .$

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;1) nên c=1, suy ra hàm số có dạng $y = a x^{4} + b x^{2} + 1$ .

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;-1) nên ta có: $- 1 = a + b + 1 \Leftrightarrow a + b = - 2 (1) .$

Hàm số có 3 điểm cực trị $x = 0; x = \pm 1$ , nên $\frac{- b}{2 a} = 1 \Leftrightarrow 2 a + b = 0 (2) .$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 a + b = 0 \\ a + b = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 4 \end{cases} .$

$\Rightarrow y = 2 x^{4} - 4 x^{2} + 1 \Rightarrow f (2) = {2.2}^{4} - {4.2}^{2} + 1 = 17$ .

Câu 16:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn

[- 1; 5]

và có đồ thị trên đoạn

[- 1; 5]

như hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn

[- 1; 5]

bằng:

A. -1

B. 4

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào đồ thị ta có: $\min_{[- 1; 5]} f (x) = - 2$ và $\max_{[- 1; 5]} f (x) = 3$ .

Câu 17:

Tập hợp các số thực m để hàm số $y = x^{3} + (m + 4) x^{2} + (5 m + 2) x + m + 6$ đạt cực tiểu tại $x = - 2$ là:

A.

\emptyset .

B.

ℝ .

C.

\{2\} .

D.

\{- 2\} .

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: $D = ℝ$ .

Ta có: $\{\begin{cases} y' = 3 x^{2} + 2 (m + 4) x + 5 m + 2 \\ y'' = 6 x + 2 (m + 4) \end{cases}$ .

Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 2$ thì $\{\begin{cases} y' (- 2) = 0 \\ y'' (- 2) > 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 12 - 4 (m + 4) + 5 m + 2 = 0 \\ - 12 + 2 m + 8 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 2 \\ m > 2 \end{cases} \Leftrightarrow m \in \emptyset$ .

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18:

Tìm các giá trị của tham số thực x, y để số phức

z = {(x + i y)}^{2} - 2 (x + i y) + 5

là số thực.

A.

x = 1

và

y = 0.

B.

x = - 1.

C.

x = 1

hoặc

y = 0.

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\begin{array}{l} z = {(x + i y)}^{2} - 2 (x + i y) + 5 = x^{2} + 2 i x y - y^{2} - 2 x - 2 i y + 5 \\ = (x^{2} - y^{2} - 2 x + 5) + 2 (x y - y) i \end{array}$

Để z là số thực $\Leftrightarrow 2 (x y - y) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 0 \\ x = 1 \end{array} .$

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm $I (6; 3; - 4)$ tiếp xúc với Ox có bán kính R bằng:

A. R=6

B. R=5

C. R=4

D. R=3

Xem đáp án

Đáp án B

Bán kính $R = d (I, O x) = \sqrt{y_{1}^{2} + z_{1}^{2}} = 5$ .

Câu 20:

Cho $M = \log_{12} x = \log_{3} y$ với $x > 0, y > 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

M = \log_{4} (\frac{x}{y}) .

B.

M = \log_{36} (\frac{x}{y}) .

C.

M = \log_{9} (x - y) .

D.

M = \log_{15} (x + y) .

Xem đáp án

Đáp án A

Từ $M = \log_{12} x = \log_{3} y \to \{\begin{cases} x = 12^{M} \\ y = 3^{M} \end{cases} \to \frac{x}{y} = 4^{M} \overset{}{\to} M = \log_{4} (\frac{x}{y})$ .

Cách trắc nghiệm:

+ Cho $x = 12 \overset{}{\to} y = 3$ . Khi đó $M = 1$ .

Thử $x = 12; y = 3$ vào các đáp án thì có các đáp án A, C, D đều thỏa mãn. Ta chưa kết luận được.

+ Cho $x = 12^{2} \overset{}{\to} y = 3^{2}$ . Khi đó $M = 2$

Thử vào các đáp án thì có đáp án A thỏa mãn

Câu 21:

Kí hiệu $z_{1}, z_{2}$ là nghiệm phức của phương trình $2 z^{2} + 4 z + 3 = 0$ . Tính giá trị biểu thức $P = |z_{1} z_{2} + i (z_{1} + z_{2})|$ .

A. P=1

B. $P = \frac{7}{2} .$

C.

P = \sqrt{3} .

D.

P = \frac{5}{2} .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $z_{1}, z_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình $2 z^{2} + 4 z + 3 = 0$ .

Theo định lý Vi-ét ta có: $\{\begin{cases} z_{1} + z_{2} = - 2 \\ z_{1} . z_{2} = \frac{3}{2} \end{cases} .$

Biểu thức $P = |z_{1} . z_{2} + i (z_{1} + z_{2})| = |\frac{3}{2} + i (- 2)| = |\frac{3}{2} - 2 i| = \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} + {(- 2)}^{2}} = \frac{5}{2}$ .

Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình của các mặt phẳng song song với mặt phẳng $(β) : x + y - z + 3 = 0$ và cách $(β)$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$ .

A.

x + y - z + 6 = 0

và

x + y - z = 0

.

B.

x + y - z + 6 = 0

.

C.

x - y - z + 6 = 0

và

x - y - z = 0

.

D.

x + y + z + 6 = 0

và

x + y + z = 0

.

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $(α)$ là mặt phẳng cần tìm.

Ta có: $A (0; 0; 3) \in (β)$ .

Do $(α) / / (β)$ nên phương trình của mặt phẳng $(α)$ có dạng $x + y - z + m = 0$ , với $m \neq 3$ .

Có $d ((α), (β)) = \sqrt{3} \Leftrightarrow d (A, (α)) = \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{|m - 3|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \Leftrightarrow |m - 3| = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 6 \\ m = 0 \end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình của các mặt phẳng cần tìm là $x + y - z + 6 = 0$ và $x + y - z = 0$ .

Câu 23:

Tập nghiệm của bất phương trình

3^{x^{2} - 2 x} < 27

là:

A.

(- \infty; - 1) .

B.

(3; + \infty) .

C.

(- 1; 3) .

D. $(- \infty; - 1) \cup (3; + \infty) .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $3^{x^{2} - 2 x} < 27 \Leftrightarrow 3^{x^{2} - 2 x} < 3^{3} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 3$ .

Câu 24:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = x^{3} - x; y = 2 x$ và các đường $x = 1; x = - 1$ được xác định bởi công thức:

A.

S = \int_{- 1}^{0} (x^{3} - 3 x) d x + \int_{0}^{1} (3 x - x^{3}) d x .

B.

S = \int_{- 1}^{0} (3 x - x^{3}) d x + \int_{0}^{1} (x^{3} - 3 x) d x .

C.

S = |\int_{- 1}^{1} (3 x - x^{3}) d x| .

D.

S = \int_{- 1}^{1} (3 x - x^{3}) d x .

Xem đáp án

Đáp án A

Diện tích hình phẳng cần tìm là: $S = \int_{- 1}^{1} |(x^{3} - x) - (2 x)| d x = \int_{- 1}^{1} |x^{3} - 3 x| d x$ .

Bảng xét dấu: $x^{3} - 3 x$ .

Dựa vào bảng xét dấu, ta có: $S = \int_{- 1}^{0} (x^{3} - 3 x) d x + \int_{0}^{1} (3 x - x^{3}) d x$ .

Câu 25:

Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=20cm. Gọi $2 α$ là góc ở đỉnh của hình nón với $\tan α = \frac{3}{4}$ . Độ dài đường sinh của hình nón là:

A. 25cm.

B. 35cm.

C. 15cm.

D. 45cm.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $0 ° < α < 90 °$ nên $\cos α > 0$ .

Suy ra $\cos α = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} α}} = \frac{4}{5} .$

Mặt khác: $\cos α = \frac{h}{l} \Rightarrow l = \frac{h}{\cos α} = 25 (c m) .$

Câu 26:

Có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số $y = \frac{m x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2}$ có đúng hai đường tiệm cận?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

TXĐ: $D = ℝ \ \{1; 2\}$ .

Ta có: $\{\begin{cases} \lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{m x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2} = m \\ \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{m x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x + 2} = m \end{cases} \Rightarrow y = m$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận thì đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng.

Khi đó: $[\begin{array}{l} m - 1 = 0 \\ 4 m - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = \frac{1}{4} \end{array} .$

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 27:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và $A C = a \sqrt{2}$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A.

V = \frac{a^{3}}{6} .

B.

V = \frac{a^{3}}{3} .

C.

V = \frac{a^{3}}{2} .

D.

V = a^{3} .

Xem đáp án

Đáp án C

Tam giác ABC vuông cân tại B,

suy ra $B A = B C = \frac{A C}{\sqrt{2}} = a \Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{a^{2}}{2}$ (đvdt).

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V = S_{Δ A B C} . B B' = \frac{a^{3}}{2}$ (đvdt).

Câu 28:

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{1}{5} e^{4 x}$ là:

A.

y' = - \frac{4}{5} e^{4 x} .

B.

y' = \frac{1}{20} e^{4 x} .

C.

y' = \frac{4}{5} e^{4 x} .

D.

y' = - \frac{1}{20} e^{4 x} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y' = \frac{1}{5} . (e^{4 x})' = \frac{1}{5} . (4 x)' . e^{4 x} = \frac{4}{5} e^{4 x} .$

Vậy $y' = \frac{4}{5} e^{4 x}$ .

Câu 29:

$y = f (x)$

Cho hàm số

y = f (x)

xác định trên

ℝ \ \{2\}

, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ:

$Cho hàm số y=f(x0 xác định trên R\{2}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ: (ảnh 1)$

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình $f (x) = m$ có 3 nghiệm thực phân biệt.

A.

(- 1; 1) .

B.

(- 1; 1] .

C.

(- \sqrt{2}; - 1] .

D.

(- \sqrt{2}; - 1) .

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình

f (x) = m

có 3 nghiệm thực phân biệt khi đường thẳng

y = m

cắt đồ thị hàm số

y = f (x)

tại 3 điểm phân biệt.

$Cho hàm số y=f(x0 xác định trên R\{2}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ: (ảnh 2)$

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: $- \sqrt{2} < m < - 1$ .

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, BC=2a . Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), cạnh $S A = a \sqrt{15}$ . Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABD).

A.

30 ° .

B.

45 ° .

C.

60 ° .

D.

90 ° .

Xem đáp án

Đáp án C

Do $S A ⊥ (A B C D)$ nên $\hat{S C, (A B D)} = \hat{S C, (A B C D)} = \hat{S C, A C} = \hat{S C A}$ .

Xét tam giác vuông SAC, ta có: $\tan \hat{S C A} = \frac{S A}{A C} = \frac{S A}{\sqrt{A B^{2} + B C^{2}}} = \sqrt{3} .$

Suy ra $\hat{S C A} = 60 °$ .

Câu 31:

Biết rằng phương trình ${[\log_{\frac{1}{3}} (9 x)]}^{2} + \log_{3} \frac{x^{2}}{81} - 7 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ . Tính $P = x_{1} . x_{2}$ .

A.

P = \frac{1}{9^{3}} .

B.

P = 3^{6} .

C.

P = 9^{3} .

D.

P = 3^{8} .

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $x > 0$ .

Phương trình tương đương với: ${(- 2 - \log_{3} x)}^{2} + \log_{3} x^{2} - \log_{3} 81 - 7 = 0$

$\Leftrightarrow \log_{3}^{2} x + 6 \log_{3} x - 7 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{3} x = 1 \\ \log_{3} x = - 7 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 = x_{1} \\ x = 3^{- 7} = x_{2} \end{array}$ (thỏa mãn).

Suy ra $P = x_{1} x_{2} = {3.3}^{- 7} = 3^{- 6} = \frac{1}{3^{6}} = \frac{1}{9^{3}}$ .

Câu 32:

Một khối gỗ hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng 1, chiều cao bằng 2. Người ta khoét từ hai đầu khối gỗ hai nửa khối cầu mà đường tròn đáy của khối gỗ là đường tròn lớn của mỗi nửa khối cầu. Tỉ số thể tích phần còn lại của khối gỗ và cả khối gỗ ban đầu là:

A.

\frac{2}{3} .

B.

\frac{1}{4} .

C.

\frac{1}{3} .

D.

\frac{1}{2} .

Xem đáp án

Đáp án C

Theo bài toán ta có hình vẽ bên:

Thể tích của khối trụ là: $V = π {.1}^{2} .2 = 2 π$ .

Vì đường tròn đáy của khối trụ là đường tròn lớn của mỗi nửa khối cầu nên bán kính của mỗi nửa khối cầu là R=1.

Thể tích của hai nửa khối cầu bị khoét đi là: $V_{1} = 2. \frac{1}{2} . \frac{4 π {.1}^{3}}{3} = \frac{4 π}{3}$ .

Thể tích của phần còn lại của khối gỗ là: $V_{2} = V - V_{1} = 2 π - \frac{4 π}{3} = \frac{2 π}{3}$ .

Vậy tỉ số thể tích cần tìm là: $\frac{V_{2}}{V} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2 π} = \frac{1}{3} .$

Câu 33:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin^{2} x \cos^{2} x$ là:

A.

\frac{1}{4} x - \frac{1}{16} \sin 4 x + C .

B.

\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin 4 x .

C.

\frac{1}{8} x - \frac{1}{8} \sin 4 x + C .

D. $\frac{1}{4} x - \frac{1}{32} \sin 4 x + C .$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $f (x) = \sin^{2} x \cos^{2} x = \frac{1}{4} \sin^{2} 2 x = \frac{1}{4} (\frac{1 - \cos 4 x}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \cos 4 x$ .

Do đó

\int f (x) d x = \int (\frac{1}{8} - \frac{1}{8} \cos 4 x) d x = \frac{1}{8} x - \frac{1}{8} . \frac{1}{4} . \sin 4 x + C = \frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin 4 x + C

.

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) góc $30 °$ . Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SDC) theo a.

A.

d = \frac{2 a \sqrt{21}}{21} .

B.

d = \frac{a \sqrt{21}}{7} .

C.

d = a .

D.

d = a \sqrt{3} .

Xem đáp án

Đáp án B

Xác định $30 ° = \hat{S D, (A B C D)} = \hat{S D, H D} = \hat{S D H}$ và $S H = H D . \tan \hat{S D H} = \frac{2 a}{3}$ .

Ta có $d (B, (S C D)) = \frac{B D}{H D} . d (H, (S C D)) = \frac{3}{2} . d (H, (S C D))$ .

Ta có: $H C ⊥ A B \Rightarrow H C ⊥ C D$ .

Kẻ $H K ⊥ S C$ . Khi đó $d (H, (S C D)) = H K$ .

Tam giác vuông SHC, có $H K = \frac{S H . H C}{\sqrt{S H^{2} + H C^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{21}}{21}$ .

Vậy $d (B, (S C D)) = \frac{3}{2} H K = \frac{a \sqrt{21}}{7}$ .

Câu 35:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x + y + z - 3 = 0$ và đường thẳng $d : \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ . Hình chiếu của d trên có phương trình là:

A.

\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z + 1}{- 5} .

B.

\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1} .

C.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 1}{- 5} .

D.

\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 4}{1} = \frac{z + 5}{1} .

Xem đáp án

Đáp án C

+ Nếu d cắt (P) tại I, thì ta chọn trên d một điểm $A \neq I$ . Sau đó xác định A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên (P).

Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm I và A’.

+ Nếu d song song (P) thì ta chọn trên d hai điểm phân biệt A và B. Sau đó xác định A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên (P).

Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm A’ và B’.

Câu 36:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (2 m - 1) x + 1$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2?

A.

m = 0, m = 2.

B.

m = 1.

C.

m = 0.

D.

m = 2.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (2 m - 1)$

Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn: $|x_{1} - x_{2}| = 2$ .

Ta có: $Δ' = 9 m^{2} - 9 (2 m - 1) = 9 {(m - 1)}^{2}$ .

Để $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thì $Δ' > 0 \Leftrightarrow 9 {(m - 1)}^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq 1$ .

Theo định lý Vi-ét, ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m \\ x_{1} x_{2} = 2 m - 1 \end{cases} .$

Theo bài ra ta có:

|x_{1} - x_{2}| = 2 \Leftrightarrow {(x_{1} - x_{2})}^{2} = 4 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 4 \Leftrightarrow 4 m^{2} - 8 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 2 \end{array} .

Câu 37:

Môđun của số phức z thỏa mãn $|z - 1| = 5$ và $17 (z + \bar{z}) - 5. z . \bar{z} = 0$ bằng:

A.

\sqrt{53} .

B.

\sqrt{34} .

C.

\sqrt{29}

và

\sqrt{13}

.

D. $\sqrt{29}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $z = a + b i (a; b \in ℝ)$ .

Ta có: $\begin{array}{l} \{\begin{cases} |z - 1| = 5 \\ 17 (z + \bar{z}) - 5. z . \bar{z} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(a - 1)}^{2} + b^{2} = 25 \\ 17.2 a - 5 (a^{2} + b^{2}) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (a^{2} + b^{2}) - 2 a - 24 = 0 \\ 17.2 a - 5 (a^{2} + b^{2}) = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 [(a^{2} + b^{2}) - 2 a - 24] = 0 \\ 17.2 a - 5 (a^{2} + b^{2}) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 34 a + 5 (- 2 a - 24) = 0 \\ 5 (a^{2} + b^{2}) = 17.2 a \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 5 \\ a^{2} + b^{2} = 34 \end{cases} \end{array}$

Suy ra: $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{34}$ .

Câu 38:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn $|f (x + h) - f (x - h)| \leq h^{2}, \forall x \in ℝ, \forall h > 0$ . Đặt $g (x) = {[x + f' (x)]}^{2019} + {[x + f' (x)]}^{29 - m} - (m^{4} - 29 m^{2} + 100) \sin^{2} x - 1$ , m là tham số nguyên và m<27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số g(x) đạt cực tiểu tại x=0. Tính tổng bình phương các phần tử của S.

A. 100.

B. 50.

C. 108.

D. 58.

Xem đáp án

Đáp án A

Từ giả thiết ta có: $\frac{|f (x + 2 h) - f (x)|}{(x + 2 h) - x} \leq \frac{h}{2}, \forall h > 0$ .

$\Rightarrow 0 \leq \lim_{h \to 0} \frac{|f (x + 2 h) - f (x)|}{(x + 2 h) - x} \leq \lim_{h \to 0} \frac{h}{2} = 0 \Rightarrow f' (x) = 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow f (x) = C$ (C là hằng số).

Ta có: $\begin{array}{l} g' (x) = 2019 {[x + f' (x)]}^{2018} [1 + f'' (x)] + (29 - m) {[x + f' (x)]}^{28 - m} [1 + f'' (x)] - (m^{4} - 29 m^{2} + 100) \sin 2 x \\ = 2019 x^{2018} + (29 - m) x^{28 - m} - (m^{4} - 29 m^{2} + 100) \sin 2 x \end{array}$

$g'' (x) = 2019.2018. x^{2017} + (29 - m) (28 - m) x^{27 - m} - 2 (m^{4} - 29 m^{2} + 100) \cos 2 x$ .

Khi đó: $\begin{array}{l} g' (0) = 0; g'' (0) = - 2 (m^{4} - 29 m^{2} + 100) . \\ g'' (0) > 0 \Leftrightarrow m^{4} - 29 m^{2} + 100 < 0 \Leftrightarrow 4 < m^{2} < 25 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 5 < m < - 2 \\ 2 < m < 5 \end{array} . \end{array}$

TH1: m=2, ta có: $g' (x) = 2019 x^{2018} + 27 x^{26} = x^{26} (2019 x^{1992} + 27)$ .

Vì x=0 là nghiệm bội chẵn của phương trình g'(x)=0 nên trường hợp này loại.

TH2: m=5 ta có: $g' (x) = 2019 x^{2018} + 24 x^{23} = x^{23} (2019 x^{1995} + 24)$ .

TH3: m=-2, ta có: $g' (x) = 2019 x^{2018} + 31 x^{30} = x^{30} (2019 x^{1988} + 31)$ .

Vì x=0 là nghiệm bội chẵn của phương trình g'(x) nên m=-2 không thỏa mãn.

TH4:m=5 ta có: $g' (x) = 2019 x^{2018} + 24 x^{23} = x^{23} (2019 x^{1995} + 24)$ .

Do đổi dấu từ âm sang dương khi qua nên hàm số đạt cực tiểu tại .

TH5: ta có: .

Do g'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x=0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0.

Vậy $m \in S = \{- 5; - 4; - 3; 3; 4; 5\}$ nên tổng các bình phương của các phần tử của S là 100.

Câu 39:

Một tỉnh A đưa ra nghị quyết về giảm biên chế cán bộ công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách nhà nước trong giai đoạn 2015-2021 (6 năm) là 10,6% so với số lượng hiện có năm 2015 theo phương thức “ra 2 vào 1” (tức là khi giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước 2 người thì được tuyển mới 1 người). Giả sử tỉ lệ giảm và tuyển dụng mới hàng năm so với năm trước đó là như nhau. Tính tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm (làm tròn đến 0,01%).

A. 1,13%.

B. 1,72%.

C. 2,02%.

D. 1,85%.

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $x (x \in ℕ^{*})$ là số cán bộ công nhân chức tỉnh A năm 2015.

Gọi r là tỉ lệ giảm hàng năm.

Số người mất việc năm thứ nhất là: x.r.

Số người còn lại sau năm thứ nhất là: $x - x . r = x (1 - r) .$

Tương tự, số người mất việc sau năm thứ hai là: $x (1 - r) r .$

Số người còn lại sau năm thứ hai là: $x (1 - r) - x (1 - r) r = x {(1 - r)}^{2} .$

Số người mất việc sau năm thứ sáu là: $x {(1 - r)}^{5} r .$

Tổng số người mất việc là: $x . r + x . (1 - r) . r + x . {(1 - r)}^{2} . r + ... + x . {(1 - r)}^{5} . r = 10,6 % x$

$\Leftrightarrow r + (1 - r) r + {(1 - r)}^{2} r + ... + (1 - r^{5}) r = 0,106 \Leftrightarrow \frac{r [1 - {(1 - r)}^{6}]}{1 - (1 - r)} = 0,106 \Rightarrow r \approx 0,0185$ .

Vì tỉ lệ giảm hàng năm bằng với tỉ lệ tuyển dụng mới nên tỉ lệ tuyển dụng mới hàng năm là 1,85%.

Câu 40:

Trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong 7 vị trí với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau.

A.

\frac{3}{7} .

B.

\frac{30}{343} .

C. $\frac{30}{49} .$

D.

\frac{5}{49} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ba lần quay, mỗi lần chiếc kim có 7 khả năng dừng lại, do đó $n_{Ω} = 7^{3} = 343$ .

Gọi A là biến cố: “trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau”. Khi đó ta có:

Lần quay thứ nhất, chiếc kim có 7 khả năng dừng lại.

Lần quay thứ hai, chiếc kim có 6 khả năng dừng lại.

Lần quay thứ ba, chiếc kim có 5 khả năng dừng lại.

Do đó: $n_{A} = 7.6.5 = 210$ .

Vậy $P (A) = \frac{n_{A}}{n_{Ω}} = \frac{210}{343} = \frac{30}{49}$ .

Câu 41:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = |\frac{1}{4} x^{4} - \frac{19}{2} x^{2} + 30 x + m|$ trên đoạn $[0; 2]$ đạt giá trị nhỏ nhất?

A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án D

Xét hàm số $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{19}{2} x^{2} + 30 x + m$ liên tục trên đoạn $[0; 2]$ .

Ta có: $f (0) = m; f (2) = m + 26$ $f' (x) = x^{3} - 19 x + 30 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 5 \notin [0; 2] \\ x = 3 \notin [0; 2] \\ x = 2 \in [0; 2] \end{array} .$

Ta lại có: $f (0) = m; f (2) = m + 26$ .

Suy ra $\max_{[0; 2]} |f (x)| = \max \{|m|; |m + 26|\} = M$ .

Ta có: $\{\begin{cases} M \geq |m| = |- m| \\ M \geq |m + 26| \end{cases} \Rightarrow 2 M > |- m| + |m + 26| \Leftrightarrow M \geq \frac{|- m| + |m + 26|}{2} \geq \frac{|- m + m + 26|}{2} = 13.$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} |m| = |m + 26| = 13 \\ - m (m + 26) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = - 13.$

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số $y = |\frac{1}{4} x^{4} - \frac{19}{2} x^{2} + 30 x + m|$ trên đoạn $[0; 2]$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 13 khi M=-13.

Vậy có 1 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 42:

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi V(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Biết rằng $V' (t) = a t^{2} + b t$ và ban đầu bể không có nước, sau 5 giây thể tích nước trong bể là $15 m^{3}$ , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là $110 m^{3}$ . Thể tích nước bơm được sau 20 giây bằng:

A.

60 m^{3} .

B.

220 m^{3} .

C.

840 m^{3} .

D.

420 m^{3} .

Xem đáp án

Đáp án C

$V' (t) = a t^{2} + b t \Rightarrow V (t) = \int (a t^{2} + b t) d t = a \frac{t^{3}}{3} + b \frac{t^{2}}{2} + C$ .

Theo bài ta có hệ: $\{\begin{cases} V (0) = 0 \\ V (5) = 15 \\ V (10) = 110 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a \frac{0^{3}}{3} + b \frac{0^{2}}{2} + c = 0 \\ a \frac{5^{3}}{3} + b \frac{5^{2}}{2} + c = 15 \\ a \frac{10^{3}}{3} + b \frac{10^{2}}{2} + c = 110 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{3}{10} \\ b = \frac{1}{5} \\ c = 0 \end{cases} .$

Suy ra $V (20) = \frac{3}{10} . \frac{20^{3}}{3} + \frac{1}{5} . \frac{20^{2}}{2} = 840 m^{2}$ .

Câu 43:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16$ và các điểm $A (1; 0; 2), B (- 1; 2; 2)$ . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng $a x + b y + c z + d = 0$ . Tính $T = a + b + c .$

A. 3.

B. -3

C. 0.

D. -2

Xem đáp án

Đáp án B

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính là R=4.

Ta có A, B nằm trong mặt cầu.

Gọi K là hình chiếu của I trên AB và H là hình chiếu của I lên thiết diện.

Ta có diện tích thiết diện bằng $S = π r^{2} = π (R^{2} - I H^{2})$ .

Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhất khi IH lớn nhất.

Mà IH<IK suy ra (P) qua A, B và vuông góc với IK.

Ta có $I A = I B = \sqrt{5}$ suy ra K là trung điểm của AB.

Vậy K(0;1;2) và $\vec{K I} = (1; 1; 1)$ .

Vậy $(P) : (x - 1) + y + (z - 2) = 0 \Leftrightarrow - x - y - z + 3 = 0$ .

Vậy T=-3

Câu 44:

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in (- 10; 10)$ để $f (\sqrt{x^{2} + 2 x + 10}) - 3 = m$ có nghiệm?

A. 8.

B. 6.

C. 9.

D. 7.

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 2 x + 10} \Rightarrow t = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + 9} \Rightarrow t \geq 3$ .

Để phương trình $f (\sqrt{x^{2} + 2 x + 10}) - 3 = m \Leftrightarrow f (\sqrt{x^{2} + 2 x + 10}) = m + 3$ có nghiệm thì đường thẳng $y = m + 3$ cắt đồ thị $y = f (x)$ tại điểm có hoành độ $x \geq 3$ .

Từ đồ thị ta được $m + 3 \leq 2 \Leftrightarrow m \leq - 1$ .

Mà $m \in (- 10; 10) \Rightarrow$ m có 9 giá trị m thỏa mãn Chọn C.

Câu 45:

Cho hàm số y=f(x) . Hàm số y=f'(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình f(x)<e^((x^2-2x)+m) nghiệm đúng với mọi x thuộc (0;2) khi chỉ khi (ảnh 1)

Bất phương trình $f (x) < e^{x^{2} - 2 x} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in (0; 2)$ khi chỉ khi

A.

m > f (0) - 1.

B.

m > f (1) - \frac{1}{e} .

C.

m \geq f (0) - 1.

D. $m \geq f (1) - \frac{1}{e} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Bất phương trình đã cho tương đương với: $m > f (x) - e^{x^{2} - 2 x}, \forall x \in (0; 2)$ .

Xét hàm số $g (x) = f (x) - e^{x^{2} - 2 x}$ trên $(0; 2)$ .

Bài toán trở thành tìm m để .

Ta có: $g' (x) = f' (x) - 2 (x - 1) e^{x^{2} - 2 x} = 0$ .

TH1: $x \in (0; 1),$ ta có: $\{\begin{cases} f' (x) > 0 \\ 0 < - 2 (x - 1) e^{x^{2} - 2 x} < 2 \end{cases} \Rightarrow g' (x) > 0$ .

TH2: x=1 ta có: $\{\begin{cases} f' (x) = 0 \\ - 2 (x - 1) e^{x^{2} - 2 x} = 0 \end{cases} \Rightarrow g' (x) = 0$ .

Suy ra $g' (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

TH3: $x \in (1; 2),$ ta có: $\{\begin{cases} f' (x) < 0 \\ - 2 < - 2 (x - 1) e^{x^{2} - 2 x} < 0 \end{cases} \Rightarrow g' (x) < 0$

Ta có bảng biến thiên của hàm g(x) trên (0;2).

Dựa vào bảng biến thiên ta có $m > \max_{(0; 2)} g (x) = g (1) = f (1) - \frac{1}{e}$ .

Vậy

m > f (1) - \frac{1}{e}

.

Câu 46:

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA’ và B’C’. Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

A.

\frac{25}{47} .

B. 1.

C.

\frac{49}{95} .

D.

\frac{8}{17} .

Xem đáp án

Đáp án C

Dễ thấy EI=JI=JF.

Từ đó suy ra $\frac{E B}{E B'} = \frac{E M}{E K} = \frac{F A'}{F B'} = \frac{1}{3}$ , suy ra $\frac{F N}{F K} = \frac{1}{2}$ .

Ta có: $d (K; A' B') = \frac{1}{2} d (C'; A' B')$ .

$F B' = \frac{3}{2} A' B' \Rightarrow S_{Δ K F B'} = \frac{3}{4} S_{Δ A' B' C'}$ .

Mặt khác vì $\frac{E B}{E B'} = \frac{1}{3}$ nên suy ra $d (E; (K F B')) = \frac{3}{2} h$ (h là chiều cao lăng trụ).

Do đó $V_{E K F B'} = \frac{3}{8} V$ (V là thể tích lăng trụ).

$\frac{V_{E B I M}}{V_{E B' F K}} = \frac{E I}{E F} . \frac{E M}{E K} . \frac{E B}{E B'} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$ nên $V_{E B I M} = \frac{1}{27} . \frac{3}{8} V = \frac{1}{72} V$ .

$\frac{V_{F A' J N}}{V_{F B' E K}} = \frac{F J}{F E} . \frac{F A'}{F B'} . \frac{F N}{F K} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} . \frac{1}{2} = \frac{1}{18}$ nên $V_{F A' J N} = \frac{1}{18} . \frac{3}{8} V = \frac{1}{48} V$ .

Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần.

Gọi $V_{1}$ là thể tích phần chứa điểm B’ và $V_{1}$ là thể tích phần chứa điểm C.

Ta có: $V_{1} = (\frac{3}{8} - \frac{1}{72} - \frac{1}{48}) V = \frac{49}{144} V \Rightarrow V_{2} = V - \frac{49}{144} V = \frac{95}{144} V$ .

Do đó: $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{49}{95}$ .

Câu 47:

Cho $x, y \in (0; 2)$ thỏa mãn $(x - 3) (x + 8) = e y (e y - 11)$ . Giá trị lớn nhất của $P = \sqrt{\ln x} + \sqrt{1 + \ln y}$ bằng:

A.

\sqrt{1 + \ln 3 - \ln 2} .

B.

2 \sqrt{\ln 3 - \ln 2} .

C.

1 + \sqrt{\ln 3 - \ln 2} .

D.

1 + \sqrt{\ln 2} .

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: $x \geq 1, y \geq \frac{1}{e}$ .

Phương trình tương đương với: $x^{2} + 5 x - 24 = e^{2} y^{2} - 11 e y \Leftrightarrow e^{2} y^{2} - 11 e y - (x^{2} + 5 x - 24) = 0 (*)$

Ta có: $Δ = {(2 x + 5)}^{2} > 0, \forall x \geq 1$ .

Do đó: $(*) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} e y = \frac{11 + (2 x + 5)}{2} \\ e y = \frac{11 - (2 x + 5)}{2} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} e y = x + 8 \\ e y = 3 - x \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = \frac{x + 8}{e} \\ y = \frac{3 - x}{e} \end{array} .$

+ Với $y = \frac{x + 8}{e} \notin (0; 2)$ (vì $\frac{x + 8}{e} > \frac{9}{e} > 2$ ).

+ Với $y = \frac{3 - x}{e} \in (0; 2)$ (vì $1 \leq x < 2$ ).

Khi đó, ta được: $P = \sqrt{\ln x} + \sqrt{\ln (3 - x)}$ trên $[1; 2) [1; 2)$ .

Ta có: $P' = \frac{1}{2 x \sqrt{\ln x}} - \frac{1}{2 (3 - x) \sqrt{\ln (3 - x)}} = 0 \Leftrightarrow (3 - x) \sqrt{\ln (3 - x)} = x \sqrt{\ln x} (* *)$ .

Xét hàm $f (t) = t \sqrt{\ln t}$ trên $[1; + \infty)$ , có $f' (t) = \sqrt{\ln t} + \frac{1}{2 \sqrt{\ln t}} > 0, \forall t \in (1; + \infty)$ .

Khi đó $(* *) \Leftrightarrow f (3 - x) = f (x) \Leftrightarrow 3 - x = x \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$ .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra $P_{\max} = 2 \sqrt{\ln 3 - \ln 2}$ khi $x = \frac{3}{2}; y = \frac{3}{2 e}$ .

Câu 48:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0)=0. Biết

\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{9}{2}

và

\int_{0}^{1} f' (x) \cos \frac{π x}{2} d x = \frac{3 π}{4}

. Tích phân

\int_{0}^{1} f (x) d x

bằng.

A.

\frac{6}{π} .

B.

\frac{2}{π} .

C.

\frac{4}{π} .

D.

\frac{1}{π} .

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $\{\begin{cases} u = \cos \frac{π x}{2} \\ d v = f' (x) d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = - \frac{π}{2} \sin \frac{π x}{2} d x \\ v = f (x) \end{cases} .$

Suy ra $\begin{array}{l} \int_{0}^{1} f' (x) \cos \frac{π x}{2} d x = \cos \frac{π x}{2} f (x) |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} + \frac{π}{2} \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} d x \\ = f (1) . \cos \frac{π}{2} - f (0) . \cos 0 + \frac{π}{2} \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} d x \\ = \frac{π}{2} \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} d x = \frac{3 π}{4} \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} d x = \frac{3}{2} . \end{array}$

Xét tích phân $\int_{0}^{1} {[f (x) + k \sin \frac{π x}{2}]}^{2} d x = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int_{0}^{1} [f^{2} (x) + 2 k f (x) \sin \frac{π x}{2} + k^{2} \sin^{2} \frac{π x}{2}] d x = 0 \\ \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x + 2 k \int_{0}^{1} f (x) \sin \frac{π x}{2} + k^{2} \int_{0}^{1} \sin^{2} \frac{π x}{2} d x = 0 \Leftrightarrow \frac{9}{2} + 2 k \frac{3}{2} + \frac{1}{2} k^{2} = 0 \Leftrightarrow k = - 3. \end{array}$

Khi đó ta có: $\int_{0}^{1} {[f (x) - 3 \sin \frac{π x}{2}]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow f (x) - 3 \sin \frac{π x}{2} = 0 \Leftrightarrow f (x) = 3 \sin \frac{π x}{2}$ .

Vậy

\int_{0}^{1} f (x) d x = 3 \int_{0}^{1} \sin \frac{π x}{2} d x = - 3. \frac{\cos \frac{π x}{2}}{\frac{π}{2}} |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} = \frac{- 6}{π} \cos \frac{π x}{2} |\begin{array}{l} ^{1} \\ _{0} \end{array} = - \frac{6}{π} (\cos \frac{π}{2} - \cos 0) = \frac{6}{π} .

Câu 49:

Cho hàm số y=f(x) và

f (x) > 0, \forall x \in ℝ

. Biết hàm số

y = f' (x)

có bảng biến thiên như hình vẽ và

f (\frac{1}{2}) = \frac{137}{16}

.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [-2020;2020] để hàm số g(x) =e^(-x^2+4mx-5).f(x)đồng biến trên . (ảnh 1)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [- 2020; 2020]$ để hàm số $g (x) = e^{- x^{2} + 4 m x - 5} . f (x)$ đồng biến trên $(- 1; \frac{1}{2})$ .

A. 4040.

B. 4041.

C. 2019.

D. 2020.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\begin{array}{l} g' (x) = (- 2 x + 4 m) . e^{- x^{2} + 4 m x - 5} . f (x) + e^{- x^{2} + 4 m x - 5} . f' (x) \\ \Leftrightarrow g' (x) = [(- 2 x + 4 m) . f (x) + f' (x)] . e^{- x^{2} + 4 m x - 5} . \end{array}$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow g' (x) \geq 0, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$ và $g' (x) = 0$ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc $(- 1; \frac{1}{2})$ .

$\Leftrightarrow (- 2 x + 4 m) . f (x) + f' (x) \geq 0, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$

(vì $e^{- x^{2} + 4 m x - 5} > 0$ )

$\Leftrightarrow - 2 x + 4 m \geq - \frac{f' (x)}{f (x)}, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2}),$ vì $f (x) > 0, \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow 4 m \geq 2 x - \frac{f' (x)}{f (x)}, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2}) (*) .$

Xét $h (x) = 2 x - \frac{f' (x)}{f (x)}, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2}) .$

Ta có $h' (x) = 2 - \frac{f'' (x) . f (x) - {[f' (x)]}^{2}}{f^{2} x} .$

Mà $\{\begin{cases} f'' (x) < 0 \\ f (x) > 0 \end{cases}, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2}) \Rightarrow \frac{f'' (x) . f (x) - {[f' (x)]}^{2}}{f^{2} (x)} < 0, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2}) .$

Từ đó suy ra $h' (x) > 0, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$ .

Vậy hàm số h(x) đồng biến trên $(- 1; \frac{1}{2})$ .

Bảng biến thiên:

Vậy điều kiện $(*) \Leftrightarrow 4 m \geq h (\frac{1}{2}) \Leftrightarrow 4 m \geq 2. (\frac{1}{2}) - \frac{f' (\frac{1}{2})}{f (\frac{1}{2})} \Leftrightarrow 4 m \geq \frac{225}{137} \Leftrightarrow m \geq \frac{225}{548}$ .

Mà $\{\begin{cases} m \in ℤ \\ m \in [- 2020; 2020] \end{cases} \Rightarrow m \in \{1; 2; 3; ...; 2020\} .$

Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 50:

Cho cấp số cộng

(a_{n})

, cấp số nhân

(b_{n})

thỏa mãn

a_{2} > a_{1} \geq 0, b_{2} > b_{1} \geq 1

và hàm số

f (x) = x^{3} - 3 x

sao cho

f (a_{2}) + 2 = f (a_{1})

và

f (\log_{2} b_{2}) + 2 = f (\log_{2} b_{1})

. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho

b_{n} > 2019 a_{n}

.

A. 17.

B. 14.

C. 15.

D. 16.

Xem đáp án

Đáp án D

Xét hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x$ trên $[0; + \infty)$ .

Ta có $f' (x) = 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in [0; + \infty) \\ x = - 1 \notin [0; + \infty) \end{array} .$

Bảng biến thiên hàm số f(x) trên $[0; + \infty)$ như sau:

Vì $a_{2} > 0$ nên $f (a_{2}) \geq - 2 \Rightarrow f (a_{1}) = f (a_{2}) + 2 \geq 0 (1) .$

Giả sử $a_{1} \geq 1$ , vì $f (x)$ đồng biến trên $[1; + \infty)$ nên $f (a_{2}) > f (a_{1})$ suy ra $f (a_{2}) + 2 > f (a_{1})$ vô lý.

Vậy $a_{1} \in [0; 1)$ do đó $- 2 \leq f (a_{1}) \leq 0 (2) .$

Từ (1), (2) ta có: $\{\begin{cases} f (a_{1}) = 0 \\ f (a_{2}) = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a_{1} = 0 \\ a_{2} = 1 \end{cases} .$

Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số cộng $(a_{n})$ là: $a_{n} = n - 1.$

Đặt $\{\begin{cases} t_{1} = \log_{2} b_{1} \\ t_{2} = \log_{2} b_{2} \end{cases}$ , suy ra: $f (t_{1}) = f (t_{2}) + 2$ , vì $1 \leq b_{1} < b_{2}$ nên $0 \leq t_{1} < t_{2}$ , theo lập luận trên ta có: $\{\begin{cases} t_{1} = 0 \\ t_{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \log_{2} b_{1} = 0 \\ \log_{2} b_{2} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b_{1} = 1 \\ b_{2} = 2 \end{cases} .$

Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số nhân $(b_{n})$ là $b_{n} = 2^{n - 1}$ .

Do đó $b_{n} > 2019 a_{n} \Leftrightarrow 2^{n - 1} > 2019 (n - 1) (*)$ .

Trong 4 đáp án n=16 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn (*).

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề)

Đề số 6

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan