Thứ năm, 14/11/2024
IMG-LOGO

Đề số 16

  • 4485 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho các số thực dương x,a,b . Khẳng định nào dưới đây đúng?
Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: (xa)b=xab


Câu 2:

Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 5 là:
Xem đáp án

Đáp án D

Thể tích khối trụ là V=π.52.5=125π .


Câu 3:

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=2x1x2  là:
Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số y=ax+bcx+d(adbc0)  có đường tiệm cận đứng là x=dc .

Đồ thị hàm số y=2x1x2  có đường TCĐ là x=2 .


Câu 4:

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)= cos2x là:
Xem đáp án

Đáp án C

cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+C

Ta có f(x)dx=cos2xdx=12sin2x+C .


Câu 5:

Cho cấp số nhân (un)  có số hạng đầu u1=2  và công bội q=3 . Số hạng thứ 5 bằng

Xem đáp án

Đáp án D

Số hạng tổng quát của CSN: un=u1.qn1 .

Ta có: u1=2,q=3u5=u1.q4=2.34=162 .


Câu 6:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu của điểmM(1;2;3) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là
Xem đáp án

Đáp án A

Hình chiếu của M(a;b;c)  lên mặt phẳng (Oxy)   .

Hình chiếu cùa M(1;2;3)  lên mặt phẳng (Oxy)  H(1;2;0) .

Câu 7:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình dưới đây. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) và trục Ox là:

Cho hàm số y=f(x)  có đồ thị như hình dưới đây. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)  và trục Ox là:  (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án C

Xét phương trình hoành độ giao điểm: f(x)=0[x=1x=0x=2

Khi đó diện tích S=12|f(x)|dx=10f(x)dx+02[f(x)]dx=10f(x)dx02f(x)dx .

Câu 8:

Hàm số y=x4+4x2+1  có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án

Đáp án C

Ta thấy hàm số y=x4+4x2+1  ab=1.4>0  nên hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.


Câu 10:

Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây

Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án A

Từ hình vẽ ta thấy khi x+  thì  hay hệ số a<0.  Do đó loại .

Thấy điểm (0;2)thuộc đồ thị hàm số nên ta thay x=0;y=2  vào hai hàm số còn lại thấy chỉ có hàm số y=x3+3x22  thỏa mãn.


Câu 11:

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ gốc tọa độ (O) đến mặt phẳng (P): x-y+2z-3=0 bằng
Xem đáp án

Đáp án A

Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0)  đến mặt phẳng (P):ax+by+cz+d=0  là: d(M,(P))=|ax0+by0+cz0|a2+b2+c2

Ta có  d(O,(P))=|00+2.03|12+(1)2+22=36=62 .

Câu 12:

Cho số phức z=5-3i. Phần ảo của số phức z bằng
Xem đáp án

Đáp án A

Số phức z=53i  có phần ảo là -3

Câu 13:

Bất phương trình log3(x1)2  có nghiệm nhỏ nhất bằng
Xem đáp án

Đáp án B

Giải bất phương trình logaf(x)mf(x)am  với a>1.

Ta có: log3(x1)2x132x10 .


Câu 14:

Có bao nhiêu cách chọn ra một tổ trưởng và một tổ phó từ một tổ có 10 người? Biết khả năng được chọn của mỗi người trong tổ là như nhau.
Xem đáp án

Đáp án A

Số cách chọn 1 người làm tổ trưởng là C101=10 .

Số cách chọn ra 1 người làm tổ phó là C91=9 .

Nên số cách chọn ra 1 tổ trưởng và 1 tố phó là 10.9=90  cách.


Câu 15:

Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng vuông góc với trục Oz?
Xem đáp án

Đáp án C

Trục  có vectơ chì phương k=(0;0;1) .

Đáp án A:n=(0;2;0)  không cùng phương  nên loại.

Đáp án B:n=(2;2;0)  không cùng phương  nên loại.

Đáp án C: n=(0;0;2)=2k  nên (P)Oz .

Đáp án D: n=(2;0;0)  không cùng phương k  nên loại.

Mặt phẳng  vuông góc với đường thẳng d thì ud=kn(P) .


Câu 16:

Cho hình trụ có tâm hai đáy lần lượt là (O) và (O') ; bán kính đáy hình trụ bằng a . Trên hai đường tròn (O) và (O') lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho đường thằng AB tạo với trục của hình trụ một góc 30° và có khoảng cách tới trục của hình trụ bằng a32. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
Xem đáp án

Đáp án C

Cho hình trụ có tâm hai đáy lần lượt là (O)  và (O') ; bán kính đáy hình trụ bằng a . Trên hai đường tròn (O)  và (O')  lần lượt lấy hai điểm A  và B  sao cho đường thằng AB tạo với trục của hình trụ một góc  30 độ và có khoảng cách tới trục của hình trụ bằng  a căn3 /2. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho. (ảnh 1)

Kẻ các đường sinh AB', AB' thì AB'//OO'//A'B .

Ta có d(OO';AB)=d(OO';(AA'BB'))=d(O;(AA'BB'))

Kẻ OHAA'  tại HH  là trung điểm của .

Ta có {OHAA'A'BOHOH(AA'BB')

d(O;(AA'BB'))=OH=a32

Lại có AB tạo với trục hình trụ góc 30°  mà OO'//A'BA'BA=30°

Xét tam giác  vuông tại  A'B=AA'.cot30°=a3A'B=AA'.cot30°=a3 .

Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho là:

Stp=2πrl+2πr2=2π.a.a3+2πa2=2πa2(3+1).


Câu 17:

Có tất cả bao nhiêu giá trị khác nhau của tham số m để đồ thị hàm số y=x1x2+mx+4  có 2 đường tiệm cận?

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: limxy=limxx1x2+mx+4=0  nên đồ thị hàm số luôn có 1 TCN là y=0  .

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận thì nó chỉ có duy nhất 1 đường tiệm cận đứng  phương trình x2+mx+4=0  có nghiệm x=1 hoặc phương trình x2+mx+4=0  có nghiệm kép (có thể bằng 1). [12+m.1+4=0m24.4=0[m=5m=±4 .

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn bài toán.


Câu 18:

Cho hình chóp S. ABC có đường cao SA , tam giác ABC vuông tại A có AB=2, AC=4 . Gọi H là trung điểm của BC . Biết diện tích tam giác SAH bằng 2 , thể tích của khối chóp S.ACB bằng
Xem đáp án

Đáp án A

Cho hình chóp S. ABC  có đường cao SA , tam giác ABC vuông tại A  có AB=2, AC=4 . Gọi  H là trung điểm của BC . Biết diện tích tam giác SAH  bằng 2 , thể tích của khối chóp  S.ACB bằng	 (ảnh 1)

Xét tam giác  vuông tại A ta có

AH=BC2=AB2+AC22=252=5

SΔSAH=12SA.AH2=12SA.5SA=455 .

Thể tích khối chóp VS.ABC=13.SA.SABC=13455.12.2.4=16515

Câu 19:

Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 5x23x<625   bằng

Xem đáp án

Đáp án D

Bất phương trình af(x)<mf(x)<logam  với a>1 .

5x23x<625x23x<log5625=4x23x4<01<x<4.

Do xZ  nên x{0;1;2;3} . Vậy tổng các nghiệm nguyên là 6

Câu 20:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=xx trên đoạn [0 ; 3]. Giá trị của biểu thức M+2m gần với số nào nhất trong các số dưới đây?
Xem đáp án

Đáp án A

ĐK: x0

Xét trên [0; 3] ta có f'(x)=112x=0x=14[0;3] .

Ta có f(0)=0;f(3)=33;f(14)=14 .

Suy ra M=max[0;3]y=max{f(0);f(14);f(3)}=f(3)=33 .

m=min[0;3]y=min{f(0);f(14);f(3)}=f(14)=14.

Nên M+2m=33+2.(14)0,768 .

 max[a;b]y=max{y(a);y(xi);y(xj);y(b)}min[a;b]y=max{y(a);y(xi);y(xj);y(b)} .


Câu 21:

Cho hàm số có đồ thị như hình dưới đây. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y=|f(x)| là
Cho hàm số có đồ thị như hình dưới đây. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số  y=|f(x)| là (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án B

Dựng đồ thị hàm số y=|f(x)|  từ đồ thị hàm số

- Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần dưới qua .

Dựng đồ thị hàm số y=|f(x)|  như hình vẽ ta thấy, số điểm cực trị của đồ thị hàm số y=|f(x)|  là 5.

Cho hàm số có đồ thị như hình dưới đây. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số  y=|f(x)| là (ảnh 2)


Câu 22:

Cho hình chóp S.ABC  có đường cao  tam giác  là tam giác cân tại A AB=a,BAC=120°.  Biết thể tích khối chóp S.ABC  bằng 3a34,  góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

Xem đáp án

Đáp án D

Cho hình chóp S. ABC  có đường cao SA  tam giác ABC  là tam giác cân tại  A có AB=a, BAC=120 độ  Biết thể tích khối chóp  bằng căn3 a^3/4  góc giữa hai mặt phẳng (SBC)  và  (ABC) bằng (ảnh 1)

Xác định góc giữa các mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện các bước sau:

+ Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

+ Trong mặt phẳng (P) xác định đường thẳng ad , trong mặt phẳng (Q) xác định đường thẳng bd .

+ Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.

Gọi M là trung điểm BC (do ΔABC  cân tại  A).

Lại có ΔSAB=ΔSAC(c.g.c)SB=SC  hay ΔSBC  cân tại S.

SMBC

Ta có   {(SBC)(ABC)=BCAMBC;AM(ABC)SMBC;SM(SBC)

((SBC),(ABC))=(SM,AM^)=SMA^.

Theo đề bài VS.ABC=3a32413SA.SABC=a3324SA=a338:a234=a2 .

Lại thấy ΔABM  vuông tại M có AB=a;ABM^=180°BAC^2=30°

Xét tam giác SA=AM=a2  vuông tại  AB=a;ABM^=180°BAC^2=30°  nên ΔSAM  vuông cân tại  hay SMA^=45°

Vậy góc giữa (SBC) và (ABC) 45° .


Câu 23:

Cho hàm số y=|f(x)|  liên tục trên (0;+) . Biết f'(x)=lnxx  f(1)=32,  tính f(3)
Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: f(x)=f'(x)dx=lnxxdx

Đặt t=lnxdt=dxxlnxxdx=tdt=t22+C=ln2x2+C

f(x)=ln2x2+C.  f(1)=32C=32f(x)=ln2x2+32

Vây f(3)=ln232+32=ln23+32 .


Câu 24:

Cho x=mn,m,n*,(m,n)=1 . Biết ba số log3x,1,log3(81x)  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính m+n .

Xem đáp án

Đáp án A

+ Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì a+c2=b .

+ Sử dụng công thức loga(bc)=logab+logac  (0<a1;b,c>0)

logax=cx=ac .

Điều kiện: x>0 .

Từ đề bài ta có: log3x+log3(81x)2=1log3x+log381x=22log3x=6 .

log3x=3x=33x=127 (thảo mãn) suy ra m=1,n=27m+n=28 .


Câu 25:

Biết số phức z=3+4i  là một nghiệm của phương trình z2az+b=0 , trong đó a, b là các số thực. Tính .ab

Xem đáp án

Đáp án D

Do z=3+4i  là một nghiệm của z2+az+b=0  với a,bR nên  cũng là nghiệm của phương trình.

Áp dụng định lí Vi - ét ta có: {z+z¯=azz¯=b{a=6b=25{a=6b=25ab=19 .


Câu 26:

Cho hàm số y=ln(x+2) có đồ thị là (C) . Gọi A là giao điểm của (C) với trục Ox . Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A bằng
Xem đáp án

Đáp án A

Hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và trụcOx  thỏa mãn phương trình:

ln(x+2)=0x+2=1x=1. Suy ra A(1;0) .

Ta có y'=1x+2  hệ số góc của tiếp tuyến ti A(1;0)   y'(1)=1 .


Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;0;2) và B(0;4;0) . Mặt cầu nhận đoạn thẳng AB làm đường kính có phương trình là
Xem đáp án

Đáp án B

A(2;0;2),B(0;4;0)I(1;2;1)  là trung đim của AB và AB=(2)2+42+(2)2=26

Khi đó mặt cầu đường kính AB có tâm I(1;2;1)  và bán kính R=AB2=6  có phương trình là:

(x1)2+(y2)2+(z1)2=6.


Câu 28:

Cho số phức z thỏa mãn z+(1-i)z=9-2i . Tìm mô đun của z 
Xem đáp án

Đáp án D

Gọi z=x+yi  (x,yR)  thì số phức liên hợp z¯=xyi

Ta có z¯+(1i)z=92ixyi+(1i)(x+yi)=92i

xyi+x+y+yixi=92i2x+yxi=92i{2x+y=9x=2{x=2y=5.

Suy ra z=2+5i|z|=22+52=29 .


Câu 29:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau
Cho hàm số y=f(x)  có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x)+m=0  có hai nghiệm phân biệt là

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: f(x)+m=0m=f(x) .

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  đường thẳng y=-m cắt đồ thị hàm số y=f(x)  tại hai điểm phân biệt.

Quan sát bảng biến thiên ta thấy, với 2<m1  thì đường thẳng y=-m cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại hai điểm phân biệt hay 1m<2  thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Vậy tập hợp các giá trị cần tìm là [1;2) .


Câu 30:

Trong không gian , mặt phẳng đi qua điểm A(1;1;2)  và song song với hai đường thẳng Δ:x12=y+12=z31,Δ':x1=y33=z+11  có phương trình là:

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: u1=(2;2;1);u2=(1;3;1)  lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng Δ;Δ' .

[u1;u2]=(1;1;4)

Vì mặt phẳng (P)  song song với cả hai đường thẳng Δ;Δ'  nên  nhận n=[u1;u2]=(1;1;4)  làm 1 vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (P):1(x+1)1(y1)+4(z2)=0x+y4z+8=0 .


Câu 31:

Bác Bính có một tấm thép mỏng hình tròn tâm O bán kính 4dm. Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm O, quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Bính tạo ra bằng bao nhiêu? (Bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép)
Bác Bính có một tấm thép mỏng hình tròn tâm   bán kính  . Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm  , quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Bính tạo ra bằng bao nhiêu? (Bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép) (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án D

Bác Bính có một tấm thép mỏng hình tròn tâm   bán kính  . Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm  , quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Bính tạo ra bằng bao nhiêu? (Bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép) (ảnh 2)

Gọi bán kính đáy hình nón là r.

Ta có: Vn=13πr2h=13πr216r2  với 0<r<4 .

Xét hàm f(r)=r216r2  trên (0;4)  có:

f'(r)=2r16r2+r.r16r2=323r316r2=0[r=463(0;4)r=463(0;4)r=0(0;4)

Bảng biến thiên:

Bác Bính có một tấm thép mỏng hình tròn tâm   bán kính  . Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm  , quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Bính tạo ra bằng bao nhiêu? (Bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép) (ảnh 3)

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số f(r) đạt GTLN khi .r=463

Vậy Vmax=13π(463)216(463)2=128π327(dm3) .


Câu 32:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(1)=3 và x(4-f'(x))=f(x)-1 với mọi x>0 . Tính f(2) .
Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: x(4f'(x))=f(x)14xxf'(x)=f(x)1

f(x)+xf'(x)=4x+1(xf'(x))'=4x+1Lấy nguyên hàm hai vế theo x ta được xf(x)=2x2+x+C .

f(1)=3  nên ta có 1.f(1)=2.12+1+C3=3+CC=0

Từ đó xf(x)=2x2+xf(x)=2x+1  (do x>0 )

Suy ra f(2)=2.2+1=5 .


Câu 33:

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S):(x1)2+(y+2)2+(z2)2=4  và mặt phẳng (P):xy+2z1=0 . Gọi M là một điểm bất kì trên mặt cầu (S). Khoảng cách từ M đến (P) có giá trị nhỏ nhất bằng

Xem đáp án

Đáp án D                 

Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;2) và bán kính R=2.

Dễ thấy d(I,(P))=|1(2)+2.21|12+12+22=6>2=R  nên (P) và (S) không cắt nhau.

Gọi M' là giao điểm của đường thằng qua I và vuông góc với (P) như hình vẽ.

Trong không gian Oxyz  cho mặt cầu (S): (x-1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2=4  và mặt phẳng (P): x-y+2z-1=0 . Gọi M  là một điểm bất kì trên mặt cầu  (S) Khoảng cách từ  M đến (P)  có giá trị nhỏ nhất bằng (ảnh 1)

Ta thấy d(M;(P))M'H=IHR=62  nên d(M;(P))  đạt GTNN bằng 62  khi MM' .


Câu 34:

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): x-2y-2z-3=0 và mặt phẳng (Q): x-2y-2z+6=0 . Gọi (S) là một mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt phẳng. Bán kính của (S) bằng
Xem đáp án

Đáp án B

Mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng song song  và (Q) thì bán kính mặt cầu là R=12d((P);(Q))=12d(M;(Q))  với M(P) .

Mặt phẳng (P):x2y2z3=0  và mặt phẳng (Q):x2y2z+6=0  11=22=2236  nên (P)//(Q) .

Lấy M(3;0;0)(P)  thì d((P);(Q))=d(M;(Q))=|3+6|12+(2)2+(2)2=3 .

Bán kính mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) R=12d((P);(Q))=32 .

Câu 35:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [10;10]   để hàm số y=x33x2+3mx+2019  nghịch biến trên khoảng (1;2)?

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: D=.  Ta có: y'=3x26x+3m  .

Để hàm số đã cho nghịch biến trên (1;2) thì y'0,x(1;2)  và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

3x26x+3m0x(1;2)x22x+m0x(1;2)

(x1)2+m10x(1;2)1m(x1)2x(1;2)

Hàm số y=(x1)2  đồng biến trên (1;+)  nên cũng đồng biến trên (1;2).

(11)2<(x1)2<(21)20<(x1)2<1

1m(x1)2x(1;2)1m1m0

Lại có m[10;10]  mZ  nên m{10;9;;0} .

Vậy có 11 giá trị của m.


Câu 36:

Tính tổng phần thực của tất cả các số phức z0  thỏa mãn (z+5|z|)i=7z .
Xem đáp án

Đáp án C

Theo bài ra ta có: (z+5|z|)i=7zzi+5i|z|=7zz(i+1)=75i|z|

2|z|2=49+25|z|22|z|449|z|225=0 [|z|2=25 (tháa m·n)|z|=12 (lo¹i)

|z|=5  (do |z|>0)

Thay |z|=5  vào biểu thức đề bài ta có: (z+1)i=7zz(i+1)=7i7ii+1=34i

Câu 37:

Trong không gian , cho các điểm A(1;4;5); B(0;3;1), C(2;-1;0) và mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-15=0 . Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc (P) sao cho tổng các bình phương khoảng cách từ M đến A, B, C nhỏ nhất. Tính a+b+c .
Xem đáp án

Đáp án D

Xét biểu thức T=MA2+MB2+MC2

Gọi G(1;2;2)  là trọng tâm của tam giác ABC thì GA+GB+GC=0 .

Ta có: T=MA2+MB2+MC2=(MG+GA)2+(MG+GB)2+(MG+GC)2 =3MG+2MG(GA+GB+GC)+GA2+GB2+GC2=3MG2+GA2+GB2+GC2

Gọi H là hình chiếu của G lên (P) thì MGHG  nên  đạt GTNN nếu MH .

Viết phương trình đường thẳng d đi qua G(1;2;2) và vuông góc (P).

Khi đó d nhận n(P)=(3;3;2)  làm véctơ chỉ phương nên d:{x=1+3ty=23tz=22t

M=d(P) nên tọa độ của  thỏa mãn hệ phương trình

{x=1+3ty=23tz=22t3x3y2z15=0.

3(1+3t)3(23t)2(22t)15=022+22t=0t=1M(4;1;0)

a=4,b=1,c=0a+b+c=3


Câu 38:

Có bao nhiêu cách chia 20 chiếc bút chì giống nhau cho 3 bạn Bắc, Trung, Nam sao cho mỗi bạn được ít nhất một chiếc bút chì?

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử ta đặt 20 chiếc bút nằm thẳng hàng nhau thì giữa chúng có 19 khoảng trống (không kể khoảng trống ở hai đầu)

Để chia làm 3 phần, ta đặt bất kì 2 vạch đánh dấu sao cho mỗi vạch vào 1 khoảng trống trong 19 khoảng trống trên thì đều chia 20 chiếc bút chì thành 3 phần và mỗi phần đều có ít nhất 1chiếc bút.

Như vậy có C192  cách chia 20 bút chì gống nhau cho 3 bạn mà mỗi bạn được ít nhất 1 chiếc bút chì.


Câu 39:

Cô Ngọc vay ngân hàng một số tiền với lãi suất  tháng. Cô ấy muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, cô ấy bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là 5 triệu đồng và cô ấy trà hết nợ sau đúng 5 năm kề từ ngày vay (số tiền hoàn nợ tháng cuối cùng có thề ít hơn 5 triệu đồng). Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mà cô Ngọc vay ngân hàng là số nào trong các số dưới đây
Xem đáp án

Đáp án B

Goi  là số tiền cô Ngọc vay ban đầu, kí hiệu r=1%,A=5  triệu

- Sau tháng thứ nhất, số tiền nợ là T1=T+TrA=T(1+r)A .

- Sau tháng thứ hai, số tiền nợ là

T2=T(1+r)A+[T(1+r)A]rA=T(1+r)+T(1+r)rAArA=T(1+r)2A(1+r)A.

- Sau tháng thứ ba, số tiền nợ là:

=T(1+r)2A(1+r)A+[T(1+r)2A(1+r)A]rA=T(1+r)3A(1+r)2A(1+r)A=T(1+r)3A[(1+r)2+(1+r)+1]=T(1+r)3A(1+r)311+r1=T(1+r)3Ar[(1+r)31]

- Sau tháng thứ , số tiền nợ là Tn=T(1+r)nAr[(1+r)n1] .

Do sau 5 năm (60 tháng) thì cô Ngọc trả hết nợ nên T60=0 . T(1+1%)51%[(1+1%)601]=0T224,775  triệu

Do tháng cuối cùng có thể trả ít hơn 5 triệu nên số nợ ban đầu không vượt quá 224,775 triệu.

Vậy nên số nợ ban đầu có thề là 224 triệu.

Số nợ không thể là 225 tr vì nếu vậy thì sau 60 tháng không thể trả hết nợ mà sẽ còn dư nợ đến tháng thứ 61 (mâu thuẫn giả thiết).


Câu 40:

Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 3, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H nằm trên đoạn thẳng AB sao cho AB=3AH,SH=3 . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) bằng
Xem đáp án

Đáp án B

Cho hình chóp S. ABCD  có ABCD  là hình vuông cạnh bằng 3, hình chiếu vuông góc của S  trên mặt phẳng (ABCD)  là điểm  H nằm trên đoạn thẳng AB sao cho AB=3AH, SH= căn 3 . Khoảng cách từ C  đến mặt phẳng (SAD)  bằng (ảnh 1)

Sử dụng d(M;(P))=d(N;(P))  với MN//(P) .

Sử dụng công thức chuyển điểm: Đường thẳng AB cắt (P)   tại M thì d(A;(P)d(B;(P))=AMBM

Xác định khoảng cách d(N;(P))=H  với H là hình chiếu vuông góc của N trên (P)

Vì BC//ADBC//(SAD)d(C;(SAD))=d(B;(SAD)

Lại có AB=3AHd(B;(SAD))d(H;(SAD))=ABAH=3

Hay d(C;(SAD))=3d(H;(SAD))

Ta có:   {ADABADSA  (do SA(ABCD))AD(SAB)

Kẻ HKSA  tại K ta có: {HKSAHKAD  (do AD(SAB)

Nên HK(SAD)  tại  nên d(H;(SAD))=HK

Ta có AB=3AH=1

Xét tam giác vuông tại H   

Cho hình chóp S. ABCD  có ABCD  là hình vuông cạnh bằng 3, hình chiếu vuông góc của S  trên mặt phẳng (ABCD)  là điểm  H nằm trên đoạn thẳng AB sao cho AB=3AH, SH= căn 3 . Khoảng cách từ C  đến mặt phẳng (SAD)  bằng (ảnh 2)

1HK2=1SH2+1HA2=13+11HK=32

Suy ra d(C;(SAD))=332 .


Câu 41:

Cho hàm số f(x)=x42x2+m,(m  là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m[10;10]  sao cho max[1;2]|f(x)|+min[1;2]|f(x)|10  . Số phần S là:

Xem đáp án

Đáp án C

Xét hàm số f(x)=x42x2+m , hàm số liên tục trên đoạn [1;2] .

Ta có: f'(x)=4x34x>0,x(1;2)  Hàm số f(x)  đồng biến trên đoạn [1;2] , do đó max[1;2]f(x)=m+8;min[1;2]f(x)=m1 .

TH1: m101m10  thì max[1;2]|f(x)|=m+8;min[1;2]|f(x)|=m1 .

Khi đó: max[1;2]|f(x)|+min[1;2]|f(x)|10m+8+m110m32m{2;3;4;;10}

 trường hợp này có 9 số nguyên.

TH2:  m+8010m8 thì max[1;2]|f(x)|=m+1;min[1;2]|f(x)|=m8  .

Khi đó: max[1;2]|f(x)|+min[1;2]|f(x)|10m+1m81010m172m{10;9}

 trường hợp này có 2 số nguyên.

TH3: 8<m<1  thì min[1;2]|f(x)|=0;max[1;2]|f(x)|={m+1  khi8<m72m+8  khi72<m<1

Do m là số nguyên nên: max[1;2]|f(x)|+min[1;2]|f(x)|10[m+110,khi8<m4m+810, khi 4<m<1

 không tồn tại m thỏa mãn.

Vậy số phần tử của tập  là 11 .


Câu 42:

Cho hàm số f(x)=ax3+bx2+cx+d  với a,b,c,d  có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Cho hàm số f(x)= ã^3+bx^2+cx+d  với a,b,c,d thuộc R  có đồ thị như hình vẽ bên dưới (ảnh 1)

Gọi  là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn [10;10]  của tham số  để bất phương trình f(1x2)+23x3x2+83f(m)  có nghiệm. Số phần tử của tập hợp  

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: 1x1

Khi đó trở thành tìm m để bất phương trình f(1x2)+23x3x2+83f(m)   có nghiệm x[1;1]

Xét hàm số g(x)=f(1x2)+23x3x2+83  trên [1;1] .

Bài toán trở thành tìm m để f(m)g(x)  có nghiệm x[1;1]f(m)min[1;1]g(x) .

Ta có g'(x)=x1x2.f'(1x2)+2x22x=x[f'(1x2)1x2+2x2]x=0 .

x[1;1]{01x21f'(1x2)>042x20f'(1x2)1x2+2x2<0 .

Ta có bảng biến thiên của hàm g(x)   trên [1;1]

Cho hàm số f(x)= ã^3+bx^2+cx+d  với a,b,c,d thuộc R  có đồ thị như hình vẽ bên dưới (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: f(m)min[1;1]g(x)=g(1)=4;  dựa vào đồ thị ta có [m>0m=3 .

Do {mm[10;10],  nên m{3;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} .

Vậy có 11 số nguyên  thỏa mãn.


Câu 43:

Cho 12(x+1)exdx=ae2+be+c với a,b,c  là các số nguyên. Tính a+b+c .
Xem đáp án

Đáp án B

Đặt {u=x+1dv=exdx{du=dxv=ex

12(x+1)exdx=(x+1)ex|1212exdx=(3e22eex)|12

=3e22ee2+e=3e2e2e

Vậy a=3,b=1;c=1a+b+c=1  .


Câu 44:

Hình phẳng giới hạn bởi tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn |z-3|+|z+3|=10 có diện tích bằng
Xem đáp án

Đáp án A

 Gọi z=x+yi(x;yR)  thì mô đun |z|=x2+y2

Biến đổi giả thiết để có quỹ tích là elip x2a2+y2b2=1 .

Diện tích elip bằng π.ab  .

Gọi z=x+yi(x;yR)   ta có |z3|+|z+3|=10

|x3+yi|+|x+3+yi|=10(x3)2+y2+(x+3)2+y2=10.

(x3)2+y2=10(x+3)2+y2

x26x+9+y2=10020(x+3)2+y2+x2+6x+9+y2

5(x+3)2+y2=3x+2525(x2+6x+9+y2)=9x2+150x+625

25x2+16y2=400x24+y25=1

Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là elip x24+y25=1a=4;b=5 .

Diện tích elip là: S=πab=20π .


Câu 45:

Cho các số thực a,b,c  thỏa mãn 3a=5b=15c  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a2+b2+c24(a+b+c)

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có 3a=5b=15ca=blog35=clog315=c(1+log35)

log35=ab=cb+cab+bc+ac=0.

Ta có: P=a2+b2+c24(a+b+c)=(a+b+c)22(ab+bc+ac)4(a+b+c)

=[(a+b+c)2]244.


Câu 46:

Cho phương trình(x23x+m)2+x28x+2m=0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [20;20]  để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt?

Xem đáp án

Đáp án B

+ Đặt x23x+m=t  rồi biến đổi đưa về phương trình tích.

+ Từ đó sử dụng sự tương giao của hai đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình.

+ Phương trình f(x)=g(x)   có số nghiệm bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số y=f(x);y=g(x) .

Xét phương trình (x23x+m)2+x28x+2m=0(x23x+m)2+(x23x+m)5x+m=0

Đặt x23x+m=tm=t2x2+3x  ta có phương trình: 

t2+t5x+tx2+3x=0t2x2+2t2x=0(tx)(t+x+2)=0

[tx=0t+x+2=0[x24x+m=0x22x+2+m=0[m=x2+4xm=x2+2x2

Ta có đồ thị hàm số  y=x2+4x và y=x2+2x2  .

Cho phương trình  (x^2-3x+m)^2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  m thuộc đoạn [-20;20]  để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt? (ảnh 1)

Từ đồ thị hàm số ta thấy để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì {m<1m5  .

 m[20;20];mZm{20;19;;6;4;3;2} nên có 18 giá trị của thỏa mãn

Câu 47:

Cho hình chóp có đáy S. ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm đối xứng của C qua B và là trung điểm của SC. Mặt phẳng (MND) chia khối chóp S. ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V1, khối đa diện còn lại có thể tích V2 (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính tỉ số V1V2.
Cho hình chóp  có đáy S. ABCD  là hình bình hành. Gọi M  là điểm đối xứng của  C qua B  và  là trung điểm của SC. Mặt phẳng (MND)  chia khối chóp S. ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S  có thể tích  V1, khối đa diện còn lại có thể tích  V2 (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính tỉ số  V1/V2. (ảnh 1)
 
Xem đáp án

Đáp án D

Cho hình chóp  có đáy S. ABCD  là hình bình hành. Gọi M  là điểm đối xứng của  C qua B  và  là trung điểm của SC. Mặt phẳng (MND)  chia khối chóp S. ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh S  có thể tích  V1, khối đa diện còn lại có thể tích  V2 (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính tỉ số  V1/V2. (ảnh 2)

Gọi V là thể tích khối chóp .

BP//DCBPDC=MPMD=MBMC=12BPAB=12P là trung điểm của AB.

Ta có ΔMBP=ΔDAP(c.g.c)SΔMBP=SΔDAP

SΔMBP+SBCDP=SΔDAP+SBCDPSMCD=SABCD

Mà d(N;(MCD))d(S;(ABCD))=NCSC=12

VN.MCDVS.ABCD=13SMCD.d(N,(MCD))13SABCD.d(S,(ABCD))=12VN.MCD=12VS.ABCD=V2

Xét tam giác , áp dụng định lý Mênêlauýt cho bộ ba điểm thẳng hàng  ta có: BMBCSCSNQNQM=11.2.QNQM=1QNQM=12MQMN=23

VM.PBQVM.NCD=MBMCMPMDMQMN=121223=16VM.PBQ=16VM.NCD=16V2=V12

VBPQ.CDN=VM.CDNVM.BPQ=V2V12=5V12

V2=5V12V1=V5V12=7V12V1V2=75


Câu 48:

Cho số phức z thỏa mãn |z+1|=3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T=|z+4i|+|z2+i|

Xem đáp án

Đáp án B

+ Số phức z=x+yi(x;yR)  có mô đun |z|=x2+y2

+ Sử dụng BĐT Bunhiacốpxki với hai bộ số (a;b),(x;y)   ta có (ax+by)2(a2+b2)(x2+y2)

+ Dấu  xảy ra khi xa=by .

Gọi số phức z=x+yi  (x;yR)

Theo đề bài |z+1|=3|x+1+yi|=3(x+1)2+y2=3

 Ta có T=|z+4i|+|z2+i|=|x+4+(y1)i|+|x2+(y+1)i|

=(x+4)2+(y1)2+(x2)2+(y+1)2

Áp dụng BDT Bunhiacốpxki ta có:

T2=((x+4)2+(y1)2+(x2)2+(y+1)2)2(12+12)[(x+4)2+(y1)2+(x2)2+(y+1)2]

T22(2x2+2y2+4x+22)=4((x+1)2+y2+10)=52 (vì (x+1)2+y2=3)

Do đó T213

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

{(x+4)2+(y1)2=(x2)2+(y+1)2(x+1)2+y2=3{y=3x+3(x+1)2+(3x+3)2=3[{x=310y=910+3{x=310y=910+3

Vậy Tmax=213 .


Câu 49:

Cho hàm số f(x)=x33x+1 . Tìm số nghiệm của phương trình f(f(x))=0 .

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số y=f(x)=x33x+1  xác định trên R và có  f'(x)=3x23=0x=±1 .

Đồ thị (hình vẽ bên):

Sử dụng MTCT ta có f(x)=0[x=x1(2;11)x=x2(0;1)x=x3(1;2)

f(f(x))=0f(x)=0[f(x)=x1(2;1)  (1)f(x)=x2(0;1)  (2)f(x)=x3(1;2)  (3)

+ Đường thẳng y=x1(2;1)cắt đồ thị hàm số y=f(x)  tại duy nhất 1 điểm nên (1) có 1 nghiệm duy nhất.

+ Đường thẳng y=x2(0;1)  cắt đồ thị hàm số y=f(x)  tại 3 điểm nên (2) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Đường thẳng y=x3(1;2)  cắt đồ thị hàm số y=f(x)  tại 3 điểm nên (3) có 3 nghiệm phân biệt. Hơn nữa trong ba nghiệm này không có nghiệm nào trùng với nghiệm của (1) và (2).

Vậy tổng số nghiệm của ba phương trình (1), (2), (3) là  1+3+3=7 nghiệm.


Câu 50:

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 2x2+y21+log3(x2+y2+1)=3  . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức S=|xy|+|x3y3| là a6b   với a, b là các số nguyên dương và phân số  ab tối giản. Tính giá trị biểu thức T=2a+b  .

Xem đáp án

Nhận xét hàm số  f(t)=2t1+log3(t+1) đồng biến và f(2)=3 , từ đó

2x2+y21+log3(x2+y2+1)=3x2+y2=2.

S=|xy|+|x3y3|=|xy|(1+x2+y2+xy)

S2=(xy)2(3+xy)2=(22xy)(3+xy)2

Đặt t=xy  do |xy|x2+y22=1   nên t[1;1] .

Xét hàm số g(t)=(22t)(3+t)2  trên [1;1]  được maxt[1;1]g(t)=g(13)=51227  .

Do S>0  nên S251227S1669 .

Vậy T=34 .


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan