50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 2

Câu 1:

Câu 1. Thể tích của khối lập phương cạnh $2 a$ bằng

A.

8 a^{3}

B. $2 a^{3}$

C.

a^{3}

D.

6 a^{3}

Xem đáp án

Đáp án A

Thể tích khối lập phương cạnh $2 a$ là: $V = {(2 a)}^{3} = 8 a^{3}$

Câu 2:

Cho hàm số

y = x^{4} - 2 x^{2} + 3

, giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. 2.

B. 3

C. -1

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: $D = ℝ$ .

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}$

Câu 3:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tọa độ của véctơ $\vec{u} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} + 4 \vec{k}$ là

A.

(2; - 3; 4)

.

B.

(- 3; 2; 4)

C.

(2; 3; 4)

.

D. $(2; 4; - 3)$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\vec{u} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} + 4 \vec{k} \Rightarrow \vec{u} (2; - 3; 4)$ .

Lưu ý: Ta có thể chỉ cần đọc các hệ số lần lượt của các véctơ $\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}$ tương ứng.

Câu 4:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - \frac{1}{2})$ và $(3; + \infty)$ .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

(- \frac{1}{2}; + \infty)

.

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

(- \infty; 3)

.

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty)$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta thấy trên khoảng $(3; + \infty)$ thì , suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty)$ .

Lưu ý: Tại $x = - \frac{1}{2}$ , hàm số bị gián đoạn; vậy không thể nói hàm số đơn điệu trên khoảng $(- \infty; 3)$

Câu 5:

Với $a$ và $b$ là hai số thực dương tùy ý, $\log (a b^{2})$ bằng

A.

2 \log a + \log b

.

B.

\log a + 2 \log b

.

C.

2 (\log a + \log b)

.

D.

\log a + \frac{1}{2} \log b

.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\log (a b^{2}) = \log a + \log b^{2} = \log a + 2 \log b$ .

Câu 6:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn $[0; 10]$ và $\int_{0}^{10} f (x) d x = 7; \int_{2}^{6} f (x) d x = 3$ . Tính $P = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{6}^{10} f (x) d x .3$

A.

P = 4

.

B. P=10.

C. P=7

D. P=-4

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\int_{0}^{10} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{6} f (x) d x + \int_{6}^{10} f (x) d x \Rightarrow 7 = P + 3 \Rightarrow P = 4$ .

Lưu ý: Chọn cận bé nhất và cận lớn nhất, sau đó ta tiến hành cộng lần lượt: $0 \overset{0 \overset{}{\to} 2 \overset{}{\to} 6 \overset{}{\to} 10}{\to} 10$

Câu 7:

Thể tích của khối nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a bằng

A.

\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{48}

B.

\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{24}

.

C.

\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{8}

.

D.

\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{12}

.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\{\begin{cases} 2 r = a \\ l = a \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} r = \frac{a}{2} \\ h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \end{cases} \Rightarrow V = \frac{π r^{2} h}{3} = \frac{1}{3} π {(\frac{a}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} a}{2} = \frac{\sqrt{3} π a^{2}}{24}$ .

Câu 8:

Phương trình $\log (54 - x^{3}) = 3 \log x$ có nghiệm là

A.x=4 .

B. x=3

C. x=1

D. x=2

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện: $\{\begin{cases} x > 0 \\ 54 - x^{3} > 0 \end{cases}$ .

Phương trình tương đương với: $\log (54 - x^{3}) = \log x^{3} \Leftrightarrow 54 - x^{3} = x^{3} \Leftrightarrow x^{3} = 27 \Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3.

Câu 9:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đoạn chắn mặt phẳng đi qua điểm $A (2; 0; 0), B (0; - 3; 0), C (0; 0; 2)$ .

A.

\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1

.

B. $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{2} = 1$

C. $\frac{x}{- 3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 1$

D. $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{3} = 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng đi qua điểm $A (2; 0; 0), B (0; - 3; 0), C (0; 0; 2)$ là:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{- 3} + \frac{z}{2} = 1$

Câu 10:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x (1 + \sin x)$ là

A. $\frac{x^{2}}{2} - x \sin x + \cos x + C$

B.

\frac{x^{2}}{2} - x \cos x + \sin x + C

.

C.

\frac{x^{2}}{2} - x \cos x - \sin x + C

.

D.

\frac{x^{2}}{2} - x \sin x - \cos x + C

.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\int f (x) d x = \int x (1 + \sin x) d x = \int x d x + \int x \sin x d x$

$= \int x d x - \int x d (\cos x) = \frac{x^{2}}{2} - (x \cos x - \int \cos x d x) = \frac{x^{2}}{2} - x \cos x + \sin x + C$

Câu 11:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng $d : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 5}{- 2} = \frac{z + 2}{- 5}$ có một véctơ chỉ phương là

A.

\vec{u} (1; 5; - 2)

.

B.

\vec{u} (3; 2; - 5)

C.

\vec{u} (- 3; 2; - 5)

.

D.

\vec{u} (2; 3; - 5)

.

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 12:

Từ các chữ số tự nhiên 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau.

A. 15.

B. 6.

C. 3.

D. 12.

Xem đáp án

Đáp án A

Có 3 phương án lựa chọn:

+ Phương án 1: Số có 1 chữ số khác nhau; có 3 cách chọn: 1; 2; 3.

+ Phương án 2: Số có 2 chữ số khác nhau; có 6 cách chọn: 12; 21; 13; 31; 23; 32.

+ Phương án 3: Số có 3 chữ số khác nhau; có 6 cách chọn: 123; 132; 213; 231; 321; 312.

Vậy có 3 + 6 + 6 = 15 cách chọn.

Câu 13:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 11$ và công sai $d = 4$ . Hãy tính $u_{99}$

A. 401.

B. 402.

C. 403.

D. 404.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $u_{99} = u_{1} + 98 d = 11 + 98.4 = 403$ .

Câu 14:

Cho $z = - 1 - 2 i$ . Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn số phức $\bar{z}$ ?

Cho z=-1-2i . Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn số phức ? (ảnh 1)

A. N

B. M

C. P

D. Q

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\bar{z} = - 1 + 2 i$ nên điểm biểu diễn số phức $\bar{z}$ là Q.

Câu 15:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có bảng biến thiên sau:

Cho hàm số y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d có bảng biến thiên sau: Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số ? (ảnh 1)

Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số $y = f (x)$ ?

Cho hàm số y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d có bảng biến thiên sau: Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số ? (ảnh 1)

Cho hàm số y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d có bảng biến thiên sau: Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số ? (ảnh 2)

Cho hàm số y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d có bảng biến thiên sau: Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số ? (ảnh 3)

Cho hàm số y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d có bảng biến thiên sau: Đồ thị nào trong các phương án A, B, C, D thể hiện hàm số ? (ảnh 4)

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

Khi $x \to + \infty$ thì , suy ra loại C và D.

Tọa độ các điểm cực trị là $(- 1; 2)$ và $(1; - 2)$ nên đáp án A là phù hợp.

Câu 16:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ trên $[0; 1) \cup (1; 3]$ .

A.

\frac{7}{2}

.

B. -1.

C.

\frac{1}{2}

.

D. Không tồn tại.

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ liên tục trên $[0; 1) \cup (1; 3]$ .

Ta có $y^{'} = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \in [0; 1) \cup (1; 3]$ .

Bảng biến thiên hàm số trên như sau:

Câu 17:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên $ℝ$ , có đạo hàm $f^{'} (x)$ thỏa mãn

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên R , có đạo hàm thỏa mãn (ảnh 1)

Hàm số

g (x) = f (1 - x)

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây

A. (-1;1) .

B. (-2;0)

C. (-1:3)

D. $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $g^{'} (x) = - f^{'} (1 - x)$ .

Hàm số $g (x)$ nghịch biến khi $- f^{'} (1 - x) < 0 \Leftrightarrow f^{'} (1 - x) > 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 1 - x > 1 \\ - 1 < 1 - x < 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < 0 \\ 1 < x < 2 \end{array}$ .

Vậy hàm số $g (x) = f (1 - x)$ có nghịch biến trên khoảng $(- 2; 0)$ .

Câu 18:

Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 2 i| = |z + 3|$ là đường thẳng có phương trình

A.

2 x - y + 1 = 0

B.

2 x + y - 1 = 0

.

C.

2 x - y - 1 = 0

.

D.

2 x + y + 1 = 0

.

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $z = x + y i \Rightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = {(x + 3)}^{2} + y^{2} \Leftrightarrow 2 x - y + 1 = 0$

Câu 19:

Tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 2 i| = |z + 3|$ là đường thẳng có phương trình

A.

2 x - y + 1 = 0

B.

2 x + y - 1 = 0

.

C.

2 x - y - 1 = 0

.

D.

2 x + y + 1 = 0

.

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $z = x + y i \Rightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = {(x + 3)}^{2} + y^{2} \Leftrightarrow 2 x - y + 1 = 0$

Câu 20:

Với mọi $a, b, x$ là các số thực dương thỏa mãn $\log_{2} x = 5 \log_{2} a + 3 \log_{2} b$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A.

x = 3 a + 5 b

.

B.

x = 5 a + 3 b

.

C.

x = a^{5} + b^{3}

.

D.

x = a^{5} b^{3}

.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\log_{2} x = 5 \log_{2} a + 3 \log_{2} b = \log_{2} a^{5} + \log_{2} b^{3} = \log_{2} a^{5} b^{3} \Leftrightarrow x = a^{5} b^{3}$ .

Câu 21:

Gọi

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} - 2 z + 2 = 0

. Tính giá trị của biểu thức

P = 2 |z_{1} + z_{2}| + |z_{1} - z_{2}|

A. P=6

B. P=3

C. $P = 2 \sqrt{2} + 2$

D. $P = \sqrt{2} + 4$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $z^{2} - 2 z + 2 - 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = 1 + i \\ z_{2} = 1 - i \end{array}$ .

Xét

P = 2 |z_{1} + z_{2}| + |z_{1} - z_{2}| = 2 |2| + |2 i| = 4 + 2 = 6

Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách giữa mặt phẳng $(α) : 2 x + 4 y + 4 z + 1 = 0$ và mặt phẳng $(β) : x + 2 y + 2 z + 2 = 0$ bằng

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Cách 1: Chọn $M (- 2; 0; 0) \in (β)$

Do $(α) // (β)$ ta có: $d ((α), (β)) = d (M, (α)) = \frac{|- 4 + 0 + 0 + 1|}{\sqrt{2^{2} + 4^{2} + 4^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

Cách 2:

$(α) : 2 x + 4 y + 4 z + 1 = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 2 x + \frac{1}{2} = 0$

Khi đó: $d ((α), (β)) = \frac{|\frac{1}{2} - 2|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{2}$ .

Tổng quát: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(α) : a x + b y + c z + d_{1} = 0$ song song $(β) : a x + b y + c z + d_{2} = 0$ , là:

$d ((α), (β)) = \frac{|d_{1} - d_{2}|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

Câu 23:

Nghiệm của bất phương trình:

\lg (3 - 2 x) \geq \lg (x + 1)

A.

- 1 < x \leq \frac{2}{3}

.

B. $x \geq - \frac{2}{3}$

C.

1 \leq x \leq \frac{3}{2}

D. $- 1 \leq x \leq \frac{2}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $\{\begin{cases} 3 - 2 x > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 1 < x < \frac{3}{2}$ .

Bất phương trình tương đương với: $3 - 2 x \geq x + 1 \Leftrightarrow x \leq \frac{2}{3}$ .

Kết hợp điều kiện, ta được: $- 1 < x \leq \frac{2}{3}$

Câu 24:

Một ô tô đang chạy với vận tốc 20m/s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v (t) = - 10 t + 20 (m/s)$ , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A. 5m.

B. 20m.

C. 40m.

D. 10m.

Xem đáp án

Đáp án B

Khi ô tô dừng lại thì vận tốc $v (t) = 0 (m/s)$ .

Thời gian ô tô đi được tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi xe dừng lại là: $- 10 t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 2 (s)$ .

Gọi là thời điểm tính từ lúc xe bắt đầu đạp phanh thì đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được quãng đường là: $s = \int_{0}^{2} (- 10 t + 20) d t = {(- 5 t^{2} + 10 t)|}_{0}^{2} = 20 (m)$ .

Câu 25:

Khi bán kính khối cầu tăng thêm 3cm thì thể tích khối cầu tăng thêm $684 π {cm}^{3}$ . Bán kính khối cầu đã cho bằng

A. 27cm.

B. 9cm.

C. 6cm.

D. 24cm

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $R (R > 0)$ là bán kính khối cầu ban đầu.

$V_{1}$ là thể tích khối cầu ban đầu: $V_{1} = \frac{4}{3} π R^{3} ({cm}^{3})$ .

$V_{2}$ là thể tích khối cầu khi tăng bán kính thêm 3cm: $V_{2} = \frac{4}{3} π {(R + 3)}^{3} ({cm}^{3})$ .

Ta có: $V_{2} - V_{1} = 684 π \Leftrightarrow \frac{4}{3} π {(R + 3)}^{3} - \frac{4}{3} π R^{3} = 684 π \Leftrightarrow R^{2} + 3 R - 54 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} R = 6 (nhaän) \\ R = - 9 (loaïi) \end{array} \Rightarrow R = 6 (c m)$

Câu 26:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. 4.

C. 2.

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

+ $\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = - 5$ , nên đường thẳng $y = - 5$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = - \infty$ nên đường thẳng $x = 2$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận.

Câu 27:

Cho khối chóp $S . A B C D$ có SA vuông góc với đáy, $S A = 4, A B = 6, B C = 10$ và $C A = 8$ . Tính thể tích V của khối chóp .

A. V=40

B. V=192

C. V=32

D. V=24

Xem đáp án

Đáp án C

Tam giác ABC, có: $A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 10^{2} = B C^{2}$ ,

suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Diện tích tam giác ABC là: $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = 24 (đ v d t)$ .

Vậy thể tích khối chóp $S . A B C$ là: $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S A = 32 (đ v t t)$ .

Câu 28:

Cho hàm số

f (x) = 2^{x^{2} + 1}

. Tính

T = 2^{- x^{2} - 1} . f^{'} (x) - 2 x \ln 2 + 2

.

A. T= -2

B. T=2

C. T=3

D. T=1

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f^{'} (x) = {(x^{2} + 1)}^{'} {.2}^{x^{2} + 1} . \ln 2 = 2 x . \ln {2.2}^{x^{2} + 1}$

Vậy

T = 2^{- x^{2} - 1} .2 x . \ln {2.2}^{x^{2} + 1} - 2 x \ln 2 + 2 = 2 x \ln 2 - 2 x \ln 2 + 2 = 2

.

Câu 29:

Cho hàm số

f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e

có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình

f (x) - 2 = 0

là

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình là (ảnh 1)

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $f (x) - 2 = 0 \Leftrightarrow f (x) = 2$ .

Số nghiệm của phương trình $f (x) - 2 = 0$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và đường thẳng $y = 2$ .

Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 30:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông $A B C D$ cạnh a bằng và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc $(M N, S C)$ bằng

A. 45°.

B. 30°.

C. 90°.

D. 60°.

Xem đáp án

Đáp án C

Do ABCD là hình vuông cạnh $a \Rightarrow A C = a \sqrt{2}$ .

$\Rightarrow A C^{2} = 2 a^{2} = S A^{2} + S C^{2} \Rightarrow Δ S A C$ vuông tại S.

Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của $Δ D S A \Rightarrow \vec{N M} = \frac{1}{2} \vec{S A}$

Khi đó

\vec{N M} . \vec{S C} = \frac{1}{2} \vec{S A} . \vec{S C} = 0 \Rightarrow M N ⊥ S C \Rightarrow (M N, S C) = 90 °

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a bằng và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN,SC) bằng (ảnh 1)

Câu 31:

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình

e^{x^{2} - 3 x} = \frac{1}{e^{2}}

.

A. T=3

B. T=1

C. T=2

D. T=0

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $e^{x^{2} - 3 x} = \frac{1}{e^{2}} \Leftrightarrow e^{x^{2} - 3 x} = e^{- 2} \Leftrightarrow x^{2} - 3 x = - 2 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \end{array}$ .

Suy ra $S = \{1; 2\} \overset{}{\to} T = 1 + 2 = 3$ .

Câu 32:

Một ly nước hình trụ có chiều cao 20cm và bán kính đáy bằng 4cm. Bạn Nam đổ nước vào ly cho đến khi mực nước cách đáy ly 17cm thì dừng lại. Sau đó, Nam lấy các viên đá lạnh hình cầu có cùng bán kính 2cm thả vào ly nước. Bạn Nam cần dùng ít nhất bao nhiêu viên đá để nước trào ra khỏi ly?

A. 4.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có thể tích phần không chứa nước $V_{1} = 3. π {.4}^{2} = 48 π$ .

Như vậy để nước trào ra ngoài thì số bi thả vào cốc phải có tổng thể tích lớn hơn 48p.

Gọi n là số viên bi tối thiểu thả vào cốc khi đó tổng thể tích của n viên bị là $V_{2} = n . \frac{4}{3} π {.2}^{3} = \frac{32 π n}{3}$ .

Theo bài ra $\frac{32 π n}{3} > 48 π \Leftrightarrow n > \frac{9}{2}$ .

Vậy $n = 5$ .

Câu 33:

Biết rằng hàm số $F (x) = (x^{2} + a x + b) e^{- x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = (- x^{2} + 3 x + 6) e^{- x}$ . Tổng $a + b$ bằng

A. -8.

B. -6.

C. 6.

D. 8.

Xem đáp án

Đáp án A

Có $F^{'} (x) = (2 x + a) e^{- x} - (x^{2} + a x + b) e^{- x} = [- x^{2} + (2 - a) x + a - b] e^{- x}$

Vì $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ nên ta có

. $F^{'} (x) = f (x), \forall x \Rightarrow [- x^{2} + (2 - a) x + a - b] e^{- x} = (- x^{2} + 3 x + 6) e^{- x}$

Đồng nhất hệ số hai vế, ta được

\{\begin{cases} 2 - a = 3 \\ a - b = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = - 7 \end{cases} \Rightarrow a + b = - 8

Câu 34:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang vuông tại A và B, $A D = 2 B C$ , $A B = B C = a \sqrt{3}$ . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ . Gọi E là trung điểm của cạnh SC. Tính khoảng cách d từ điểm E đến mặt phẳng $(A B C D)$ .

A.

d = a \sqrt{3}

.

B.

d = \frac{\sqrt{3}}{2}

.

C.

d = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.

D.

d = \sqrt{3}

.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $d (E, (S A D)) = \frac{1}{2} d (C, (S A D))$ .

Gọi M là trung điểm AD, suy ra ABCM là hình vuông $\Rightarrow C M ⊥ A D$ .

Do $\{\begin{cases} C M ⊥ A D \\ C M ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow C M ⊥ (S A D)$ nên $d (C, (S A D)) = C M = A B = a \sqrt{3}$ .

Vậy $d (E, (S A D)) = \frac{1}{2} C M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Câu 35:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, khoảng cách giữa đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z - 9 = 0$ bằng:

A.

\frac{10}{3}

.

B. 4.

C. 2.

D.

\frac{4}{3}

.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\vec{u_{d}} = (1; 4; 1)$ và $\vec{n_{(P)}} = (2; - 1; 2)$

Do $\{\begin{cases} \vec{u} . \vec{n} = 0 \\ M \notin (P) \end{cases} \Rightarrow d // (P)$ .

Khi đó: $d (d, (P)) = d (M (P)) = \frac{|2 + 1 - 9|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = 2$ .

Câu 36:

Tìm tất cả các giá của tham số để hàm số $y = \frac{m x + 1}{x + m}$ đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$

A.

- 2 \leq m < - 1

hoặc

m > 1

.

B.

m \leq - 1

hoặc

m > 1

.

C.

- 1 < m < 1

.

D.

m < - 1

hoặc

m \geq 1

.

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: $D = ℝ \ \{- m\}$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{m^{2} - 1}{{(x + m)}^{2}}$ .

Hàm số $y = \frac{m x + 1}{x + m}$ đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ khi: $y^{'} > 0, \forall x \in (2; + \infty)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 1 > 0 \\ - m \notin (2; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 1 > \\ - m \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \in (- \infty; - 1) \cup (1; + \infty) \\ - m \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \in (- \infty; - 1) \cup (1 + \infty) \\ m \geq - 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow m \in [- 2; - 1) \cup (1; + \infty)$

Câu 37:

Cho các số phức z thỏa mãn $|z + 1| = 2$ . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = (1 + i \sqrt{8}) z + i$ là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là

A. 3.

B. 6.

C. 9.

D. 36.

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $w = x + y i (x, y \in ℝ)$ .

Theo đề bài ta có: $w = (1 + i \sqrt{8}) z + i \Leftrightarrow w - i = (1 + i \sqrt{8}) z$

$\Leftrightarrow w - i = (1 + i \sqrt{8}) (z + 1) - (1 + i \sqrt{8}) \Leftrightarrow w - i + 1 + i \sqrt{8} = (1 + i \sqrt{8}) (z + 1)$

$\Leftrightarrow (x + 1) + (y - 1 + \sqrt{8}) i = (1 + i \sqrt{8}) (z + 1)$

Lấy môđun 2 vế ta được: $|(x + 1) + (y - 1 + \sqrt{8}) i| = |1 + i \sqrt{8}| . |z + 1|$

$\sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1 + \sqrt{8})}^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{8})}^{2}} .2 \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - 1 + \sqrt{8})}^{2} = 36$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w = (1 + i \sqrt{8}) z + i$ là một đường tròn có bán kính r=6.

Câu 38:

Cho hàm

y = f (x)

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số $y = 3 f (x + 2) - 2 x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 3 x + 2019$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

(1; + \infty)

.

B.

(- \infty; - 1)

.

C.

(- 1; \frac{1}{2})

.

D.

(0; 2)

.

Xem đáp án

Đáp án C

$y^{'} = 3 f^{'} (x + 2) - 6 x^{2} - 3 x + 3 = 3 [f^{'} (x + 2) - (2 x^{2} + x - 1)]$

Đặt $t = x + 2 \Rightarrow x = t - 2$ .

Ta có: $f^{'} (x + 2) - (2 x^{2} + x - 1) = f^{'} (t) - (2 t^{2} - 7 t + 5)$

Bảng xét dấu hàm $f^{'} (t)$ và $0 < \frac{x}{x^{2} + 4} \leq \frac{x}{4 x} = \frac{1}{4}, \forall x > 0$

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

+ Với $(- \infty; 1)$ thì $f^{'} (t) < (2 t^{2} - 7 t + 5), \forall t < 1 \Leftrightarrow y^{'} < 0, \forall x < - 1$ ; loại B.

+ Với $t \in (3; 4) \Rightarrow x \in (1; 2)$ thì $f^{'} (t) < (2 t^{2} - 7 t + 5), \forall t \in (3; 4) \Leftrightarrow y^{'} < 0, \forall x \in (1; 2)$ ; loại A, D.

+ Với $t \in (1; \frac{5}{2}) \Leftrightarrow x \in (- 1; \frac{1}{2})$ thì $f^{'} (t) > (2 t^{2} - 7 t + 5), \forall t \in (1; \frac{5}{2}) \Leftrightarrow y^{'} > 0, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$ .

Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên $(- 1; \frac{1}{2})$ .

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Câu 39:

Ba xạ thủ $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ độc lập với nhau cùng nổ súng bắn vào mục tiêu. Biết rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ tương ứng là 0,7; 0,6 và 0,5. Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng.

A. 0,45.

B. 0,21.

C. 0,75.

D. 0,94.

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi Ai : “Xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu” với $i = \bar{1,3}$ .

Khi đó $\bar{A_{i}}$ : “Xạ thủ thứ i bắn không trúng mục tiêu”.

Ta có $P (A) = 0,7 \Rightarrow P (\bar{A_{1}}) = 0,3; P (A) = 0,6 \Rightarrow P (A) = 0,4; P (A 3) = 0,5 \Rightarrow P (\bar{A_{3}}) = 0,5 < m a t h d i s p l a y =' b l o c k' x m \ln s =' h t t p : / / w w w . w 3 . o r g / 1998 / M a t h / M a t h M L' >$

Gọi : “Cả ba xạ thủ bắn không trúng mục tiêu”.

Và : “Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu”.

Ta có $P (B) = P (\bar{A_{1}}) . P (\bar{A_{2}}) . P (\bar{A_{3}}) = 0,3.0,4.0,5 = 0,06$ .

Khi đó $P (\bar{B}) = 1 - P (B) = 1 - 0,06 = 0,94$ .

Câu 40:

Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 1 triệu đồng 1 tháng. Cứ sau 3 năm thì ông An được tăng lương 40%. Hỏi sau tròn 20 năm đi làm tổng tiền lương ông An nhận được là bao nhiêu (làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)?

A. 726,74 triệu.

B. 716,74 triệu.

C. 858,72 triệu

D. 768,37triệu.

Xem đáp án

Đáp án D

Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 1 triệu đồng 1 tháng. Cứ sau 3 năm thì ông An được tăng lương 40%. Hỏi sau tròn 20 năm đi làm tổng tiền lương ông An nhận được là bao nhiêu (làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)? (ảnh 1)

Tổng lương sau tròn 20 năm là:

S = 36 [1 + (1 + \frac{2}{5}) + {(1 + \frac{2}{5})}^{2} + ... + {(1 + \frac{2}{5})}^{5}] + 24 {(1 + \frac{2}{5})}^{6} = 36. \frac{1 [1 - {(1 + \frac{2}{5})}^{6}]}{1 - (1 + \frac{2}{5})} + 24 {(1 + \frac{2}{5})}^{6} \approx 768,37

.

Câu 41:

Gọi S là tập hợp tất các các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = |\frac{x^{2} + 2 m x + 4 m}{x + 2}|$ trên đoạn $[- 1; 1]$ bằng 3. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 1.

B.

- \frac{1}{2}

.

C.

\frac{1}{2}

.

D.

- \frac{3}{2}

.

Xem đáp án

Đáp án B

Tập xác định: $D = ℝ \ \{- 2\}$ .

Xét hàm số $g (x) = \frac{x^{2} + 2 m x + 4 m}{x + 2}$ trên đoạn $[- 1; 1]$ .

Hàm số xác định và liên tục trên $[- 1; 1]$ .

Ta có: $g^{'} (x) = \frac{x^{2} + 4 x}{{(x + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \in [- 1; 1] \\ x = - 4 \notin [- 1; 1] \end{array}$ .

Ta lại có $g (0) = 2 m; g (- 1) = 2 m + 1; g (1) = 2 m + \frac{1}{3}$ .

Khi đó $\{\begin{cases} \min_{[- 1; 1]} g (x) = 2 m \\ \max_{[- 1; 1]} g (x) = 2 m + 1 \end{cases}$ .

Suy ra $\max_{[- 1; 1]} f (x) = \max \{|2 m|; |2 m + 1|\}$ .

Theo đề bài $\max_{[- 1; 1]} f (x) = 3$ : nên ta có: $[\begin{array}{l} \{\begin{cases} |2 m + 1| = 3 \\ |2 m + 1| \geq |2 m| \end{cases} \\ \{\begin{cases} |2 m| = 3 \\ |2 m| \geq |2 m + 1| \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \frac{3}{2} \end{array}$ .

Vậy tổng các phần tử thuộc tập S bằng $1 + (- \frac{3}{2}) = - \frac{1}{2}$ .

Lưu ý:

Tìm tham số để $\max_{[α; β]} f (x) = a$ (với a>0 ).

Phương pháp:

Tìm .

Suy ra: .

Theo đề bài: nên ta có hai trường hợp:

TH1: $\{\begin{cases} |M| = a \\ |m| \leq a \end{cases}$ TH2: $\{\begin{cases} |m| = a \\ |M| \leq a \end{cases}$ .

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

|z^{2}| = 2 |z + \bar{z}| + 4

và

|z - 1 - i| = |z - 3 + 3 i|

?

A. 4.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $z = a + b i$ .

Khi đó ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 |a| + 4 \\ \sqrt{{(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2}} = \sqrt{{(a - 3)}^{2} + {(b + 3)}^{2}} \end{cases}$

. $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 |a| + 4 \\ a^{2} + b^{2} - 2 a - 2 b + 2 = a^{2} + b^{2} - 6 a - 6 b + 18 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 4 |a| + 4 \\ 4 a = 8 b + 16 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} {(2 b + 4)}^{2} + b^{2} = 4 |2 b + 4| + 4 \\ a = 2 b + 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 b + 4 \\ 5 b^{2} + 16 b + 12 = |8 b + 16| \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 b + 4 \\ [\begin{array}{l} 5 b^{2} + 16 b + 12 = 8 b + 16 \\ 5 b^{2} + 16 b + 12 = - 8 b - 16 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 = 2 b + 4 \\ [\begin{array}{l} b = \frac{2}{5} \\ b = - 2 \\ b = - \frac{14}{5} \end{array} \end{cases}$

Vậy ta có các số phức $z_{1} = - 2 i; z_{2} = \frac{24}{5} + \frac{2}{5} i; z_{3} = - \frac{8}{5} - \frac{14}{5} i$ (thỏa mãn).

Câu 43:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $[0; 4]$ thỏa mãn $f^{''} (x) f (x) + \frac{f^{2} (x)}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{3}}} = {(f^{'} (x))}^{2}$ và $f (x) > 0$ với $x \in [0; 4]$ mọi . Biết rằng $f (0) = f^{'} (0) = 1$ , giá trị của $f (4)$ bằng

A.

e^{2}

.

B. 2e.

C. $e^{3}$

D. $e^{2} + 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $f^{''} (x) . f (x) + \frac{f^{2} (x)}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{3}}} = {(f^{'} (x))}^{2} \Leftrightarrow f^{''} (x) . f (x) - {(f^{'} (x))}^{2} = - \frac{f^{2} (x)}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{3}}}$

$\Leftrightarrow \frac{f^{''} (x) . f (x) - {(f^{'} (x))}^{2}}{f^{2} (x)} = - \frac{1}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{3}}} \Leftrightarrow {(\frac{f^{'} (x)}{f (x)})}^{'} = - \frac{1}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{3}}}$

$\Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = - \int \frac{d x}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{3}}} \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = - \int {(2 x + 1)}^{- \frac{3}{2}} d x \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} + C_{1}$

Thay $x = 0$ ta được: $C_{1} = 0 \Rightarrow \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} \Rightarrow \int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \int \frac{d x}{\sqrt{2 x + 1}}$

$\Leftrightarrow \ln (f (x)) = \sqrt{2 x + 1} + C_{2}$

Thay $x = 0$ ta được: $C_{2} = - 1 \Rightarrow \ln (f (x)) = \sqrt{2 x + 1} - 1$ .

Thay $x = 4$ ta được $\ln (f (4)) = 2 \Rightarrow f (4) = e^{2}$ .

Câu 44:

Cho hàm số

y = f (x)

xác định là liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ

Cho hàm số y=f(x) xác định là liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ (ảnh 1)

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình $7. f (5 - 2 \sqrt{1 + 3 \cos x}) = 3 m = 10$ có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ là

A. 4.

B. 8.

C. 6.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = 5 - 2 \sqrt{1 + 3 \cos x} (1)$ .

Ta có: $t^{'} = \frac{3 \sin x}{\sqrt{1 + 3 \cos x}} = 0 \Rightarrow x = 0$ .

Nhận xét:

+ Với $[\begin{array}{l} t > 3 \\ t < 1 \end{array}$ , suy ra phương trình (1) không có nghiệm thuộc $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ .

+ Với t=1 , suy ra phương trình (1) có một nghiệm thuộc $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ .

+ Với $1 < t \leq 3$ , suy ra phương trình (1) có hai nghiệm thuộc $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ .

Lúc đó, phương trình đã cho trở thành $f (t) = \frac{3 m - 10}{7}$ .

Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thì $\{\begin{cases} \frac{3 m - 10}{7} = - 4 \\ - 2 < \frac{3 m - 10}{7} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 6 \\ - \frac{4}{3} < m \leq \frac{10}{3} \end{array}$ .

Vì $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 6; - 1; 0; 1; 2; 3\}$ .

Vậy có 6 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 45:

Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình $12^{x} + (2 - m) {.6}^{x} + 3^{x} > 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in (0; \infty)$ .

A.

(4; + \infty)

.

B.

(- \infty; 4)

.

C.

(0; 4]

.

D.

(- \infty; 4]

.

Xem đáp án

Đáp án D

Chia cả hai vế của bất phương trình cho $3^{x}$ , ta được bất phương trình: $4^{x} + (2 - m) {.2}^{x} + 1 > 0$ .

Đặt $t = 2^{x}$ .

Do $x \in (0; \infty) \Rightarrow t \in (1; + \infty)$ .

Bất phương trình trở thành: $t^{2} + (2 - m) . t + 1 > 0 \Leftrightarrow t + 2 + \frac{1}{t} > m$ .

Xét hàm số $g (t) = t + 2 + \frac{1}{t}$ trên $(1; + \infty)$ .

Bài toán trở thành tìm m để: $m < g (t), \forall t \in (1; + \infty) \Leftrightarrow m \leq \min_{(1; + \infty)} g (t)$ .

Ta có $g^{'} (t) = 1 + \ln t > 0, \forall t \in (1; + \infty)$ .

Do đó ta có $m \leq \min_{(1; + \infty)} g (t) = g (1) = 1 + 2 + \frac{1}{1} = 4$ .

Vậy $m \leq 4$ .

Hoặc ta có thể bấm máy tính (MODE ® 7 (hoặc 8)) tìm min trên nửa khoảng $[1; + \infty)$ của hàm số g(t).

Câu 46:

Cho tứ diện ABCD và M, N, P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho $B C = 4 B M$ , $B D = 2 B N$ , $A C = 3 A P$ . Mặt phẳng $(M N P)$ cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng $(M N P)$ .

A.

\frac{2}{3}

.

B.

\frac{7}{13}

.

C.

\frac{5}{13}

.

D.

\frac{1}{3}

.

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $I = M N \cap C D, Q = P I \cap A D$ .S

Kẻ $D H // B C (H \in I M)$ và $D K // A C (K \in I P)$ .

$Δ N M B = Δ N D H \Rightarrow \frac{I D}{I C} = \frac{D H}{C M} = \frac{B M}{C M} = \frac{1}{3}$

$\frac{I K}{I P} = \frac{D K}{C P} = \frac{I D}{I C} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{D K}{2 A P} = \frac{1}{3} \Rightarrow D K = \frac{2}{3}$

Đặt $V = V_{A B C D}$ .

Ta có: $\frac{V_{A N P Q}}{V_{A N C D}} = \frac{A P}{A C} . \frac{A Q}{A D} = \frac{1}{5}$

$\frac{V_{A N C D}}{V_{A B C D}} = \frac{V_{D A C N}}{V_{D A B C}} = \frac{D N}{D B} = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{A N P Q} = \frac{1}{10} V$ .

$\frac{V_{C D M P}}{V_{C D B A}} = \frac{C M}{C B} . \frac{C P}{C A} = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{C D M P} = \frac{1}{2} V \Rightarrow V_{V . A B M P} = \frac{1}{2} V_{D A B M P} = \frac{1}{2} V - V_{C D M P} = \frac{1}{4} V$

$\Rightarrow V_{A B M N Q P} = V_{A N P Q} + V_{N . A B M P} = \frac{7}{20} V \Rightarrow \frac{V_{A B M N Q P}}{V_{C D M N Q P}} = \frac{7}{13}$

Vậy mặt phẳng $(M N P)$ chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích $\frac{7}{13}$ .

Câu 47:

Cho các số thực a, b, m, n sao cho $2 m + n < 0$ và thỏa mãn điều kiện

$\{\begin{cases} \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 9) = 1 + \log_{2} (3 a + 2 b) \\ 9^{- m} {.3}^{- n} {.3}^{\frac{- 4}{2 m + n}} + \ln [{(2 m + n + 2)}^{2} + 1] = 81 \end{cases}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \sqrt{{(a - m)}^{2} + {(b - n)}^{2}}$ .

A. 2

B. $2 \sqrt{5} - 2$

C.

\sqrt{5} - 2

.

D. $2 \sqrt{5}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\log_{2} (a^{2} + b^{2} + 9) = 1 + \log_{2} (3 a + 2 b) \Leftrightarrow \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 9) = \log_{2} [2 (3 a + 2 b)]$

$\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + 9 = 6 a + 4 b \Leftrightarrow {(a - 3)}^{2} + {(b - 2)}^{2} = 4$

Gọi $H (a; b)$ , suy ra $H \in (C)$ có tâm $I (3; 2)$ , bán kính $R = 2$ .

Lại có $9^{- m} {.3}^{- n} {.3}^{\frac{- 4}{2 m + n}} + \ln [{(2 m + n + 2)}^{2} + 1] = 81$

$\Leftrightarrow 3^{(- 2 m + n) + (\frac{- 4}{2 m + n})} + \ln [{(2 m + n + 2)}^{2} + 1] = 81 (1)$ .

Với mọi m, n thỏa mãn $2 m + n < 0$ , ta có:

$\{\begin{cases} - (2 m + n) + \frac{- 4}{2 m + n} \geq 2 \sqrt{- (2 m + n) . (\frac{- 4}{2 m + n})} = 4 \Rightarrow 3^{- (2 m + n) + (\frac{- 4}{2 m + n})} \geq 81 \\ \ln [{(2 m + n + 2)}^{2} + 1] \geq \ln 1 = 0 \end{cases}$

Suy ra $3^{- (2 m + n) + (\frac{- 4}{2 m + n})} + \ln [{(2 m + n + 2)}^{2} + 1] \geq 81$

Do đó $(1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} - (2 m + n) = \frac{- 4}{2 m + n} \\ 2 m + n + 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow 2 m + n + 2 = 0$ .

Gọi $K (m; n)$ , suy ra $K \in Δ : 2 x + y + 2 = 0$ .

Ta có: $P = \sqrt{{(a - m)}^{2} + {(b - n)}^{2}} = H K$ .

$d (I, Δ) = \frac{|2.3 + 2 + 2|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = 2 \sqrt{5} > 2$ , suy ra đường thẳng không cắt đường tròn .

Do đó HK ngắn nhất khi K là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng và điểm H là giao điểm của đoạn thẳng IK với đường tròn .

Lúc đó $H K = I K - I H = 2 \sqrt{5} - 2$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng $2 \sqrt{5} - 2$ .

Câu 48:

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [-5;3] có đồ thị như hình vẽ dưới. Biết diện tích các hình phẳng (A), (B), (C), (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x0 và trục hoành lần lượt bằng 6; 3; 12; 2. Tích phân $\int_{- 3}^{1} [2 f (2 x + 1) + 1] d x$ bằng

Cho hàm số xác định và liên tục trên đoạn có đồ thị như hình vẽ dưới. Biết diện tích các hình phẳng (A), (B), (C), (D) giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành lần lượt bằng 6; 3; 12; 2. Tích phân bằng (ảnh 1)

A. 27.

B. 25.

C. 17.

D. 21.

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $t = 2 x + 1 \Rightarrow d t = 2 d x$ .

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = - 3 \Rightarrow t = - 5 \\ x = 1 \Rightarrow t = 3 \end{cases}$ .

Do đó $\int_{- 3}^{1} [2 f (2 x + 1) + 1] d x = \int_{- 5}^{3} \frac{2 f (t) + 1}{2} d t = \int_{- 5}^{3} f (t) d t + \int_{- 5}^{3} \frac{1}{2} d t = \int_{- 5}^{3} f (t) d t + 4$ .

Để tính $\int_{- 5}^{3} f (t) d t$ ta dùng diện tích các hình phẳng đã cho:

Quan sát đồ thị nhận thấy trên đoạn $[- 5; 3]$ thì đồ thị hàm số $f (x)$ cắt trục hoành lần lượt tại các điểm có hoành độ $x = - 5; x = a; x = b; x = c$ (với $- 5 < a < b < c < 3$ ).

Trong đó $\int_{- 5}^{a} f (t) d t = \int_{- 5}^{a} |f (t)| d t = S_{(A)} = 6$ và $\int_{a}^{b} f (t) d t = - \int_{a}^{b} |f (t)| d t = - S_{(B)} = - 3$ .

$\int_{b}^{c} f (t) d t = \int_{b}^{c} |f (t)| d t = S_{(C)} = 12; \int_{c}^{3} f (t) d t = S_{(D)} = 2$ .

Vì vậy $\int_{- 5}^{3} f (t) d t = \int_{- 5}^{a} f (t) d t + \int_{a}^{b} f (t) d t + \int_{b}^{c} f (t) d t + \int_{c}^{3} f (t) d t = 6 - 3 + 12 + 2 = 17$

Vậy tích phân cần tính bằng 17 + 4 = 21.

Câu 49:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 4$ . Xét hai điểm M, N di động trên (S) sao cho MN=1. Giá trị nhỏ nhất của $O M^{2} - O N^{2}$ bằng

A. -10

B. $- 4 - 3 \sqrt{5}$

C. -5

D.

- 6 - 2 \sqrt{5}

.

Xem đáp án

Đáp án A

Xét điểm $M (x; y; z), N (a; b; c)$ ta có $\{\begin{cases} M \in (S) \\ N \in (S) \\ M N = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 4)}^{2} = 4 (1) \\ a^{2} + {(b - 3)}^{2} + {(c + 4)}^{2} = 4 (2) \\ {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = 1 (3) \end{cases}$

Lấy (1) – (2) theo vế có: . $x^{2} + y^{2} + z^{2} - a^{2} - b^{2} - c^{2} = 6 (y - b) - 8 (z - c)$

Kết hợp sử dụng bất đẳng thức Coossi (Bunhiacốpxki) và (3) ta có $O M^{2} - O N^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - a^{2} - b^{2} - c^{2} = 6 (y - b) - 8 (z - c)$

$\geq - \sqrt{(6^{2} + 8^{2}) [{(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2}]} \geq - \sqrt{(6^{2} + 8^{2}) [(y - a^{2}) + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2}]} = - 10$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\{\begin{cases} x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 4)}^{2} = 4 \\ a^{2} + {(b - 3)}^{2} + {(c + 4)}^{2} = 4 \\ {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = 1 \\ x - a = 0 \\ \frac{y - b}{6} = \frac{z - c}{- 8} = k < 0 \end{cases}$ .

Câu 50:

Cho hàm số

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho

(x - 1) [m^{3} . f (2 x - 1) - m . f (x) + f (x) - 1] \geq 0, \forall x \in ℝ

. Số phần tử của tập S là?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Xét $g (x) = (x - 1) . h (x) \geq 0, \forall x \in ℝ$ với $h (x) = m^{3} . f (2 x - 1) - m . f (x) + f (x) - 1$ .

Do $\{\begin{cases} x - 1 > 0 \forall x > 1 \Rightarrow h (x) \geq 0 \forall x > 1 \\ x - 1 < 0 \forall x < 1 \Rightarrow h (x) \leq 0 \forall x < 1 \end{cases} (*) \Rightarrow h (x) = 0$ tại x=1.

Suy ra: $m^{3} . f (1) - m . f (1) + f (1) - 1 = 0 \Rightarrow m^{3} - m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = \pm 1 \end{array}$ .

Với $m = 0 \Rightarrow h (x) = f (1) - 1$ thỏa mãn (*) do hàm f(x) đồng biến và f(1)=1.

Với $m = 1 \Rightarrow h (x) = f (2 x - 1) - 1$ thỏa mãn (*).

Do x>1 thì $2 x - 1 > 1 \Rightarrow f (2 x - 1) - 1 > 0$ và x<1 thì $2 x - 1 < 1 \Rightarrow f (2 x - 1) - 1 < 0$ .

Với $m = - 1 \Rightarrow h (x) = - f (2 x - 1) + 2 f (x) - 1$ .

Khi đó h(x) là hàm số bậc ba có hệ số a<0 nên $\lim_{x \to + \infty} h (x) < 0$ không thỏa mãn (*).

Vậy m=0 và m=1.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề)

Đề số 2

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan