50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 1

Câu 1:

Trong không gian vói hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua điểm $A (1; 4; - 7)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P) : x + 2 y - 2 z - 3 = 0$ có phương trình là

$A . \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z - 7}{- 2} .$

$B . \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 4}{4} = \frac{z - 7}{- 7} .$

$C . \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 4}{- 2} = \frac{z + 7}{- 2} .$

$D . \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z + 7}{- 2} .$

Xem đáp án

Đường thẳng đi qua điểm $A (1; 4; - 7)$ và vuông góc với mặt phẳng $x + 2 y - 2 z - 3 = 0$ nên có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 2; - 2)$ có phương trình là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z + 7}{- 2} .$

Câu 2:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$

$A . y = x^{3} - 2 x + 1 .$

$B . y = \frac{x + 1}{x - 2} .$

$C . y = \frac{x - 1}{x + 1} .$

$D . y = x^{3} + 3 x - 3 .$

Xem đáp án

Đáp án D

Loại ngay đáp án B, C vì hàm bậc một nếu có đồng biến thì đồng biến trên từng khoảng xác định.

Loại đáp án A vì phương trình $y^{'} = 3 x^{2} - 2 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án D: Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 3 > 0, \forall x \in ℝ;$ suy ra hàm số đồng biến trên khoảng R.

Câu 3:

Tìm phần ảo của số phức $z = 2 i (2 - i) .$

A. -2

B. 4i

C. 4

D.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $z = 2 i (2 - i) = 4 i - 2 . (- 1) = 2 + 4 i .$

Vậy phần ảo của số phức z là 4.

Câu 4:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \log_{2} (2 x^{2} - x - 1)$

$A . D = (- \infty; - \frac{1}{2}) \cup (1; + \infty) .$

$B . (- \infty; - \frac{1}{2}] \cup [1; + \infty) .$

$C . (- \frac{1}{2}; 1) .$

$D . [- \frac{1}{2}; 1] .$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: $2 x^{2} - x - 1 > 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < - \frac{1}{2} \\ x > 1 \end{cases} .$

Tập xác định $D = (- \infty; - \frac{1}{2}) \cup (1; + \infty) .$

Câu 5:

Cho một hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.

B. Mỗi đỉnhlà đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.

C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.

D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.

Xem đáp án

Đáp án C

Mỗi cạnh chỉ là cạnh chung của 2 mặt.

Câu 6:

Biết F(x) là nguyên hàm của $f (x) = 4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 3 x$ thỏa mãn $5 F (1) + F (2) = 43$ Tính F(2)

$A . \frac{151}{4}$

$B . 23 .$

$C . \frac{45}{2}$

$D . \frac{86}{7}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $F (x) = x^{4} + \frac{1}{x} + \frac{3}{2} x^{2} + C .$

Theo giả thiết $5 F (1) + F (2) = 43 \Rightarrow 5 (\frac{7}{2} + C) + (\frac{45}{2} + C) = 43 \Rightarrow C = \frac{1}{2} .$

Do đó $F (x) = x^{4} + \frac{1}{x} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow F (2) = 23.$

Câu 7:

Cho cấp số cộng có $u_{1} = 2018, d = - 3 .$ Khi đó $u_{2}$ bằng

A. -2020

B. -2006

C. 2019

D.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $1 d \Rightarrow u_{5} = u_{1} + 4 d = 2018 - 3 .4 = 2006 .$

Cho cấp số cộng có un = 2018, d = -3 Khi đó uk bằng A. =2020 B. =2006 (ảnh 1)

Câu 8:

Đường cong như hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Đường cong như hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? (ảnh 1)

$A . y = x^{4} + x^{2} - 2 .$

$B . y = 2 x^{4} + x^{2} - 1 .$

$C . y = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 2 .$

$D . y = - x^{4} - 2 x^{2} - 2 .$

Xem đáp án

Đáp án A

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $(0; - 2)$ loại đáp án B.

Đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị $ab \geq 0$ nên ta loại đáp án C.

Đồ thị hàm số quay lên nên ta loại đáp án D.

Câu 9:

Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (a) cắt ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm $3; 0; 0, B (0; 4; 0), C (0; 0; - 2) .$

$A . 4 x + 3 y - 6 z + 12 = 0 .$

$B . 4 x + 3 y + 6 z + 12 = 0 .$

$C . 4 x - 3 y + 6 z - 12 = 0 .$

$D . 4 x - 3 y + 6 z + 12 = 0 .$

Xem đáp án

Đáp án D

Mặt phẳng (a) có phương trình là:

(α) : \frac{x}{- 3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{- 2} = 1 \Leftrightarrow 4 x - 3 y + 6 z + 12 = 0.

Trong không gian Oxyz, tìm phương trình mặt phẳng (a) cắt ba trục Ox, Oy, Oz (ảnh 1)

Câu 10:

Biết rằng $I = \int_{1}^{e} \frac{\sqrt{3 lnx + 1}}{x} dx = \frac{a}{b}$ trong đó a và b là những số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Khi đó giá trị tổng của P = a+ tương ứng bằng

A. 23.

B. 29.

C. 32.

D. 35.

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = lnx \Rightarrow dt = \frac{dx}{x} .$

$I = \int_{0}^{1} \sqrt{3 t + 1} dt = \frac{14}{9} = \frac{a}{b} \Rightarrow a + 2 b = 32 .$

Câu 11:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - x - 20}$ là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án B

TXD: $D = [1; + \infty) \ \{5\}$

$\lim_{x \to 5^{-}} y = \lim_{x \to + \infty} (\frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - x - 20}) = 0$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng Y = 0 làm đường tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to 5^{-}} y = - \infty, \lim_{x \to 5^{+}} = + \infty$ nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng X = 5 làm đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.

Câu 12:

Cho hình nón có bán kính đáy $r = \sqrt{3}$ và độ dài đường sinh $l = 4 .$ Tính diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình nón đã cho.

$A . S_{xq} = 12 π .$

$B . S_{xq} = 4 \sqrt{3} π .$

$C . S_{xq} = \sqrt{39} π .$

$D . S_{xq} = 8 \sqrt{3} π .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $S_{xq} = πRl .$

Nên $S_{xq} = π \sqrt{3} . 4 = 4 \sqrt{3} π .$

Câu 13:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{1} \frac{1 - 2 x}{x} > 0$ là

$A . S = (\frac{1}{3}; + \infty) .$

$B . (0; \frac{1}{3}) .$

$C . (\frac{1}{3}; \frac{1}{2}) .$

$D . S = (- \infty; \frac{1}{3}) .$

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện: $0 < x < \frac{1}{2} .$

Ta có: $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1 - 2 x}{x} > 0 \Leftrightarrow \frac{1 - 2 x}{x} < 1$ (vì $0 < \frac{1}{3} < 1)$

$\Leftrightarrow \frac{1 - 2 x}{x} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{1 - 3 x}{x} < 0 .$

Mặt khác $x \in (0; \frac{1}{2}) \Rightarrow \frac{1}{2} > x > \frac{1}{3} .$

Dấu của biểu thức log

$\log_{a} b > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 0 < a, b < 1 \\ 1 < a, b \end{array} và \log_{a} b < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 0 < a < 1 < b \\ 0 < b < 1 < a \end{array}$

Câu 14:

Cho hàm số f(x) xác định trên R\{2} liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ:

$Cho hàm số y = f(x) xác định trên R \ {2} liên tục trên mỗi khoảng xác định và (ảnh 1)$

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt.

A. (-1;1)

B. (-1;1]

$C . (- \sqrt{2}; - 1] .$

$D . (- \sqrt{2}; - 1) .$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình f(x)=m có 3 nghiệm thực phân biệt khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt.

$Cho hàm số y = f(x) xác định trên R \ {2} liên tục trên mỗi khoảng xác định và (ảnh 2)$

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: $- \sqrt{2} < m < - 1.$

Câu 15:

Một khối trụ có bán kính R, chiều cao h và thể tích V₁ Tăng bán kính đáy lên gấp đôi, chiều cao khối trụ không đổi thì thể tích khối trụ khi đó

A. Tăng gấp đôi.

B. Tăng gấp 4 lần.

C. Không đổi.

D. Giảm một nửa.

Xem đáp án

Đáp án B

Khối trụ ban đầu có thể tích là $V_{1} = {πR}^{2} h .$

Sau khi tăng lên thì khối trụ có thể tích: $V_{2} = π . {(2 R)}^{2} \to h = 4 {πR}^{2} h = 4 V_{1} .$

Câu 16:

Tìm giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + m$ nhận điểm A(1;3) làm tâm đối xứng

A. m = 4

B. m = 5

C. m = 3

D. m = 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: ${y^{'}}^{'} = {(x^{3} - 3 x^{2} + m)}^{'}^{'} = 6 x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y_{(1)} = m - 2.$

Đồ thị hàm số nhận điểm A (1;3) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi

$y_{(1)} = 3 \Leftrightarrow m - 2 = 3 \Leftrightarrow m = 5.$

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ . Góc giữa SC và (ABCD) là 45^o Thể tích khối chóp S.ABCD là

$A . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{2} .$

$B . a^{3} \sqrt{2} .$

$C . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6} .$

$D . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Góc giữa SC và (ABCD) là $\hat{S C A} = 45 ° .$

Xét $Δ S A C$ có $S A = A C = a \sqrt{2}$ (và $Δ S A C$ vuông cân tại A)

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} a \sqrt{2} a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD). (ảnh 1)

Câu 18:

Tìm tham số thực m để hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} + x - 12}{x + 4} k h i x \neq - 4 \\ m x + 1 k h i x = - 4 \end{cases}$ liên tục tại điểm $x_{0} = - 4$

A. m = 4

B. m = 3

C. m = 2

D. m = 5

Xem đáp án

Đáp án C

Tập xác định D =

Ta có $f (- 4) = - 4 m + 1 .$

$\lim_{x \to - 4} f (x) = \lim_{x \to - 4} \frac{x^{2} + x - 12}{x + 4} = \lim_{x \to - 4} \frac{(x + 4) (x - 3)}{x + 4} = \lim_{x \to - 4} (x - 3) = - 7 .$

Câu 19:

Cho hai số $z_{1}, z_{2}$ phức thỏa mãn $| z_{1} | = | z_{2} | = | z_{1} - z_{2} | = 1 .$ Tính $| z_{1} + z_{2} |$

$A . \sqrt{3}$

$B . 2 \sqrt{3}$

C.

$D . \frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: ${|z_{1} - z_{2}|}^{2} = (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1} - z_{2}}) = (z_{1} - z_{2}) (\bar{z_{1}} - \bar{z_{2}}) = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} - (z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2})$

$\Rightarrow z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2} = 1$

$\Rightarrow {|z_{1} + z_{2}|}^{2} = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1} + z_{2}}) = (z_{1} + z_{2}) (\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}) = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} + (z_{1} . \bar{z_{2}} + \bar{z_{1}} . z_{2}) = 3 .$

Từ đó suy ra $|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{3} .$

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm H (1;-2;3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B và C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là

$A . (P) : x - 2 y + 3 z - 13 = 0 .$

$B . (P) : x - 2 y - 3 z + 13 = 0 .$

$C . (P) : x - 2 y - 3 z - 13 = 0 .$

$D . (P) : x - 2 y - 3 z + 13 = 0 .$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $A (a; 0; 0) \in O x, B (0; b; 0) \in O y, C (0; 0; c) \in O z .$

Phương trình mặt chắn của $(P) : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.$

Ta có: $\vec{A H} = (1 - a; - 2; 3), \vec{B H} = (1; - 2 - b; 3), \vec{B C} = (0; - b; c), \vec{A C} = (- a; 0; c) .$

Câu 21:

Cho $0 < x \neq 1,0 < a \neq 1$ và $M = \frac{1}{\log_{a} x} + \frac{1}{\log_{a^{3}} x} + \frac{1}{\log_{a^{5}} x} + . .. + \frac{1}{\log_{a^{2019}} x} .$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

$A . M = \frac{2020^{2}}{\log_{a} x}$

$B . M = \frac{2018 .1010}{\log_{a} x}$

$C . M = \frac{2020 .1010}{\log_{a} x}$

$D . M = \frac{1010^{2}}{\log_{a} x}$

Xem đáp án

Đáp án D

Với điều kiện $0 < x \neq 1,0 < a \neq 1 .$

Ta có: $M = \log_{x} a + \log_{x} a^{3} + \log_{x} a^{5} + . .. + \log_{x} a^{2019}$

$= \log_{x} (a . a^{3} . a^{5} . .. a^{2019}) = (1 + 3 + 5 + . .. + 2019) \log_{x} a (*)$

$= 1010^{2} . \log_{x} a = \frac{1010^{2}}{\log_{a} x} .$

$\log_{a} (y_{1} . y_{2} . .... y_{n}) = \log_{a} y_{1} + \log_{a} y_{2} + . .. + \log_{a} y_{n}$ (với $a, y_{1}, y_{2}, ..., y_{n} > 0; a \neq 1$ )

Công thức: $1 + 3 + 5 + . .. + (2 n - 1) = n^{2} .$

Chứng minh dựa vào tính tổng của một CSC với $u_{1} = 1, u_{n} = 2 n - 1, d = 2 .$

Khi đó tổng $S = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n}) = \frac{n}{2} (1 + 2 n - 1) = n^{2}$

Câu 22:

Cho đồ thị hàm số $y = \frac{1}{3} x^{4} - 2 x^{2} - 1$ có 3 điểm cực trị là A, B, C. Biết M, N là hai điểm di động lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác AMN. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN là

A.

2 \sqrt{3}

B. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Dễ thấy ABC là tam giác đều, nên có thể giả sử tọa độ ba điểm cực trị của hàm số đã cho là A(0;1), B(- $\sqrt{3}$ ;-4), C( $\sqrt{3}$ ;-4)

Đặt AM=x, AN=y (x,y>0)

Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{2} x y \sin 60 ° = \frac{1}{3} \frac{{(2 \sqrt{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow x y = 4.$

Lại có $M N^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y \cos 60 ° \geq 2 x y - 4 = 4.$

GTNN của độ dài đoạn thẳng MN là 2.

Công thức tính diện tích tam giác thông thường khác: $S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} A B . A C . \sin A .$

Câu 23:

Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{2} ({17.2}^{x} - 8) = 2 x$ bằng

A. 1.

B. 2.

C. -2

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: ${17.2}^{x} - 8 > 0.$

Phương trình tương đương với: ${17.2}^{x} - 8 = 2^{2 x} \Leftrightarrow {(2^{x})}^{2} - {17.2}^{x} + 8 = 0.$

Đặt $2^{x} = t$ (với $t > 0$ )

Khi đó phương trình trở thành: $t^{2} - 17 t + 8 = 0.$

Phương trình có hai nghiệm $t_{1}, t_{2}$ thỏa mãn: $t_{1} . t_{2} = 8$

$\Rightarrow 2^{x_{1}} {.2}^{x_{2}} = 8 \Leftrightarrow 2^{x_{1} + x_{2}} = 2^{3} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 3.$

Bài toán không cần tính cụ thể $x_{1}, x_{2}$ mà ta chỉ cần sử dụng tính chất $a^{x_{1}} . a^{x_{2}} = a^{x_{1} + x_{2}} .$

Câu 24:

Cho $\lim \frac{1 + 2 n - 2 \sqrt{5} n^{2}}{\sqrt{3 n^{4} + 2}} = \frac{a \sqrt{b}}{c}$ (với $\frac{a}{c}$ là phân số tối giản). Khẳng định nào sau đây là sai?

A.

a b c < 0.

B.

[\begin{array}{l} a b < 0 \\ b c < 0 \end{array} .

C. $(\frac{a c}{b} + 1) \in ℤ .$

D.

a + b + c > 0.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\lim \frac{1 + 2 n - 2 \sqrt{5} n^{2}}{\sqrt{3 n^{4} + 2}} = \lim \frac{\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n} - 2 \sqrt{5}}{\sqrt{3 + \frac{2}{n^{4}}}} = \frac{- 2 \sqrt{5}}{3} = \frac{- 2 \sqrt{15}}{3} \Rightarrow a = - 2, b = 15, c = 3$

Khi đó $\frac{a c}{b} + 1 = \frac{- 2.3}{15} + 1 = \frac{3}{5} \notin ℤ$

Câu 25:

Cho hàm số $f (x)$ thỏa mãn $f^{'} (x) = 2018^{x} . l n 2018 - \cos x$ và $f (0) = 2.$

Khẳng định nào đúng?

A.

f (x) = 2018^{x} + \sin x + 1.

B.

f (x) = \frac{2018^{x}}{\ln 2018} + \sin x + 1.

C.

f (x) = \frac{2018^{x}}{\ln 2018} - \sin x + 1.

D.

f (x) = 2018^{x} - \sin x + 1.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\{\begin{cases} f (x) = \int (2018^{x} \ln 2018 - \cos x) d x \\ f (0) = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) = 2018^{x} - \sin x + C \\ 2 = 2018^{0} - \sin 0 + C \end{cases}$

$\Leftrightarrow f (x) = 2018^{x} - \sin x + 1.$

Câu 26:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z + 4| + |z - 4| = 10.$ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là một hình phẳng có diện tích bằng

A. $20 π .$

B.

15 π .

C.

12 π .

D. $16 π .$

Xem đáp án

Đáp án B

Giả sử $z = x + y i$ $(x, y \in ℝ) \Rightarrow M (x, y)$

là điểm biểu diễn z trên mặt phẳng Oxy, $A (4; 0), B (- 4; 0)$ tương ứng là các điểm biểu diễn số phức $z_{1} = 4, z_{2} = - 4$

Theo bài ra $|z - 4| + |z + 4| = 10 \Leftrightarrow M A + M B = 10 = 2 a \Leftrightarrow a = 5.$

$A B = 8 = 2 c \Rightarrow c = 4 \Rightarrow b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = 3$

Vậy tập hợp điểm M là elip có hai tiêu điểm A, B. Phương trình elip: $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1.$

Diện tích của elip: $S = π a b = 15 π .$

Câu 27:

Người ta xây một sân khấu với mặt sân có dạng hợp của hai hình tròn giao nhau. Bán kính của hai hình tròn là 20 mét và 15 mét. Khoảng cách giữa hai tâm của hai hình tròn là 30 mét. Chi phí làm mỗi mét vuông phần giao nhau của hai hình tròn là 300 ngàn đồng và chi phí làm mỗi mét vuông phần còn lại là 100 ngàn đồng. Hỏi số tiền làm mặt sân của sân khấu gần với số nào trong các số dưới đây?

A. 202 triệu đồng.

B. 208 triệu đồng

C. 218 triệu đồng

D. 200 triệu đồng.

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi O, I lần lượt là tâm của các đường tròn bán kính bằng 20 mét và bán kính bằng 15 mét.

Gắn hệ trục Oxy, vì $O I = 30$ mét nên $I (0; 30) .$

Phương trình hai đường tròn lần lượt là $x^{2} + y^{2} = 20^{2}$ và $x^{2} + {(y - 30)}^{2} = 15^{2} .$

Gọi A, B là các giao điểm của hai đường tròn đó.

Tọa độ A, B là nghiệm của hệ $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 20^{2} \\ x^{2} + {(y - 30)}^{2} = 15^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \pm \frac{5 \sqrt{455}}{12} \\ y = \frac{215}{12} \end{cases} .$

Tổng diện tích hai đường tròn là $π (20^{2} + 15^{2}) = 625 π (m^{2}) .$

Phần giao của hai hình tròn chính là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = 30 - \sqrt{15^{2} - x^{2}}$

và $y = \sqrt{20^{2} - x^{2}} .$

Do đó diện tích phần giao giữa hai hình tròn là

$S = \int_{- \frac{5 \sqrt{455}}{12}}^{\frac{5 \sqrt{455}}{12}} (\sqrt{20^{2} - x^{2}} + \sqrt{15^{2} - x^{2}} - 30) d x \approx 60,2546 (m^{2}) .$

Số tiền để làm phần giao giữa hai hình tròn là:

$300 000.60,2546 \approx 18076386$ (đồng).

Số tiền để làm phần còn lại là:

$100 000. (625 π - 2.60,2546) = 184 299 220$ (đồng)

Vậy tổng số tiền làm sân khấu là:

$184 299 220 + 18 076 386 \approx 202375606$ (đồng).

Câu 28:

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 4 z + 5 = 0.$ Giá trị của biểu thức ${(z_{1} - 1)}^{2019} + {(z_{2} - 1)}^{2019}$ bằng

A.

2^{1009} .

B.

2^{1010} .

C. 0.

D.

- 2^{1010} .

Xem đáp án

Đáp án D

Xét phương trình: $z^{2} - 4 z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(z - 2)}^{2} = - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = 2 + i \\ z_{2} = 2 - i \end{array} .$

Khi đó ta có: ${(z_{1} - 1)}^{2019} + {(z_{2} - 1)}^{2019} = {(1 + i)}^{2019} + {(1 - i)}^{2019}$

$= (1 + i) . {[{(1 + i)}^{2}]}^{1009} + (1 - i) . {[{(1 - i)}^{2}]}^{1009}$

$= (1 + i) . {(2 i)}^{1009} + (1 - i) . {(- 2 i)}^{1009}$

$= {(2 i)}^{1009} . [(1 + i) - (1 - i)] = {(2 i)}^{1010} = - 2^{1010} .$

Lũy thừa đơn vị ảo i

$i^{4 n} = 1; i^{4 n + 1} = i; i^{4 n + 2} = - 1; i^{4 n + 3} = - i (n \in ℕ)$

.

Câu 29:

Cho lăng trụ $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có ABCD là hình chữ nhật $A^{'} A = A^{'} B = A^{'} D .$ Tính thể tích khối lăng trụ $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ biết rằng $A B = a, A D = a \sqrt{3}, A^{'} A = 2 a .$

A.

3 a^{3} .

B.

a^{3} .

C.

a^{3} \sqrt{3} .

D. $3 a^{3} \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

ABCD là hình chữ nhật $\Rightarrow O A = O B = O D .$

Mà $A^{'} A = A^{'} B = A^{'} D$ nên $A^{'} O ⊥ (A B D)$ (vì $A^{'} O$ là trực tâm tam giác ABD)

$Δ A B D$ vuông tại A

$\Rightarrow B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = 2 a \Rightarrow O A = O B = O D = a .$

$Δ A^{'} A O$ vuông tại $O \Rightarrow A^{'} O = \sqrt{A^{'} A^{2} + A O^{2}} = a \sqrt{3} .$

$S_{A B C D} = A B . A D = a^{2} \sqrt{3} \Rightarrow V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = A^{'} O . S_{A B C D} = 3 a^{3}$

Cho lăng trụ có ABCD là hình chữ nhật Tính thể tích khối lăng trụ biết rằng (ảnh 1)

Câu 30:

Cho ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn ba số phức $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ với $z_{3} \neq z_{1}, z_{3} \neq z_{2}$ . Biết $|z_{1}| = |z_{2}| = |z_{3}|$ và $z_{1} + z_{2} = 0.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Tam giác ABC vuông tại C.

B. Tam giác ABC đều.

C. Tam giác ABC vuông cân tại C.

D. Tam giác ABC cân tại C.

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $|z_{1}| = |z_{2}| = |z_{3}| = R .$ Khi đó A, B, C nằm trên đường tròn $(O; R) .$

Do $z_{1} + z_{2} = 0$ nên hai điểm A, B đối xứng nhau qua O.

Như vậy điểm C nằm trên đường tròn đường kính AB (bỏ đi hai điểm A và B) hay tam giác ABC vuông tại C.

Cho ba điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn ba số phức với . Biết và Mệnh đề nào sau đây đúng? (ảnh 1)

Câu 31:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{2 \cos x + 3}{2 \cos x - m}$ nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{π}{3}) .$

A.

m > - 3.

B.

[\begin{array}{l} m \leq - 3 \\ m \geq 2 \end{array} .

C.

m < - 3.

D.

[\begin{array}{l} - 3 < m \leq 1 \\ m \geq 2 \end{array} .

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = \cos x$ (vì $0 < x < \frac{π}{3} \Rightarrow \frac{1}{2} < t < 1$ ).

( $t^{'} = - \sin x < 0, \forall x \in (0; \frac{π}{3}),$ do đó $t = \cos x$ nghịch biến trên $(0; \frac{π}{3})$ ).

Hàm số trở thành $y (t) = \frac{2 t + 3}{2 t - m} (t \neq \frac{m}{2})$

Ta có: $y^{'} (t) = \frac{- 2 m - 6}{{(2 t - m)}^{2}} .$

Do đó yêu cầu toán trở thành $y (t)$ đồng biến trên khoảng $(\frac{1}{2}; 1)$ khi $y^{'} (t) > 0, \forall t \in (\frac{1}{2}; 1) .$

\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 m - 6 > 0 \\ 2 t - m \neq 0 \end{cases}, \forall t \in (\frac{1}{2}; 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < - 3 \\ m \neq 2 t \end{cases}, \forall t \in (\frac{1}{2}; 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < - 3 \\ m \notin (1; 2) \end{cases} \Leftrightarrow m < - 3.

Câu 32:

Cho tập $X = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} .$ Hỏi có tất cả bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

(I) “Có $A_{9}^{4}$ số có 4 chữ số được lập từ tập X”

(II) “ $A_{10}^{5}$ là một tổ hợp chập 3 của X”

(III) “Mỗi hoán vị các phần tử của X là một chỉnh hợp chập 9 của X”

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

(I) “Có $A_{9}^{4}$ số có 4 chữ số được lập từ tập X” là mệnh đề sai vì có $9^{4}$ số có 4 chữ số được lập từ tập X.

(II) “ $A_{10}^{5}$ là một tổ hợp chập 3 của X” là mệnh đề sai vì $A_{10}^{5}$ là một chỉnh hợp chập 3 của X.

(III) “Mỗi hoán vị các phần tử của X là một chỉnh hợp chập 9 của X” là mệnh đề đúng.

Câu 33:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{x} .$ Nếu $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ và đồ thị hàm số $y = F (x)$ đi qua $M (- 1; 0)$ thì $F (x)$ là

A.

F (x) = \ln |x| - 1.

B.

F (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1.

C.

F (x) = \ln |x| .

D.

F (x) = - \frac{1}{x^{2}} .

Xem đáp án

Đáp án C

$F (x) = \int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C$ đồ thị hàm số $y = F (x)$ đi qua $M (- 1; 0)$

$\Rightarrow C = 0 \Rightarrow F (x) = \ln |x| .$

Lỗi học sinh dễ mắc đó là: $\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C .$

Câu 34:

Một nhóm gồm 120 diễn viên quần chúng biểu diễn một tiết mục cần xếp thành hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 người, hàng thứ hai có 2 người, hàng thứ ba có 3 người,… Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng?

A. 10

B. 12.

C. 15.

D. 20.

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi n là số hàng cần tìm.

Ta có: $1 + 2 + 3 + ... + n = 120 \Leftrightarrow \frac{n (n + 1)}{2} = 120 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 15 \\ n = - 16 (l) \end{array} \Rightarrow n = 15.$

Câu 35:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên $[0; 1] .$ Biết $f (x) . f (1 - x) = 1$ với $\forall x \in [0; 1] .$ Tính giá trị $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)}$

A.

\frac{3}{2} .

B.

\frac{1}{2} .

C. 1

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $1 + f (x) = f (x) f (1 - x) + f (x) \Rightarrow \frac{f (x)}{1 + f (x)} = \frac{1}{f (1 - x) + 1}$

Xét $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)}$

Đặt $t = 1 - x \Rightarrow x = 1 - t \Rightarrow d x = - d t .$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{cases} .$

Khi đó $I = - \int_{1}^{0} \frac{d t}{1 + f (1 - t)} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + f (1 - t)} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (1 - x)} = \int_{0}^{1} \frac{f (x)}{1 + f (x)} d x .$

Mặt khác $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)} + \int_{0}^{1} \frac{f (x)}{1 + f (x)} d x = \int_{0}^{1} \frac{1 + f (x)}{1 + f (x)} d x = \int_{0}^{1} d x = 1$ hay $2 I = 1.$

Vậy $I = \frac{1}{2} .$

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng $(α)$ đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng $(α)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là $V_{1}, V_{2}$ với $V_{1} < V_{2} .$ Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}} .$

A.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4} .

B.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{8} .

C.

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{5}{8} .

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{5} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Kẻ $M N / / C D (N \in C D)$ , suy ra ABMN là thiết diện của khối chóp.

Ta có $V_{S . A B M N} = V_{S . A B M} + V_{S . A M N} .$ $\frac{V_{S . A B M}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S C} = \frac{1}{2} \Rightarrow V_{S . A B M} = \frac{1}{2} V_{S . A B C} = \frac{1}{4} V_{S . A B C D}$ $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A C D}} = \frac{S M}{S C} . \frac{S N}{S D} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{S . A M N} = \frac{1}{8} V_{S . A B C D} .$

Do đó $V_{S . A B M N} = \frac{1}{4} V_{S . A B C D} + \frac{1}{8} V_{S . A B C D} = \frac{3}{8} V_{S . A B C D}$

Suy ra $V_{A B M N D C} = \frac{5}{8} V_{S . A B C D}$ nên $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{5} .$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt phẳng đi qua A, B và trung điểm M của SC. Mặt phẳng chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là với Tính tỉ số (ảnh 1)

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (1; 0; 0), B (0; 0; 2)$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0.$ Số mặt phẳng chứa hai điểm $A, B$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ là

A. 1 mặt phẳng.

B. 2 mặt phẳng.

C. 0 mặt phẳng.

D. Vô số mặt phẳng

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi phương trình mặt phẳng là: $(P) : A x + B y + C z + D = 0$ (với $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$ )

Theo đề bài, mặt phẳng $(P)$ qua A, B nên ta có: $\{\begin{cases} A + D = 0 \\ 2 C + D = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} A = 2 C \\ D = - 2 C \end{cases} .$

Vậy mặt phẳng $(P)$ có dạng: $2 C x + B y + C z - 2 C = 0.$

$(S)$ có tâm $I (1,1,0)$ và $R = 1.$

Vì $(P)$ tiếp xúc với (S) nên $d (I; (P)) = R$

$\Leftrightarrow \frac{|2 C + B - 2 C|}{\sqrt{5 C^{2} + B^{2}}} = 1 \Leftrightarrow B^{2} = 5 C^{2} + B^{2} \Leftrightarrow C = 0.$

Suy ra $A = D = 0.$

Vậy phương trình mặt phẳng $(P) : y = 0.$

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, $A B = a \sqrt{2}, B C = a, S C = 2 a$ và $\hat{S C A} = 30 ° .$ Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.

A.

R = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

B.

R = a .

C.

R = \frac{a}{2} .

D.

R = a \sqrt{3} .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $A C = S C . \cos 30 ° = a \sqrt{3}$

$A B^{2} + B C^{2} = 2 a^{2} + a^{2} = 3 a^{2} = A C^{2} \Rightarrow Δ A B C$ là tam giác vuông ở B.

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AC, SC.

Khi đó ta có: H là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$ .

$I H ⊥ (A B C) .$

Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC, suy ra $R = \frac{1}{2} S C = a .$

Vậy $R = a .$

Câu 39:

Phương trình $|x^{2} - 2 x| (|x| - 1) = m$ (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f (x) = |x^{2} - 2 x| (|x| - 1) = \{\begin{cases} (x^{2} - 2 x) (x - 1) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x (x \geq 2) \\ - (x^{2} - 2 x) (x - 1) = - x^{3} + 3 x^{2} - 2 x (0 \leq x < 2) \\ (x^{2} - 2 x) (- x - 1) = - x^{3} + x^{2} + 2 x (x < 0) \end{cases}$

$f^{'} (x) = \{\begin{cases} 3 x^{2} - 6 x + 2, x \geq 2 \\ - 3 x^{2} + 6 x - 2, 0 \leq x < 2 \\ - 3 x^{2} + 2 x + 2, x < 0 \end{cases} .$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3} \\ x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} \\ x = \frac{1 - \sqrt{7}}{3} \end{array}$

Bảng biến thiên hàm số $f (x)$

Phương trình (với m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu nghiệm thực? (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình $f (x) = m$ có tối đa 4 nghiệm.

Câu 40:

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = [f (x + 2018) + m^{2}]$ có 5 điểm cực trị?

A. 0.

B. 1

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có hàm số $y = f (x + 2018)$ có đồ thị là hàm số $y = f (x)$ tịnh tiến sang trái 2018 đơn vị.

Hàm số $y = f (x + 2018) + m^{2}$ có đồ thị hàm số $y = f (x + 2018)$ tịnh tiến lên trên $m^{2}$ đơn vị.

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số $y = f (x)$ có 3 điểm cực trị.

Khi tịnh tiến sang trái 2018 đơn vị thì số điểm cực trị hàm số $y = f (x + 2018)$ vẫn là 3 điểm cực trị.

Để hàm số $y = |f (x + 2018) + m^{2}|$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y = f (x + 2018)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt (trừ các điểm cực trị tiếp xúc với trục hoành).

$\Leftrightarrow 2 \leq m^{2} < 6 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{2} \leq m < \sqrt{6} \\ - \sqrt{6} < m \leq - \sqrt{2} \end{array} .$

Do $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 2; 2\}$ .

Hàm số

Số điểm cực trị

Điều kiện

$y = f (|x|)$

$y = f (|x|) + f (m)$

$y = f (|x + m|)$

$y = f (|x| + m)$

$2 a + 1$

a là số điểm cực trị dương của $y = f (x)$

Câu 41:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M (0; - 1; 2)$ và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{2},$ $d_{2} : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 2}{4} .$ Phương trình đường thẳng đi qua M, cắt cả $d_{1}$ và $d_{2}$ là

A.

\frac{x}{- \frac{9}{2}} = \frac{y + 1}{\frac{9}{2}} = \frac{z + 3}{8} .

B.

\frac{x}{3} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z - 2}{4} .

C.

\frac{x}{9} = \frac{y + 1}{- 9} = \frac{z - 2}{16} .

D.

\frac{x}{- 9} = \frac{y + 1}{9} = \frac{z - 2}{16} .

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $Δ$ là đường thẳng cần tìm.

$Δ \cap d_{1} = A (t_{1} + 1; - t_{1} - 2; 2 t_{1} + 3);$ $Δ \cap d_{2} = B (2 t_{2} - 1; - t_{2} + 4; 4 t_{2} + 2) .$

$\vec{M A} = (t_{1} + 1; - t_{1} - 1; 2 t_{1} + 1); \vec{M B} = (2 t_{2} - 1; - t_{2} + 5; 4 t_{2})$

Ta có: $M, A, B$ thẳng hàng khi $\vec{M A} = k \vec{M B}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} t_{1} + 1 = k (2 t_{2} - 1) \\ - t_{1} - 1 = k (- t_{2} + 5) \\ 2 t_{1} + 1 = 4 k t_{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t_{1} = \frac{7}{2} \\ k = - \frac{1}{2} \\ k t_{2} = 2 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} t_{1} = \frac{7}{2} \\ t_{2} = - 4 \end{cases}$

Suy ra $\vec{M B} = (- 9; 9; - 16) .$

Đường thẳng $Δ$ đi qua $M (0; - 1; 2)$ , một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (9; - 9; 16)$ có phương trình là: $Δ : \frac{x}{9} = \frac{y + 1}{- 9} = \frac{z - 2}{16} .$

Câu 42:

Cho phương trình

4^{x^{2} - 2 x + 1} - m {.2}^{x^{2} - 2 x + 2} + 3 m - 2 = 0.

Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình có 4 nghiệm phân biệt

A.

(2; + \infty) .

B.

[2; + \infty) .

C.

(- \infty; 1) \cup (2; + \infty) .

D.

(1; + \infty) .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $4^{x^{2} - 2 x + 1} - m {.2}^{x^{2} - 2 x + 2} + 3 m - 2 = 0 \Leftrightarrow 4^{x^{2} - 2 x + 1} - 2 m {.2}^{x^{2} - 2 x + 1} + 3 m - 2 = 0.$

Đặt $2^{x^{2} - 2 x + 1} = t$ ta có phương trình $t^{2} - 2 m . t + 3 m - 2 = 0 (1)$

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $t_{1}, t_{2}$ lớn hơn 1

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} > 0 \\ (t_{1} - 1) (t_{2} - 1) > 0 \\ \frac{t_{1} + t_{2}}{2} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} > 0 \\ t_{1} t_{2} - (t_{1} + t_{2}) + 1 > 0 \\ t_{1} + t_{2} > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 3 m + 2 > 0 \\ 3 m - 2 - 2 m + 1 = 0 \\ 2 m > 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > 2, m < 1 \\ m > 1 \\ m > 1 \end{cases} \Leftrightarrow m > 2$

Với dạng toán phương trình có mũ phức tạp, ta luôn cố gắng tìm điểm chung để đặt ẩn phụ.

Tìm điều kiện của ẩn phụ để thỏa mãn yêu cầu đề bài đã cho.

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn giá trị $α .$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ > 0 \\ \frac{S}{2} > α \\ a . f (α) > 0 \end{cases}$

Câu 43:

Cho khối nón đỉnh O, trục OI. Mặt phẳng trung trực của OI chia khối nón thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần là

A.

\frac{1}{2} .

B.

\frac{1}{8} .

C.

\frac{1}{4} .

D.

\frac{1}{7} .

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi R là bán kính đáy của khối nón trục $O I \Rightarrow V = \frac{1}{3} π R^{2} . O I .$

Giả sử mặt phẳng trung trục của OI cắt trục OI tại H, cắt đường sinh OM tại N.

Khi đó mặt phẳng này chia khối nón thành 2 phần, phần trên là khối nón mới có bán kính $r = \frac{R}{2}$ có chiều cao là $\frac{O I}{2} .$

$\Rightarrow V_{1} = \frac{1}{3} π {(\frac{R}{2})}^{2} (\frac{O I}{2}) = \frac{π R^{2} O I}{24} .$

Phần dưới là khối nón cụt có thể tích $V_{2} = V - V_{1} = \frac{π R^{2} O I}{3} - \frac{π R^{2} O I}{24} = \frac{7 π R^{2} O I}{24} .$

Vậy tỉ số thể tích là $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{π R^{2} O I}{24}}{\frac{7 π R^{2} O I}{24}} = \frac{1}{7} .$

Câu 44:

Cho hình lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có thể tích là V và độ dài cạnh bên là $A A^{'} = 6.$ Cho điểm $A_{1}$ thuộc cạnh $A A^{'}$ sao cho $A A_{1} = 2.$ Các điểm $B_{1}, C_{1}$ lần lượt thuộc cạnh $B B^{'}, C C^{'}$ sao cho $B B_{1} = x, C C_{1} = y .$ Biết rằng thể tích khối đa diện $A B C . A_{1} B_{1} C_{1}$ bằng $\frac{1}{2} V .$ Giá trị của $x + y$ bằng

A. 10.

B. 4.

C. 16

D. 7.

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi M, N lần lượt thuộc $B B^{'}$ và $C C^{'}$ sao cho $B M = C N = 2.$

Khi đó ta có:

$V_{A B C . A_{1} B_{1} C_{1}} = V_{A B C . A_{1} M N} + V_{A_{1} M N C_{1} B_{1}} = \frac{1}{3} V + \frac{x + y - 4}{12} A^{'} B C^{'} B^{'}$

$= \frac{1}{3} V + \frac{x + y - 4}{12} . \frac{2}{3} V .$

Mặt khác theo giả thiết ta có:

$V_{A B C . A_{1} B_{1} C_{1}} = \frac{1}{2} V \Rightarrow \frac{1}{3} V + \frac{x + y - 4}{12} . \frac{2}{3} V = \frac{1}{2} V \Leftrightarrow \frac{1}{3} + \frac{x + y - 4}{12} . \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x + y = 7.$

Câu 45:

Biết rằng $F (x) = \int \tan x d x$ và $F (0) = 3 F (π) = 6.$ Khi đó giá trị của biểu thức $F (\frac{π}{3}) + F (\frac{4 π}{3})$ tương ứng bằng

A.

8 + 2 \ln 2.

B. 8.

C.

4 + 4 \ln 2.

D.

6 - 2 \ln 2.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $F (x) = \int \tan x d x = \int \frac{\sin x d x}{\cos x} = - \ln |\cos x| + C$ xác định trên 2 miền

+ Miền thứ nhất $\frac{π}{2} + k 2 π < x < \frac{3 π}{2} + k 2 π,$ ta có:

$3 F (π) = 3 (- \ln |\cos π| + C) = 6 \Leftrightarrow C = 2 \to F (x) = - \ln |\cos x| + 2$

$\Rightarrow F (\frac{4 π}{3}) = - \ln |\cos \frac{4 π}{3}| + 2 = 2 + \ln 2$

+ Miền thứ hai $- \frac{π}{2} + k 2 π < x < \frac{π}{2} + k 2 π$ , ta có:

$F (0) = - \ln |\cos 0| + C = 6 \Leftrightarrow C = 6 \to F (x) = - \ln |\cos x| + 6$

$\Rightarrow F (\frac{π}{3}) = - \ln |\cos \frac{π}{3}| + 6 = 6 + \ln 2$

Do đó: $F (\frac{4 π}{3}) + F (\frac{π}{3}) = 2 \ln 2 + 8.$

Câu 46:

Một kĩ sư được một công ty xăng dầu thuê thiết kế một mẫu bồn chứa xăng với thể tích V cho trước, hình dạng như hình bên, các kích thước r, h thay đổi sao cho nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất.

Người kĩ sư này phải thiết kế kích thước h như thế nào để đảm bảo được đúng yêu cầu mà công ty xăng dầu đã đưa ra?

A.

h = 0.

B.

h = \frac{\sqrt[3]{V}}{π} .

C.

h = 2 \sqrt[3]{V} .

D.

h = \frac{\sqrt[3]{V}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện $h \geq 0$

Ta có: $V = \frac{4}{3} π r^{3} + π r^{2} h \Rightarrow h = \frac{V - \frac{4}{3} π r^{3}}{π r^{2}}$

Diện tích toàn phần của bồn xăng là $S (r) = 4 π r^{2} + 2 π r h \Rightarrow h = \frac{4 π r^{3} + 2 V - \frac{8}{3} π r^{3}}{r}$

Ta có: $S^{'} (r) = \frac{\frac{8}{3} π r^{3} - 2 V}{r^{2}} = 0 \Leftrightarrow \frac{8}{3} π r^{3} = 2 V \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}} .$

Lập bảng biến thiên ta sẽ thấy $S_{\min} \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}} \Rightarrow h = \frac{4 π . \frac{3 V}{4 π} + 2 V - \frac{8}{3} π . \frac{3 V}{4 π}}{r} = 0$ nguyên vật liệu làm bồn xăng là ít nhất $\Leftrightarrow S_{\min} \Leftrightarrow h = 0.$

Câu 47:

Cho hàm số

f (x)

nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên

[0; 2]

. Biết

f (0) = 1

và

f (x) . f (2 - x) = e^{2 x^{2} - 4 x}

với mọi

x \in [0; 2] .

Tính tích phân

I = \int_{0}^{2} \frac{(x^{3} - 3 x^{2}) . f^{'} (x)}{f (x)} d x .

A.

I = - \frac{14}{3} .

B.

I = - \frac{32}{5} .

C.

I = - \frac{16}{3} .

D.

I = - \frac{16}{5} .

Xem đáp án

Đáp án D

Từ giả thiết $f (x) . f (2 - x) = e^{2 x^{2} - 4 x} \overset{x = 2}{\to} f (2) = 1.$

Ta có $I = \int_{0}^{2} \frac{(x^{3} - 3 x^{2}) . f^{'} (x)}{f (x)} d x .$

Đặt $\{\begin{cases} u = x^{3} - 3 x^{2} \\ d v = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = (3 x^{2} - 6 x) d x \\ v = \ln |f (x)| \end{cases}$

Khi đó $I = (x^{3} - 3 x^{2}) \ln |f (x)| |_{\begin{array}{l} 0 \end{array}}^{\begin{array}{l} 2 \end{array}} - \int_{0}^{2} (3 x^{2} - 6 x) \ln |f (x)| d x \overset{f (2) = 1}{=} - 3 \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln |f (x)| d x = - 3 J$

Ta có $J = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln |f (x)| d x \overset{x = 2 - t}{=} \int_{2}^{0} [{(2 - t)}^{2} - 2 (2 - t)] \ln |f (2 - t)| d (2 - t)$

$= \int_{2}^{0} [{(2 - x)}^{2} - 2 (2 - x)] \ln |f (2 - x)| d (2 - x) = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln |f (2 - x)| d x$

Suy ra $2 J = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln |f (x)| d x + \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln |f (2 - x)| d x$

$= \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln |f (x) . f (2 - x)| d x$

$= \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) \ln e^{2 x^{2} - 4 x} d x = \int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) (2 x^{2} - 4 x) d x = \frac{32}{15}$

$\Rightarrow J = \frac{16}{15}$

Vậy $I = - 3 J = - \frac{16}{5} .$

Câu 48:

Cho đa giác đều 100 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của 1 tam giác tù là

A.

\frac{3}{11} .

B.

\frac{16}{33} .

C.

\frac{8}{11} .

D. $\frac{4}{11} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Số cách chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh là $C_{100}^{3}$

Giả sử chọn được 1 tam giác tù ABC với góc nhọn A, B tù, C nhọn.

Chọn 1 đỉnh bất kì lấy làm đỉnh A có 100 cách. Kẻ đường kính qua đỉnh vừa chọn chia đường tròn thành 2 phần (trái và phải)

Để tạo thành tam giác tù thì 2 đỉnh còn lại được chọn sẽ cùng nằm bên trái hoặc cùng nằm bên phải

+ Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên trái có $C_{\frac{100}{2} - 1}^{2} = C_{49}^{2}$ cách

+ Hai đỉnh còn lại cùng nằm bên phải có $C_{\frac{100}{2} - 1}^{2} = C_{49}^{2}$ cách

Vậy có tất cả số tam giác tù là tuy nhiên ứng với mỗi tam giác vai trò góc nhọn của A, C như nhau nên số tam giác tính 2 lần. Do đó số tam giác tù tạo thành là $\frac{100. (C_{49}^{2} + C_{49}^{2})}{2} = \frac{100 (100 - 2) (100 - 4)}{8} = 117600.$

Vậy xác suất cần tìm $P = \frac{117600}{C_{100}^{3}} = \frac{8}{11} .$

Câu 49:

Cho hai số thực $x > 0, y > - 1$ thỏa mãn $2^{x^{2} - \sqrt{y + 1}} \log_{2} x = \log_{2} \frac{y}{\sqrt{y + 1} - 1} .$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + y$ bằng

A. 1.

B.

\frac{1}{2} .

C.

- \frac{3}{4} .

D. $- \frac{1}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $2^{x^{2} - \sqrt{y + 1}} \log_{2} x = \log_{2} \frac{y}{\sqrt{y + 1} - 1} \Leftrightarrow \frac{2^{x^{2}}}{2^{\sqrt{y + 1}}} \log_{2} x = \log_{2} \frac{y (\sqrt{y + 1} + 1)}{(\sqrt{y + 1} - 1) (\sqrt{y + 1} + 1)}$

$\Leftrightarrow 2^{x^{2}} \log_{2} x = 2^{\sqrt{y + 1}} \log_{2} (\sqrt{y + 1} + 1) \Leftrightarrow {2.2}^{x^{2}} \log_{2} x = 2^{\sqrt{y + 1} + 1} \log_{2} (\sqrt{y + 1} + 1) = 2^{x^{2}} \log_{2} x^{2}$

Nhận thấy ngay hàm số $f (t) = 2^{t} . \log_{2} t$ đơn điệu trên miền dương

$\Rightarrow x^{2} = \sqrt{y + 1} + 1 \Rightarrow y = {(x^{2} - 1)}^{2} - 1 \Rightarrow P = x^{2} + y = x^{4} - x^{2} = {(x^{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \geq \frac{1}{4} .$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (vì $x > 0$ ).

Vậy $P_{\min} = - \frac{1}{4} .$

Câu 50:

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C' D^{'}$ có $A B < B C, B C = 3 c m .$ Hai mặt phẳng $(A C C^{'} A^{'})$ và $(B D D^{'} B^{'})$ hợp với nhau góc $α (0 < α \leq \frac{π}{2}) .$ Đường chéo $B^{'} D$ hợp với mặt phẳng $(C D D^{'} C^{'})$ một góc β $(0 < β < \frac{π}{2}) .$ Hai góc $α, β$ thay đổi nhưng thỏa mãn hình hộp $A D D^{'} A^{'} . B C C^{'} B^{'}$ luôn là hình lăng trụ đều. Giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là

A.

\sqrt{3} c m^{3} .

B.

2 \sqrt{3} c m^{3} .

C.

6 \sqrt{3} c m^{3} .

D.

12 \sqrt{3} c m^{3} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $(\hat{(A C C^{'} A^{'}), (B D D^{'} B^{'})}) = \hat{C O D} = α$ $\Rightarrow \hat{C B D} = \frac{α}{2} \Rightarrow B C = B D . \cos \hat{C B D} = 3 \cos \frac{α}{2},$ $C D = B D . \sin \hat{C B D} = 3 \sin \frac{α}{2}$ $C D = B D . \sin \hat{C B D} = 3 \sin \frac{α}{2}$

Ta có: $(\hat{B^{'} D, (C D D^{'} C^{'})}) = \hat{B^{'} D C^{'}} = β .$

Do $A D D^{'} A^{'} . B C C^{'} B^{'}$ luôn là hình lăng trụ đều nên $B C = C C^{'}$

$V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = B C . C D . C C^{'} = 27 \sin \frac{α}{2} \cos^{2} \frac{α}{2}$ $\sin^{2} \frac{α}{2} \cos^{4} \frac{α}{2} = \frac{1}{2} .2 \sin^{2} \frac{α}{2} . c o s^{2} \frac{α}{2} \leq \frac{1}{2} {(\frac{2 \sin^{2} \frac{α}{2} + \cos^{2} \frac{α}{2} + \cos^{2} \frac{α}{2}}{3})}^{2} = \frac{4}{27}$

Cho hình hộp chữ nhật có Hai mặt phẳng và hợp với nhau góc Đường chéo hợp với mặt phẳng một góc β Hai góc thay đổi nhưng thỏa mãn hình hộp luôn là hình lăng trụ đều. Giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp là (ảnh 1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $2 \sin^{2} \frac{α}{2} = \cos^{2} \frac{α}{2} \Rightarrow \tan^{2} \frac{α}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow α = \arctan \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \sin^{2} \frac{α}{2} \cos^{2} \frac{α}{2} \leq \frac{2 \sqrt{3}}{9} \Rightarrow V \leq 6 \sqrt{3} .$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (25 đề)

Đề số 1

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan