Thứ sáu, 22/11/2024
IMG-LOGO

Đề số 14

  • 4571 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-1;0;0), B(0;0;2), C(0;-3;0) . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là:
Xem đáp án

Đáp án D

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-1;0;0), B(0;0;2), C(0;-3;0) . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: (ảnh 1)

Tứ diện OABC OA, OB, OC đôi một vuông góc.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ABOC.

Ta có: OCOAOCOBOCOAB .

Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I.

ΔOAB vuông tại OM  là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔOABIO=IA=IB.

IINIO=ICIO=IA=IB=ICI

 là tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC.

Ta có: OA=1,OB=2,OC=3OM=12AB=1212+22=52 R=OI=IM2+OM2=94+54=142.

 


Câu 2:

Cho cấp số cộng un  u1=11  và công sai d=4 . Hãy tính u99 .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: u1=11;d=4u99=u1+991.d=11+98.4=403 .


Câu 3:

Tìm a để hàm số fx=x21x1khix1a        khix=1  liên tục tại điểm x0=1 .

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số y=fx  liên tục tại x=1limx1fx=f1=a

limx1x21x1=alimx1x1x+1x1=alimx1x+1=a2=a.Định nghĩa: Cho hàm số y=fx  xác định trên khoảng Kx0K . Hàm số y=fx  được gọi là hàm số liên tục tại x0  nếu limxx0fx=fx0 .


Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A B. Biết SAABCD,AB=BC=a,AD=2a,SA=a2 . Gọi E là trung điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, D, E.

Xem đáp án

Đáp án B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Biết SA vuông góc (ABCD), AB=BC=a, AD=2a, SA= căn2 a. . Gọi E là trung điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, D, E. (ảnh 1)

Xét tứ giác ABCEAE//BC,AE=BC=aABCE  là hình bình hành.

Lại có ABC^=90°  (giả thiết), AC=BCABCE  là hình vuông cạnh a.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCE Rd=a22 .

Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCE là: R=SA24+Rd2=2a24+2a24=a .


Câu 5:

Gọi  là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin2x+2sinxcosxcos2x=0 . Chọn khẳng định đúng?

Xem đáp án

Đáp án C                                    

Với cosx=0sin2x=1  không phải là nghiệm của phương trình.

Với cosx0

Phương trình tương đương với: 3sin2x+2sinxcosxcos2x=03sin2xcos2x+2sinxcosx1=03tan2x+2tanx1=0tanx=1tanx=13x=π4+kπ,kx=arctan13+kπ,k.

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là x=arctan130;π2 .


Câu 6:

Hàm số y=x4x3x+2019  có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số y=x4x3x+2019  có bao nhiêu điểm cực trị?

 y'=4x33x21=04x33x21=0x=1y''=12x26xy''1=126=6>0x=1là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 1 điểm cực trị.


Câu 7:

Giá trị lớn nhất của hàm số fx=xx+3  trên đoạn 2;3  bằng:

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số fx=xx+3  xác định trên đoạn 2;3 .

Ta có: f'x=1.30.1x+32=3x+32>0,x2;3  Hàm số luôn đồng biến trên đoạn 2;3 .

GTLN của hàm số fx=xx+3  trên đoạn 2;3   là: f3=33+3=12 .


Câu 8:

Cho hàm số y=fx  xác định và liên tục trên R, có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y=f(x)  xác định và liên tục trên R, có bảng biến thiên như sau: (ảnh 1)

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy: Hàm số đồng biến trên ;1  1;+ , hàm số nghịch biến trên 1;1 .

Do đó chỉ có đáp án B đúng vì ;2;1  Hàm số đồng biến trên ;2 .

 


Câu 9:

Hàm số y=x3+3x21  có đồ thị nào trong các đồ thị dưới đây?
Hàm số -x^3+3x^3-1  có đồ thị nào trong các đồ thị dưới đây? (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: limx+y=  Loại các đáp án A và D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm 0;1  Loại đáp án C.


Câu 10:

Gọi n là số nguyên dương sao 1log3x+1log32x+1log33x+...+1log3nx=190log3x  cho đúng với mọi x dương,x1 . Tìm giá trị của biểu thức P=2n+3 .

Xem đáp án

Đáp án B

Với x>0,x1  ta có: 1log3x+1log32x+1log33x+...+1log3nx=190log3x

logx3+logx32+...+logx3n=190.logx3logx3.32.33...3n=190.logx3logx31+2+3+...+n=190.logx3nn+12=190nn+1=380n=19P=2n+3=2.19+3=41.


Câu 11:

Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức 2x32018   thành đa thức:
Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: 2x32018=k=02018C2018k2xk.32018k , do đó khai triển trên có 2019 số hạng

Câu 12:

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Tính thể tích khối đa diện ABCB’C’.

Xem đáp án

Đáp án D

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Tính thể tích khối đa diện ABCB’C’. (ảnh 1)

Ta có: VABCA'B'=VABC.A'B'C'VA.A'B'C'=VABC.A'B'C'13VABC.A'B'C'=23VABC.A'B'C'=23V .


Câu 14:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên Rcó đồ thị của hàm số y=f'(x) như hình vẽ. Hỏi hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y=f(x) xác định trên Rcó đồ thị của hàm số y=f'(x) như hình vẽ. Hỏi hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có bảng xét dấu của f'x  như sau:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên Rcó đồ thị của hàm số y=f'(x) như hình vẽ. Hỏi hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 2)

Dựa vào bảng xét dấu ta có:

Hàm số nghịch biến trên ;1,1,2  và đồng biến trên 2;+ .

Dựa vào đồ thị của hàm số y=f(x) ta thấy f'(x) đồng biến trên khoảng  đồng biến trên 2;+ .


Câu 15:

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABCABD là các tam giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng ABCD.

Xem đáp án

Đáp án C

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của AB ta có:

 ΔABC đều CMAB .

 ΔABD đều DMAB .

ABMCDABCDAB,CD^=90°


Câu 16:

Cho 2x3x2dx=A3x28+B3x27+C  với A,B,C . Tính giá trị của biểu thức 12A+7B .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: I=2x3x26dx .

Đặt 3x2=tx=t+23dx=13dt .

Suy ra I=29t+2t6dt=29t7+2t6dt=29t88+2t77+C=136t8+463t7+C

I=1363x28+4633x27+CA=136B=46312A+7B=12.136+7.463=79.


Câu 17:

Tập nghiệm của bất phương trình 11+a22x+1>1  (với a là tham số, a0 ) là:

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: 0<11+a2<1;a011+a22x+1>12x+1<0x<12.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ;12 .


Câu 18:

Cho hàm số 1;2;1  có bảng biến thiên như sau:
Cho hàm số (1;2;-1)  có bảng biến thiên như sau: (ảnh 1)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau đây?

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=2 và đạt cực tiểu tại x=4.

Chú ý khi giải: Học sinh rất hay kết luận nhầm hàm số đạt cực đại tại x=3.


Câu 19:

Tìm tập nghiệm của phương trình 3x2+2x=1 .
Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: 3x2+2x=13x2+2x=30x2+2x=0x=0x=2.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S=0;2 .

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a=i+2j3k . Tìm tọa độ của vectơ a .
Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: a=i+2j3ka=1;2;3 .


Câu 21:

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
Xem đáp án

Đáp án B

Đáp án A: Ta có: a=3>1  hàm số đồng biến trên .

Đáp án B: Ta có: 0<a=π4<1  hàm số nghịch biến trên .


Câu 22:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A,AB=AC=a,BAC^=120° . Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

Xem đáp án

Đáp án D

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB=AC=a, góc BAC=120 độ . Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của AB.

ΔSAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCSHABC .

 ΔSABđều cạnh aSH=a32 .

SABC=12.AB.AC.sinA=12a2.32=a234.VSABC=13.SABC.SH=13.a32.a234=a38.

 


Câu 23:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn 2018;2018  để hàm số y=lnx22xm+1  có tập xác định .

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số y=lnx22xm+1  xác định trên x22xm+1>0,x

a>0Δ'<01>0   m1+m1<0m<0.

Mà mm2018;2018mm2018;0m=2018;2017;...;1.

Vậy có 2018 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 24:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y=f'(x) trên R như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Cho hàm số y=f(x)  có đạo hàm trên R  và đồ thị hàm số y=f'(x)  trên R  như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng? (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y=f'x  cắt trục Ox tại 1 điểm qua điểm đó hàm số y=f'x  đổi dấu từ âm sang dương nên điểm đó là điểm cực tiểu của hàm số y=fx .


Câu 25:

Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 4a. Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Xem đáp án

Đáp án D

Hình trụ có thiết diện đi qua trục là hình vuông có cạnh bằng 4a2R=h=4aR=2a  với R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Sxq=2πRh=2π.2a.4a=16πa2.


Câu 26:

Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Xem đáp án

Đáp án A

Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng SAC,SBD,SEG,SFH  như hình vẽ với F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? (ảnh 1)


Câu 27:

Cho hàm số y=fx  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y=f(x)  xác định, liên tục trên R  và có bảng biến thiên như sau: (ảnh 1)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=1 , giá trị cực đại yC§=2  và đạt cực tiểu tại x=3 , giá trị cực tiểu yCT=1 .


Câu 28:

Tìm nguyên hàm của hàm số y=x^2-3x+1/x

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: I=x23x+1xdx=x333x22+lnx+C .


Câu 29:

Cho hàm số fx  liên tục trên đoạn 0;10    26fxdx=3 . Tính P=02fxdx+610fxdx .
Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: 010fxdx=02fxdx+26fxdx+610fxdx .

P=02fxdx+610fxdx=010fxdx26fxdx=73=4.


Câu 30:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x33x2+m  trên đoạn 1;1  bằng 0.

Xem đáp án

Đáp án B

TXĐ: D= .

Ta có: y'=3x26x=0x=01;1x=21;1y0=my1=m2y1=m4min1;1y=m4=0m=4.


Câu 31:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y=|f(|x|) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
Cho hàm số  y=f(x) liên tục trên R  và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y=|f(|x|)  có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có dạng: y=ax3+bx2+cx+d   (với a0 ).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm 2;1,1;3,1;1,2;3 .

1=8a+4b2c+d3=a+bc+d1=a+b+c+d3=8a+4b+2c+da=1b=0c=3d=1y=x33x+1.Khi đó ta có đồ thị hàm số y=x33x+1  như hình vẽ sau.

Cho hàm số  y=f(x) liên tục trên R  và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y=|f(|x|)  có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? (ảnh 2)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 7 điểm cực trị.


Câu 32:

Biết Fx  là nguyên hàm của hàm số fx=xcosxx2 . Hỏi đồ thị của hàm số y=Fx  có bao nhiêu điểm cực trị?

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: Fx=fxdxF'x=fxF'x=0xcosxx2=0x0gx=xcosx=0

Xét hàm số gx=xcosx=0  ta có: g'x=1+sinx0,x .

Do đó hàm số gx  đồng biến trên  Phương trình gx=0  có nghiệm duy nhất.


Câu 33:

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho số đó chia hết cho 15?

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi số tự nhiên cần lập có dạng: abcd¯a,b,c,d1;2;3;4;5;6;7;8;9 .

Số cần lập chia hết cho 15 nên nó chia hết cho 3 và 5.

Số cần lập chia hết cho 5 nên ta có: d=5d  có 1 cách chọn.

Số cần tìm có dạng: abc5¯ .

Số cần lập chia hết cho 3 nên a+b+c+53.

Chọn a có 9 cách chọn, chọn b có 9 cách chọn.

+ Nếu a+b+53c3;6;9c  có 3 cách chọn.

+ Nếu a+b+5  chia cho 3 dư 1 c2;5;8c  có 3 cách chọn.

+ Nếu  a+b+5chia cho 2 dư 2 c1;4;7c  có 3 cách chọn.

Có 3 cách chọn c.

Như vậy có: 9.9.3.1=243  cách chọn.

Vậy có 243 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 34:

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm OO’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B. Đặt α  là góc giữa AB và đáy. Tính tanα  khi thể tích khối tứ diện OO’AB đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Đáp án A

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B. Đặt anpha  là góc giữa AB và đáy. Tính tan anpha  khi thể tích khối tứ diện OO’AB đạt giá trị lớn nhất. (ảnh 1)

Lấy điểm A'O',B'O  sao cho AA’, BB’ song song với trục OO’.

Khi đó ta có lăng trụ đứng OAB’.O’A’B.

Ta có: VOO'AB=VOAB'.O'A'BVA.O'A'BVB.OAB'         =VOAB'.O'A'B13VOAB'.O'A'B13VOAB'.O'A'B=13VOAB'.O'A'B

VOO'AB=13.AA'.SΔOAB'=16.AA'.OA.OB.sinAOB'^=16.2a.2a.2a.sinAOB'^             =16.8a3.sinAOB'^=4a33sinAOB'^Do đó để VOO'AB  lớn nhất sinAOB'^=1AOB'^=90°OAOB' .

O'A'O'BΔO'A'B vuông tại O'A'B=2O'A'=2a2 .

Ta có: AA'O'A'BAB,O'A'B^=ABA'^=αtanα=AA'A'B=2a2a2=12.


Câu 35:

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=x143x+13x5 .

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện: 3x+1043x+13x50x133x+143x+1+40x133x+1220x133x+120x133x+14x13x1

Ta có: limx1x143x+13x5=limx1x13x+122=limx13x+1+233x+12=+ .

x=1 là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

limx±x143x+13x5=13y=13 

là đường TCN của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.


Câu 36:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ΔABC  vuông cân ở B,AC=a2,SAABC,SA=a . Gọi G là trọng tâm của ΔSBC , α đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S. Tính V.

Xem đáp án

Đáp án A

Cho hình chóp S.ABC có đáy  tam giác ABC vuông cân ở  B. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC ,  đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S. Tính V. (ảnh 1)

Trong SBC  qua G kẻ MN//BCMSB,NSC .

Khi đó mặt phẳng đi qua AG và song song với BC chính là mặt phẳng (AMN).

Mặt phẳng này chia hai khối chóp thành 2 khối S.AMNAMNBC.

Gọi H là trung điểm của BC.

MN//BC ; theo định lý Ta-lét ta có: SMSB=SNSC=23=SGSH .

VS.AMNVS.ABC=SMSB.SNSC=23.23=49VS.AMN=49VS.ABC.

VS.AMN+VAMNBC=VS.ABCVAMNBC=59VS.ABC=V .

Ta có  vuông cân tại BAB=BC=AC2=aSΔABC=12a2 .

VS.ABC=13.SA.SΔABC=13.a.12.a2=a36.

Vậy V=59.a36=5a354 .


Câu 37:

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA=BC=3;SB=AC=4;SC=AB=25 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Xem đáp án

Đáp án D

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA=BC=3; SB=AC=4; SC=AB=2 căn5 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. (ảnh 1)

Đặt SA=SB=a,SB=AC=b,SC=AB=c .

Dựng hình chóp S.A’B’C’ sao cho A, B, C lần lượt là trung điểm của B’C’, C’A’, A’B’.

Dễ thấy ΔABC  đồng dạng với ΔA'B'C'  theo tỉ số 12SΔABCSΔA'B'C'=14VS.ABC=14.VS.A'B'C' .

Ta có AB, BC, CA là các đường trung bình của tam giác A’B’C’.

A'B'=2AB=2c;B'C'=2BC=2a;A'C'=2AC=2b.

ΔSA'B',ΔSB'C',ΔSC'A' là các tam giác vuông tại S (tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy) SA',SB',SC'  đôi một vuông góc.

VS.A'B'C'=16.SA'.SB'.SC'VS.ABC=124.SA'.SB'.SC'.

Áp dụng định lí Pytago ta có: SA'2+SB'2=4c2SB'2+SC'2=4a2SA'2+SC'2=4b2SA'2=2b2+c2a2SB'2=2a2+c2b2SC'2=2a2+b2c2 .

.

Thay a=3,b=4,c=25VS.ABC=3904 .


Câu 38:

Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC=1 . Trên hai tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho OA+OB=OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC?
Xem đáp án

Đáp án A

Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC=1 . Trên hai tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho OA+OB=OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC? (ảnh 1)

Giả sử Aa;0;0,B0;b;0OA=aOB=b.

Tứ diện OABCOA, OB, OC đôi một vuông góc.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ABOC.

Ta có: OCOAOCOBOCOAB .

Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I.

ΔOABvuông tại OM  là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔOABIO=IA=IB.

 IINIO=ICIO=IA=IB=ICIlà tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC.

Ta có: OM=12AB=12a2+b2 .

Vậy R=OI=IM2+OM2=c24+a2+b24=a2+b2+c22a2+1a2+12=2a22a+22   =2a2a+12=2a22.a.12+14+342=2a122+32264.


Câu 39:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=1cm,AC=3cm . Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại BC. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng 55π6cm3 . Tính khoảng cách từ C đến SAB .

Xem đáp án

Đáp án A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=1cm, AC= căn 3cm . Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng 5căn5pi/6 . Tính khoảng cách từ C đến (SAB) . (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của SA.

Tam giác SAB, SAC vuông tại B,CIS=IA=IB=ICI  là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Gọi H là trung điểm của BC. Vì ΔABC  vuông tại AH  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCIHABC .

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Theo đề bài ta có:

43πR3=55π6R3=558=1258R=52IS=IA=IB=IC=52.

 

Xét tam giác vuông ABC có: BC=AB2+AC2=2AH=1 .

Xét tam giác vuông IAH có: IH=IA2AH2=541=12 .

SΔABC=12.AB.AC=12.1.3=32VI.ABC=13.IH.SΔABC=13.12.32.

Ta có: SIABC=AdS;ABCdI;ABC=SAIA=2VS.ABCVS.IBC=2VS.ABC=2VI.ABC=2.312=36 .

Xét tam giác vuông SABIB=52SA=2IB=5SB=SA2AB2=2 SΔSAB=12.1.2=1.

 

Ta có: VS.ABC=13dC;SAB.SΔSABdC;SAB=3VS.ABCSΔSAB=3.361=32.


Câu 40:

Cho hàm số y=fx  liên tục trên đoạn 0;4  và thỏa mãn điều kiện 4xfx2+6f2x=4x2 . Tính tích phân 04fxdx .
Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: 4xfx2+6f2x=4x2024xfx2+6f2xdx=024x2dx 4I1+6I2=I.

.

Trong đó: I1=02xfx2dx=1202fx2dx2=1204fxdx.

I2=02f2xdx=1202f2xd2x=1204fxdx.I=024x2dx=20π244sin2tcostdt=40π2cos2tdt=20π21+cos2tdt=2t+sin2tπ20=π

Khi đó ta có hệ: I1=I24I1+6I2=πI1=I2=π101204fxdx=π10  hay 04fxdx=π5 .


Câu 41:

Cho phương trình: e3m+em=2(x+1x2)(1+x1x2) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: 1x201x1 .

Đặt x+1x2=tt2=x2+1x2+2x1x2=1+2x1x2x1x2=t212 .

Ta có: t(x)=x+1x2,x[1;1] .

t'(x)=1x1x2=1x2x1x2=01x2=x{x01x2=x2{x0x2=12x=22.

Bảng biến thiên:

Cho phương trình: e^2m+e^m=2(x+căn (1-x^2)(1+x căn 1-x^2) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta có: t[1;2] .

Khi đó phương trình trở thành: em+e3m=2t(1+t212)=t(t2+1)=t3+t   (*) .

Xét hàm số f(t)=t3+t  ta có f'(t)=3t2+1>0,t  Hàm số đồng biến trên  Hàm số đồng biến trên (1;2)

Từ (*)f(em)=f(t)em=tm=lntm(0;ln2)=(0;12ln2).


Câu 42:

Cho hàm số y=f(x)  có đạo hàm cấp hai trên . Biết f'(0)=3,f'(2)=2018  và bảng xét dấu của f''(x)  như sau:
Cho hàm số y=f(x)  có đạo hàm cấp hai trên  R. Biết f'(0)=3, f'(2)=-2018  và bảng xét dấu của f

Hàm số y=f(x+2017)+2018x  đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0  thuộc khoảng nào sau đây?

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: y'=f'(x+2017)+2018=0 .

Từ bảng xét dấu của f''(x)  ta suy ra bảng biến thiên của f'(x)  như sau:

Cho hàm số y=f(x)  có đạo hàm cấp hai trên  R. Biết f'(0)=3, f'(2)=-2018  và bảng xét dấu của f

Từ bảng biến thiên ta có: f'(x+2017)=2018[x+2017=2x+2017=a<0[x1=2015x2<2017.

Từ đó ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y=f(x+2017)+2018x f'(x+2017)+2018  như sau: 

Tịnh tiến đồ thị hàm số y=f'(x)  lên trên 2018 đơn vị.

Tịnh tiến đồ thị hàm số y=f'(x)  sang trái 2017 đơn vị.

Cho hàm số y=f(x)  có đạo hàm cấp hai trên  R. Biết f'(0)=3, f'(2)=-2018  và bảng xét dấu của f

Suy ra bảng biến thiên của hàm số :

Cho hàm số y=f(x)  có đạo hàm cấp hai trên  R. Biết f'(0)=3, f'(2)=-2018  và bảng xét dấu của f

Vậy hàm số đạt GTNN tại x2<2017 .


Câu 43:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (2019;2019)  để hàm số y=sin3x3cos2xmsinx1  đồng biến trên đoạn [0;π2] .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: y=sin3x3cos2xmsinx1=sin3x+3sin2xmsinx4 .

Đặt t=sinx , với y=t3+3t2mt4 .

Bài toán trở thành tìm m để hàm số y=t3+3t2mt4  đồng biến trên [0;1] .

y'0t[0;1]3t2+6tm0,t[0;1]m3t2+6tt[0;1]mf(t)=3t2+6tt[0;1]mmin[0;1]f(t)TXĐ: D= .

Ta có: y'=3t2+6tm .

Để hàm số đồng biến trên

Xét hàm số f(t)=3t2+6t  ta có TXĐ: f(0)=0;f(1)=9min[0;1]f(t)=0m0 .

Kết hợp điều kiện đề bài {m(2019;0]m  Có 2019 giá trị của m thỏa mãn.


Câu 44:

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng abcd¯ , trong đó 1abcd9 .
Xem đáp án

Đáp án B

Không gian mẫu: n(Ω)=9.103=9000.

Gọi A là biến cố: “số được chọn có dạng abcd¯ , trong đó 1abcd9.

TH1: 1a=b<c<d9

Chọn ngẫu nhiên 4 số trong các số từ 1 đến 9 có C94=126  cách.

Có duy nhất một cách xếp các chữ số a, b, c, d theo thứ tự tăng dần, do đó trường hợp này có 126 số thỏa mãn.

TH2: 1a=b<c<d9 . Số cần tìm có dạng aacd¯ .

Chọn ngẫu nhiên 3 số trong các số từ 1 đến 9 có C93=84  cách.

Có duy nhất một cách xếp các chữ số a, c, d theo thứ tự tăng dần, do đó trường hợp này có 84 số thỏa mãn.

Tương tự như vậy, các trường hợp 1a<b=c<d9,1a<b<c=d9 , mỗi trường hợp cũng có 84 số thỏa mãn.

TH3: 1a=b=c<d9 . Số cần tìm có dạng aaad¯ .

Chọn ngẫu nhiên 2 số trong các số từ 1 đến 9 có C92=36  cách.

Có duy nhất một cách xếp các chữ số a, d theo thứ tự tăng dần, do đó trường hợp này có 36 số thỏa mãn.

Tương tự như vậy, các trường hợp 1a=b<c=d9,1a<b=c=d9 , mỗi trường hợp cũng có 36 số thỏa mãn.

TH4: 1a=b=c=d9 . Số cần tìm có dạng aaaa¯ .

Có 9 số thỏa mãn n(A)=126+3.84+3.36+9=495 .

Vậy P(A)=4959000=0,055 .


Câu 45:

Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ bên biết f(2)=4,f(3)=0 . Bất phương trình f(ex)<m(3ex+2019)  có nghiệm trên (ln2;1)  khi và chỉ khi:

Cho hàm số f(x)  có đồ thị như hình vẽ bên biết f(2)=-4, f(3)=0 . Bất phương trình f(e^x)<m((3e^x+2019)  có nghiệm trên   khi và chỉ khi: (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt t=ex .

Do x(ln2;1)t(2;e) .

Bất phương trình đã cho trở thành: f(t)<m(3t+2019)  có nghiệm trên (2;e) .

m>f(t)3t+2019 có nghiệm trên (2;e) .

Xét hàm số g(t)=f(t)3t+2019  trên (2;e).

Bài toán trở thành tìm m để m>g(t)  có nghiệm trên

m>min[2;e]g(t).

Ta có: g'(t)=f'(t).(3t+2019)3f(t)(3t+2019)2>0.

Nhận xét: Với t(2;e){f'(t)>02025<3t+2019<3e+20194<f(t)<0g'(x)>0 .

Do đó ta có: m>min[2;e]g(t)=g(2)=f(2)2025=42025.

Vậy m>42025.


Câu 46:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;1), B(1;01;), C(1;1;0) và D(2;3;4). Hỏi có bao nhiêu điểm P cách đều các mặt phẳng (ABC), (BCD), (CDA) và (DAB).
Xem đáp án

Đáp án C

Ta kiểm tra [AB,AC].AD0  nên các điểm A, B, C, D là các đỉnh của một tứ diện.

Do đó điểm cách đều bốn mặt phẳng của tứ diện chính là tâm mặt cầu nội tiếp của nó

Câu 47:

Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn logx2+y2+2(4x+4y6+m2)1  x2+y2+2x4y+1=0 .
Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:     logx2+y2+2(4x+4y6+m2)1=logx2+y2+2(x2+y2+2)4x+4y6+m2x2+y2+2(dox2+y2+2>1)x2+y24x4ym2+80   (1).

Ta có: a2+b2c=4+4+m28=m2   (2).

TH1: m=0(1):x2+y24x4y+8=0(x2)2+(y2)2=0{x=2y=2.

Cặp số (x;y)=(2;2)  không thỏa mãn điều kiện (2).

TH2: m0m2>0 Tập hợp các cặp số (x;y) thỏa mãn (1) là hình tròn (C1) (kể cả biên) tâm I1(2;2), bán kính R1=m.

Tập hợp các cặp số (x;y) thỏa mãn (2) là đường tròn (C1) tâm I2(-1;2) bán kính R2=1+41=2 .

Để tồn tại duy nhất cặp số  thỏa mãn 2 điều kiện (1) và (2).

Suy ra xảy ra 2 trường hợp sau:

+ (C1);(C2)  tiếp xúc ngoài I1I2=R1+R2(12)2+(22)2=m+23=m+2m=1  (thỏa mãn).

+ (C1);(C2)  tiếp xúc trong và  R1<R2{I1I2=|R1R2|m<2{3=|m2|m<2{[m=5m=1m<2m=1(thỏa mãn).

Vậy S={±1} .


Câu 48:

Có thể có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng (0;2019)  để lim9n+3n+15n+9n+a12187 ?

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: lim9n+3n+15n+9n+a=lim9n+3.3n5n+9n.9a=lim1+3.(39)n(59)n+9a=13a13a12187=1373a37a7.

Kết hợp điều kiện đề bài: {a[7;2019)aa{7;8;9;...;2018} .

Vậy có  giá trị của a thỏa mãn.


Câu 49:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,  SA(ABC) góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC)  bằng 60° . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ACSB.

Xem đáp án

Đáp án A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc (ABC)  góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC)  bằng 60 độ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB. (ảnh 1)

Ta có SA(ABC)AB  là hình chiếu của SB lên .

(SB,(ABC))^=(SB,AB)^=SBA^=60°.

Dựng hình bình hành ACBD.

Ta có: BD//AC(SBD)//AC .

d(AC;SB)=d(AC;(SBD))=d(A;(SBD)).

Do tam giác ABC đều AC=CB=AB=a .

AC=BD;CB=ADAB=AD=BD=aΔABD  đều cạnh a.

Gọi M là trung điểm của BDAMBD  AM=a32 {BDAMBDSA(SA(ABCD))BD(SAM).

Ta có: .

Trong (SAM)  kẻ AHSMAHBD(BD(SAM))AH(SBD) .

.

Xét tam giác vuông SAB ta có SA=AB.tan60°=a3 .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAM ta có: AH=SA.AMSA2+AM2=a3.a323a2+3a24=a155 .

Vậy d(AC;SB)=a155 .


Câu 50:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị là hình cong trong hình vẽ dưới. Đặt g(x)=f(f(x)). Tìm số nghiệm của phương trình g'(x)=0.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị là hình cong trong hình vẽ dưới. Đặt g(x)=f(f(x)). Tìm số nghiệm của phương trình g'(x)=0. (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào đồ thị hàm số y=f(x)  ta thấy hàm số có hai điểm cực trị là x=0  x=a(2;3) .

Do đó: f'(x)=0[x=0x=a(2;3)  .

Ta có: g'(x)=f'(f(x)).f'(x)=0[f'(f(x))=0f'(x)=0[f(x)=0              (1)f(x)=a(2;3)   (2)f'(x)=0             (3) .

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt   [x1(1;0)x2=1x3(3;4).

Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt khác 3 nghiệm của phương trình (1).

Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt [x=0x=a(2;3).

6 nghiệm này hoàn toàn phân biệt.

Vậy phương trình  g'(x)=0có 6 nghiệm phân biệt.

 


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan