100 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề số 20

Câu 1:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (- 2; 3; 1), B (0; - 1; 2)$ . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng AB?

A. ${\begin{cases} x = - 2 - 2 t \\ y = 3 - 4 t \\ z = 1 + t \end{cases} .$

B.

{\begin{cases} x = 2 t \\ y = - 1 - 4 t \\ z = 2 + t \end{cases} .

C.

{\begin{cases} x = - 2 - 2 t \\ y = 3 + 4 t \\ z = 1 - t \end{cases} .

D.

{\begin{cases} x = - 2 t \\ y = - 1 + 4 t \\ z = 2 - t \end{cases} .

Xem đáp án

Ta có $\vec{A B} = (2; - 4; 1)$ là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, do đó đáp án A không phải là đường thẳng AB.

Câu 2:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (- 2; 3; 1), B (0; - 1; 2)$ . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng AB?

A. ${\begin{cases} x = - 2 - 2 t \\ y = 3 - 4 t \\ z = 1 + t \end{cases} .$

B.

{\begin{cases} x = 2 t \\ y = - 1 - 4 t \\ z = 2 + t \end{cases} .

C.

{\begin{cases} x = - 2 - 2 t \\ y = 3 + 4 t \\ z = 1 - t \end{cases} .

D.

{\begin{cases} x = - 2 t \\ y = - 1 + 4 t \\ z = 2 - t \end{cases} .

Xem đáp án

Ta có $\vec{A B} = (2; - 4; 1)$ là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, do đó đáp án A không phải là đường thẳng AB.

Câu 3:

Hàm số

y = x^{4} + 2 x^{2} - 1

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.

(- 1; 1) .

B.

ℝ .

C.

(- \infty; 0) .

D.

(0; + \infty) .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 4 x^{3} + 4 x = 4 x (x^{2} + 1) .$

$y' > 0 \Leftrightarrow 4 x > 0 \Leftrightarrow x > 0$ .

Vậy hàm số $y = x^{4} + 2 x^{2} - 1$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) .$

Câu 4:

Hàm số

y = x^{4} + 2 x^{2} - 1

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.

(- 1; 1) .

B.

ℝ .

C.

(- \infty; 0) .

D.

(0; + \infty) .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 4 x^{3} + 4 x = 4 x (x^{2} + 1) .$

$y' > 0 \Leftrightarrow 4 x > 0 \Leftrightarrow x > 0$ .

Vậy hàm số $y = x^{4} + 2 x^{2} - 1$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) .$

Câu 5:

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ? (ảnh 1)

A.

y = \frac{2 x + 1}{x - 1} .

B.

y = \frac{2 x - 1}{x - 1} .

C.

y = \frac{2 x - 1}{x + 1} .

D.

y = \frac{2 x + 1}{x + 1} .

Xem đáp án

Đáp án C

Đồ thị hàm số có TCĐ $x = x_{0} < 0 \Rightarrow$ Loại đáp án A và B vì hai đồ thị hàm số ở đáp án A và B có đường TCĐ $x = 1.$

Đồ thị hàm số đi qua điểm với Loại đáp án D vì đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ đi qua điểm $(- \frac{1}{2}; 0) .$

Câu 6:

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?

Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ? (ảnh 1)

A.

y = \frac{2 x + 1}{x - 1} .

B.

y = \frac{2 x - 1}{x - 1} .

C.

y = \frac{2 x - 1}{x + 1} .

D.

y = \frac{2 x + 1}{x + 1} .

Xem đáp án

Đáp án C

Đồ thị hàm số có TCĐ $x = x_{0} < 0 \Rightarrow$ Loại đáp án A và B vì hai đồ thị hàm số ở đáp án A và B có đường TCĐ $x = 1.$

Đồ thị hàm số đi qua điểm với Loại đáp án D vì đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ đi qua điểm $(- \frac{1}{2}; 0) .$

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ , cho $\vec{u} = 2 \vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$ . Tính $| \vec{u} |$ .

A.

| \vec{u} | = \sqrt{6} .

B.

| \vec{u} | = 2.

C.

| \vec{u} | = 4.

D.

| \vec{u} | = \sqrt{5} .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\vec{u} = 2 \vec{i} - \vec{j} + \vec{k} \Rightarrow \vec{u} = (2; - 1; 1) \Rightarrow | \vec{u} | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6} .$

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ , cho $\vec{u} = 2 \vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$ . Tính $| \vec{u} |$ .

A.

| \vec{u} | = \sqrt{6} .

B.

| \vec{u} | = 2.

C.

| \vec{u} | = 4.

D.

| \vec{u} | = \sqrt{5} .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\vec{u} = 2 \vec{i} - \vec{j} + \vec{k} \Rightarrow \vec{u} = (2; - 1; 1) \Rightarrow | \vec{u} | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6} .$

Câu 9:

Tổng tất cả các giá trị nghiệm của phương trình $\log_{3} (x^{2} + x + 3) = 2$ là:

A. -6

B. 2.

C. 3.

D. -1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\log_{3} (x^{2} + x + 3) = 2 \Leftrightarrow x^{2} + x + 3 = 9 \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 3 \end{array} .$

Vậy tổng tất cả các giá trị nghiệm của phương trình $\log_{3} (x^{2} + x + 3) = 2$ là $2 + (- 3) = - 1$ .

Câu 10:

Tổng tất cả các giá trị nghiệm của phương trình $\log_{3} (x^{2} + x + 3) = 2$ là:

A. -6

B. 2.

C. 3.

D. -1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\log_{3} (x^{2} + x + 3) = 2 \Leftrightarrow x^{2} + x + 3 = 9 \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 3 \end{array} .$

Vậy tổng tất cả các giá trị nghiệm của phương trình $\log_{3} (x^{2} + x + 3) = 2$ là $2 + (- 3) = - 1$ .

Câu 11:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $[1; 4]$ , biết $f (4) = 3, f (1) = 1$ . Tính $\int_{1}^{4} 2 f' (x) d x$ .

A. 8.

B. 4.

C. 5.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\int_{1}^{4} 2 f' (x) d x = 2 f (x) | \begin{array}{l} ^{4} \\ _{1} \end{array} = 2 [f (4) - f (1)] = 4.$

Câu 12:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên $[1; 4]$ , biết $f (4) = 3, f (1) = 1$ . Tính $\int_{1}^{4} 2 f' (x) d x$ .

A. 8.

B. 4.

C. 5.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\int_{1}^{4} 2 f' (x) d x = 2 f (x) | \begin{array}{l} ^{4} \\ _{1} \end{array} = 2 [f (4) - f (1)] = 4.$

Câu 13:

Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển $x = x_{0} \Leftrightarrow {\begin{cases} f' (x_{0}) = 0 \\ f'' (x_{0}) > 0 \end{cases}$ thành đa thức?

A. 300.

C. 1200.

D. 18400.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $f (x) = {(2 x + 1)}^{25} = \sum_{k = 0}^{25} C_{25}^{k} {(2 k)}^{k} 1^{25 - k} = \sum_{k = 0}^{25} C_{25}^{k} 2^{k} x^{k}$ .

Câu 14:

Tìm hệ số của $x^{3}$ trong khai triển $x = x_{0} \Leftrightarrow {\begin{cases} f' (x_{0}) = 0 \\ f'' (x_{0}) > 0 \end{cases}$ thành đa thức?

A. 300.

C. 1200.

D. 18400.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $f (x) = {(2 x + 1)}^{25} = \sum_{k = 0}^{25} C_{25}^{k} {(2 k)}^{k} 1^{25 - k} = \sum_{k = 0}^{25} C_{25}^{k} 2^{k} x^{k}$ .

Câu 15:

Cho dãy số $(u_{n}) : {\begin{cases} u_{1} = - 3 \\ u_{n + 1} = u_{n} + \frac{5}{2}, n \geq 1 \end{cases}$ . Tính . $S = u_{20} - u_{6}$

A.

S = 33.

B.

S = \frac{69}{2} .

C.

S = 35.

D.

S = \frac{75}{2} .

Xem đáp án

Đáp án C

Do $u_{n + 1} = u_{n} + \frac{5}{2}, n \geq 1 \Rightarrow$ Dãy số trên là 1 CSC có $u_{1} = - 3, d = \frac{5}{2}$

\Rightarrow {\begin{cases} u_{20} = u_{1} + 19 d = - 3 + 19. \frac{5}{2} = \frac{89}{2} \\ u_{6} = u_{1} + 5 a = - 3 + 5. \frac{5}{2} = \frac{19}{2} \end{cases} \Rightarrow S = u_{20} - u_{6} = \frac{89}{2} - \frac{19}{2} = 35

.

Câu 16:

Cho dãy số $(u_{n}) : {\begin{cases} u_{1} = - 3 \\ u_{n + 1} = u_{n} + \frac{5}{2}, n \geq 1 \end{cases}$ . Tính . $S = u_{20} - u_{6}$

A.

S = 33.

B.

S = \frac{69}{2} .

C.

S = 35.

D.

S = \frac{75}{2} .

Xem đáp án

Đáp án C

Do $u_{n + 1} = u_{n} + \frac{5}{2}, n \geq 1 \Rightarrow$ Dãy số trên là 1 CSC có $u_{1} = - 3, d = \frac{5}{2}$

\Rightarrow {\begin{cases} u_{20} = u_{1} + 19 d = - 3 + 19. \frac{5}{2} = \frac{89}{2} \\ u_{6} = u_{1} + 5 a = - 3 + 5. \frac{5}{2} = \frac{19}{2} \end{cases} \Rightarrow S = u_{20} - u_{6} = \frac{89}{2} - \frac{19}{2} = 35

.

Câu 17:

Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a (khối cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình lập phương).

A.

\frac{π a^{3} \sqrt{2}}{6} .

B.

\frac{π a^{3}}{6} .

C.

\frac{π a^{3}}{8} .

D.

\frac{π a^{3}}{6} .

Xem đáp án

Đáp án B

Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính $R = \frac{a}{2} .$

Vậy thể tích khối cầu là $V = \frac{4}{3} π {(\frac{a}{2})}^{3} = \frac{π a^{3}}{6}$ .

Câu 18:

Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a (khối cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình lập phương).

A.

\frac{π a^{3} \sqrt{2}}{6} .

B.

\frac{π a^{3}}{6} .

C.

\frac{π a^{3}}{8} .

D.

\frac{π a^{3}}{6} .

Xem đáp án

Đáp án B

Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính $R = \frac{a}{2} .$

Vậy thể tích khối cầu là $V = \frac{4}{3} π {(\frac{a}{2})}^{3} = \frac{π a^{3}}{6}$ .

Câu 19:

Một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2^{x}$ là:

A.

\frac{2^{x + 1}}{x + 1} .

B.

\frac{2^{x}}{\ln 2} + 2.

C.

2^{x} \ln 2.

D.

2^{x} + 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\int f (x) d x = \int 2^{x} d x = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$ .

Vậy một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2^{x}$ là $\frac{2^{x}}{\ln 2} + 2$ .

Câu 20:

Một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2^{x}$ là:

A.

\frac{2^{x + 1}}{x + 1} .

B.

\frac{2^{x}}{\ln 2} + 2.

C.

2^{x} \ln 2.

D.

2^{x} + 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\int f (x) d x = \int 2^{x} d x = \frac{2^{x}}{\ln 2} + C$ .

Vậy một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2^{x}$ là $\frac{2^{x}}{\ln 2} + 2$ .

Câu 21:

Cho a, b là các số thực dương, $a \neq 1$ . Khi đó $a^{\log_{c} b}$ bằng:

A.

b^{a} .

B. a.

C. b.

D.

a^{b} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $a^{\log_{a} b} = b$ .

Câu 22:

Cho a, b là các số thực dương, $a \neq 1$ . Khi đó $a^{\log_{c} b}$ bằng:

A.

b^{a} .

B. a.

C. b.

D.

a^{b} .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $a^{\log_{a} b} = b$ .

Câu 23:

Số phức z=i(3-i) biểu diễn trên mặt phẳng Oxy bởi điểm nào sau đây?

A.

(- 3; 1) .

B.

(1; 3) .

C.

(- 1; - 3) .

D.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $z = i (3 - i) = 3 i + 1$ có điểm biểu diễn là (1;3).

Câu 24:

Số phức z=i(3-i) biểu diễn trên mặt phẳng Oxy bởi điểm nào sau đây?

A.

(- 3; 1) .

B.

(1; 3) .

C.

(- 1; - 3) .

D.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $z = i (3 - i) = 3 i + 1$ có điểm biểu diễn là (1;3).

Câu 25:

Cho khối đa diện (kích thước như hình vẽ bên) được tạo bởi ba hình chữ nhật và hai tam giác bằng nhau. Tính thể tích khối đa diện đã cho là:

Cho khối đa diện (kích thước như hình vẽ bên) được tạo bởi ba hình chữ nhật và hai tam giác bằng nhau. Tính thể tích khối đa diện đã cho là: (ảnh 1)

A.

48 c m^{3} .

B.

192 c m^{3} .

C.

32 c m^{3} .

D.

96 c m^{3} .

Xem đáp án

Đáp án D

Khối được tạo bởi ba hình chữ nhật và hai tam giác bằng nhau như hình vẽ là khối lăng trụ đứng.

$\Rightarrow V = S_{đay} . h = \frac{1}{2} .4.6.8 = 96 (c m^{3}) .$

Câu 26:

Cho khối đa diện (kích thước như hình vẽ bên) được tạo bởi ba hình chữ nhật và hai tam giác bằng nhau. Tính thể tích khối đa diện đã cho là:

Cho khối đa diện (kích thước như hình vẽ bên) được tạo bởi ba hình chữ nhật và hai tam giác bằng nhau. Tính thể tích khối đa diện đã cho là: (ảnh 1)

A.

48 c m^{3} .

B.

192 c m^{3} .

C.

32 c m^{3} .

D.

96 c m^{3} .

Xem đáp án

Đáp án D

Khối được tạo bởi ba hình chữ nhật và hai tam giác bằng nhau như hình vẽ là khối lăng trụ đứng.

$\Rightarrow V = S_{đay} . h = \frac{1}{2} .4.6.8 = 96 (c m^{3}) .$

Câu 27:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới:

Cho hàm số y=f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới: (ảnh 1)

Hàm số $y = f (x)$ đạt cực tiểu tại:

A. x=0

B. x=3

C. x=-1

D. x=5

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy qua điểm $x = 3$ thì $f' (x)$ đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số $y = f (x)$ đạt cực tiểu tại $x = 3$ .

Câu 28:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới:

Cho hàm số y=f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới: (ảnh 1)

Hàm số $y = f (x)$ đạt cực tiểu tại:

A. x=0

B. x=3

C. x=-1

D. x=5

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy qua điểm $x = 3$ thì $f' (x)$ đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số $y = f (x)$ đạt cực tiểu tại $x = 3$ .

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

(α)

song song với mặt phẳng (Oxyz) và cắt Ox tại điểm (2;0;0) . Phương trình mặt phẳng

(α)

) là:

A.

y + z + 2 = 0.

B.

x - 2 = 0.

C.

x + 2 = 0.

D.

y + z - 2 = 0.

Xem đáp án

Đáp án B

Mặt phẳng $(O y z)$ có phương trình x=0 nên mặt phẳng $(α)$ song song với mặt phẳng $(O y z)$ có dạng $x = c (c \neq 0)$

$(2; 0; 0) \in (α) \Rightarrow 2 = c$ (thỏa mãn).

Vậy $(α) : x = 2 \Leftrightarrow x - 2 = 0.$

Câu 30:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

(α)

song song với mặt phẳng (Oxyz) và cắt Ox tại điểm (2;0;0) . Phương trình mặt phẳng

(α)

) là:

A.

y + z + 2 = 0.

B.

x - 2 = 0.

C.

x + 2 = 0.

D.

y + z - 2 = 0.

Xem đáp án

Đáp án B

Mặt phẳng $(O y z)$ có phương trình x=0 nên mặt phẳng $(α)$ song song với mặt phẳng $(O y z)$ có dạng $x = c (c \neq 0)$

$(2; 0; 0) \in (α) \Rightarrow 2 = c$ (thỏa mãn).

Vậy $(α) : x = 2 \Leftrightarrow x - 2 = 0.$

Câu 31:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Tìm khoảng đồng biến của hàm số y=f(3-x) .

A.

(- \infty; 3) .

B.

(2; 4) .

C.

(- \infty; 4) .

D.

(2; + \infty) .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = - f' (3 - x) > 0 \Leftrightarrow f' (3 - x) < 0 \Leftrightarrow - 1 < 3 - x < 1 \Leftrightarrow 2 < x < 4.$

Vậy hàm số $y = f (3 - x)$ đồng biến trên $(2; 4)$ .

Câu 32:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Tìm khoảng đồng biến của hàm số y=f(3-x) .

A.

(- \infty; 3) .

B.

(2; 4) .

C.

(- \infty; 4) .

D.

(2; + \infty) .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = - f' (3 - x) > 0 \Leftrightarrow f' (3 - x) < 0 \Leftrightarrow - 1 < 3 - x < 1 \Leftrightarrow 2 < x < 4.$

Vậy hàm số $y = f (3 - x)$ đồng biến trên $(2; 4)$ .

Câu 33:

Lượng nguyên liệu cần dùng để làm ra một chiếc nón lá được ước lượng qua phép tính diện tích xung quanh của mặt nón. Cứ 1kg lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là $6,13 m^{2}$ . Hỏi nếu muốn làm ra 1000 chiếc nón lá giống nhau có đường kính vành nón là 50 cm, chiều cao 30 cm thì cần khối lượng lá gần nhất với con số nào dưới đây? (coi mỗi chiếc nón là có hình dạng là 1 hình nón).

A. 48 kg.

B. 38 kg.

C. 50 kg.

D. 58 kg.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $h = 30 c m, R = 25 c m \Rightarrow 1 = \sqrt{h^{2} + R^{2}} = 5 \sqrt{61} (c m)$ .

Diện tích xung quanh của 1 chiếc nón là $S_{x q} = π R l = π .25.5 \sqrt{61} = 125 \sqrt{61} π (c m^{2})$

Cứ 1 kg lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là $6,13 m^{2} = 61300 c m^{2}$ nên 1 kg lá có thể làm được $\frac{61300}{125 \sqrt{61} π} \approx 20$ (nón).

Vậy để làm 1000 chiếc nón cần $\frac{1000}{20} = 50$ (kg lá).

Câu 34:

Lượng nguyên liệu cần dùng để làm ra một chiếc nón lá được ước lượng qua phép tính diện tích xung quanh của mặt nón. Cứ 1kg lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là $6,13 m^{2}$ . Hỏi nếu muốn làm ra 1000 chiếc nón lá giống nhau có đường kính vành nón là 50 cm, chiều cao 30 cm thì cần khối lượng lá gần nhất với con số nào dưới đây? (coi mỗi chiếc nón là có hình dạng là 1 hình nón).

A. 48 kg.

B. 38 kg.

C. 50 kg.

D. 58 kg.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $h = 30 c m, R = 25 c m \Rightarrow 1 = \sqrt{h^{2} + R^{2}} = 5 \sqrt{61} (c m)$ .

Diện tích xung quanh của 1 chiếc nón là $S_{x q} = π R l = π .25.5 \sqrt{61} = 125 \sqrt{61} π (c m^{2})$

Cứ 1 kg lá dùng để làm nón có thể làm ra số nón có tổng diện tích xung quanh là $6,13 m^{2} = 61300 c m^{2}$ nên 1 kg lá có thể làm được $\frac{61300}{125 \sqrt{61} π} \approx 20$ (nón).

Vậy để làm 1000 chiếc nón cần $\frac{1000}{20} = 50$ (kg lá).

Câu 35:

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${(\sqrt{2} - 1)}^{x} + {(\sqrt{2} + 1)}^{x} - 6 = 0$ là:

A. 1.

B.

\frac{5}{2} .

C. 6.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1) = 1 \Rightarrow {(\sqrt{2} - 1)}^{x} {(\sqrt{2} + 1)}^{x} = 1$ .

Đặt ${(\sqrt{2} + 1)}^{x} = t, t > 0 \Rightarrow {(\sqrt{2} - 1)}^{x} = \frac{1}{t} .$

Khi đó phương trình trở thành: $\frac{1}{t} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 6 t + 1 = 0$ .

Có $Δ' = 9 - 1 = 8 > 0 \Rightarrow$ Phương trình ẩn t có 2 nghiệm $t_{1}, t_{2}$ phân biệt.

Phương trình ban đầu có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ phân biệt.

Ta có: $x_{1} + x_{2} = \log_{\sqrt{2} + 1} t_{1} + \log_{\sqrt{2} + 1} t_{2} = \log_{\sqrt{2} + 1} t_{1} t_{2} = \log_{\sqrt{2} + 1} 1 = 0$ .

Câu 36:

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ${(\sqrt{2} - 1)}^{x} + {(\sqrt{2} + 1)}^{x} - 6 = 0$ là:

A. 1.

B.

\frac{5}{2} .

C. 6.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1) = 1 \Rightarrow {(\sqrt{2} - 1)}^{x} {(\sqrt{2} + 1)}^{x} = 1$ .

Đặt ${(\sqrt{2} + 1)}^{x} = t, t > 0 \Rightarrow {(\sqrt{2} - 1)}^{x} = \frac{1}{t} .$

Khi đó phương trình trở thành: $\frac{1}{t} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 6 t + 1 = 0$ .

Có $Δ' = 9 - 1 = 8 > 0 \Rightarrow$ Phương trình ẩn t có 2 nghiệm $t_{1}, t_{2}$ phân biệt.

Phương trình ban đầu có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ phân biệt.

Ta có: $x_{1} + x_{2} = \log_{\sqrt{2} + 1} t_{1} + \log_{\sqrt{2} + 1} t_{2} = \log_{\sqrt{2} + 1} t_{1} t_{2} = \log_{\sqrt{2} + 1} 1 = 0$ .

Câu 37:

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a, b, c \in ℝ)$ có hai nghiệm phức phân biệt khi và chỉ khi:

A.

{\begin{cases} a \neq 0 \\ b^{2} - 4 a c \neq 0 \end{cases} .

B.

{\begin{cases} a \neq 0 \\ b^{2} - 4 a c > 0 \end{cases} .

C.

{\begin{cases} a \neq 0 \\ b^{2} - 4 a c < 0 \end{cases} .

D.

b^{2} - 4 a c > 0.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a, b, c \in ℝ)$ có hai nghiệm phức phân biệt khi và chỉ khi: ${\begin{cases} a \neq 0 \\ b^{2} - 4 a c < 0 \end{cases}$ .

Câu 38:

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a, b, c \in ℝ)$ có hai nghiệm phức phân biệt khi và chỉ khi:

A.

{\begin{cases} a \neq 0 \\ b^{2} - 4 a c \neq 0 \end{cases} .

B.

{\begin{cases} a \neq 0 \\ b^{2} - 4 a c > 0 \end{cases} .

C.

{\begin{cases} a \neq 0 \\ b^{2} - 4 a c < 0 \end{cases} .

D.

b^{2} - 4 a c > 0.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a, b, c \in ℝ)$ có hai nghiệm phức phân biệt khi và chỉ khi: ${\begin{cases} a \neq 0 \\ b^{2} - 4 a c < 0 \end{cases}$ .

Câu 39:

Cho số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là -3 . Môđun của số phức 3+iz là:

A.

\sqrt{22} .

B. 2.

C.

2 \sqrt{10} .

D.

\sqrt{10} .

Xem đáp án

Đáp án C

Số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là $- 3 \Rightarrow z = 2 - 3 i \Rightarrow 3 + i z = 3 + i (2 - 3 i) = 6 + 2 i$ .

$\Rightarrow | z | = \sqrt{36 + 4} = 2 \sqrt{10}$ .

Câu 40:

Cho số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là -3 . Môđun của số phức 3+iz là:

A.

\sqrt{22} .

B. 2.

C.

2 \sqrt{10} .

D.

\sqrt{10} .

Xem đáp án

Đáp án C

Số phức z có phần thực là 2 và phần ảo là $- 3 \Rightarrow z = 2 - 3 i \Rightarrow 3 + i z = 3 + i (2 - 3 i) = 6 + 2 i$ .

$\Rightarrow | z | = \sqrt{36 + 4} = 2 \sqrt{10}$ .

Câu 41:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f (x)

và trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích

S_{1} = \frac{8}{3}

và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích

S_{2} = \frac{5}{12}

(tham khảo hình vẽ bên). Tính

I = \int_{- 1}^{0} f (3 x + 1) d x

.

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) và trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích S1=8/3 và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích S2=5/12 (tham khảo hình vẽ bên). Tính tích phân từ -1 đến 0 của f(3x+1) dx. (ảnh 1)

A.

I = \frac{27}{4} .

B.

I = \frac{5}{3} .

C.

I = \frac{3}{4} .

D.

I = \frac{37}{36} .

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: ${\begin{cases} S_{1} = \int_{- 2}^{0} f (x) d x = \frac{8}{3} \\ S_{2} = - \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{5}{12} \end{cases} .$

$I = \int_{1}^{0} f (3 x + 1) d x$ .

Đặt $t = 3 x + 1 \Rightarrow d t = 3 d x .$

Đổi cận ${\begin{cases} x = - 1 \Rightarrow t = - 2 \\ x = 0 \Rightarrow t = 1 \end{cases}$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{3} \int_{- 2}^{1} f (t) d t = \frac{1}{3} [\int_{- 2}^{0} f (t) d t + \int_{0}^{1} f (t) d t] = \frac{1}{3} (\frac{8}{3} - \frac{5}{12}) = \frac{3}{4} .$

Câu 42:

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f (x)

và trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích

S_{1} = \frac{8}{3}

và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích

S_{2} = \frac{5}{12}

(tham khảo hình vẽ bên). Tính

I = \int_{- 1}^{0} f (3 x + 1) d x

.

A.

I = \frac{27}{4} .

B.

I = \frac{5}{3} .

C.

I = \frac{3}{4} .

D.

I = \frac{37}{36} .

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: ${\begin{cases} S_{1} = \int_{- 2}^{0} f (x) d x = \frac{8}{3} \\ S_{2} = - \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{5}{12} \end{cases} .$

$I = \int_{1}^{0} f (3 x + 1) d x$ .

Đặt $t = 3 x + 1 \Rightarrow d t = 3 d x .$

Đổi cận ${\begin{cases} x = - 1 \Rightarrow t = - 2 \\ x = 0 \Rightarrow t = 1 \end{cases}$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{3} \int_{- 2}^{1} f (t) d t = \frac{1}{3} [\int_{- 2}^{0} f (t) d t + \int_{0}^{1} f (t) d t] = \frac{1}{3} (\frac{8}{3} - \frac{5}{12}) = \frac{3}{4} .$

Câu 43:

Cho

F (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1

là một nguyên hàm của hàm số f'(x)-4x . Hàm số y=f(x) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $F (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ là một nguyên hàm của hàm số $f' (x) - 4 x$ .

$\Rightarrow f' (x) - 4 x = F' (x) \Leftrightarrow f' (x) - 4 x = 4 x^{3} - 3 x \Leftrightarrow f' (x) = 4 x^{3}$ .

Ta có: $f' (x) = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu $f' (x)$ ta thấy hàm số có duy nhất 1 điểm cực tiểu $x = 0$ .

Câu 44:

Cho

F (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1

là một nguyên hàm của hàm số f'(x)-4x . Hàm số y=f(x) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2.

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $F (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ là một nguyên hàm của hàm số $f' (x) - 4 x$ .

$\Rightarrow f' (x) - 4 x = F' (x) \Leftrightarrow f' (x) - 4 x = 4 x^{3} - 3 x \Leftrightarrow f' (x) = 4 x^{3}$ .

Ta có: $f' (x) = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu $f' (x)$ ta thấy hàm số có duy nhất 1 điểm cực tiểu $x = 0$ .

Câu 45:

Cho hình chóp đều S.ABCD có $S A = a \sqrt{5}, A B = a$ . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng DN và mặt phẳng (MQP)?

A.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

B. $\frac{1}{2} .$

C.

\frac{\sqrt{3}}{2} .

D.

\frac{\sqrt{15}}{6} .

Xem đáp án

Đáp án A

Dễ dàng chứng minh được MNPQ đồng phẳng và $(M N P Q) / / (A B C D)$ dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác.

$\Rightarrow \hat{(D N, (M Q P))} = \hat{(D N, (M N P))} = \hat{(D N, (A B C D))}$ .

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$ .

Gọi H là trung điểm của OB.

Xét tam giác SOB có NH là đường trung bình

$\Rightarrow N H / / S O \Rightarrow N H ⊥ (A B C D)$ .

DH là hình chiếu của DN trên .

$\Rightarrow \hat{(D N, (A B C D))} = \hat{(D N, D H)} = \hat{N D H}$ .

ABCD là hình vuông cạnh $a \Rightarrow B D = a \sqrt{2} \Rightarrow D H = \frac{3}{4} B D = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}, O B = \frac{1}{2} B D = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Xét tam giác vuông SOB có $S O = \sqrt{S B^{2} - O B^{2}} = \frac{3 a}{\sqrt{2}} \Rightarrow N H = \frac{1}{2} S O = \frac{3 a}{2 \sqrt{2}} .$

Xét tam giác vuông NHD có: $N D = \sqrt{N H^{2} + H D^{2}} = \sqrt{\frac{9 a^{2}}{8} + \frac{9 a^{2}}{8}} = \frac{3 a}{2} .$

$\Rightarrow \cos \hat{N D H} = \frac{D H}{N D} = \frac{\frac{3 a \sqrt{2}}{4}}{\frac{3 a}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Câu 46:

Cho hình chóp đều S.ABCD có $S A = a \sqrt{5}, A B = a$ . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng DN và mặt phẳng (MQP)?

A.

\frac{\sqrt{2}}{2} .

B. $\frac{1}{2} .$

C.

\frac{\sqrt{3}}{2} .

D.

\frac{\sqrt{15}}{6} .

Xem đáp án

Đáp án A

Dễ dàng chứng minh được MNPQ đồng phẳng và $(M N P Q) / / (A B C D)$ dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác.

$\Rightarrow \hat{(D N, (M Q P))} = \hat{(D N, (M N P))} = \hat{(D N, (A B C D))}$ .

Gọi $O = A C \cap B D \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$ .

Gọi H là trung điểm của OB.

Xét tam giác SOB có NH là đường trung bình

$\Rightarrow N H / / S O \Rightarrow N H ⊥ (A B C D)$ .

DH là hình chiếu của DN trên .

$\Rightarrow \hat{(D N, (A B C D))} = \hat{(D N, D H)} = \hat{N D H}$ .

ABCD là hình vuông cạnh $a \Rightarrow B D = a \sqrt{2} \Rightarrow D H = \frac{3}{4} B D = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}, O B = \frac{1}{2} B D = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Xét tam giác vuông SOB có $S O = \sqrt{S B^{2} - O B^{2}} = \frac{3 a}{\sqrt{2}} \Rightarrow N H = \frac{1}{2} S O = \frac{3 a}{2 \sqrt{2}} .$

Xét tam giác vuông NHD có: $N D = \sqrt{N H^{2} + H D^{2}} = \sqrt{\frac{9 a^{2}}{8} + \frac{9 a^{2}}{8}} = \frac{3 a}{2} .$

$\Rightarrow \cos \hat{N D H} = \frac{D H}{N D} = \frac{\frac{3 a \sqrt{2}}{4}}{\frac{3 a}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Câu 47:

Tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt là:

A.

(- 2; 3) .

B.

ℝ .

C.

(- 2; + \infty) .

D.

(- \infty; 3) .

Xem đáp án

Đáp án B

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x + 2}{x - 1} = x + m$ (với $x \neq 1$ ).

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2 = (x - 1) (x + m) \Leftrightarrow x + 2 = x^{2} + m x - x - m \\ \Leftrightarrow g (x) = x^{2} + (m - 2) x - m - 2 = 0 (*) \end{array}$ Để đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$\Leftrightarrow {\begin{cases} Δ > 0 \\ g (1) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} {(m - 2)}^{2} - 4 (m - 2) > 0 \\ 1 + m - 2 - m - 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m^{2} + 12 > 0 \\ - 3 \neq 0 \end{cases}$ (luôn đúng $\forall m \in ℝ$ ).

Câu 48:

Tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt là:

A.

(- 2; 3) .

B.

ℝ .

C.

(- 2; + \infty) .

D.

(- \infty; 3) .

Xem đáp án

Đáp án B

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x + 2}{x - 1} = x + m$ (với $x \neq 1$ ).

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2 = (x - 1) (x + m) \Leftrightarrow x + 2 = x^{2} + m x - x - m \\ \Leftrightarrow g (x) = x^{2} + (m - 2) x - m - 2 = 0 (*) \end{array}$ Để đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$\Leftrightarrow {\begin{cases} Δ > 0 \\ g (1) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} {(m - 2)}^{2} - 4 (m - 2) > 0 \\ 1 + m - 2 - m - 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m^{2} + 12 > 0 \\ - 3 \neq 0 \end{cases}$ (luôn đúng $\forall m \in ℝ$ ).

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) , tam giác ABC đều AB=a ; góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính thể tích khối chóp SMNC.

A.

\frac{a^{3}}{16} .

B.

\frac{a^{3}}{4} .

C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

D. $\frac{a^{3}}{8} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{(S B, (A B C))} = \hat{(S B, A B)} = \hat{S B A} = 60 °$ .

Xét tam giác vuông SAB: $S A = A B . \tan 60 ° = a \sqrt{3}$ .

$\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} . a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{4} .$

Ta có: $\frac{V_{S M N C}}{V_{S A B C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{S M N C} = \frac{a^{3}}{16} .$

Câu 50:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) , tam giác ABC đều AB=a ; góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Tính thể tích khối chóp SMNC.

A.

\frac{a^{3}}{16} .

B.

\frac{a^{3}}{4} .

C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

D. $\frac{a^{3}}{8} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{(S B, (A B C))} = \hat{(S B, A B)} = \hat{S B A} = 60 °$ .

Xét tam giác vuông SAB: $S A = A B . \tan 60 ° = a \sqrt{3}$ .

$\Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} . a \sqrt{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{4} .$

Ta có: $\frac{V_{S M N C}}{V_{S A B C}} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{S M N C} = \frac{a^{3}}{16} .$

Câu 51:

Bất phương trình ${(0,2)}^{x^{2}} {.2}^{x} \geq \frac{2}{5}$ tương đương với bất phương trình nào sau đây?

A.

- x^{2} + x - \log_{2} (\frac{2}{5}) \geq 0.

B.

x^{2} - x \log_{5} 2 + \log_{5} 2 - 1 \geq 0.

C.

x \geq 1.

D.

x^{2} - x \log_{5} 2 + \log_{5} 2 - 1 \leq 0.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\begin{array}{l} {(0,2)}^{x^{2}} {.2}^{x} \geq \frac{2}{5} \Leftrightarrow \log_{5} [{(0,2)}^{x^{2}} {.2}^{x}] \geq \log_{5} \frac{2}{5} \Leftrightarrow x^{2} \log_{5} (0,2) + x \log_{5} 2 \geq \log_{5} 2 - \log_{5} 5 \\ \Leftrightarrow - x^{2} + x \log_{5} 2 - \log_{5} 2 + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} - x \log_{5} 2 + \log_{5} 2 - 1 \leq 0 \end{array}$

Câu 52:

Bất phương trình ${(0,2)}^{x^{2}} {.2}^{x} \geq \frac{2}{5}$ tương đương với bất phương trình nào sau đây?

A.

- x^{2} + x - \log_{2} (\frac{2}{5}) \geq 0.

B.

x^{2} - x \log_{5} 2 + \log_{5} 2 - 1 \geq 0.

C.

x \geq 1.

D.

x^{2} - x \log_{5} 2 + \log_{5} 2 - 1 \leq 0.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\begin{array}{l} {(0,2)}^{x^{2}} {.2}^{x} \geq \frac{2}{5} \Leftrightarrow \log_{5} [{(0,2)}^{x^{2}} {.2}^{x}] \geq \log_{5} \frac{2}{5} \Leftrightarrow x^{2} \log_{5} (0,2) + x \log_{5} 2 \geq \log_{5} 2 - \log_{5} 5 \\ \Leftrightarrow - x^{2} + x \log_{5} 2 - \log_{5} 2 + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} - x \log_{5} 2 + \log_{5} 2 - 1 \leq 0 \end{array}$

Câu 53:

Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường elip có phương trình $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ quay xung quanh trục Ox.

A.

4 π .

B.

6 π .

C.

8 π .

D.

12 π .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \Leftrightarrow y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{9}) \Leftrightarrow y = \pm 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}$ .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}$ và trục hoành ta có:

$2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}} = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x^{2}}{9} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$ .

Vậy $V = π \int_{- 3}^{3} {(2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}})}^{2} d x = 16 π$ .

Câu 54:

Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường elip có phương trình $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ quay xung quanh trục Ox.

A.

4 π .

B.

6 π .

C.

8 π .

D.

12 π .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1 \Leftrightarrow y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{9}) \Leftrightarrow y = \pm 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}$ .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}$ và trục hoành ta có:

$2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}} = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x^{2}}{9} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$ .

Vậy $V = π \int_{- 3}^{3} {(2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}})}^{2} d x = 16 π$ .

Câu 55:

Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 0.

B. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: ${\begin{cases} 4 x^{2} + 2 x - 1 \geq 0 \\ x \neq - 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} [\begin{array}{l} x \geq \frac{- 1 + \sqrt{5}}{4} \\ x \leq \frac{- 1 - \sqrt{5}}{4} \end{array} \\ x \neq - 1 \end{cases} .$

Ta có: $\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1} = 3; \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1} = - 1. \\ \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1} = - 2; \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1} = - 2. \end{array}$

Vậy đồ thị hàm số có 2 TCN là $y = 3; y = - 1$ .

Câu 56:

Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 0.

B. 3.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: ${\begin{cases} 4 x^{2} + 2 x - 1 \geq 0 \\ x \neq - 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} [\begin{array}{l} x \geq \frac{- 1 + \sqrt{5}}{4} \\ x \leq \frac{- 1 - \sqrt{5}}{4} \end{array} \\ x \neq - 1 \end{cases} .$

Ta có: $\begin{array}{l} \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1} = 3; \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1} = - 1. \\ \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1} = - 2; \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 x - 1} + x}{x + 1} = - 2. \end{array}$

Vậy đồ thị hàm số có 2 TCN là $y = 3; y = - 1$ .

Câu 57:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-3;2;1), B(1;4;-1) . Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + z^{2} = 24.

B.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} = 24.

C.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + z^{2} = 6.

D.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} = 6.

Xem đáp án

Đáp án D

Mặt cầu đường kính AB có tâm $I (- 1; 3; 0)$ là trung điểm của AB, bán kính $R = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \sqrt{4^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{6}$ .

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} = 6$ .

Câu 58:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-3;2;1), B(1;4;-1) . Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + z^{2} = 24.

B.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} = 24.

C.

{(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + z^{2} = 6.

D.

{(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} = 6.

Xem đáp án

Đáp án D

Mặt cầu đường kính AB có tâm $I (- 1; 3; 0)$ là trung điểm của AB, bán kính $R = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \sqrt{4^{2} + 2^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{6}$ .

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} = 6$ .

Câu 59:

Số phức z thỏa mãn $3 - 2 i + \frac{\bar{z}}{i}$ là số thực và $| z + i | = 2$ . Phần ảo của z là:

A. -1

B. -2

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i$ (với $a, b \in ℝ$ ).

Theo đề bài ta có: $3 - 2 i + \frac{\bar{z}}{i} = 3 - 2 i - (a - b i) i = 3 - 2 i - a i - b$ là số thực.

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 2 - a = 0 \Rightarrow a = - 2 \\ \Rightarrow z = - 2 + b i \Rightarrow | z + 1 | = | - 2 + b i + i | = | - 2 + (b + 1) i | = 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{4 + {(b + 1)}^{2}} = 2 \Leftrightarrow b + 1 = 0 \Leftrightarrow b = - 1. \end{array}$ Vậy $z = b = - 1$ .

Câu 60:

Số phức z thỏa mãn $3 - 2 i + \frac{\bar{z}}{i}$ là số thực và $| z + i | = 2$ . Phần ảo của z là:

A. -1

B. -2

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i$ (với $a, b \in ℝ$ ).

Theo đề bài ta có: $3 - 2 i + \frac{\bar{z}}{i} = 3 - 2 i - (a - b i) i = 3 - 2 i - a i - b$ là số thực.

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 2 - a = 0 \Rightarrow a = - 2 \\ \Rightarrow z = - 2 + b i \Rightarrow | z + 1 | = | - 2 + b i + i | = | - 2 + (b + 1) i | = 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{4 + {(b + 1)}^{2}} = 2 \Leftrightarrow b + 1 = 0 \Leftrightarrow b = - 1. \end{array}$ Vậy $z = b = - 1$ .

Câu 61:

Hàm số $y = x + \frac{10^{8}}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[10^{3}; 10^{9}]$ tại điểm x bằng:

A.

10^{6} .

B.

10^{4} .

C.

10^{3} .

D.

10^{5} .

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $y = x + \frac{10^{8}}{x}$ trên $[10^{3}; 10^{9}]$ .

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $x + \frac{10^{8}}{x} \geq 2 \sqrt{x . \frac{10^{8}}{x}} = {2.10}^{4} \Leftrightarrow y \geq {2.10}^{4}$ .

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{10^{8}}{x} \Leftrightarrow x^{2} = 10^{8} \Leftrightarrow x = 10^{4}$ .

Câu 62:

Hàm số $y = x + \frac{10^{8}}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[10^{3}; 10^{9}]$ tại điểm x bằng:

A.

10^{6} .

B.

10^{4} .

C.

10^{3} .

D.

10^{5} .

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $y = x + \frac{10^{8}}{x}$ trên $[10^{3}; 10^{9}]$ .

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $x + \frac{10^{8}}{x} \geq 2 \sqrt{x . \frac{10^{8}}{x}} = {2.10}^{4} \Leftrightarrow y \geq {2.10}^{4}$ .

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{10^{8}}{x} \Leftrightarrow x^{2} = 10^{8} \Leftrightarrow x = 10^{4}$ .

Câu 63:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ và điểm $A (- 4; 1; 1)$ . Gọi A’ là hình chiếu của A trên $Δ$ . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với AA’?

A.

- x + 3 y + z + 3 = 0.

B.

x - y + 4 z + 1 = 0.

C.

x - 2 y - 2 = 0.

D.

4 x - y + 7 z - 1 = 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Do A’ là hình chiếu của A trên $Δ \Rightarrow A' \in Δ \Rightarrow A' (1 + 2 t; t; - 2 - t)$ .

Ta có: $\vec{A A'} = (2 t + 5; t - 1; - t - 3)$ .

Gọi $\vec{u_{Δ}} = (2; 1; - 1)$ là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nên $\vec{A A'} . \vec{u_{Δ}} = 0$ .

$\Leftrightarrow 2 (2 t + 5) + (t - 1) - 1 (- t - 3) = 0 \Leftrightarrow 6 t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2 \Leftrightarrow \vec{A A'} = (1; - 3; - 1)$ .

Mặt phẳng vuông góc với AA’ nhận là 1 vectơ pháp tuyến

Câu 64:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1}$ và điểm $A (- 4; 1; 1)$ . Gọi A’ là hình chiếu của A trên $Δ$ . Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với AA’?

A.

- x + 3 y + z + 3 = 0.

B.

x - y + 4 z + 1 = 0.

C.

x - 2 y - 2 = 0.

D.

4 x - y + 7 z - 1 = 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Do A’ là hình chiếu của A trên $Δ \Rightarrow A' \in Δ \Rightarrow A' (1 + 2 t; t; - 2 - t)$ .

Ta có: $\vec{A A'} = (2 t + 5; t - 1; - t - 3)$ .

Gọi $\vec{u_{Δ}} = (2; 1; - 1)$ là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nên $\vec{A A'} . \vec{u_{Δ}} = 0$ .

$\Leftrightarrow 2 (2 t + 5) + (t - 1) - 1 (- t - 3) = 0 \Leftrightarrow 6 t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2 \Leftrightarrow \vec{A A'} = (1; - 3; - 1)$ .

Mặt phẳng vuông góc với AA’ nhận là 1 vectơ pháp tuyến

Câu 65:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số $y = x^{3} + (3 m - 1) x^{2} + m^{2} x - 3$ đạt giá trị cực tiểu tại $x = - 1$ .

A.

{5; 1} .

B.

\emptyset .

C.

{1} .

D.

{5} .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 3 x^{2} + 2 (3 m - 1) x + m^{2}; y'' = 6 x + 2 (3 m - 1)$ .

Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ thì ${\begin{cases} y' (- 1) = 0 \\ y'' (- 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 3 - 2 (3 m - 1) + m^{2} = 0 \\ - 6 + 2 (3 m - 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} [\begin{array}{l} m = 5 \\ m = 1 \end{array} \\ m > \frac{4}{3} \end{cases} \Leftrightarrow m = 5$ .

Câu 66:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số $y = x^{3} + (3 m - 1) x^{2} + m^{2} x - 3$ đạt giá trị cực tiểu tại $x = - 1$ .

A.

{5; 1} .

B.

\emptyset .

C.

{1} .

D.

{5} .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y' = 3 x^{2} + 2 (3 m - 1) x + m^{2}; y'' = 6 x + 2 (3 m - 1)$ .

Để hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ thì ${\begin{cases} y' (- 1) = 0 \\ y'' (- 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 3 - 2 (3 m - 1) + m^{2} = 0 \\ - 6 + 2 (3 m - 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} [\begin{array}{l} m = 5 \\ m = 1 \end{array} \\ m > \frac{4}{3} \end{cases} \Leftrightarrow m = 5$ .

Câu 67:

Tập nghiệm của phương trình $x^{\frac{2}{3}} = 5$ là:

A.

{\pm \sqrt[3]{5^{2}}} .

B.

{\sqrt[3]{5^{2}}} .

C.

{\sqrt{5^{3}}} .

D.

{\pm \sqrt{5^{3}}} .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $x^{\frac{2}{3}} = 5 \Leftrightarrow x = \sqrt[\frac{2}{3}]{5} = \sqrt[3]{5^{2}}$ .

Vậy tập nghiệm của phương trình là: ${\sqrt[3]{5^{2}}}$ .

Câu 68:

Tập nghiệm của phương trình $x^{\frac{2}{3}} = 5$ là:

A.

{\pm \sqrt[3]{5^{2}}} .

B.

{\sqrt[3]{5^{2}}} .

C.

{\sqrt{5^{3}}} .

D.

{\pm \sqrt{5^{3}}} .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $x^{\frac{2}{3}} = 5 \Leftrightarrow x = \sqrt[\frac{2}{3}]{5} = \sqrt[3]{5^{2}}$ .

Vậy tập nghiệm của phương trình là: ${\sqrt[3]{5^{2}}}$ .

Câu 69:

Cho số thực $a \in (0; 1)$ . Đồ thị hàm số $y = \log_{a} x$ là hình vẽ nào dưới đây?

A. Cho số thực a thuộc (0;1). Đồ thị hàm số y= loga x là hình vẽ nào dưới đây? (ảnh 1)

B. Cho số thực a thuộc (0;1). Đồ thị hàm số y= loga x là hình vẽ nào dưới đây? (ảnh 2)

C. Cho số thực a thuộc (0;1). Đồ thị hàm số y= loga x là hình vẽ nào dưới đây? (ảnh 3)

D. Cho số thực a thuộc (0;1). Đồ thị hàm số y= loga x là hình vẽ nào dưới đây? (ảnh 4)

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số $y = \log_{a} x$ có TCĐ $D = (0; + \infty)$ nên loại đáp án A và D.

Do $a \in (0; 1)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

Câu 70:

Cho số thực $a \in (0; 1)$ . Đồ thị hàm số $y = \log_{a} x$ là hình vẽ nào dưới đây?

A. Cho số thực a thuộc (0;1). Đồ thị hàm số y= loga x là hình vẽ nào dưới đây? (ảnh 1)

B. Cho số thực a thuộc (0;1). Đồ thị hàm số y= loga x là hình vẽ nào dưới đây? (ảnh 2)

C. Cho số thực a thuộc (0;1). Đồ thị hàm số y= loga x là hình vẽ nào dưới đây? (ảnh 3)

D. Cho số thực a thuộc (0;1). Đồ thị hàm số y= loga x là hình vẽ nào dưới đây? (ảnh 4)

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số $y = \log_{a} x$ có TCĐ $D = (0; + \infty)$ nên loại đáp án A và D.

Do $a \in (0; 1)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

Câu 71:

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 0, x = π$ . Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ $x (0 \leq x \leq π)$ là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $\sin x + 2$ .

A.

\frac{7 π}{6} + 2.

B.

\frac{7 π}{6} + 1.

C.

\frac{9 π}{8} + 2.

D.

\frac{9 π}{8} + 1.

Xem đáp án

Đáp án C

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sin x + 2$ có cạnh góc vuông bằng $\frac{\sin x + 2}{\sqrt{2}}$ .

$\begin{array}{l} \Rightarrow S (x) = \frac{1}{2} {(\frac{\sin x + 2}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{{(\sin x + 2)}^{2}}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow V = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} {(\sin x + 2)}^{2} d x = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} (\sin^{2} x + 4 \sin x + 4) d x = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} (\frac{1 - \cos 2 x}{2} + 4 \sin x + 4) d x \\ = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x - \frac{\sin 2 x}{4} - 4 \cos x + 4 x) | \begin{array}{l} ^{π} \\ _{0} \end{array} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} π + 4 + 4 π + 4) = \frac{9 π}{8} + 2. \end{array}$

Câu 72:

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 0, x = π$ . Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ $x (0 \leq x \leq π)$ là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $\sin x + 2$ .

A.

\frac{7 π}{6} + 2.

B.

\frac{7 π}{6} + 1.

C.

\frac{9 π}{8} + 2.

D.

\frac{9 π}{8} + 1.

Xem đáp án

Đáp án C

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sin x + 2$ có cạnh góc vuông bằng $\frac{\sin x + 2}{\sqrt{2}}$ .

$\begin{array}{l} \Rightarrow S (x) = \frac{1}{2} {(\frac{\sin x + 2}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{{(\sin x + 2)}^{2}}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow V = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} {(\sin x + 2)}^{2} d x = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} (\sin^{2} x + 4 \sin x + 4) d x = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} (\frac{1 - \cos 2 x}{2} + 4 \sin x + 4) d x \\ = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} x - \frac{\sin 2 x}{4} - 4 \cos x + 4 x) | \begin{array}{l} ^{π} \\ _{0} \end{array} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} π + 4 + 4 π + 4) = \frac{9 π}{8} + 2. \end{array}$

Câu 73:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(f(x)+m)=0 có 3 nghiệm phân biệt.

A. 4.

B. 1.

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f [f (x) + m] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) + m = 0 \\ f (x) + m = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = - m (1) \\ f (x) = 2 - m (2) \end{array}$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f (x) = m$ có tối đa 2 nghiệm phân biệt, do đó để phương trình $f (f (x) + m) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt thì:

TH1: (1) có 1 nghiệm và (2) có 2 nghiệm phân biệt . $\Leftrightarrow {\begin{cases} - m = - 3 \\ 2 - m > - 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m = 3 \\ m < 5 \end{cases} \Leftrightarrow m = 3$

TH2: (1) có 2 nghiệm phân biệt và (2) có 1 nghiệm . $\Leftrightarrow {\begin{cases} - m > - 3 \\ 2 - m = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m < 3 \\ m = 5 \end{cases} \Leftrightarrow m \in \emptyset$

Vậy m=3.

Câu 74:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(f(x)+m)=0 có 3 nghiệm phân biệt.

A. 4.

B. 1.

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f [f (x) + m] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) + m = 0 \\ f (x) + m = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = - m (1) \\ f (x) = 2 - m (2) \end{array}$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f (x) = m$ có tối đa 2 nghiệm phân biệt, do đó để phương trình $f (f (x) + m) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt thì:

TH1: (1) có 1 nghiệm và (2) có 2 nghiệm phân biệt . $\Leftrightarrow {\begin{cases} - m = - 3 \\ 2 - m > - 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m = 3 \\ m < 5 \end{cases} \Leftrightarrow m = 3$

TH2: (1) có 2 nghiệm phân biệt và (2) có 1 nghiệm . $\Leftrightarrow {\begin{cases} - m > - 3 \\ 2 - m = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m < 3 \\ m = 5 \end{cases} \Leftrightarrow m \in \emptyset$

Vậy m=3.

Câu 75:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số $g (x) = f^{2} (x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y=ax^3+bx^2+cx+d có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g(x)=f^2(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)

A.

(- \infty; 3) .

B.

(3; + \infty) .

C.

(- 3; 1) .

D.

(1; 3) .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $g' (x) = 2 f (x) . f' (x)$ .

Chọn $x = 2 \Rightarrow g' (2) = 2 f (2) . f' (2)$ .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy ${\begin{cases} f (2) < 0 \\ f' (2) > 0 \end{cases} \Rightarrow g' (2) < 0 \Rightarrow$ Loại đáp án B và C.

Chọn $x = - 1 \Rightarrow g' (- 1) = 2 f (- 1) . f' (- 1)$ .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy ${\begin{cases} f (- 1) < 0 \\ f' (- 1) < 0 \end{cases} \Rightarrow g' (- 1) > 0 \Rightarrow$ Loại đáp án A.

Câu 76:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số $g (x) = f^{2} (x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y=ax^3+bx^2+cx+d có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g(x)=f^2(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)

A.

(- \infty; 3) .

B.

(3; + \infty) .

C.

(- 3; 1) .

D.

(1; 3) .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $g' (x) = 2 f (x) . f' (x)$ .

Chọn $x = 2 \Rightarrow g' (2) = 2 f (2) . f' (2)$ .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy ${\begin{cases} f (2) < 0 \\ f' (2) > 0 \end{cases} \Rightarrow g' (2) < 0 \Rightarrow$ Loại đáp án B và C.

Chọn $x = - 1 \Rightarrow g' (- 1) = 2 f (- 1) . f' (- 1)$ .

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy ${\begin{cases} f (- 1) < 0 \\ f' (- 1) < 0 \end{cases} \Rightarrow g' (- 1) > 0 \Rightarrow$ Loại đáp án A.

Câu 77:

Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (so với mặt nước biển) (đo bằng mét) theo công thức $P = P_{0} . e^{x i}$ trong đó $P_{0} = 760 m m H g$ là áp suất ở mực nước biển $(x = 0)$ , i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000 m thì áp suất của không khí là 672,71 mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3343 m là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

A. 495,34 mmHg.

B. 530,23 mmHg.

C. 485,36 mmHg.

D. 505,45 mmHg.

Xem đáp án

Đáp án D

Ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71 mmHg nên ta có: $672,71 = 760. e^{1000 i}$ .

$\Leftrightarrow e^{1000 i} = \frac{672,71}{760} \Leftrightarrow i = \frac{\ln \frac{672,71}{760}}{1000}$

Áp suất không khí ở độ cao 3343m là: $P = P_{0} . e^{3343 i} = 760. e^{3343. \frac{\ln \frac{672,71}{760}}{1000}} \approx 505,45 m m H g$ .

Câu 78:

Áp suất không khí P (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (so với mặt nước biển) (đo bằng mét) theo công thức $P = P_{0} . e^{x i}$ trong đó $P_{0} = 760 m m H g$ là áp suất ở mực nước biển $(x = 0)$ , i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000 m thì áp suất của không khí là 672,71 mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3343 m là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

A. 495,34 mmHg.

B. 530,23 mmHg.

C. 485,36 mmHg.

D. 505,45 mmHg.

Xem đáp án

Đáp án D

Ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71 mmHg nên ta có: $672,71 = 760. e^{1000 i}$ .

$\Leftrightarrow e^{1000 i} = \frac{672,71}{760} \Leftrightarrow i = \frac{\ln \frac{672,71}{760}}{1000}$

Áp suất không khí ở độ cao 3343m là: $P = P_{0} . e^{3343 i} = 760. e^{3343. \frac{\ln \frac{672,71}{760}}{1000}} \approx 505,45 m m H g$ .

Câu 79:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = m x^{4} - (m - 5) x^{2} - 3$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) .$ .

A. 6.

B. 4

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 4 m x^{3} - 2 (m - 5) x$ .

TH1: $m = 0 \Rightarrow y' = 10 x > 0 \Leftrightarrow x > 0 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng .

Do đó $m = 0$ thỏa mãn.

TH2: $m \neq 0$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ khi và chỉ khi $y' \geq 0 \forall x \in (0; + \infty)$ .

$\begin{array}{l} 4 m x^{3} - 2 (m - 5) x \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow x [4 m x^{2} - 2 (m - 5)] \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \\ \Leftrightarrow 4 m x^{2} - 2 (m - 5) \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow g (x) = 2 m x^{2} - m + 5 \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \\ \Leftrightarrow \min_{[0; + \infty)} g (x) \geq 0 \end{array}$

Xét hàm số $g (x) = 2 m x^{2} - m + 5$ ta có $g' (x) = 4 m x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

TH1: $m > 0$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên $\Rightarrow g (0) \geq 0 \Leftrightarrow - m + 5 \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 5 \Rightarrow 0 < m \leq 5$ .

TH2: $m < 0 \Rightarrow$ Không tồn tại $\min_{[0; + \infty)} g (x)$ .

Vậy $0 \leq m \leq 5$ .

Câu 80:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = m x^{4} - (m - 5) x^{2} - 3$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) .$ .

A. 6.

B. 4

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y' = 4 m x^{3} - 2 (m - 5) x$ .

TH1: $m = 0 \Rightarrow y' = 10 x > 0 \Leftrightarrow x > 0 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng .

Do đó $m = 0$ thỏa mãn.

TH2: $m \neq 0$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ khi và chỉ khi $y' \geq 0 \forall x \in (0; + \infty)$ .

$\begin{array}{l} 4 m x^{3} - 2 (m - 5) x \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow x [4 m x^{2} - 2 (m - 5)] \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \\ \Leftrightarrow 4 m x^{2} - 2 (m - 5) \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow g (x) = 2 m x^{2} - m + 5 \geq 0, \forall x \in (0; + \infty) \\ \Leftrightarrow \min_{[0; + \infty)} g (x) \geq 0 \end{array}$

Xét hàm số $g (x) = 2 m x^{2} - m + 5$ ta có $g' (x) = 4 m x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

TH1: $m > 0$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên $\Rightarrow g (0) \geq 0 \Leftrightarrow - m + 5 \geq 0 \Leftrightarrow m \leq 5 \Rightarrow 0 < m \leq 5$ .

TH2: $m < 0 \Rightarrow$ Không tồn tại $\min_{[0; + \infty)} g (x)$ .

Vậy $0 \leq m \leq 5$ .

Câu 81:

Cho hàm số $y = | x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + m |$ . Tổng tất cả các giá trị của tham số m để $\min_{[- 1; 2]} y + \max_{[- 1; 2]} y = 20$ là:

A. -10

B. -4

C. 20.

D. -21

Xem đáp án

Đáp án B

Xét $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} + m$ trên đoạn $[- 1; 2]$ .

$\Rightarrow f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x; f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = 1; x = \frac{1}{2} .$

Ta có: $f (0) = m; f (\frac{1}{2}) = m + \frac{1}{16}; f (- 1) = f (2) = m + 4$ .

Suy ra ${\begin{cases} \max_{[- 1; 2]} f (x) = f (2) = m + 4 \\ \max_{[- 1; 2]} f (x) = f (0) = f (1) = m \end{cases}$ .

TH1: Nếu $m \geq 0 \Rightarrow {\begin{cases} m \geq 0 \\ m + m + 4 = 20 \end{cases} \Leftrightarrow m = 8.$

TH2: Nếu $m \leq - 4 \Rightarrow {\begin{cases} m \leq - 4 \\ - (m + 4) - m = 20 \end{cases} \Leftrightarrow m = - 12.$

TH3: Nếu $- 4 < m < 0 \Rightarrow \min_{[- 1; 2]} y = 0; \max_{[- 1; 2]} y = \max {| m + 4 |, | m |} = \max {m + 4, - m}$ .

Suy ra $\min_{[- 1; 2]} y + \max_{[- 1; 2]} y < 4 < 0 + 20 = 20$ (loại).

Vậy tổng các giá trị của m là -4.

Câu 82: