Số logab được gọi là lôgarit cơ số a của b.

Đáp án cần chọn là: A

Điều kiện để \[{\log _a}b\] có nghĩa là \[0 < a \ne 1,b > 0\].

Đáp án cần chọn là: C

Cho \[a > 0;a \ne 1,b > 0\]  khi đó nếu \[{\log _a}b = N\] thì\[{a^N} = b\]

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

\[{\log _a}{b^n} = n{\log _a}b(0 < a \ne 1;b > 0)\]

\[{\log _a}\frac{1}{b} = - {\log _a}b(0 < a \ne 1;b > 0)\]

\[{\log _a}\sqrt[n]{b} = {\log _a}{b^{\frac{1}{n}}} = \frac{1}{n}{\log _a}b(0 < a \ne 1;b > 0;n > 0;n \in {N^ * })\]

Vậy đẳng thức không đúng là \[{\log _a}\sqrt[n]{b} = - n{\log _a}b\]

Đáp án cần chọn là: D

Nếu a > 1 và b > c > 0 thì \[{\log _a}b > {\log _a}c\].

Đáp án cần chọn là: A

\[{\log _a}1 = 0\]nên A, C sai.

\[{\log _a}a = 1\]nên B sai, D đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: B

Từ công thức \[{\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c \Leftrightarrow {\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}(0 < a,b \ne 1;c > 0)\] ta thấy chỉ có đáp án A đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng công thức \[{\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}} \Leftrightarrow {\log _a}b.{\log _b}a = 1(0 < a,b \ne 1)\] ta được:

\[{\log _2}3 = \frac{1}{{{{\log }_3}2}}\] nên D đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: D

Vì 3 > 1 nên để\[{\log _3}a < 0\] thì 0 < a < 1.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:\[\log \left( {a{b^2}} \right) = \log a + \log {b^2} = \log a + 2\log b\]

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: D

\[{\log _{0.5}}a > {\log _{0.5}}b \Leftrightarrow a < b\] suy ra  A sai.

\[\log x < 0 \Leftrightarrow \log x < \log 1 \Leftrightarrow 0 < x < 1\] suy ra B đúng.

\[{\log _2}x > 0 \Leftrightarrow {\log _2}x > {\log _2}1 \Leftrightarrow x > 1\] suy ra C đúng.

\[{\log _{\frac{1}{3}}}a = {\log _{\frac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a = b > 0\] suy ra D đúng.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

\[\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\] và \[{a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}} \Rightarrow 0 < a < 1\]

\[\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\] và \[{\log _b}\frac{1}{2} < {\log _b}\frac{2}{3} \Rightarrow b > 1\]</>

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:\[{\log _a}b > {\log _a}a = 1;{\log _b}a < {\log _b}b = 1 \Rightarrow {\log _b}a < 1 < {\log _a}b\]

Đáp án cần chọn là: D

Vì\[0 < x < 1 \Rightarrow \ln x < 0\] Do đó

\[{\log _c}x > 0 > {\log _b}x > {\log _a}x \Leftrightarrow \frac{{\ln x}}{{\ln c}} > 0 > \frac{{\ln x}}{{\ln b}} > \frac{{\ln x}}{{\ln a}}\]

\[ \Rightarrow \ln c < 0 < \ln a < \ln b\]

Mà hàm số\[y = \ln x\] đồng biến trên\[\left( {0; + \infty } \right)\] nên ta suy ra\[c < a < b\]

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: B

Có\[a = {\log _2}3 \Rightarrow {\log _3}2 = \frac{1}{a};b = {\log _5}3 \Rightarrow {\log _3}5 = \frac{1}{b}\]

\[{\log _6}45 = \frac{{{{\log }_3}45}}{{{{\log }_3}6}} = \frac{{{{\log }_3}\left( {{3^2}.5} \right)}}{{{{\log }_3}\left( {2.3} \right)}} = \frac{{2 + {{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}2 + 1}} = \frac{{2 + \frac{1}{b}}}{{\frac{1}{a} + 1}} = \frac{{2ab + a}}{{ab + b}}\]

Đáp án cần chọn là: C

Đăt \[{\log _2}3 = x\] Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{a = {{\log }_{12}}18 = \frac{{{{\log }_2}18}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {{{2.3}^2}} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{2^2}.3} \right)}} = \frac{{1 + 2{{\log }_2}3}}{{2 + {{\log }_2}3}} = \frac{{1 + 2x}}{{2 + x}}}\\{ \Rightarrow a\left( {2 + x} \right) = 1 + 2x \Rightarrow x\left( {a - 2} \right) = 1 - 2a}\\{ \Rightarrow {{\log }_2}3 = x = \frac{{1 - 2a}}{{a - 2}}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: C

\[a = lo{g_2}60 = lo{g_2}({2^2}.15) = 2 + lo{g_2}15 \Rightarrow lo{g_2}15 = a - 2\]

\[ \Rightarrow lo{g_2}5 = \frac{{lo{g_{15}}5}}{{lo{g_{15}}2}} = \frac{{lo{g_2}15}}{{lo{g_5}15}} = \frac{{a - 2}}{b}\]

\[b = lo{g_5}15 = lo{g_5}(3.5) = 1 + lo{g_5}3 \Rightarrow lo{g_5}3 = b - 1\]

\[lo{g_2}3 = lo{g_2}5.lo{g_5}3 = \frac{{a - 2}}{b}.(b - 1) = \frac{{ab - 2b - a + 2}}{b}\]

\[lo{g_2}12 = lo{g_2}({2^2}.3) = 2 + lo{g_2}3 = \frac{{ab - a + 2}}{b}\]

Đáp án cần chọn là: B

Có \[b = {\log _2}6 = 1 + {\log _2}3 \Rightarrow {\log _2}3 = b - 1\]

\[\begin{array}{l}{\log _3}90 = {\log _3}({3^2}.2.5) = 2 + {\log _3}2 + {\log _3}5 = 2 + \frac{1}{{{{\log }_2}3}} + \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} = 2 + \frac{{1 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}}\\ = 2 + \frac{{1 + a}}{{b - 1}} = \frac{{a + 2b - 1}}{{b - 1}}\end{array}\]Đáp án cần chọn là: B

Ta có: \[{\log _a}{a^2}{b^4} = {\log _a}{a^2} + {\log _a}{b^4} = 2{\log _a}a + 4{\log _a}b = 2 + 4p\]

Đáp án cần chọn là: B

Ta có\[80 = {4^2}.5;12 = 3.4\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_{12}}80 = {{\log }_{12}}{4^2} + {{\log }_{12}}5 = 2{{\log }_{12}}4 + {{\log }_{12}}5 = \frac{2}{{{{\log }_4}12}} + \frac{1}{{{{\log }_5}12}} = \frac{2}{{{{\log }_4}3 + 1}} + \frac{1}{{{{\log }_5}3 + {{\log }_5}4}}}\\{ = \frac{2}{{\frac{1}{a} + 1}} + \frac{1}{{\frac{b}{a} + b}} = \frac{{2a}}{{a + 1}} + \frac{a}{{b\left( {a + 1} \right)}} = \frac{{2ab + a}}{{ab + b}}}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

\[lo{g_{15}}20 = lo{g_{15}}({2^2}.5)\]

\[ = 2lo{g_{15}}2 + lo{g_{15}}5\]

\[ = \frac{2}{{lo{g_2}15}} + \frac{1}{{lo{g_5}15}}\]

\[ = \frac{2}{{lo{g_2}3 + lo{g_2}5}} + \frac{1}{{lo{g_5}3 + lo{g_5}5}}\]

\[ = \frac{2}{{\frac{1}{{lo{g_3}2}} + \frac{{lo{g_3}5}}{{lo{g_3}2}}}} + \frac{1}{{lo{g_5}3 + 1}}\]

\[ = \frac{{2lo{g_3}2}}{{1 + lo{g_3}5}} + \frac{1}{{\frac{1}{{lo{g_3}5}} + 1}}\]

\[ = \frac{{2lo{g_3}2}}{{1 + lo{g_3}5}} + \frac{{lo{g_3}5}}{{lo{g_3}5 + 1}}\]

\[ = \frac{{2lo{g_3}2 + lo{g_3}5}}{{lo{g_3}5 + 1}}\]

\[ = \frac{{lo{g_3}5 + 1 + 2lo{g_3}2 - 1}}{{lo{g_3}5 + 1}}\]

\[ = 1 + \frac{{2lo{g_3}2 - 1}}{{lo{g_3}5 + 1}}\]

\[ \Rightarrow a = 1,\,\,b = - 1,\,\,c = 1\]

Vậy \[T = a + b + c = 1 + \left( { - 1} \right) + 1 = 1.\]

Đáp án cần chọn là: D

\[\begin{array}{*{20}{l}}{P = {{\left( {\ln a + {{\log }_a}e} \right)}^2} + {{\ln }^2}a - \log _a^2e = {{\ln }^2}a + 2.\ln a.{{\log }_a}e + \log _a^2e + {{\ln }^2}a - \log _a^2e}\\{ = 2.{{\ln }^2}a + 2.\ln a.\frac{{\ln e}}{{\ln a}} = 2{{\ln }^2}a + 2}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

\[{\log _{10e}}x = \frac{1}{{{{\log }_x}10e}} = \frac{1}{{{{\log }_x}e + {{\log }_x}10}} = \frac{1}{{\frac{{\ln e}}{{\ln x}} + \frac{{\ln 10}}{{\ln x}}}} = \frac{{\ln x}}{{1 + \ln 10}} = \frac{{\ln 10.\log x}}{{1 + \ln 10}}\]

Suy ra\[{\log _{10e}}x = \frac{{ab}}{{1 + b}}\]

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: \[450 = 150.{e^{5r}}\]

\[ = > {e^{5r}} = 3 \Leftrightarrow 5r = \ln 3 = > r = \frac{{\ln 3}}{5}\]

Số lượng vi khuẩn sau 10 giờ tăng trưởng là:

\[S = 150.{e^{10.\frac{{\ln 3}}{5}}} = 150.{\left( {{e^{\ln 3}}} \right)^2} = {150.3^2} = 1350\] (con)

Đáp án cần chọn là: B

\[{a^2} + 4{b^2} = 12ab \Leftrightarrow {(a + 2b)^2} - 4ab = 12ab \Leftrightarrow {(a + 2b)^2} = 16ab\]

\[ \Rightarrow ln{(a + 2b)^2} = ln(16ab)\]

\[ \Rightarrow 2ln(a + 2b) = ln16 + lna + lnb\]

\[ \Rightarrow 2ln(a + 2b) - 4ln2 = lna + lnb\]

\[ \Rightarrow ln(a + 2b) - 2ln2 = \frac{1}{2}(lna + lnb)\]

Đáp án cần chọn là: C

\[ln\frac{{a + b}}{3} = \frac{{2lna + lnb}}{3}\]

\[ \Leftrightarrow 3ln\frac{{a + b}}{3} = 2lna + lnb\]

\[ \Leftrightarrow ln{(\frac{{a + b}}{3})^3} = ln{a^2} + lnb\]

\[ \Leftrightarrow ln\frac{{{{(a + b)}^3}}}{{27}} = ln({a^2}b)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{(a + b)}^3}}}{{27}} = {a^2}b\]

\[ \Leftrightarrow {(a + b)^3} = 27{a^2}b\]

\[ \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = 27{a^2}b\]

\[ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 24{a^2}b - 3a{b^2}\]

\[ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 3(8{a^2}b - a{b^2})\]

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

\[T = 2ln\sqrt {ex} - ln\frac{{{e^2}}}{{\sqrt x }} + ln3.lo{g_3}e{x^2}\]

\[ = 2ln\left( {{e^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{1}{2}}}} \right) - \left( {ln{e^2} - ln{x^{\frac{1}{2}}}} \right) + ln3.\frac{{ln(e.{x^2})}}{{ln3}}\]

\[ = 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}lnx) - (2 - \frac{1}{2}lnx) + lne + 2lnx\]

\[ = 2(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}.2) - (2 - \frac{1}{2}.2) + 1 + 2.2 = 7\]

Đáp án cần chọn là: A