50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 6)

Câu 1:

Một đội văn nghệ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần chọn ra một bạn nam và một bạn nữ để hát song ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A. 24

B. 10

$C . C_{10}^{2} .$

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

Số cách chọn một bạn nam và một bạn nữ để hát song ca là $C_{6}^{1} . C_{4}^{1} = 24$ cách

Câu 2:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = - 2$ và công bội q=3. Số hạng $u_{2}$ là

$A . u_{2} = - 6$

$B . u_{2} = 6$

$C . u_{2} = 1$

$D . u_{2} = - 18$

Xem đáp án

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$ .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f^{'} (x) < 0$ trên khoảng (0;1) $\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên (0;1).

Câu 4:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. 3

B. 0

C. -1

D. -2

Xem đáp án

Chọn B

Nhìn bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực tiểu là x=0.

Câu 5:

Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên dưới đây

Hàm số y=f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y=f(x) có ba điểm cực trị

Câu 6:

Các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ là:

A. x=2;y=1

B. x=-1;y=-2

C. x=1;y=-2

D. x=1;y=2

Xem đáp án

Chọn D

Đồ thị hàm phân thức $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có tiệm cận đứng là $x = - \frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang là $y = \frac{a}{c}$ .

Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là x=1; y=2.

Câu 7:

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào?

$A . y = - x^{3} + x^{2} - 1$

$B . y = x^{4} - x^{2} - 1$

$C . y = x^{3} - x^{2} - 1$

$D . y = - x^{4} + x^{2} - 1$

Xem đáp án

Chọn B

+ Dựa vào hình dạng đồ thị, ta thấy đây là hình dạng của đồ thị của hàm bậc bốn nên loại phương án A và phương án C.

+ Khi $x \to \pm \infty$ , $y \to \pm \infty$ suy ra a>0. Nên loại phương án D, chọn phương án B

Câu 8:

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} - 5$ và trục hoành là

A. 0

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 8 x$ . Cho $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 8 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \sqrt{2} \\ x = 0 \\ x = \sqrt{2} \end{array}$

Ta có bảng biến thiên của hàm số là:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2} - 5$ giao với y=0 (trục hoành) là 2 giao điểm.

Câu 9:

Với a là số thực dương tùy ý khác 1, ta có $\log_{3} (a^{2})$ bằng

$A . \log_{a} 9$

$B . 2 \log_{a} 3$

$C . \frac{2}{\log_{a} 3}$

$D . \frac{1}{2 \log_{a} 3}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\log_{3} (a^{2}) = \frac{1}{\log_{a^{2}} 3} = \frac{2}{\log_{a} 3} .$

Câu 10:

Tính đạo hàm của hàm số $y = \log_{5} (x^{2} + 1) .$

$A . y^{'} = \frac{2 x}{\ln 5}$

$B . y^{'} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

$C . y^{'} = \frac{1}{(x^{2} + 1) l n 5}$

$D . y^{'} = \frac{2 x}{(x^{2} + 1) l n 5}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $y = \log_{5} (x^{2} + 1) \Rightarrow y^{'} = \frac{2 x}{(x^{2} + 1) l n 5} .$

Câu 11:

Cho a là số dương tuỳ ý, $\sqrt[4]{a^{3}}$ bằng

$A . a^{\frac{4}{3}}$

$B . a^{- \frac{4}{3}}$

$C . a^{\frac{3}{4}}$

$D . a^{- \frac{3}{4}}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\sqrt[4]{a^{3}} = a^{\frac{3}{4}}$ .

Câu 12:

Tìm tập nghiệm S của phương trình $5^{2 x^{2} - x} = 5$ .

$A . S = ○$

$B . S = \{0; \frac{1}{2}\}$

$C . S = \{0; 2\}$

$D . S = \{- \frac{1}{2}; 1\}$

Xem đáp án

Chọn D

$5^{2 x^{2} - x} = 5 \Leftrightarrow 2 x^{2} - x = 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - \frac{1}{2} \end{array}$

Câu 13:

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $\log_{5} (x^{2} - 3 x + 5) = 1$ là

A. -3

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn D

ĐK $x \in ℝ$ vì $x^{2} - 3 x + 5 > 0, \forall x \in ℝ$

$\log_{5} (x^{2} - 3 x + 5) = 1 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 5 = 5 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = 0 \end{array}$ .

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình $\log_{5} (x^{2} - 3 x + 5) = 1$ là 0.

Câu 14:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} + \cos x$ là

$A . e^{x} - \sin x + C$

$B . \frac{1}{x + 1} e^{x + 1} + \sin x + C$

$C . x e^{x - 1} - \sin x + C$

$D . e^{x} + \sin x + C$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\int (e^{x} + \cos x) d x = e^{x} + \sin x + C$

Câu 15:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2}{4 x - 3}$

$A . \int \frac{2}{4 x - 3} d x = \frac{1}{4} \ln |4 x - 3| + C$

$B . \int \frac{2}{4 x - 3} d x = \frac{1}{2} \ln |2 x - \frac{3}{2}| + C$

$C . \int \frac{2}{4 x - 3} d x = 2 \ln |4 x - 3| + C$

$D . \int \frac{2}{4 x - 3} d x = 2 \ln |2 x - \frac{3}{2}| + C$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\int \frac{2}{4 x - 3} d x = \int \frac{1}{2 x - \frac{3}{2}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d (2 x - \frac{3}{2})}{2 x - \frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \ln |2 x - \frac{3}{2}| + C$

Câu 16:

Nếu $\int_{2}^{5} f (x) d x = 3$ và $\int_{5}^{7} f (x) d x = 9$ thì $\int_{2}^{7} f (x) d x$ bằng bao nhiêu?

A. 3

B. 6

C. 12

D. -6

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\int_{2}^{7} f (x) d x = \int_{2}^{5} f (x) d x + \int_{5}^{7} f (x) d x = 3 + 9 = 12$

Câu 17:

Giá trị của $\int_{0}^{3} d x$ bằng

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\int_{0}^{3} d x = {x|}_{0}^{3} = 3 - 0 = 3$

Câu 18:

Số phức liên hợp của số phức z=-2+3i

$A . \bar{z} = 2 + 3 i$

$B . \bar{z} = 2 - 3 i$

$C . \bar{z} = - 2 + 3 i$

$D . \bar{z} = - 2 - 3 i$

Xem đáp án

Chọn D

Số phức liên hợp của số phức z=-2+3i là $\bar{z} = - 2 - 3 i$ .

Câu 19:

Cho hai số phức $z_{1} = 3 + 2 i$ và $z_{2} = 1 - i$ . Phần ảo của số phức $z_{1} - z_{2}$ bằng

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $z_{1} - z_{2} = (3 + 2 i) - (1 - i) = 2 + 3 i$ . Vậy phần ảo của số phức $z_{1} - z_{2}$ bằng 3.

Câu 20:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 + 2 i$ và $z_{2} = 2 - i$ . Điểm biểu diễn số phức $z_{1} + z_{2}$ trên mặt phẳng tọa độ là điểm nào dưới đây?

A. Q(4;1)

B. P(0;3)

C. N(4;-1)

D. M(0;-3)

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $z_{1} + z_{2} = 4 + i$ . Suy ra điểm biểu diễn số phức $z_{1} + z_{2}$ là điểm Q(4;1).

Câu 21:

Thể tích của khối hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh lần lượt là 1;2;3

A. 6

B. 5

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

V=1.2.3=6

Câu 22:

Khối chóp có diện tích đáy là B, chiều cao bằng h. Thể tích V của khối chóp là

$A . V = \frac{1}{6} B h$

$B . V = \frac{1}{2} B h$

$C . V = B h$

$D . V = \frac{1}{3} B h$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 23:

Cho khối nón có bán kính đáy $r = \sqrt{3}$ và chiều cao h=4. Tính thể tích V của khối nón đã cho

$A . V = \frac{16 π \sqrt{3}}{3}$

$B . V = 4 π$

$C . V = 16 π \sqrt{3}$

$D . V = 12 π$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $V = \frac{1}{3} π . r^{2} . h = \frac{1}{3} π {(\sqrt{3})}^{2} .4 = 4 π$

Câu 24:

Cho hình trụ có bán kính đáy r và độ dài đường sinh là l. Thể tích khối trụ là:

$A . V = \frac{π r l^{2}}{3}$

$B . V = π r l^{2}$

$C . V = π r^{2} l$

$D . V = \frac{π r^{2} l}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Chiều cao của khối trụ là h=l.

Thể tích của khối trụ: $V = π r^{2} h$ .

Câu 25:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\vec{a} = - \vec{i} + 2 \vec{j} - 3 \vec{k}$ . Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là

A. (-1;2;-3)

B. (2;-3;-1)

C. (2;-1;-3)

D. (-3;2;-1)

Xem đáp án

Chọn A

Theo định nghĩa tọa độ của vectơ, ta có: $\vec{a} = - \vec{i} + 2 \vec{j} - 3 \vec{k} \Rightarrow \vec{a} = (- 1; 2; - 3)$ .

Câu 26:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z + 5 = 0$ . Tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S) bằng:

$A . I (2, - 2, - 3); R = 1$

$B . I (2, - 1, - 3); R = 3$

$C . I (- 2, 1, - 3); R = 1$

$D . I (2, - 1, 3); R = 3$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z + 5 = 0$

Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;3). Bán kính $R = \sqrt{{(2)}^{2} + {(- 1)}^{2} + 3^{2} - 5} = 3$ .

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;0;0) và vectơ $\vec{n} (0; 1; 1)$ . Phương trình mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ và đi qua điểm A là

$A . (α) : x = 0 .$

$B . (α) : y + z + 2 = 0 .$

$C . (α) : y + z = 0$

$D . (α) : 2 x - y - z = 0 .$

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình của $(α) : 0 (x + 2) + 1 (y - 0) + 1 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow y + z = 0$

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(3;-2;0). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:

$A . \vec{u} = (- 1; 2; 1)$

$B . \vec{u} = (1; 2; - 1)$

$C . \vec{u} = (2; - 4; 2)$

$D . \vec{u} = (2; 4; - 2)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\vec{A B} = (2; - 4; - 2) = - 2 (- 1; 2; 1)$

Câu 29:

Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là:

$A . \frac{9}{30}$

$B . \frac{12}{30}$

$C . \frac{10}{30}$

$D . \frac{6}{30}$

Xem đáp án

Chọn A

$n (Ω) = C_{5}^{2} = 10$ . Gọi A:”Lấy được hai quả màu trắng”.

Ta có $n (A) = C_{3}^{2} = 3$ . Vậy $P (A) = \frac{3}{10} = \frac{9}{30}$ .

Câu 30:

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 10$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

$A . (- \infty; 2)$

$B . (- \infty; 0); (2; + \infty)$

C. (0;2)

$D . (0; + \infty)$

Xem đáp án

Câu 31:

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ trên đoạn [-2;1]. Tổng M+m bằng:

A. 4 và -5

B. 7 và -10

C. 1 và -2

D. 0 và -1

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $y^{'} = 6 x^{2} + 6 x$ , cho $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \end{array}$ .

Ta có $y (- 2) = - 5$ , y(-1)=0, y(0)=-1, y(1)=4.

Vậy $M = \max_{[- 2; 1]} y = y (1) = 4$ và $m = \min_{[- 2; 1]} y = y (- 2) = - 5$ .

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3 - \sqrt{5}} (2 x - 3) \geq 0$ là

$A . (- \infty; 2]$

$B . (\frac{3}{2}; 2]$

$C . [2; + \infty)$

$D . (- \infty; \frac{5 - \sqrt{3}}{2}]$

Xem đáp án

Chọn B

Điều kiện: $x > \frac{3}{2}$ .

Do $0 < 3 - \sqrt{5} < 1$ nên $\log_{3 - \sqrt{5}} (2 x - 3) \geq 0 \Leftrightarrow 2 x - 3 \leq 1 \Leftrightarrow x \leq 2$ .

Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $(\frac{3}{2}; 2]$ .

Câu 33:

Cho $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ , $\int_{0}^{2} g (x) d x = - 1$ thì $\int_{0}^{2} [f (x) - 5 g (x) + x] d x$ bằng:

A. 12

B. 0

C. 8

D. 12

Xem đáp án

Chọn D

$\int_{0}^{2} [f (x) - 5 g (x) + x] d x = \int_{0}^{2} f (x) d x - 5 \int_{0}^{2} g (x) d x + \int_{0}^{2} x d x$ $= 3 + 5 + 2 = 10$

Câu 34:

Cho số phức z thỏa mãn: $z (2 - i) + 13 i = 1$ . Tính mô đun của số phức z.

$A . |z| = 34$

$B . |z| = \sqrt{34}$

$C . |z| = \frac{\sqrt{34}}{3}$

$D . |z| = \frac{5 \sqrt{34}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $z (2 - i) + 13 i = 1 \Rightarrow z = \frac{1 - 13 i}{2 - i} \Rightarrow |z| = \frac{|1 - 13 i|}{|2 - i|} = \sqrt{34}$ .

$\Rightarrow |z| = \sqrt{{(\frac{- 11}{5})}^{2} + {(\frac{27}{5})}^{2}} \Rightarrow |z| = \sqrt{\frac{850}{25}} = \sqrt{34}$ .

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, $A C = a \sqrt{2}$ . SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), $S A = a \sqrt{3}$ (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng

$A . 30^{o}$

$B . 45^{o}$

$C . 60^{o}$

$D . 90^{o}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $S B \cap (A B C D) = B$ ; $S A ⊥ (A B C D)$ tại A.

$\Rightarrow$ Hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABCD) là AB.

$\Rightarrow$ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là $α = \hat{S B A}$ .

Do ABCD là hình vuông và $A C = \sqrt{2} a$ nên $A B = \frac{A C}{\sqrt{2}} = a$ .

Suy ra $\tan \hat{S B A} = \frac{S A}{A B} = \sqrt{3}$

Do đó: $α = \hat{S B A} = 60^{o}$ .

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng $60^{o}$ .

Câu 36:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đáy đều bằng a và các cạnh bên đều bằng 2a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)

$A . \frac{a \sqrt{14}}{2}$

$B . \frac{a \sqrt{14}}{4}$

$C . a \sqrt{2}$

$D . \frac{7 a}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

$d (S, (A B C D)) = S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{14}}{2}$ .

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-2;0;1), B(2;-1;2). Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là

$A . x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \sqrt{24}$

$B . x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = \sqrt{6}$

$C . x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24$

$D . x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi I là trung điểm của AB khi đó $\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = 0 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = 0 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = 1 \end{cases} \Rightarrow I (0; 0; 1)$ .

$I A = \sqrt{{(0 + 2)}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}} = \sqrt{6}$ .

Mặt cầu đường kính AB nhận điểm I(0;0;1) làm tâm và bán kính $R = I A = \sqrt{6}$ có phương trình là: $x^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6$ .

Câu 38:

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1;2;-3) và B(3;-1;1) là

$A . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = - 1 - 3 t \end{cases}$

$B . \{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = - 2 - t \\ z = - 3 + t \end{cases}$

$C . \{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = - 2 - 3 t \\ z = 3 + 4 t \end{cases}$

$D . \{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = 5 - 3 t \\ z = - 7 + 4 t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\vec{A B} = (2; - 3; 4)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Loại đáp án A, B.

Thế tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d: $\{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = 5 - 3 t \\ z = - 7 + 4 t \end{cases}$ .

Ta có: $\{\begin{cases} 1 = - 1 + 2 t \\ 2 = 5 - 3 t \\ - 3 = - 7 + 4 t \end{cases} \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A \in d$ .

Vậy phương trình tham số của đường thẳng (d) là $\{\begin{cases} x = - 1 + 2 t \\ y = 5 - 3 t \\ z = - 7 + 4 t \end{cases}$ .

Câu 39:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Đặt $g (x) = f (x + 2) + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2019$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số y=g(x) đạt cực đại tại x=1.

B. Hàm số y=g(x) có 1 điểm cực trị

C. Hàm số y=g(x) nghịch biến trên khoảng (1;4).

$D . g (5) > g (6)$ và $g (0) > g (1)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $y^{'} = f^{'} (x + 2) + x^{2} - 4 x + 3$

$f^{'} (x + 2) = 0 \Leftrightarrow x \in \{- 1; 1; 3\}$

$x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \lor x = 3$ .

Ta có bảng xét dấu:

(kxđ: không xác định)

Dựa vào bảng xét dấu, ta suy ra g(x) đạt cực đại tại x=1.

Câu 40:

Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình $\log (2 x^{2} + 3) > \log (x^{2} + m x + 1)$ có tập nghiệm là $ℝ$ .

$A . - 2 < m < 2$

$B . m < 2 \sqrt{2}$

$C . - 2 \sqrt{2} < m < 2 \sqrt{2}$

D. m<2

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\log (2 x^{2} + 3) > \log (x^{2} + m x + 1)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + m x + 1 > 0 \\ 2 x^{2} + 3 > x^{2} + m x + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + m x + 1 > 0 \\ x^{2} - m x + 2 > 0 \end{cases} (*)$ .

Để bất phương trình $\log (2 x^{2} + 3) > \log (x^{2} + m x + 1)$ có tập nghiệm là $ℝ$ thì hệ (*) có tập nghiệm là $ℝ$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ_{1} = m^{2} - 4 < 0 \\ Δ_{2} = m^{2} - 8 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 2 < m < 2$ .

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 3 k h i x \geq 1 \\ 5 - x k h i x < 1 \end{cases}$ . Tính $I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x + 3 \int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d x$

$A . I = \frac{71}{6}$

B. I=31

C. I=32

$D . I = \frac{32}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

+ Xét tích phân: $I_{1} = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x$ .

Đặt: $t = \sin x \Rightarrow d t = \cos x d x$ .

Đổi cận: với x=0 thì t=0, với $x = \frac{π}{2}$ thì t=1.

$I_{1} = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x = 2 \int_{0}^{1} f (t) d t = 2 \int_{0}^{1} f (x) d x = 2 \int_{0}^{1} (5 - x) d x = {(10 x - x^{2})|}_{0}^{1} = 9$ .

+ Xét tích phân: $I_{2} = 3 \int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d x$ .

Đặt: $t = 3 - 2 x \Rightarrow d t = - 2 d x \Rightarrow d x = - \frac{1}{2} d t$

Đổi cận: với x=0 thì t=3, với x=1 thì t=1.

$\begin{array}{l} I_{2} = 3 \int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d x = - \frac{3}{2} \int_{3}^{1} f (t) d t = - \frac{3}{2} \int_{3}^{1} f (x) d x \\ = - \frac{3}{2} \int_{3}^{1} (x^{2} + 3) d x = {(- \frac{1}{2} x^{3} - \frac{9}{2} x)|}_{3}^{1} = 22. \end{array}$

Vậy: $I = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\sin x) \cos x d x + 3 \int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d x = 9 + 22 = 31$ .

Câu 42:

Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn $z + 2 \bar{z} = {(2 - i)}^{3} (1 - i)$

A. -9

B. 13

C -13

D. 9

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $z + 2 \bar{z} = {(2 - i)}^{3} (1 - i) \Leftrightarrow z + 2 \bar{z} = - 9 - 13 i$ .

Đặt $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ . Khi đó $(a + b i) + 2 (a - b i) = - 9 - 13 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a = - 9 \\ - b = - 13 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 3 \\ b = 13 \end{cases}$ .

Câu 43:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $60 °$ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

$A . \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

$B . \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

$C . \frac{a^{3}}{6}$

$D . \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\hat{S B O} = 60 °$ .

$S O = O B . \tan 60 ° = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \tan 60 ° = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

$S_{A B C D} = a^{2}$

Suy ra $V_{S A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$ .

Câu 44:

Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/ $m^{2}$ . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

A. 7.862.000 đồng

B. 7.653.000 đồng

C. 7.128.000 đồng

D. 7.826.000 đồng

Xem đáp án

Chọn B

Giả sử elip có phương trình $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , với a>b>0.

Từ giả thiết ta có $2 a = 16 \Rightarrow a = 8$ và $2 b = 10 \Rightarrow b = 5$

Vậy phương trình của elip là $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{25} = 1 \Rightarrow [\begin{array}{l} y = - \frac{5}{8} \sqrt{64 - y^{2}} (E_{1}) \\ y = \frac{5}{8} \sqrt{64 - y^{2}} (E_{1}) \end{array}$

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường $(E_{1}); (E_{2}); x = - 4; x = 4$ và diện tích của dải vườn là $S = 2 \int_{- 4}^{4} \frac{5}{8} \sqrt{64 - x^{2}} d x = \frac{5}{2} \int_{0}^{4} \sqrt{64 - x^{2}} d x$

Tính tích phân này bằng phép đổi biến x=8sint, ta được $S = 80 (\frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4})$

Khi đó số tiền là $T = 80 (\frac{π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}) .100000 = 7652891, 82 ≃ 7.653.000$ .

Câu 45:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3}$ và mặt phẳng $(P) : x - y - z - 1 = 0$ . Phương trình đường thẳng $∆$ đi qua A(1;1;-2), song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d là

$A . Δ : \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 2}{- 3}$

$B . Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 2}{- 3}$

$C . Δ : \frac{x + 1}{- 2} = \frac{y + 1}{- 5} = \frac{z - 2}{3}$

$D . Δ : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y - 1}{- 5} = \frac{z + 2}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

$∆$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 5; - 3)$ và đi qua A(1;1;-2) nên có phương trình: $Δ : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 2}{- 3}$

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình bên.

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |f (x - 2018) + m|$ có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các giá trị của tập S bằng

A. 9

B. 7

C. 18

D. 12

Xem đáp án

Chọn D

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x - 2018) + m$ là 3.

Đồ thị hàm số $y = |f (x - 2018) + m|$ có 5 điểm cực trị

$\Leftrightarrow$ đường thẳng y=0 cắt đồ thị hàm số $y = f (x - 2018) + m$ tại 2 điểm ( không tính giao điểm là điểm cực trị của đồ thị hàm số).

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 6 < - m \leq - 3 \\ - m \geq 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 \leq m < 6 \\ m \leq - 2 \end{array}$ .

Do m nguyên dương nên $m \in \{3; 4; 5\} \Rightarrow S = \{3; 4; 5\}$ .

Vậy tổng tất cả các giá trị của tập S bằng: $3 + 4 + 5 = 12$ .

Câu 47:

Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn $\log_{3}^{} (x + y) = \log_{4}^{} (x^{2} + y^{2})$ ?

A. 3

B. 2

C. 1

D. Vô số

Xem đáp án

Chọn B

Điều kiện $x + y > 0; x^{2} + y^{2} > 0.$

Đặt $t = \log_{3}^{} (x + y) = \log_{4}^{} (x^{2} + y^{2})$ . Ta có $\{\begin{cases} x + y = 3^{t} \\ x^{2} + y^{2} = 4^{t} \end{cases} (1)$

Vì ${(x + y)}^{2} \leq 2 (x^{2} + y^{2}) \Rightarrow {(3^{t})}^{2} \leq {2.4}^{t} \Rightarrow t \leq \log_{\frac{9}{4}}^{} 2$

Thế thì $x^{2} + y^{2} = 4^{t} \leq 4^{\log_{\frac{9}{4}}^{} 2} \approx 3, 27$ , vì x nguyên vậy nên $x^{2} \in \{0; 1\}$ .

 Với x=0, ta có hệ $\{\begin{cases} y = 3^{t} \\ y^{2} = 4^{t} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = 0 \\ y = 1 \end{cases}$

 Với x=1, ta có hệ $\{\begin{cases} y = 3^{t} - 1 \\ y^{2} = 4^{t} - 1 \end{cases} .$ Hệ này có nghiệm $\{\begin{cases} t = 0 \\ y = 0 \end{cases} .$

 Với x=-1, ta có hệ $\{\begin{cases} y = 3^{t} + 1 \\ y^{2} = 4^{t} - 1 \end{cases} .$ Ta có phương trình ${(3^{t} + 1)}^{2} = 4^{t} - 1 \Leftrightarrow 9^{t} + {2.3}^{t} - 4^{t} + 2 = 0 (*)$

Đặt $f (t) = 9^{t} + {2.3}^{t} - 4^{t} + 2$ , ta có

Với $t \geq 0 \Rightarrow 9^{t} \geq 4^{t} \Rightarrow f (t) > 0$

Với $t < 0 \Rightarrow 4^{t} < 2 \Rightarrow f (t) > 0$

Vậy phương trình (*) vô nghiệm

Kết luận: Vậy $x \in \{0; 1\}$

Câu 48:

Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số y=f'(x) trên đoạn $[- 2; 1]$ và [1;4] lần lượt bằng 9 và 12. Cho f(1)=3. Giá trị biểu thức $f (- 2) + f (4)$ bằng

A. 21

B. 9

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Theo giả thiết ta có $\int_{- 2}^{1} |f^{'} (x)| d x = 9$ và $\int_{1}^{4} |f^{'} (x)| d x = 12$ .

Dựa vào đồ thị ta có: $\int_{- 2}^{1} |f^{'} (x)| d x = - \int_{- 2}^{1} f^{'} (x) d x = {- f (x)|}_{- 2}^{1} = - f (- 1) + f (- 2) \Rightarrow - f (1) + f (- 2) = 9$ .

Tương tự ta có $- f (4) + f (1) = 12$ .

Như vậy $[- f (1) + f (- 2)] - [- f (4) + f (1)] = - 3 \Leftrightarrow f (- 2) + f (4) - 2 f (1) = - 3$

$\Leftrightarrow f (- 2) + f (4) - 6 = - 3 \Leftrightarrow f (- 2) + f (4) = 3$ .

Câu 49:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|\frac{z + 2 - i}{\bar{z} + 1 - i}| = \sqrt{2}$ . Tìm giá trị lớn nhất của $|z|$

$A . 3 + \sqrt{10}$

$B . - 3 - \sqrt{10}$

$C . - 3 + \sqrt{10}$

$D . 3 - \sqrt{10}$

Xem đáp án

Chọn A

Giả sử $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ .

Ta có $|\frac{z + 2 - i}{\bar{z} + 1 - i}| = \sqrt{2} \Leftrightarrow |z + 2 - i| = \sqrt{2} . |\bar{z} + 1 - i|$ $\Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 [{(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2}]$

$\Leftrightarrow x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 10$ (*) $\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 1 - 6 y \Leftrightarrow | z | = \sqrt{1 - 6 y}$ .

Từ (*) dễ thấy $y \in [- 3 - \sqrt{10}; - 3 + \sqrt{10}] \Rightarrow {(\sqrt{10} - 3)}^{2} \leq 1 - 6 y \leq {(\sqrt{10} + 3)}^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{10} - 3 \leq |z| \leq \sqrt{10} + 3$

Vậy $\max |z| = 3 + \sqrt{10}$ .

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;1;-3), B(0;-2;3) và mặt cầu $(S) : {(x + 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 3)}^{2} = 1$ . Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu (S), giá trị lớn nhất của $M A^{2} + 2 M B^{2}$ bằng

A. 102

B. 78

C. 84

D. 52

Xem đáp án

Chọn C

Xét điểm C thỏa $\vec{C A} + 2 \vec{C B} = \vec{0}$ . Ta có

$\vec{O C} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + 2 \vec{O B}) \Rightarrow C (1; - 1; 1)$ .

$C A^{2} = 24$ , $C B^{2} = 6$ .

Mặt cầu (S) có tâm I(-1;0;3) và bán kính R=1.

Suy ra $M A^{2} + 2 M B^{2} = {(\vec{M C} + \vec{C A})}^{2} + 2 {(\vec{M C} + \vec{C B})}^{2}$ $= 3 M C^{2} + C A^{2} + 2 C B^{2} = 3 M C^{2} + 36$ .

Mà $M C - M I \leq C I \Rightarrow M C \leq C I + R = 4$ (Dấu bằng xảy ra khi M trùng với $M_{0}$ trên hình vẽ).

Vậy $\max (M A^{2} + 2 M B^{2}) = 3.16 + 36 = 84$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 6)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan