50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 16)

Câu 1:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên:

Ta thấy hàm số có điểm cực trị là $x = 0; x = 1.$

Câu 2:

Cho điểm $A (- 2; - 1; 3)$ , $B (2; 3; 1)$ , $C (1; 2; 3)$ , $D (- 4; 1; 3)$ . Hỏi có bao nhiêu điểm trong bốn điểm đã cho thuộc mặt phẳng $(α) : x + y + 3 z - 6 = 0$ ?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Câu 3:

Thể tích của khối trụ có chu vi đáy bằng $4 π a$ và độ dài đường cao bằng a là

A. $\frac{4}{3} π a^{3}$

B. $π a^{2}$

C. $4 π a^{3}$

D. $16 π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có chu vi đáy bằng $4 π a$ nên bán kính đáy khối trụ bẳng $2 a$ .

Vậy thể tích khối trụ là $V = B . h = π {(2 a)}^{2} . a = 4 π a^{3}$

Câu 4:

Nếu $\int_{1}^{3} f (x) d x = 2$ thì $\int_{1}^{3} 3 f (x) d x$ bằng

A. 6

B. 8

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\int_{1}^{3} 3 f (x) d x = 3 \int_{1}^{3} f (x) d x = 6$

Câu 5:

Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2}$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào đồ thị ta thấy $a < 0, c = 0$ nên chỉ có đáp án B thỏa mãn

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 5 - 3 t \end{cases} (t \in ℝ)$ có véc tơ chỉ phương là

A. $\vec{a} (- 2; 1; 5)$

B. $\vec{a} (- 1; - 2; 3)$

C. $\vec{a} (1; 2; 3)$

D. $\vec{a} (2; 4; 6)$

Xem đáp án

Chọn B

Từ pt ta có vtcp $\vec{a} = (1; 2; - 3)$ .

Câu 7:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(2; 4)$

B. $(0; 3)$

C. $(2; 3)$

D. $(- 1; 4)$

Xem đáp án

Chọn C

Từ hình vẽ ta thấy, đồ thị hàm số y=f(x) đi từ dưới lên trên, từ trái sang phải trên khoảng $(2; 3)$ . Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(2; 3)$

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (1; - 2; 0)$ ; $B (3; 2; - 8)$ . Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

A. $\vec{u} = (- 1; 2; - 4)$

B. $\vec{u} = (1; - 2; - 4)$

C. $\vec{u} = (1; 2; - 4)$

D. $\vec{u} = (2; 4; 8)$

Xem đáp án

Chọn C

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\vec{A B} = (2; 4; - 8)$ , hay đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; 2; - 4)$ .

Câu 9:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và $u_{2} = 6$ . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 3

B. -4

C. 8

D. 4

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $u_{2} = 6 \Leftrightarrow$ $6 = u_{1} + d$ $\Leftrightarrow d = 4$

Câu 10:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 - 2 i$ , $z_{2} = - 3 + 3 i$ . Khi đó $z_{1} - z_{2}$ bằng

A. $5 - 5 i$

B. $- 5 i$

C. $- 5 + 5 i$

D. $- 1 + i$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $z_{1} - z_{2} = (2 - 2 i) - (- 3 + 3 i) = 5 - 5 i$

Câu 11:

Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên hàm của hàm số $y = x^{2019} ?$

A. $\frac{x^{2020}}{2020}$

B. $y = 2019 x^{2018}$

C. $\frac{x^{2020}}{2020} - 1$

D. $\frac{x^{2020}}{2020} + 1$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\int x^{2019} d x = \frac{x^{2020}}{2020} + C$ . Vậy hàm số $y = 2019 x^{2018}$ không là nguyên hàm của hàm số đã cho.

Câu 12:

Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có 3 đỉnh đều thuộc tập hợp P là

A. $A_{10}^{7}$

B. $10^{3}$

C. $A_{10}^{3}$

D. $C_{10}^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Số tam giác có 3 đỉnh đều thuộc tập hợp P là: $C_{10}^{3}$ .

Câu 13:

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 3}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và ngang?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 3}$ là hàm bậc nhất trên bậc nhất nên nó có hai tiệm cần gồm: Một tiệm cận đứng $x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ và một tiệm cận ngang $y = \frac{2}{1} = 2$

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 10 y - 6 z + 49 = 0$ . Tính bán kính R của mặt cầu (S).

A. $R = \sqrt{99}$

B. $R = 1$

C. $R = 7$

D. $R = \sqrt{151}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 10 y - 6 z + 49 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} + 10 y + 25 + z^{2} - 6 z + 9 = 1$

$\Leftrightarrow {(x - 4)}^{2} + {(y + 5)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 1$

Vậy mặt cầu có bán kính $R = 1$

Câu 15:

Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức $z = 1 + 3 i ?$

A. Điểm P

B. Điểm Q

C. Điểm M

D. Điểm N

Xem đáp án

Chọn C

Theo Sách Giáo Khoa Giải Tích 12: Điểm $M (a; b)$ là điểm biểu diễn của số phức $Z = a + b i$ . Vậy điểm $M (1; 3)$ là điểm biểu diễn của số phức $z = 1 + 3 i$

Câu 16:

Nghiệm của phương trình $2^{x} = 3$ .

A. $x = \log_{2} 3$

B. $x = \log_{3} 2$

C. $x = 2^{3}$

D. $x = 3^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $2^{x} = 3$ .

$\Leftrightarrow x = \log_{2} 3$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \log_{2} 3$ .

Câu 17:

Cho a là số thực dương. Giá trị rút gọn của biểu thức $P = a^{\frac{4}{3}} \sqrt{a}$ bằng

A. $a^{\frac{5}{6}}$

B. $a^{\frac{11}{6}}$

C. $a^{\frac{10}{3}}$

D. $a^{\frac{7}{3}}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $P = a^{\frac{4}{3}} \sqrt{a} = a^{\frac{4}{3}} . a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{11}{6}}$

Câu 18:

Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết $A B, A C, A D$ đôi một vuông góc và lần lượt có độ dài bằng $2, 3, 4$ .

A. 4

B. 3

C. 24

D. 8

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $V_{A B C D} = \frac{1}{6} A B . A C . A D = \frac{1}{6} .2.3.4 = 4$ (đvtt).

Câu 19:

Tính thể tích V của khối nón có chiều cao $h = a$ và bán kính đáy $r = a \sqrt{3}$ .

A. $V = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $V = π a^{3}$

C. $V = \frac{π a^{3}}{3}$

D. $V = 3 π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích của khối nón là $V = \frac{π}{3} h r^{2} = π a^{3}$ (đvtt).

Câu 20:

Cho hàm số $f (x) = e^{2 x + 1}$ . Ta có $f' (0)$ bằng

A. $2 e^{3}$

B. $2$

C. $2 e$

D. e

Xem đáp án

Chọn C

Áp dụng công thức $(e^{u})' = u' . e^{u}$ . Ta có $f^{'} (x) = (e^{2 x + 1})' = 2 e^{2 x + 1} \Rightarrow f^{'} (0) = 2 e .$

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (1; 1; 1)$ và $I (1; 2; 3) .$ Phương trình của mặt cầu tâm I và đi qua A là

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 5.$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5.$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25.$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 29.$

Xem đáp án

Chọn A

Mặt cầu tâm $I (1; 2; 3)$ và đi qua $A (1; 1; 1)$ có bán kính:

$R = I A = \sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(1 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2}} = \sqrt{5} .$

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 5.$

Câu 22:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = {(x + 1)}^{2} {(x - 2)}^{3} (2 x + 3), \forall x \in ℝ$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $f^{'} (x) = {(x + 1)}^{2} {(x - 2)}^{3} (2 x + 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \\ x = \frac{- 3}{2} \end{array}$

Xét dấu $f^{'} (x)$ :

Từ bảng xét dấu $f^{'} (x)$ suy ra hàm số có 2 điểm cực trị

Câu 23:

Cho các số thực dương a,b thỏa mãn $3 \log a + 2 \log b = 1$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $3 a + 2 b = 10$

B. $a^{3} b^{2} = 10$

C. $a^{3} + b^{2} = 10$

D. $a^{3} + b^{2} = 1$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $3 \log a + 2 \log b = 1 \Leftrightarrow \log a^{3} + \log b^{2} = 1 \Leftrightarrow \log (a^{3} b^{2}) = 1 \Leftrightarrow a^{3} b^{2} = 10$

Câu 24:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $3 z - (4 + 5 i) \bar{z} = - 17 + 11 i .$ Tính $a b .$

A. $a b = - 3.$

B. $a b = 3.$

C. $a b = 6.$

D. $a b = - 6.$

Xem đáp án

Chọn C

Theo bài ra ta có $3 z - (4 + 5 i) \bar{z} = - 17 + 11 i \Leftrightarrow 3 (a + b i) - (4 + 5 i) (a - b i) = - 17 + 11 i$

$\Leftrightarrow 3 a + 3 b i - (4 a - 4 b i + 5 a i + 5 b) = - 17 + 11 i$

$\Leftrightarrow 3 a + 3 b i - 4 a + 4 b i - 5 a i - 5 b = - 17 + 11 i$

$\Leftrightarrow - a - 5 b + 7 b i - 5 a i = - 17 + 11 i$

$\Leftrightarrow (- a - 5 b) + (- 5 a + 7 b) i = - 17 + 11 i$ $\Rightarrow \{\begin{cases} - a - 5 b = - 17 \\ - 5 a + 7 b = 11 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 3 \end{cases}$

Do đó $a b = 6.$

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng Oz có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = t \\ z = t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn D

Chọn điểm $A (0; 0; 1) \in O z$ . Vậy đường thẳng $O z$ đi qua $A (0; 0; 1)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = \vec{O A} = (0; 0; 1)$

=> Suy ra phương trình tham số đường thẳng $O z$ là $\{\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

Câu 26:

Tập hợp tất cả các số thực m để phương trình $\log_{2} x = m$ có nghiệm là

A. $ℝ$

B. $[0; + \infty)$

C. $(- \infty; 0)$

D. $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: Phương trình $\log_{2} x = m$ (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường, đường cong $(C) : y = \log_{2} x$ và đường thẳng $d : y = m$ nên số giao điểm của chúng chính là số nghiệm của phương trình (*).

Ta có: $y^{'} = {(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x . \ln 2} > 0, \forall x \in (0; + \infty)$ $\Rightarrow$ Hàm số $y = \log_{2} x$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = \log_{2} x$ , ta thấy đường cong $(C) : y = \log_{2} x$ và đường thẳng $d : y = m$ luôn cắt nhau $\forall m \in ℝ$ .

Vậy tập nghiệm của phương trình $\log_{2} x = m$ là $ℝ$ .

Câu 27:

Tính thể tích V của khối lăng trụ có đáy là một lục giác đều cạnh a và chiều cao của khối lăng trụ 4a.

A. $V = 12 a^{3} \sqrt{3}$

B. $V = 6 a^{3} \sqrt{3}$

C. $V = 2 a^{3} \sqrt{3}$

D. $V = 24 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 28:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} 2^{2018 x} d x$ .

A. $I = \frac{2^{4036} - 1}{\ln 2} .$

B. $I = \frac{2^{4036} - 1}{2018} .$

C. $I = \frac{2^{4036}}{2018 \ln 2} .$

D. $I = \frac{2^{4036} - 1}{2018 \ln 2} .$

Xem đáp án

Chọn D

$I = {\frac{2^{2018 x}}{\ln 2^{2018}}|}_{0}^{2} = \frac{2^{4036} - 1}{\ln 2^{2018}} = \frac{2^{4036} - 1}{2018 \ln 2}$

Câu 29:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2^{x^{2} + 3 x} \leq 16$ là

A. 3

B. 5

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $2^{x^{2} + 3 x} \leq 16 \Leftrightarrow 2^{x^{2} + 3 x} \leq 2^{4} \Leftrightarrow x^{2} + 3 x \leq 4 \Leftrightarrow x^{2} + 3 x - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq x \leq 1$ .

Do đó số nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là 6.

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).

A. $d = \sqrt{2}$

B. $d = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

C. $d = \frac{\sqrt{21}}{7}$

D. $d = 1$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi H là trung điểm AB, suy ra $S H ⊥ A B .$ Do đó $S H ⊥ (A B C D) .$

Do $A H ∥ C D$ nên $d [A, (S C D)] = d [H, (S C D)] .$

Gọi E là trung điểm CD; K là hình chiếu vuông góc của H trên SE.

Khi đó $d [H, (S C D)] = H K = \frac{S H . H E}{\sqrt{S H^{2} + H E^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} .$

Vậy $d [A, (S C D)] = H K = \frac{\sqrt{21}}{7} .$

Câu 31:

Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 bông hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 bông từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ. Xác suất để 7 bông hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly là

A. $\frac{994}{4845}$

B. $\frac{3851}{4845}$

C. $\frac{1}{71}$

D. $\frac{36}{71}$

Xem đáp án

Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu là: $n (Ω) = C_{21}^{7} = 116280$

Gọi A là biến cố “7 bông hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly”

TH 1: Chọn 1 bông hoa hồng, 1 bông hoa ly, 5 bông hoa huệ là: $C_{8}^{1} . C_{7}^{1} . C_{6}^{5} = 336$ (cách).

TH 2: Chọn 2 bông hoa hồng, 2 bông hoa ly, 3 bông hoa huệ là: $C_{8}^{2} . C_{7}^{2} . C_{6}^{3} = 11760$ (cách).

TH 3: Chọn 3 bông hoa hồng, 3 bông hoa ly, 1 bông hoa huệ là: $C_{8}^{3} . C_{7}^{3} . C_{6}^{1} = 11760$ (cách).

=> Số phần tử của biến cố là: $n (A) = 336 + 11760 + 11760 = 23856$ .

Xác suất biến cố A là: $P = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{23856}{116280} = \frac{994}{4845}$ .

Câu 32:

Tìm các số thực x,y thỏa mãn $x + 2 y + (2 x - 2 y) i = 7 - 4 i$ .

A. $x = - 1, y = - 3$

B. $x = 1, y = 3$

C. $x = - \frac{11}{3}, y = \frac{1}{3}$

D. $x = \frac{11}{3}, y = \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $x + 2 y + (2 x - 2 y) i = 7 - 4 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 y = 7 \\ 2 x - 2 y = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}$ .

Câu 33:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(S A D)$ bằng

A. $60 °$

B. $45 °$

C. $30 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: tam giác $S A B$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi H là trung điểm của AB

Suy ra: $S H ⊥ (A B C D)$ .

Ta có: $\{\begin{cases} A D ⊥ A B \\ A D ⊥ S H \end{cases}$ $\Rightarrow A D ⊥ (S A B)$ $\Rightarrow (S A D) ⊥ (S A B)$ .

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(S A D)$ bằng $90 °$ .

Câu 34:

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 1$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y' = - 3 x^{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in [0; 2] \\ x = - 1 \notin [0; 2] \end{array}$

$y (0) = 1; y (1) = 3; y (2) = - 1$

Khi đó $\max_{[0; 2]} y = 3; \min_{[0; 2]} y = - 1$ .

Vậy $\max_{[0; 2]} y + \min_{[0; 2]} y = 2$

Câu 35:

Biết đường thẳng $y = 3 x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}$ tại hai điểm phân biệt A,B. Tính độ dài đoạn thẳng AB?

A. $A B = 4 \sqrt{2}$

B. $A B = 4 \sqrt{15}$

C. $A B = 4 \sqrt{10}$

D. $A B = 4 \sqrt{6}$

Xem đáp án

Chọn C

Hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = 3 x + 1$ và đồ thị hàm số $y = \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x - 1}$ là nghiệm của phương trình sau:

$\begin{array}{l} \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x - 1} = 3 x + 1 \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x^{2} - 2 x + 3 = (3 x + 1) (x - 1) \\ x \neq 1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} = 4 \\ x \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \end{array} \\ x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \end{array} \end{array}$

Suy ra $A = (- 2; - 5); B = (2; 7)$ và $A B = 4 \sqrt{10}$ .

Câu 36:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD với A,B,C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $1 - 2 i, 3 - i, 1 + 2 i$ . Điểm D là điểm biểu diễn của số phức z nào sau đây?

A. $z = 3 + 3 i$

B. $z = 3 - 5 i$

C. $z = - 1 + i$

D. $z = 5 - i$

Xem đáp án

Chọn C

Điểm biểu diễn các số phức $1 - 2 i, 3 - i, 1 + 2 i$ lần lượt là $A (1; - 2)$ , $B (3; - 1)$ , $C (1; 2)$ .

Giả sử $D (x; y)$ là điểm biểu diễn của số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ .

Ta có $\vec{A D} = (x - 1; y + 2)$ , $\vec{B C} = (- 2; 3)$ .

Do $A B C D$ là hình bình hành nên $\vec{A D} = \vec{B C} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = - 2 \\ y + 2 = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 1 \end{cases}$ .

Vậy $z = - 1 + i$ .

Câu 37:

Hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 2; 0)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(- \infty; - 2)$

D. $(0; 4)$

Xem đáp án

Chọn A

Tập xác định: $D = ℝ .$

Ta có $y' = 3 x^{2} + 6 x .$

$y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array} .$

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 2; 0)$

Câu 38:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x - 1}$ là

A. $\frac{1}{2} \ln |2 x - 1| + C$

B. $\frac{1}{2} \ln (2 x - 1) + C$

C. $\ln |2 x - 1| + C$

D. $2 \ln |2 x - 1| + C$

Xem đáp án

Chọn A

Áp dụng công thức: ${(\frac{1}{a x + b})}^{'} = \frac{1}{a} \ln |a x + b| + C .$

Suy ra: ${(\frac{1}{2 x - 1})}^{'} = \frac{1}{2} \ln |2 x - 1| + C .$

Câu 39:

Cho hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2}$ có đồ thị $(P)$ . Xét các điểm A,B thuộc $(P)$ sao cho tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và đường thẳng AB bằng $\frac{9}{4}$ . Gọi $x_{1}^{}, x_{2}^{}$ lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của ${(x_{1}^{} + x_{2}^{})}^{2}$ bằng :

A. 11

B. 7

C. 5

D. 13

Xem đáp án

Chọn C

Giả sử phương trình đường thẳng AB là : $y = a x + b$ ta có

phương trình hoành độ giao điểm : $\frac{1}{2} x^{2} = a x + b \Leftrightarrow \frac{1}{2} x^{2} - a x - b = 0 (*)$

Theo đề bài ta có $x_{1}^{}, x_{2}^{}$ là hai nghiệm của $(*)$ nên $\frac{1}{2} x^{2} - a x - b = \frac{1}{2} (x - x_{1}^{}) (x - x_{2}^{})$

Giả sử ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và đường thẳng $A B$ là:

$S = \int_{x_{1}^{}}^{x_{2}^{}} (ax + b - \frac{1}{2} x^{2}) d x = - \frac{1}{2} \int_{x_{1}^{}}^{x_{2}^{}} (x - x_{1}^{}) (x - x_{2}^{}) d x = \frac{9}{4}$ $\Leftrightarrow - \frac{{(x_{1}^{} - x_{2}^{})}^{3}}{12} = \frac{9}{4} \Rightarrow x_{1}^{} - x_{2}^{} = - 3 (1)$

Ta lại có tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau nên $x_{1}^{} . x_{2}^{} = - 1 (2)$

Từ (1) và (2) suy ra ${(x_{1}^{} + x_{2}^{})}^{2} = {(x_{1}^{} - x_{2}^{})}^{2} + 4 x_{1}^{} . x_{2}^{} = 9 - 4 = 5$

Câu 40:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (2; 1; 1)$ và hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 \\ z = 2 - t \end{cases}$ , $d_{2} : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t^{'} \\ y = 3 + t^{'} \\ z = 0 \end{cases}$ Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với $d_{1}$ và cắt $d_{2}$ là

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}$

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{- 1}$

C. $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2}$

D. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{2} .$

Xem đáp án

Chọn A

Đường thẳng $d_{1}$ có VTCP $\vec{u_{d_{1}}} = (1; 0; - 1)$ .

Giả sử $(P)$ là mặt phẳng qua A và vuông góc với $d_{1} \Rightarrow (P) : x - 2 - z + 1 = 0 \Leftrightarrow x - z - 1 = 0$

Gọi B là giao điểm của $(P)$ và $d_{2} .$ Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{cases} x = 3 + 2 t^{'} \\ y = 3 + t^{'} \\ z = 0 \\ x - z - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t^{'} = - 1 \\ x = 1 \\ y = 2 \\ z = 0 \end{cases} \Rightarrow B (1; 2; 0)$ .

Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB

Ta có $\vec{A B} = (- 1; 1; - 1)$ hay VTCP của đường thẳng cần tìm là $\vec{u} = (1; - 1; 1)$

Đường thẳng cần tìm đi qua $B (1; 2; 0)$ và có VTCP là $\vec{u} = (1; - 1; 1)$

Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{1}$ .

Câu 41:

Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông ABCD để trồng hoa. Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ. Ở bốn góc còn lại, mỗi góc trồng một cây cọ. Biết AB=4m, giá trồng hoa là $200.000$ đ/ $m^{2}$ , giá trồng cỏ là $100.000$ đ/ $m^{2}$ , mỗi cây cọ giá $150.000$ đ. Hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa đó

A. $14.865.000$ đồng

B. $12.218.000$ đồng

C. $14.465.000$ đồng

D. $13.265.000$ đồng

Xem đáp án

Chọn D

Gắn hệ trục như hình vẽ (gốc tọa độ là tâm của hình tròn), kí hiệu các điểm như hình vẽ

Đường tròn có phương trình: $x^{2} + y^{2} = 64$ . Suy ra $y = \pm \sqrt{64 - x^{2}}$ .

Phương trình $A B : y = 2$ .

Diện tích phần trồng cỏ: $S_{1} = 4 \int_{- 2}^{2} (\sqrt{64 - x^{2}} - 2) d x (m^{2})$ .

Diện tích phần trồng hoa: $S_{2} = 4.4 = 16 (m^{2})$ .

Số tiền phải bỏ ra là: $200 000.16 + 4.150 000 + 100 000.4 \int_{- 2}^{2} (\sqrt{64 - x^{2}} - 2) d x \approx 13 265 000$ (đồng).

Câu 42:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ . Biết $4 f (x) - {[f^{'} (x)]}^{2} = x^{2} + 2 x$ , $\forall x \in ℝ$ . Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$ .

A. $\frac{7}{12}$

B. $\frac{11}{12}$

C. $\frac{13}{12}$

D. $\frac{9}{12}$

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào giả thiết ta xét $f (x)$ là hàm bậc hai.

Giả sử $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $x \in ℝ$ .

$\Rightarrow 4 f (x) = 4 a x^{2} + 4 b x + 4 c$ .

Có $f^{'} (x) = 2 a x + b$ $\Rightarrow {[f^{'} (x)]}^{2} = {(2 a x + b)}^{2} = 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2}$ .

$4 f (x) - {[f^{'} (x)]}^{2} = 4 a (1 - a) x^{2} + 4 b (1 - a) x + 4 c - b^{2}$ .

Theo giả thiết $4 f (x) - {[f^{'} (x)]}^{2} = x^{2} + 2 x$ $\Rightarrow \{\begin{cases} 4 a (1 - a) = 1 \\ 4 b (1 - a) = 2 \\ 4 c - b^{2} = 0 \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = 1 \\ c = \frac{1}{4} \end{cases}$ .

Như vậy hàm số $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{1}{4}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Ta có: $\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (\frac{x^{2}}{2} + x + \frac{1}{4}) d x = {(\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{4} x)|}_{0}^{1} = \frac{11}{12}$ .

Câu 43:

Thể tích V của khối hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ biết $A B = a, A D = 2 a, A C^{'} = a \sqrt{14}$ là

A. $V = a^{3} \sqrt{5} .$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{14}}{3} .$

C. $V = 2 a^{3} .$

D. $V = 6 a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn D

Xét hình chữ nhật ABCD, ta có $A C^{2} = A B^{2} + A D^{2} = a^{2} + 4 a^{2} = 5 a^{2} .$

Xét tam giác vuông $A A^{'} C,$ ta có $A {A^{'}}^{2} = A {C^{'}}^{2} - A C^{2} = 14 a^{2} - 5 a^{2} = 9 a^{2} \Rightarrow A A^{'} = 3 a .$

Ta có $V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = A B . A D . A A^{'} = a .2 a .3 a = 6 a^{3} .$

Câu 44:

Cho $\int_{0}^{1} \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 3)}^{2}} d x = \frac{a}{4} - 4 \ln \frac{4}{b}$ với a,b là các số nguyên dương. Giá trị của a+b bằng

A. 7

B. 5

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Chọn D

$\int_{0}^{1} \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 3)}^{2}} d x = \int_{0}^{1} \frac{(x^{2} + 6 x + 9) - 4 (x + 3) - 9 + 12}{{(x + 3)}^{2}} d x = \int_{0}^{1} [1 - \frac{4}{x + 3} + \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] d x$

$= 1 - 4 \ln |x + 3| |_{0}^{1} - \frac{3}{x + 3} |_{0}^{1} = 1 - 4 \ln \frac{4}{3} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{5}{4} - 4 \ln \frac{4}{3}$

Theo giả thiết $\Rightarrow a = 5, b = 3$ nên $a + b = 8$ .

Câu 45:

S là tập tất cả các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình $4^{x} - m 2^{x} - m + 15 > 0$ có nghiệm đúng với mọi $x \in [1; 2]$ . Tính số phần tử của S

A. 9

B. 6

C. 7

D. 4

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $t = 2^{x}$ với $x \in [1; 2]$ thì $t \in [2; 4]$

Bài toán trở thành tìm để bất phương trình $t^{2} - m t - m + 15 > 0$ có nghiệm với mọi $t \in [2; 4]$

$t^{2} - m t - m + 15 > 0$ $\forall t \in [2; 4]$

$\Leftrightarrow m < \frac{t^{2} + 15}{t + 1}$ $\forall t \in [2; 4]$

Đặt $f (t) = \frac{t^{2} + 15}{t + 1}$

Do đó: $m < \underset{t \in [2; 4]}{max f (t)} = \frac{19}{3}$

Vì m nguyên dương nên $m \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ và không có cực trị, đồ thị của hàm số $y = f (x)$ là đường cong của hình vẽ bên. Xét hàm số $h (x) = \frac{1}{2} {[f (x)]}^{2} - 2 x . f (x) + 2 x^{2}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số $y = h (x)$ có điểm cực đại là $N (1; 2)$

B. Đồ thị hàm số $y = h (x)$ có điểm cực đại là $M (1; 0)$

C. Đồ thị hàm số $y = h (x)$ có điểm cực tiểu là $M (1; 0)$

D. Hàm số $y = h (x)$ không có cực trị

Xem đáp án

Chọn C

Theo bài ra ta có $h^{'} (x) = f' (x) . f (x) - 2 f (x) + 2 x . f^{'} (x) + 4 x$

$= (f^{'} (x) - 2) (f (x) - 2 x)$

Từ đồ thị ta thấy $y = f (x)$ nghịch biến nên $f' (x) < 0$ suy ra $f^{'} (x) - 2 < 0$ .

Suy ra $h^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) - 2 x = 0$ .

Từ đồ thị dưới ta thấy $f (x) - 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 1$ .

Ta có bảng biến thiên:

Suy ra đồ thị của hàm số $y = h (x)$ có điểm cực tiểu là $M (1; 0)$ .

Câu 47:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m \in ℤ$ và phương trình $\log_{m x - 5} (x^{2} - 6 x + 12) = \log_{\sqrt{m x - 5}} \sqrt{x + 2}$ có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Câu 48:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng $(P) : x + 2 y + z - 7 = 0$ và đi qua hai điểm $A (1; 2; 1)$ , $B (2; 5; 3)$ . Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $(S)$ bằng

A. $\frac{\sqrt{546}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{763}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{345}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{470}}{3}$

Xem đáp án

Câu 49:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau.

Đồ thị hàm số $y = |f (x - 2017) + 2018|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 5

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Câu 50:

Giả sử $z_{1}, z_{2}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $(z - 6) (8 + \bar{z i})$ là số thực. Biết rằng $|z_{1} - z_{2}| = 4$ , giá trị nhỏ nhất của $|z_{1} + 3 z_{2}|$ bằng

A. $20 - 4 \sqrt{21}$

B. $20 - 4 \sqrt{22}$

C. $5 - \sqrt{22}$

D. $5 - \sqrt{21}$

Xem đáp án

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 16)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan