50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 14)

Câu 1:

Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số ở phương án A, B, C, D dưới đây?

A. $y = x^{3} - 3 x - 1$

B. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1$

C. $y = - x^{3} - 3 x^{2} - 1$

D. $y = x^{3} - 3 x + 1$

Xem đáp án

Chọn D

Từ đồ thị ta thấy hệ số do nhánh phải hướng lên trên. Do đó loại B và C

Mặt khác đồ thị cắt trục tung tại $A (0; 1)$ . Do đó chọn A

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 4 z - 25 = 0$ . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu $(S)$ .

A. $I (- 2; 4; - 4)$ ; $R = \sqrt{29}$ .

B. $I (- 1; - 2; 2)$ ; $R = 6$ .

C. $I (1; - 2; 2)$ ; $R = \sqrt{34}$

D. $I (- 1; 2; - 2)$ ; $R = 5$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 4 z - 25 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 34$

Vậy $I (1; - 2; 2)$ ; $R = \sqrt{34}$ .

Câu 3:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 1; 0)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(- \infty; 0)$

D. $(0; 1)$

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên hàm số $y = f (x)$ đồng biến $(- \infty; - 1)$ và $(0; 1)$ .

Câu 4:

Cho $x, y > 0$ và $α, β \in ℝ$ . Tìm đẳng thức sai dưới đây

A. $x^{α} + y^{α} = {(x + y)}^{α}$

B. ${(x^{α})}^{β} = x^{α β}$

C. $x^{α} . x^{β} = x^{α + β}$

D. ${(x y)}^{α} = x^{α} . y^{α}$

Xem đáp án

Chọn A

Theo tính chất của lũy thừa thì đẳng thức $x^{α} + y^{α} = {(x + y)}^{α}$ Sai

Câu 5:

Tập nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - 3 x + 2) = 1$ là

A. $\{0\}$

B. $\{1; 2\}$

C. $\{0; 2\}$

D. $\{0; 3\}$

Xem đáp án

Chọn D

$\begin{array}{l} \log_{2} (x^{2} - 3 x + 2) = 1 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 2^{1} \\ \Leftrightarrow x^{2} - 3 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của pt đã cho là: $\{0; 3\}$ .

Câu 6:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 2$ và công sai $d = 3$ . Giá trị của $u_{5}$ bằng

A. 15

B. 5

C. 11

D. 14

Xem đáp án

Chọn D

Áp dụng công thức $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d \Rightarrow u_{5} = u_{1} + 4 d = 2 + 4.3 = 14$ .

Câu 7:

Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn là $M (1; - 2)$ ?

A. $- 1 - 2 i$

B. $1 + 2 i$

C. $1 - 2 i$

D. $- 2 + i$

Xem đáp án

Chọn C

$M (1; - 2)$ là điểm biểu diễn cho số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng -2, tức là $1 - 2 i$

Câu 8:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và $\int_{0}^{4} f (x) d x = 10, \int_{3}^{4} f (x) d x = 4$ . Tích phân $\int_{0}^{3} f (x) d x$ bằng

A. 3

B. 6

C. 4

D. 7

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\int_{0}^{4} f (x) d x = \int_{0}^{3} f (x) d x + \int_{3}^{4} f (x) d x = 10 \Rightarrow \int_{0}^{3} f (x) d x = 10 - \int_{3}^{4} f (x) d x$ .

Mặt khác $\int_{3}^{4} f (x) d x = 4 \Rightarrow \int_{0}^{3} f (x) d x = 10 - 4 = 6$ .

Câu 9:

Cho tập hợp A gồm có 9 phần tử.Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp A là

A. $A_{9}^{4}$

B. $P_{4}$

C. $C_{9}^{4}$

D. $4 \times 9$

Xem đáp án

Chọn C

Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp A là $C_{9}^{4}$

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a tâm O, SO vuông góc với $(A B C D)$ , $S O = a$ . Thể tích của khối chóp S.ABCD là

A. $\frac{4 a^{3}}{3}$

B. $\frac{2 a^{3}}{3}$

C. $4 a^{3}$

D. $2 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Diện tích mặt đáy là $S_{A B C D} = 4 a^{2}$ .

Thể tích của khối chóp $S . A B C D$ là $V = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D}$ $= \frac{1}{3} a .4 a^{2}$ $= \frac{4 a^{3}}{3}$ .

Câu 11:

Trong không gian Oxy , cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + 3 t \\ z = 5 - t \end{cases}$ $(t \in ℝ)$ Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d ?

A. $\vec{u_{4}} = (1; 2; 5)$

B. $\vec{u_{3}} = (1; - 3; - 1)$

C. $\vec{u_{1}} = (0; 3; - 1)$

D. $\vec{u_{2}} = (1; 3; - 1)$

Xem đáp án

Chọn C

$\vec{u_{1}} = (0; 3; - 1)$ là một vectơ chỉ phương của d.

Câu 12:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 - 2 i$ và $z_{2} = 1 + 2 i$ . Tìm số phức $z = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ .

A. $z = - \frac{2}{5} - \frac{6}{5} i$

B. $z = \frac{2}{5} + \frac{6}{5} i$

C. $z = \frac{2}{5} - \frac{6}{5} i$

D. $z = - \frac{2}{5} + \frac{6}{5} i$

Xem đáp án

Chọn A

$z = \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{2 - 2 i}{1 + 2 i} = \frac{(2 - 2 i) (1 - 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} = \frac{- 2 - 6 i}{5} = - \frac{2}{5} - \frac{6}{5} i$

Câu 13:

Đạo hàm của hàm số $f (x) = 6^{1 - 3 x}$ là:

A. $f^{'} (x) = - {3.6}^{1 - 3 x} . \ln 6$

B. $f^{'} (x) = - 6^{1 - 3 x} . \ln 6$

C. $f^{'} (x) = - x {.6}^{1 - 3 x} . \ln 6$

D. $f^{'} (x) = (1 - 3 x) {.6}^{- 3 x}$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

$f (x) = 6^{1 - 3 x} \Rightarrow f^{'} (x) = {(1 - 3 x)}^{'} {.6}^{1 - 3 x} . \ln 6 = - {3.6}^{1 - 3 x} . \ln 6$

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (2; - 4; 3)$ và $B (2; 2; 7)$ . Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là

A. $(2; - 1; 5)$

B. $(4; - 2; 10)$

C. $(1; 3; 2)$

A. $(2; 6; 4)$

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Tọa độ trung điểm AB là $(\frac{2 + 2}{2}; \frac{- 4 + 2}{2}; \frac{3 + 7}{2}) = (2; - 1; 5)$

Câu 15:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{- 2 x + 3}{- x + 1}$ là đường thẳng

A. $x = 1$

B. $y = 2$

C. $x = 2$

D. $y = - 2$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = 2$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y = 2$ .

Câu 16:

Một khối trụ có bán kính đường tròn đáy bằng r và chiều cao bằng h thì có thể tích bằng

A. $\frac{1}{3} π r^{2} h$

B. $π r^{2} h$

C. $\frac{1}{3} r^{2} h$

D. $r^{2} h$

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Theo công thức tính thể tích khối trụ có bán kính đáy r và đường cao h là $V = π r^{2} h$ .

Câu 17:

Cho hình nón có chiều cao bằng 8cm bán kính đáy bằng 6cm. Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng

A. $116 π c m^{2}$

B. $84 π c m^{2}$

C. $96 π c m^{2}$

D. $132 π c m^{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi $h; l; r$ lần lượt là chiều cao, đường sinh và bán kính đáy của hình nón.

Ta có $l = A C = \sqrt{A H^{2} + H C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$

Mà $S_{t p} = S_{x u n g q u a n h} + S_{đ} = π r l + π r^{2} = π .6.10 + π {.6}^{2} = 96 π$

Câu 18:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos x$ là

A. $- \cos x + C$

B. $- s i n x + C$

C. $s i n x + C$

D. $\cos x + C$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 19:

Trong không gian Oxyz, điểm M(3;4;-2) thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?

A. $(P) : z - 2 = 0$

B. $(S) : x + y + z + 5 = 0$

C. $(Q) : x - 1 = 0$

D. $(R) : x + y - 7 = 0$

Xem đáp án

Câu 20:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a, b, c, d \in ℝ)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào đồ thị trên, suy ra số điểm cực trị của hàm số là 2

Câu 21:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $ℝ$ , có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{3} {(x - 1)}^{2} (x + 2)$ . Hỏi hàm số $y = f (x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

Hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ và $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 2 \end{array}$ , trong đó $x = 1$ là nghiệm kép.

Vậy hàm số $y = f (x)$ có 2 điểm cực trị.

Câu 22:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{- 3}$ và mặt phẳng $(P) : x - y + 2 z - 6 = 0$ . Đường thẳng nằm trong $(P)$ cắt và vuông góc với d có phương trình là?

A. $\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 5}{3} .$

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 4}{7} = \frac{z + 1}{3} .$

C. $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 4}{7} = \frac{z - 1}{3} .$

D. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{7} = \frac{z + 5}{3} .$

Xem đáp án

Chọn A

$\vec{n_{P}} = (1; - 1; 2),$ , $\vec{u_{d}} = (2; 1; - 3)$ Gọi $I = d \cap (P)$ , $I \in d \Rightarrow I (2 t; 3 + t; 2 - 3 t)$

$I \in (P)$ $\Rightarrow 2 t - (3 + t) + 2 (2 - 3 t) - 6 = 0$ $\Leftrightarrow t = - 1$ $\Rightarrow I (- 2; 2; 5)$

Gọi $Δ$ là đường thẳng cần tìm.

Theo giả thiết $\{\begin{cases} \vec{u_{Δ}} ⊥ \vec{u_{d}} \\ \vec{u_{Δ}} ⊥ \vec{n_{P}} \end{cases}$ $\Rightarrow \vec{u_{Δ}} = [\vec{n_{P}}, \vec{u_{d}}] = (1; 7; 3)$

Và đường thẳng $Δ$ đi qua điểm I. Vậy $Δ$ : $\frac{x + 2}{1} = \frac{y - 2}{7} = \frac{z - 5}{3} .$

Câu 23:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA=2a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{12}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6}$

C. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$

D. $V = 2 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 24:

Từ một hộp đựng 5 quả cầu màu đỏ, 8 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu trắng, chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để 4 quả cầu được chọn có đúng 2 quả cầu màu đỏ

A. $\frac{253}{323}$

B. $\frac{70}{323}$

C. $\frac{112}{969}$

D. $\frac{857}{969}$

Xem đáp án

Câu 25:

Cho biết $\int_{0}^{\frac{π}{2}} (4 - \sin x) d x = a π + b$ với $a, b$ là các số nguyên. Giá trị của biểu thức $a + b$ bằng

A. 1

B. -4

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (4 - \sin x) d x = (4 x + \cos x) |\begin{array}{l} \frac{π}{2} \\ 0 \end{array} = (2 π + \cos \frac{π}{2}) - (0 + \cos 0) = 2 π - 1$

$\Rightarrow a π + b = 2 π - 1 \Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases}$ $\Rightarrow a + b = 1$

Câu 26:

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{- x} + \sin x$ thỏa mãn $F (0) = 0$ . Tìm $F (x) .$

A. $F (x) = - e^{- x} + \cos x$

B. $F (x) = e^{- x} + \cos x - 2$

C. $F (x) = - e^{- x} - \cos x + 2$

D. $F (x) = - e^{- x} + \cos x + 2$

Xem đáp án

Chọn C

$F (x) = \int f (x) d x = \int (e^{- x} + \sin x) d x = - \int e^{- x} d (- x) + \int \sin x d x = - e^{- x} - \cos x + C$

$F (0) = 0 \Leftrightarrow - 1 - 1 + C = 0 \Leftrightarrow C = 2$

Vậy $F (x) = - e^{- x} - \cos x + 2$

Câu 27:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (x^{2} - 8 x) < 2$ là

A. $(- \infty; - 1)$

B. $(- 1; 0) \cup (8; 9)$

C. $(- 1; 9)$

D. $(- \infty; - 1) \cup (9; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B

Bất phương trình $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 8 x > 0 \\ x^{2} - 8 x < 3^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 8 x > 0 \\ x^{2} - 8 x - 9 < 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} x > 8 \\ x < 0 \end{array} \\ - 1 < x < 9 \end{cases}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 1 < x < 0 \\ 8 < x < 9 \end{array}$

Vậy tập nghiệm: $S = (- 1; 0) \cup (8; 9)$ .

Câu 28:

Tìm nghiệm của phương trình $\log_{3} (x - 9) = 3$ .

A. x=27

B. x=36

C. x=9

D. x=18

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: $x > 9$ .

Ta có $\log_{3} (x - 9) = 3 \Leftrightarrow x - 9 = 27 \Leftrightarrow x = 36$

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $I (1; - 2; 3)$ . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục $O y$ là

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \sqrt{10}$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 10$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = \sqrt{10}$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 10$

Xem đáp án

Chọn B

Giả sử: H là hình chiếu vuông góc của I lên trục $O y \Rightarrow H (0; - 2; 0)$ .

R là bán kính mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục $O y \Rightarrow R = I H = \sqrt{10}$ .

=> Phương trình mặt cầu là ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 10$

Câu 30:

Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn $(5 - i) z = 7 - 17 i$ :

A. -3

B. 2

C. -2

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

$(5 - i) z = 7 - 17 i \Rightarrow z = \frac{7 - 17 i}{5 - i} = 2 - 3 i$

=> Vậy phần thực của số phức z bằng 2.

Câu 31:

Hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; 2)$

B. $(- \infty; + \infty)$

C. $(- \infty; 2)$

D. $(- 1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A

Hàm số có tập xác định $D = ℝ \ \{1\}$ .

Ta có $y = \frac{x + 1}{x - 1} \Rightarrow y^{'} = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}} < 0$ , $\forall x \in ℝ$ .

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$ .

Câu 32:

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A B = a$ , $A D = a \sqrt{3}$ . Hình chiếu vuông góc của $A^{'}$ lên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Khoảng cách từ $B^{'}$ đến mặt phẳng $(A^{'} B D)$ là

A. $\frac{a}{2}$

B. $a \sqrt{3}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 33:

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và $S O ⊥ (A B C D)$ , $S O = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ , $B C = S B = a$ .Số đo góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là

A. $30^{0}$

B. $45^{0}$

C. $90^{0}$

D. $60^{0}$

Xem đáp án

Câu 34:

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 3}{1 - x}$ với trục tung là

A. $(\frac{3}{2}; 0)$

B. $(0; - 3)$

C. $(0; \frac{3}{2})$

D. $(- 3; 0)$

Xem đáp án

Chọn B

Cho $x = 0 \Rightarrow y = - 3$ .

Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là $(0; - 3)$ .

Câu 35:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn $[- 2; 6]$ , có đồ thị như hình vẽ. Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $f (x)$ trên miền $[- 2; 6]$ . Tính giá trị của biểu thức $T = 2 M + 3 m$ .

A. -2

B. 16

C. 0

D. 7

Xem đáp án

Chọn C

Nhìn vào đồ thị ta thấy: $f (x)$ đạt giá trị lớn nhất trên miền $[- 2; 6]$ là $M = 6$ , $f (x)$ đạt giá trị lớn nhất trên miền $[- 2; 6]$ là $m = - 4$ .

Do đó, $T = 2 M + 3 m = 2.6 + 3. (- 4) = 0$ .

Câu 36:

Cho số phức $z = a + b i$ (a, $b \in ℝ$ ) thỏa mãn $2 z - 3 i . \bar{z} + 6 + i = 0$ . Tính $S = a - b .$

A. $S = 7$

B. $S = 1$

C. $S = - 1$

D. $S = - 4$

Xem đáp án

Chọn C

Có $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i$ (a, $b \in ℝ$ ).

Từ $2 z - 3 i . \bar{z} + 6 + i = 0$ suy ra: $2 (a + b i) - 3 i (a - b i) + 6 + i = 0$

$\Leftrightarrow 2 a + 2 b i - 3 a i - 3 b + 6 + i = 0$ $\Leftrightarrow 2 a - 3 b + 6 + (2 b - 3 a + 1) i = 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a - 3 b = - 6 \\ 3 a - 2 b = 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 4 \end{cases}$

Vậy $S = a - b = - 1$ .

Câu 37:

Cho $\log_{5} 7 = a$ và $\log_{5} 4 = b .$ Biểu diễn $\log_{5} 560$ dưới dạng $\log_{5} 560 = m . a + n . b + p,$ với m, n, p là các số nguyên. Tính $S = m + n . p .$

A. S=5

B. S =4

C. S=2

D. S=3

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $\log_{5} 560 = \log_{5} {7.4}^{2} .5 = \log_{5} 7 + 2 \log_{5} 4 + 1 = a + 2 b + 1$

$m = 1, n = 2, p = 1 \Rightarrow S = 3$

Câu 38:

Cho hai số thực x,y thỏa mãn $2 x + 1 + (1 - 2 y) i = 2 (2 - i) + y i - x$ với i là đơn vị ảo. Khi đó giá trị của $x^{2} - 3 x y - y$ bằng

A. -1

B. -3

C. 1

D. -2

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $2 x + 1 + (1 - 2 y) i = 2 (2 - i) + y i - x \Leftrightarrow 2 x + 1 + (1 - 2 y) i = 4 - x + (y - 2) i$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 x + 1 = 4 - x \\ 1 - 2 y = y - 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}$ .

Thay $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix}$ vào ta có $x^{2} - 3 x y - y = - 3$ .

Câu 39:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình $(3^{x + 2} - \sqrt{3}) (3^{x} - 2 m) < 0$ chứa không quá 9 số nguyên?

A. 3279

B. 3281

C. 3283

D. 3280

Xem đáp án

Chọn D

Do m là số nguyên dương nên 2m >1 => $\log_{3} 2 m > 0$ .

$3^{x + 2} - \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow 3^{x + 2} = 3^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}$

$3^{x} - 2 m = 0 \Leftrightarrow x = \log_{3} 2 m$ .

Lập bảng biến thiên, ta kết luận: tập nghiệm bất phương trình này là $(- \frac{3}{2}; \log_{3} 2 m)$

Suy ra, $\log_{3} 2 m \leq 8 \Leftrightarrow 2 m \leq 3^{8} \Leftrightarrow m \leq \frac{6561}{2} = 3280.5$

Câu 40:

Cho S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ của hàm số $y = x \sqrt{1 + x^{2}}$ , trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = 1$ . Biết $S = a \sqrt{2} + b (a, b \in ℚ) .$ Tính $a + b .$

A. $a + b = \frac{1}{3}$

B. $a + b = 0$

C. $a + b = \frac{1}{6}$

D. $a + b = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có trục tung có phương trình là: $x = 0$ .

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ của hàm số $y = x \sqrt{1 + x^{2}}$ , trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = 1$ là $S = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + x^{2}} d x$ .

Mặt khác

$S = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{1 + x^{2}} d (1 + x^{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{1}{3} \cdot (1 + x^{2}) \sqrt{1 + x^{2}} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - \frac{1}{3} \cdot$

Biết $S = a \sqrt{2} + b (a, b \in ℚ)$ nên $a = \frac{2}{3}$ và $b = - \frac{1}{3} \cdot$

Vậy $a + b = \frac{1}{3} \cdot$

Câu 41:

Trong không gian $O x y z,$ cho hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ và mặt phẳng $(α)$ có phương trình

$d_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 + 2 t \end{cases}, d_{2} : \frac{x - 2}{- 3} = \frac{y}{2} = \frac{z - 4}{- 2}, (α) : x + y - z - 2 = 0$

Phương trình đường thẳng $Δ$ nằm trong mặt phẳng $(α)$ , cắt cả hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ là

A. $\frac{x - 2}{- 8} = \frac{y + 1}{7} = \frac{z - 3}{1}$

B. $\frac{x - 2}{- 8} = \frac{y + 1}{7} = \frac{z - 3}{- 1}$

C. $\frac{x + 2}{8} = \frac{y - 1}{7} = \frac{z + 3}{- 1}$

D. $\frac{x + 2}{8} = \frac{y - 1}{- 7} = \frac{z + 3}{1}$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Gọi $A = d_{1} \cap (α) \Rightarrow A (- 2; 1; - 3), B = d_{2} \cap (α) \Rightarrow B (- 10; 8; - 4)$ .

Do đường thẳng $Δ$ nằm trong mặt phẳng $(α)$ , cắt cả hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ nên $Δ$ đi qua A và B.

Khi đó $\vec{A B} = (- 8; 7; - 1) = - (8; - 7; 1)$ .

Vậy $Δ : \frac{x + 2}{8} = \frac{y - 1}{- 7} = \frac{z + 3}{1}$ .

Câu 42:

Cho hàm số $f (x) = x^{4}$ . Hàm số $g (x) = f' (x) - 3 x^{2} - 6 x + 1$ đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại $x_{1}, x_{2}$ . Tính m=g(x1)g(x2).

A. $m = - 11$

B. $m = \frac{- 371}{16}$

C. $m = \frac{1}{16}$

D. $m = 0$

Xem đáp án

Chọn A

Theo bài ra ta có $f' (x) = 4 x^{3}$ .

Suy ra $g (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 1$ .

Suy ra $g' (x) = 12 x^{2} - 6 x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ x_{2} = - \frac{1}{2} \end{array}$

Đồ thị hàm số lên $g (x) = f' (x) - 3 x^{2} - 6 x + 1$ - xuống – lên.

Hàm số $g (x) = f' (x) - 3 x^{2} - 6 x + 1$ đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại $x_{1} = 1, x_{2} = - \frac{1}{2}$ .

Suy ra $m = g (1) . g (2) = (4 - 3 - 6 + 1) [4. {(\frac{- 1}{2})}^{3} - 3. {(\frac{- 1}{2})}^{2} - 6. (\frac{- 1}{2}) + 1] = - 11$ .

Câu 43:

Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b. Thể tích của khối cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ bằng

A. $\frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + b^{2})}^{3}}$

B. $\frac{π}{18 \sqrt{2}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}}$

C. $\frac{π}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}} .$

D. $\frac{1}{18 \sqrt{3}} \sqrt{{(4 a^{2} + 3 b^{2})}^{3}}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 44:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(1)=3 và $x (4 - f' (x)) = f (x) - 1$ với mọi $x > 0$ . Tính $f (2)$

A. 5

B. 2

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Chọn A

Từ giả thiết $x (4 - f' (x)) = f (x) - 1 \Rightarrow x . f^{'} (x) + f (x) = 4 x + 1 \Leftrightarrow {[x f (x)]}^{'} = 4 x + 1$ .

$\Rightarrow \int_{1}^{2} {[x f (x)]}^{'} d x = \int_{1}^{2} (4 x + 1) d x \Leftrightarrow {x f (x)|}_{1}^{2} = {(2 x^{2} + x)|}_{1}^{2}$ .

.

Câu 45:

Ông An có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ thì parabol có phương trình $y = x^{2}$ và đường thẳng là $y = 25$ . Ông An dự định dung một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua điểm O và M trên parabol để trồng một loại hoa. Hãy giúp ông An xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng $\frac{9}{2}$ .

A. OM=10

B. $O M = 2 \sqrt{5}$

C. $O M = 15$

D. $O M = 3 \sqrt{10}$

Xem đáp án

Chọn D

Do parabol có tính đối xứng qua trục tung nên ta có thể giả sử $M (a; a^{2}) (0 < a < 5)$ .

Suy ra pt đường thẳng $y = a x$ .

Từ đồ thị, ta có diện tích mảnh vườn trồng hoa: $S = \int_{0}^{a} (a x - x^{2}) d x$

${(\frac{a x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3})|}_{0}^{a} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{6} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow M (3; 9)$

$\Rightarrow O M = \sqrt{M H^{2} + O H^{2}} = \sqrt{3^{2} + 9^{2}} = 3 \sqrt{10}$

Câu 46:

Cho hàm số $f (x)$ . Biết $f (0) = 4$ và $f^{'} (x) = 2 \sin^{2} x + 1, \forall x \in ℝ$ , khi đó $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x$ bằng

A. $\frac{π^{2} - 4}{16} .$

B. $\frac{π^{2} + 15 π}{16} .$

C. $\frac{π^{2} + 16 π - 16}{16} .$

D. $\frac{π^{2} + 16 π - 4}{16} .$

Xem đáp án

Chọn đáp án D

Câu 47:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S_{m}) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - m)}^{2} = \frac{m^{2}}{4}$ và hai điểm $A (2; 3; 5)$ , $B (1; 2; 4)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của m để trên $(S_{m})$ tồn tại điểm M sao cho $M A^{2} - M B^{2} = 9$ .

A. $m = 8 - 4 \sqrt{3}$

B. $m = \frac{4 - \sqrt{3}}{2}$

C. $m = 1$

D. $m = 3 - \sqrt{3}$

Xem đáp án

Câu 48:

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình $3^{x - 3 + \sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) {.3}^{x - 3} = 3^{x} + 1$ có 3 nghiệm phân biệt bằng

A. 38

B. 34

C. 27

D. 45

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Ta có $3^{x - 3 + \sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) {.3}^{x - 3} = 3^{x} + 1 \Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + m) = \frac{3^{x} + 1}{3^{x - 3}}$

$\Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + {(x - 3)}^{3} + m - 3 x = 3^{3 - x} \Leftrightarrow 3^{\sqrt[3]{m - 3 x}} + (m - 3 x) = 3^{3 - x} + {(3 - x)}^{3}$ (1).

Xét hàm số $f (t) = 3^{t} + t^{3}$ với $t \in ℝ$ , ta có: $f' (t) = 3^{t} \ln 3 + 3 t^{2} > 0, \forall t \in ℝ$ .

Suy ra hàm số luôn đồng biến trên $ℝ$ .

Khi đó (1) $\Leftrightarrow f (\sqrt[3]{m - 3 x}) = f (3 - x) \Leftrightarrow \sqrt[3]{m - 3 x} = 3 - x \Leftrightarrow m = - x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 27$ . (2)

Pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt $(2)$ có 3 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số $y = - x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 27$ có $y' = - 3 x^{2} + 18 x - 24 \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = 4 \end{array}$ .