50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 15)

Câu 1:

Trong không gian tọa độ Oxyz đường thẳng $(d) : \frac{x + 5}{2} = \frac{y - 7}{- 8} = \frac{z + 13}{9}$ có một véc tơ chỉ phương là

A. $\vec{u_{1}} = (2; - 8; 9) .$

B. $\vec{u_{2}} = (2; 8; 9) .$

C. $\vec{u_{3}} = (- 5; 7; - 13) .$

D. $\vec{u_{4}} = (5; - 7; - 13) .$

Xem đáp án

Chọn A

Đường thẳng $(d) : \frac{x + 5}{2} = \frac{y - 7}{- 8} = \frac{z + 13}{9}$ có véc tơ chỉ phương là $\vec{u} = (2; - 8; 9) .$ Nên $\vec{u_{1}} = (2; - 8; 9)$ là véc tơ chỉ phương của $(d) .$

Câu 2:

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = x^{3} - 4 x$

B. $y = x^{4} - 4 x^{2}$

C. $y = - x^{4} + 4 x^{2}$

D. $y = - x^{3} + 4 x$

Xem đáp án

Chọn C

Đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương, nên loại đáp án A và B.

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = - \infty$ suy ra $a < 0$ nên loại

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(α) : x - y + 2 z - 3 = 0$ đi qua điểm nào dưới đây ?

A. $M (1; 1; \frac{3}{2})$

B. $N (1; - 1; - \frac{3}{2})$

C. $P (1; 6; 1)$

D. $Q (0; 3; 0)$

Xem đáp án

Chọn A

Xét điểm $M (1; 1; \frac{3}{2})$ ,ta có: $1 - 1 + 2. \frac{3}{2} - 3 = 0$ đúng nên $M \in (α)$ nên A đúng.

Xét điểm $N (1; - 1; - \frac{3}{2})$ ,ta có: $1 + 1 + 2. (- \frac{3}{2}) - 3 = 0$ sai nên $N \notin (α)$ nên B sai.

Xét điểm $P (1; 6; 1)$ ,ta có: $1 - 6 + 2.1 - 3 = 0$ sai nên $P \notin (α)$ nên C sai.

Xét điểm $Q (0; 3; 0)$ ,ta có: $0 - 3 + 2.0 - 3 = 0$ sai nên $Q \notin (α)$ nên D sai

Câu 4:

Với $α$ là một số thực bất kỳ, mệnh đề nào sau đây sai?

A. ${(10^{α})}^{2} = 10^{α^{2}}$

B. ${(10^{α})}^{2} = {(100)}^{α}$

C. $\sqrt{10^{α}} = {(\sqrt{10})}^{α}$

D. $\sqrt{10^{α}} = 10^{\frac{α}{2}}$

Xem đáp án

Chọn A

+) Có $\sqrt{10^{α}} = 10^{\frac{α}{2}}$ với mọi $α$ , nên A đúng.

+) Có ${(10^{α})}^{2} = {(100)}^{α}$ với mọi $α$ , nên B đúng.

+) Có $\sqrt{10^{α}} = {(\sqrt{10})}^{α}$ với mọi $α$ , nên C đúng.

+) Có ${(10^{α})}^{2} = 10^{α^{2}}$ (*), dấu đẳng thức xảy ra khi $α = 0$ hoặc $α = 2$ .

Lấy $α = 1$ thì (*) sai, vậy D sai.

Câu 5:

Tính diện tích xung quanh $S$ của khối trụ có bán kính đáy $r = 4$ và chiều cao $h = 3.$

A. $S = 96 π$

B. $S = 12 π$

C. $S = 48 π$

D. $S = 24 π$

Xem đáp án

Chọn D

Diện tích xung quanh của khối trụ đó là: $S = 2 π r h = 2 π .4.3 = 24 π$ (đvtt).

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 4 z - 25 = 0$ . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

A. $I (- 1; - 2; 2)$ ; $R = 6$

B. $I (1; - 2; 2)$ ; $R = \sqrt{34}$

C. $I (- 1; 2; - 2)$ ; $R = 5$

D. $I (- 2; 4; - 4)$ ; $R = \sqrt{29}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 4 z - 25 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 34$

Vậy $I (1; - 2; 2)$ ; $R = \sqrt{34}$ .

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm $A (3; 2; - 4)$ lên mặt phẳng $(O x y)$ có tọa độ là

A. $(3; 0 - 4)$

B. $(0; 0 - 4)$

C. $(0; 2 - 4)$

D. $(3; 2; 0)$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi A' là hình chiếu vuông góc của điểm $A (3; 2; - 4)$ lên mặt phẳng $(O x y)$ , ta có $A^{'} (3; 2; 0)$ .

Câu 8:

Cho dãy số $\frac{1}{2}; 0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2}; .....$ là cấp số cộng với

A. Số hạng đầu tiên là 0, công sai là $- \frac{1}{2} .$

B. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$ , công sai là $\frac{1}{2} .$

C. Số hạng đầu tiên là $\frac{1}{2}$ , công sai là $- \frac{1}{2} .$

D. Số hạng đầu tiên là 0, công sai là $\frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Chọn C

Nếu dãy số $(u_{n})$ là một cấp số cộng thị công sai d của nó là hiệu của một cặp số hạng liên tiếp bất kì (số hạng sau trừ cho số hạng trước) của dãy số đó

Ta có $\frac{1}{2}; 0; - \frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2}; .....$ là cấp số cộng $\underset{}{\to} \{\begin{cases} u_{1} = \frac{1}{2} \\ u_{2} - u_{1} = - \frac{1}{2} = d \end{cases}$

Câu 9:

Đạo hàm của hàm số $y = π^{x}$ là

A. $y^{'} = \frac{π^{x}}{\ln π}$

B. $y^{'} = π^{x} . \ln π$

C. $y^{'} = x . π^{x - 1}$

D. $y^{'} = x π^{x - 1} \ln π$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $y^{'} = π^{x} . \ln π$

Câu 10:

Cho tập hợp A gồm có 9 phần tử. Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp A là

A. $4 \times 9$

B. $A_{9}^{4}$

C. $P_{4}$

D. $C_{9}^{4}$

Xem đáp án

Chọn D

Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp $A$ là $C_{9}^{4}$ .

Câu 11:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ và có bảng xét dấu $f^{'} (x)$ như sau

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số $y = f (x)$ có hai điểm cực trị

B. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực đại $x = 1$

C. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực tiểu tại $x = - 1$ .

D. Hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại $x = - 2$

Xem đáp án

Chọn D

Cách 1:

Dựa vào bảng xét dấu $f^{'} (x)$ ta nhận thấy hàm số không đạt cực đại tại $x_{0} = - 2$ vì $f^{'} (x)$ không đổi dấu khi x đi qua điểm $x_{0} = - 2$ .

Cách 2:

Bảng biến thiên của hàm số có dạng:

Dựa vào bảng trên ta có hàm số không đạt cực trị tại $x_{0} = - 2$ .

Câu 12:

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(2; + \infty)$

B. $(0; 2)$

C. $(- \infty; 0)$

D. $(- 2; 2)$

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f (x)$ ta có hàm số đồng biến (đồ thị đi lên) trên khoảng $(0; 2)$ .

Câu 13:

Cho hàm f(x) có đạo hàm liên tục trên $[2; 3]$ đồng thời $f (2) = 2, f (3) = 5$ . Khi đó $\int_{2}^{3} f^{'} (x) d x$ bằng

A. 3

B. 10

C. -3

D. 7

Xem đáp án

Chọn A

$\int_{2}^{3} f^{'} (x) d x = f (3) - f (2) = 5 - 2 = 3$

Câu 14:

Cho số phức $z = - 1 + 2 i, w = 2 - i$ . Điểm nào trong hình bên biểu diễn số phức $z + w$ ?

A. P

B. Q

C. M

D. N

Xem đáp án

Chọn A

$z + w = 1 + i$ .

Do đó điểm biểu diễn của số phức $z + w$ là $P (1; 1)$ .

Câu 15:

Cho khối chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c. Tính thể tích của khối chóp đó theo a, b, c.

A. $V = a b c$

B. $V = \frac{a b c}{6}$

C. $V = \frac{a b c}{3}$

D. $V = \frac{a b c}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Áp dụng công thức thể tích khối tứ diện vuông $V = \frac{S A . S B . S C}{6} = \frac{a b c}{6}$ .

Câu 16:

Cho số phức $z_{1} = 1 + i$ và $z_{2} = 2 - 3 i$ . Tìm số phức liên hợp của số phức $w = z_{1} + z_{2}$ ?

A. $\bar{w} = 3 + 2 i$

B. $\bar{w} = 1 - 4 i$

C. $\bar{w} = - 1 + 4 i$

D. $\bar{w} = 3 - 2 i$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $w = z_{1} + z_{2} = 1 + i + 2 - 3 i$ $\Rightarrow w = 3 - 2 i \Rightarrow \bar{w} = 3 + 2 i$ .

Câu 17:

Cho hàm số $f (x) = 2^{x} + x + 1$ . Tìm $\int f (x) d x$

A. $\int f (x) d x = 2^{x} + x^{2} + x + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{1}{\ln 2} 2^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

C. $\int f (x) d x = 2^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{1}{x + 1} 2^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\int (2^{x} + x + 1) d x = \frac{1}{\ln 2} 2^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$ .

Câu 18:

Đường tiệm cận ngang, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 2}$ lần lượt có phương trình là

A. $y = 2, x = 2$

B. $y = 2, x = \frac{1}{2}$

C. $x = 2, y = 2$

D. $y = 2, x = - 2$

Xem đáp án

Câu 19:

Nghiệm của bất phương trình $3^{x + 2} \geq \frac{1}{9}$ là

A. $x < 0$

B. $x \geq - 4$

C. $x \geq 0$

D. $x < 4$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $3^{x + 2} \geq \frac{1}{9} \Leftrightarrow 3^{x + 2} \geq 3^{- 2} \Leftrightarrow x + 2 \geq - 2 \Leftrightarrow x \geq - 4$

Câu 20:

Cho hình nón có bán kính đáy $r = \sqrt{3}$ và độ dài đường sinh $l = 4$ . Tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón đã cho

A. $S_{x q} = 12 π$

B. $S_{x q} = 4 \sqrt{3} π$

C. $S_{x q} = \sqrt{39} π$

D. $S_{x q} = 8 \sqrt{3} π$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có diện tích xung quanh của hình nón là $S_{x q} = π r l$ , với $r = \sqrt{3}$ , $l = 4$ .

Suy ra $S_{x q} = 4 \sqrt{3} π$ .

Vậy hình nón có bán kính đáy $r = \sqrt{3}$ và độ dài đường sinh $l = 4$ có diện tích xung quanh là $S_{x q} = 4 \sqrt{3} π$ .

Câu 21:

Cho tứ diện ABCD có $A C = A D$ và $B C = B D$ . Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Góc giữa 2 mặt phẳng $(A C D)$ và $(B C D)$ là góc $\hat{(A I; B I)}$ .

B. $(B C D) ⊥ (A I B)$

C. Góc giữa 2 mặt phẳng $(A B C)$ và $(A B D)$ là góc $\hat{C B D}$ .

D. $(A C D) ⊥ (A I B)$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 22:

Biết rằng có duy nhất một cặp số thực x,y thỏa mãn $(x + y) + (x - y) i = 5 + 3 i$ . Tính $S = x + 2 y .$

A. $S = 5$

B. $S = 3$

C. $S = 4$

D. $S = 6$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $(x + y) + (x - y) i = 5 + 3 i$ $\Leftrightarrow$ $\{\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $\{\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}$ $\Rightarrow S = 6.$

Câu 23:

Giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 8 x}{x + 1}$ trên đoạn $[1; 3]$ bằng

A. -3

B. -4

C. $- \frac{15}{4}$

D. $- \frac{7}{2}$

Xem đáp án

Câu 24:

Số nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} - x + 2) = 1$ là

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Theo giả thiết ta có:

$\log_{2} (x^{2} - x + 2) = 1 \Leftrightarrow x^{2} - x + 2 = 2^{1} \Leftrightarrow x^{2} - x + 2 - 2 = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Câu 25:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sqrt{3 x + 2}$ là

A. $\frac{3}{2} \frac{1}{\sqrt{3 x + 2}} + C$

B. $\frac{2}{3} (3 x + 2) \sqrt{3 x + 2} + C$

C. $\frac{1}{3} (3 x + 2) \sqrt{3 x + 2} + C$

D. $\frac{2}{9} (3 x + 2) \sqrt{3 x + 2} + C$

Xem đáp án

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (- 2; 4; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(α) : 2 x - 3 y + 6 z + 19 = 0$ có phương trình là

A. $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 6}{3}$

B. $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{- 3} = \frac{z - 3}{6}$

C. $\frac{1}{3} (3 x + 2) \sqrt{3 x + 2} + C$

D. $\frac{2}{9} (3 x + 2) \sqrt{3 x + 2} + C$

Xem đáp án

Câu 27:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = x^{3} (x - 1) (x - 2), \forall x \in ℝ .$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 5

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

Xét, $f^{'} (x) = x^{3} (x - 1) (x - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{array}$ ta có bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận hàm số đã cho có điểm cực trị

Câu 28:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(A B C D)$ , $\hat{S A B} = 30^{0}$ , $S A = 2 a$ . Tính thể tích V của khối chóp $S . A B C D .$

A. $V = \frac{a^{3}}{9} .$

B. $V = \frac{a^{3}}{3} .$

C. $V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{6} .$

D. $V = a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng $(A B C D)$ bằng độ dài đoạn thẳng nào?

A. IA

B. IC

C. IA

D. IO

Xem đáp án

Chọn D

Câu 30:

Với hai số thực dương a,b thỏa mãn $\frac{\log_{3} 5 \log_{5} a}{1 + \log_{3} 2} - \log_{6} b = 2$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. $a = b \log_{6} 3$

B. $a = b \log_{6} 2$

C. $a = 36 b$

D. $2 a + 3 b = 0$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

$\frac{\log_{3} 5. \log_{5} a}{1 + \log_{3} 2} - \log_{6} b = 2 \Leftrightarrow \frac{\log_{3} a}{\log_{3} 6} - \log_{6} b = 2$ $\Leftrightarrow \log_{6} a - \log_{6} b = 2 \Leftrightarrow \log_{6} \frac{a}{b} = 2$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b} = 36 \Leftrightarrow a = 36 b$

Câu 31:

Bất phương trình $4^{x - 15} < 32$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

A. 22

B. 18

C. 17

D. 23

Xem đáp án

Chọn C

$4^{x - 15} < 32 \Leftrightarrow 2^{2 x - 30} < 2^{5}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 x - 30 < 5 \\ \Leftrightarrow x < \frac{35}{2} \end{array}$

Nghiệm của bất phương trình là $x < \frac{35}{2}$

$\Rightarrow$ Các nghiệm nguyên dương của bất phương trình là: $x = 1; 2; 3; ......15; 16; 17$ . Có nghiệm nguyên dương.

Câu 32:

Giá trị của tích phân $I = \int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x$ là

A. $I = 1 + \ln 2$

B. $I = 2 - \ln 2$

C. $I = 1 - \ln 2$

D. $I = 2 + \ln 2$

Xem đáp án

Chọn C

$I = \int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x = \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{x + 1}) d x = \int_{0}^{1} d x - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d (x + 1)$ $= {x|}_{0}^{1} - {\ln |x + 1||}_{0}^{1} = 1 - \ln 2$ .

Câu 33:

Hàm số $y = \sqrt{2018 x - x^{2}}$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. $(1; 2018)$

B. $(1010; 2018)$

C. $(2018; + \infty)$

D. $(0; 1009)$

Xem đáp án

Chọn B

Tập xác định: $D = [0; 2018]$ ; $y^{'} = \frac{2018 - 2 x}{2 \sqrt{2018 x - x^{2}}}$ ; $y^{'} = 0 \Rightarrow x = 1009$

.

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1009; 2018)$ . Do đó hàm số nghịch biến trên $(1010; 2018)$

Câu 34:

Tìm số phức z thỏa mãn $(2 - 3 i) z - (9 - 2 i) = (1 + i) z .$

A. $1 + 2 i$

B. $1 - 2 i$

C. $\frac{13}{5} + \frac{16}{5} i$

D. $- 1 - 2 i$

Xem đáp án

Chọn A

$(2 - 3 i) z - (9 - 2 i) = (1 + i) z \Leftrightarrow [(2 - 3 i) - (1 + i)] z = 9 - 2 i \Leftrightarrow z = \frac{9 - 2 i}{1 - 4 i} = 1 + 2 i .$

Câu 35:

Tổ 1 lớp 11A có 6 nam và 7 nữ; tổ 2 có 5 nam và 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh. Xác suất để 2 học sinh được chọn đều là nữ là

A. $\frac{28}{39}$

B. $\frac{15}{169}$

C. $\frac{56}{169}$

D. $\frac{30}{169}$

Xem đáp án

Câu 36:

Trong hình vẽ bên, điểm A biểu diễn số phức $z_{1}$ , điểm B biểu diễn số phức $z_{2}$ sao cho điểm B đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm $|z|$ biết số phức $z = z_{1} + 3 z_{2}$ .

A. $\sqrt{17}$

B. 4

C. $2 \sqrt{5}$

D. 5

Xem đáp án

Câu 37:

Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 x^{2}$ tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là 0, 1 và m. Tính $S = m^{2} + n^{2}$ .

A. $S = 1$

B. $S = 2$

C. $S = 3$

D. $S = 0$

Xem đáp án

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (2; 3; - 5)$ , $B (- 4; 1; 3)$ . Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 26$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 26$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 26$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 26$

Xem đáp án

Câu 39:

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) và trục hoành gồm 2 phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích $S_{1} = \frac{8}{3}$ và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích $S_{2} = \frac{5}{12}$ . Tính $I = \int_{- 1}^{0} f (3 x + 1) d x$

A. $I = \frac{27}{4}$

B. $I = \frac{5}{3}$

C. $I = \frac{3}{4}$

D. $I = \frac{37}{36}$

Xem đáp án

Câu 40:

Trong không gian Oxyz cho điểm $M (1; 0; 1)$ và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3} .$ Đường thẳng đi qua M vuông góc với d và cắt Oz có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = 0 \\ z = 1 - t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{cases}$

Xem đáp án

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại $\forall x \in ℝ$ , hàm số $f^{'} (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ có đồ thị

Số điểm cực trị của hàm số $y = f [f^{'} (x)]$ là

A. 7

B. 11

C. 9

D. 8

Xem đáp án

Chọn A

Quan sát đồ thị, nhận thấy đồ thị hàm số

$f^{'} (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ đi qua các điểm $O (0; 0); A (- 1; 0); B (1; 0)$ .

Khi đó ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} c = 0 \\ a + b = - 1 \\ a - b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = - 1 \\ c = 0 \end{cases} \Rightarrow f^{'} (x) = x^{3} - x \Rightarrow f^{''} (x) = 3 x^{2} - 1$ .

Đặt: $g (x) = f (f^{'} (x))$

Ta có:

$g^{'} (x) = {(f [f^{'} (x)])}^{'} = f^{'} [f^{'} (x)] . f^{''} (x) = [{(x^{3} - x)}^{3} - (x^{3} - x)] (3 x^{2} - 1)$

$= x (x - 1) (x + 1) (x^{3} - x - 1) (x^{3} - x + 1) (3 x^{2} - 1)$

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ x^{3} - x - 1 = 0 \\ x^{3} - x + 1 = 0 \\ 3 x^{2} - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ x = a (\approx 0, 76) \\ x = b (b \approx - 1, 32) \\ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}$

Ta có bảng biến thiên:

* Cách xét dấu $g^{'} (x)$ : chọn $x = 2 \in (1; + \infty)$

ta có: $g^{'} (2) > 0 \Rightarrow g^{'} (x) > 0 \forall x \in (1; + \infty)$ ,

từ đó suy ra dấu của $g^{'} (x)$ trên các khoảng còn lại.

Dựa vào BBT suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.

* Trắc nghiệm: Số điểm cực trị bằng số nghiệm đơn

( nghiệm bội lẻ) của phương trình đa thức $g^{'} (x) = 0$ .

PT $g^{'} (x) = 0$ có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho có 7 điểm cực trị

Câu 42:

S là tập tất cả các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình $4^{x} - m 2^{x} - m + 15 > 0$ có nghiệm đúng với mọi $x \in [1; 2]$ . Tính số phần tử của S

A. 6

B. 4

C. 9

D. 7

Xem đáp án

Câu 43:

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a và $(A^{'} B C)$ hợp với mặt đáy ABC một góc $30 °$ . Tính thể tích V của khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ .

A. $\frac{3 a^{3}}{8}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24}$

Xem đáp án

Câu 44:

Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng một nửa elip như hình bên. Biết một nửa trục lớn $A B = 6 c m$ , trục bé $C D = 8 c m$ . Diện tích bề mặt hoa văn đó bằng

A. $400 - 48 π$ $(c m^{2})$

B. $400 - 96 π$ $(c m^{2})$

C. $400 - 24 π$ $(c m^{2})$

D. $400 - 36 π$ $(c m^{2})$

Xem đáp án

Chọn A

Chứng minh: Công thức tính diện tích elip $(E) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (trục lớn 2a, độ dài trục bé 2b).

Gọi $S_{1}$ là diện tích của elip nằm ở góc phần tư thứ nhất => $S_{1} = \int_{0}^{a} b \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} d x$ (đvdt).

Đặt $\frac{x}{a} = \sin t$ => $d x = a \cos t d t$ ; Đổi cận $x = 0$ => $t = 0$ => x=a => $t = \frac{π}{2}$ .

Suy ra $S_{1} = b \int_{0}^{\frac{π}{2}} a \sqrt{1 - \sin^{2} t} \cos t d t = a b \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} t d t = \frac{a b}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \cos 2 t) d t = \frac{a b}{2} {(t + \frac{1}{2} \sin 2 t)|}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π a b}{4}$ .

Vậy $S_{e l i p} = 4 S_{1} = π a b$ .

Áp dụng: Diện tích của nửa elip có độ dài một nửa trục lớn $A B = 6 c m$ , trục bé $C D = 8 c m$ là $\frac{1}{2} π .6.4 = 12 π$ .

Diện tích bề mặt hoa văn đó là $S = S_{h i n h_v u o n g} - 4 S_{n u a_e l i p} = 20^{2} - 4.12 π = 400 - 48 π$ $(c m^{2})$ .

Câu 45:

Trên một cánh đồng có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 4 mét còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung.

A. $2, 824 m^{2}$

B. $1, 989 m^{2}$

C. $1, 034 m^{2}$

D. $1, 574 m^{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi $(C_{1}) : x^{2} + y^{2} = 9 \lor (C_{2}) : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4$ là phương trình hai đường tròn biểu diễn phần ăn cỏ của 2 con bò.

Xét phần phía trên Ox

$\begin{array}{l} (C_{1}) : x^{2} + y^{2} = 9 \Rightarrow y = \sqrt{9 - x^{2}} \\ (C_{2}) : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 4 \Rightarrow y = \sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} \end{array}$

Phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{9 - x^{2}} = \sqrt{- x^{2} + 8 x - 12} \Leftrightarrow x = \frac{21}{8}$

Vậy $S = 2 [\int_{2}^{\frac{21}{8}} \sqrt{4 - {(x - 4)}^{2}} d x + \int_{\frac{21}{8}}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x]$

$I = \int_{\frac{21}{8}}^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x \overset{x = 3 \sin t}{=} \int_{\arcsin \frac{7}{8}}^{\frac{π}{6}} 9 \cos^{2} t d t = 9. \int_{\arcsin \frac{7}{8}}^{\frac{π}{6}} \frac{\cos 2 t + 1}{2} d t = {9 (\frac{1}{4} \sin 2 t + \frac{t}{2})|}_{\arcsin \frac{7}{8}}^{\frac{π}{6}} \approx 0, 3679$

$J = \int_{2}^{\frac{21}{8}} \sqrt{4 - {(x - 4)}^{2}} d x \overset{x - 4 = 2 \sin t}{=} \int_{- \frac{π}{2}}^{\arcsin (- \frac{11}{16})} 4 \cos^{2} t d t = 4. \int_{- \frac{π}{2}}^{\arcsin (- \frac{11}{16})} \frac{\cos 2 t + 1}{2} d t = {4 (\frac{1}{4} \sin 2 t + \frac{t}{2})|}_{- \frac{π}{2}}^{\arcsin (- \frac{11}{16})} \approx 0, 627$

$\Rightarrow S \approx 1, 9898$

Câu 46:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa $\int_{0}^{3} f (\sqrt{x^{2} + 16} + x) d x = 2019,$ $\int_{4}^{8} \frac{f (x)}{x^{2}} d x = 1.$

Tính $\int_{4}^{8} f (x) d x .$

A. 2019

B. 4022

C. 2020

D. 4038

Xem đáp án

Chọn B

Xét $I_{1} = \int_{0}^{3} f (\sqrt{x^{2} + 16} + x) d x = 2019$ .

Đặt $u = \sqrt{x^{2} + 16} + x \Leftrightarrow u - x = \sqrt{x^{2} + 16} \Rightarrow x = \frac{u^{2} - 16}{2 u} \Rightarrow d x = \frac{u^{2} + 16}{2 u^{2}} d u .$

Khi $x = 0 \Rightarrow u = 4.$

Khi $x = 3 \Rightarrow u = 8.$

=> $I_{1} = \frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{u^{2} + 16}{u^{2}} f (u) d u = 2019 \Rightarrow \int_{4}^{8} \frac{x^{2} + 16}{x^{2}} f (x) d x = \int_{4}^{8} \frac{u^{2} + 16}{u^{2}} f (u) d u = 4038.$

=> $\int_{4}^{8} \frac{x^{2} + 16}{x^{2}} f (x) d x = 4038 \Leftrightarrow \int_{4}^{8} f (x) d x + 16 \int_{4}^{8} \frac{f (x)}{x^{2}} d x = 4038 \Leftrightarrow \int_{4}^{8} f (x) d x = 4038 - 16 = 4022.$

Do $\int_{4}^{8} \frac{f (x)}{x^{2}} d x = 1 .$

Kết luận: $\int_{4}^{8} f (x) d x = 4022.$

Câu 47:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - m x^{3} + \frac{3}{2} (m^{2} - 1) x^{2} + (1 - m^{2}) x + 2019$ với m là tham số thực. Biết rằng hàm số $y = f (|x|)$ có số điểm cực trị lớn hơn 5 khi $a < m^{2} < b + 2 \sqrt{c} (a, b, c \in ℝ)$ . Tích abc bằng

A. 8

B. 6

C. 16

D. 18

Xem đáp án

Câu 48:

Cho phương trình: $2^{x^{3} + x^{2} - 2 x + m} - 2^{x^{2} + x} + x^{3} - 3 x + m = 0$ . Tập các giá trị để bất phương trình có ba nghiệm phân biệt có dạng $(a; b)$ . Tổng $a + 2 b$ bằng:

A. 2

B. -4

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $2^{x^{3} + x^{2} - 2 x + m} - 2^{x^{2} + x} + x^{3} - 3 x + m = 0 \Leftrightarrow 2^{x^{3} + x^{2} - 2 x + m} + x^{3} + x^{2} - 2 x + m = 2^{x^{2} + x} + x^{2} + x (*)$ .

Xét hàm số $f (t) = 2^{t} + t$ trên $ℝ$ .

Ta có: $f^{'} (t) = 2^{t} \ln 2 + 1 > 0, \forall t \in ℝ \Rightarrow$ Hàm số $f (t)$ đồng biến trên $ℝ$ .

Mà $(*) \Leftrightarrow f (x^{3} + x^{2} - 2 x + m) = f (x^{2} + x) \Leftrightarrow x^{3} + x^{2} - 2 x + m = x^{2} + x$

$\Leftrightarrow x^{3} - 3 x + m = 0 \Leftrightarrow m = - x^{3} + 3 x (* *)$ .

Xét hàm số $g (x) = - x^{3} + 3 x$ trên $ℝ$ .

Ta có: $g^{'} (x) = - 3 x^{2} + 3$ .

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

Bảng biến thiên:

Phương trình $2^{x^{3} + x^{2} - 2 x + m} - 2^{x^{2} + x} + x^{3} - 3 x + m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow$ phương trình (**) có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow - 2 < m < 2 \Rightarrow \{\begin{cases} a = - 2 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow a + 2 b = 2$ .

Câu 49:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z - 4| + 2 |z - 3 + 2 i|$ .

A. $P = 2 \sqrt{5}$

B. $P = \sqrt{3}$

C. $P = 4 \sqrt{2}$

D. $P = \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu $(S_{1}), (S_{2})$ lần lượt có phương trình là $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 2 z - 22 = 0$ , $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y + 2 z + 5 = 0$ . Xét các mặt phẳng $(P)$ thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi $M (a; b; c)$ là điểm mà tất cả các $m p (P)$ đi qua. Tính tổng $S = a + b + c .$

A. $S = - \frac{5}{2}$

B. $S = \frac{5}{2}$

C. $S = - \frac{9}{2}$

D. $S = \frac{9}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Mặt cầu $(S_{1})$ có tâm $I_{1} = (1; 1; 1)$ , bán kính $R_{1} = 5$ . Mặt cầu $(S_{2})$ có tâm $I_{2} = (3; - 2; - 1)$ , bán kính $R_{2} = 3$ . Ta có $|R_{1} - R_{2}| < I_{1} I_{2} = \sqrt{17} < R_{1} + R_{2}$ nên hai mặt cầu này cắt nhau. Do đó mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc ngoài hai mặt cầu.

Giả sử mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc $(S_{1}), (S_{2})$ theo thứ tự tại điểm $H_{1}, H_{2}$ . Gọi $M = I_{1} I_{2} \cap (P)$ theo định lý Talet ta có $\frac{M I_{2}}{M I_{1}} = \frac{I_{2} H_{2}}{I_{1} H_{1}} = \frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{3}{5}$ $\Rightarrow \vec{M I_{2}} = \frac{3}{5} \vec{M I_{1}} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 - a = \frac{3}{5} (1 - a) \\ - 2 - b = \frac{3}{5} (1 - b) \\ - 1 - c = \frac{3}{5} (1 - c) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 6 \\ b = - \frac{13}{2} \\ c = - 4 \end{cases}$ . Vậy các mặt phẳng $(P)$ luôn đi qua điểm $M (6; \frac{- 13}{2}; - 4)$ và $S = a + b + c = - \frac{9}{2}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 15)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan