50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 21)

Câu 1:

Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?

A. $C_{10}^{2} .$

B. $A_{10}^{2} .$

C. $10^{2} .$

D. $2^{10} .$

Xem đáp án

Chọn A

Mỗi cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh tương ứng với một tổ hợp chập 2 của tập có 10 phần tử. Vậy số cách chọn 2 học sinh từ 10 học sinh là $C_{10}^{2} .$

Câu 2:

Cho cấp số cộng (Un) có $u_{1} = - 2$ và công sai $d = 3$ . Tìm số hạng $u_{10}$ .

A. $u_{10} = - {2.3}^{9} .$

B. $u_{10} = 25.$

C. $u_{10} = 28.$

D. $u_{10} = - 29.$

Xem đáp án

Chọn B

Áp dụng công thức $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ , suy ra $u_{10} = u_{1} + 9 d$ $= - 2 + 9.3 = 25$ .

Vậy $u_{10} = 25.$

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x). Biết rằng hàm số $f (x)$ có đạo hàm là và hàm số $y = f' (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?

A. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên $(- 2; 1)$

B. Hàm số $f (x)$ nghịch biến trên đoạn $(- 1; 1)$

C. Hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$

D. Hàm số $f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$

Xem đáp án

Chọn B

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$ ta thấy:

- $f^{'} (x) > 0$ khi $[\begin{array}{l} - 2 < x < 1 \\ x > 1 \end{array} \Rightarrow$ $f (x)$ đồng biến trên các khoảng $(- 2; 1)$ , $(1; + \infty)$ .

Suy ra A và C đều đúng.

- $f^{'} (x) < 0$ khi $x < - 2 \Rightarrow$ $f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ .

Suy ra D đúng, B sai

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0

C. Hàm số có 2 điểm cực tiểu

D. Hàm số có ba điểm cực trị.

Xem đáp án

Chọn B

A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 (Đúng).

B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 (Sai vì hàm số có giá trị cực đại bằng 3).

C. Hàm số có 2 điểm cực tiểu (Đúng).

D. Hàm số có ba điểm cực trị (Đúng).

Câu 5:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây :

Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Xem đáp án

Chọn C

Theo định nghĩa về cực trị thì hàm số có hai cực trị

Câu 6:

Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3 - 2 x}{x - 2}$

A. $x = - 2$

B. $x = 2$

C. $y = - 2$

D. $y = 3$

Xem đáp án

Chọn B

Vì $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{3 - 2 x}{x - 2} = - \infty$ và $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{3 - 2 x}{x - 2} = + \infty$ nên đồ thị hàm số $y = \frac{3 - 2 x}{x - 2}$ nhận đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng.

Câu 7:

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây

A. $y = x^{3} - 2 x^{2} + 3$

B. $y = - x^{3} + 2 x^{2} + 3$

C. $y = x^{4} - 3 x^{2} + 3$

D. $y = - x^{3} - 2 x^{2} + 3$

Xem đáp án

Chọn A

Đồ thị hàm số có hình dạng của hàm bậc ba nên loại đáp án C.

Hàm số có hệ số $a > 0$ nên chọn đáp án A.

Câu 8:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Phương trình $f (x) - 1 = 0$ có mấy nghiệm ?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Chọn D

Ta có : $f (x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f (x) = 1$ .

Đồ thị của hàm số $y = f (x)$ cắt đường thẳng $y = 1$ tại bốn điểm phân biệt.

Vậy phương trình $f (x) - 1 = 0$ có 4 nghiệm.

Câu 9:

Cho b là số thực dương tùy ý, $\log_{3^{2}} b$ bằng

A. $2 \log_{3} b$

B. $\frac{1}{2} \log_{3} b$

C. $- 2 \log_{3} b$

D. $- \frac{1}{2} \log_{3} b$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\log_{3^{2}} b = \frac{1}{2} \log_{3} b$ .

Câu 10:

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2017^{x}$ ?

A. $y^{'} = x {.2017}^{x - 1}$

B. $y^{'} = 2017^{x} \ln 2017$

C. $y^{'} = x {.2017}^{x - 1} . l n 2017$

D. $y^{'} = \frac{2017^{x}}{\ln 2017}$

Xem đáp án

Chọn B

* Áp dụng công thức ${(a^{x})}^{'} = a^{x} . \ln a$ suy ra ${(2017^{x})}^{'} = 2017^{x} . \ln 2017$ .

Câu 11:

Cho a là số thực dương và $a \neq 1$ . Giá trị của biểu thức $M = {(a^{1 + \sqrt{2}})}^{1 - \sqrt{2}}$ bằng

A. $a^{2} .$

B. $a^{2 \sqrt{2}} .$

C. $a .$

D. $\frac{1}{a} .$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $M = {(a^{1 + \sqrt{2}})}^{1 - \sqrt{2}} = a^{1 - 2} = a^{- 1} = \frac{1}{a}$ . Vậy $M = \frac{1}{a}$ .

Câu 12:

Số nghiệm phương trình $3^{x^{2} - 9 x + 8} - 1 = 0$ là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $3^{x^{2} - 9 x + 8} - 1 = 0 \Leftrightarrow 3^{x^{2} - 9 x + 8} = 3^{0} \Leftrightarrow x^{2} - 9 x + 8 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 8 \\ x = 1 \end{array}$

Câu 13:

Nghiệm của phương trình $\log (x^{2} + x + 4) = 1$ là

A. $\{- 3; 2\}$

B. $\{- 3\}$

C. $\{2\}$

D. $\{- 2; 3\}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\log (x^{2} + x + 4) = 1$ $\Leftrightarrow$ $x^{2} + x + 4 = 10$ $\Leftrightarrow$ $[\begin{array}{l} x = - 3 \\ x = 2 \end{array}$

Vậy, phương trình có tập nghiệm: $S = \{- 3; 2\}$ .

Câu 14:

Mệnh đề nào sau đây đúng

A. $\int e^{x} d x = e^{x} + C$

B. $\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C$

C. $\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = - \tan x + C$

D. $\int \sin x d x = \cos x + C$

Xem đáp án

Chọn A

Từ bảng nguyên hàm cơ bản ta chọn đáp án A.

Câu 15:

Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\int \sin 3 x dx = \frac{1}{3} \cos 3 x + C$

B. $\int e^{x} dx = e^{x} + C$

C. $\int x^{3} dx = \frac{x^{4}}{4} + C$

D. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\int \sin 3 x dx = - \frac{1}{3} \cos 3 x + C$

Do đó mệnh đề A sai.

Câu 16:

Nếu $\int_{1}^{2} f (x) d x = 3, \int_{2}^{5} f (x) d x = - 1$ thì $\int_{1}^{5} f (x) d x$ bằng

A. 2

B. -2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn A

$\int_{1}^{5} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{5} f (x) d x = 3 - 1 = 2$

Câu 17:

Tích phân $I = \int_{0}^{2} (2 x - 1) d x$ có giá trị bằng:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn B

$I = \int_{0}^{2} (2 x - 1) d x = {(x^{2} - x)|}_{0}^{2} = 2$ .

Câu 18:

Cho số phức liên hợp của số phức z là $\bar{z} = 1 - 2020 i$ khi đó

A. $z = 1 + 2020 i$

B. $z = - 1 - 2020 i$

C. $z = - 1 + 2020 i$

D. $z = 1 - 2020 i$

Xem đáp án

Chọn A

Số phức liên hợp của số phức z là $\bar{z} = 1 - 2020 i$ nên $z = 1 + 2020 i$ .

Câu 19:

Thu gọn số phức $z = i + (2 - 4 i) - (3 - 2 i)$ ta được?

A. $z = - 1 - i$

B. $z = 1 - i$

C. $z = - 1 - 2 i$

D. $z = 1 + i$

Xem đáp án

Chọn A

Có: $z = - 1 - i$ .

Câu 20:

Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn số phức liên hợp của $z = 2 i - 3 ?$

A. M

B. N

C. P

D. Q

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $z = 2 i - 3 = - 3 + 2 i \Rightarrow \bar{z} = - 3 - 2 i$

Þ Điểm biểu diễn của $\bar{z}$ là $Q (- 3; - 2)$

Câu 21:

Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng

A. $6 a^{3}$

B. $8 a^{3}$

C. $4 a^{3}$

D. $2 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

$V = {(2 a)}^{3} = 8 a^{3}$ .

Câu 22:

Khối lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy là tam giác vuông tại với $A B = a$ , $A C = 2 a \sqrt{3}$ , cạnh bên $A A^{'} = 2 a$ . Thể tích khối lăng trụ bằng bao nhiêu?

A. $a^{3}$

B. $a^{3} \sqrt{3}$

C. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $2 a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $V = S_{A B C} . A A^{'} = \frac{a .2 a \sqrt{3}}{2} .2 a = 2 a^{3} \sqrt{3}$

Câu 23:

Cho khối nón có bán kính đáy $r = 2,$ chiều cao $h = \sqrt{3} .$ Thể tích của khối nón là

A. $\frac{4 π \sqrt{3}}{3} .$

B. $\frac{4 π}{3} .$

C. $\frac{2 π \sqrt{3}}{3} .$

D. $4 π \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Chọn A

Khối nón có thể tích là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{4 π \sqrt{3}}{3}$

Câu 24:

Cho hình trụ có chiều cao bằng 1 diện tích đáy bằng 3. Tính thể tích khối trụ đó

A. $3 π .$

B. 3

C. 1

D. $π$

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích khối trụ: $V = B . h = 3.1 = 3.$

Câu 25:

Trong không gian tọa độ Oxyz, tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm $A (2; 1; - 1)$ lên trục tung

A. $H (2; 0; - 1)$

B. $H (0; 1; 0)$

C. $H (0; 1; - 1)$

D. $H (2; 0; 0)$

Xem đáp án

Chọn B

Vì H là hình chiếu của A lên Oy, suy ra $H \in O y$ nên chỉ có đáp án B thỏa mãn

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 4 z - 25 = 0$ . Tìm tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu (S) .

A. $I (1; - 2; 2); R = \sqrt{34}$

B. $I (- 1; 2; - 2); R = 5$

C. $I (- 2; 4; - 4); R = \sqrt{29}$

D. $I (1; - 2; 2); R = 6$

Xem đáp án

Chọn A

Mặt cầu (S) có tâm $I (1; - 2; 2); R = \sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2} + 25} = \sqrt{34}$ .

Vậy, ta chọn A.

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng $(P) : x - m^{2} y + 2 z + m - \frac{3}{2} = 0$ ; $(Q) : 2 x - 8 y + 4 z + 1 = 0$ , với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hai mặt phẳng trên song song với nhau

A. $m = \pm 2$

B. Không tồn tại m

C. $m = 2$

D. $m = - 2$

Xem đáp án

Chọn D

Hướng dẫn: để $(P) // (Q)$ thì $\frac{1}{2} = \frac{- m^{2}}{- 8} = \frac{2}{4} \neq \frac{m - \frac{3}{2}}{1}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m = \pm 2 \\ 4 m - 6 \neq 2 \end{cases} \Leftrightarrow m = - 2$

Câu 28:

Cho hai điểm $A (4; 1; 0)$ , $B (2; - 1; 2)$ . Trong các vectơ sau, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $A B$ .

A. $\vec{u} = (1; 1; - 1)$

B. $\vec{u} = (3; 0; - 1)$

C. $\vec{u} = (6; 0; 2)$

D. $\vec{u} = (2; 2; 0)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\vec{A B} = (- 2; - 2; 2)$ $\Rightarrow \vec{u} = (1; 1; - 1)$ .

Câu 29:

Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá bích là

A. $\frac{1}{13}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{12}{13}$

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

Chọn B

Số phần tử không gian mẫu: $n (Ω) = 52$

Số phần tử của biến cố xuất hiện lá bích: $n (A) = 13$

Suy ra $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ .

Câu 30:

Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 12 x - 1$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 4)$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 3; 4)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 3; + \infty)$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(4; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn D

Tập xác định: $D = ℝ$ .

Ta có $y^{'} = x^{2} - x - 12. y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - x - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 3 \\ x = 4 \end{array} .$

Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng $(4; + \infty)$ .

Câu 31:

Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ trên đoạn $[2; 3]$ . Tính $M^{2} + m^{2}$

A. $16$

B. $\frac{45}{4}$

C. $\frac{25}{4}$

D. $\frac{89}{4}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $y^{'} = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \neq 1$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1), (1; + \infty)$

=> Hàm số nghịch biến trên $[2; 3]$

Do đó: $m = \underset{[2; 3]}{m i n} y = y (3) = \frac{5}{2}, M = \underset{[2; 3]}{M a x} y = y (2) = 4$

Vậy: $M^{2} + m^{2} = 4^{2} + {(\frac{5}{2})}^{2} = \frac{89}{4}$

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình $\ln (1 - x) < 0$

A. $(- \infty; 1)$

B. $(0; 1)$

C. $(0; + \infty)$

D. $(- \infty; 0)$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\ln (1 - x) < 0 \Leftrightarrow 0 < 1 - x < e^{0} \Leftrightarrow 0 < x < 1$

Câu 33:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn $\int_{- 5}^{1} f (x) d x = 9$ . Tính tích phân $\int_{0}^{2} [f (1 - 3 x) + 9] d x$

A. 27

B. 21

C. 15

D. 75

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $t = 1 - 3 x$ . $\Rightarrow d t = - 3 d x$

Với $x = 0 \to t = 1$ và $x = 2 \to t = - 5$ .

Ta có $\int_{0}^{2} [f (1 - 3 x) + 9] d x$ $= \int_{0}^{2} f (1 - 3 x) d x + \int_{0}^{2} 9d x$ $= \int_{1}^{- 5} [f (t)] \frac{d t}{- 3} + 9 x |_{0}^{2}$ $= \frac{1}{3} \int_{- 5}^{1} [f (x)] d x + 18$

$= \frac{1}{3} .9 + 18 = 21$

.

Câu 34:

Cho hai số phức $z_{1} = 4 - 3 i + {(1 - i)}^{3}$ và $z_{2} = 7 + i$ . Phần thực của số phức $w = 2 \bar{\bar{z_{1}} z_{2}}$ bằng

A. 9

B. 2

C. 18

D. -74

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $z_{1} = 4 - 3 i + (1 - 3 i + 3 i^{2} - i^{3}) = 4 - 3 i + (1 - 3 i - 3 + i) = 2 - 5 i$ .

Suy ra ${\bar{z}}_{1} . z_{2} = (2 + 5 i) (7 + i) = 9 + 37 i \Rightarrow \bar{\bar{z_{1}} . z_{2}} = 9 - 37 i .$

Do đó $w = 2 (9 - 37 i) = 18 - 74 i$ .

Vậy phần thực của số phức $w = 2 \bar{\bar{z_{1}} z_{2}}$ bằng 18.

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ( $A B C$ ). Tam giác ABC là vuông cân tại B. Độ dài các cạnh $S A = A B = a$ . Khi đó góc giữa SA và mặt phẳng $(S B C)$ bằng

A. $60^{0}$

B. $30^{0}$

C. $90^{0}$

D. $45^{0}$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng

A. $a \sqrt{2}$

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Tam giác SAB vuông cân tại S. Gọi H trung điểm SB, ta có $A H ⊥ S B$ .

$B C ⊥ S A; B C ⊥ A B$ $\Rightarrow$ $B C ⊥ (S A B)$ $\Rightarrow$ $B C ⊥ A H$ .

Vậy $A H ⊥ (S B C)$ => $d (A; (S B C)) = A H$ = $\frac{1}{2} S B$ = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có tâm $I (- 1; 4; 2)$ và bán kính $R = 9$ . Phương trình của mặt cầu (S) là:

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 81.$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9.$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9.$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 81.$

Xem đáp án

Chọn A

Mặt cầu (S) có tâm $I (- 1; 4; 2)$ và bán kính $R = 9$ nên $(S)$ có phương trình ${(x + 1)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 81$ .

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm $M (- 1; 0; 0)$ và $N (0; 1; 2)$ có phương trình $\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$

A. $\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$

B. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$

C. $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{2}$

D. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Đường thẳng đi qua hai điểm $M (- 1; 0; 0)$ và $N (0; 1; 2)$ có một véctơ chỉ phương là $\vec{M N} = (1; 1; 2)$ do đó nó có phương trình chính tắc là $\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$ .

Câu 39:

Hàm số y=f(x) có đồ thị $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ.

Xét hàm số $g (x) = f (x) - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2017$

Trong các mệnh đề dưới đây

(I) $g (0) < g (1)$ .

(II) $\min_{x \in [- 3; 1]} g (x) = g (- 1)$ .

(III) Hàm số $g (x)$ nghịch biến trên $(- 3; - 1)$ .

(IV). $\max_{x \in [- 3; 1]} g (x) = \max \{g (- 3), g (1)\}$

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $g' (x) = f' (x) - x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} = f' (x) - (x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{3}{2})$

$\{\begin{cases} f' (- 1) = - 2 \\ f' (1) = 1 \\ f' (- 3) = 3 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} g' (- 1) = 0 \\ g' (1) = 0 \\ g' (- 3) = 0 \end{cases}$

Căn cứ vào đồ thị ta có:

Vẽ Parabol (P): $y = x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{3}{2}$ trên cùng hệ trục với đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$

Ta có: Trên $(- 3; - 1)$ thì $f' (x) < x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{3}{2}$ nên $g' (x) < 0 \forall x \in (- 3; - 1)$

Trên $(- 1; 1)$ thì $f' (x) > x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{3}{2}$ nên $g' (x) > 0 \forall x \in (- 1; 1)$

Khi đó BBT của hàm số $g (x)$ trên đoạn : $[- 3; 1]$

Vậy $\min_{x \in [- 3; 1]} g (x) = g (- 1)$ , $g (0) < g (1)$ ,

hàm số $g (x)$ nghịch biến trên $(- 3; - 1)$

và $\max_{x \in [- 3; 1]} g (x) = \max \{g (- 3), g (- 1)\}$

Câu 40:

Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ${(\sqrt{10} + 1)}^{x} - m {(\sqrt{10} - 1)}^{x} > 3^{x + 1}$ nghiệm đúng với mọi $x \in ℝ$ là :

A. $m < - \frac{7}{4}$

B. $m < - \frac{9}{4}$

C. $m < - 2$

D. $m < - \frac{11}{4}$

Xem đáp án

Chọn B

+) Xét bất phương trình ${(\sqrt{10} + 1)}^{x} - m {(\sqrt{10} - 1)}^{x} > 3^{x + 1}$ $(1)$ .

+) (1) $\Leftrightarrow {(\frac{\sqrt{10} + 1}{3})}^{x} - m {(\frac{\sqrt{10} - 1}{3})}^{x} > 3$ .

+) Nhận xét : $\frac{\sqrt{10} + 1}{3} . \frac{\sqrt{10} - 1}{3} = 1 \Rightarrow (\frac{\sqrt{10} - 1}{3}) = {(\frac{\sqrt{10} + 1}{3})}^{- 1}$ .

Do đó $(1) \Leftrightarrow {(\frac{\sqrt{10} + 1}{3})}^{x} - m {(\frac{\sqrt{10} + 1}{3})}^{- x} > 3$ .

+) Đặt $t = {(\frac{\sqrt{10} + 1}{3})}^{x}$ , $t > 0$

Khi đó (1) $t - \frac{m}{t} > 3 \Leftrightarrow t^{2} - 3 t > m$ trở thành: (2)

+) $(1)$ nghiệm đúng với mọi $x \in ℝ$ $\Leftrightarrow (2)$ nghiệm đúng với mọi $t > 0$ .

+) Ta có bảng biến thiên

+) Từ bảng biến thiên ta có $m < - \frac{9}{4}$ .

Câu 41:

Giả sử hàm số y=f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên $(0; + \infty)$ và thỏa mãn $f (1) = e,$ $f (x) = f^{'} (x) . \sqrt{3 x + 1},$ với mọi $x > 0$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $10 < f (5) < 11$

B. $4 < f (5) < 5$

C. $11 < f (5) < 12$

D. $3 < f (5) < 4$

Xem đáp án

Chọn A

Xét $x \in (0; + \infty)$ và $f (x) > 0$ ta có: $f (x) = f^{'} (x) . \sqrt{3 x + 1} \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}} .$

$\Rightarrow \int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}} d x \Leftrightarrow \int \frac{1}{f (x)} d (f (x)) = \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 \sqrt{3 x + 1}} d (3 x + 1)$

$\Rightarrow \ln (f (x)) = \frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} + C \Rightarrow f (x) = e^{\frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} + C}$

Theo bài $f (1) = e$ nên $e^{\frac{4}{3} + C} = e \Rightarrow C = - \frac{1}{3} \Rightarrow f (x) = e^{\frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} - \frac{1}{3}}$

Do đó $f (5) \approx 10, 3123 \Rightarrow 10 < f (5) < 11.$

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức $z = x + y i$ thỏa mãn hai điều kiện $|z + 1 - i| + 10 = |z|$ và $\frac{x}{y} = - \frac{1}{2}$ .

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

Ta có : $\frac{x}{y} = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow y = - 2 x$

Mặt khác $|z + 1 - i| + 10 = |z|$ $\Leftrightarrow \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} + 10 = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Suy ra $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(- 2 x - 1)}^{2}} + 10 = \sqrt{x^{2} + {(- 2 x)}^{2}}$ .

$\Leftrightarrow \sqrt{5 x^{2} + 6 x + 2} + 10 = \sqrt{5 x^{2}}$

$\Leftrightarrow 5 x^{2} + 6 x + 2 + 100 + 20 \sqrt{5 x^{2} + 6 x + 2} = 5 x^{2}$

$\Leftrightarrow 10 \sqrt{5 x^{2} + 6 x + 2} = - 51 - 3 x$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq - 17 \\ 491 x^{2} + 294 x - 2401 = 0 \end{cases}$

Phương trình vô nghiệm.

Do đó không có số phức thỏa mãn.

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(S A D)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ ; góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $60 °$ . Tính theo a thể tích khối chóp $S . A B C D$ .

A. $3 a^{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{9}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

D. $3 \sqrt{2} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) \\ (S A D) ⊥ (A B C D) \\ (S A B) \cap (S A D) = S A \end{cases} \Rightarrow S A ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow A C$ là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng $(A B C D)$

$\Rightarrow (\hat{S C, (A B C D)}) = \hat{S C A} = 60 °$

Tam giác SAC vuông tại A có $S A = A C . \tan 60 ° = a \sqrt{6}$ .

Khi đó $V_{S A B C D} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a \sqrt{6} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$ .

Câu 44:

Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m. Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70.000 đồng $/ m^{2}$ . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 4821232 đồng

B. 8412322 đồng

C. 8142232 đồng

D. 4821322 đồng

Xem đáp án

Chọn D

Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm O là $x^{2} + y^{2} = 36$

Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình $y = \sqrt{36 - x^{2}} = f (x)$

Khi đó diện tích của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị.

$y = f (x)$ và hai đường thẳng $x = - 3; x = 3$ . $\Rightarrow S = 2 \int_{- 3}^{3} \sqrt{36 - x^{2}} d x$

Đặt $x = 6 \sin t \Rightarrow d x = 6 \cos t d t$ . Đổi cận $x = - 3 \Rightarrow t = - \frac{π}{6}$ : $x = 3 \Rightarrow t = \frac{π}{6}$ ; .

$\Rightarrow S = 2 \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} {36cos}^{2} t d t = 36 \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} {(c os2t+1) d t = 18 (s i n 2 t + 2 t)|}_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} = 18 \sqrt{3} + 12 π$ .

Do đó số tiền cần dùng là $70000. S \approx 4821322$ đồng

Câu 45:

Trong không gian với hệ toạ độ $M (1; - 3; 4)$ , cho điểm , đường thẳng d: $\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng (P): $2 x + z - 2 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $Δ$ qua M vuông góc với d và song song với $(P)$ .

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$

B. $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$

C. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z + 4}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec{u_{d}} = (3; - 5; - 1)$ .

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; 0; 1)$ .

Đường thẳng $Δ$ qua M vuông góc với d và song song với $(P)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec{u} = [\vec{u_{d}}, \vec{n}]$ $= (- 5; - 5; 10)$ hay $\vec{u_{1}} = (1; 1; - 2)$ .

Vậy phương trình đường thẳng $Δ$ là: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$

Câu 46:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số $y = |f (x - 2018) + 2019|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5

B. 4

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

Xét hàm số $g (x) = f (x - 2018) + 2019$

$g^{'} (x) = {(x - 2018)}^{'} f^{'} (x - 2018) = f^{'} (x - 2018)$

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 2018 = - 1 \\ x - 2018 = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2017 \\ x = 2021 \end{array}$

Ta có ; $g (2017) = f (2017 - 2018) + 2019 = 4038$

$g (2021) = f (2021 - 2018) + 2019 = 0$ ;

Bảng biến thiên hàm $g (x)$

Khi đó bảng biến thiên $|g (x)|$ là

Vậy hàm số $y = |f (x - 2018) + 2019|$ có ba điểm cực trị.

Câu 47:

Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2018 của tham số m để phương trình $\log_{6} (2018 x + m) = \log_{4} (1009 x)$ có nghiệm là

A. 2020

B. 2017

C. 2019

D. 2018

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $\log_{6} (2018 x + m) = \log_{4} (1009 x) = t$ $\Rightarrow \{\begin{cases} 2018 x + m = 6^{t} \\ 1009 x = 4^{t} \end{cases}$ $\Rightarrow 2. 4^{t} + m = 6^{t}$ $\Leftrightarrow m = - 2. 4^{t} + 6^{t}$

Đặt $f (t) = - 2. 4^{t} + 6^{t}$ . Ta có: $f^{'} (t) = 6^{t} \ln 6 - 2. 4^{t} . \ln 4$ .

Xét $f^{'} (t) = 0 \Rightarrow {(\frac{3}{2})}^{t} = \frac{2 \ln 4}{\ln 6} = \log_{6} 16$ $\Leftrightarrow t = \log_{\frac{3}{2}} (\log_{6} 16)$

Bảng biến thiên:

Phương trình $f (t) = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m \geq f (\log_{\frac{3}{2}} (\log_{6} 16)) \approx - 2, 01$ .

Mà $\{\begin{cases} m < 2018 \\ m \in ℤ \end{cases}$ nên ta có: $\{\begin{cases} - 2 \leq m \leq 2017 \\ m \in ℤ \end{cases}$ . Vậy có 2020 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 48:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị $y = f^{'} (x)$ cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ $a < b < c$ như hình vẽ. mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $f (c) > f (a) > f (b)$

B. $f (c) > f (b) > f (a)$

C. $f (a) > f (b) > f (c)$

D. $f (b) > f (a) > f (c)$

Xem đáp án

Chọn A

Từ đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$ , ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f (x)$ như sau

Từ đó suy ra $f (a) > f (b)$ , $f (c) > f (b)$ . (1)

Mặt khác, từ đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ ta cũng có:

$\int_{b}^{c} f^{'} (x) d x > - \int_{a}^{b} f^{'} (x) d x \Leftrightarrow f (c) - f (b) > - f (b) + f (a) \Leftrightarrow f (c) > f (a)$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $f (c) > f (a) > f (b)$ .

Câu 49:

Xét các số phức $z = a + b i$ , $(a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2}$ . Tính $F = - a + 4 b$ khi $|z - \frac{1}{2} + 3 i|$ đạt giá trị nhỏ nhất

A. $F = 7$

B. $F = 6$

C. $F = 5$

D. $F = 4$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

$4 (z - \bar{z}) - 15 i = i {(z + \bar{z} - 1)}^{2}$ $\Leftrightarrow 4 (a + b i - a + b i) - 15 i = i {(a + b i + a - b i - 1)}^{2}$ $\Leftrightarrow 8 b - 15 = {(2 a - 1)}^{2}$

suy ra $b \geq \frac{15}{8}$ .

$|z - \frac{1}{2} + 3 i| = \frac{1}{2} \sqrt{{(2 a - 1)}^{2} + {(2 b + 6)}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{8 b - 15 + 4 b^{2} + 24 b + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{4 b^{2} + 32 b + 21}$

Xét hàm số $f (x) = 4 x^{2} + 32 x + 21$ với $x \geq \frac{15}{8}$

$f^{'} (x) = 8 x + 32 > 0, \forall x \geq \frac{15}{8}$ suy ra $f (x)$ là hàm số đồng biến trên $[\frac{15}{8}; + \infty)$ nên $f (x) \geq f (\frac{15}{8}) = \frac{4353}{16}$ .

Do đó $|z - \frac{1}{2} + 3 i|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{4353}{16}}$ khi $b = \frac{15}{8}; a = \frac{1}{2}$ .

Khi đó $F = - a + 4 b = 7$ .

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16$ . Gọi M là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức $A = 2 x_{M} - y_{M} + 2 z_{M}$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức $B = x_{M} + y_{M} + z_{M}$ bằng.

A. 21

B. 3

C. 5

D. 10

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $A = 2 x_{M} - y_{M} + 2 z_{M} = 2 (x_{M} - 1) - (y_{M} - 2) + 2 (z_{M} - 3) + 6$

$\leq \sqrt{(2^{2} + 1^{2} + 2^{2}) ({(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2})} + 6 = 3.4 + 6 = 18$

.

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{x_{M} - 1}{2} = \frac{y_{M} - 2}{- 1} = \frac{z_{M} - 3}{2} = t > 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x_{M} = 1 + 2 t \\ y_{M} = 2 - t \\ Z_{M} = 3 + 2 t \end{cases}$ , thay vào phương trình (S) ta được: $4 t^{2} + t^{2} + 4 t^{2} = 16 \Rightarrow t = \frac{4}{3}$ . Do đó $M (\frac{11}{3}; \frac{2}{3}; \frac{17}{3})$ và $B = x_{M} + y_{M} + z_{M} = 10$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 21)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan