50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 13)

Câu 1:

Gọi $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{- x} + \cos x$ . Tìm khẳng định đúng

A. $F (x) = - e^{- x} - \cos x + 2019$

B. $F (x) = e^{- x} + \sin x + 2019$

C. $F (x) = e^{- x} + \cos x + 2019$

D. $F (x) = - e^{- x} + \sin x + 2019$

Xem đáp án

Chọn D

Áp dụng công thức: $\int f (a x + b) dx = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$ và nguyên hàm của hàm số lượng giác, nên $F (x) = - e^{- x} + s inx + 2019$ .

Câu 2:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. $y = x^{3} - 3 x + 1$

B. $y = x^{4} - x^{2} + 1$

C. $y = - x^{2} + x - 1$

D. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

Xem đáp án

Chọn A

Đồ thị đã cho có hình dạng của đồ thị hàm số bậc ba $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ nên loại phương án B và C

Dựa vào đồ thị, ta có $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty \Rightarrow a > 0$ nên loại phương án A

Câu 3:

Cho số phức $z = 5 - 2 i$ . Tìm số phức $w = i z + \bar{z}$ .

A. $w = 7 + 7 i$

B. $w = - 3 - 3 i$

C. $w = 3 + 3 i$

D. $w = - 7 - 7 i$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $w = i z + \bar{z}$ $= i (5 - 2 i) + 5 + 2 i$ $= 7 + 7 i$ .

Câu 4:

Điểm A trong hình bên dưới là điểm biểu diễn số phức z.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Số phức z có phần thực là 3, phần ảo là $2 i$ .

B. Số phức z có phần thực là -3, phần ảo là $2 i$ .

C. Số phức z có phần thực là 3, phần ảo là 2

D. Số phức z có phần thực là -3, phần ảo là 2

Xem đáp án

Chọn C

Từ hình vẽ ta có $A (3; 2)$ biểu diễn số phức $z = 3 + 2 i$ , số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là 2

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = a \sqrt{3}$ . Thể tích của khối chóp $S . A B C D$ là:

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

D. $a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Khối chóp $S . A B C D$ có chiều cao $h = a \sqrt{3}$ và diện tích đáy $B = a^{2}$ .

Nên có thể tích $V = \frac{1}{3} . a^{2} . a \sqrt{3} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 3 + t \end{cases}$ có một véctơ chỉ phương là

A. ${\vec{u}}_{4} (- 1; 2; 1)$

B. ${\vec{u}}_{1} (- 1; 2; 3)$

C. ${\vec{u}}_{2} (2; 1; 1)$

D. ${\vec{u}}_{3} (2; 1; 3)$

Xem đáp án

Chọn A

Một véctơ chỉ phương của đường thẳng d là ${\vec{u}}_{4} (- 1; 2; 1)$ .

Câu 7:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(- \infty; 1)$

B. $(- 1; 3)$

C. $(1; + \infty)$

D. $(0; 1)$

Xem đáp án

Chọn D

Từ đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(0; 1)$ .

Câu 8:

Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy $R = 4 c m$ và đường sinh bằng $l = 5 c m$

A. $40 π c m^{2}$

B. $100 π c m^{2}$

C. $80 π c m^{2}$

D. $20 π c m^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Diện tích xung quanh của hình trụ $S_{x q} = 2 π R l = 2 π .4.5 = 40 π c m^{2}$ .

Câu 9:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 2$ và công sai $d = 5$ . Giá trị của $u_{5}$ bằng

A. 27

B. 1250

C. 12

D. 22

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $u_{5} = u_{1} + 4 d = 2 + 4.5 = 22$

Câu 10:

Nghiệm của phương trình $2^{x + 1} = 16$ là

A. $x = 8$

B. $x = 4$

C. $x = 7$

D. $x = 3$

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình đã cho tương đương với

$2^{x + 1} = 16 \Leftrightarrow 2^{x + 1} = 2^{4} \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$ .

Câu 11:

Cho hàm số $y = \frac{3 x}{5 x - 2}$ .Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $y = \frac{2}{5}$

B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = \frac{3}{5}$ .

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = \frac{3}{5}$

Xem đáp án

Chọn D

Vì $\lim_{x \to + \infty} \frac{3 x}{5 x - 2} = \frac{3}{5}$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = \frac{3}{5}$ .

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (- 3; - 2; 1)$ . Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng $(O x y)$ là điểm

A. $M_{1} (0; 0; 1)$

B. $M_{2} (- 3; - 2; 0)$

C. $M_{3} (- 3; 0; 0)$

D. $M_{4} (0; - 2; 1)$

Xem đáp án

Chọn B

Hình chiếu của điểm $M (a; b; c)$ lên trục Oxy là điểm $(a; b; 0)$

Câu 13:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ sau

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

+ Vì f(x) liên tục trên R nên f(x) liên tục tại $x = - 1; x = 2; x = 4; x = 0$ .

+ Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) đổi dấu khi x qua $x = - 1; x = 2; x = 4; x = 0$

Suy ra hàm số $y = f (x)$ đạt cực trị tại $x = - 1; x = 2; x = 4; x = 0$ .

Vậy hàm số $y = f (x)$ có 4 cực trị.

Câu 14:

Cho n và k là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn $k \leq n$ mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $C_{n}^{k - 1} = C_{n}^{k} (1 \leq k \leq n)$

B. $C_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$

C. $A_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

D. $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k}$

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào định nghĩa và công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp ta thấy:

$A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$ , $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} (1 \leq k \leq n)$ , $C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ nên các đáp án A, C, D sai.

Ta có $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! (n - k)!} + \frac{(n - 1)!}{k! (n - k - 1)!} = (n - 1)! (\frac{n}{k! (n - k)!}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} = C_{n}^{k}$ .

Câu 15:

Cho biết $\int_{0}^{3} f (x) d x = 3, \int_{0}^{5} f (t) d t = 10$ . Tính $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z$ .

A. $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z = - 7$

B. $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z = 14$

C. $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z = 13$

D. $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z = 7$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\int_{3}^{5} 2 f (z) d z = 2 \int_{3}^{5} f (z) d z = 2 [\int_{0}^{5} f (z) d z - \int_{0}^{3} f (z) d z] = 2 (10 - 3) = 14$ .

Câu 16:

Rút gọn biểu thức $P = \frac{a^{\sqrt{3} + 1} . a^{2 - \sqrt{3}}}{{(a^{\sqrt{2} - 2})}^{\sqrt{2} + 2}}$ với $a > 0$ .

A. $P = a^{3}$

B. $P = a^{4}$

C. $P = a^{5}$

D. $P = a$

Xem đáp án

Chọn C

$P = \frac{a^{\sqrt{3} + 1} . a^{2 - \sqrt{3}}}{{(a^{\sqrt{2} - 2})}^{\sqrt{2} + 2}} = \frac{a^{\sqrt{3} + 1 + 2 - \sqrt{3}}}{a^{(\sqrt{2} - 2) (\sqrt{2} + 2)}} = \frac{a^{3}}{a^{- 2}} = a^{5}$

Câu 17:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 y + 1 = 0$ có tọa độ tâm I và bán kính R lần lượt là

A. $I (- 4; 1; 0), R = 4$

B. $I (8; - 2; 0), R = 2 \sqrt{17}$

C. $I (4; - 1; 0), R = 4$

D. $I (4; - 1; 0), R = 16$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

$\{\begin{cases} - 2 a = - 8 \\ - 2 b = 2 \\ - 2 c = 0 \\ R^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 4 \\ b = - 1 \\ c = 0 \\ R^{2} = 16 \end{cases}$

=> $(S)$ có tâm $I (4; - 1; 0)$ và bán kính .

Câu 18:

Cho hình nón có bán kính đáy bằng a và độ dài đường sinh bằng 2a. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng

A. $3 π a^{2}$

B. $2 π a^{2}$

C. $2 a^{2}$

D. $4 π a^{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Diện tích xung quanh của hình nón: $S_{x q} = π R l = 2 π a^{2}$ .

Câu 19:

Cho hàm số $f (x) = \ln (x^{4} + 2 x)$ . Đạo hàm $f^{'} (1)$ bằng

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn B

$f^{'} (x) = \frac{4 x^{3} + 2}{x^{4} + 2 x} \Rightarrow f^{'} (1) = 2$

Câu 20:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng $(P) : 2 x - y + z - 1 = 0$ . Điểm nào dưới đây thuộc (P) ?

A. $N (0; 1; - 2)$

B. $M (2; - 1; 1)$

C. $P (1; - 2; 0)$

D. $Q (1; - 3; - 4)$

Xem đáp án

Chọn D

Nhận thấy $2.1 - (- 3) + (- 4) - 1 = 0$ nên thuộc $(P)$ .

Câu 21:

Có bao nhiêu số nguyên dương n để $\log_{n} 256$ là một số nguyên dương?

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn A

$\log_{n} 256 = 8. \log_{n} 2 = \frac{8}{\log_{2} n}$ là số nguyên dương

$\Leftrightarrow \log_{2} n \in \{1; 2; 4; 8\} \Leftrightarrow n \in \{2; 4; 16; 256\}$ .

Vậy có 4 số nguyên dương.

Câu 22:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{1 + a^{2}})}^{2 x + 1} > 1$ là

A. $(- \infty; - \frac{1}{2})$

B. $(0; + \infty)$

C. $(- \infty; 0)$

D. $(- \frac{1}{2}; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $0 < \frac{1}{1 + a^{2}} < 1, \forall a \neq 0$ , nếu ${(\frac{1}{1 + a^{2}})}^{2 x + 1} > 1$ $\Leftrightarrow$ $2 x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x \in (- \infty; - \frac{1}{2})$ .

Câu 23:

Cho số phức $z = {(1 - 2 i)}^{2}$ . Tính mô đun của số phức $\frac{1}{z}$ .

A. $\frac{1}{\sqrt{5}} .$

B. $\frac{1}{5} .$

C. $\sqrt{5} .$

D. $\frac{1}{25} .$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $z = {(1 - 2 i)}^{2} = - 3 - 4 i \Rightarrow |z| = 5 \Rightarrow \frac{1}{|z|} = |\frac{1}{z}| = \frac{1}{5}$

Vậy mô đun của số phức $\frac{1}{z}$ bằng $\frac{1}{5} .$

Câu 24:

Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 5 x + 7) = 0$ bằng

A. 6

B. 7

C. 13

D. 5

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình tương đương với $x^{2} - 5 x + 7 = 0$ , tổng các nghiệm của phương trình này là 5 (theo định lý Vi-et).

Câu 25:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng $(A B C D)$ bằng độ dài đoạn thẳng nào?

A. IO

B. IC

C. IA

D. IB

Xem đáp án

Chọn A

Từ giả thiết suy ra OI là đường trung bình của $Δ S A C$ , do đó $O I ∥ S A$ .

Ta có $\{\begin{cases} I O ∥ S A \\ S A ⊥ (A B C D) \end{cases} \Rightarrow I O ⊥ (A B C D)$ .

Vậy $d (I, (A B C D)) = O I$

Câu 26:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có một nguyên hàm là $F (x)$ . Biết $F (1) = 8$ , giá trị $F (9)$ được tính bằng công thức

A. $F (9) = 8 + f^{'} (1)$

B. $F (9) = \int_{1}^{9} [8 + f (x)] d x$

C. $F (9) = 8 + \int_{1}^{9} f (x) d x$

D. $F (9) = f^{'} (9)$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\int_{1}^{9} f (x) d x = {F (x)|}_{1}^{9} = F (9) - F (1) \Leftrightarrow \int_{1}^{9} f (x) d x = F (9) - 8 \Leftrightarrow F (9) = 8 + \int_{1}^{9} f (x) d x$ .

Câu 27:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA=2a. Tính theo a thể tích khối chóp $S . A B C D$

A. $V = 2 a^{3}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{12}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6}$

D. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi H là trung điểm AB.

Theo đề, tam giác SAB cân tại S nên suy ra $S H ⊥ A B$ .

Mặt khác, tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên suy ra $S H ⊥ (A B C D)$ .

Xét tam giác SHA vuông tại H.

$S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{15}}{2}$

Diện tích hình vuông là $S_{A B C D} = a^{2}$ .

Vậy thể tích khối chóp $S . A B C D$ là $V = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6}$

Câu 28:

Biết hai đồ thị hàm số $y = x^{3} + x^{2} - 2$ và $y = - x^{2} + x$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt $A, B, C$ . Khi đó diện tích tam giác $A B C$ bằng

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Xem đáp án

Chọn B

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

$x^{3} + x^{2} - 2 = - x^{2} + x \Leftrightarrow x^{3} + 2 x - x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = - 2 \end{array}$

Khi đó $A (- 2; - 6); B (1; 0); C (- 1; - 2)$ suy ra $A B = \sqrt{45}; B C = \sqrt{8}; A C = \sqrt{17}$

Áp dụng công thức hê rông ta có $S_{A B C} = 3$

Câu 29:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đạo hàm $f^{'} (x) = (x + 2) {(x - 1)}^{3} (3 - x)$ . Hàm số đạt cực tiểu tại

A. $x = 1$

B. $x = 3$

C. $x = 2$

C. $x = - 2$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có bảng xét dấu $f^{'} (x)$

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x=1

Câu 30:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 5$ trên đoạn $[1; 3]$ bằng

A. 0

B. 2

C. -3

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 4 x - 4$ . Xét trên đoạn $[1; 3]$ .

$y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 2 (N) \\ x = - \frac{2}{3} (L) \end{matrix}$ .

Ta có $y (1) = 0$ , $y (2) = - 3$ , $y (3) = 2$ .

Vậy $\min_{[1; 3]} y = - 3$ .

Câu 31:

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $ℝ$

B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

C. Hàm số đồng biến trên $ℝ \ {- 2}$

D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng của miền xác định

Xem đáp án

Chọn D

Tập xác định: $D = ℝ \ \{- 2\}$

Ta có: $y^{'} = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} > 0, \forall x \in D \Rightarrow$ Hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ đồng biến trên từng khoảng của miền xác định.

Câu 32:

Trong không gian Oxyz cho điểm $M (3; 2; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + z - 2 = 0.$ Đường thẳng đi qua M và vuông góc với $(P)$ có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - t \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 + t \\ z = - 1 \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 t \\ z = 1 - t \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \end{cases} .$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có mặt phẳng $(P) : x + z - 2 = 0$

$\Rightarrow$ Mặt phẳng $(P)$ có véc tơ pháp tuyến là $\vec{n_{(P)}} = (1; 0; 1)$

Gọi đường thẳng cần tìm là $Δ$ . Vì đường thẳng $Δ$ vuông góc với $(P)$ nên véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ .

$\Rightarrow \vec{u_{Δ}} = \vec{n_{(P)}} = (1; 0; 1)$

Vậy phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua $M (3; 2; - 1)$ và có véc tơ chỉ phương là: $\vec{u_{Δ}} = (1; 0; 1)$

$\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 \\ z = - 1 + t \end{cases} .$

Câu 33:

Có bao nhiêu số phức z có phần thực bằng 2 và $|z + 1 - 2 i| = 3$ ?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn B

Gọi số phức z có dạng: $z = 2 + b i (b \in ℝ)$

Ta có: $|z + 1 - 2 i| = 3$ $\Leftrightarrow |2 + b i + 1 - 2 i| = 3 \Leftrightarrow |3 + (b - 2) i| = 3$

$\Leftrightarrow \sqrt{9 + {(b - 2)}^{2}} = 3 \Leftrightarrow {(b - 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow b = 2$ .

Vậy có một số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán: $z = 2 + 2 i .$

Câu 34:

Cho hai số thực x,y thỏa mãn $x (3 + 2 i) + y (1 - 4 i) = 1 + 24 i$ . Giá trị $x + y$ bằng

A. 3

B. 2

C. 4

D. -3

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $x (3 + 2 i) + y (1 - 4 i) = 1 + 24 i$

$\Leftrightarrow 3 x + y + (2 x - 4 y) i = 1 + 24 i$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x + y = 1 \\ 2 x - 4 y = 24 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 5 \end{cases}$

Vậy $x + y = - 3$

Câu 35:

Cho hàm số có f'(x) và f''(x) liên tục trên $ℝ$ . Biết $f^{'} (2) = 4$ và $f^{'} (- 1) = - 2,$ tính $\int_{- 1}^{2} f^{''} (x) d x$

A. -8

B. -6

C. 6

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\int_{- 1}^{2} f^{''} (x) d x = {f^{'} (x)|}_{- 1}^{2} = f^{'} (2) - f^{'} (- 1) = 4 - (- 2) = 6$ .

Câu 36:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $M (3; - 2; 5)$ , $N (- 1; 6; - 3)$ . Mặt cầu đường kính MN có phương trình là

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 36$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 36$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 6$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 6$

Xem đáp án

Chọn B

Tâm I của mặt cầu là trung điểm đoạn MN => $I (1; 2; 1)$ .

Bán kính mặt cầu $R = \frac{M N}{2} = \frac{\sqrt{{(- 1 - 3)}^{2} + {(6 + 2)}^{2} + {(- 3 - 5)}^{2}}}{2} = 6$ .

Vậy phương trình mặt cầu là ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 36$ .

Câu 37:

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Gọi $α$ là góc giữa mặt bên và mặt đáy, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\cos α = \frac{\sqrt{14}}{14}$

C. $\cos α = \frac{\sqrt{2}}{4}$

D. $\cos α = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 38:

Có 6 bi gồm 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi xanh. Xếp ngẫu nhiên các viên bi thành một hàng ngang. Tính xác suất để hai viên bi vàng không xếp cạnh nhau?

A. $P = \frac{1}{3}$

B. $P = \frac{5}{6}$

C. $P = \frac{1}{5}$

D. $P = \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu: $n (Ω) = 6! = 720$ .

Gọi A là biến cố “hai bi vàng không xếp cạnh nhau”. Do đó $\bar{A}$ là biến cố hai bi vàng xếp cạnh nhau.

Xếp 2 bi vàng cạnh nhau vào 6 vị trí có: 5 cách.

Xếp 4 bi còn lại vào 4 vị trí còn lại có: $4!$ cách.

Do đó $n (\bar{A}) = 5.4! = 120$ .

Vậy $P = P (A) = 1 - P (\bar{A}) = 1 - \frac{120}{720} = \frac{5}{6}$ .

Câu 39:

Có mấy giá trị nguyên dương của m để bất phương trình $9^{m^{2} x} + 4^{m^{2} x} \geq m {.5}^{m^{2} x}$ có nghiệm?

A. 1

B. 10

C. vô số

D. 9

Xem đáp án

Chọn C

Từ giả thiết, ta chỉ xét $m \in ℤ^{+}$

Ta có: $9^{m^{2} x} + 4^{m^{2} x} \geq m {.5}^{m^{2} x}$ $\Leftrightarrow {(\frac{9}{5})}^{m^{2} x} + {(\frac{4}{5})}^{m^{2} x} \geq m (1)$

Có ${(\frac{9}{5})}^{m^{2} x} + {(\frac{4}{5})}^{m^{2} x} \geq 2 \sqrt{{(\frac{9}{5})}^{m^{2} x} . {(\frac{4}{5})}^{m^{2} x}} = 2 {(\frac{6}{5})}^{m^{2} x}$ .

Do đó nếu có $x_{0}$ là nghiệm của bất phương trình $2 {(\frac{6}{5})}^{m^{2} x} \geq m$

thì $x_{0}$ cũng là nghiệm của ${(\frac{9}{5})}^{m^{2} x} + {(\frac{4}{5})}^{m^{2} x} \geq m$ .

Ta xét các giá trị $m \in ℤ^{+}$ làm cho bất phương trình $2 {(\frac{6}{5})}^{m^{2} x} \geq m (2)$ có nghiệm.

Vì $2 {(\frac{6}{5})}^{m^{2} x} \geq m$ $\Leftrightarrow {(\frac{6}{5})}^{m^{2} x} \geq \frac{m}{2}$ $\Leftrightarrow m^{2} x \geq \log_{\frac{6}{5}} (\frac{m}{2})$ $\Leftrightarrow x \geq \frac{1}{m^{2}} \log_{\frac{6}{5}} (\frac{m}{2})$ , với $m \in ℤ^{+}$ .

Vậy với $m \in ℤ^{+}$ thì bất phương trình $(2)$ có nghiệm tương ứng là $x \geq \frac{1}{m^{2}} \log_{\frac{6}{5}} (\frac{m}{2})$ .

Suy ra có vô số giá trị $m \in ℤ^{+}$ làm cho bất phương trình $(1)$ có nghiệm.

Câu 40:

Một biển quảng cáo có dạng Elip với bốn đỉnh $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ . như hình vẽ. Người ta chia Elip bởi parapol có đỉnh $B_{1}$ ,trục đối xứng $B_{1} B_{2}$ và đi qua các điểm $M, N$ .Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/ $m^{2}$ và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500.000 đồng/ $m^{2}$ .Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết $A_{1} A_{2} = 4 m$ , $B_{1} B_{2} = 2 m, M N = 2 m$ .

A. 2.760.000 đồng

B. 1.664.000 đồng

C. 2.341.000 đồng

D. 2.057.000 đồng

Xem đáp án

Chọn C

Câu 41:

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm f'(x) liên tục trên $[1; 3]$ , $f (x) \neq 0$ với mọi $x \in [1; 3]$ , đồng thời $f^{'} (x) {[1 + f (x)]}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2}$ và $f (1) = - 1$ . Biết rằng $\int_{1}^{3} f (x) d x = a \ln 3 + b (a \in ℤ, b \in ℤ)$ , tính tổng $S = a + b^{2}$ .

A. $S = 0$

B. $S = 2$

C. $S = - 1$

D. $S = 4$

Xem đáp án

Câu 42:

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy ABC là tam giác vuông tại C biết $A B = 2 a$ , $A C = a,$ $B C^{'} = 2 a$ . Tính thể tích của khối lăng trụ đã V cho.

A. $V = 4 a^{3} .$

B. $V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{6} .$

C. $V = \frac{4 a^{3}}{3} .$

D. $V = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{2} .$

Xem đáp án

Chọn D

Tam giác ABC vuông tại C nên $B C = \sqrt{A B^{2} - A C^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Tam giác BCC' vuông tại nên $C C^{'} = \sqrt{B {C^{'}}^{2} - B C^{2}} = a$ .

Thể tích của khối lăng trụ là $V = S_{A B C} . C C^{'} = \frac{1}{2} A C . B C . C C^{'} = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{2}$ .

Câu 43:

Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong (C) có phương trình $y = \frac{1}{4} x^{2}$ . Gọi $S_{1}, S_{2}$ lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên dưới. Tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $2$

C. $\frac{3}{2}$

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Ta có diện tích hình vuông $O A B C$ là $16$ và bằng $S_{1} + S_{2}$ .

$\Rightarrow \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{16 - S_{2}}{S_{2}} = \frac{16 - \frac{16}{3}}{\frac{16}{3}} = 2 S_{2} = \int_{0}^{4} \frac{1}{4} x^{2} d x = {\frac{x^{3}}{12}|}_{0}^{4} = \frac{16}{3}$

Câu 44:

Cho hàm số $f (x) = x^{4}$ . Hàm số $g (x) = f' (x) - 3 x^{2} - 6 x + 1$ đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại $x_{1}, x_{2}$ . Tính $m = g (x_{1}) g (x_{2})$ .

A. $m = \frac{1}{16}$

B. $m = - 11$

C. $m = 0$

D. $m = \frac{- 371}{16}$

Xem đáp án

Chọn B

Theo bài ra ta có $f' (x) = 4 x^{3}$ .

Suy ra $g (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 1$ .

Suy ra $g' (x) = 12 x^{2} - 6 x - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ x_{2} = - \frac{1}{2} \end{array}$

Đồ thị hàm số lên - xuống – lên.

Hàm số $g (x) = f' (x) - 3 x^{2} - 6 x + 1$ đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại $x_{1} = 1, x_{2} = - \frac{1}{2}$ .

Suy ra $m = g (1) . g (2) = (4 - 3 - 6 + 1) [4. {(\frac{- 1}{2})}^{3} - 3. {(\frac{- 1}{2})}^{2} - 6. (\frac{- 1}{2}) + 1] = - 11$ .

Câu 45:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $[\frac{1}{2}; 2]$ và thỏa điều kiện $f (x) + 2. f (\frac{1}{x}) = 3 x \forall x \in ℝ^{*}$ . Tính $I = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x$ .

A. $I = \frac{3}{2}$

B. $I = 4 \ln 2 - \frac{15}{8}$

C. $I = \frac{5}{2}$

D. $I = 4 \ln 2 + \frac{15}{8}$

Xem đáp án

Chọn A

Xét $x \in ℝ^{*}$ , ta có

$f (x) + 2. f (\frac{1}{x}) = 3 x (1)$ .

Thay x bằng $\frac{1}{x}$ ta được

$f (\frac{1}{x}) + 2. f (x) = \frac{3}{x} (2)$ .

Nhân hai vế đẳng thức (2) cho 2 rồi trừ cho đẳng thức (1) vế theo vế ta có

$3 f (x) = \frac{6}{x} - 3 x \Rightarrow \frac{f (x)}{x} = \frac{2}{x^{2}} - 1$ .

Suy ra $I = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} (\frac{2}{x^{2}} - 1) d x = {(- \frac{2}{x} - x)|}_{\frac{1}{2}}^{2} = \frac{3}{2}$ .

Câu 46:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 1}$ và mặt phẳng $(P) : x + y - 3 z - 2 = 0$ . Gọi d' là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với d. Đường thẳng d' có phương trình là

A. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{5} = \frac{z + 1}{1}$

B. $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y}{5} = \frac{z + 1}{1}$

C. $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y}{5} = \frac{z + 1}{- 1}$

D. $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y}{- 5} = \frac{z + 1}{1}$

Xem đáp án

Chọn B

Phương trình tham số của

$d : \{\begin{cases} x = - 3 + 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = - t \end{cases}$ .

Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = - 3 + 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = - t \\ x + y - 3 z - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 3 + 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = - t \\ - 3 + 2 t - 1 + t + 3 t - 2 = 0 \end{cases} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} t = 1 \\ x = - 1 \\ y = 0 \\ z = - 1 \end{cases} \Rightarrow d \cap (P) = M (- 1; 0; - 1) \end{array}$ .

Vì d' nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với d nên d' đi qua M và có véc tơ chỉ

phương ${\vec{u}}_{d'} = {\vec{n}}_{P} \land {\vec{u}}_{d} = (2; - 5; - 1)$ hay d' nhận véc tơ $\vec{v} = (- 2; 5; 1)$ làm véc tơ chỉ phương.

Phương trình của d' : $\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y}{5} = \frac{z + 1}{1}$ .

Câu 47:

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A (2; 0; 1)$ , $B (3; 1; 5)$ , $C (1; 2; 0)$ , $D (4; 2; 1)$ . Gọi $(α)$ là mặt phẳng đi qua D sao cho ba điểm A,B,C nằm cùng phía đối với $(α)$ và tổng khoảng cách từ các điểm A,B ,C đến mặt phẳng $(α)$ là lớn nhất. Giả sử phương trình $(α)$ có dạng: $2 x + m y + n z - p = 0$ . Khi đó, $T = m + n + p$ bằng

A. 9

B. 6

C. 8

D. 7

Xem đáp án

Chọn A

Vì mặt phẳng $(α)$ đi qua $D (4; 2; 1)$ nên phương trình $(α)$ có dạng:

$a . (x - 4) + b . (y - 2) + c . (z - 1) = 0$ (với $a^{2} + b^{2} + c^{2} > 0$ )

Đặt $S = d [A, (α)] + d [B, (α)] + d [C, (α)] = \frac{|- 2 a - 2 b| + |- a - b + 4 c| + |- 3 a - c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$ .

Theo giả thiết A,B,C, nằm cùng phía đối với $(α)$ nên không mất tính tổng quát, ta giả sử:

$\{\begin{cases} - 2 a - 2 b > 0 \\ - a - b + 4 c > 0 \\ - 3 a - c > 0 \end{cases}$ .

Khi đó, $S = \frac{- 2 a - 2 b - a - b + 4 c - 3 a - c}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{- 6 a - 3 b + 3 c}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$ .

Áp dụng bất đẳng thức $B . C . S$ cho hai bộ số $(- 6; - 3; 3)$ và $(a; b; c)$ , ta được:

$- 6 a - 3 b + 3 c \leq |- 6 a - 3 b + 3 c| \leq \sqrt{(6^{2} + 3^{2} + 3^{2}) . (a^{2} + b^{2} + c^{2})}$ .

$\Rightarrow S \leq 3 \sqrt{6}$ .

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 6 a - 3 b + 3 c \geq 0 \\ \frac{a}{- 6} = \frac{b}{- 3} = \frac{c}{3} \end{cases}$ . Ta chọn $\{\begin{cases} a = - 2 \\ b = - 1 \\ c = 1 \end{cases}$ .

$\Rightarrow (α) : - 2 x - y + z + 9 = 0$ hay $(α) : 2 x + y - z - 9 = 0$ .

$\Rightarrow m = 1$ , $n = - 1$ , $p = 9$ .

Vậy $T = m + n + p = 9$ .

Câu 48:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm $f' (x) = {(x + 1)}^{4} {(x - m)}^{5} {(x + 3)}^{3}$ với mọi $x \in ℝ$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 5]$ để hàm số $g (x) = f (|x|)$ có 3 điểm cực trị?