50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 22)

Câu 1:

Cho tập hợp M có 30 phần tử. Số tập con gồm 5 phần tử của M là

A. $A_{30}^{4}$

B. $30^{5}$

C. $30^{5}$

D. $C_{30}^{5}$

Xem đáp án

Chọn D

Số tập con gồm 5 phần tử của M chính là số tổ hợp chập 5 của 20 phần tử, nghĩa là bằng $C_{30}^{5}$ .

Câu 2:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ , biết: $u_{n} = - 1, u_{n + 1} = 8$ . Tính công sai d của cấp số cộng đó.

A. $d = - 9.$

B. $d = 7.$

C. $d = - 7.$

D. $d = 9.$

Xem đáp án

Chọn D

$d = u_{n + 1} - u_{n} = 8 - (- 1) = 9$

Câu 3:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; - 3)$

B. $(- 3; 5)$

C. $(3; 4)$

D. $(5; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 3)$ .

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

A. $y = 1$

B. $x = 0$

C. $y = 0$

D. $x = 1$

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào BBT ta thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho là $y = 1$ .

Câu 5:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ và bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hỏi hàm số $y = f (x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn C

Từ bảng xét dấu ta thấy $f^{'} (x)$ đổi dấu khi x đi qua điểm $x_{1} = - 2$ và $x_{2} = 3$ nên hàm số có hai điểm cực trị.

Câu 6:

Cho hàm sô $y = \frac{2 x - 1}{x + 5}$ . Khi đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?

A. $y = 2$

B. $x = 2$

C. $y = - 5$

D. $x = - 5$

Xem đáp án

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = x^{3} + 3 x - 1.$

B. $y = - x^{4} + x^{2} - 1.$

C. $y = \frac{x + 2}{x + 1} .$

D. $y = \frac{x - 1}{x + 1} .$

Xem đáp án

Chọn D

Đường cong trong hình trên không phải là đồ thị của hàm số bậc ba hoặc hàm số trùng phương, do đó phương án A và B là sai.

Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x + 1}$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $y_{0} = 2 > 0$ , do đó phương án C sai.

Vậy phương án D đúng

Câu 8:

Có bao nhiêu giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x - 3$ với trục $O x$ ?

A. $2$

B. $2$

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn D

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 3 > 0; \forall x \in ℝ$ , hàm số $y = f (x)$ luôn đồng biến trên $ℝ$

Bảng biến thiên

Vậy đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3 x - 3$ và trục Ox có 1 giao điểm.

Câu 9:

Với a,b là hai số thực dương khác 1, ta có $\log_{b} a$ bằng:

A. $- \log_{a} b$

B. $\frac{1}{\log_{a} b}$

C. $\log a - \log b$

D. $\log_{a} b$

Xem đáp án

Chọn B

Với a,b là hai số thực dương khác 1 và theo công thức đổi cơ số: $\log_{b} a = \frac{1}{\log_{a} b} .$

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{2018} x$ là

A. $y' = \frac{\ln 2018}{x}$

B. $y' = \frac{2018}{x . \ln 2018}$

C. $y' = \frac{1}{x . \ln 2018}$

D. $y' = \frac{1}{x . \log 2018}$

Xem đáp án

Chọn C

Theo công thức tính đạo hàm của $y = \log_{a} x \to y' = \frac{1}{x \ln a}$ .

Vậy $y = \log_{2018} x \to y' = \frac{1}{x \ln 2018}$ .

Câu 11:

Cho a là số thực dương. Biểu thức $a^{2} . \sqrt[3]{a}$ được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A. $a^{\frac{2}{3}}$

B. $a^{\frac{4}{3}}$

C. $a^{\frac{7}{3}}$

D. $a^{\frac{5}{3}}$

Xem đáp án

Chọn C

$a^{2} . \sqrt[3]{a} = a^{2} . a^{\frac{1}{3}} = a^{2 + \frac{1}{3}} = a^{\frac{7}{3}}$

Câu 12:

Tập nghiệm của phương trình $2^{x^{2} - x - 4} = \frac{1}{16}$ là

A. $\{0; 1\}$

B. $\emptyset$

C. $\{2; 4\}$

D. $\{- 2; 2\}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $2^{x^{2} - x - 4} = \frac{1}{16} \Leftrightarrow 2^{x^{2} - x - 4} = 2^{- 4} \Leftrightarrow x^{2} - x - 4 = - 4 \Leftrightarrow x (x - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 0 \end{array} .$

Câu 13:

Số nghiệm của phương trình $\log_{2} (x^{2} + x) = 1$ là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $\log_{2} (x^{2} + x) = 1$ $\Leftrightarrow$ $x^{2} + x = 2$ $\Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 2 \end{array}$ .

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm phân biệt.

Câu 14:

Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa công thức nào sau đây sai?

A. $\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x = \tan x + C$

B. $\int e^{x} d x = e^{x} + C$

C. $\int \ln x d x = \frac{1}{x} + c$

D. $\int \sin x d x = - \cos x + C$

Xem đáp án

Chọn C

Theo bảng nguyên hàm ta chọn câu sai là $\int \ln x d x = \frac{1}{x} + c$ .

Câu 15:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x + 1}$ là

A. $F (x) = \frac{1}{2} \ln |2 x + 1| + C$

B. $F (x) = 2 \ln |2 x + 1| + C$

C. $F (x) = \ln |2 x + 1| + C$

D. $F (x) = \frac{1}{2} \ln (2 x + 1) + C$

Xem đáp án

Chọn A

Áp dụng hệ quả ta chọn đáp án A.

Câu 16:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1; 3]$ thỏa mãn $f (1) = 2$ và $f (3) = 9$ . Tính $I = \int_{1}^{3} f^{'} (x) d x$

A. $I = 11$

B. $I = 7$

C. $I = 2$

D. $I = 18$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $I = \int_{1}^{3} f^{'} (x) d x$ $= {f (x)|}_{1}^{3}$ $= f (3) - f (1)$ $= 9 - 2 = 7$

Câu 17:

Tích phân $I = \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x$ có giá trị bằng

A. $\ln 2 - 1$

B. $- \ln 2$

C. $\ln 2$

D. $1 - \ln 2$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $I = \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x = {\ln |x + 1||}_{0}^{1} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$

Câu 18:

Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?

A. $z = \sqrt{3} + i$

B. $z = 3 i$

C. $z = - 2 + 3 i$

D. $z = - 2$

Xem đáp án

Chọn B

Một số phức nếu có phần thực bằng 0 gọi là số thuần ảo

Câu 19:

Cho hai số phức $z_{1} = 1 + 2 i$ , $z_{2} = 3 - i$ . Tìm số phức $z = \frac{z_{2}}{z_{1}}$ .

A. $z = \frac{1}{5} + \frac{7}{5} i$

B. $z = \frac{1}{10} + \frac{7}{10} i$

C. $z = \frac{1}{5} - \frac{7}{5} i$

D. $z = - \frac{1}{10} + \frac{7}{10} i$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $z = \frac{z_{2}}{z_{1}}$ $= \frac{1}{5} - \frac{7}{5} i$

Câu 20:

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức?

A. $z = 1 - 2 i$

B. $z = 2 + i$

C. $z = 1 + 2 i$

D. $z = - 2 + i$

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào hình vẽ ta thấy điểm M biểu diễn số phức z có phần thực bằng -2 và phần ảo bằng 1. Vậy số phức $z = - 2 + i$ .

Câu 21:

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; chiều cao có độ dày bằng 6a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A. $2 a^{2}$

B. $6 a^{3}$ $2 a^{3}$

C. $2 a^{3}$

D. $6 a^{2}$

Xem đáp án

Chọn C

$V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} . a^{2} .6 a = 2 a^{3}$

Câu 22:

Thể tích của khối hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có các cạnh $A B = 3; A D = 4; A A^{'} = 5$ là

A. $V = 10$

B. $V = 20$

C. $V = 30$

D. $V = 60$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $V = A B . A D . A A^{'} = 60$

Câu 23:

Tính thể tích của khối nón có chiều cao bằng 4 và độ dài đường sinh bằng 5.

A. $16 π$

B. $48 π$

C. $12 π$

D. $36 π$

Xem đáp án

Chọn C

Bán kính của khối nón là $r = \sqrt{l^{2} - h^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$ .

Thể tích của khối nón là $V = \frac{1}{3} π r^{2} . h = \frac{1}{3} . π {.3}^{2} .4 = 12 π$ .

Câu 24:

Một khối trụ có chiều cao và bán kính đường tròn đáy cùng bằng R thì có thể tích là

A. $\frac{2 π R^{3}}{3}$

B. $π R^{3}$

C. $\frac{π R^{3}}{3}$

D. $2 π R^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Áp dụng công thức thể tích khối trụ ta có: $V = π R^{2} h = π R^{2} . R = π R^{3}$

Câu 25:

Trong không gian, cho hai điểm $A (2; 3; - 1)$ và $B (0; - 1; 1)$ . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A. $(1; 1; 0)$

B. $(2; 2; 0)$

C. $(- 2; - 4; 2)$

D. $(- 1; - 2; 1)$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi I trung điểm của AB. Ta có: $\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = 1 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = 1 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = 0 \end{cases} \Rightarrow I (1; 1; 0)$ .

Câu 26:

Cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0$ . Tính bán kính R của mặt cầu (S).

A. $R = \sqrt{3}$

B. $R = 3$

C. $R = 9$

D. $R = 3 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$ .

Suy ra mặt cầu $(S)$ có bán kính R=3.

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng $(P) : x + (m + 1) y - 2 z + m = 0$ và $(Q) : 2 x - y + 3 = 0$ , với m là tham số thực. Để (P) và (Q) vuông góc thì giá trị của m bằng bao nhiêu?

A. $m = - 5$

B. $m = 1$

C. $m = 3$

D. $m = - 1$

Xem đáp án

Chọn B

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): $\vec{n} (1; m +1; - 2)$ .

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): $\vec{m} (2; - 1; 0)$ .

Theo yêu cầu bài toán: $\vec{n} . \vec{m} = 0 \Leftrightarrow 2 - (m + 1) = 0 \Leftrightarrow 2 - m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(d) : \{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 - 2 t \\ z = 2 \end{cases}$ . Một vectơ chỉ phương của d là

A. $\vec{u} = (1; - 2; 0)$

B. $\vec{u} = (3; 1; 2)$

C. $\vec{u} = (1; - 2; 2)$

D. $\vec{u} = (- 1; 2; 2)$

Xem đáp án

Chọn A

Một vectơ chỉ phương của d là $\vec{u} = (1; - 2; 0)$ .

Câu 29:

Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng là

A. $\frac{1}{18}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{8}$

D. $\frac{2}{25}$

Xem đáp án

Chọn A

Số phần tử không gian mẫu: $n (Ω) = 6.6 = 36$

Biến cố tổng hai mặt là : $A = \{(5; 6); (6; 5)\}$ nên $n (A) = 2$ .

Suy ra $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ .

Câu 30:

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$ ?

A. $y = - x^{4} - 6 x^{2}$

B. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 1$

C. $y = \frac{x + 3}{x - 1}$

D. $y = x^{3} + 3 x$

Xem đáp án

Chọn B

Loại A và C vì hàm trùng phương và hàm $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ không nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$ .

Loại D vì là hàm bậc 3 có hệ số $a = 1 > 0$ không nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$ .

Chọn B Kiểm tra lại, xét hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 1$ .

TXĐ $D = ℝ$ .

$y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x - 9 < 0$ với mọi $x \in ℝ$ .

Vậy hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 1$ nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$ .

Câu 31:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{4} + 2 x^{2} - 1$ trên đoạn $[- 1; 2]$ lần lượt là $M, m .$ Khi đó giá trị của tích $M, m .$ là

A. 46

B. -23

C. -2

D. 13

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y' = 4 x^{3} + 4 x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in [- 1; 2]$ . Tính $y (- 1) = 2; y (0) = - 1; y (2) = 23.$

Do đó $M = 23; m = - 1 \Rightarrow M . m = - 23.$

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x - 2) \geq - 1$

A. $(4; + \infty)$

B. $(2; 4]$

C. $[4; + \infty)$

D. $(- \infty; 4]$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\log_{\frac{1}{2}} (x - 2) \geq - 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 2 \\ x - 2 \leq 2 \end{cases} \Rightarrow 2 < x \leq 4$ .

Vậy tập nghiệm bất phương trình là $(2; 4]$

Câu 33:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = 5$ , khi đó $\int_{0}^{1} [f (x) + 2 g (x)] d x$ bằng

A. -3

B. -8

C. 12

D. 1

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\int_{0}^{1} [f (x) + 2 g (x)] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + 2 \int_{0}^{1} g (x) d x = 2 + 2.5 = 12$

Câu 34:

Cho hai số phức $z_{1} = 3 - i$ và $z_{2} = 4 - i$ . Tính môđun của số phức $z_{1}^{2} + {\bar{z}}_{2}$ .

A. 12

B. 10

C. 13

D. 15

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $z_{1}^{2} + {\bar{z}}_{2}$ $= {(3 - i)}^{2} + (4 + i)$ $= 12 - 5 i$ nên $|z_{1}^{2} + {\bar{z}}_{2}| = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13$ .

Câu 35:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ và $S A = a$ . Góc giữa đường thẳng SB và $(S A C)$ là

A. $30 °$

B. $75 °$

C. $60 °$

D. $45 °$

Xem đáp án

Chọn A

Gọi I là tâm của hình vuông ABCD.

Vì ABCD là hình vuông nên $B D ⊥ A C$ ; Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên $S A ⊥ B D$

Suy ra $B D ⊥ (S A C)$ , do đó góc giữa đường thẳng $S B$ và $(S A C)$ là góc $\hat{B S I}$

Ta có: $S B = a \sqrt{2}$ ; $B I = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow \sin \hat{B S I} = \frac{B I}{S B} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{B S I} = 30 °$ .

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với mặt đáy. Biết $S B = a \sqrt{10}$ . Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (ABCD) bằng

A. $3 a$

B. $\frac{3 a}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{10}}{2}$

D. $a \sqrt{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi $O = A C \cap B D$ , $O I // S A$

Mà $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow O I ⊥ (A B C D)$

Vậy $d (I, (A B C D)) = O I = \frac{S A}{2} = \frac{\sqrt{S B^{2} - A B^{2}}}{2} = \frac{3 a}{2}$

Câu 37:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm $A (2; 1; 1)$ , $B (0; 3; - 1)$ . Mặt cầu (S) đường kính AB có phương trình là

A. $x^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 3$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 3$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 9$

Xem đáp án

Chọn B

Tâm I là trung điểm $A B$ => $I (1; 2; 0)$ và bán kính $R = I A = \sqrt{3}$ .

Vậy ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 3$ .

Câu 38:

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M (3; - 1; 2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (4; 5; - 7)$ là:

A. $\{\begin{cases} x = 4 + 3 t \\ y = 5 - t \\ z = - 7 + 2 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = - 4 + 3 t \\ y = - 5 - t \\ z = 7 + 2 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 3 + 4 t \\ y = - 1 + 5 t \\ z = 2 - 7 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = - 3 + 4 t \\ y = 1 + 5 t \\ z = - 2 - 7 t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 39:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên $ℝ$ và có bảng xét dấu $f^{'} (x)$ như sau

Hỏi hàm số $y = f (x^{2} - 2 x)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 4

B. 3

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $g (x) = f (x^{2} - 2 x)$ . Ta có $g^{'} (x) = (2 x - 2) f^{'} (x^{2} - 2 x)$ .

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x^{2} - 2 x = - 2 \\ x^{2} - 2 x = 1 \\ x^{2} - 2 x = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x^{2} - 2 x + 2 = 0 \\ x^{2} - 2 x - 1 = 0 \\ x^{2} - 2 x - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{2} \\ x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$ .

Trong đó các nghiệm $- 1, 1, 3$ là nghiệm bội lẻ và $1 \pm \sqrt{2}$ là nghiệm bội chẵn. Vì vậy hàm số $g^{'} (x)$ chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm $- 1, 1, 3$ .

Ta có $g^{'} (0) = - 2 f^{'} (0) < 0$ (do $f^{'} (0) > 0$ ).

Bảng xét dấu

Vậy hàm số $y = f (x^{2} - 2 x)$ có đúng 1 điểm cực tiểu là $x = 1$ .

Câu 40:

Cho hàm số y=f(x). Hàm số $y = f^{'} (x)$ có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình $f (x) < m - e^{- x}$ đúng với mọi $x \in (- 2; 2)$ khi và chỉ khi

A. $m \geq f (2) + \frac{1}{e^{2}}$

B. $m > f (- 2) + e^{2}$

C. $m > f (2) + \frac{1}{e^{2}}$

D. $m \geq f (- 2) + e^{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $f (x) < m - e^{- x}, \forall x \in (- 2; 2) \Leftrightarrow f (x) + e^{- x} < m \forall x \in (- 2; 2) (*)$ .

Xét hàm số $g (x) = f (x) + e^{- x}$

Ta có: $g^{'} (x) = f^{'} (x) - e^{- x}$ .

Ta thấy với $\forall x \in (- 2; 2)$ thì $f^{'} (x) < 0$ , $- e^{- x} < 0$ nên $g^{'} (x) = f^{'} (x) - e^{- x} < 0$ , $\forall x \in (- 2; 2)$ .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có $m \geq g (- 2) \Leftrightarrow m \geq f (- 2) + e^{2}$ .

Câu 41:

Hàm số f(x) liên tục trên $(0; + \infty)$ . Biết rằng tồn tại hằng số $a > 0$ để $\int_{a}^{x} \frac{f (t)}{t^{4}} d t = 2 \sqrt{x} - 6$ , $\forall x > 0$ . Tính tích phân $\int_{1}^{a} f (x) d x$ là

A. $\frac{21869}{5}$

B. $\frac{39364}{9}$

C. $4374$

D. $- \frac{40}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Lấy đạo hàm hai vế biểu thức $\int_{a}^{x} \frac{f (t)}{t^{4}} d t = 2 \sqrt{x} - 6$ ta được.

$\frac{f (x)}{x^{4}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow f (x) = x^{3} \sqrt{x}$ . Suy ra $\int_{a}^{x} \frac{1}{\sqrt{t}} d t = 2 \sqrt{x} - 6 \Leftrightarrow 2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{a} = 2 \sqrt{x} - 6 \Leftrightarrow a = 9$ .

Vậy $\int_{1}^{a} f (x) d x = \int_{1}^{9} x^{3} \sqrt{x} d x = \frac{39364}{9}$ .

Câu 42:

Cho số phức $z = {(\frac{2 + 6 i}{3 - i})}^{m},$ m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị $m \in [1; 50]$ để z là số thuần ảo?

A. 24

B. 26

C. 25

D. 50

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $z = {(\frac{2 + 6 i}{3 - i})}^{m} = {(2 i)}^{m} = 2^{m} . i^{m}$

z là số thuần ảo khi và chỉ khi $m = 2 k + 1, k \in ℕ$ (do $z \neq 0; \forall m \in ℕ^{*}$ ).

Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AC=a. Biết vuông góc với đáy ABC và SB tạo với đáy một góc $60^{o}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{24}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{8}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Chọn A

Do tam giác ABC vuông cân tại B nên ta có $A B = B C = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Và $\hat{(S B, (A B C))} = \hat{(S B, A B)} = 60^{o}$

Do đó $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . S A = \frac{1}{3} . S_{A B C} . A B \tan 60^{o}$ $= \frac{1}{3} . \frac{1}{2} . \frac{a^{2}}{2} . \frac{a}{\sqrt{2}} . \sqrt{3} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{24}$ .

Câu 44:

Một tàu lửa đang chạy với vận tốc $200$ m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v (t) = 200 - 20 t$ m/s. Trong đó khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, tàu còn di chuyển được quãng đường là

A. 1000 m

B. 500 m

C. 1500 m

D. 2000 m

Xem đáp án

Chọn A

Lấy mốc thời gian là lúc bắt đầu đạp phanh. Giả sử $t_{0}$ là thời điểm tàu dừng hẳn.

Khi đó $v (t_{0}) = 0 \Leftrightarrow 200 - 20 t_{0} = 0 \Leftrightarrow t_{0} = 10 (s) .$

Như vậy từ lúc đạp phanh đến lúc tàu dừng hẳn là $10 (s) .$

Quãng đường tàu di chuyển được trong khoảng thời gian $10 (s)$ là

$S = \int_{0}^{10} (200 - 20 t) = 1000 (m) .$ .

Câu 45:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 5}{- 1}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - 3 y + z - 6 = 0$ .Đường thẳng $Δ$ nằm trong $(P)$ cắt và vuông góc với d có phương trình

A. $\frac{x + 8}{2} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z - 7}{11}$

B. $\frac{x + 4}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 5}{- 1}$

C. $\frac{x - 8}{2} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 7}{11}$

D. $\frac{x - 4}{2} = \frac{y - 3}{5} = \frac{z - 3}{11}$

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình tham số của $d : \{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = - 1 + t \\ z = - 5 - t \end{cases}$

Tọa độ giao điểm M của d và (P) $2 (2 + 3 t) - 3 (- 1 + t) - 5 - t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow M (8; 1; - 7)$

VTCP của $Δ$ $\vec{u} = [\vec{u_{d}}; \vec{n_{(P)}}] = (- 2; - 5; - 11) = - 1. (2; 5; 11)$

$Δ$ nằm trong (P) cắt và vuông góc với d suy ra $Δ$ đi qua M có VTCP $\vec{a} = (2; 5; 11)$ nên có phương trình: $\frac{x - 8}{2} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 7}{11}$ .

Câu 46:

Cho hàm số bậc bốn $y = f (x)$ . Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm $f' (x)$ . Hàm số $g (x) = f (\sqrt{x^{2} + 2 x + 2})$ có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $g^{'} (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}} f^{'} (\sqrt{x^{2} + 2 x + 2})$ .

Suy ra $g^{'} (x) = 0 [\begin{array}{l} x + 1 = 0 \\ f^{'} (\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}) = 0 \end{array}$ $\Rightarrow [\begin{array}{l} x + 1 = 0 \\ \sqrt{x^{2} + 2 x + 2} = - 1 \\ \sqrt{x^{2} + 2 x + 2} = 1 \\ \sqrt{x^{2} + 2 x + 2} = 3 \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = - 1 + 2 \sqrt{2} \\ x = - 1 - 2 \sqrt{2} \end{array}$ .

Bảng xét dấu

Từ đó suy ra hàm số $g (x) = f (\sqrt{x^{2} + 2 x + 2})$ có 3 điểm cực trị.

Chú ý: Cách xét dấu + hay - của $g^{'} (x)$ để cho nhanh nhất ta lấy một giá trị $x_{0}$ thuộc khoảng đang xét rồi thay vào $g^{'} (x) .$ Chẳng hạn với khoảng $(- 1; - 1 + \sqrt{2})$ ta chọn $x_{0} = 0 \Rightarrow g^{'} (0) = \frac{1}{\sqrt{2}} f^{'} (\sqrt{2}) < 0$ vì dựa vào đồ thị ta thấy $f^{'} (\sqrt{2}) < 0$ .

Câu 47:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực $a, b > 1$ thỏa mãn $\log_{9} a = \log_{12} b = \log_{16} \frac{5 b - a}{c}$ .

A. 4

B. 5

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

$\log_{9} a = \log_{12} b = \log_{16} \frac{5 b - a}{c} = t > 0$ . Khi đó $\{\begin{cases} a = 9^{t} \\ b = 12^{t} \\ \frac{5 b - a}{c} = 16^{t} \end{cases} (*)$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = {(\frac{3}{4})}^{t} = u \in (0; 1)$

Từ (*) suy ra ${5.12}^{t} - 9^{t} = c {.16}^{t}$ $\Leftrightarrow 5 {(\frac{3}{4})}^{t} - {(\frac{3}{4})}^{2 t} = c$

Suy ra $c = - u^{2} + 5 u = f (u)$

Ta có $f^{'} (u) = - 2 u + 5 > 0 \forall u \in (0; 1)$

Bảng biến thiên của $f (u)$ trên $(0; 1)$ là

Để tồn tại a,b thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (*) phải có nghiệm

$\Leftrightarrow c = f (u)$ có nghiệm $u \in (0; 1)$

$\Leftrightarrow 0 < c < 4$ .

Do $c \in ℕ *$ nên $c \in \{1; 2; 3\}$

Câu 48:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R, đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như trong hình vẽ bên

Hỏi phương trình $f (x) = 0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm biết $f (a) > 0$ ?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Chọn D

Mặt khác

$\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x > \int_{b}^{c} f^{'} (x) d x \Rightarrow {f (x)|}_{a}^{b} > - {f (x)|}_{b}^{c} \Leftrightarrow f (b) - f (a) > - f (c) + f (b) \Leftrightarrow f (a) < f (c)$

Mà $f (a) > 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Câu 49:

Cho số phức z thỏa $|z| = 1$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |z^{5} + {\bar{z}}^{3} + 6 z| - 2 |z^{4} + 1|$ . Tính $M - m$ .

A. m=-4, n=3

B. m=4, n=3

C. m=-4, n=4

D. m=4, n=-4

Xem đáp án

Chọn A

Vì $|z| = 1$ và $z . \bar{z} = {|z|}^{2}$ nên ta có $\bar{z} = \frac{1}{z}$ .

Từ đó, $P = |z^{5} + {\bar{z}}^{3} + 6 z| - 2 |z^{4} + 1|$ $= |z| |z^{4} + {\bar{z}}^{4} + 6| - 2 |z^{4} + 1|$ $= |z^{4} + {\bar{z}}^{4} + 6| - 2 |z^{4} + 1|$ .

Đặt $z^{4} = x + i y$ , với $x, y \in ℝ$ . Do $|z| = 1$ nên $|z^{4}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 1$ và $- 1 \leq x, y \leq 1$ .

Khi đó $P = |x + i y + x - i y + 6| - 2 |x + i y + 1|$ $= |2 x + 6| - 2 \sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}}$

$= 2 x + 6 - 2 \sqrt{2 x + 2}$ $= {(\sqrt{2 x + 2} - 1)}^{2} + 3$ .

Do đó $P \geq 3$ . Lại có $- 1 \leq x \leq 1$ $\Rightarrow 0 \leq \sqrt{2 x + 2} \leq 2$ $\Rightarrow - 1 \leq \sqrt{2 x + 2} - 1 \leq 1$ $\Rightarrow P \leq 4$ .

Vậy $M = 4$ khi $z^{4} = \pm 1$ và $m = 3$ khi $z^{4} = - \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i$ . Suy ra $M - m = 1$ .

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm $A (0; 1; 1)$ , $B (3; 0; - 1)$ , $C (0; 21; - 19)$ và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$ . Gọi điểm $M (a; b; c)$ là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức $T = 3 M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $S = a + b + c$ .

A. 12

B. $\frac{14}{5}$

C. $\frac{12}{5}$

D. 0

Xem đáp án

Chọn B

Gọi điểm $K (x; y; z)$ sao cho $3 \vec{K A} + 2 \vec{K B} + \vec{K C} = \vec{0}$ .

Ta có $\{\begin{cases} \vec{K A} = (- x; 1 - y; 1 - z) \\ \vec{K B} = (3 - x; - y; - 1 - z) \\ \vec{K C} = (- x; 21 - y; - 19 - z) \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} - 3 x + 2 (3 - x) - x = 0 \\ 3 (1 - y) - 2 y + 21 - y = 0 \\ 3 (1 - z) - 2 (1 + z) - 19 - z = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 4 \\ z = - 3 \end{cases} \Rightarrow K (1; 4; - 3)$ .

Khi đó $\{\begin{cases} 3 M A^{2} = 3 {(\vec{M K} + \vec{K A})}^{2} = 3 M K^{2} + 6 \vec{M K} . \vec{K A} + 3 K A^{2} \\ 2 M B^{2} = 2 {(\vec{M K} + \vec{K B})}^{2} = 2 M K^{2} + 4 \vec{M K} . \vec{K B} + 2 K B^{2} \\ M C^{2} = {(\vec{M K} + \vec{K C})}^{2} = M K^{2} + 2 \vec{M K} . \vec{K C} + 2 K C^{2} \end{cases}$ .

$\Rightarrow T = 3 M A^{2} + 2 M B^{2} + M C^{2}$ $= 5 M K^{2} + 2 \vec{M K} (3 \vec{K A} + 2 \vec{K B} + \vec{K C}) + (3 K A^{2} + 2 K B^{2} + K C^{2})$

$= 5 M K^{2} + \underset{c o n s t}{\underset{⏟}{(3 K A^{2} + 2 K B^{2} + K C^{2})}}$

. Do đó $T_{\min}$ khi và chỉ khi $M K_{\min}$ .

Suy ra $M = I K \cap (S)$ và đồng thời M nằm giữa I và K.

Ta có $\vec{I K} = (0; 3; - 4) \Rightarrow I K : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + 3 t \\ z = 1 - 4 t \end{cases}$ . Suy ra toạ độ điểm M thoả mãn:

${(3 t)}^{2} + {(4 t)}^{2} = 1 \Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{5}$

Vì M nằm giữa I và K nên $t = \frac{1}{5}$ và $M (1; \frac{8}{5}; \frac{1}{5})$ .

Vậy $S = a + b + c = 1 + \frac{8}{5} + \frac{1}{5} = \frac{14}{5}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 22)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan