50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 23)

Câu 1:

Cần chọn 3 người đi công tác từ một tổ có 30 người, khi đó số cách chọn là:

A. $A_{30}^{3}$

B. $3^{30}$

C. $10$

D. $C_{30}^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Mỗi cách chọn thỏa đề bài là một tổ hợp chập 3 của 30

Do đó số cách chọn là $C_{30}^{3}$ cách

Câu 2:

Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu?

A. $d = 4.$

B. $d = 5.$

C. $d = 6.$

D. $d = 7.$

Xem đáp án

Chọn B

$\{\begin{cases} u_{1} = 5 \\ 40 = u_{8} = u_{1} + 7 d \end{cases} \underset{}{\to} d = 5$

Vậy $d = 5$

Câu 3:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới.Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 0)$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$ .

Chú ý:Đáp án B sai vì hàm số không xác định tại $x = 0$ .

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. $x = - 1$

B. $x = 2$

C. $x = 1$

D. $x = - 2$

Xem đáp án

Chọn A

Từ đồ thị hàm số suy ra hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ .

Câu 5:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. Trên K, hàm số có bao nhiêu cực trị?

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án

Chọn B

Trên K, hàm số có 2 cực trị

Câu 6:

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 4}{x + 2}$ là

A. $x = 2$

B. $y = 2$

C. $x = - 2$

D. $y = - 2$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x - 4}{x + 2}$ $= \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 4}{x + 2}$ $= 2$ .

Vậy $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 7:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y = \frac{x + 2}{2 x - 1}$

B. $y = \frac{2 x}{3 x - 3}$

C. $y = \frac{x + 1}{2 x - 2}$

D. $y = \frac{2 x - 4}{x - 1}$

Xem đáp án

Chọn C

Phương án C: TCN: $y = \frac{1}{2}$ và TCĐ: $x = 1$ (thỏa mãn).

Câu 8:

Tìm tung độ giao điểm của đồ thị $(C) : y = \frac{2 x - 3}{x + 3}$ và đường thẳng $d : y = x - 1.$

A. 1

B. -3

C. -1

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường (C) và d là :

$\frac{2 x - 3}{x + 3} = x - 1 (x \neq - 3) \Rightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = - 1.$

Câu 9:

Với $a, b > 0$ tùy ý, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\log (a b) = \log a . \log b$

B. $\log (a b^{2}) = 2 \log a + 2 \log b$

C. $\log (a b^{2}) = \log a + 2 \log b$

D. $\log (a b) = \log a - \log b$

Xem đáp án

Chọn C

Với a, b > 0 ta có:

$\log (a b) = \log a + \log b$ .

$\log (a b^{2}) = \log a + \log b^{2} = \log a + 2 \log b$ .

Vậy C đúng.

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số $y = 5^{x} + 2017$ là

A. $y' = \frac{5^{x}}{5 \ln 5}$

B. $y' = 5^{x} . \ln 5$

C. $y' = \frac{5^{x}}{\ln 5}$

D. $y' = 5^{x}$

Xem đáp án

Chọn B

Do $(5^{x})' = 5^{x} . \ln 5$ là mệnh đề đúng.

Câu 11:

Cho a là số thực dương. Giá trị của biểu thức $P = a^{\frac{2}{3}} \sqrt{a}$ bằng

A. $a^{\frac{5}{6}}$

B. $a^{5}$

C. $a^{\frac{2}{3}}$

D. $a^{\frac{7}{6}}$

Xem đáp án

Chọn D

Với $a > 0$ , ta có $P = a^{\frac{2}{3}} \sqrt{a} = a^{\frac{2}{3}} a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6}}$ .

Câu 12:

Tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình $3^{x^{2} - 4 x + 5} = 9$ là

A. 26

B. 27

C. 28

D. 25

Xem đáp án

Chọn C

Ta có phương trình: $3^{x^{2} - 4 x + 5} = 9 \Leftrightarrow 3^{x^{2} - 4 x + 5} = 3^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 5 = 2$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$ .

Tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là: $1^{3} + 3^{3} = 28$ .

Câu 13:

Tìm số nghiệm của phương trình $\log_{3} (2 x - 1) = 2$ .

A. 1

B. 5

C. 2

D. 0

Xem đáp án

Chọn A

$\log_{3} (2 x - 1) = 2 \Leftrightarrow 2 x - 1 = 3^{2} \Leftrightarrow x = 5$ .

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Câu 14:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2}$ là

A. $\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C$

B. $\int x^{2} d x = \frac{x^{2}}{2} + C$

C. $\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3}$

D. $\int x^{2} d x = 2 x + C$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C$ .

Câu 15:

Một nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ là

A. $F (x) = 3 {(x + 1)}^{2}$

B. $F (x) = \frac{1}{3} {(x + 1)}^{2}$

C. $F (x) = \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4}$

D. $F (x) = 4 {(x + 1)}^{4}$

Xem đáp án

Chọn C

Áp dụng hệ quả chọn đáp án C

Câu 16:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $[- 1; 1]$ thỏa mãn $\int_{- 1}^{1} f^{'} (x) d x = 5$ và $f (- 1) = 4$ . Tìm $f (1)$ .

A. $f (1) = - 1$

B. $f (1) = 1$

C. $f (1) = 9$

D. $f (1) = - 9$

Xem đáp án

Chọn C

$\int_{- 1}^{1} f^{'} (x) d x = 5$ => $f (1) - f (- 1) = 5$ $\Rightarrow f (1) - 4 = 5$ $\Rightarrow f (1) = 9$ .

Câu 17:

Tích phân $I = \int_{1}^{2} (\frac{1}{x} + 2) d x$ bằng

A. $I = \ln 2 + 2$

B. $I = \ln 2 + 1$

C. $I = \ln 2 - 1$

D. $I = \ln 2 + 3$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $I = \int_{1}^{2} (\frac{1}{x} + 2) d x$ $= {(\ln |x| + 2 x)|}_{1}^{2}$ $= \ln 2 + 4 - 2$ $= \ln 2 + 2$ .

Câu 18:

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn $a + 6 i = 2 - 2 b i$ , với i là đơn vị ảo. Giá trị của $a + b$ bằng

A. -1

B. 1

C. -4

D. 5

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $a + 6 i = 2 - 2 b i \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ 6 = - 2 b \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 3 \end{cases} \Rightarrow a + b = - 1$

Câu 19:

Cho số phức $z_{1} = 3 + 2 i$ , $z_{2} = 6 + 5 i$ . Tìm số phức liên hợp của số phức $z = 6 z_{1} + 5 z_{2}$

A. $\bar{z} = 51 + 40 i$

B. $\bar{z} = 51 - 40 i$

C. $\bar{z} = 48 + 37 i$

D. $\bar{z} = 48 - 37 i$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $z = 6 z_{1} + 5 z_{2}$ $= 6 (3 + 2 i) + 5 (6 + 5 i)$ $= 48 + 37 i$ .

Suy ra $\bar{z} = 48 - 37 i$ .

Câu 20:

Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức $z = - 1 + 2 i ?$

A. N

B. P

C. M

D. Q

Xem đáp án

Chọn D

Vì $z = - 1 + 2 i$ nên điểm biểu diễn số phức z có tọa độ $(- 1; 2)$ , đối chiếu hình vẽ ta thấy đó là điểm Q.

Câu 21:

Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng

A. 8a

B. $8 a^{3}$

C. $a^{3}$

D. $6 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích khối lập phương cạnh 2a là $V = {(2 a)}^{3} = 8 a^{3}$ .

Câu 22:

Cho khối chóp có diện tích đáy bằng $6 c m^{2}$ và có chiều cao là 2 cm. Thể tích của khối chóp đó là

A. $6 c m^{3}$

B. $4 c m^{3}$

C. $3 c m^{3}$

D. $12 c m^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích của khối chóp là: $V = \frac{1}{3} h . S_{d a y} = \frac{1}{3} .2.6 = 4 (c m^{3})$ .

Câu 23:

Cho khối nón có bán kính đáy $r = \sqrt{3}$ và chiều cao $h = 4$ . Tính thể tích V của khối nón đã cho

A. $V = 16 π \sqrt{3}$

B. $V = 12 π$

C. $V = 4 π$

D. $V = 4$

Xem đáp án

Chọn C

$V = \frac{1}{3} . π . r^{2} . h = 4 π$ .

Câu 24:

Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy $r = 10 cm$ và chiều cao $h = 6 cm$

A. $V = 120 π {cm}^{3}$

B. $V = 360 π {cm}^{3}$

C. $V = 200 π {cm}^{3}$

D. $V = 600 π {cm}^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Thể tích khối trụ là: $V = π r^{2} h$ $= π {.10}^{2} .6$ $= 600 π {cm}^{3}$ .

Câu 25:

Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz, cho $\vec{a} = - \vec{i} + 2 \vec{j} - 3 \vec{k} .$ Tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là

A. $\vec{a} (- 1; 2; - 3)$

B. $\vec{a} (2; - 3; - 1)$

C. $\vec{a} (- 3; 2; - 1)$

D. $\vec{a} (2; - 1; - 3)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k} \Leftrightarrow \vec{a} (x; y; z)$ nên $\vec{a} (- 1; 2; - 3) .$

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 x - 2 y - 4 = 0$ .Tính bán kính R của (S)

A. 1

B. 9

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn D

Giả sử phương trình mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0 (a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0)$

Ta có: $a = - 2, b = 1, c = 0, d = - 4 \Rightarrow$ Bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = 3$

Câu 27:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm $A (0; 1; 2)$ , $B (2; - 2; 1)$ , $C (- 2; 0; 1)$ . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là

A. $2 x - y - 1 = 0$

B. $- y + 2 z - 3 = 0$

C. $2 x - y + 1 = 0$

D. $y + 2 z - 5 = 0$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $l = \sqrt{h^{2} + R^{2}}$ .

Vậy phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC có dạng:

$- 2 (x - 0) + 1 (y - 1) = 0$ $\Leftrightarrow - 2 x + y - 1 = 0$ $\Leftrightarrow 2 x - y + 1 = 0$ .

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (1; - 2; 1)$ ; $B (2; 1; - 1)$ , véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB là

A. $\vec{u} = (1; - 1; - 2)$

B. $\vec{u} = (3; - 1; 0)$

C. $\vec{u} = (1; 3; - 2)$

D. $\vec{u} = (1; 3; 0)$

Xem đáp án

Chọn C

Véctơ chỉ phương của đường thẳng AB là: $\vec{u} = \vec{A B} = (1; 3; - 2)$

Câu 29:

Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng:

A. $\frac{13}{27}$

B. $\frac{13}{27}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{365}{729}$

Xem đáp án

Chọn A

$n (Ω) = C_{27}^{2} = 351$

* Trường hợp 1: hai số được chọn đều là số chẵn: $n_{1} = C_{13}^{2} = 78$

* Trường hợp 2: hai số được chọn đều là số lẻ: $n_{2} = C_{14}^{2} = 91$

$n (A) = n_{1} + n_{2} = 78 + 91 = 169$

$P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{169}{351} = \frac{13}{27}$

Câu 30:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ . Mệnh đề nào dưới đây là đúng

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$

C. Hàm số luôn nghịch biến trên R

D. Hàm số đồng biến trên R

Xem đáp án

Chọn B

TXĐ: $D = ℝ \ \{- 1\} .$

$y^{'} = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall x \neq - 1.$

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Câu 31:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x - 3}$ trên đoạn $[0; 2]$ . Tính $2 M - m$ .

A. $2 M - m = \frac{- 14}{3}$

B. $2 M - m = \frac{- 13}{3}$

C. $2 M - m = \frac{17}{3}$

D. $2 M - m = \frac{16}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Hàm số đã cho xác định trên $[0; 2]$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{- 8}{{(x - 3)}^{2}} < 0, \forall x \in [0; 2]$ .

$y (0) = \frac{1}{3}$ , $y (2) = - 5$

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là $M = \frac{1}{3}$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là $m = - 5$

Vậy $2 M - m = \frac{17}{3}$

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} (x - 1) \geq - 1$ .

A. $[\frac{- 1}{2}; + \infty)$

B. $(- 1; - \frac{1}{2}]$

C. $(- \infty; - \frac{1}{2}]$

D. $[1; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\log_{2} (x + 1) \geq - 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - 1 \\ x + 1 \geq \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - 1 \\ x \geq \frac{- 1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x \geq \frac{- 1}{2}$ .

Vậy tập nghiệm bất phương trình là $[\frac{- 1}{2}; + \infty)$ .

Câu 33:

Cho $\int_{0}^{1} [f (x) - 2 g (x)] d x = 12$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = 5$ , khi đó $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

A. -2

B. 12

C. 22

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

$\int_{0}^{1} [f (x) - 2 g (x)] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - 2 \int_{0}^{1} g (x) d x$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} [f (x) - 2 g (x)] d x + 2 \int_{0}^{1} g (x) d x = 12 + 2.5 = 22$ .

Câu 34:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 + i$ và $z_{2} = - 3 + i$ . Phần ảo của số phức $z_{1} \bar{z_{2}}$ bằng

A. -5

B. -5i

C. 5

D. 5i

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $z_{1} \bar{z_{2}} = (2 + i) (- 3 - i) = - 5 - 5 i$ .

Vậy phần ảo của số phức $z_{1} z_{2}$ bằng -5.

Câu 35:

Cho khối chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ , tam giác ABC vuông tại B, $A C = 2 a$ , $B C = a$ , $ S B = 2 a \sqrt{3}$ . Tính góc giữa SA và mặt phẳng $(S B C)$ .

A. $45 °$

B. $30 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Chọn B

Kẻ $A H ⊥ S B$ ( $H \in S B$ ) (1). Theo giả thiết ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ S A \\ B C ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A H$ (2) . Từ (1) và (2) suy ra $A H ⊥ (S B C)$ , . Do đó góc giữa SA và mặt phẳng $(S B C)$ bằng góc giữa SA và SH bằng góc $\hat{A S H}$

Ta có $A B = \sqrt{A C^{2} - B C^{2}} = a \sqrt{3}$ . Trong $Δ S A B$ vuông ta có $\sin A S B = \frac{A B}{S B} = \frac{a \sqrt{3}}{2 a \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ . Vậy $\hat{A S B} = \hat{A S H} = 30^{\circ}$ .

Do đó góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng $30 °$ .

Câu 36:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng $a \sqrt{2} .$ Tính khoảng cách d từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a

A. $d = \frac{a \sqrt{5}}{2} .$

B. $d = \frac{a \sqrt{5}}{2} .$

C. $d = \frac{a \sqrt{5}}{2} .$

D. $d = \frac{a \sqrt{2}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn D

Kẻ $O H ⊥ B C, O K ⊥ S H$

Ta có: $\{\begin{cases} O H ⊥ B C \\ S O ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S O H) \Rightarrow \{\begin{cases} O K ⊥ B C \\ O K ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow O K ⊥ (S B C) \Rightarrow d (O; (S B C)) = O K$

Vì $O H = \frac{a}{2}; S O = a \sqrt{2} \Rightarrow \frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O H^{2}} \Rightarrow O K^{2} = \frac{2 a^{2}}{9} \Rightarrow O K = \frac{a \sqrt{2}}{3}$

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $I (1; 1; 1)$ và $A (1; 2; 3)$ . Phương trình của mặt cầu có tâm I và đi qua A là

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 29$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25$

D. $x + 1^{2} + y + 1^{2} + {(z + 1)}^{2} = 5$

Xem đáp án

Chọn B

Vì mặt cầu (S) có tâm $I (1; 1; 1)$ và đi qua $A (1; 2; 3)$ nên mặt cầu (S) có tâm $I (1; 1; 1)$ và có bán kính là $R = I A = \sqrt{5}$ .

Suy ra phương trình mặt cầu (S) là: ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5$ .

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A (1; 0; 1)$ và $B (3; 2; - 1)$ .

A. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = - 1 - t \end{cases}, t \in R$

B. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 - t \\ z = - 1 - t \end{cases}, t \in R$

C. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - t \\ z = 1 + t \end{cases}, t \in R$

D. $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2 + t \\ z = - 2 - t \end{cases}, t \in R$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\vec{A B} = (2; 2; - 2)$ $\Rightarrow$ $\vec{u} = (- 1; - 1; 1)$ là một VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm $A (1; 0; 1)$ và $B (3; 2; - 1)$ .

Vậy đường thẳng $A B : \{\begin{cases} đi qua A (1; 0; 1) \\ VTCP \vec{u} = (- 1; - 1; 1) \end{cases}$ có phương trình là $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - t \\ z = 1 + t \end{cases}, t \in R$ .

Câu 39:

Nếu hàm số f(x) có đạo hàm là $f^{'} (x) = x^{2} (x + 2) (x^{2} + x - 2) {(x - 1)}^{4}$ thì điểm cực trị của hàm số $f (x)$ là

A. $x = 0$

B. $x = 2$

C. $x = 1$

D. $x = - 2$

Xem đáp án

Chọn C

$f^{'} (x) = x^{2} (x + 2) (x^{2} + x - 2) {(x - 1)}^{4} = x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 1)}^{5}$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \\ x = 1 \end{array}$

Bảng xét dấu:

Vậy hàm số đạt cực trị tại $x = 1$ .

Câu 40:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${(17 - 12 \sqrt{2})}^{x} \geq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}}$ là

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Chọn A

Ta có

$(3 + \sqrt{8}) = {(3 - \sqrt{8})}^{- 1}, (17 - 12 \sqrt{2}) = {(3 - \sqrt{8})}^{2}$ .

Do đó ${(17 - 12 \sqrt{2})}^{x} \geq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}} \Leftrightarrow {(3 - \sqrt{8})}^{2 x} \geq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}} \Leftrightarrow {(3 + \sqrt{8})}^{- 2 x} \geq {(3 + \sqrt{8})}^{x^{2}}$ $\Leftrightarrow - 2 x \geq x^{2} \Leftrightarrow - 2 \leq x \leq 0$

Vì x nhận giá trị nguyên nên $x \in \{- 2; - 1; 0\}$ .

Câu 41:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ , $\int_{0}^{3} f (x) d x = 6$ . Tính $\int_{- 1}^{1} f (|2 x - 1|) d x$ .

A. I=8

B. I=16

C. I= $\frac{3}{2}$

D. I=4

Xem đáp án

Câu 42:

Cho số phức $z = a + b i$ ( với $a, b \in ℝ$ ) thỏa $|z| (2 + i) = z - 1 + i (2 z + 3)$ . Tính $S = a + b$

A. $S = - 1$

B. $S = 1$

C. $S = 7$

D. $S = - 5$

Xem đáp án

Chọn A

$|z| (2 + i) = z - 1 + i (2 z + 3) \Leftrightarrow |z| (2 + i) + 1 - 3 i = z (1 + 2 i) \Leftrightarrow (1 + 2 |z|) + (|z| - 3) i = z (1 + 2 i)$

Suy ra: ${(1 + 2 |z|)}^{2} + {(|z| - 3)}^{2} = 5 {|z|}^{2} \Leftrightarrow |z| = 5$

Khi đó, ta có: $5 (2 + i) = z - 1 + i (2 z + 3) \Leftrightarrow z (1 + 2 i) = 11 + 2 i \Leftrightarrow z = \frac{11 + 2 i}{1 + 2 i} = 3 - 4 i$

Vậy $S = a + b = 3 - 4 = - 1$ .

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc $60 °$ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A. $\frac{a^{3} \sqrt{15}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{15}}{6}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi I là trung điểm của AB.

Ta có: tam giác SAB cân tại S => $S I ⊥ A B$ (1)

Mặt khác: $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) \\ (S A B) \cap (A B C D) = A B \end{cases}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra: $S I ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow S I$ là chiều cao của hình chóp S.ABCD

$I C$ là hình chiếu của SC lên mặt phẳng $(A B C D)$

$\Rightarrow \hat{(S C, (A B C D))} = \hat{(S C, I C)} = \hat{S C I} = 60 °$

Xét $Δ I B C$ vuông tại B, ta có: $I C = \sqrt{I B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

Xét $Δ S I C$ vuông tại I, ta có: $S I = I C . \tan 60 ° = \frac{a \sqrt{5}}{2} . \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{15}}{2}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: $V = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S I = \frac{1}{3} . a^{2} . \frac{a \sqrt{15}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{15}}{6}$

Câu 44:

Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết $A B = 5$ cm, $O H = 4$ cm. Tính diện tích bề mặt hoa văn đó

A. $\frac{160}{3} {cm}^{2}$

B. $\frac{140}{3} {cm}^{2}$

C. $\frac{14}{3} {cm}^{2}$

D. $50 {cm}^{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là: $(P) : y = - \frac{16}{25} x^{2} + \frac{16}{5} x$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P) : y = - \frac{16}{25} x^{2} + \frac{16}{5} x$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0$ , $x = 5$ là: $S = \int_{0}^{5} (- \frac{16}{25} x^{2} + \frac{16}{5} x) d x = \frac{40}{3}$ .

Tổng diện tích phần bị khoét đi: $S_{1} = 4 S = \frac{160}{3}$ .

Diện tích của hình vuông là: $S_{h v} = 100 {cm}^{2}$ .

Vậy diện tích bề mặt hoa văn là: $S_{2} = S_{h v} - S_{1} = 100 - \frac{160}{3} = \frac{140}{3} {cm}^{2}$ .

Câu 45:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P) : z - 1 = 0$ và $(Q) : x + y + z - 3 = 0$ . Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt đường thẳng $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{- 1}$ và vuông góc với đường thẳng $Δ$ . Phương trình của đường thẳng d là

A. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 3 - t \\ y = t \\ z = 1 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = t \\ z = 1 \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = - t \\ z = 1 + t \end{cases}$

Xem đáp án

Chọn C

Đặt ${\vec{n}}_{P} = (0; 0; 1)$ và ${\vec{n}}_{Q} = (1; 1; 1)$ lần lượt là véctơ pháp tuyến của (P) và (Q).

Do $Δ = (P) \cap (Q)$ nên có một véctơ chỉ phương ${\vec{u}}_{Δ} = [{\vec{n}}_{P}, {\vec{n}}_{Q}] = (- 1; 1; 0)$ .

Đường thẳng d nằm trong (P) và $d ⊥ Δ$ nên d có một véctơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{d} = [{\vec{n}}_{P}, {u^{'}}_{Δ}]$ $= (- 1; - 1; 0)$ .

Gọi $d^{'} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{- 1}$ và $A = d^{'} \cap d \Rightarrow A = d^{'} \cap (P)$

Xét hệ phương trình $\{\begin{cases} z - 1 = 0 \\ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{- 1} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} z = 1 \\ y = 0 \\ x = 3 \end{cases}$ $\Rightarrow A (3; 0; 1)$ .

Do đó phương trình đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 3 + t \\ y = t \\ z = 1 \end{cases}$ .

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số $y = f (f (x))$ có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Xem đáp án

Chọn D

* Từ đồ thị hàm số y=f(x) nhận thấy

+) $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = a \\ x = 2 \\ x = b \end{cases}$ với $0 < x_{0} < a < 2 < b < 3$ .

+) $f^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow a < x < 2$ hoặc $x > b$ .

+) $f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow x < a$ hoặc $2 < x < b$ .

* Ta có: $y = f (f (x)) \Rightarrow y^{'} = f^{'} (f (x)) . f^{'} (x)$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f^{'} (f (x)) = 0 \\ f^{'} (x) = 0 \end{array}$

* Phương trình $f^{'} (f (x)) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = a \\ f (x) = 2 \\ f (x) = b \end{array}$ với $0 < x_{0} < a < 2 < b < 3$ .

Mỗi đường thẳng $y = b$ , $y = 2$ , $y = a$ đều cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt lần lượt tính từ trái qua phải có hoành độ là $x_{1}$ và $x_{6}$ ; $x_{2}$ và $x_{5}$ ; $x_{3}$ và $x_{4}$ nên:

$\{\begin{cases} x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{0} < 3 < x_{4} < x_{5} < x_{6} \\ f (x_{1}) = f (x_{6}) = b \\ f (x_{2}) = f (x_{5}) = 2 \\ f (x_{3}) = f (x_{4}) = a \end{cases}$

* Cũng từ đồ thị hàm số đã cho suy ra:

Do đó: $f^{'} (f (x)) > 0 \Leftrightarrow a < f (x) < 2$ hoặc $f (x) > b$ .

Ta có BBT

Vậy hàm số có 9 điểm cực trị.

Câu 47:

Cho $\log_{9} x = \log_{12} y = \log_{16} (x + y)$ . Giá trị của tỷ số $\frac{x}{y}$ là

A. 2

B. $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

C. 1

D. $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

$\log_{9} x = \log_{12} y = \log_{16} (x + y)$ .

Đặt $t = \log_{9} x \Leftrightarrow x = 9^{t}$ . Ta được: $t = \log_{12} y = \log_{16} (x + y)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 12^{t} \\ x + y = 16^{t} \end{cases}$ hay $9^{t} + 12^{t} = 16^{t} \Leftrightarrow {(\frac{3}{4})}^{2 t} + {(\frac{3}{4})}^{t} - 1 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(\frac{3}{4})}^{t} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ {(\frac{3}{4})}^{t} = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} (l o a i) \end{array}$

Khi đó: $\frac{x}{y} = {(\frac{3}{4})}^{t} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Câu 48:

Cho hàm số y=f(x). Hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Biết phương trình $f^{'} (x) = 0$ có bốn nghiệm phân biệt a, 0, b, c với $a < 0 < b < c$ .

A. $f (b) > f (a) > f (c)$

B. $f (a) > f (b) > f (c)$

C. $f (a) > f (c) > f (b)$

D. $f (c) > f (a) > f (b)$

Xem đáp án

Chọn C

Bảng biến thiên

Do đó ta có $f (c) > f (b)$ (1)

Ta gọi $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ lần lượt là các phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số b và trục hoành như hình bên.

$S_{2} > S_{1} + S_{3} \Leftrightarrow - \int_{0}^{b} f^{'} (x) d x > \int_{a}^{0} f^{'} (x) d x + \int_{b}^{c} f^{'} (x) d x \Leftrightarrow {- f (x)|}_{0}^{b} > {f (x)|}_{a}^{0} + {f (x)|}_{b}^{c}$

$\Leftrightarrow f (0) - f (b) > f (0) - f (a) + f (c) - f (b)$

$\Rightarrow f (a) > f (c)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $f (a) > f (c) > f (b)$ .

Câu 49:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 - i| = 1$ , số phức w thỏa mãn $|\bar{w} - 2 - 3 i| = 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z - w|$ .

A. $\sqrt{13} - 3$

B. $\sqrt{17} - 3$

C. $\sqrt{17} + 3$

D. $\sqrt{13} + 3$

Xem đáp án

Chọn B

Gọi $M (x; y)$ biểu diễn số phức $z = x + i y$ thì thuộc đường tròn $(C_{1})$ có tâm $I_{1} (1; 1)$ , bán kính $R_{1} = 1$ .

$N (x^{'}; y^{'})$ biểu diễn số phức $w = x^{'} + i y^{'}$ thì N thuộc đường tròn $(C_{2})$ có tâm $I_{2} (2; - 3)$ , bán kính $R_{2} = 2$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z - w|$ chính là giá trị nhỏ nhất của đoạn $M N$ .

Ta có $\vec{I_{1} I_{2}} = (1; - 4)$ $\Rightarrow I_{1} I_{2} = \sqrt{17}$ $> R_{1} + R_{2}$ $\Rightarrow (C_{1})$ và $(C_{2})$ ở ngoài nhau.

$\Rightarrow M N_{\min}$ $= I_{1} I_{2} - R_{1} - R_{2}$ $= \sqrt{17} - 3$

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$ . Một đường thẳng đi qua điểm M và cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B. Diện tích lớn nhất của tam giác $O A B$ bằng

A. 4

B. $2 \sqrt{7}$

C. $2 \sqrt{2}$

D. $\sqrt{7}$

Xem đáp án

Chọn D

Mặt cầu (S) có tâm $O (0; 0; 0)$ và bán kính $R = 2 \sqrt{2}$ .

Ta có: $\vec{O M} = (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ $\Rightarrow O M = 1 < R$ $\Rightarrow$ điểm M nằm trong mặt cầu (S).

Gọi H là trung điểm $A B \Rightarrow O H \leq O M$ .

Đặt $O H = x \Rightarrow 0 \leq x \leq 1$ .

Đặt $\hat{A O H} = α \Rightarrow \sin α = \frac{A H}{O A} = \frac{\sqrt{O A^{2} - O H^{2}}}{O A} = \frac{\sqrt{8 - x^{2}}}{2 \sqrt{2}}$ ; $\cos α = \frac{O H}{O A} = \frac{x}{2 \sqrt{2}}$

Suy ra . $\sin \hat{A O B} = 2 \sin α \cos α = \frac{x \sqrt{8 - x^{2}}}{4}$

Ta có: $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B . \sin \hat{A O B} = x \sqrt{8 - x^{2}}$ với $0 \leq x \leq 1$

Xét hàm số $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ trên đoạn

$f^{'} (x) = \sqrt{8 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{8 - x^{2}}} = \frac{8 - 2 x^{2}}{\sqrt{8 - x^{2}}} > 0, \forall x \in [0; 1]$ $\Rightarrow \max_{[0; 1]} f (x) = f (1) = \sqrt{7}$

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác $O A B$ bằng 7.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 23)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan