50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 2)

Câu 1:

Tập hợp M có 12 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của M là

$A . 12^{2} .$

$B . C_{12}^{2} .$

$C . A_{12}^{10} .$

$D . A_{12}^{2} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Số tập con thỏa mãn đề bài chính là số cách chọn 2 phần tử lấy trong tập hợp M có 12 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của tập hợp M là $C_{12}^{2} .$

Câu 2:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{4} = - 12$ và $u_{14} = 18$ . Giá trị công sai của cấp số cộng đó là

A. d=4

B. d=-3

C. d=3

D. d=-2

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $u_{14} = u_{1} + 13 d = u_{4} + 10 d = 18 \Rightarrow d = 3.$

Vậy công sai của cấp số cộng là d=3

Câu 3:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f' (x) = x {(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{5} {(x - 3)}^{7} .$ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $f' (x) = 0 \Leftrightarrow x {(x - 1)}^{2} {(x - 2)}^{5} {(x - 3)}^{7} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ x = 3 \end{array} .$

Bảng xét dấu f'(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy f'(x) có 3 lần đổi dấu nên hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Câu 4:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Điểm cực đại của hàm số đã cho là:

A. x=-3

B. x=3

C. x=-1

D. x=1

Xem đáp án

Chọn D.

Hàm số đạt cực đại tại điểm x mà f'(x) đổi dấu từ dương sang âm.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=1

Câu 5:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ là

A. y=-1

B. y=1

$C . y = \frac{1}{2} .$

D. y=2

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2.$ Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=2

Câu 6:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

$A . y = - x^{4} + 2 x^{2} .$

$B . y = x^{2} - 2 x + 1.$

$C . y = x^{3} - 3 x + 1.$

$D . y = - x^{3} + 3 x + 1$

Xem đáp án

Chọn D.

Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 3 với hệ số a<0 nên chỉ có hàm số $y = - x^{3} + 3 x + 1$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 7:

Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số nghiệm của phương trình $f (x) = - \frac{1}{2}$ là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Chọn A.

Số nghiệm của phương trình $f (x) = - \frac{1}{2}$ bằng số nghiệm của đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng $y = - \frac{1}{2} .$

Dựa vào đồ thị ta thấy: đồ thị hàm số y=f(x) và đường thẳng $y = - \frac{1}{2} .$ cắt nhau tại 2 điểm.

Nên phương trình $f (x) = - \frac{1}{2}$ có 2 nghiệm

Câu 8:

Cho hai số phức $z_{1} = 5 i$ và $z_{2} = 2020 + i .$ Phần thực của số $z_{1} z_{2}$ bằng

A. -5

B. 5

C. -10100

D. 10100

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $z_{1} z_{2} = 5 i (2020 + i) = - 5 + 10100 i \Rightarrow$ Phần thực của số phức $z_{1} z_{2}$ là -5

Câu 9:

$\int_{0}^{1} e^{3 x + 1} d x$ bằng

$A . e^{3} - e .$

$B . \frac{1}{3} (e^{4} + e) .$

$C . e^{4} - e .$

$D . \frac{1}{3} (e^{4} - e) .$

Xem đáp án

Chọn D.

Ta có $\int_{0}^{1} e^{3 x + 1} d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} e^{3 x + 1} d (3 x + 1) = \frac{1}{3} e^{3 x + 1} |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{1}{3} (e^{4} - e) .$

Câu 10:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - 2 y + z - 5 = 0$ . Điểm nào dưới đây thuộc (P)?

A. M(1;1;6)

B. N(-5;0;0)

C. P(0;0;-5)

D. Q(2;-1;5)

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $1 - 2.1 + 6 - 5 = 0$ nên M(1;1;6) thuộc mặt phẳng (P)

Câu 11:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = \log_{7} x$ với (x>0)

$A . y' = \frac{7}{x} .$

$B . y' = \frac{1}{x} .$

$C . y' = \frac{1}{x \ln 7} .$

$D . y' = \frac{\ln 7}{x} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{7} x$ là $y' = \frac{1}{x \ln 7}$ .

Câu 12:

Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 6 a^{2}$ và chiều cao h=2a. Thể tích khối chóp đã cho bằng:

$A . 12 a^{3} .$

$B . 2 a^{3} .$

$C . 4 a^{3} .$

$D . 6 a^{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $V = \frac{1}{3} B . h = \frac{1}{3} 6 a^{2} .2 a = 4 a^{3} .$

Câu 13:

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

$A . \int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C .$

$B . \int x^{e} d x = \frac{x^{e + 1}}{e + 1} + C .$

$C . \int e^{x} d x = \frac{e^{x + 1}}{x + 1} + C .$

$D . \int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + C .$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $\int_{}^{} e^{x} d x = \frac{e^{x + 1}}{x + 1} + C$ sai vì $\int_{}^{} e^{x} d x = e^{x} + C .$

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a} = (- 2; 2; 0), \vec{b} = (2; 2; 0), \vec{c} = (2; 2; 2) .$ Giá trị của $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$ bằng

$A . 2 \sqrt{6} .$

B. 11

$C . 2 \sqrt{11} .$

D. 6

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (2; 6; 2) .$

Vậy $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 2 \sqrt{11} .$

Câu 15:

Phương trình $3^{x^{2} - 2 x} = 1$ có nghiệm là

$A . x = 0; x = 2.$

B. x=-1;x=3

C. x=0;x=-2

D. x=1;x=-3

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $3^{x^{2} - 2 x} = 1 \Leftrightarrow 3^{x^{2} - 2 x} = 3^{0} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} .$

Câu 16:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d : \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 5}{3} .$ Vectơ sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?

$A . \vec{u_{2}} = (1; - 2; 3) .$

$B . \vec{u_{4}} = (- 2; - 4; 6) .$

$C . \vec{u_{3}} = (2; 6; - 4) .$

$D . \vec{u_{1}} = (3; - 1; 5) .$

Xem đáp án

Chọn A.

Ta thấy đường thẳng d có một vectơ chỉ phương có tọa độ $\vec{u_{2}} = (1; - 2; 3) .$

Câu 17:

Trong mặt phẳng Oxy số phức z=-2+4i được biểu diễn bởi điểm nào trong các điểm ở hình vẽ duới đây?

A. Điểm C

B. Điểm D

C. Điểm A

D. Điểm B

Xem đáp án

Chọn A.

Số phức $z = - 2 + 4 i$ được biểu diễn bởi điểm C(-2;4)

Câu 18:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2; \int_{1}^{3} f (x) d x = 6.$ Tính $I = \int_{0}^{3} f (x) d x$ .

A. I=8

B. I=12

C. I=4

D. I=36

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $I = \int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{3} f (x) d x = 2 + 6 = 8.$

Câu 19:

Khối nón có chiều cao h=4 và đường kính đáy bằng 6. Thể tích khối nón bằng

$A . 12 π .$

$B . 144 π .$

$C . 48 π .$

$D . 24 π .$

Xem đáp án

Chọn D.

Khối nón có bán kính bằng 3 nên có thể tích là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} . π {.3}^{3} .4 = 12 π .$

Câu 20:

Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2;4;6. Thể tích của khối hộp đã cho bằng

A. 8

B. 16

C. 48

D. 12

Xem đáp án

Chọn C.

Thể tích của khối hộp đã cho bằng 2.4.6=48

Câu 21:

Cho hai số phức $z_{1} = 1 - 2 i$ và $z_{2} = 2 + i .$ Số phức $z_{1} + z_{2}$ bằng

A. -3-i

B. 3+i

C. 3-i

D. -3+i

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $z_{1} + z_{2} = 1 - 2 i + 2 + i = 3 - i .$

Câu 22:

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z + 1 = 0$ . Tọa độ tâm I của mặt cầu là

A. I(4;-2;6)

B. I(2;-1;3)

C. I(-4;2;-6)

D. I(-2;1;-3)

Xem đáp án

Chọn B.

Từ phương trình mặt cầu suy ra tâm của mặt cầu là I(2;-1;3)

Câu 23:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?

A. (0;1)

B. (-1;1)

$C . (4; + \infty) .$

$D . (- \infty; 2) .$

Xem đáp án

Chọn A.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;1)

Câu 24:

Nghiệm của phương trình $\log_{2} (x + 9) = 5$ là

A. x=41

B. x=16

C. x=23

D. x=1

Xem đáp án

Chọn C.

Điều kiện: x>-9

Ta có: $\log_{2} (x + 9) = 5 \Leftrightarrow x + 9 = 2^{5} \Leftrightarrow x = 23.$

Câu 25:

Cho x,y>0 và $α, β \in ℝ .$ Khẳng định nào sau đây sai ?

$A . {(x^{α})}^{β} = x^{α β} .$

$B . x^{α} + y^{α} = {(x + y)}^{α} .$

$C . x^{α} . x^{β} = x^{α + β} .$

$D . {(x y)}^{α} = x^{α} . y^{α} .$

Xem đáp án

Chọn B.

Theo tính chất của lũy thừa thì đẳng thức $x^{α} + y^{α} = {(x + y)}^{α}$ sai

Câu 26:

Cho hình trụ có bán kính đáy r=2 và chiều cao h=5. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

$A . 28 π .$

B. 20

$C . 10 π .$

$D . 20 π .$

Xem đáp án

Chọn D.

Theo công thức tính diện tích xung quanh hình trụ $S_{x q} = 2 π r h = 2 π .2.5 = 20 π .$

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (1; 0; 2), B (1; 2; 1), C (3; 2; 0)$ và D(1;1;3). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là

$A . \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 4 t \\ z = 2 + 2 t \end{cases} .$

$B . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 4 \\ z = 2 + 2 t \end{cases} .$

$C . \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - 4 t \\ z = 2 - 2 t \end{cases} .$

$D . \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 4 + 4 t \\ z = 4 + 2 t \end{cases} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD) nhận vectơ pháp tuyến của (BCD) là vectơ chỉ phương.

Ta có $\vec{B C} = (2; 0; - 1), \vec{B D} = (0; - 1; 2) .$

$\Rightarrow \vec{u_{d}} = \vec{n} = [\vec{B C}, \vec{B D}] = (- 1; - 4; - 2) .$

Khi đó ta loại phương án A và B

Thay điểm A(1;0;2) vào phương trình ở phương án D ta có $\{\begin{cases} 1 = 2 + t \\ 0 = 4 + 4 t \\ 2 = 4 + 2 t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ t = - 1 \\ t = - 1 \end{cases} .$

Suy ra đường thẳng có phương trình tham số ở phương án C đi qua điểm A nên D là phương án đúng

Câu 28:

Rút gọn biểu thức $P = \frac{a^{\sqrt{3} + 1} . a^{2 - \sqrt{3}}}{{(a^{\sqrt{2} - 2})}^{\sqrt{2} + 2}}$ với a>0

$A . P = a^{4} .$

$B . P = a^{3} .$

$C . P = a^{5} .$

D. P=a.

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $P = \frac{a^{\sqrt{3} + 1} . a^{2 - \sqrt{3}}}{{(a^{\sqrt{2} - 2})}^{\sqrt{2} + 2}} = \frac{a^{\sqrt{3} + 1 + 2 - \sqrt{3}}}{a^{(\sqrt{2} - 2) (\sqrt{2} + 2)}} = \frac{a^{3}}{a^{- 2}} = a^{5} .$

Câu 29:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = 5$ . Tính $\int_{0}^{1} (f (x) - 2 g (x)) d x$

A. -8

B. 12

C. 1

D. -3

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có $\int_{0}^{1} (f (x) - 2 g (x)) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - 2 \int_{0}^{1} g (x) d x = 2 - 2.5 = - 8.$

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có $S A ⊥ (A B C D),$ đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết $A D = 2 a, S A = a .$ Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng

$A . \frac{3 a}{\sqrt{7}} .$

$B . \frac{3 a \sqrt{2}}{2} .$

$C . \frac{2 a}{\sqrt{5}} .$

$D . \frac{2 a \sqrt{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn C.

Gọi H là hình chiếu của A lên SD ta chứng minh được $A H ⊥ (S C D)$ $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A D^{2}} \Rightarrow A H = \frac{2 a}{\sqrt{5}} .$ .

Câu 31:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2}$ trên đoạn [-4;-1] bằng

A. 0

B. 4

C. -16

D. -4

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $y' = 3 x^{2} + 6 x; y' = 0 \Rightarrow 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \notin [- 4; - 1] \\ x = - 2 \in [- 4; - 1] \end{array} .$

Khi đó $y (- 4) = - 16; y (- 2) = 4; y (- 1) = 2.$

Nên $\min_{[- 4; - 1]} y = - 16.$

Câu 32:

Một em bé có bộ 6 thẻ chữ, trên mỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 3 thẻ chữ T, một thẻ chữ N, một thẻ chữ H và một thẻ chữ P. Em bé đó xếp ngẫu nhiên 6 thẻ đó thành một hàng ngang. Tính xác suất em bé xếp được thành dãy TNTHPT

$A . \frac{1}{120} .$

$B . \frac{1}{720} .$

$C . \frac{1}{6} .$

$D . \frac{1}{20} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Xem ba chữ T riêng biệt ta có: $n (Ω) = 6! .$

Gọi A là biến cố “xếp ngẫu nhiên 6 thẻ đó thành dãy TNTHPT”, suy ra $n (A) = 3!$

(số hoán vị của T – T – T và N, H, P cố định).

Vậy xác suất của biến cố $A : P (A) = \frac{3!}{6!} = \frac{1}{120} .$

Câu 33:

Tính $\int (x - \sin 2 x) d x .$

$A . x^{2} + \frac{\cos 2 x}{2} + C .$

$B . \frac{x^{2}}{2} + \frac{\cos 2 x}{2} + C .$

$C . \frac{x^{2}}{2} + \cos 2 x + C .$

$D . \frac{x^{2}}{2} + \sin x + C .$

Xem đáp án

Chọn B.

Ta có $\int_{}^{} (x - \sin 2 x) d x = \int_{}^{} x d x - \int_{}^{} \sin 2 x d x = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\cos 2 x}{2} + C .$

Câu 34:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $(1 + i) \bar{z} - 1 - 3 i = 0.$ Tìm phần ảo của số phức $w = 1 - i z + \bar{z} .$

A. -1

B. -i

C. 2

D. -2i

Xem đáp án

Câu 35:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm I(1;1;1) và $A (1; 2; 3) .$ Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là

$A . {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 29.$

$B . {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25.$

$C . {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5.$

$D . {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 5.$

Xem đáp án

Chọn C.

Ta có $R = I A = \sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} + {(3 - 1)}^{2}} = \sqrt{5} .$

Vậy phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A có phương trình là ${(x - x_{I})}^{2} + {(y - y_{I})}^{2} + {(z - z_{I})}^{2} = R^{2} \Rightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 5.$

Câu 36:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${(\frac{1}{3})}^{2 x^{2} - 3 x - 7} > 3^{2 x - 21}$ là

A. 7

B. 6

C. vô số

D. 8

Xem đáp án

Câu 37:

Hàm số $y = \frac{2}{3 x^{2} + 1}$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;1)

$B . (- \infty; 0) .$

$C . (- \infty; + \infty) .$

$D . (0; + \infty) .$

Xem đáp án

Câu 38:

Cho hàm số f(x). Biết hàm số f'(x) có đồ thị như hình dưới đây. Trên [-4;3], hàm số $g (x) = 2 f (x) + {(1 - x)}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?

A. x=-1

B. x=3

C. x=-4

D. x=-3

Xem đáp án

Chọn A.

Xét hàm số $g (x) = 2 f (x) + {(1 - x)}^{2}$ trên [-4;3]

Ta có: $g' (x) = 2. f' (x) - 2 (1 - x) .$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = 1 - x .$ Trên đồ thị hàm số f'(x) ta vẽ thêm đường thẳng y=1-x

Từ đồ thị ta thấy $f' (x) = 1 - x \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 4 \\ x = - 1 \\ x = 3 \end{array} .$

Bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau:

Vậy $\min_{[- 4; 3]} g (x) = g (- 1) \Leftrightarrow x = - 1.$

Câu 39:

Người ta muốn xây bể chứa nước dạng hình chữ nhật không nắp có thể tích $200 m^{3} .$ Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê công nhân xây bể là 300.000 đồng/ $m^{2} .$ Chi phí thuê công nhân thấp nhất là

A. 36 triệu đồng

B. 51 triệu đồng

C. 75 triệu đồng

D. 46 triệu đồng

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi chiều rộng, chiều dài của đáy lần lượt là x và 2x, chiều cao là y

Diện tích các mặt bên và mặt đáy là $S = 6 x y + 2 x^{2}$

Thể tích là $V = 2 x^{2} y = 200 \Rightarrow x y = \frac{100}{x} .$

$S = \frac{600}{x} + 2 x^{2} = \frac{300}{x} + \frac{300}{x} + 2 x^{2} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{300}{x} . \frac{300}{x} .2 x^{2}} = 30 \sqrt[3]{180}$

Vậy chi phí thấp nhất là $T = 30 \sqrt[3]{180} .3000000 = 51$ triệu

Câu 40:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm M(1;2;2) song song với mặt phẳng $(P) : x - y + z + 3 = 0$ đồng thời cắt đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{1}$ có phương trình là

$A . \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 + t \\ z = 2 \end{cases} .$

$B . \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 2 \end{cases} .$

$C . \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 2 - t \end{cases} .$

$D . \{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 2 \end{cases} .$

Xem đáp án

Chọn D.

Phương trình tham số của đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \end{cases}$

Gọi $∆$ là đường thẳng cần tìm. Theo đề bài d cắt $∆$ nên gọi $I = Δ \cap d = > I \in d$ suy ra $I (1 + t; 2 + t; 3 + t)$ .

Ta có $\vec{M I} = (t; t; t + 1)$ ; mặt phẳng (P) có VTPT là $\vec{n} = (1; - 1; 1)$ .

$∆$ song song với mặt phẳng (P) nên $\vec{M I} ⊥ \vec{n} < = > \vec{M I} . \vec{n} = 0 < = > 1. t + (- 1) . t + 1. (1 + t) = 0 < = > t = - 1$

$= > \vec{M I} = (- 1; - 1; 0)$ là 1 VTCP của đường thẳng $∆$ và $∆$ đi qua điểm $M (1; 2; 2) .$

Vật PTTS của đường thẳng $∆$ cần tìm là $\{\begin{cases} x = 1 - t' \\ y = 2 - t' \\ z = 2 \end{cases}$ .

Câu 41:

Cho số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $|z| = 1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |z + 2| + 2 |z - 2| .$

$A . 10 \sqrt{2} .$

B. 7

C. 10

$D . 5 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Câu 42:

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn [1;3] và $f (x) \neq 0$ với mọi $x \in [1; 3]$ , đồng thời $f' (x) + {(1 + f (x))}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2}$ và f(1)=-1. Biết rằng $\int_{1}^{3} f (x) d x = a \ln 3 + b, a, b \in ℤ .$ Tính tổng $S = a + b^{2} .$

A. S=-1

B. S=2

C. S=0

D. S=-4

Xem đáp án

Chọn A.

Ta có: $f' (x) {(1 + f (x))}^{2} = {[{(f (x))}^{2} (x - 1)]}^{2} < = > \frac{f' (x) {(1 + f (x))}^{2}}{f^{4} (x)} = {(x - 1)}^{2.}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được $\int \frac{f' (x) {(1 + f (x))}^{2}}{f^{4} (x)} d x = \int {(x - 1)}^{2} d x$

$\begin{array}{l} < = > \int \frac{(1 + 2 f (x) + f^{2} (x)) f' (x)}{f^{4} (x)} d x = \int {(x - 1)}^{2} d x \\ < = > \int (\frac{1}{f^{4} (x)} + 2 \frac{1}{f^{3} (x)} + \frac{1}{f^{2} (x)}) d (f (x)) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C \\ < = > - \frac{1}{3 f^{3} (x)} - \frac{1}{f^{2} (x)} - \frac{1}{f (x)} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C \\ < = > - \frac{1 + 3 f (x) + 3 f^{2} (x)}{3 f^{3} (x)} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + C \end{array}$

Mà $f (1) = - 1 = > - \frac{1 - 3 + 3}{- 3} = C = > C = \frac{1}{3}$ .

$\begin{array}{l} = > - \frac{1 + 3 f (x) + 3 f^{2} (x)}{3 f^{3} (x)} = \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} + \frac{1}{3} \\ < = > \frac{1 + 3 f (x) + 3 f^{2} (x)}{3 f^{3} (x)} + \frac{1}{3} = - \frac{{(x - 1)}^{3}}{3} \\ < = > \frac{{(1 + f (x))}^{3}}{f^{3} (x)} = - {(x - 1)}^{3} \\ < = > {(1 + \frac{1}{f (x)})}^{3} = {(1 - x)}^{3} \\ < = > f (x) = \frac{- 1}{x} . \end{array}$

Vậy $\int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{3} \frac{- 1}{x} d x = - \ln | x | |\begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array} = - \ln 3$ . Suy ra $a = - 1; b = 0$ hay a+b=-1.

Câu 43:

Có bao nhiêu bộ (x;y) với x,y nguyên và $1 \leq x, y \leq 2020$ thỏa mãn $(x y + 2 x + 4 y + 8) \log_{3} (\frac{2 y}{y + 2}) \leq (2 x + 3 y - x y - 6) \log_{2} (\frac{2 x + 1}{x - 3}) ?$

A. 4034

B. 2

C. 2017

D. 2017x2020

Xem đáp án

Chọn A

Điều kiện $\{\begin{cases} x, y \in N * : x, y \leq 2020 \\ \frac{2 x + 1}{x - 3} > 0, \frac{2 y}{y + 2} > 0 \end{cases} < = > \{\begin{cases} x, y \in N * : x, y \leq 2020 \\ x > 3, y > 0 \end{cases} .$

BPT cho có dạng $(x - 3) (y - 2) \log_{2} (\frac{x + 4}{x - 2} + 1) + (x + 4) (y + 2) \log_{3} (\frac{y - 2}{y + 2} + 1) \leq 0 (*) .$

Xét y=1 thì (*) thành $- (x - 3) \log_{2} (\frac{x + 4}{x - 3} + 1) + 3 (x + 4) \log_{3} \frac{2}{3} \leq 0$ , rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi x>3 vì $- (x - 3) < 0; \log_{2} (\frac{x + 4}{x - 3} + 1) > \log_{2} (0 + 1) = 0, 3 (x + 4) > 0, \log_{3} \frac{2}{3} < 0.$

Như vậy trường hợp này cho ta đúng 2017 bộ (x;y)=(x;1) với $4 \leq x \leq 2020, x \in ℕ .$

Xét y=2 thì (*) thành $4 (x + 4) \log_{3} 1 \leq 0,$ BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà $4 \leq x \leq 2020, x \in ℕ .$

Trường hợp này cho ta 2017 cặp (x;y) nữa.

Với y>2,x>3 thì VT(*) > 0 nên (*) không xảy ra

Vậy có đúng 4034 bộ số (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 44:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng 2a (minh họa như hình vẽ). Cosin của góc hợp bởi (A'BC) và (ABC) bằng

$A . \frac{\sqrt{21}}{3}$

$B . \frac{\sqrt{21}}{7}$

$C . \frac{2}{\sqrt{3}}$

$D . \frac{2}{\sqrt{7}}$

Xem đáp án

Chọn B.

Gọi I là trung điểm của BC khi đó $B C ⊥ A I$ và $B C ⊥ A A'$ nên $B C ⊥ (A A' I) \Rightarrow B C ⊥ A' I .$ Vậy góc hợp bởi (A'BC) và (ABC) bằng AIA'

Ta có $A I = \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}, A A' = 2 a \Rightarrow \tan A I A' = \frac{A A'}{A I} = \frac{2 a}{a \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} .$

Mặt khác: $1 + \tan^{2} A I A' = \frac{1}{\cos^{2} A I A'} \Rightarrow \cos^{2} A I A' = \frac{1}{1 + \tan^{2} A I A'} = \frac{1}{1 + \frac{4}{3}} = \frac{3}{7} \Rightarrow \cos A I A' = \frac{\sqrt{21}}{7} .$

Câu 45:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, $S A ⊥ (A B C) .$ Mặt phẳng (SBC) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng (ABC) góc $30^{0}$ . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

$A . \frac{8 a^{3}}{9}$

$B . \frac{\sqrt{3} a^{3}}{12} .$

$C . \frac{4 a^{3}}{9}$

$D . \frac{8 a^{3}}{3} .$

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi I là trung điểm của BC suy ra góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là $S I A = 30^{0} .$

H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra $d (A, (S B C)) = A H = a .$

Xét tam giác vuông AHI tại H suy ra $A I = \frac{A H}{\sin 30^{0}} = 2 a .$

Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x mà AI là đường cao suy ra $2 a = x \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \frac{4 a}{\sqrt{3}} .$

Diện tích tam giác đều ABC là $S_{A B C} = {(\frac{4 a}{\sqrt{3}})}^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{4 a^{2} \sqrt{3}}{3} .$

Xét tam giác SAI vuông tại A suy ra $S A = A I . \tan 30^{0} = \frac{2 a}{\sqrt{3}} .$

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} . S_{A B C} . S A = \frac{1}{3} . \frac{4 a^{2} \sqrt{3}}{3} . \frac{2 a}{\sqrt{3}} = \frac{8 a^{3}}{9} .$

Câu 46:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ có đồ thị như hình vẽ.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để hàm số $y = |f (\frac{8 x}{x^{2} + 1}) + a - 1|$ có giá trị lớn nhất không vượt quá 20?

A. 41

B. 31

C. 35

D. 29

Xem đáp án

Chọn B.

Đặt $t = \frac{8 x}{x^{2} + 1} .$

Ta có: $t' = \frac{- 8 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}; t' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.$

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow t \in [- 4; 4] .$

Xét hàm số: $h (t) = f (t) + a - 1, t \in [- 4; 4],$ ta có: $h' (t) = f' (t) .$

$h' (t) = 0 \Leftrightarrow f' (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 4 \in [- 4; 4] \\ t = - 2 \in [- 4; 4] \\ t = 2 \in [- 4; 4] \end{array}$ .

$\max_{[- 4; 4]} |h (t)| = M a x \{|a + 5|; |a - 5|\} .$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \{\begin{cases} |a + 5| \leq 20 \\ |a - 5| \leq 20 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 20 \leq a + 5 \leq 20 \\ - 20 \leq a - 5 \leq 20 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 25 \leq a \leq 15 \\ - 15 \leq a \leq 25 \end{cases} \Leftrightarrow - 15 \leq a \leq 15$ .

Vậy có tất cả 31 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 47:

Cho f(x) là hàm đa thức bậc 3 có đồ thị như hình vẽ. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có hoành độ bằng -2 cắt đồ thị tại điểm thứ hai N(1;1) cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 4. Biết diện tích phần gạch chéo là $\frac{9}{16} .$ Tích phân $\int_{- 1}^{1} f (x) d x$ bằng

$A . \frac{31}{18}$

$B . \frac{13}{6}$

$C . \frac{19}{9}$

$D . \frac{7}{3}$

Xem đáp án

Chọn B.

Dựa vào giả thiết đường thẳng đi qua hai điểm M(-2;2) và P(4;0). Suy ra $d : x + 3 y - 4 = 0 \Rightarrow y = \frac{- 1}{3} x + \frac{4}{3} .$

Từ giả thiết ta có hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d \Rightarrow f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c .$ Chú ý đồ thị hàm số tiếp xúc đường thẳng d tại x=-2

$\{\begin{cases} 1 = - 8 a + 4 b - 2 c \\ 0 = a + b + c \\ 12 a - 4 b + c = - \frac{1}{3} \\ d = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{12} \\ b = \frac{1}{4} \\ c = - \frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow y = \frac{1}{12} x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{3} x + 1.$

Từ đó $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \frac{13}{6} .$

Câu 48:

Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $3^{x^{2} - 2 x + 1 - 2 |x - m|} = \log_{x^{2} - 2 x + 3} (2 |x - m| + 2)$ có đúng ba nghiệm phân biệt là

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn A.

Phương trình tương đương $3^{x^{2} - 2 x + 3 - (2 |x - m| + 2)} = \frac{\ln (2 |x - m| + 2)}{\ln (x^{2} - 2 x + 3)} .$

$\Leftrightarrow 3^{x^{2} - 2 x + 3} . \ln (x^{2} - 2 x + 3) = 3^{2 |x - m| + 2} . \ln (2 |x - m| + 2) (*) .$

Xét hàm đặc trưng $f (t) = 3^{t} . \ln t, t \geq 2$ là hàm số đồng biến nên từ phương trình (*) suy ra $\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 3 = 2 |x - m| + 2 \Leftrightarrow g (x) = x^{2} - 2 x - 2 |x - m| + 1 = 0.$

Có $g (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 4 x + 2 m + 2 khi x \geq m \\ x^{2} - 2 m + 1 khi x \leq m \end{cases} \Rightarrow g' (x) = \{\begin{cases} 2 x - 4 khi x \geq m \\ 2 x khi x \leq m \end{cases}$ .

Và $g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 khi x \geq m \\ x = 0 khi x \leq m \end{array}$

Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: $m \leq 0$ ta có bảng biến thiên của g(x) như sau:

Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có m thỏa mãn.

Trường hợp 2: $m \geq 2$ tương tự.

Trường hợp 3: 0<m<2 bảng biến thiên g(x) như sau:

Phương trình có 3 nghiệm khi $[\begin{array}{l} {(m - 1)}^{2} = 0 \\ - 2 m + 1 = 0 > 2 m - 3 \\ - 2 m + 1 < 0 = 2 m - 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = \frac{1}{2} \\ m = \frac{3}{2} \end{array} .$

Câu 49:

Cho các số phức $z_{1} = 1 + 3 i, z_{2} = - 5 - 3 i$ . Tìm điểm M(x;y) biểu diễn số phức $z_{3}$ , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng $x - 2 y + 1 = 0$ và mô đun số phức $w = 3 z_{3} - z_{2} - 2 z_{1}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$A . M (\frac{3}{5}; \frac{1}{5})$

$B . M (- \frac{3}{5}; - \frac{1}{5})$

$C . M (\frac{3}{5}; - \frac{1}{5})$

$D . M (- \frac{3}{5}; \frac{1}{5})$

Xem đáp án

Chọn D.

Trắc nghiệm: Thay tọa độ điểm M vào vế trái phương trình đường thẳng kết quả bằng 0 thỏa ta được đáp án A.

Tự luận:

Ta có $w = 3 z_{3} - z_{2} - 2 z_{1} = 3 z_{3} + 3 - 3 i = 3 (z_{3} + 1 - i) \to |w| = 3 |z_{3} + 1 - i| = 3 A M$ với A(-1;3)

M(x;y) biểu diễn số phức $z_{3}$ nằm trên đường thẳng $d : x - 2 y + 1 = 0$ và $A (- 1; 3) \notin d .$

Khi đó $|w| = 3 |z_{3} + 1 - i| = 3 A M$ đạt giá trị nhỏ nhất khi AM ngắn nhất $\Leftrightarrow A M ⊥ d$

$A M ⊥ d$ nên AM có phương trình: $2 x + y + 1 = 0.$

Khi đó $M = A M \cap d$ nên $M (- \frac{3}{5}; \frac{1}{5}) .$

Câu 50:

Trong không gian Oxyz cho ba điểm $A (2; - 2; 4), B (- 3; 3; - 1), C (- 1; - 1; - 1)$ và mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z + 8 = 0.$ Xét điểm M thay đổi thuộc (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = 2 M A^{2} + M B^{2} - M C^{2} .$

$A . 102$

B. 35

C. 105

D. 30

Xem đáp án

Chọn A.

Gọi I là điểm thỏa mãn: $2 \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 (\vec{O A} - \vec{O I}) + (\vec{O B} - \vec{O I}) - (\vec{O C} - \vec{O I}) = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{O I} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} - \frac{1}{2} \vec{O C} = (1; 0; 4) \Leftrightarrow I (1; 0; 4) .$

Khi đó, với mọi điểm $M (x; y; z) \in (P),$ ta luôn có

$T = 2 {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} - {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2} = 2 {\vec{M I}}^{2} + 2 \vec{M I} . (2 \vec{I A} + \vec{I B} - \vec{I C}) + 2 {\vec{I A}}^{2} + {\vec{I B}}^{2} - {\vec{I C}}^{2} = 2 M I^{2} + 2 I A^{2} + I B^{2} - I C^{2} .$

Ta tính được $2 I A^{2} + I B^{2} - I C^{2} = 30.$

Do đó, T đạt GTNN $\Leftrightarrow M I$ đạt GTNN $\Leftrightarrow M I ⊥ (P) .$

Lúc này, $I M = d (I, (P)) = \frac{|2.1 - 0 + 2.4 + 8|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 6.$

Vậy $T_{\min} = {2.6}^{2} + 30 = 102.$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 2)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan