50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 18)

Câu 1:

Số cách chọn 5 học sinh trong 10 học sinh của một lớp đi tham quan di tích Ngã Ba Đồng Lộc là

A. 5

B. $C_{10}^{5}$

C. $P_{5}$

D. $A_{10}^{5}$

Xem đáp án

Chọn B

Mỗi cách chọn 5 học sinh trong số 10 học sinh là một tổ hợp chập 5 của 10.

Vậy số cách chọn 5 học sinh trong 10 học sinh của một lớp đi tham quan di tích Ngã Ba Đồng Lộc là $C_{10}^{5}$ .

Câu 2:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với $u_{1} = 3$ và $u_{2} = 9.$ Công sai của cấp số cộng đã cho là

A. 6

B. 3

C. 12

D. -6

Xem đáp án

Chọn A

Gọi công sai của cấp số cộng là d

Áp dụng công thức $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ , khi đó $u_{2} = u_{1} + d \Rightarrow d = u_{2} - u_{1} = 9 - 3 = 6.$

Vậy công sai $d = 6.$

Câu 3:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- 2; + \infty)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(- \infty; - 2)$

D. $(- \frac{3}{2}; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f' (x) > 0$ trên các khoảng $(- \infty; - 3)$ và $(- 1; + \infty)$

Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 3)$ và $(- 1; + \infty) \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. $x = - 2$

B. $x = 2$

C. $x = 1$

D. $x = 0$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 5:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ$ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.

Khi đó số cực trị của hàm số $y = f (x)$ là

A. 3

B. 2

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

Do hàm số xác định trên $ℝ$ và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại x1; x2; x3 nên hàm số $y = f (x)$ có ba cực trị.

Câu 6:

Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1 - x}{- x + 2}$ có phương trình lần lượt là

A. $x = 1; y = 2$

B. $x = 2; y = 1$

C. $x = 2; y = \frac{1}{2}$

D. $x = 2; y = - 1$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\lim_{x \to 2^{+}} y = + \infty; \lim_{x \to 2^{-}} y = - \infty \Rightarrow$ Tiệm cận đứng là x=2.

$\lim_{x \to \pm \infty} y = 1 \Rightarrow$ Tiệm cận ngang là $y = 1$

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = x^{3} - 3 x$

B. $y = - x^{3} + 3 x$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2}$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Nhìn vào đồ thị ta thấy đây không thể là đồ thị của hàm số trùng phương => Loại C, D

Khi $x \to + \infty$ thì $y \to + \infty$ $\Rightarrow$ Loại B

Vậy chọn đáp án A

Câu 8:

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ và đường thẳng $y = 2$ là

A. 1

B. 2

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Chọn A

Xét hàm số : $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

$D = ℝ \ \{1\}$

$y' = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}; \forall x \in D$

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Từ đó ta có số giao điểm của $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ và $y = 2$ là 1 giao điểm.

Câu 9:

Với a là số thực dương tùy ý, $\log_{2} (a^{3})$ bằng:

A. $\frac{3}{2} \log_{2} a .$

B. $\frac{1}{3} \log_{2} a .$

C. $3 + \log_{2} a .$

D. $3 \log_{2} a .$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $\log_{2} (a^{3}) = 3 \log_{2} a .$

Câu 10:

Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x ?

A. ${(\log x)}^{'} = x \ln 10$

B. ${(\log x)}^{'} = \frac{x}{\ln 10}$

C. ${(\log x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 10}$

D. ${(\log x)}^{'} = \frac{\ln 10}{x}$

Xem đáp án

Chọn C

${(\log x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 10}$

Câu 11:

Rút gọn biểu thức $P = x^{\frac{1}{2}} . \sqrt[8]{x}$ (với $x > 0$ ).

A. $x^{4}$

B. $x^{\frac{5}{16}}$

C. $x^{\frac{5}{8}}$

D. $x^{\frac{1}{16}}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $P = x^{\frac{1}{2}} . \sqrt[8]{x} = x^{\frac{1}{2}} . x^{\frac{1}{8}} = {x^{\frac{1}{2} +}}^{\frac{1}{8}} = x^{\frac{5}{8}}$ .

Câu 12:

Phương trình $5^{2 x + 1} = 125$ có nghiệm là

A. $x = \frac{5}{2}$

B. $x = 1$

C. $x = 3$

D. $x = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $5^{2 x + 1} = 125$ $\Leftrightarrow 5^{2 x + 1} = 5^{3}$ $\Leftrightarrow 2 x + 1 = 3$ $\Leftrightarrow x = 1$ .

Câu 13:

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 5 x + 7)$ bằng

A. 6

B. 5

C. 13

D. 25

Xem đáp án

Chọn C

Điều kiện: $x \in ℝ$ vì $x^{2} - 5 x + 7 > 0, \forall x \in ℝ$

$\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 5 x + 7) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 7 = 1 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Leftrightarrow x_{1} = 2 \lor x_{2} = 3 \Rightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13$

Câu 14:

Họ các nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{3} + 3 x + 2$ là

A. $F (x) = 3 x^{2} + 3 x + C$

B. $F (x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C$

C. $F (x) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} + 2 x + C$

D. $F (x) = \frac{x^{4}}{3} + 3 x^{2} + 2 x + C$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\int (x^{3} + 3 x + 2) dx = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C$ .

Câu 15:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos 6 x .$

A. $\int \cos 6 x d x = 6 \sin 6 x + C$

B. $\int \cos 6 x d x = \frac{1}{6} \sin 6 x + C$

C. $\int \cos 6 x d x = - \frac{1}{6} \sin 6 x + C .$

D. $\int \cos 6 x d x = \sin 6 x + C$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\int \cos 6 x d x = \frac{1}{6} \int \cos 6 x d (6 x) = \frac{1}{6} \sin 6 x + C$

Câu 16:

Cho $\int_{- 2}^{2} f (x) d x = 1$ , $\int_{- 2}^{4} f (t) d t = - 4$ . Tính $I = \int_{2}^{4} f (y) d y$ .

A. $I = 5$

B. $I = 3$

C. $I = - 3$

D. $I = - 5$

Xem đáp án

Chọn D

Do tích phân không phụ thuộc vào biến số nên $\int_{- 2}^{4} f (t) d t = \int_{- 2}^{4} f (x) d x = - 4$ .

Ta có $I = \int_{2}^{4} f (y) d y = \int_{2}^{4} f (x) d x = \int_{- 2}^{4} f (x) d x - \int_{- 2}^{2} f (x) d x = - 4 - 1 = - 5$ .

Câu 17:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{2} (2 x + 1) d x$

A. $I = 5$

B. $I = 6$

C. $I = 2$

D. $I = 4$

Xem đáp án

Chọn B

$I = \int_{0}^{2} (2 x + 1) d x = {(x^{2} + x)|}_{0}^{2} = 4 + 2 = 6$

Câu 18:

Số phức liên hợp của số phức $z = 2020 - 2021 i$

A. $\bar{z} = 2020 + 2021 i$

B. $\bar{z} = - 2020 - 2021 i$

C. $\bar{z} = - 2020 + 2021 i$

D. $\bar{z} = 2020 - 2021 i$

Xem đáp án

Chọn A

Số phức liên hợp của số phức $z = 2020 - 2021 i$ là $\bar{z} = 2020 + 2021 i$ .

Câu 19:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 + 3 i$ , $z_{2} = - 4 - 5 i$ . Số phức $z = z_{1} + z_{2}$ là

A. $z = 2 + 2 i$

B. $z = - 2 - 2 i$

C. $z = 2 - 2 i$

D. $z = - 2 + 2 i$

Xem đáp án

Chọn B

$z = z_{1} + z_{2} = 2 + 3 i - 4 - 5 i = - 2 - 2 i$ .

Câu 20:

Cho số phức $z = 4 - 5 i$ . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức $\bar{z}$ là điểm nào?

A. $M (- 5; 4)$

B. $N (4; 5)$

C. $P (4; - 5)$

D. $Q (- 4; 5)$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\bar{z} = 4 + 5 i$ . Điểm biểu diễn số phức $\bar{z}$ là $N (4; 5)$ .

Câu 21:

Một khối lăng trụ có chiều cao bằng 2a và diện tích đáy bằng $2 a^{2}$ . Tính thể tích khối lăng trụ.

A. $V = 4 a^{3}$

B. $V = \frac{4 a^{2}}{3}$

C. $V = \frac{4 a^{3}}{3}$

D. $V = \frac{2 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Thể tích khối lăng trụ đã cho là: $V = S_{® ¸ y} . h$ $= 2 a^{2} .2 a$ $= 4 a^{3}$ .

Câu 22:

Cho khối chóp có diện tích đáy bằng $6 c m^{2}$ và có chiều cao là 2cm. Thể tích của khối chóp đó là :

A. $6 c m^{3}$

B. $4 c m^{3}$

C. $3 c m^{3}$

D. $12 c m^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích của khối chóp là: $V = \frac{1}{3} h . S_{d a y} = \frac{1}{3} .2.6 = 4 (c m^{3})$ .

Câu 23:

Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của một hình nón. Thể tích của khối nón tương ứng bằng

A. $V = \frac{1}{3} π r^{2} l .$

B. $V = \frac{1}{3} π r^{2} h .$

C. $V = 2 π r l .$

D. $V = π r l .$

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ .

Câu 24:

Tính theo a thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là a, chiều cao bằng 2a.

A. $2 π a^{3}$

B. $\frac{2 π a^{3}}{3}$

C. $\frac{π a^{3}}{3}$

D. $π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Thể tích của khối trụ là: $V = π R^{2} . h = π . a^{2} .2 a = 2 π a^{3}$ .

Câu 25:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (2; 3; - 1)$ và $B (- 4; 1; 9)$ . Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A. $(- 1; 2; 4)$

B. $(- 2; 4; 8)$

C. $(- 6; - 2; 10)$

D. $(1; - 2; - 4)$

Xem đáp án

Chọn A

Công thức tọa độ trung điểm: $\{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = - 1 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + z_{B}}{2} = \frac{- 1 + 9}{2} = 4 \end{cases}$ => $I (- 1; 2; 4)$ .

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu có phương trình ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} = 5$ là :

A. $I (2; 3; 0)$ , $R = \sqrt{5}$

B. $I (- 2; 3; 0)$ , $R = \sqrt{5}$

C. $I (2; 3; 1)$ , $R = 5$

D. $I (2; - 2; 0)$ , $R = 5$

Xem đáp án

Chọn B

Mặt cầu có tâm $I (- 2; 3; 0)$ và bán kính là $R = \sqrt{5}$ .

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng $(P) : 2 x - y + z - 2 = 0$ .

A. $Q (1; - 2; 2)$

B. $P (2; - 1; - 1)$

C. $M (1; 1; - 1)$

D. $N (1; - 1; - 1)$

Xem đáp án

Chọn D

+ Thay toạ độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) ta được $2.1 - (- 1) + (- 1) - 2 = 0$ nên $N \in (P)$ .

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z}{- 2}$ vectơ nào dưới đây là vtcp của đường thẳng d ?

A. $\vec{u} = (- 1; - 3; 2)$

B. $\vec{u} = (1; 3; 2)$

C. $\vec{u} = (1; - 3; - 2)$

D. $\vec{u} = (- 1; 3; - 2)$

Xem đáp án

Chọn A

d có vtcp $\vec{u} = (- 1; - 3; 2)$ .

Câu 29:

Gieo mọt con súc sắc ba lần. Xác suất để được mặt số hai xuất hiện cả ba lần là

A. $\frac{1}{172}$

B. $\frac{1}{18}$

C. $\frac{1}{20}$

D. $\frac{1}{216}$

Xem đáp án

Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu là: $|Ω| = 6^{3} = 216$ .

Số phần tử của không gian thuận lợi là: $|Ω_{A}| = 1$ .

Xác suất biến cố $A$ là: $P (A) = \frac{1}{216}$ .

Câu 30:

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$ .

A. $(- \infty; - 2) \cup (0; + \infty)$

B. $(- \infty; - 2)$ và $(0; + \infty)$

C. $(- 2; 0)$

D. $(- \infty; - 3)$ và $(0; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B

$y^{'} = 3 x^{2} + 6 x = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}$ .

Vậy hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 2)$ và $(0; + \infty)$ .

Câu 31:

Cho hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 1$ . Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn $[0; 4]$ là

A. $M = 77$ ; $m = - 4$

B. $M = 28$ ; $m = 1$

C. $M = 77$ ; $m = 1$

D. $M = 28$ ; $m = - 4$

Xem đáp án

Chọn A

Đặt $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 1$ .

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x - 9$ .

$y^{'} = 0$ $\Leftrightarrow 3 x^{2} + 6 x - 9 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \in (0; 4) \\ x = - 3 \notin (0; 4) \end{array}$ .

Có: $f (0) = 1$ ; $f (1) = - 4$ ; $f (4) = 77$ .

Suy ra: $M = 77$ ; $m = - 4$ .

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (2 x - 1) < 3$ là

A. $(- \infty; 14)$

B. $(\frac{1}{2}; 5)$

C. $[\frac{1}{2}; 14)$

D. $(\frac{1}{2}; 14)$

Xem đáp án

Chọn D

$\log_{3} (2 x - 1) < 3 \Leftrightarrow$ $\{\begin{cases} 2 x - 1 > 0 \\ 2 x - 1 < 27 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 14$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(\frac{1}{2}; 14)$ .

Câu 33:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = 5$ , khi đó $\int_{0}^{1} [f (x) - 2 g (x)] d x$ bằng

A. -3

B. 12

C. -8

D. 1

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\int_{0}^{1} [f (x) - 2 g (x)] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - 2 \int_{0}^{1} g (x) d x = 2 - 2.5 = - 8$ .

Câu 34:

Cho hai số phức $z_{1} = 3 - i$ và $z_{2} = - 1 + i$ . Phần ảo của số phức $z_{1} z_{2}$ bằng

A. 4

B. 4i

C. -1

D. -i

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $z_{1} z_{2} = (3 - i) (- 1 + i) = - 2 + 4 i$ .

Vậy phần ảo của số phức $z_{1} z_{2}$ bằng 4.

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABC có $S A = S B = C B = C A$ , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm I của cạnh AB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng

A. $45^{0}$

B. $90^{0}$

C. $60^{0}$

D. $30^{0}$

Xem đáp án

Chọn A

Vì $S I ⊥ (A B C)$ suy ra IC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng $(A B C)$ .

Khi đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng $(A B C)$ là góc giữa SC và IC hay góc $\hat{S C I}$ .

Lại có, $Δ S A B = Δ C A B$ suy ra $C I = S I$ , nên tam giác $S I C$ vuông cân tại I.

Khi đó $\hat{S C I} = 45^{0}$ .

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng $45^{0}$ .

Câu 36:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M là trung điểm của SD. Khoảng cách từ M đến

mặt phẳng (SAC) bằng

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{2}}{4}$

C. $\frac{a}{2}$

D. $\frac{a}{4}$

Xem đáp án

Chọn B

$d (M, (S A C)) = \frac{1}{2} d (D, (S A C)) = \frac{1}{2} D O = \frac{1}{4} B D = \frac{a \sqrt{2}}{4}$

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , viết phương trình mặt cầu (S) có tâm $I ((1; - 2; 3)$ và $(S)$ đi qua điểm $A (3; 0; 2)$ .

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 3$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 9$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 3$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có bán kính mặt cầu là $R = I A = \sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(0 + 2)}^{2} + {(2 - 3)}^{2}} = 3$ .

Vậy phương trình mặt cầu (S) là ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ , chọn C

Câu 38:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ : \frac{x - 4}{1} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 2}{- 1} .$

A. $Δ : \{\begin{cases} x = 1 - 4 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = - 1 - 2 t \end{cases} .$

B. $Δ : \{\begin{cases} x = - 4 + t \\ y = 3 + 2 t \\ z = - 2 - t \end{cases} .$

C. $Δ : \{\begin{cases} x = 4 + t \\ y = - 3 + 2 t \\ z = 2 - t \end{cases} .$

D. $Δ : \{\begin{cases} x = 1 + 4 t \\ y = 2 - 3 t \\ z = - 1 + 2 t \end{cases} .$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có $Δ$ đi qua điểm $A (4; - 3; 2)$ có véctơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 2; - 1)$ .

Do đó phương trình tham số là $Δ : \{\begin{cases} x = 4 + t \\ y = - 3 + 2 t \\ z = 2 - t \end{cases}$ .

Câu 39:

Cho đồ thị hàm số y=f(x) có dạng hình vẽ bên. Tính tổng tất cả giá trị nguyên của m để hàm số $y = |f (x) - 2 m + 5|$

có 7 điểm cực trị

A. 6

B. 3

C. 5

D. 2

Xem đáp án

Chọn C

Để đồ thị hàm số $y = |f (x) - 2 m + 5|$ có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y=f(x) tịnh tiến lên trên hoặc xuống không quá 2 đơn vị. Vậy $- 2 < 5 - 2 m < 2 \Leftrightarrow \frac{3}{2} < m < \frac{7}{2} \Rightarrow m \in \{2; 3\}$

Vậy tổng tất cả các số nguyên của m là 5.

Câu 40:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) > \log_{\frac{1}{2}} (x^{3} + x - m)$ có nghiệm.

A. $ m \in ℝ$

B. $m < 2$

C. $m \leq 2$

D. Không tồn tại m.

Xem đáp án

Chọn A

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 1 < x^{3} + x - m \end{cases}$ có nghiệm $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 1 \\ m < x^{3} + 1 = f (x) \end{cases}$ có nghiệm.

Khảo sát hàm $y = f (x)$ trên khoảng $(1; + \infty)$ , ta có $f^{'} (x) = 3 x^{2} > 0; \forall x > 1$ .

Bảng biến thiên sau:

Từ BBT ta thấy để hệ có nghiệm ta có $\forall m \in ℝ$ .

Bảng biến thiên sau:

Câu 41:

Cho $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2 + 3 \tan x}}{1 + \cos 2 x} d x = a \sqrt{5} + b \sqrt{2},$ với $a, b \in ℝ .$ Tính giá trị biểu thức $A = a + b .$

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{7}{12}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{4}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2 + 3 \tan x}}{1 + \cos 2 x} d x$ $= \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2 + 3 \tan x}}{2 \cos^{2} x} d x$

Đặt $u = \sqrt{2 + 3 \tan x}$ $\Rightarrow u^{2} = 2 + 3 \tan x$ $\Rightarrow 2 u d u = \frac{3}{\cos^{2} x} d x$

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow u = \sqrt{2}$

$x = \frac{π}{4} \Rightarrow u = \sqrt{5}$

Khi đó $I = \frac{1}{3} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} u^{2} d u = \frac{1}{9} {u^{3}|}_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}$ $= \frac{5 \sqrt{5}}{9} - \frac{2 \sqrt{2}}{9}$ .

Do đó $a = \frac{5}{9}$ , $b = - \frac{2}{9}$ $\Rightarrow a + b = \frac{1}{3}$ .

Câu 42:

Cho số phức $z = a + b i$ $(a, b \in ℝ, a > 0)$ thỏa $z . \bar{z} - 12 |z| + (z - \bar{z}) = 13 - 10 i$ . Tính $S = a + b$ .

A. $S = - 17$

B. $S = 5$

C. $S = 7$

D. $S = 17$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có:

$z . \bar{z} - 12 |z| + (z - \bar{z}) = 13 - 10 i$ $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - 12 \sqrt{a^{2} + b^{2}} + 2 b i = 13 - 10 i$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} - 12 \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 13 \\ 2 b = - 10 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + 25 - 12 \sqrt{a^{2} + 25} = 13 \\ b = - 5 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} \sqrt{a^{2} + 25} = 13 \\ \sqrt{a^{2} + 25} = - 1 (V N) \end{array} \\ b = - 5 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \pm 12 \\ b = - 5 \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} a = 12 \\ b = - 5 \end{cases}$ vì $a > 0$

Vậy $S = a + b = 7$ .

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng $(S A C)$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ , $S A B$ là tam giác đều cạnh $a \sqrt{3}$ , $B C = a \sqrt{3}$ đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc $60 °$ . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

D. $2 a^{3} \sqrt{6}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta thấy tam giác ABC cân tại B, gọi H là trung điểm của AB suy ra $B H ⊥ A C .$

Do $(S A C) ⊥ (A B C)$ nên $B H ⊥ (S A C)$ .

Ta lại có $B A = B C = B S$ nên thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ =>H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC => $S A ⊥ S C$ .

Do AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng $(A B C)$ => $\hat{S C A} = 60^{0}$ .

Ta có $S C = S A . \cot 60^{0} = a$ , $A C = \frac{S A}{\sin 60^{0}} = 2 a$ $\Rightarrow H C = a$ $\Rightarrow B H = \sqrt{B C^{2} - H C^{2}} = a \sqrt{2}$ .

$V_{S . A B C}$ $= \frac{1}{3} B H . S_{S A C}$ $= \frac{1}{6} B H . S A . S C$ $= \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

Câu 44:

Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m, chiều cao 12,5m. Diện tích của cổng là:

A. $100 (m^{2})$

B. $200 (m^{2})$

C. $\frac{100}{3} (m^{2})$

D. $\frac{200}{3} (m^{2})$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có parabol đã cho có chiều cao là $h = 12, 5 m$ và bán kính đáy $O D = O E = 4 m$ .

Do đó diện tích parabol đã cho là: $S = \frac{4}{3} r h = \frac{200}{3} (m^{2})$ .

Câu 45:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $(d) : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{3}$ và mặt phẳng $(P) : x + 3 y + z = 0$ . Đường thẳng $(Δ)$ đi qua $M (1; 1; 2)$ , song song với mặt phẳng (P) đồng thời cắt đường thẳng $(d)$ có phương trình là

A. $\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 9}{2}$

B. $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 6}{2}$

C. $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$

D. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{2}$

Xem đáp án

Chọn D

Phương trình tham số của $(d) : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 t \end{cases}, t \in ℝ$ .

Mặt phẳng $(P)$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 3; 1)$ .

Giả sử $Δ \cap d = A (1 + t; 1 - t; 3 t)$ .

$\Rightarrow \vec{M A} = (t; - t; 3 t - 2)$ là véc tơ chỉ phương của $Δ$ $\Rightarrow \vec{M A} . \vec{n} = 0 \Leftrightarrow t - 3 t + 3 t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2$ .

$\Rightarrow \vec{M A} = (2; - 2; 4) = 2 (1; - 1; 2)$ Vậy phương trình đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 2}{2}$ .

Câu 46:

Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số y=f(x).

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |f (x + 1) + m|$ có 5 điểm cực trị?

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn B

Đồ thị của hàm số $y = |f (x + 1) + m|$ được suy ra từ đồ thị $(C)$ ban đầu như sau:

+ Tịnh tiến $(C)$ sang trái một đơn vị, sau đó tịnh tiến lên trên (hay xuống dưới) m đơn vị. Ta được đồ thị $(C^{'}) : y = f (x + 1) + m$ .

+ Phần đồ thị $(C^{'})$ nằm dưới trục hoành, lấy đối xứng qua trục Ox ta được đồ thị của hàm số $y = |f (x + 1) + m|$ .

Ta được bảng biến thiên của của hàm số $y = |f (x + 1) + m|$ như sau.

Để hàm số $y = |f (x + 1) + m|$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị của hàm số $(C^{'}) : y = f (x + 1) + m$ phải cắt trục Ox tại 2 hoặc 3 giao điểm

+ TH1: Tịnh tiến đồ thị $(C^{'}) : y = f (x + 1) + m$ lên trên. Khi đó $\{\begin{cases} m > 0 \\ - 3 + m \geq 0 \\ - 6 + m < 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $3 \leq m < 6$ .

+ TH2: Tịnh tiến đồ thị $(C^{'}) : y = f (x + 1) + m$ xuống dưới. Khi đó $\{\begin{cases} m < 0 \\ 2 + m \leq 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow$ $m \leq - 2$

Vậy có ba giá trị nguyên dương của m là $3; 4; 5$

Câu 47:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 20; 20]$ để tồn tại các số thực x, y thỏa mãn đồng thời $e^{3 x + 5 y - 10} - e^{x + 3 y - 9} = 1 - 2 x - 2 y$ và $\log_{5}^{2} (3 x + 2 y + 4) - (m + 6) \log_{2} (x + 5) + m^{2} + 9 = 0$ .

A. 22

B. 23

C. 19

D. 31

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $e^{3 x + 5 y - 10} - e^{x + 3 y - 9} = 1 - 2 x - 2 y$

$\Leftrightarrow e^{3 x + 5 y - 10} - e^{x + 3 y - 9} = (x + 3 y - 9) - (3 x + 5 y - 10)$

$\Leftrightarrow e^{3 x + 5 y - 10} + 3 x + 5 y - 10 = e^{x + 3 y - 9} + x + 3 y - 9$

Xét hàm số $f (t) = e^{t} + t, t \in ℝ$ .

Ta có: $f^{'} (t) = e^{t} + 1 > 0, \forall t \in ℝ .$ Suy ra hàm số $f (t)$ luôn đồng biến trên $ℝ$ .

$\Rightarrow 3 x + 5 y - 10 = x + 3 y - 9 \Leftrightarrow 2 y = 1 - 2 x$ .

Thay vào phương trình thứ 2, ta được

$\begin{array}{l} \log_{5}^{2} (3 x + 2 y + 4) - (m + 6) \log_{2} (x + 5) + m^{2} + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow \log_{5}^{2} (x + 5) - (m + 6) \log_{2} (x + 5) + m^{2} + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow \log_{5}^{2} (x + 5) - (m + 6) \log_{2} 5. \log_{5} (x + 5) + m^{2} + 9 = 0 (1) . \end{array}$

Đặt $\log_{5} (x + 5) = t (t \in ℝ, x > - 5)$ . Khi đó phương trình (1)

trở thành $t^{2} - \log_{2} 5. (m + 6) t + m^{2} + 9 = 0$ (2).

Tồn tại x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm nên

$Δ = {(m + 6)}^{2} . \log_{2}^{2} 5 - 4 (m^{2} + 9) \geq 0$ $\Leftrightarrow (\log_{2}^{2} 5 - 4) m^{2} + 12. \log_{2}^{2} 5. m - 36 (1 - \log_{2}^{2} 5) \geq 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq m_{1} \\ m \geq m_{2} \end{array}$ với $m_{1} \approx - 43.91$ và $m_{2} \approx - 2.58$

Do $m \in [- 20; 20]$ và $m \in ℤ$ nên $m \in \{- 2; - 1; 0; ...; 19; 20\}$ .

Vậy có 23 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 48:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: $y = x^{2} - 4 x + 4$ , trục tung và trục hoành. Xác định k để đường thẳng (d) đi qua điểm $A (0; 4)$ có hệ số góc k chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau

A. $k = - 4$

B. $k = - 8$

C. $k = - 6$

D. $k = - 2$

Xem đáp án

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{2} - 4 x + 4$ và trục hoành là: $x^{2} - 4 x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ .

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số: $y = x^{2} - 4 x + 4$ , trục tung và trục hoành là:

$S = \int_{0}^{2} |x^{2} - 4 x + 4| d x = \int_{0}^{2} (x^{2} - 4 x + 4) d x$ $= {(\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x)|}_{0}^{2} = \frac{8}{3}$

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm $A (0; 4)$

có hệ số góc k có dạng: $y = k x + 4$ .

Gọi B là giao điểm của d và trục hoành. Khi đó $B (\frac{- 4}{k}; 0)$ .

Đường thẳng (d) chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau khi $B \in O I$ và $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} S = \frac{4}{3}$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < \frac{- 4}{k} < 2 \\ S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{1}{2} .4. \frac{- 4}{k} = \frac{4}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k < - 2 \\ k = - 6 \end{cases} \Leftrightarrow k = - 6$

Câu 49:

Cho số phức z và w thỏa mãn $z + w = 3 + 4 i$ và $|z - w| = 9$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = |z| + |w|$ .

A. $\max T = \sqrt{176}$

B. $\max T = 14$

C. $\max T = 4$

D. $\max T = \sqrt{106}$

Xem đáp án

Chọn D

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ . Do $z + w = 3 + 4 i$ nên $w = (3 - x) + (4 - y) i$ .

Mặt khác $|z - w| = 9$ nên $|z - w| = \sqrt{{(2 x - 3)}^{2} + {(2 y - 4)}^{2}} = \sqrt{4 x^{2} + 4 y^{2} - 12 x - 16 y + 25} = 9$

$\Leftrightarrow$ $2 x^{2} + 2 y^{2} - 6 x - 8 y = 28$ (1) Suy ra $T = |z| + |w| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(3 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2}}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có $T^{2} \leq 2 (2 x^{2} + 2 y^{2} - 6 x - 8 y + 25)$ $(2)$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(3 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2}}$ .

Từ (1) và $(2)$ ta có $T^{2} \leq 2. (28 + 25) \Leftrightarrow - \sqrt{106} \leq T \leq \sqrt{106}$ . Vậy $M a x T = \sqrt{106}$ .

Câu 50:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z = 0$ và điểm $M (0; 1; 0)$ . Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt (S) theo đường tròn (C) có chu vi nhỏ nhất. Gọi $N (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ là điểm thuộc đường tròn (C) sao cho $O N = \sqrt{6}$ . Tính $y_{0}$ .

A. -2

B. 2

C. -1

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Mặt cầu (S) có tâm $I (- 1; 2; 1)$ , bán kính $R = \sqrt{6}$ .

Bán kính đường tròn (C) $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \sqrt{6 - d^{2}}$ với $d = d (I, (P))$

Chu vi (C) nhỏ nhất khi r và chỉ khi r nhỏ nhất $\Leftrightarrow d$ lớn nhất

Ta có $d \leq I M \Rightarrow d_{\max} = I M \Leftrightarrow (P)$ đi qua M và vuông góc IM

(P) đi qua $M (0; 1; 0)$ , và nhận $\vec{I M} = (1; - 1; - 1)$ làm VTPT

$\Rightarrow (P) : x - (y - 1) - z = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 1 = 0$

Ta có tọa độ N thỏa hệ

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z = 0 \\ x - y - z + 1 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 4 y - 2 z = - 6 \\ x - y - z + 1 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 \\ x = y + z - 1 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6 \end{cases} \Rightarrow y = 2$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 18)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan