50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 17)

Câu 1:

Cho tập hợp A gồm có 9 phần tử. Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp A là

A. $A_{9}^{4}$

B. $P_{4}$

C. $C_{9}^{4}$

D. $C_{9}^{4}$

Xem đáp án

Chọn C

Số tập con gồm có 4 phần tử của tập hợp A là $C_{9}^{4}$ .

Câu 2:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 5$ và $u_{6} = - 160.$ Công sai $q$ của cấp số nhân đã cho là

A. $q = 2.$

B. $q = - 2.$

C. $q = 3.$

D. $q = - 3.$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $u_{n} = u_{1} . q^{n - 1}$

Suy ra $u_{6} = u_{1} . q^{5} \Rightarrow q^{5} = \frac{u_{6}}{u_{1}} = \frac{- 160}{5} = - 32$ $\Rightarrow q = - 2.$

Vậy $q = - 2.$

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; \sqrt{2})$

B. $(1; + \infty)$

C. $(- 1; 1)$

D. $(- \infty; - 2)$

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f' (x) > 0$ trên khoảng $(- \infty; - 1) \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 1)$ nên cũng đồng biến trên $(- \infty; - 2)$ .

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

\

Hàm số đạt cực đại tại điểm

A. $x = 0$

B. $(0; - 3)$

C. $y = - 3$

D. $x = - 3$

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y=f(x) đạt cực đại tại điểm $x = 0$ .

Câu 5:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình bên. Tìm số cực trị của hàm số y=f(x)

A. 3

B. 4

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Chọn A

Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số có ba điểm cực trị trong đó có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.

Câu 6:

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{- 3 x + 2}$ là?

A. $x = \frac{2}{3}$

B. $y = \frac{2}{3}$

C. $x = - \frac{1}{3}$

D. $y = - \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Do $\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x - 1}{- 3 x + 2} = - \frac{1}{3}$ nên đường thẳng $y = - \frac{1}{3}$ là đường tiệm cận ngang

Câu 7:

Cho đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. $y = \frac{x - 1}{x + 1} .$

B. $y = \frac{- 2 x + 1}{x - 1} .$

C. $y = \frac{x + 1}{x - 1} .$

D. $y = \frac{x + 2}{x + 1} .$

Xem đáp án

Chọn C

Đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng $x = 1$ làm tiệm cận đứng nên phương án A và D sai.

Đồ thị hàm số $y = \frac{- 2 x + 1}{x - 1}$ nhận đường thẳng $y = - 2$ làm tiệm cận ngang nên phương án B sai.

Vậy phương án C đúng.

Câu 8:

Đồ thị hàm số $y = x^{4} - x^{2} - 2$ cắt trục tung tại điểm có tọa độ là

A. $(2; 0)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(0; 2)$

D. $(0; - 2)$

Xem đáp án

Chọn D

Với $x = 0 \Rightarrow y = - 2$ . Do đó đồ thị hàm số $y = x^{4} - x^{2} - 2$ cắt trục tung tại điểm M có tọa độ là $M (0; - 2) .$

Câu 9:

Với a,b là số thực dương, a khác 1 và m,n là hai số thực, m khác 0, ta có $\log_{a^{m}} (b^{n})$ bằng

A. $\frac{m}{n} \log_{a} b$

B. $\frac{n}{m} \log_{a} b$

C. $- \frac{m}{n} \log_{a} b$

D. $m . n \log_{a} b$

Xem đáp án

Chọn B

Với là số thực dương tùy ý khác m,n và là hai số thực ta có: $\log_{a^{m}} (b^{n}) = \frac{n}{m} \log_{a} b .$

Câu 10:

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{5} x$ là

A. $y^{'} = \frac{\ln 5}{x}$

B. $y^{'} = \frac{x}{\ln 5}$

C. $y^{'} = \frac{1}{x . \ln 5}$

D. $x . \ln 5$

Xem đáp án

Chọn C

Áp dụng công thức ${(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln a}$ , ta có ${(\log_{5} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 5}$ .

Câu 11:

Cho a là một số dương, biểu thức $a^{\frac{2}{3}} \sqrt{a}$ viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A. $a^{\frac{4}{3}}$

B. $a^{\frac{5}{6}}$

C. $a^{\frac{7}{6}}$

D. $a^{\frac{6}{7}}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $a^{\frac{2}{3}} \sqrt{a} = a^{\frac{2}{3}} . a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{6}}$ .

Câu 12:

Nghiệm của phương trình $9^{2 x + 1} = 81$ là

A. $x = \frac{3}{2}$

B. $x = \frac{1}{2}$

C. $x = - \frac{1}{2}$

D. $x = - \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Chọn B

Ta có $9^{2 x + 1} = 81$ $\Leftrightarrow 2 x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{1}{2}$ .

Câu 13:

Giải phương trình $\log_{3} (x - 1) = 2$

A. $x = 10$

B. $x = 11$

C. x=8

D. x=7

Xem đáp án

Chọn A

Phương trình $\log_{3} (x - 1) = 2 \Leftrightarrow x - 1 = 3^{2} \Leftrightarrow x = 10$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 10$ .

Câu 14:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} + 2 \sin x$ .

A. $\int (e^{x} + 2 \sin x) d x = e^{x} - \cos^{2} x + C$

B. $\int (e^{x} + 2 \sin x) d x = e^{x} + \sin^{2} x + C$

C. $\int (e^{x} + 2 \sin x) d x = e^{x} + \sin^{2} x + C$

D. $\int (e^{x} + 2 \sin x) d x = e^{x} + \sin^{2} x + C$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có : $\int f (x) d x = \int (e^{x} + 2 \sin x) d x = e^{x} - 2 \cos x + C$ .

Câu 15:

Tất cả nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{2 x + 3}$ là

A. $\frac{1}{2} \ln |2 x + 3| + C$

B. $\frac{1}{2} \ln (2 x + 3) + C$

C. $\ln |2 x + 3| + C$

D. $\frac{1}{\ln 2} \ln |2 x + 3| + C$

Xem đáp án

Chọn A

$\int f (x) d x = \int \frac{1}{2 x + 3} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 x + 3} d (2 x + 3) = \frac{1}{2} \ln |2 x + 3| + C$

Câu 16:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn $[0; 3]$ và $\int_{0}^{2} f (x) d x = 1$ , $\int_{2}^{3} f (x) d x = 4$ . Tính $I = \int_{0}^{3} f (x) d x$ .

A. $I = 5$

B. $I = - 3$

C. $I = 3$

D. $I = 4$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có = $\int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{3} f (x) d x = 1 + 4 = 5$

Câu 17:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} 8^{x} d x$

A. $I = 7$

B. $I = \frac{7}{3 \ln 2}$

C. $I = 8$

D. $I = \frac{8}{3 \ln 2}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $I = \int_{0}^{1} 8^{x} d x = (\frac{8^{x}}{\ln 8}) |\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} = \frac{8}{\ln 8} - \frac{1}{\ln 8} = \frac{7}{3 \ln 2}$ .

Câu 18:

Số phức liên hợp của số phức $z = 4 - \sqrt{5} i$

A. $\bar{z} = - 4 - \sqrt{5} i$

B. $\bar{z} = 4 + \sqrt{5} i$

C. $\bar{z} = - 4 + \sqrt{5} i$

D. $\bar{z} = 4 - \sqrt{5} i$

Xem đáp án

Chọn B

Số phức liên hợp của số phức $z = 2 - \sqrt{5} i$ là $\bar{z} = 4 + \sqrt{5} i$ .

Câu 19:

Cho số phức $z = 3 + i$ . Phần thực của số phức $2 z + 1 + i$ bằng

A. 6

B. 7

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $2 z + 1 + i = 2 (3 + i) + 1 + i = 7 + 3 i$ . Vậy phần thực của số phức $2 z + 1 + i$ bằng 7.

Câu 20:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức $z = 2 + 2 i$ là điểm nào dưới đây?

A. $Q (2; 2)$

B. $P (2; - 2)$

C. $N (- 2; 2)$

D. $M (- 2; - 2)$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\bar{z} = 2 - 2 i$ .

Điểm biểu diễn số phức $\bar{z} = 2 - 2 i$ là điểm $P (2; - 2)$ .

Câu 21:

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 2 và độ dài chiều cao bằng 3.

A. 6

B. 5

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

$V = B h = 2.3 = 6$ .

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh $A B = 2, A D = 4$ . Cạnh bên SA=2 và vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ). Thể tích V của khối chóp $S . A B C D$ bằng

A. $V = 16$

B. $V = \frac{16}{3}$

C. $V = \frac{8}{3}$

D. $V = 8$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} . S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} . A B . A D . S A = \frac{1}{3} .2.4.2 = \frac{16}{3}$

Câu 23:

Thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là

A. $π r^{2} h$

B. $2 π r^{2} h$

C. $\frac{1}{3} π r^{2} h$

D. $\frac{4}{3} π r^{2} h$

Xem đáp án

Chọn C

Thể tích khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ .

Câu 24:

Khối trụ có đường kính đáy và đường cao cùng bằng 2a thì có thể tích bằng

A. $2 π a^{3}$

B. $π a^{3}$

C. $3 π a^{3}$

D. $4 π a^{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Bán kính đáy là $R = \frac{2 a}{2} = a \Rightarrow V = π a^{2} .2 a = 2 π a^{3}$

Câu 25:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm $A (1; 1; 0)$ , $B (0; 3; 3)$ . Khi đó

A. $\vec{A B} = (- 1; 2; 3)$

B. $\vec{A B} = (1; 2; 3)$

C. $\vec{A B} = (- 1; 4; 3)$

D. $\vec{A B} = (0; 3; 0)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $\vec{A B} = (0 - 1; 3 - 1; 3 - 0) \Leftrightarrow \vec{A B} = (- 1; 2; 3)$

Câu 26:

Cho mặt cầu $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0$ . Tính bán kính R của mặt cầu (S).

A. $R = \sqrt{3}$

B. $R = 3$

C. $R = 9$

D. $R = 3 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Chọn B

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z - 3 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9$ suy ra bán kính của mặt cầu $R = 3$ .

Câu 27:

Trong không gian , cho mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z - 4 = 0$ . Điểm nào dưới đây không thuộc $(P)$ ?

A. $M (1; 2; 2)$

B. $N (- 1; 0; 3)$

C. $P (4; 2; - 1)$

D. $Q (- 3; 2; 4)$

Xem đáp án

Chọn D

Lần lượt thay toạ độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình $(P)$ , ta thấy toạ độ điểm Q không thoả mãn phương trình (P). Do đó điểm Q không thuộc (P). Chọn đáp án D.

Câu 28:

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{- 2} .$ Một vec tơ chỉ phương của d là

A. $\vec{u_{1}} (2; 1; - 2)$

B. $\vec{u_{2}} (- 1; - 1; 2)$

C. $\vec{u_{4}} (1; 1; - 2)$

D. $\vec{u_{3}} (2; 1; - 1)$

Xem đáp án

Chọn A

$d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{- 2}$ nên một VTCP của d là: $\vec{u_{1}} (2; 1; - 2) .$

Câu 29:

Một lớp có 20 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất chọn được một học sinh nữ.

A. $\frac{1}{38} .$

B. $\frac{9}{19} .$

C. $\frac{9}{19} .$

D. $\frac{19}{9} .$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi A là biến cố: “chọn được một học sinh nữ.”

-Không gian mẫu: $n (A) = C_{38}^{1} = 38.$

$n (A) = C_{18}^{1} = 18.$

$P (A) = \frac{n (A)}{|Ω|} = \frac{18}{38} = \frac{9}{19} .$

Câu 30:

Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên $(1; + \infty)$

A. $y = x^{4} - x^{2} + 3$

B. $y = \frac{x - 2}{2 x - 3}$

C. $y = - x^{3} + x - 1$

D. $y = \frac{3 - x}{x + 1}$

Xem đáp án

Chọn A

$y^{'} = 4 x^{3} - 2 x$ khi đó $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

Bảng biến thiên:

Đáp án B loại vì tập xác định của hàm số là $(- \infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; + \infty)$ .

Đáp án C loại vì hàm bậc 3 có hệ số a<0 nên không thể đồng biến trên $(1; + \infty)$ .

Đáp án D loại vì $y^{'} < 0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.

Câu 31:

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ trên đoạn $[- 1; 1]$ lần lượt là

A. 2 và -7

B. 1 và -7

C. -1 và -7

D. 1 và -6

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $y^{'} = f^{'} (x) = 6 x^{2} - 12 x = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$

Mà $f (- 1) = - 7$ , $f (1) = - 3$ , $f (0) = 1$ .

Do đó $\max_{[- 1; 1]} f (x) = \max \{f (- 1); f (1); f (0)\} = 1$ khi $x = 0$ .

$\min_{[- 1; 1]} f (x) = \min \{f (- 1); f (1); f (0)\} = - 7$ khi $x = - 1$ .

Câu 32:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_{2} (9 - x) \leq 3$ là

A. 7

B. 6

C. 8

D. 9

Xem đáp án

Chọn C

Điều kiện: $\log_{2} (9 - x) \leq 3$ $9 - x > 0 \Leftrightarrow x < 9$ $\Leftrightarrow 1 \leq x$ .

Ta có: $\Leftrightarrow 9 - x \leq 8$ .

Đối chiếu điều kiện ta có $1 \leq x < 9$ .

Vì $x \in ℤ$ nên $x \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$ .

Vậy có nghiệm nguyên.

Câu 33:

Cho $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 2$ và $\int_{- 1}^{1} g (x) d x = - 7$ , khi đó bằng $\int_{- 1}^{1} [f (x) - \frac{1}{7} g (x)] d x$

A. -3

B. 2

C. 3

D. -1

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\int_{- 1}^{1} [f (x) - \frac{1}{7} g (x)] d x = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \frac{1}{7} \int_{- 1}^{1} g (x) d x = 2 - \frac{1}{7} . (- 7) = 3$ .

Câu 34:

Tính môđun số phức nghịch đảo của số phức $z = {(1 - 2 i)}^{2}$

A. $\frac{1}{\sqrt{5}}$

B. $\sqrt{5}$

C. $\frac{1}{25}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án

Chọn D

$z = {(1 - 2 i)}^{2} = - 3 - 4 i$ $\Rightarrow |z| = 5$

Vậy môđun số phức nghịch đảo của z là $|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|} = \frac{1}{5}$ .

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng $60^{0}$ . SA vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ , $S A = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng

A. $30^{o}$

B. $45^{o}$

C. $60^{o}$

D. $90^{o}$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có: $S C \cap (A B C D) = C$ ; $S A ⊥ (A B C D)$ tại $A$ .

$\Rightarrow$ Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng $(A B C D)$ là $A C$ .

$\Rightarrow$ Góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(A B C D)$ là $α = \hat{S C A}$ .

Do $A B C D$ là hình thoi cạnh a và $\hat{A B C} = 60^{0}$ nên tam giác đều cạnh $A C = a$ . Do đó .

Suy ra: $\tan \hat{S C A} = \frac{S A}{A C} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Do đó: $α = \hat{S B A} = 30^{o}$ .

Vậy góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $30^{o}$ .

Câu 36:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(B C D)$ bằng:

A. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Ta có $A G ⊥ (B C D)$ tại nên $d (A, (B C D)) = A G$ .

Xét tam giác ABG vuông tại G có $A G = \sqrt{A B^{2} - B G^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $A (- 1; 1; 2)$ , $M (1; 2; 1)$ . Mặt cầu tâm A đi qua M có phương trình là

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 1$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 6$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 6$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = \sqrt{6}$

Xem đáp án

Chọn C

Mặt cầu tâm A đi qua M suy ra bán kính: $R = A M = \sqrt{{(1 + 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} + {(1 - 2)}^{2}} = \sqrt{6}$ .

Phương trình mặt cầu là: ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 6$ .

Câu 38:

Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + 2 t \end{cases} (t \in ℝ)$ . Phương trình chính tắc của đường d là

A. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{2}$

C. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 4}{2}$

D. $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Đường thẳng d đi qua điểm $M (- 2; 1; 2)$ và có 1 vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; 1; 2)$ nên loại đáp án D.

Lần lượt thay toạ độ điểm M vào các phương trình trong các đáp án còn lại ta thấy toạ độ M thoả mãn phương trình $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 4}{2}$ .

Câu 39:

Cho hàm số f(x) xác định trên $ℝ$ và có đồ thị $f^{'} (x)$ như hình vẽ bên. Đặt $g (x) = f (x) - x$ . Hàm số $g (x)$ đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(\frac{3}{2}; 3)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(0; 1)$

D. $(\frac{1}{2}; 2)$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $g^{'} (x) = f^{'} (x) - 1$ .

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = 1$ . Từ đồ thị, ta được $x = - 1$ , $x = 1$ , $x = 2$ .

Từ đồ thị, ta cũng có bảng xét dấu của $g^{'} (x)$

Ta được hàm số $g (x)$ đạt cực đại tại $x = - 1$

Câu 40:

Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình $\log (2 x^{2} + 3) > \log (x^{2} + m x + 1)$ có tập nghiệm là $ℝ$ .

A. $- 2 < m < 2$

B. $m < 2 \sqrt{2}$

C. $- 2 \sqrt{2} < m < 2 \sqrt{2}$

D. $m < 2$

Xem đáp án

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} 4 x khi x > 2 \\ - 2 x + 12 khi x \leq 2 \end{cases}$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x . f (\sqrt{x^{2} + 1})}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x + 4 \int_{\ln 2}^{\ln 3} e^{2 x} . f (1 + e^{2 x}) d x$ .

A. $I = 309$

B. $I = 159$

C. $I = \frac{309}{2}$

D. $I = 9 + 150 \ln \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|\frac{z + 1}{i - z}| = 1$ và $|\frac{z - i}{2 + z}| = 1 ?$

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\{\begin{cases} |\frac{z + 1}{i - z}| = 1 \\ |\frac{z - i}{2 + z}| = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |z + 1| = |i - z| \\ |z - i| = |2 + z| \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - y \\ 4 x + 2 y = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{3}{2} \\ y = \frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow z = - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} i .$ :

Câu 43:

Cho khối chóp tam giác S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ , tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là $A B = 5 a$ ; $B C = 8 a$ ; $A C = 7 a$ , góc giữa SB và $(A B C)$ là $45 °$ . Tính thể tích khối chóp $S . A B C$

A. $50 \sqrt{3} a^{3}$

B. $\frac{50 \sqrt{3}}{3} a^{3}$

C. $\frac{50}{3} a^{3}$

D. $\frac{50 \sqrt{7}}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có nửa chu vi $Δ A B C$ là $p = \frac{A B + A C + B C}{2} = 10 a$ .

Diện tích $Δ A B C$ là $S_{Δ A B C} = \sqrt{10 a .5 a .3 a .2 a} = 10 \sqrt{3} a^{2}$ .

$S A ⊥ (A B C)$ nên $Δ S A B$ vuông, cân tại A nên $S A = A B = 5$ .

Thể tích khối chóp S.ABC là $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{Δ A B C}$ $= \frac{1}{3} 5 a .10 \sqrt{3} a^{2}$ .

Câu 44:

Bạn Dũng xây một bể cá hình tròn tâm O bán kính 10m và chia nó thành 2 phần như hình vẽ sau. Bạn Dũng sẽ thả cá cảnh với mật độ 4 con cá cảnh trên $1 m^{2}$ ở phần bể giới hạn bởi đường tròn tâm O và Parabol có trục đối xứng đi qua tâm O và chứa tâm O. Gọi S là phần nguyên của diện tích phần thả cá. Hỏi bạn Dũng thả được bao nhiêu con cá cảnh trên phần bể có diện tích S, biết $A, B \in (O)$ và $A B = 12 m$ ?

A. 560

B. 650

C. 460

D. 640

Xem đáp án

Chọn D

Xét hệ trục tọa độ Oxyz đặt vào bể cá như hình vẽ sau

Khi đó phương trình của đường tròn tâm O là $x^{2} + y^{2} = 100$ .

Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình $y = \sqrt{100 - x^{2}} = f (x)$

Dựa vào hình vẽ ta suy ra Parabol có đỉnh $I (0; - 10)$ đi qua các điểm $A (6; 8), B (- 6; 8)$ .

Do đó phương trình $(P) : y = \frac{1}{2} x^{2} - 10$ .

Diện tích phần thả cá cảnh là $\int_{- 6}^{6} (\sqrt{100 - x^{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + 10) d x ≃ 160, 35 m^{2} \Rightarrow S = 160 m^{2}$ .

Do đó bạn Dũng thả được $160 \cdot 4 = 640$ con cá cảnh.

Câu 45:

Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{2}$ : , mặt phẳng $(α)$ : $x + y - z + 3 = 0$ và điểm $A (1; 2; - 1)$ . Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A cắt d và song song với mặt phẳng $(α)$ .

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{1}$

B. $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$

C. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{- 1}$

D. $\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$

Xem đáp án

Chọn C

Gọi giao điểm của $Δ$ và d là B nên ta có: $B (3 + t; 3 + 3 t; 2 t)$ $\Rightarrow$ $\vec{A B} = (2 + t; 1 + 3 t; 2 t + 1)$ .

Vì đường thẳng $Δ$ song song với mặt phẳng $(α)$ nên:

$\vec{A B} . \vec{n_{α}} = 0$ $\Leftrightarrow 2 + t + 1 + 3 t - 2 t - 1 = 0$ $\Leftrightarrow t = - 1$ .

Suy ra: $\vec{A B} = (1; - 2; - 1)$ .

Phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A và nhận $\vec{A B}$ làm vtcp: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 1}{- 1}$ .

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số $y = |f (x - 2017) + 2018|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 5

Xem đáp án

Chọn B

Xét hàm số $g (x) = f (x - 2017) + 2018$

$g^{'} (x) = {(x - 2017)}^{'} f^{'} (x - 2017) = f^{'} (x - 2017)$

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 2017 = - 1 \\ x - 2017 = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2016 \\ x = 2020 \end{array} .$

Ta có $g (2016) = f (2016 - 2017) + 2018 = 4036;$

$g (2020) = f (2020 - 2017) + 2018 = 0;$

Bảng biến thiên hàm $g (x)$

Khi đó bảng biến thiên $|g (x)|$ là

Vậy hàm số $y = |f (x - 2017) + 2018|$ có ba cực trị

Câu 47:

Cho $0 \leq x \leq 2020$ và $\log_{2} (2 x + 2) + x - 3 y = 8^{y}$ . Có bao nhiêu cặp số $(x; y)$ nguyên thỏa mãn các điều kiện trên ?

A. 2019

B. 2018

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Chọn D

Do $0 \leq x \leq 2020$ nên $\log_{2} (2 x + 2)$ luôn có nghĩa .

Ta có $\log_{2} (2 x + 2) + x - 3 y = 8^{y}$

$\Leftrightarrow \log_{2} (x + 1) + x + 1 = 3 y + 2^{3 y}$

$\Leftrightarrow \log_{2} (x + 1) + 2^{\log_{2} (x + 1)} = 3 y + 2^{3 y}$ $(1)$

Xét hàm số $f (t) = t + 2^{t}$ .

Tập xác định $D = ℝ$ và $f^{'} (t) = 1 + 2^{t} \ln 2$ => $f^{'} (t) > 0$ $\forall t \in ℝ$ .

Suy ra hàm số f'(t) đồng biến trên $ℝ$ . Do đó $(1) \Leftrightarrow \log_{2} (x + 1) = 3 y$ $\Leftrightarrow y = \log_{8} (x + 1)$ .

Ta có $0 \leq x \leq 2020$ nên $1 \leq x + 1 \leq 2021$ suy ra $0 \leq \log_{8} (x + 1) \leq \log_{8} 2021 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq \log_{8} 2021$ .

Vì $y \in ℤ$ nên $y \in \{0; 1; 2; 3\}$ .

Vậy có 4 cặp số $(x; y)$ nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp $(0; 0)$ , $(7; 1)$ , $(63; 2)$ , $(511; 3)$

Câu 48:

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ và một đường thẳng d thay đổi cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho $A B = 2018$ . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng d. Tìm giá trị lớn nhất $S_{m a x}$ của S

A. $S_{m a x} = \frac{2018^{3} + 1}{6}$

B. $S_{m a x} = \frac{2018^{3}}{3}$

C. $S_{m a x} = \frac{2018^{3} - 1}{6}$

D. $S_{m a x} = \frac{2018^{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Giả sử $A (a; a^{2})$ ; $B (b; b^{2}) (b > a)$ sao cho $A B = 2018$ .

Phương trình đường thẳng d là: $y = (a + b) x - a b$ . Khi đó

$S = \int_{a}^{b} |(a + b) x - a b - x^{2}| d x = \int_{a}^{b} ((a + b) x - a b - x^{2}) d x = \frac{1}{6} {(b - a)}^{3}$

Vì $A B = 2018 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 2018^{2} \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} (1 + {(b + a)}^{2}) = 2018^{2}$ .

$\Rightarrow {(b - a)}^{2} \leq 2018^{2}$ $\Rightarrow |b - a| = b - a \leq 2018 \Rightarrow S \leq \frac{2018^{3}}{6}$

Vậy $S_{\max} = \frac{2018^{3}}{6}$ khi $a = - 1009$ và $b = 1009$ .

Câu 49:

Xét các số phức $z_{1} = x - 2 + (y + 2) i;$ $z_{2} = x + y i (x, y \in ℝ, |z_{1}| = 1.$ Phần ảo của số phức $z_{2}$ có môđun lớn nhất bằng

A. -5

B. $- (2 + \frac{\sqrt{2}}{2})$

C. $2 - \frac{\sqrt{2}}{2} .$

D. 3

Xem đáp án

Chọn B

Gọi $M (x; y)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z_{2}$

Ta có: $|z_{1}| = 1 \Leftrightarrow |x - 2 + (y + 2) i| = 1 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1 (T) .$

Đường tròn (T) có tâm $I (2; - 2)$ , bán kính $R = 1$ , có $O I = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$ .

Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z_{2}$ là đường tròn $(C)$ có tâm O, bán kính OM.

Bài yêu cầu: Tìm số phức $z_{2}$ có: $|z_{2}| = x^{2} + y^{2}$ lớn nhất.

Bài toán trở thành: Tìm vị trí điểm $M (x; y) \in (C)$ sao cho $O M$ max $\Leftrightarrow O M = O I + R = 2 \sqrt{2} + 1.$

$\frac{|\vec{O M}|}{|\vec{O I}|} = \frac{2 \sqrt{2} + 1}{2 \sqrt{2}} = 1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

$\Rightarrow \vec{O M} = (1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) \vec{O I} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{M} = (1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) x_{I} \\ y_{M} = (1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) y_{I} \end{cases}$

$\Rightarrow y_{M} = (1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) (- 2) = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} = - (2 + \frac{\sqrt{2}}{2})$

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$ và $M (x_{0}; y_{0}; z_{0}) \in (S)$ sao cho $A = x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $x_{0} + y_{0} + z_{0}$ bằng

A. 2

B. -1

C. -2

D. 1

Xem đáp án

Chọn B

Tacó: $A = x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0} \Leftrightarrow x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0} - A = 0$ nên $M \in (P) : x + 2 y + 2 z - A = 0$ ,

do đó điểm M là điểm chung của mặt cầu (S) với mặt phẳng (P).

Mặt cầu (S) có tâm $I (2; 1; 1)$ và bán kính $R = 3$ .

Tồn tại điểm M khi và chỉ khi $d (I, (P)) \leq R \Leftrightarrow \frac{| 6 - A |}{3} \leq 3 \Leftrightarrow - 3 \leq A \leq 15$

Do đó, M với thuộc mặt cầu (S) thì $A = x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0} \geq - 3$ .

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là tiếp điểm của $(P) : x + 2 y + 2 z + 3 = 0$ với (S) hay M là hình chiếu của I lên (P). Suy ra $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ thỏa: $\{\begin{cases} x_{0} + 2 y_{0} + 2 z_{0} + 3 = 0 \\ x_{0} = 2 + t \\ y_{0} = 1 + 2 t \\ z_{0} = 1 + 2 t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ x_{0} = 1 \\ y_{0} = - 1 \\ z_{0} = - 1 \end{cases}$

Do đó $x_{0} + y_{0} + z_{0} = - 1$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 17)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan