50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc [Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 19)

Câu 1:

Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)?

A. 10

B. 30

C. 6

D. 60

Xem đáp án

Chọn A

Cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau nghĩa là chọn ra 3 lọ hoa từ 5 lọ hoa khác nhau để cắm hoa.

Câu 2:

Cho một cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = \frac{1}{3}$ , $u_{8} = 26.$ Công sai của cấp số cộng đã cho là

A. $d = \frac{11}{3} .$

B. $d = \frac{10}{3} .$

C. $d = \frac{3}{10} .$

D. $d = \frac{3}{11} .$

Xem đáp án

Chọn A

Áp dụng công thức $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ , khi đó $u_{8} = u_{1} + 7 d$ $\Leftrightarrow 26 = \frac{1}{3} + 7 d$ $\Leftrightarrow d = \frac{11}{3}$ .

Vậy công sai $d = \frac{11}{3} .$

Câu 3:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; - 1)$

B. $(3; 5)$

C. $(- \infty; 3)$

D. $(- \infty; 1)$

Xem đáp án

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f^{'} (x) < 0$ trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(0; 1) \Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1)$ .

Câu 4:

Cho hàm số y=f(x) xác định,liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A. $x = - 4$

B. $x = 0$

C. $x = 3$

D. $x = - 1, x = 1$

Xem đáp án

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên

Câu 5:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số đã cho có mấy điểm cực trị?

A. 0

B. 2

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Chọn B

Dễ thấy hàm số có 2 điểm cực trị.

Câu 6:

Đồ thị hàm số $(C) : y = \frac{2 x - 1}{2 x + 3}$ có mấy đường tiệm cận

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to - \infty} y = 1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 1$ .

Và $\lim_{x \to {(- \frac{3}{2})}^{+}} y = - \infty; \lim_{x \to {(- \frac{3}{2})}^{-}} y = + \infty$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = - \frac{3}{2}$ .

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. $y = - x^{3} + 3 x^{2}$

B. $y = x^{3} + 3 x^{2}$

C. $y = x^{4} + 2 x^{2}$

D. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Nhìn vào đồ thị ta thấy đây không thể là đồ thị của hàm số bậc 4 Loại C, D

Khi $x \to + \infty$ thì $y \to - \infty$ $\Rightarrow a < 0$ $\Rightarrow y = - x^{3} + 3 x^{2}$ .

Câu 8:

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} - x + 4$ và đường thẳng $y = 4$ là

A. 3

B. 1

C. 5

D. 2

Xem đáp án

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{3} - x + 4 = 4$ $(1)$

$(1) \Leftrightarrow x^{3} - x = 0 \Leftrightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \end{array}$

Vậy đồ thị hàm số $y = x^{3} - x + 4$ và đường thẳng $y = 4$ cắt nhau tại 3 điểm

Câu 9:

Cho $a, b > 0$ , $a \neq 1$ thỏa $\log_{a} b = 3$ . Tính $P = \log_{a^{2}} b^{3}$ .

A. $P = 18$

B. $P = 2$

C. $P = \frac{9}{2}$

D. $P = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Vì $a, b > 0$ nên ta có: $P = \frac{3}{2} \log_{a} b = \frac{3}{2} .3 = \frac{9}{2}$ .

Câu 10:

Tính đạo hàm của hàm số $f (x) = \ln x$ .

A. $f' (x) = x$

B. $f' (x) = \frac{2}{x}$

C. $f' (x) = \frac{1}{x}$

D. $f' (x) = - \frac{1}{x}$

Xem đáp án

Chọn C

Sử dụng công thức $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ .

Câu 11:

Rút gọn biểu thức $Q = b^{\frac{5}{3}} : \sqrt[3]{b}$ với $b > 0$ ta được biểu thức nào sau đây?

A. $Q = b^{2}$

B. $Q = b^{\frac{5}{9}}$

C. $Q = b^{- \frac{4}{3}}$

D. $Q = b^{\frac{4}{3}}$

Xem đáp án

Chọn D

Ta có: $Q = b^{\frac{5}{3}} : \sqrt[3]{b} = \frac{b^{\frac{5}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}} = b^{\frac{4}{3}}$

Câu 12:

Nghiệm của phương trình $2^{x + 1} = 16$ là

A. $x = 3$

B. $x = 4$

C. $x = 7$

D. $x = 8$

Xem đáp án

Chọn A

Phương trình đã cho tương đương với

$2^{x + 1} = 16 \Leftrightarrow 2^{x + 1} = 2^{4} \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$ .

Câu 13:

Số nghiệm thực của phương trình $\log_{3} (x^{2} - 3 x + 9) = 2$ bằng

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Nhận thấy $x^{2} - 3 x + 9 > 0, \forall x \in ℝ$ .

$\log_{3} (x^{2} - 3 x + 9) = 2 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 9 = 9 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thực.

Câu 14:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = x + \cos x$ .

A. $\int f (x) d x = \frac{x^{2}}{2} + \sin x + C$

B. $\int f (x) d x = 1 - \sin x + C$

C. $\int f (x) d x = x \sin x + \cos x + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{x^{2}}{2} - \sin x + C$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có : $\int f (x) d x = \int (x + \cos x) d x = \frac{x^{2}}{2} + \sin x + C$ .

Câu 15:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{2 x} + x^{2}$ là

A. $F (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$

B. $F (x) = e^{2 x} + x^{3} + C$

C. $F (x) = 2 e^{2 x} + 2 x + C$

D. $F (x) = e^{2 x} + \frac{x^{3}}{3} + C$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $F (x) = \int f (x) d x = \int (e^{2 x} + x^{2}) d x = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$ .

Vậy $F (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$ .

Câu 16:

Cho $\int_{a}^{c} f (x) d x = 17$ và $\int_{b}^{c} f (x) d x = - 11$ với $a < b < c$ . Tính $I = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

A. $I = - 6$

B. $I = 6$

C. $I = 28$

D. $I = - 28$

Xem đáp án

Chọn C

Với $a < b < c$ : $\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x$

$\Rightarrow I = \int_{a}^{b} f (x) d x$ $= \int_{a}^{c} f (x) d x - \int_{b}^{c} f (x) d x$ $= 17 + 11$ $= 28$ .

Câu 17:

Tính tích phân $\int_{0}^{e} \cos x d x$ .

A. $- \sin e$

B. $- \cos e$

C. $\sin e$

D. $\cos e$

Xem đáp án

Chọn C

$\int_{0}^{e} \cos x d x = {\sin x|}_{0}^{e} = \sin e$ .

Câu 18:

Số phức liên hợp của số phức $z = - \frac{1}{2} - \frac{5}{3} i$ là

A. $\bar{z} = \frac{1}{2} - \frac{5}{3} i$

B. $\bar{z} = - \frac{5}{3} - \frac{1}{2} i$

C. $\bar{z} = \frac{1}{2} + \frac{5}{3} i$

D. $\bar{z} = - \frac{1}{2} + \frac{5}{3} i$

Xem đáp án

Chọn D

Số phức liên hợp của số phức $z = - \frac{1}{2} - \frac{5}{3} i$ là $\bar{z} = - \frac{1}{2} + \frac{5}{3} i$ .

Câu 19:

Cho số phức $z = a + b i$ $(a, b \in ℝ)$ . Số $z + \bar{z}$ luôn là:

A. Số thực

B. Số thuần ảo

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Số phức liên hợp của số phức $z = - \frac{1}{2} - \frac{5}{3} i$ là $\bar{z} = - \frac{1}{2} + \frac{5}{3} i$ .

Câu 20:

Biết số phức z có biểu diễn là điểm M trong hình vẽ bên dưới. Chọn khẳng định đúng

A. $z = 3 + 2 i$

B. $z = 3 - 2 i$

C. $z = 2 + 3 i$

D. $z = 3 - 2 i$

Xem đáp án

Chọn A

Hoành độ của điểm M bằng 3; tung độ điểm M bằng 2 suy ra $z = 3 + 2 i$

Câu 21:

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng 2 và độ dài chiều cao bằng 3.

A. 6

B. 5

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

$V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} .2.3 = 2$ .

Câu 22:

Tính thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a, 2a và 3a.

A. $6 a^{2}$

B. $2 a^{3}$

C. $5 a^{3}$

D. $6 a^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Thể tích khối hộp chữ nhật bằng: $V = a .2 a .3 a = 6 a^{3}$ .

Câu 23:

Thể tích của khối nón có chiều cao bằng $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ và bán kính đường tròn đáy bằng $\frac{a}{2}$ là

A. $\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{24}$

C. $\frac{3 π a^{3}}{8}$

D. $\frac{\sqrt{3} π a^{3}}{8}$

Xem đáp án

Chọn B

Thể tích khối nón là: $V = \frac{1}{3} π {(\frac{a}{2})}^{2} \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} π a^{3}}{24}$

Câu 24:

Một khối trụ có chiều cao và bán kính đường tròn đáy cùng bằng R thì có thể tích là

A. $\frac{2 π R^{3}}{3}$

B. $π R^{3}$

C. $\frac{π R^{3}}{3}$

D. $2 π R^{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Theo giả thiết, ta có chiều cao của khối trụ là $h = R$ . Do đó, theo công thức tính thể tích khối trụ, ta có $V = π R^{2} h = π R^{3}$ .

Câu 25:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (1; 2; 3)$ , $B (- 3; 0; 1)$ , $C (5; - 8; 8)$ . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

A. $G (3; - 6; 12)$

B. $G (- 1; 2; - 4)$

C. $G (1; - 2; - 4)$

D. $G (1; - 2; 4)$

Xem đáp án

Chọn D

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $G (\frac{1 - 3 + 5}{3}; \frac{2 + 0 - 8}{3}; \frac{3 + 1 + 8}{3})$ $\Rightarrow G (1; - 2; 4)$ .

Câu 26:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + z^{2} = 16$ . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó

A. $I (- 1; 3; 0)$ ; $R = 16$

B. $I (- 1; 3; 0)$ ; $R = 4$

C. $I (1; - 3; 0)$ ; $R = 16$

D. $I (1; - 3; 0)$ ; $R = 4$

Xem đáp án

Chọn B

Mặt cầu có tâm $I (- 1; 3; 0)$ , bán kính $R = 4$

Câu 27:

Trong không gian, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng $(α) : - x + y + 2 z - 3 = 0$ ?

A. $Q (- 2; - 1; 3)$

B. $M (2; 3; 1)$

C. $P (1; 2; 3)$

D. $N (- 2; 1; 3)$

Xem đáp án

Chọn B

Thay tọa độ điểm $Q (- 2; - 1; 3)$ , $M (2; 3; 1)$ , $P (1; 2; 3)$ , $N (- 2; 1; 3)$ vào phương trình mặt phẳng $(α) : - x + y + 2 z - 3 = 0$ ta thấy chỉ có toạ độ điểm B là thoả mãn

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$ ?

A. $Q (- 2; 1; - 3)$

B. $P (2; - 1; 3)$

C. $M (- 1; 1; - 2)$

D. $N (1; - 1; 2)$

Xem đáp án

Chọn D

Xét điểm $N (1; - 1; 2)$ ta có $\frac{1 - 1}{2} = \frac{- 1 + 1}{- 1} = \frac{2 - 2}{3}$ nên điểm $N (1; - 1; - 2)$ thuộc đường thẳng đã cho

Câu 29:

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm xuất hiện:

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{5}{6}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Không gian mẫu: $Ω = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$

Biến cố xuất hiện: $A = \{6\}$

Suy ra $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{1}{6}$ .

Câu 30:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó ?

A. $y = \frac{x - 2}{- x + 2}$

B. $y = \frac{x - 2}{x + 2}$

C. $y = \frac{- x + 2}{x + 2}$

D. $y = \frac{x + 2}{- x + 2}$

Xem đáp án

Chọn C

Xét hàm số $y = \frac{- x + 2}{x + 2}$ có tập xác định $D = ℝ \ \{- 2\}$

Ta có: $y^{'} = \frac{- 4}{{(x + 2)}^{2}} < 0, \forall x \in D$ $\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

Câu 31:

Gọi m là giá trị nhỏ nhất và M là giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 1$ trên đoạn $[- 2; - \frac{1}{2}]$ . Khi đó giá trị của $M - m$ bằng

A. -5

B. 1

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Chọn D

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn $[- 2; - \frac{1}{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x$ .

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \notin [- 2; - \frac{1}{2}] \\ x = - 1 \in [- 2; - \frac{1}{2}] \end{array}$

$y (- 2) = - 5; y (- 1) = 0; y (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}$ .

Vậy $M = 0; m = - 5 \Rightarrow M - m = 5$ .

Câu 32:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{2} (1 - x) > 3$

A. $(- \infty; 1)$

B. $(- \infty; - 7)$

C. $(- 7; + \infty)$

D. $(- 7; 1)$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có: $\log_{2} (1 - x) > 3 \Leftrightarrow 1 - x > 2^{3} \Leftrightarrow x < - 7$

Câu 33:

Nếu $\int_{1}^{4} f (x) dx = - 2$ và $\int_{1}^{4} g (x) dx = - 6$ thì $\int_{1}^{4} [f (x) - g (x)] dx$ bằng

A. -8

B. 4

C. -4

D. 8

Xem đáp án

Chọn B

Ta có $\int_{1}^{4} [f (x) - g (x)] dx = \int_{1}^{4} f (x) dx - \int_{1}^{4} g (x) dx = (- 2) - (- 6) = 4$ .

Câu 34:

Cho số phức z thỏa $2 z + 3 \bar{z} = 10 + i$ . Tính $|z|$ .

A. $|z| = 5$

B. $|z| = 3$

C. $|z| = \sqrt{3}$

D. $|z| = \sqrt{5}$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i$ , $(a, b \in ℝ)$ .

Ta có: $2 (a + b i) + 3 (a - b i) = 10 + i \Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 a = 10 \\ - b = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases} \Rightarrow z = 2 - i$ .

Vậy $|z| = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{5}$ .

Câu 35:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $S A = 2 a$ . Khi đó góc giữa SB và (SAC) bằng:

A. $60^{0}$

B. $30^{0}$

C. $90^{0}$

D. $45^{0}$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng nào?

A. IB

B. IC

C. IA

D. IO

Xem đáp án

Chọn D

Từ giả thiết suy ra IO là đường trung bình của tam giác SAC, do đó $O I ∥ S A$ .

Ta có $\{\begin{cases} I O ∥ S A \\ S A ⊥ (A B C D) \end{cases} \Rightarrow I O ⊥ (A B C D)$ .

Vậy $d (I, (A B C D)) = O I$ .

Câu 37:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Phương trình của mặt cầu có đường kính AB với $A (2; 1; 0)$ , $B (0; 1; 2)$ là

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4$

B. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 2$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 4$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$

Xem đáp án

Chọn D

Tâm mặt cầu chính là trung điểm I của AB, với $I (1; 1; 1)$ .

Bán kính mặt cầu: $R = \frac{A B}{2}$ $= \frac{1}{2} \sqrt{{(- 2)}^{2} + 2^{2}}$ $= \sqrt{2}$ .

Suy ra phương trình mặt cầu: ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$ .

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (- 1; 2; 2)$ . Đường thẳng đi qua M và song song với trục Oy có phương trình là

A. $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 2 \\ z = 2 + t \end{cases}$ $(t \in ℝ)$

B. $\{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 2 \\ z = 2 \end{cases}$ $(t \in ℝ)$

C. $\{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = 2 \\ z = 2 + t \end{cases}$ $(t \in ℝ)$

D. $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 2 + t \\ z = 2 \end{cases}$ $(t \in ℝ)$

Xem đáp án

Chọn D

Đường thẳng đi qua $M (- 1; 2; 2)$ và song song với trục $O y$ nên nhận $\vec{j} = (0; 1; 0)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình: $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 2 + t \\ z = 2 \end{cases} (t \in ℝ)$ .

Câu 39:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm là $y = f' (x - 2)$ , liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ là

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Từ đồ thị hàm số $y = f' (x - 2)$ suy ra bảng xét dấu của $f' (x - 2)$

Từ bảng xét dấu của $f' (x - 2)$ suy ra hàm số $y = f (x - 2)$ có hai điểm cực trị.

Mà số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ bằng số cực trị của hàm $y = f (x - 2)$ nên số điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$ bằng 2.

Câu 40:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình $\log_{4} (x^{2} - x - m) \geq \log_{2} (x + 2)$ có nghiệm

A. $(- \infty; 6]$

B. $(- \infty; 6)$

C. $(- 2; + \infty)$

D. $[- 2; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B

Điều kiện: $\{\begin{cases} x^{2} - x - m > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - x - m > 0 \\ x > - 2 \end{cases}$ $(*)$

Với điều kiện trên bất phương trình đã cho tương đương với $\log_{2^{2}} (x^{2} - x - m) \geq \log_{2} (x + 2)$ $\Leftrightarrow \log_{2} (x^{2} - x - m) \geq \log_{2} {(x + 2)}^{2}$ $\Leftrightarrow$ $x^{2} - x - m \geq x^{2} + 4 x + 4$ $\Leftrightarrow m \leq - 5 x - 4$

Vì với những giá trị của x thỏa mãn $x^{2} - x - m \geq x^{2} + 4 x + 4 > 0$ , $\forall x > - 2$ thì $(*)$ luôn đúng

Nên ta kết hợp lại ta được: $\{\begin{cases} m \leq - 5 x - 4 \\ x > - 2 \end{cases}$ $(* *)$

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi $(* *)$ có nghiệm $\Leftrightarrow m \leq \max_{(- 2; + \infty)} (- 5 x - 4) \Rightarrow m < 6.$

Câu 41:

Cho $\int_{3}^{4} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} - x - 2} d x = a \ln \frac{3}{2} + b \ln c$ , với a,b,c là các số hữu tỷ. Gía trị của $5 a + 15 b - 11 c$ bằng

A. -12

B. -15

C. 14

D. 9

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $\frac{2 x + 1}{3 x^{2} - x - 2} = \frac{2 x + 1}{(x - 1) (3 x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{3 x + 2} \Rightarrow 2 x + 1 \equiv A (3 x + 2) + B (x - 1)$

Khi đó, dùng kỹ thuật đồng nhất hệ số ta được

+ Cho $x = 1 \Rightarrow A = \frac{3}{5}$ .

+ Cho $x = 0 \Rightarrow B = \frac{1}{5}$ .

Khi đó ta có

$\int_{3}^{4} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} - x - 2} d x = \int_{3}^{4} (\frac{3}{5 (x - 1)} + \frac{1}{5 (3 x + 2)}) d x = {(\frac{3}{5} \ln |x - 1| + \frac{1}{15} \ln |3 x + 2|)|}_{3}^{4}$

$= \frac{3}{5} \ln \frac{3}{2} + \frac{1}{15} \ln \frac{16}{11}$

$\Rightarrow a = \frac{3}{5}, b = \frac{1}{15}, c = \frac{16}{11} \Rightarrow 5 a + 15 b - 11 c = - 12$

Câu 42:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $|z + 2 - i| = 2 \sqrt{2}$ và ${(z - i)}^{2}$ là số thuần ảo?

A. 2

B. 0

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $z = x + y i$ . Ta có $|z + 2 - i| = 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 8$ (1) .

${(z - i)}^{2} = {(x + (y - 1) i)}^{2} = x^{2} - {(y - 1)}^{2} + 2 x (y - 1) i$ là số thuần ảo $x^{2} - {(y - 1)}^{2} = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = y - 1 \\ x = - y + 1 \end{array}$

Khi đó $2 x^{2} = 8 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \end{array}$

Với $x = 2$ ta có $y = 3$ hoặc $y = - 1$ . Ta có $z = 2 + 3 i$ hoặc $z = 2 - i$ .

Với $x = - 2$ ta có $y = - 3$ hoặc $y = 3$ . Ta có $z = - 2 + 3 i$ hoặc $z = - 2 - 3 i$ .

Vậy có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh SB vuông góc với đáy và mặt phẳng (SAD) tạo với đáy một góc $60^{°}$ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. $V = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4}$

B. $V = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{8}$

C. $V = \frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $V = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn C

Ta có: $\begin{array}{l} S B ⊥ (A B C D) \\ A D \subset (A B C D) \end{array}\} \Rightarrow S B ⊥ A D$ mà $A D ⊥ A B \Rightarrow A D ⊥ S A$ .

$\begin{array}{l} (S A D) \cap (A B C D) = A D \\ A B ⊥ A D, A B \subset (A B C D) \\ S A ⊥ A D, S A \subset (S A D) \end{array}\} \Rightarrow$ $((S A D); (A B C D)) = (S A; A B) = \hat{S A B} = 60^{°}$

Ta có: $S B = B D . \tan 60^{°} = 2 a \sqrt{3}$ . Vậy $V = \frac{1}{3} S B . S_{A B C D} = \frac{1}{3} 2 a \sqrt{3} .4 a^{2} = \frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 44:

Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là $1600 π (c m^{2})$ , chiều dài của trống là 1m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu?

A. 425,2 lít

B. 425162 lít

C. 212,6 lít

D. 212581 lít

Xem đáp án

Chọn A

Ta có chọn hệ trục Oxy như hình vẽ

Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn.

có bán kính r có diện tích là $1600 π (c m^{2})$ , nên.

$r^{2} π = 1600 π \Rightarrow r = 40 c m$ .

Ta có: Parabol có đỉnh $I (0; 40)$ và qua $A (50; 30)$ .

Nên có phương trình $y = - \frac{1}{250} x^{2} + 40$ .

Thể tích của trống là.

$V = π \int_{- 50}^{50} {(- \frac{1}{250} x^{2} + 40)}^{2} d x = π . \frac{406000}{3} c m^{3} \approx 425, 2 d m^{3} = 425, 2$ (lít)

Câu 45:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm $M (1; - 3; 4)$ , đường thẳng $d : \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + z - 2 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $Δ$ qua M vuông góc với d và song song với $(P)$ .

A. $Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$

B. $Δ : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{- 2}$

C. $Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$

D. $Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 4}{2}$

Xem đáp án

Chọn C

Đường thẳng $d : \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ có một VTCP $\vec{u} = (3; - 5; - 1)$ .

Mặt phẳng $(P) : 2 x + z - 2 = 0$ có một VTPT $\vec{n} (2; 0; 1)$ .

Đường thẳng $Δ$ có một VTCP $\vec{a} = [\vec{u}, \vec{n}] = - 5 (1; 1; - 2)$ .

Đường thẳng $Δ$ có phương trình $Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$

Câu 46:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình sau

Hàm số $g (x) = 2 f^{3} (x) - 6 f^{2} (x) - 1$ có bao nhiêu điểm cực đại ?

A. 3

B. 4

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Chọn B

$g^{'} (x) = 6 f^{2} (x) f^{'} (x) - 12 f (x) f^{'} (x) = 6 f (x) f^{'} (x) (f (x) - 2)$

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 0 \\ f^{'} (x) = 0 \\ f (x) = 2 \end{array}$

Từ bảng biến thiên của f(x) ta thấy:

+) $f (x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

+) $f (x) = 2$ có ba nghiệm phân biệt khác với ba nghiệm trên.

+) $f^{'} (x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt x=0 và x=3 khác với các nghiệm trên.

Vậy phương trình $g^{'} (x) = 0$ có tất cả 8 nghiệm phân biệt.

Từ bảng biến thiên của hàm số $f (x)$ ta cũng thấy khi $x \to + \infty$ thì

$\{\begin{cases} f (x) \to - \infty \\ f^{'} (x) < 0 \\ f (x) - 2 \to - \infty \end{cases} \Rightarrow g' (x) < 0$

Vậy ta có bảng xét dấu của $g^{'} (x)$ như sau:

Từ bảng xét dấu trên ta thấy hàm số g(x) có 4 điểm cực đại.

Câu 47:

Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn $\log_{3} (x + 2 y) = \log_{2} (x^{2} + y^{2})$ ?

A. 3

B. 2

C. 1

D. vô số

Xem đáp án

Chọn B

Đặt $\log_{3} (x + 2 y) = \log_{2} (x^{2} + y^{2}) = t \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 y = 3^{t} \\ x^{2} + y^{2} = 2^{t} \end{cases}$ (*)

Hệ có nghiệm $\Leftrightarrow$ đường thẳng $Δ : x + 2 y - 3^{t} = 0$ và đường tròn $(C) : x^{2} + y^{2} = {({\sqrt{2}}^{t})}^{2}$ có điểm chung

$\Leftrightarrow d (O, Δ) \leq R \Leftrightarrow \frac{|0 + 0 - 3^{t}|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} \leq {\sqrt{2}}^{t} \Leftrightarrow 3^{t} \leq \sqrt{5} . {\sqrt{2}}^{t} \Leftrightarrow {(\frac{9}{2})}^{t} \leq 5 \Leftrightarrow t \leq \log_{\frac{9}{2}} 5$

Do $x^{2} + y^{2} = 2^{t}$ nên $|y| \leq {\sqrt{2}}^{t} \Rightarrow |y| \leq {\sqrt{2}}^{^{\log_{\frac{9}{2}} 5}} \approx 1, 448967..$ .

Vì $y \in ℤ$ nên $y \in \{- 1; 0; 1\}$ .

Thử lại:

- Với $y = - 1$ , hệ (*) trở thành $\{\begin{cases} x - 1 = 3^{t} \\ x^{2} + 1 = 2^{t} \end{cases} \Rightarrow {(3^{t} + 1)}^{2} + 1 = 2^{t} \Leftrightarrow 9^{t} + {2.3}^{t} - 2^{t} + 2 = 0$ (**)

Nếu $t < 0$ thì $2 - 2^{t} > 0 \Rightarrow 9^{t} + {2.3}^{t} - 2^{t} + 2 > 0$ .

Nếu $t \geq 0 \Rightarrow 9^{t} - 2^{t} \geq 0 \Rightarrow 9^{t} + {2.3}^{t} - 2^{t} + 2 > 0$ .

Vậy (**) vô nghiệm.

- Với y=0 thì hệ (*) trở thành $\{\begin{cases} x = 3^{t} \\ x^{2} = 2^{t} \end{cases} \Rightarrow 9^{t} = 2^{t} \Leftrightarrow {(\frac{9}{2})}^{t} = 1 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow x = 1$ .

- Với y=1 thì hệ (*) trở thành $\{\begin{cases} x + 1 = 3^{t} \\ x^{2} + 1 = 2^{t} \end{cases} \Rightarrow {(3^{t} - 1)}^{2} = 2^{t} - 1 (* * *)$ .

Dễ thấy (***) luôn có ít nhất một nghiệm $t = 0 \Rightarrow x = 0$ .

Vậy có 2 giá trị nguyên của thỏa mãn là $y = 0, y = 1$ .

Câu 48:

Cho hàm số y=f(x). Đồ thị của hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ. Đặt $g (x) = 2 f (x) + x^{2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $g (1) < g (3) < g (- 3)$

B. $g (3) < g (- 3) < g (1)$

C. $g (1) < g (- 3) < g (3)$

D. $g (- 3) < g (3) < g (1)$

Xem đáp án

Chọn A

Ta có $g^{'} (x) = 2 f^{'} (x) + 2 x \Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Rightarrow x \in \{- 3; 1; 3\}$ .

Từ đồ thị của $y = f^{'} (x)$ ta có bảng biến thiên.(Chú ý là hàm $g (x)$ và $g^{'} (x)$ ).

Suy ra $g (3) > g (1)$ .

Kết hợp với bảng biến thiên ta có:

$\begin{array}{l} \int_{- 3}^{1} (- g^{'} (x)) d x > \int_{1}^{3} g^{'} (x) d x \\ \Leftrightarrow \int_{1}^{- 3} g^{'} (x) d x > \int_{1}^{3} g^{'} (x) d x \Leftrightarrow g (- 3) - g (1) > g (3) - g (1) \Leftrightarrow g (- 3) > g (3) \end{array}$ .

Vậy ta có $g (- 3) > g (3) > g (1)$ .

Câu 49:

Tìm giá trị lớn nhất của $P = |z^{2} - z| + |z^{2} + z + 1|$ với z là số phức thỏa mãn $|z| = 1$ .

A. $\sqrt{3}$

B. 3

C. $\frac{13}{4}$

D. 5

Xem đáp án

Chọn C

Đặt $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ . Do $|z| = 1$ nên $a^{2} + b^{2} = 1$ .

Sử dụng công thức: $|u . v| = |u| |v|$ ta có: $|z^{2} - z| = |z| |z - 1| = |z - 1| = \sqrt{{(a - 1)}^{2} + b^{2}} = \sqrt{2 - 2 a}$
$|z^{2} + z + 1| = |{(a + b i)}^{2} + a + b i + 1| = |a^{2} - b^{2} + a + 1 + (2 a b + b) i| = \sqrt{{(a^{2} - b^{2} + a + 1)}^{2} + {(2 a b + b)}^{2}}$ .

$= \sqrt{a^{2} {(2 a + 1)}^{2} + b^{2} {(2 a + 1)}^{2}} = |2 a + 1|$ (vì $a^{2} + b^{2} = 1$ ).

Vậy $P = |2 a + 1| + \sqrt{2 - 2 a}$ .

TH1: $a < - \frac{1}{2}$ .

Suy ra $P = - 2 a - 1 + \sqrt{2 - 2 a} = (2 - 2 a) + \sqrt{2 - 2 a} - 3 \leq 4 + 2 - 3 = 3$ (vì $0 \leq \sqrt{2 - 2 a} \leq 2$ ).

TH2: $a \geq - \frac{1}{2}$ .

Suy ra $P = 2 a + 1 + \sqrt{2 - 2 a} = - (2 - 2 a) + \sqrt{2 - 2 a} + 3 = - {(\sqrt{2 - 2 a} - \frac{1}{2})}^{2} + 3 + \frac{1}{4} \leq \frac{13}{4}$ .

Xảy ra khi $a = \frac{7}{16}$ .

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (1; 2; 7)$ , $B (\frac{- 5}{7}; \frac{- 10}{7}; \frac{13}{7})$ . Gọi là mặt cầu tâm I đi qua hai điểm A, B sao cho OI nhỏ nhất. $M (a; b; c)$ là điểm thuộc $(S)$ , giá trị lớn nhất của biểu thức $T = 2 a - b + 2 c$ là

A. 18

B. 7

C. 156

D. 6

Xem đáp án

Chọn A

Tâm I mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, B nằm trên mặt phẳng trung trực của AB. Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là $(P) : x + 2 y + 3 z - 14 = 0$ .

OI nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (P).

Đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình $\{\begin{cases} x = t \\ y = 2 t \\ z = 3 t \end{cases}$ .

Tọa độ điểm I khi đó ứng với t là nghiệm phương trình

$t + 2.2 t + 3.3 t - 14 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I (1; 2; 3)$ .

Bán kính mặt cầu (S) là $R = I A = 4$ .

Từ $T = 2 a - b + 2 c$ $\Rightarrow 2 a - b + 2 c - T = 0$ , suy ra M thuộc mặt phẳng $(Q) : 2 x - y + 2 z - T = 0$ .

Vì M thuộc mặt cầu nên:

$d (I; (Q)) \leq R$ $\Leftrightarrow \frac{|2.1 - 2 + 2.3 - T|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} \leq 4$ $\Leftrightarrow |6 - T| \leq 12 \Leftrightarrow - 6 \leq T \leq 18$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (30 đề)

[Năm 2022] Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia có lời giải (Đề số 19)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan