17 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 17 câu trắc nghiệm: Ứng dụng hình học của tích phân (có đáp án)

Câu 1:

Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox

A. $V = π \int_{a}^{b} f (x) dx$

B. $V = \int_{a}^{b} f^{2} (x) dx$

C. $V = π \int_{a}^{b} |f (x)| dx$

D. $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) dx$

Xem đáp án

Chọn D

Công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox là

Câu 2:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{3} - x$ và đồ thị hàm số $y = x - x^{2}$

A. $\frac{9}{4}$

B. $\frac{37}{12}$

C. $\frac{81}{12}$

D. 13

Xem đáp án

Tìm hoành độ các giao điểm của hai đồ thị, ta có:

$x^{3} - x = x - x^{2}$ $\Leftrightarrow x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$

Vậy diện tích của hình phẳng tính là

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3:

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = (x - 1) e^{2 x}$ , trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox

A. $V = \frac{π}{2} (e^{4} - 13)$

B. $V = \frac{π}{32} (e^{4} + 4)$

C. $V = \frac{π}{32} (e^{4} - 11)$

D. $V = \frac{π}{32} (e^{4} - 5)$

Xem đáp án

Tìm hoành độ giao điểm của hai dồ thị, ta có:

$(x - 1) e^{2 x} = 0$ $\Rightarrow$ x = 1

Vậy thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh Ox được tính bởi

Đặt: $u = (x - 1)^{2}, d v = e^{4 x} d x$ . Ta có du = 2(x -1)dx và $v = \frac{e^{4 x}}{4}$ .

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được

Đặt $u_{1} = x - 1, d v_{1} = e^{4 x} d x$ , ta có $d u_{1} = d x$ , $v_{1} = \frac{e^{4 x}}{4}$

Vậy chọn đáp án A.

Câu 4:

Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người). Có bao nhiêu trẻ được sinh trong khoảng thời gian này ( tức là trong 10 năm đầu tiên sau chiến tranh)?

A. 100 triệu

B. 120 triệu

C. 150 triệu

D. 250 triệu

Xem đáp án

Để tìm số trẻ mới sinh, chúng ta sẽ tính tích phân tỉ lệ sinh b(t) trên khoảng thời gian 10 năm đầu tiên sau chiến tranh

Vậy số trẻ được sinh cần tìm là 150 triệu.

Chọn đáp án C.

Câu 5:

Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người). Tìm khoảng thời gian T sao cho số lượng trẻ được sinh ra là 14 triệu kể từ khi kết thức chiến tranh.

A. 1 năm

B. 2 năm

C. 3 năm

D. 4 năm

Xem đáp án

Số lượng trẻ mới sinh trong khoảng thời T bằng:

Vậy chọn đáp án B.

Câu 6:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^{2} - x + 3$ và $y = 2 x + 1$ là:

A. $\frac{3}{2}$

B. $- \frac{3}{2}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $- \frac{1}{6}$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 7:

Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng ( phần gạch sọc ) là:

A. $\int_{- 3}^{4} f (x) d x$

B. $\int_{- 3}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{4} f (x) d x$

C. $\int_{- 3}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{4} [- f (x)] d x$

D. $\int_{- 3}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{4} f (x) d x$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 8:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x + \frac{1}{x}$ , trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = -2 là:

A. $\ln 2 + \frac{3}{2}$

B. $\ln 2 + \frac{11}{3}$

C. $\ln 2 + \frac{19}{3}$

D. $\ln 2 + \frac{5}{2}$

Xem đáp án

Chọn A

Diện tích giới hạn được tính bởi

Câu 9:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = \sqrt{x}$ và y = 6 - x và trục tung là

A. $\frac{22}{3}$

B. $\frac{11}{3}$

C. $\frac{19}{3}$

D. $\frac{25}{3}$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 10:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = e^{x} - e^{- x}$ , trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = 1.

A. $e + \frac{1}{e} - 2$

B. 0

C. $2 (e + \frac{1}{e} - 2)$

D. $e + \frac{1}{e}$

Xem đáp án

Chọn C

Diện tích hình phẳng được tính bởi

Câu 11:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x} - x$ và trục hoành.

A. 1

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{5}{6}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem đáp án

Chọn B

Xét phương trình

Khi đó diện tích hình phẳng được tính bởi

Câu 12:

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây xấp xỉ bằng:

A. 2,65cm.

B. 2,66cm.

C. 2,67cm.

D. 2,68cm.

Xem đáp án

Chọn B

Mức nước trong bồn tại giây thứ t bằng:

Khi đó h(6) ≈ 2,66 cm.

Câu 13:

Vận tốc của một vật chuyển động là $v (t) = \frac{1}{2 π} + \frac{\sin (π t)}{π}$ (m/s). Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 1,5 giây xấp xỉ bằng:

A. 0,33m

B. 0,34m

C. 0,35m

D. 0,36m

Xem đáp án

Chọn B

Quãng đường vật di chuyển sau thời gian 1,5 giây bằng

Câu 14:

Thể tích phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và $2 \sqrt{(9 - x^{2})}$

A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

B. 18

C. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{3 \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Chọn B