20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Hàm số mũ. Hàm số Logarit có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho hàm số $y = e^{- x} . \sin x$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $y' + 2 y'' - 2 y = 0$

B. $y'' + 2 y' + 2 y = 0$

C. $y'' - 2 y' - 2 y = 0$

D. $y' - 2 y'' + 2 y = 0$

Xem đáp án

Ta có:

$y' = - e^{- x} . \sin x + e^{- x} . \cos x = e^{- x} (\cos x - \sin x)$

Lại có:

$y'' = - e^{- x} (\cos x - \sin x) + e^{- x} . (- \sin x - \cos x) = - 2 e^{- x} . \cos x$

Ta thấy

$y'' + 2 y' + 2 y = - 2 e^{- x} . \cos x + 2 e^{- x} . (\cos x - \sin x) + 2 e^{- x} . \sin x = 0$

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 2:

Cho giới hạn $I = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} - e^{2 x}}{x}$ , chọn mệnh đề đúng:

A. $I^{2} + 3 I = 2$

B. $I^{3} + I^{2} - 2 = 0$

C. $\frac{I - 1}{I + 1} = 1$

D. $3 I - 2 = 2 I^{2}$

Xem đáp án

Ta có:

$I = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} - e^{2 x}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(e^{3 x} - 1) - (e^{2 x} - 1)}{x} = \lim_{x \to \infty} [3 . \frac{e^{3 x} - 1}{3 x} - 2 . \frac{e^{2 x} - 1}{2 x}] = 3.1 - 2.1 = 1$

Do đó, thay I = 1 vào các đáp án ta được đáp án B.

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 3:

Cho a, b là hai số thực thỏa mãn $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}} > a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ và $\log_{b} \frac{3}{4} < \log_{b} \frac{4}{5}$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 0<a<1, 0<b<1

B. 0<a<1<b

C. 0<b<1<a

D. a>1, b>1

Xem đáp án

Ta có: $\frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{\sqrt{2}}{2}$ mà $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}} > a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Suy ra hàm đặc trưng $y = a^{x}$ nghịch biến nên 0<a<1

Vì $\frac{3}{4} < \frac{4}{5}$ và $\log_{b} \frac{3}{4} < \log_{b} \frac{4}{5}$ nên b > 1.

Vậy 0<a<1 và b > 1 hay 0<a<1<b

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = 2^{x} . 7^{x^{2}}$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. $f (x) < 1 \Leftrightarrow x + x^{2} \log_{2} 7 < 0$

B. $f (x) < 1 \Leftrightarrow x \ln 2 + x^{2} \ln 7 < 0$

C. $f (x) < 1 \Leftrightarrow x \log_{7} 2 + x^{2} < 0$

D. $f (x) < 1 \Leftrightarrow 1 + x \log_{2} 7 < 0$

Xem đáp án

$f (x) < 1 \Leftrightarrow 2^{x} . 7^{x^{2}} < 1 \Leftrightarrow 7^{x^{2}} < 2^{- x} \Leftrightarrow x^{2} . \ln 7 < - x \ln 2 \Leftrightarrow x \ln 2 + x^{2} \ln 7 < 0 \Leftrightarrow x + x^{2} \log_{2} 7 < 0 \Leftrightarrow x \log_{7} 2 + x^{2} < 0$

Đối chiếu các đáp án thấy câu D sai.

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 5:

Cho các số thực dương a, b khác 1. Biết rằng đường thẳng y = 2 cắt đồ thị các hàm số $y = a^{x}; y = b^{x}$ và trục tung lần lượt tại A, B, C nằm giữa A và B, và AC = 2BC. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $b = \frac{a}{2}$

B. b=2a

C. $b = a^{- 2}$

D. $b = a^{2}$

Xem đáp án

Ta có: C(0;2)

$a^{x} = 2 \Rightarrow x = \log_{a} 2 \Rightarrow A (\log_{a} 2; 2) b^{x} = 2 \Rightarrow x = \log_{b} 2 \Rightarrow B (\log_{b} 2; 2)$

Vì C nằm giữa A và B và:

$A C = 2 B C \Leftrightarrow \vec{A C} = - 2 \vec{B C} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - \log_{a} 2 = 2 . \log_{b} 2 \\ 0 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{1}{\log_{2} a} = 2 . \frac{1}{\log_{2} b} \Leftrightarrow \log_{2} b = - 2 \log_{2} a \Leftrightarrow \log_{2} b = \log_{2} a^{- 2} \Leftrightarrow b = a^{- 2}$

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 6:

Gọi m là GTNN của hàm số $f (x) = e^{x^{3} - 3 x + 3}$ trên đoạn [0;2]. Chọn kết luận đúng:

A. m=e

B. $m = e^{2}$

C. $m = e^{3}$

D. $m = e^{5}$

Xem đáp án

Ta có:

$f' (x) = (3 x^{2} - 3) e^{x^{3} - 3 x + 3} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \in [0; 2] \\ x = - 1 \notin [0; 2] \end{matrix}$

$f (0) = e^{3}; f (1) = e; f (2) = e^{5}$ nên $\underset{[0; 2]}{m i n} f (x) = f (1) = e$ và $\underset{[0; 2]}{m a x} f (x) = f (2) = e^{5}$

Vậy m=e

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 7:

Cho hàm số $y = x . e^{- x}$ . Chọn kết luận đúng:

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1

C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 1

Xem đáp án

Hàm số xác định và liên tục trên R.

Ta có:

$y' = e^{- x} + x . (- e^{- x}) = e^{- x} (1 - x) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Với x > 1 thì y’ < 0 và với x < 1 thì y’ > 0 nên y’ đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x = 1.

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 8:

Gọi m, M lần lượt là GTNN, GTLN của hàm số $y = e^{2 - 3 x}$ trên đoạn [0;2]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. m+M=1

B. M-m=e

C. $M . m = \frac{1}{e^{2}}$

D. $\frac{M}{m} = e^{2}$

Xem đáp án

Ta có: $f' (x) = - 3 e^{2 - 3 x} < 0, \forall x \in R$

Do đó hàm số f(x) liên tục và nghịch biến trên [0;2]

Do đó

$m = \underset{[0; 2]}{m i n} f (x) = f (2) = \frac{1}{e^{4}} M = \underset{[0; 2]}{m a x} f (x) = f (0) = e^{2} \Rightarrow M . m = \frac{1}{e^{2}}$

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 9:

Cho hàm số $y = e^{2 x} - x$ . Chọn khẳng định đúng.

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \ln \sqrt{2}; + \infty)$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - \ln 2)$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; - \ln 2 \sqrt{2})$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \ln 2; + \infty)$

Xem đáp án

TXĐ: D = R

Ta có:

$y' = 2 e^{2 x} - 1 = 0 \Leftrightarrow e^{2 x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 x = \ln \frac{1}{2} = - \ln 2 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2} \ln 2 = - \ln \sqrt{2}$

BBT:

Dựa bào BBT ta thấy hàm số đồng biến trên $(- \ln \sqrt{2}; + \infty)$

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 10:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $2^{x} + 2^{y} = 4$ . Tìm giá trị lớn nhất $P_{m i n}$ của biểu thức $P = (2 x^{2} + y) (2 y^{2} + x) + 9 x y$

A. 18

B. 12

C. 27

D. $\frac{27}{2}$

Xem đáp án

Ta có phương trình $2^{x} - 2 = 2 - 2^{y}$

Đặt

$\{\begin{cases} f (x) = 2^{x} - 2 \\ g (y) = 2 - 2^{y} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} f' (x) = 2^{x} \ln 2 > 0, \forall x \\ g' (y) = - 2^{y} \ln 2 < 0, \forall y \end{cases}$

Suy ra hàm số f(x) luôn đồng biến với mọi x và hàm số g(y) luôn nghịch biến với mọi y.

$\Rightarrow$ Phương trình có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.

Lại có:

$\{\begin{cases} f (1) = 0 \\ g (1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 1 \Rightarrow P_{m i n} \Leftrightarrow x = y = 1 \Rightarrow P = 18$

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 11:

Cho hàm số $y = e^{c o s x}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. y'.cosx+y.sinx+y''=0

B. y'.sinx+y.cosx+y''=0

C. y'.sinx-y''.cosx+y'=0

D. y'.cosx-y.sinx-y''=0

Xem đáp án

Ta có:

$\{\begin{cases} y' = - \sin x . e^{\cos x} \\ y'' = \sin^{2} x . e^{\cos x} - \cos x . e^{\cos x} \end{cases}$

Thay lần lượt vào các đáp án thì ta được đáp án B đúng.

Thật vậy:

Ta có

$y' . \sin x + y . \cos x + y'' = - \sin x . e^{\cos x} . \sin x + e^{\cos x} . \cos x + \sin^{2} x . e^{\cos x} - \cos x . e^{\cos x} = 0$

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 12:

Cho hàm số $f (x) = 4 \ln (\sqrt{x - 4} + \sqrt{x}) + \sqrt{x^{2} - 4 x}$ với $x \geq 4$ . Tính giá trị của biểu thức $P = f (4) - {[f' (8)]}^{2} . \ln 2$

A. P=2ln2

B. P=4ln2

C. P=6ln2

D. P=8ln2

Xem đáp án

Ta có:

$f' (x) = 4 \frac{(\sqrt{x - 4} + \sqrt{x})'}{\sqrt{x - 4} + \sqrt{x}} + \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4 x}}$

Khi đó: $f' (8) = \sqrt{2}$ và f(4)=4ln2

Vậy $P = f (4) - {[f' (8)]}^{2} . \ln 2 = 4 \ln 2 - {(\sqrt{2})}^{2} . \ln 2 = 2 \ln 2$

Đáp án cần chọn là A.

Câu 13:

Cho hàm số $y = \frac{1}{x + 1 + \ln x}$ với x > 0. Khi đó $- \frac{y'}{y^{2}}$ bằng

A. $\frac{x + 1}{1 + x + \ln x}$

B. $\frac{x}{1 + x + \ln x}$

C. $1 + \frac{1}{x}$

D. $\frac{x}{x + 1}$

Xem đáp án

Ta có:

$y = \frac{1}{x + 1 + \ln x} \Rightarrow y' = \frac{- (1 + \frac{1}{x})}{{(x + 1 + \ln x)}^{2}}$

Khi đó

$- \frac{y'}{y^{2}} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{{(x + 1 + \ln x)}^{2}} = 1 + \frac{1}{x}$

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 14:

Cho hàm số $f (x) = \ln (e^{x} + πm)$ thỏa mãn $f' (\ln 3) = 3$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $m \in (- 1; 0)$

B. $m \in (1; 3)$

C. $m \in (0; 1)$

D. $m \in (- 2; - 1)$

Xem đáp án

$f (x) = \ln (e^{x} + πm) \Rightarrow f' (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + πm} f' (\ln 3) = 3 \Leftrightarrow \frac{3}{3 + πm} = 3 \Leftrightarrow m = - \frac{2}{π} \approx - 0, 64 \in (- 1; 0)$

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 15:

Cho các hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. b>c>a

B. c>a>b

C. a>b>c

D. a>c>b

Xem đáp án

Nhận xét:

Hàm số $y = \log_{a} x, y = \log_{c} x$ đồng biến trên $(0; + \infty) \Rightarrow a; c > 1$

Hàm số $y = \log_{b} x$ nghịch biến trên $(0; + \infty) \Rightarrow b < 1$

Lấy $x_{0} > 1$ (như hình vẽ). ta có:

$\log_{a} x_{0} > \log_{c} x_{0} \Rightarrow a < c \Rightarrow b < 1 < a < c \Rightarrow b < a < c$

Đáp án cần chọn là: B.

Câu 16:

Cho 3 số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số $y = a^{x}, y = \log_{b} x, y = \log_{c} x$ được cho như trong hình vẽ

Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. c<a<b

B. c<b<a

C. b<a<c

D. b<c<a

Xem đáp án

Từ đồ thị các hàm số đã cho ta thấy:

Hàm số $y = a^{x}$ luôn đồng biến trên R nên a > 1.

Hàm số $y = \log_{b} x, y = \log_{c} x$ luôn nghịch biến trên $(0; + \infty)$ nên 0<b, c<1. Mặt khác, với mọi giá trị của x trong khoảng $(1; + \infty)$ thì $\log_{b} x > \log_{c} x$ nên b < c.

Do đó $0 < b < c < 1 < a \Leftrightarrow b < c < a$

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 17:

Hàm số $y = \log_{3} (x^{2} - m x + 2)$ có tập xác định là R khi:

A. $- 2 \sqrt{2} \leq m \leq 2$

B. $- 2 \leq m \leq 2$

C. $- 2 \leq m \leq 2 \sqrt{2}$

D. $- 2 \sqrt{2} \leq m \leq 2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Hàm số $y = \log_{3} (x^{2} - m x + 2)$ có tập xác định là R khi

$x^{2} - m x + 2 > 0 \forall x \in R \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 > 0 \\ ∆ = m^{2} - 8 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 2 \sqrt{2} \leq m \leq 2 \sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 18:

Biết rằng hàm số $f (x) = \sqrt{x} \ln x$ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [1;e] tại $x = x_{0}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $x_{0} \in [1; \frac{3}{e}]$

B. $x_{0} \in (\frac{3}{e}; \sqrt{e})$

C. $x_{0} \in [\sqrt{e}; 2]$

D. $x_{0} \in (2; e]$

Xem đáp án

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn $[1; e]$

Đạo hàm

$f' (x) = (\sqrt{x})' . \ln x + \sqrt{x} (\ln x)' = \frac{\ln x}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x + 2}{2 \sqrt{x}}$

Suy ra

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow \ln x + 2 = 0 \Leftrightarrow \ln x = - 2 \Leftrightarrow x = e^{- 2} = \frac{1}{e^{2}} \in [1; e]$

Ta có: $\{\begin{cases} f (1) = 0 \\ f (e) = \sqrt{e} \end{cases} \Rightarrow \underset{[1; e]}{m a x} f (x) = f (e) = \sqrt{e}$

Do đó $x_{0} = e$

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 19:

Hàm số $y = \log_{a} x$ và $y = \log_{b} x$ có đồ thị như hình vẽ bên:

Đường thẳng y = 3 cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ . Biết rằng $x_{2} = 2 x_{1}$ , giá trị của $\frac{a}{b}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $2$

D. $\sqrt[3]{2}$

Xem đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $x_{1}$ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm $\log_{b} x_{1} = 3 \Leftrightarrow x_{1} = b^{3}$

Và $x_{2}$ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm $\log_{a} x_{2} = 3 \Leftrightarrow x_{2} = a^{3}$

Theo đề bài ta có:

$x_{2} = 2 x_{1} \Rightarrow a^{3} = 2 b^{3} \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{b^{3}} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \sqrt[3]{2}$

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 20:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số: $y = \log_{3} (9^{x} - 3^{x} + m)$ có tập xác định là R.

A. $m > \frac{1}{4}$

B. m>0

C. $m < \frac{1}{4}$

D. $m \geq \frac{1}{4}$

Xem đáp án

ĐKXĐ: $9^{x} - 3^{x} + m > 0 \Leftrightarrow m > - 9^{x} + 3^{x}$

Để hàm số: $y = \log_{3} (9^{x} - 3^{x} + m)$ có tập xác định là R thì $m > - 9^{x} + 3^{x}, \forall x \in R (*)$

Đặt $t = 3^{x}, t > 0$ , xét hàm số

$f (t) = - t^{2} + t, (t > 0), f' (t) = - 2 t + 1, f' (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$

BBT:

Khi đó (*) $\Leftrightarrow m > \frac{1}{4}$

Đáp án cần chọn là: A.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Hàm số mũ. Hàm số Logarit có đáp án (Vận dụng)

Trắc nghiệm Hàm số mũ. Hàm số Logarit có đáp án (Vận dụng)

Danh sách câu hỏi

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương