20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Phương trình mũ và phương trình logarit có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Biết rằng phương trình $\log_{3} (3^{x + 1} - 1) = 2 x + \log_{\frac{1}{3}} 2$ có hai nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ . Hãy tính tổng $S = 27^{x_{1}} + 27^{x_{2}}$

A. S=180

B. 45

C. S=9

D. S=252

Xem đáp án

Điều kiện:

Phương trình:

Ta có:

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 2:

Tìm m để phương trình $4^{x} - 2^{x + 3} + 3 = m$ có đúng 2 nghiệm $x \in (1; 3)$

A. -13<m<-9

B. 3<m<9

C. -9<m<3

D. -13<m<3

Xem đáp án

Đặt

Xét hàm số trên (2;8) có:

BBT:

Căn cứ BBT:

Phương trình có đúng 2 nghiệm

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 3:

Tìm giá trị của tham số m để phương trình $9^{x} - m . 3^{x + 2} + 9 m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}; x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} = 3$

A. m=4

B. m=1

C. $m = \frac{5}{2}$

D. m=3

Xem đáp án

Phương trình tương đương với: $3^{2 x} - 9 m . 3^{x} + 9 m = 0$ (*)

Đặt $3^{x} = a$ với a > 0 phương trình thành: $a^{2} - 9 m . a + 9 m = 0$

Giả sử phương trình có 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ thì $3^{x_{1}}; 3^{x_{2}}$ lần lượt là nghiệm của (*)

Suy ra:

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 4:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $9^{1 - x} + 2 (m - 1) 3^{1 - x} + 1 = 0$

A. m>1

B. m<-1

C. m<0

D. -1<m<0

Xem đáp án

Thử với m = - 1 ta được phương trình:

phải có 2 nghiệm $3^{1 - x}$ đều dương và 2 nghiệm đó là $2 - \sqrt{3}$ và $2 + \sqrt{3}$

Vậy m = - 1 thỏa mãn nên ta loại được A, B, D

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 5:

Biết phương trình $9^{x} - 2^{x + \frac{1}{2}} = 2^{x + \frac{3}{2}} - 3^{2 x - 1}$ có nghiệm là a. Tính giá trị của biểu thức $P = a + \frac{1}{2} \log_{\frac{9}{2}} 2$

A. $P = \frac{1}{2}$

B. $P = 1 - \log_{\frac{9}{2}} 2$

C. P=1

D. $P = 1 - \log_{\frac{9}{2}} 2$

Xem đáp án

Phương trình trên tương đương với

Suy ra

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 6:

Biết rằng phương trình $2^{x^{2} - 1} = 3^{x + 1}$ có hai nghiệm là a và b. Khi đó a+b+ab có giá trị bằng

A. $- 1 + 2 \log_{2} 3$

B. $1 + \log_{2} 3$

C. -1

D. $1 + 2 \log_{2} 3$

Xem đáp án

Lấy ln 2 vế ta được:

Nếu

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 7:

Biết rằng phương trình $3^{x^{2} + 1} . 25^{x - 1} = \frac{3}{25}$ có đúng hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ . Tính giá trị của $P = \sqrt{3^{x_{1}} + 3^{x_{2}}}$

A. $P = \frac{\sqrt{26}}{5}$

B. $P = \sqrt{26}$

C. P=26

D. $P = \frac{26}{25}$

Xem đáp án

Phương trình

Lấy logarit cơ số 3 hai vế của (*), ta được

Suy ra

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 8:

Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình $5^{\sin^{2} x} + 5^{\cos^{2} x} = 2 \sqrt{5}$ trên đoạn $[0; 2 π]$

A. $T = π$

B. $T = \frac{3 π}{4}$

C. $T = 2 π$

D. $T = 4 π$

Xem đáp án

Ta có:

Do

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 9:

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $2^{x + \frac{1}{4 x}} + 2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} = 4$ là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Điều kiện: $x \neq 0$

Với x < 0 ta có:

=>Phương trình không có nghiệm x < 0.

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (không xảy ra)

Vậy $2^{x + \frac{1}{4 x}} + 2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}} > 4$ nên phương trình vô nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 10:

Tìm giá trị m để phương trình $2^{|x - 1| + 1} + 2^{|x - 1|} + m = 0$ có nghiệm duy nhất

A. m=3

B. $m = \frac{1}{8}$

C. m=-3

D. m=1

Xem đáp án

Đặt |x-1|=a khi đó phương trình trở thành $2^{x + 1} + 2^{x} + m = 0$ (1)

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì pt (1) bắt buộc phải có nghiệm duy nhất a = 0 (vì nếu a > 0 thì sẽ tồn tại 2 giá trị của x)

Nên $2^{1} + 2^{0} + m = 0 \Rightarrow m = - 3$

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 11:

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình $2 \log_{2} |x| + \log_{2} |x + 3| = m$ có 3 nghiệm thực phân biệt:

A. $m \in (0; 2)$

B. $m \in \{0; 2\}$

C. $m \in (- \infty; 2)$

D. $m \in \{2\}$

Xem đáp án

TXĐ: D=R

Xét hàm ta có:

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 12:

Cho $x > 0; x \neq 1$ thỏa mãn biểu thức $\frac{1}{\log_{2} x} + \frac{1}{\log_{3} x} + . . . + \frac{1}{\log_{2017 x}} = M$ . Khi đó x bằng:

A. $x = \sqrt[M]{2017!} - 1$

B. $x = \sqrt[M]{2018!}$

C. $x = \sqrt[M]{2016!}$

D. $x = \sqrt[M]{2017!}$

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 13:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là các nghiệm của phương trình ${(\log_{\frac{1}{3}} x)}^{2} - (\sqrt{3} - 1) \log_{3} x + \sqrt{3} = 0$ . Khi đó tích $x_{1} . x_{2}$ bằng:

A. $3^{\sqrt{3} + 1}$

B. $3^{- \sqrt{3}}$

C. 3

D. $3^{\sqrt{3}}$

Xem đáp án

điều kiện của phương trình là x > 0.

Đặt $t = \log_{3} x$ , phương trình trở thành

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 14:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\log_{2}^{2} + \log_{2} x + m = 0$ có nghiệm $x \in (0; 1)$

A. $m \geq \frac{1}{4}$

B. $m \leq 1$

C. $m \leq \frac{1}{4}$

D. $m \geq 1$

Xem đáp án

Đặt $t = \log_{2} x$ , với

Khi đó phương trình trở thành với (*)

Xét hàm số ta có:

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy (*) $\Leftrightarrow m \leq \frac{1}{4}$

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 15:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $\log_{3}^{2} x - (m + 2) \log_{3} x + 3 m - 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} . x_{2} = 27$

A. m=-2

B. m=-1

C. m=1

D. m=2

Xem đáp án

ĐK: x > 0

Đặt $t = \log_{3} x$ , khi đó phương trình trở thành (*)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt

Ta có:

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: C.

Câu 16:

Biết a, b là các số thực sao cho $x^{3} + y^{3} = a . 10^{3 x} + b . 10^{2 x}$ , đồng thời x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $\log (x + y) = z$ và $\log (x^{2} + y^{2}) = z + 1$ . Giá trị của $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$ thuộc khoảng:

A. (1;2)

B. (2;3)

C. (3;4)

D. (4;5)

Xem đáp án

Theo bài ra ta có:

Khi đó ta có:

Đồng nhất hệ số ta có:

Vậy

Đáp án cần chọn là: D.

Câu 17:

Cho phương trình $\log_{4} (x^{2} - 4 x + 4) + \log_{16} {(x + 4)}^{4} - m = 0$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

A. $m < 2 \log_{2} 3$

B. $m > - 2 \log_{2} 3$

C. $m \in \emptyset$

D. $- 2 \log_{2} 3 < m < 2 \log_{2} 3$

Xem đáp án

Điều kiện $x \neq 2, x \neq - 4$

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = |x^{2} + 2 x - 8|$ và đường thẳng $y = 2^{m}$

Quan sát đồ thị hàm số bên, ta thấy, để đồ thị hàm số $y = |x^{2} + 2 x - 8|$ cắt đường thẳng $y = 2^{m}$ tại 4 điểm phân biệt thì

Đáp án cần chọn là: A.

Câu 18:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\log_{2} x - \log_{2} (x - 2) = m$ có nghiệm

A. $1 \leq m < + \infty$

B. $1 < m < + \infty$

C. $0 \leq m < + \infty$

D. $0 < m < + \infty$

Xem đáp án

Phương trình đã cho tương đương với

Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $y = \log_{2} f (x)$ với $f (x) = \frac{x}{x - 2}$ trên khoảng $(2; + \infty)$