Đáp án B

Đáp án C

Từ giả thiết ta có: SA = 2a = r; AB = a < r và $AC = a\sqrt{2} < r.$

Đáp án D

Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng với mặt cầu ta có đáp án đúng là D.

Đáp án A

Từ vị trí tương đối của một đường thẳng và mặt cầu ta có đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) khi và chỉ khi đường thẳng d tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu (S).

Đáp án D

Ta có mặt cầu S(A;r) tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) khi và chỉ khi r = d(A; (SBC)).

Hạ AH ⊥ SB tại H. Do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) , suy ra BC ⊥ AH.

Mặt khác AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) hay d(A; (SBC)) = AH Xét tam giác vuông SAB ta có:

Đáp án C

Ta có mặt cầu S(A;r) cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a khi và chỉ khi 

Hạ AK ⊥ BD tại K, hạ AH ⊥ SK tại H.

Do BD ⊥ AK và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK), suy ra BD ⊥ AH.

Mặt khác AH ⊥ SK nên ta có AH ⊥ (SBDB) hay d(A; (SBD)) = AH.

Xét tam giác vuông SAK và tam giác vuông ABD ta có:

Khi đó ta có:

Đáp án B

Ta có mặt cầu S(A ;r) tiếp xúc với đường thẳng SC khi và chỉ khi ta có r = d(A; SC).

Xét tam giác vuông ABC ta có AC = a$\sqrt{2}$. Hạ AH ⊥ SC tại H. Xét tam giác vuông SAC ta có:

Đáp án C

Do (SAB) ⊥ (ABCD) và (SAD) ⊥ (ABCD) ta có SA ⊥ (ABCD). Theo định lí ba đường vuông góc ta có BC ⊥ SB.

Hạ BH ⊥ SC tại H. Xét tam giác vuông SBC ta có:

Ta có mặt cầu S(B;r) cắt đường thẳng SC theo một dây cung có độ dài 2a khi và chỉ khi ta có

Đáp án B

Hình hộp chữ nhật đựng được hai quả cầu bán kính 5cm thì độ dài các cạnh ít nhất là 10cm, 10cm, 20cm. Khi đó ta có: S_tp = 2 x 10202 + 4 x 10 x 20 = 1000(cm2m2).

Đáp án D

Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp đó có đáy là một đa giác nội tiếp được đường tròn nên mệnh đề A và B đúng. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nên hình chóp đó có đáy nội tiếp được đường tròn và do đó đáp án C đúng.

Đáp án D

Đáp án C

Theo định lí ba đường vuông góc ta có tam giác SBC, SDC lần lượt vuông tại B, D. Gọi I là trung điểm của SC. Từ các tam giác SAC, SBC, SDC vuông ta có:

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Đáp án C

Ta có:

Ta nhận thấy tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương chính là tâm của hình lập phương đó. Do đó I chính là trung điểm của AC’ và mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính là 

Đáp án D

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'.

Gọi G, G; lần lượt là tâm của hai đáy ABC và A'B'C'.

Ta có GG' chính là trục của các tam giác ABC và A'B'C' .

Gọi O là trung điểm của GG' thì O cách đều 6 đỉnh của hình lăng trụ

nên là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Bán kính mặt cầu là R = OA.

Xét tam giác OAG vuông tại G, ta có:

Đáp án C

Gọi S(I; r) là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với a.

Ta có diện tích của mặt cầu là: S = 4πr³ nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi r đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi tiếp điểm của đường thẳng a và mặt cầu là H và hình chiếu vuông góc hạ từ A lên đường thẳng A là A’. Khi đó ta có:

2r = IA + IH ≥ AH ≥ AA' => r ≥ $\frac{AA\text{'}}{2}$ = 2(cm)

Vậy r đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2cm khi I là trung điểm của AA’.

Khi đó mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất là S = 4π2² = 16π(cm²).

Đáp án C

Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng và mặt cầu ta có mặt phẳng (P) có điểm chung với mặt cầu (S) khi và chỉ khi mặt phẳng (P) tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu (S).

Đáp án C

Đáp án C

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC.

Nên: SO⊥(ABC)

Ta có: $\widehat{SAO}\mathrm{ }={30}^o\Rightarrow AO=a\sqrt{3}\mathrm{ }\Rightarrow AB=AC=3a$

Đáp án A

Gọi S(A;r) là mặt cầu tâm A cắt đường thẳng SB theo một dây có độ dài a, khi đó ta có:

Gọi H là trung điểm của SB. Do tam giác SAB đều nên AH ⊥ SB hay AH là khoảng cách từ A đến SB. Xét tam giác đều SAB ta có:

Đáp án C

Bán kính mặt cầu được tạo thành khi quay đường tròn (C) quanh trục AH là

Đáp án A

Đáp án C

Đáp án D

Theo định lí ba đường vuông góc ta có hai tam giác SBC và SDC lần lượt vuông góc tại B, D. Gọi I là trung điểm của SC thì ta có: IA = IB = ID = $\frac{SC}{2}$ = IS = IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là 

Đáp án C

Đáp án A

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó SO ⊥ (ABCD) và SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Từ giả thiết ta có:

$\Rightarrow SO = SA.\sin {60}^o = a\sqrt{3}$

Trong mặt phẳng (SAO), đường trung trực của SA cắt SO tại I. Khi đó I cách đều các đỉnh của hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Gọi M là trung điểm của SA, khi đó ta có:

Đáp án B

Gọi M,N lần lượt là trung điểm SC, AB

Vì ΔSAB vuông góc tại S nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔSAB .

Trong mặt phẳng (MSN) dựng hình chữ nhật MSNO thì ON là trục đường tròn ngoại tiếp ΔSAB và OM là đường trung trực của đoạn SC trong mặt phẳng (OSC)

Đáp án B

Trong tam giác vuông ABC ta có

$\Rightarrow$AA' = AB.tan60^o = a$\sqrt{3}$

Gọi I là tâm của hình chữ nhật BCC’B’ và M là trung điểm của BC. Do tam giác ABC vuông tại A nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và do đó IM là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy ABC và I cách đều B, B’ nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Khi đó ta có:

Đáp án D

Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, d là đường thẳng qua O và song song SH thì d ⊥ (ABCD) hay d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Trong mặt phẳng (SAB) từ G kẻ đường thẳng vuông góc với (SAB) cắt d tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R = IS.

Đáp án A

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

Gọi H là tâm đáy thì SH là trục của hình vuông.

Gọi M là trung điểm của ABCD .

Trong mp (SDH) kẻ trung trực của đoạn SD cắt SH tại O

Thì OS = OA = OC = OD

Nên O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .

Bán kính mặt cầu là R = SO.

Ta có:

Đáp án C

Mặt cầu S(I,r) tiếp xúc với AB, SC lần lượt tại T, K. Khi đó ta có:

2r = IT + IK ≥ d(AB; SC) => r ≥ $\frac{d(AB, SC)}{2}$

Dựng hình bình hành ABDC, khi đó ta có ABDC là hình vuông cạnh a. Hạ BH vuông góc với SD tại H. Khi đó ta có BH ⊥ (SCD).

Suy ra: d(SC; AB) = d(AB, (SCD)) = d(B; (SCD))