6 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Phép chia số phức (có đáp án)

Câu 1:

Cho ba số phức $z_{1} = 4 - 3 i, z_{2} = (1 + 2 i) i$ và $z_{3} = \frac{1 - i}{1 + i}$ có điểm biểu diễn trên mặt phẳng Oxy lần lượt là A, B, C. Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn là điểm D thỏa ABCD là hình bình hành?

A. $6 - 5 i$ .

B. $2 - 5 i$ .

C. $4 - 2 i$ .

D. $- 6 - 4 i$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Cho số phức z thỏa mãn $|z^{2} - 2 z + 5| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 i - 1)|$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = |w|$ với $w = z - 2 + 2 i$ .

A. $P_{m i n} = \frac{3}{2}$ .

B. $P_{m i n} = 2$ .

C. $P_{m i n} = 1$ .

D. $P_{m i n} = \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $|z^{2} - 2 z + 5| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 i - 1)|$

$\Leftrightarrow |{(z - 1)}^{2} + 4| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 i - 1)| \Leftrightarrow |{(z - 1)}^{2} - {(2 i)}^{2}| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 i - 1)| \Leftrightarrow |(z - 1 + 2 i) (z - 1 - 2 i)| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 i - 1)| \Leftrightarrow \begin{array}{rcl} z - 1 + 2 i & = & 0 (1) \\ |(z - 1 - 2 i)| & = & |(z + 3 i - 1)| (2) \end{array}$

Từ (1) $\Rightarrow z = 1 - 2 i \Rightarrow w = - 1 \Rightarrow P = |w| = 1$ .

Xét (2). Gọi $z = x + y i (x, y \in R)$

Ta có:

$|(z - 1 - 2 i)| = |(z + 3 i - 1)| \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} \Leftrightarrow y = \frac{- 1}{2}$

Khi đó $w = x - \frac{1}{2} i - 2 + 2 i = (x - 2) + \frac{3}{2} i \Rightarrow P = |w| = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} \geq \frac{3}{2} > 1$

Vậy $P_{m i n} = 1$ .

Câu 3:

Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$ , biết rằng z thỏa mãn điều kiện $|\frac{4 + 2 i}{1 - i} z - 1| = 1$ .

A. $\sqrt{2}$ .

B. 0.

C. -1.

D. $\sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: B.

Có: $\frac{4 + 2 i}{1 - i} = 1 + 3 i$ . Đặt $z = x + y i$ thì:

$\frac{4 + 2 i}{1 - i} z - 1 = (1 + 3 i) (x + y i) - 1 = (x - 3 y - 1) + (3 x + y) i$

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành:

${(x - 3 y - 1)}^{2} + {(3 x + y)}^{2} = 1 \Leftrightarrow {(x - 3 y)}^{2} - 2 (x - 3 y) + 1 + {(3 x + y)}^{2} = 1 \Leftrightarrow 10 x^{2} + 10 y^{2} - 2 x + 6 y = 0 \Leftrightarrow (x^{2} - \frac{1}{5} x) + (y^{2} + \frac{3}{5} y) = 0 \Leftrightarrow {(x - \frac{1}{10})}^{2} + {(y + \frac{3}{10})}^{2} = \frac{1}{10} (*)$

Điểm biểu diễn $M (x; y)$ của z chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm $M (x; y)$ thuộc đường tròn này để OM nhỏ nhất.

Vì đường tròn này qua O nên min OM = 0 khi $M \equiv O$ hay M (0; 0), do đó $z = 0$ hay $m i n |z| = 0$ .

Câu 4:

Xét các số phức z, w thỏa mãn $|w - i| = 2, z + 2 = i w$ . Gọi $z_{1}, z_{2}$ lần lượt là các số phức mà tại đó $|z|$ đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Mô đun $|z_{1} + z_{2}|$ bằng:

A. $3 \sqrt{2}$ .

B. 3.

C. 6.

D. $6 \sqrt{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

Theo bài ra ta có:

$z + 2 = i w \Rightarrow w = \frac{z + 2}{i} |w - i| = 2 \Rightarrow |\frac{z + 2}{i} - i| = 2 \Leftrightarrow |z + 2 + 1| = 2 \Leftrightarrow |z + 3| = 2$

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn $I (- 3; 0)$ bán kính R = 2.

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, dựa vào hình vẽ (bên dưới) ta có:

$\{\begin{array}{l} {|z|}_{m i n} \Leftrightarrow O M_{m i n} \Leftrightarrow M (- 1; 0) \Rightarrow z_{1} = - 1 \\ {|z|}_{m i n} \Leftrightarrow O M_{m a x} \Leftrightarrow M (- 5; 0) \Rightarrow z_{2} = - 5 \end{array} \Rightarrow |z_{1} + z_{2}| = 6$

Câu 5:

Tìm giá trị lớn nhất của $|z|$ , biết rằng z thỏa mãn điều kiện $|\frac{- 2 - 3 i}{3 - 2 i} z + 1| = 1$ .

A. $\sqrt{2}$ .

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

Có: $\frac{- 2 - 3 i}{3 - 2 i} = - i$ . Đặt $z = x + y i$ thì:

$\frac{- 2 - 3 i}{3 - 2 i} z + 1 = - i (x + y i) + 1 = (y + 1) - x i$

Điều kiện đã cho trong bài được viết thành ${(y + 1)}^{2} + x^{2} = 1$

Điểm biểu diễn $M (x; y)$ của z chạy trên đường tròn (*) có tâm I (0; - 1), bán kính bằng 1.

Cần tìm điểm $M (x; y)$ thuộc đường tròn này để OM lớn nhất

Vì O nằm trên đường tròn nên OM lớn nhất khi OM là đường kính của (*) $\Leftrightarrow$ I là trung điểm của OM.

$\Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x = 2 x_{I} \\ y = 2 y_{I} \end{array} \Leftrightarrow M (0; - 2)$

Suy ra $z = - 2 i \Leftrightarrow |z| = 2$

Vậy $m a x |z| = 2$ .

Câu 6:

Xét các số phức z, w thỏa mãn $|z| = 2, |i w - 2 + 5 i| = 1$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z^{2} - w z - 4|$ bằng:

A. 4.

B. $2 (\sqrt{29} - 3)$ .

C. 8.

D. $2 (\sqrt{29} - 5)$ .

Xem đáp án

Đáp án cần chọn là: C.

Theo bài ra ta có:

$|z| = 2 \Rightarrow$ tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I_{1} (0; 0)$ , bán kính $R_{1} = 2$ .

Lại có: $|i| |w - \frac{2 - 5 i}{i}| = 1 \Leftrightarrow |w - (- 5 - 2 i)| = 1$

$\Rightarrow$ tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm $I_{2} (- 5; - 2)$ bán kính $R_{2} = 1$ .

Đặt $T = |z^{2} - w z - 4| = |z^{2} - w z - z \bar{z}| = |z| |z - w - \bar{z}| = 2 |z - w - \bar{z}|$ .

Đặt $z = a + b i (a, b \in R) \Rightarrow \bar{z} = a - b i \Rightarrow z - \bar{z} = 2 b i$

$\Rightarrow T = 2 |2 b i - w|$ .

Gọi M(0;2b) là điểm biểu diễn số phức 2bi, N là điểm biểu diễn số phức w.

$\Rightarrow T = 2 M N_{m i n} \Leftrightarrow M N_{m i n}$

Do $|z| = 2 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 4 \Leftrightarrow - 2 \leq b \leq 2 \Leftrightarrow - 4 \leq 2 b \leq 4$

$\Rightarrow$ tập hợp các điểm M là đoạn AB với A(0; -4), B(0;4)

Dựa vào hình vẽ ta thấy $M N_{m i n} = 4 \Leftrightarrow$ N(-4; -2), M(0; 2)

Vậy $T_{m i n} = 2.4 = 8$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Trắc nghiệm Phép chia số phức (có đáp án)

Trắc nghiệm Phép chia số phức (có đáp án)

Danh sách câu hỏi

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương