Diện tích căn phòng đó là:

12 . 8 = 96 (m²)

Diện tích một viên gạch là:

40 . 40 =1600 (cm²)

Đổi: 1600 cm² = 0,16m²

Số gạch dùng để lát nền là:

96 : 0,16 = 600 (viên).

Đáp số: 600 viên gạch.

Vì x chia hết cho 15, 12 nên x thuộc BCNN (15,12)

Ta có 15 = 3.5

12 = 2² . 3

Vậy BCNN (15, 12) = 2² . 3 . 5 = 60

Vì 0 < x < 150 nên x = 60 hoặc x = 120.

Vậy x = 60 hoặc x = 120.

70 ⋮ x, 84 ⋮ x và x > 8

Vì 70 ⋮ x, 84 ⋮ x nên x ∈ ƯC(70; 84)

Ta có: 70 = 2. 5. 7     

84 = 2². 3. 7

ƯCLN(70; 84) = 2 . 7 = 14

ƯC (70; 84) = {1; 2; 7; 14}

Vì x > 8 nên x = 14.

Vậy x = 14.

a) Xét tứ giác AEHF có:

$\widehat{EAF}$= 90°

$\widehat{AEH}=\widehat{AFH}$= 90°

Suy ra: AEHF là hình chữ nhật.

b) Ta có: AEHF là hình chữ nhật

O là trung điểm của AH nên O là trung điểm EF

Vậy E, O, F thẳng hàng.

c) Ta có: AE = OE (vì AH = EF)

Suy ra tam giác AOE cân tại O

Suy ra: $\widehat{OAE}=\widehat{OEA}$

Mà $\widehat{OAE}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}$ = 90°

$\widehat{ACB}+\widehat{HAC}$= 90°

Suy ra: $\widehat{HCA}=\widehat{OEA}$

Vậy $\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$  .

d) Xét tam giác ABC vuông tại A có AI là trung tuyến

⇒ AI = IC = $\frac{BC}{2}$ ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng  $\frac{1}{2}$cạnh huyền)

Suy ra: tam giác AIC cân tại I

⇒ $\widehat{IAC}=\widehat{ICA}$

Mà $\widehat{AEF}=\widehat{ICA}$  (chứng minh trên)

⇒ $\widehat{IAC}=\widehat{AEF}$

Lại có: $\widehat{IAC}+\widehat{BAI}=\widehat{BAC}$ = 90°

$\widehat{BAI}+\widehat{AEF}$ = 90°

Gọi giao điểm của AI và EF là K

Xét tam giác AKE có:

$\widehat{AEK}+\widehat{EAK}$= 90°

⇒$\widehat{AKE}$ = 180° – 90° = 90°

Vậy AK vuông góc KE hay AI ⊥ EF tại K.

Đổi 8 dm = 0,8 m

Chiều rộng căn phòng là:

12 : 3 = 4 (m)

Diện tích căn phòng là:

12 . 4 = 48 (m²).

Diện tích 1 viên gạch men là:

0,8 . 0,8 = 0,64 (m²).

Số viên gạch men được lát là:

48 : 0,64 = 75 (viên).

Đáp số: 75 viên.

Vì x chia hết cho 18, 20, 30 nên x thuộc BCNN (18,20, 30 )

Ta có 18 = 2.3²

20 = 2² .5

30 = 2.3.5

Vậy BCNN (18, 20, 30) = 2² . 3² . 5 = 180

Vì 200 < x < 400 nên x = 360

Vậy x = 360.

Chiều dài thực tế của mảnh vường là:

8 . 500 = 4000(cm).

Chiều rộng thực tế của mảnh vường là:

6 . 500 = 3000 (cm)

Diện tích của mảnh vườn là:

4000 . 3000 = 12000000 (cm²)

Đổi 12000000 cm² = 1200ha.

Đáp số: 1200 ha.

Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là  $\overline{ab}$(a khác 0; a, b < 10)

Ta có:

$\overline{ab}$= (a+b) . 5

⇔ 10a + b = 5a + 5b

⇔ 5a = 4b

Vì 5a chia hết cho 5 nên 4b chia hết cho 5 mà 4 không chia hết cho 5. Suy ra: b chia hết cho 5.

Mà a khác 0 nên b = 5.

Suy ra: a = 4

Vậy số cần tìm là 45.

Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là  $\overline{ab}$(a khác 0; a, b < 10)

Ta có:

$\overline{ab}$= (a+b) . 5

⇔ 10a + b = 5a + 5b

⇔ 5a = 4b

Vì 5a chia hết cho 5 nên 4b chia hết cho 5 mà 4 không chia hết cho 5. Suy ra: b chia hết cho 5.

Mà a khác 0 nên b = 5.

Suy ra: a = 4

Vậy số cần tìm là 45.

– Nếu n ⋮ 2 thì n = 2k (k ∈ ℕ)

Suy ra : n + 6 = 2k + 6 = 2(k + 3)

Vì 2(k + 3) ⋮ 2 nên (n + 3).(n + 6) ⋮ 2

– Nếu n không chia hết cho 2 thì n = 2k + 1 (k ∈ ℕ)

Suy ra: n + 3 = 2k + 1 + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2)

Vì 2(k + 2) ⋮ 2 nên (n + 3).(n + 6) ⋮ 2

Vậy (n + 3).(n + 6) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n.

A = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24

A = (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) – 24

A = (x² + 7x + 10)( x² + 7x + 12) – 24

Đặt t = x² + 7x + 11

Khi đó:

A = (t – 1)(t+1) – 24 = t² – 25 = (t – 5)(t + 5)

A = (x² + 7x + 6)( x² + 7x + 16).

Một người sửa hết quãng đường đó trong số ngày là:

63 . 11 = 693 (ngày).

Muốn sửa quãng đường đó trong 77 ngày thì cần số người là:

693 : 7 = 99 (người).

Muốn sửa quãng đường đó trong 77 ngày thì cần thêm số người là:

99 – 63 = 36 (người).

Đáp số: 36 người.

Từ ngày 28 tháng 3 đến ngày 23 tháng 8 có số ngày là:

31 + 30 + 31 + 30 + 31 – 5 = 148 (ngày).

Ta thấy: 148 : 7 = 21 (dư 1).

Vậy ngày 23 tháng 8 cùng năm là thứ sáu.

Vì 1 ha = 10000 m²

Nên mệnh đề trên là đúng.

Có $C_6^3$  cách chọn 3 phần tử nhỏ hơn 6.

Có $C_7^3$  cách chọn 3 phần tử còn lại.

Vậy có: $C_6^3$ .$C_7^3$  = 700 cách chọn tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi số cần tìm là $\overline{aba}$  ( vì số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị giống nhau ) nên:

Ta có :  $\overline{aba}$. 6 = 6 . ( 100a + 10b + a ) = 6 . ( 101a + 10b ) = 606a + 60b

Mà ta có tích là số có 3 chữ số nên a = 1

Suy ra 606 + 60b có 1 chữ số 2 trong đó nên b = 2.

Vậy số cần tìm là 121.

Theo bài ra ta có:

x = $\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$

⇔ $x-\sqrt{2}=\sqrt[3]{3}$

⇔ ${\left(x-\sqrt{2}\right)}^3={\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3$

⇔$x^3-3\sqrt{2}{x}^2+6x-2\sqrt{2}=3$

⇔ x³ + 6x – 3 = $\sqrt{2}\left(3x^2+2\right)$

Bình phương 2 vế, sau đó rút gọn ta được: x⁶ – 6x⁴ – 6x³ + 12x² – 36x + 1 = 0.

Để $\overline{a46b}$  chia hết cho 5 thì b = 0 hoặc b = 5

Mà $\overline{a46b}$   chia hết cho 2 nên b chẵn. Vậy b = 0.

Vì $\overline{a46b}$  chia hết cho 9 nên (a + 4 + 6 + b) chia hết cho 9 hay (a + 10) chia hết cho 9.

Suy ra: a = 8

Vậy a = 8 và b = 0.

Sau khi bán thì tấm vải thứ nhất còn:

1 − $\frac{3}{5}$  = $\frac{2}{5}$  (chiều dài ban đầu).

Sau khi bán thì tấm vải thứ hai còn: 

1 − $\frac{7}{10}$  =  $\frac{3}{10}$(chiều dài ban đầu).

Số mét vải còn lại của tấm thứ nhất nhiều hơn số mét vải còn lại của tấm hai là:

$\frac{2}{5}$−$\frac{3}{10}$ = $\frac{1}{10}$  (chiều dài ban đầu).

Vậy $\frac{1}{10}$  chiều dài tấm vải ban đầu tương ứng với 6 m.

Vậy chiều dài ban đầu của hai tấm vải là : 

6 : $\frac{1}{10}$  = 60 (m).

Đáp số: 60 m.

Số thập phân gồm mười đơn vị, bốn phần mười, sáu phần nghìn viết là: 10,406.

Ta có: P = $\frac{5}{x^2+y^2}+\frac{3}{xy}=\frac{5}{x^2+y^2}+\frac{5}{2xy}+\frac{1}{2xy}$ 

⇔ P = $5\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{2xy}$

⇔ P$\ge \frac{5.4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{2}{{\left(x+y\right)}^2}=\frac{22}{{\left(x+y\right)}^2}=\frac{22}{9}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{22}{9}$ khi x = y = $\frac{3}{2}$ .

A = $\frac{2}{3^2}+\frac{2}{5^2}+\mathrm{...}+\frac{2}{{2025}^2}$ .

A = $\frac{2}{3.3}+\frac{2}{5.5}+\mathrm{...}+\frac{2}{2025.2025}$

A < $\frac{2}{2.4}+\frac{2}{4.6}+\mathrm{...}+\frac{2}{2024.2026}$

A < $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\mathrm{....}+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2026}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2026}=\frac{506}{2013}$

Vậy A < $\frac{506}{2013}$ .

Vì 1m = 100 cm nên  $\frac{2}{3}m=100.\frac{2}{3}\approx 66,67\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}cm$ .

Số đó là:

90 : 45% = 200.

498² + 996.502 + 502²

= 498² + 2.498.502 + 502²

= (498 + 502)²

= 1000²

= 1 000 000.

a) 15 ô tô như thế chở được số tấn hàng là:

25 : 5 . 15 = 75 (tấn).

b) Muốn chở 40 tấn hàng thì cần số xe ô tô như thế là:

40 : (25 : 5) = 8 (xe).

Đáp số: a) 75 tấn, b) 8 xe.

Đặt a + 1 = x²; 2a + 1 = y²;

a phải chẵn vì 2a = y² – 1 = (y – 1)(y + 1) suy ra 2a chia hết cho 8 vì y – 1 và y + 1 là tích của 2 số chẵn liên tiếp

Vậy a chia hết cho 2. (1)

a = (x – 1)(x + 1) vì a là số chẵn nên suy ra a chia hết cho 8 do x – 1 và x + 1 là tích của 2 số chẵn liên tiếp (2)

Ta cần chứng minh x không chia hết cho 3.

Giả sử x chia hết cho 3 ⇒ x = 3k

2(a + 1) –1 = 2(x – 1)(x + 1) –1 = 2(9k² – 1) – 1 = 18k² – 3

⇒ 2a + 1 chia hết cho 3 vô lý vì ta có 2(a + 1) chia hết cho 3 nhưng – 1 không chia hết cho 3 ⇒ x không chia hết cho 3 hay hoặc x – 1, hoặc x + 1 chia hết cho 3.

Vậy x chia 3 dư 1 hoặc x chia 3 dư 2 mà x là số chính phương nên x chia 3 dư 1.

Khi đó: a = x² – 1 chia hết cho 3 hay a chia hết cho 3 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: a chia hết cho 24.

a)

Ta có: AB = AC

D là trung điểm AB và E là trung điểm AC nên DB = EC = $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$ (1)

Lại có: DE là đường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DECB là hình thang cân.

b) Gọi I là trung điểm BC

Xét tam giác AIC và tam giác EHC có:

Chung $\widehat{C}$

$\widehat{AIC}=\widehat{EHC}$= 90°

⇒ ∆ AIC ᔕ ∆EHC (g.g)

⇒ $\frac{CH}{CI}=\frac{CE}{CA}=\frac{EH}{AI}=\frac{1}{2}$

⇒ CH = 4 : 2 = 2 (cm)

BH = BC – CH = 8 – 2 = 6 (cm).

Xét tam giác ABC vuông tại A có AE là trung tuyến

⇒ AE = EC = BE = $\frac{BC}{2}$  ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng $\frac{1}{2}$  cạnh huyền)

Suy ra: tam giác AEC cân tại E và $\widehat{ECA}=\widehat{EAC}$

Mà $\widehat{ECA}=\widehat{AHD}$ (cùng phụ với $\widehat{DHC}$  )

Nên: $\widehat{EAC}$  = $\widehat{AHD}$ (1)

Xét tứ giác AMHD có:

$\widehat{MAD}$= 90°

$\widehat{AMH}=\widehat{ADH}$= 90°

Suy ra: AMHD là hình chữ nhật.

Suy ra: $\widehat{AMD}=\widehat{AHD}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{EAC}$ = $\widehat{AMD}$

Lại có: $\widehat{EAC}$+$\widehat{BAE}$ =  90°

Nên:$\widehat{AMD}$  +$\widehat{BAE}$ =  90°

Suy ra:  $\widehat{AGM}$= 90° hay MD vuông góc với AE.

Vậy MD vuông góc với AE.

a) Ta có:

BC = $\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=10$

$\frac{PA}{PC}=\frac{BA}{BC}\Rightarrow \frac{PA}{CA}=\frac{BA}{BC+BA}\Rightarrow PA=\frac{BA.CA}{BC+BA}=\frac{6.8}{6+10}=3$

BP =  $\sqrt{A{B}^2+A{P}^2}=3\sqrt{5}$

$\frac{BI}{PI}=\frac{AB}{AP}\Rightarrow \frac{BI}{BP}=\frac{AB}{AB+AP}\Rightarrow BI=\frac{BA.BP}{AB+AP}=\frac{6.3\sqrt{5}}{6+3}=2\sqrt{5}$

Ta thấy: $\frac{BI}{BM}=\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{BA}{BP}$

Xét tam giác BAP và tam giác BIM có:

$\widehat{ABP}=\widehat{IBM}$

$\frac{BI}{BM}=\frac{BA}{BP}$

⇒∆BAP ᔕ ∆BIM (c.g.c)

Suy ra: $\widehat{BIM}$ =$\widehat{BAP}$ = 90°

b) vẽ đường tròn tâm M đường kính BC, BI cắt (M) tại N.

Ta thấy: $\widehat{BIM}=\widehat{BNC}$ = 90° suy ra MI // CN

Vì M là trung điểm BC nên I là trung điểm BN (1)

Dễ thấy: $\widehat{NIC}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)=\widehat{NCI}$

Suy ra: tam giác NIC cân tại N hay NI = NC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\tan \frac{\widehat{ABC}}{2}=\tan \widehat{NBC}=\frac{NC}{NB}=\frac{NI}{NB}=\frac{1}{2}$

Suy ra: $\tan \widehat{ABC}=\frac{2\tan \frac{\widehat{ABC}}{2}}{1-{\tan }^2\frac{\widehat{ABC}}{2}}=\frac{4}{3}=\frac{AC}{AB}$

⇒$\frac{A{C}^2}{A{B}^2+A{C}^2}=\frac{16}{9+16}=\frac{16}{25}\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$

Vậy AB : AC : BC = 3 : 4 : 5.

Gọi số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là x, y, z (quả) (x, y, z ∈ ℕ^*).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}3x+\frac{y}{5}+5z=60\\ x+y+z=100\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}15x+y+25z=300\\ x+y+z=100\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}15x+y+25z=300\\ -14y+10z=1200\end{array}\right.$

⇔$\left\{\begin{array}{l}15x+y+25z=300\\ -7y+5z=600\end{array}\right.$

⇔$\left\{\begin{array}{l}15x+\frac{5z+600}{7}+25z=300\\ y=\frac{5z+600}{7}\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{100-12z}{7}\\ y=\frac{5z+600}{7}\end{array}\right.$ (*)

Vì x > 0 nên 100 – 12z > 0 suy ra: z <$\frac{100}{12}<9$ hay z ∈ {1; 2;…; 8}

Thay lần lượt các giá trị của z vào (*) ta thấy chỉ có z = 6 thỏa mãn

Vậy z = 6; y = 90 và x = 4.

Vậy số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là 4, 90 và 6 quả.

1 nửa số nước trong chai cân nặng là:

$\frac{7}{12}$ – $\frac{1}{6}$  =$\frac{5}{12}$ (kg)

Khi chai đầy nước thì số nước này nặng là:

$\frac{5}{12}.2=\frac{5}{6}$​ (kg)

Chai đó đầy nước thì cân nặng là:

$\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=1$(kg).

Đáp số: 1 kg.

Trong trường hợp tồi nhất thì ứng với mỗi tháng sinh có 18 sinh viên.

Để có ít nhất 19 sinh viên cùng tháng sinh thì cần:

18 . 12 + 1 = 217 (sinh viên).

Vậy cần ít nhất 217 sinh viên.

B = 1.2² + 2.3² + … + 99.100²

B = 1.2.2 + 2.3.3 + … + 99.100.100

B = 1.2.(3–1) + 2.3.(4–1) + …. + 99.100.(101 – 1)

B = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + … + 99.100.101 – 99.100

B = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) – (1.2 + 2.3 + … + 99.100)

B = A – C

+ Xét A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5–1) + ... + 99.100.101.(102–98)

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + ... + 99.100.101.102 – 98.99.100.101

4A = 99.100.101.102

A = 25497450

+ Xét C = 1.2 + 2.3 + … + 99.100

3C = 1.2.3 + 2.3.3 + ….+ 99.100.3

3C = 1.2.3 + 2.3.(4–1) + … +99.100.(101–98)

3C = 99.100.101

C = 333300

Suy ra: B = A – C = 25497450 – 333300 = 25164150.

Tổng bán kính hai đường tròn là:

75,36 : 3,14 : 2 = 12 (m).

Bán kình đường tròn thứ hai là:

12 : 4 = 3 (m)

Chu vi đường tròn thứ hai là:

2 . 3 . 3,14 = 18,84 (m)

Chu vi đường tròn thứ nhất là:

75,36 – 18,84 = 56,52 (m)

Để căn thức $\sqrt{x-2}$  có nghĩa thì x – 2 ≥ 0 hay x ≥ 2.

Theo bài ra ta có:

4n + 9 ⋮ 2n + 1

⇔ 4n + 2 + 7 ⋮ 2n + 1

⇔ 2(2n + 1) +7 ⋮ 2n + 1

⇒ 7 ⋮ 2n + 1

Suy ra: 2n + 1 ∈ Ư(7) = {1; 7}

Vậy n ∈ {0; 3}.

a) Xét tam giác vuông ABR và ADQ có:

AB = AD (giả thiết)

$\widehat{BAR}+\widehat{BAP}$= 90°

$\widehat{DAQ}+\widehat{BAP}$Góc = 90°

⇒   $\widehat{BAR}=\widehat{DAQ}$

⇒ ∆ABR = ∆ADQ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

⇒ AR = AQ (2 cạnh tương ứng)

⇒ Tam giác AQR cân tại A.

Chứng minh tương tự: ta có ∆ADS = ∆ABP

⇒ AS = AP ⇒ ∆APS cân tại A.

b) ∆AQR cân tại A ⇒ Trung tuyến AM đồng thời là đường cao.

⇒ AM vuông góc với QR ⇒  $\widehat{AMH}$= 90°

Tương tự: ∆APS cân tại A ⇒ Trung tuyến AN đồng thời là đường cao.

⇒ AN vuông góc với SP ⇒ $\widehat{ANP}$= 90° hay  $\widehat{ANH}$= 90°.

∆AQR vuông cân tại A ⇒ $\widehat{AQR}=\widehat{ARQ}$  = 45° ⇒ $\widehat{PQH}$  = 45°.

∆APS vuông cân tại A ⇒ $\widehat{ASP}=\widehat{APS}$  = 45° ⇒$\widehat{QPH}$ = 45° (đối đỉnh).

Xét ∆PHQ có: $\widehat{PQH}$  +$\widehat{QPH}$  = 45° + 45° = 90°

⇒ ∆PHQ vuông cân tại H ⇒ PH vuông góc với PQ

⇒ $\widehat{NHM}$ = 90°

Xét tứ giác AMHN có:$\widehat{AMH}$ = $\widehat{ANH}$  = $\widehat{NHM}$ = 90°

⇒ AMHN là hình chữ nhật.

c) Xét ∆SQR có:

BC vuông góc CD ⇒ RC vuông góc SQ ⇒ RC là đường cao.

AP vuông góc AR ⇒ QA vuông góc RS ⇒ QA là đường cao.

Mà RC cắt QA tại P

Vậy P là trực tâm tam giác SQR.

d) ∆ANP vuông tại A có trung tuyến AN ⇒ AN = $\frac{SP}{2}$

    ∆CSP vuông tại C có trung tuyến CN ⇒ CN =$\frac{SP}{2}$

⇒ AN = CN ⇒ N thuộc trung trực của AC.

Tương tự ta có: MA = MC ⇒ M thuộc trung trực của AC.

Vậy MN là trung trực của AC.

e) Ta có BA = BC (giả thiết) ⇒ B thuộc trung trực của AC.

Mà MN là trung trực của AC (chứng minh trên) ⇒ B thuộc MN

Tương tự DA = DC (giả thiết) ⇒ D thuộc trung trực của AC.

Mà MN là trung trực của AC (chứng minh trên) ⇒ D thuộc MN

Vậy M, B, N, D thẳng hàng.

Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là  $\overline{ab}$(a khác 0; a, b < 10)

Ta có:

$\overline{a0b}$= 9 $\overline{ab}$.

⇔ 100a + b = 90a + 9b

⇔ 10a = 8b

⇔ 5a = 4b

Vì 5a chia hết cho 5 nên 4b chia hết cho 5 mà 4 không chia hết cho 5. Suy ra: b chia hết cho 5.

Mà a khác 0 nên b = 5.

Suy ra: a = 4

Vậy số cần tìm là 45.

Ta có:

x² + 5y² + 2x – 4xy – 10y + 14

= [x²  + 2x(1 – 2y) + (4y² – 4y + 1)] + (y² – 6y + 9) + 4

= (x + 1 – 2y)² + (y – 3)² + 4

Ta thấy: (x + 1 – 2y)² + (y – 3)² ≥ 0 với mọi x, y

Nên (x + 1 – 2y)² + (y – 3)² + 4 ≥ 4 > 0 với mọi x, y.

Vậy x² + 5y² + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0 với mọi x, y.

Vectơ  $\overrightarrow{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$  và giá của  $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với ∆.

Vectơ $\overrightarrow{n}$  được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu và $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$vuông góc với $\overrightarrow{n}$ vectơ chỉ phương của ∆.

Ta có:

x² + xy + y² + 1

= $x^2+2x\frac{y}{2}+{\left(\text{}\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3y^2}{4}+1$

= ${\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3y^2}{4}+1$

Ta thấy:${\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3y^2}{4}$ ≥ 0 với mọi x, y

Nên ${\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3y^2}{4}+1$≥ 1 > 0 với mọi x, y

Vậy x² + xy + y² + 1 > 0 với mọi x, y.