Ta có:

a³ + b³ + c³ = 3abc

⇔ (a + b)³ – 3ab(a + b) + c³ – abc = 0

⇔ (a + b + c)[(a + b)² + (a + b)c + c²] – 3ab(a + b + c) = 0

⇔ (a + b + c) [(a + b)² + (a + b)c + c² – 3abc] = 0

Do (a + b)² + (a + b)c + c² – 3abc > 0 nên a + b + c = 0

Suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}a+b=-c\\ a+c=-b\\ b+c=-a\end{array}\right.$

B = $\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}=\frac{\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)}{abc}=-1$

Vậy B = – 1.

Ta có:

SA ⊥ (ABCD) và A ∈ (ABCD) nên A là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)

Suy ra: AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD).

Khi đó: $\widehat{\left(SC,\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{\left(SC,AC\right)}=\widehat{SCA}$

Xét tam giác SAC vuông tại A có:

$\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}.\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Suy ra:$\widehat{SCA}$ = 30°.

Ta có: SA = $\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{5a^2-a^2}=2a$

Thể tích khối chóp V_S.ABCD = $\frac{1}{3}.a^2.2a=\frac{2}{3}{a}^3$  .

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{A}$  = 90°

$\widehat{C}$= 180° – 90° – 45° = 45°

Theo định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos $\widehat{A}$

BC² = 5² + 6² – 2.5.6.cos90°

BC = $\sqrt{61}$ (cm).

1 người ăn số gạo đó trong số ngày là:

45 . 6 = 270 ( ngày).

54 người ăn thì số gạo đó ăn trong số ngày là:

270 : 54 = 5 (ngày).

Số ngày giảm đi khi có 54 người ăn là:

6 – 5 = 1 ( ngày).

Đáp số: 1 ngày.

a² – 2a + b² + 4b + 4c² – 4c + 6 = 0

⇔ (a² – 2a + 1) + (b² + 4b + 4) + (4c² – 4c + 1) = 0

⇔ (a – 1)² + (b + 2)² + (2c – 1)² = 0

Ta thấy: (a – 1)² + (b + 2)² + (2c – 1)² ≥ 0 với mọi a, b, c

Nên để (a – 1)² + (b + 2)² + (2c – 1)² = 0 thì:

$\left\{\begin{array}{l}a-1=0\\ b+2=0\\ 2c-1=0\end{array}\right.$⇔ $\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Vậy a = 1; b = –2 và c = $\frac{1}{2}$  .

2^x + 2^x+3 = 72

2^x + 2^x . 2³ = 72

2^x ( 1 + 2³) = 72

2^x = 72 : 9

2^x = 8 = 2³

Vậy x = 3.

Các số nguyên tố nhỏ hơn 20 là: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19

Vậy có 8 số nguyên tố nhỏ hơn 20.

A = $\frac{5}{2.4}+\frac{5}{4.6}+\mathrm{....}+\frac{5}{48.50}$

A = $5\left(\frac{1}{2.4}+\frac{1}{4.6}+\mathrm{....}+\frac{1}{48.50}\right)$

A =  $\frac{5}{2}\left(\frac{2}{2.4}+\frac{2}{4.6}+\mathrm{....}+\frac{2}{48.50}\right)$

A = $\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\mathrm{...}+\frac{1}{48}-\frac{1}{50}\right)$

A = $\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{50}\right)$

A = $\frac{5}{2}.\frac{12}{25}=\frac{6}{5}$ .

Ta có:

202³⁰³ = 202^3.101 = (202³)¹⁰¹

303²⁰² = 303^2.101 = (303²)¹⁰¹

Ta so sánh: 202³ và 303²

202³ = (2.101)³ = 2³.101³ = 8.101.101² = 808.101²

303² = (3.101)² = 3².101² = 9.101²

Suy ra: 202³ > 303²

Vậy 202³⁰³ > 303²⁰².

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông ABH ta có:

AB² = AH² + HB² = 2² + 1² = 5 (cm).

AB = $\sqrt{5}$  (cm).

⇔ $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$

$\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{A{H}^2}-\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{2^2}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20}$

⇔ AC = $\sqrt{20}$  (cm).

BC² = AB² + AC² =5 + 20 = 25

BC = 5 (cm)

Vì AM là trung tuyến trong tam giác ABC vuông nên AM = $\frac{1}{2}BC$ = $\frac{5}{2}$  = 2,5 (cm).

2³¹ = 2³⁰ . 2 = (2³)¹⁰ . 2 = 8¹⁰ . 2

3²¹ = (3²)¹⁰ . 3 = 9¹⁰ . 3

Ta thấy: 2 < 3 và 8¹⁰ < 9¹⁰ nên 2³¹ < 3²¹.

Vì tập A khác rỗng nên ta có m – 1 < 4 hay m < 5 (1)

Vì tập B khác rỗng nên ta có –2 < 2m + 2.

⇔ –4 < 2m.

⇔ m > –2 (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra tập hợp A và B đều khác rỗng khi và chỉ khi –2 < m < 5 (*).

Để A ∩ B ≠ ∅ thì m – 1 < 2m + 2.

 Nghĩa là, m > –3   (**).

Giao (*) và (**) lại với nhau, ta thu được kết quả –2 < m < 5.

a) Ta có: M, N là trung điểm AB, AC

⇒ MN là đường trung bình ΔABC

⇒ MN // BC ⇒ MI // BH

Mà M, I là trung điểm AB, AH ⇒ MI là đường trung bình ΔABH

b)Ta có P, Q đối xứng qua N ⇒ N là trung điểm PQ

Mà N là trung điểm AC

AQCP là hình bình hành

⇒ AQ // CP,AQ = CP

Lại có P là trung điểm BC ⇒ BP = PC

⇒ AQ = BP, AQ // BP

⇒ AQPB là hình bình hành.

c) Ta có AQPB là hình bình hành

⇒ AB // PQ ⇒ $\widehat{NPC}=\widehat{ABC}$

Mà ΔAHB vuông tại H, M là trung điểm AB

⇒ MH = MA = MB ⇒  $\widehat{MHB}=\widehat{MBH}=\widehat{ABC}$

⇒ $\widehat{MHB}$ = $\widehat{NPC}$

⇒ $\widehat{MHP}=\widehat{NPH}=\widehat{MHP}$

Lại có MN // BC ⇒ MN // HP

⇒ MHPN là hình thang cân.

d) Ta có NP là đường trung bình ΔABC

⇒ NP//AB, NP = $\frac{1}{2}AB$

⇒ NP = AM, NP // AM

⇒ AMPN là hình bình hành

⇒ AP ∩ MN tại trung điểm mỗi đường

⇒ K là trung điểm AP

Lại có AQPB là hình bình hành

⇒ AP ∩ BQ tại trung điểm mỗi đường

⇒ K là trung điểm BQ

Vì P là trung điểm BC, CK ∩ QP = O mà O là trọng tâm ΔQBC

Mà MN ∩ QC = {F}

⇒ NF // BC

Vì N là trung điểm QP ⇒ F là trung điểm QC

⇒ B, O, F thẳng hàng.

Vậy B, O, F thẳng hàng.

Giả sử 3 số tự nhiên liên tiếp là: n – 2; n – 1; n.

Ta có:

n(n – 2) = n² – 2n

(n – 1)² = n² – 2n + 1

Xét: n(n – 2) – (n – 1)² = n² – 2n – (n² – 2n + 1) = –1.

A = $\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}$

A = $\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$

A = $\frac{\sqrt{{\left(\sqrt{3}+1\right)}^2}-\sqrt{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}}{\sqrt{2}}$

A = $\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$

A = $\sqrt{2}$ .

Thời gian đi dự kiến ban đầu là:

8 giờ 30 phút – 7 giờ = 1 giờ 30 phút.

Đổi 1 giờ 30 phút = 90 phút

Thời gian đi hết  $\frac{2}{3}$quãng đường là:

$\frac{2}{3}$. 90 = 60 phút = 1 giờ.

Thời gian đi hết $\frac{1}{3}$  quãng đường còn lại dự kiến là:

1 giờ 30 phút – 1 giờ = 30 phút

Vận tốc lúc sau giảm còn $\frac{1}{4}$  vận tốc ban đầu nên thời gian đi  $\frac{1}{3}$quãng đường thực tế gấp 4 lần thời gian đi  quãng đường dự kiến.

Thời gian đi $\frac{1}{3}$  quãng đường là:

30 . 4 = 120 (phút) = 2 giờ.

Vậy Huệ đến Củ Chi lúc:

7 giờ + 1 giờ + 2 giờ = 10 giờ.

Ta có hình vẽ, diện tích tăng thêm 1450 m² là diện tích của 3 hình 1, 2 và 3.

Hình 1 là hình chữ nhật có hai cạnh là 5m và chiều rộng.

Hình 2 là hình vuông có cạnh là 5m.

Hình 3 là hình chữ nhật có hai cạnh lần lượt là chiều dài và 5m.

Vậy 5 lần chiều rộng cộng 5 lần chiều dài là:

   1450 − 5 . 5 = 1425 (m).

Vậy tổng của chiều rộng cộng chiều dài là:

1425 : 5 = 285 (m).

Ta có sơ đồ như hình vẽ.

Chiều dài của hình chữ nhật là:

 (285 + 35) : 2=160 (m).

Chiều rộng của hình chữ nhật là:

160 − 35 = 125 (m).

Khu đất có diện tích là:

160 . 125 = 20000 (m²) = 2 ha.

Đáp số: 2 ha.

Gọi số bị trừ là a, số trừ là b.

Hiệu là a – b

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}a+b+a–b=400\\ a–b=\text{ 4}b+25\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}2a=400\\ a=5b+25\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}a=200\\ b=35\end{array}\right.$

Vậy số bị trừ là 200, số trừ là 35.

Gọi số bị chia là a, số chia là b (b khác 0)

Ta có: a : b = 3 (dư 7) hay a = 3b + 7 (1)

a – b = 199 (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

3b + 7 – b = 199

2b = 192

b = 96

a = 96.3 + 7 = 295.

Vậy số bị chia là 295.

B = 3 + 3² + … + 3¹⁰⁰

3B = 3² + 3³ + … + 3¹⁰¹

3B – B = (3² + 3³ + … + 3¹⁰¹) – (3 + 3² + … + 3¹⁰⁰)

2B = 3¹⁰¹ – 3

Ta thấy: 3¹⁰¹ = 3^4.25+1 nên 3¹⁰¹ có tận cùng là 3

Suy ra: 3¹⁰¹ – 3 có tận cùng là 0

Vậy B có tận cùng là 5.

9, 67 . 80 . 1,25

= 9,67 . ( 80 . 1,25)

= 9,67 . 100

= 967.

Vì x và y là 2 số tự nhiên liên tiếp nên y – x = 1.

Mà x < 12,34 < y nên x = 12 và y = 13.

Vậy x = 12 và y = 13.

Số số hạng của S là:

(100 – 1) : 1 + 1 = 100

Tổng các số hạng của S là:

(100 + 1) . 100 : 2 = 5050.

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số không âm:

$\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+\frac{3}{xyz}=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}+3$≥ $3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2{y}^2{z}^2}}$ +3 = 6.

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 6 khi x = y = z = 1.

(4n + 7)² – 49

= (4n + 7)² – 7²

= (4n + 7 – 7)(4n + 7 + 7)

= 4n . (4n + 14)

= 8n . (2n + 7)

Vì 8n chia hết cho 8 với mọi n ∈ ℤ suy ra 8n . (2n + 7) chia hết cho 8 với mọi n ∈ ℤ.

Vậy (4n + 7)² – 49 chia hết cho 8 với n thuộc ℤ.

0,58 =$\frac{58}{100}$ = 58%.

$\frac{1}{2}$. 2^x + 4 . 2^x = 9 . 2⁵

2^x $\left(\frac{1}{2}+4\right)$ = 9 . 32

2^x .$\frac{9}{2}$ = 288

2^x = 64

2^x = 2⁶

Vậy x = 6.

Lời giải:

Ta có: $\frac{2}{10}=0,2$

Vậy  $\frac{2}{10}<0,2$là sai.

1m = 100 cm hay 1 cm = 0,01 m.

26 m 8cm = 26,08 m.

5x² + 5y² + 8xy – 2x + 2y + 2 = 0

⇔ (4x² + 8xy + 4y²) + (x² – 2x +1) + (y² + 2y + 1) = 0

⇔ 2(x + y)² + (x – 1)² + (y + 1)² = 0 (*)

Vì 2(x + y)² + (x – 1)² + (y + 1)² ≥ 0 với mọi x, y nên để đẳng thức (*) xảy ra thì:

 $\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\ x-1=0\\ y+1=0\end{array}\right.$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}\right.$

Thay x = 1 và y = –1 vào M ta được:

M = (1–1)²⁰¹⁹ + (1–2)²⁰²⁰ + (–1 + 1)²⁰²¹ = 1.

Vậy M = 1.

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là a

Thì chiều dài hình chữ nhật là 2a

Ta có: 2a . a = 32

a² = 16

a = 4 (cm)

Vậy chiều rộng hình chữ nhật là 4 cm và chiều dài hình chữ nhật là 8 cm.

Chu vi hình chữ nhật là:

(8 + 4) . 2 = 24 (cm).

Đáp số: 24 cm.

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang.

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC.

Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB.

Vì OC và OD lần lượt là phân giác của $\widehat{AOM}$ và  $\widehat{BOM}$nên OC ⊥ OD (tính chất hai góc kề bù). Suy ra: $\widehat{COD}$ = 90°

Suy ra: IC = ID = IO =$\frac{1}{2}$ .CD (tính chất tam giác vuông)

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

a) Xét ΔAHI có:

AB vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên ΔAHI cân tại A.

⇒ AI = AH và AB là phân giác của $\widehat{HAI}$  (1).

b) Xét ΔAHK có: AC vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên ΔHKA cân tại A.

⇒AH = AK và AC là phân giác của $\widehat{HAK}$  (2)

c) Từ (1), (2) suy ra $\widehat{IAK}$ = 2 . $\widehat{BAC}$  = 90° . 2 = 180°

⇒ I, A, K thẳng hàng.

Mà AK = AI

Nên A là trung điểm của KI

Xét ΔAHB và ΔAIB có:

AH = AI

BH = BI

AB chung

Do đó: ΔAHB = ΔAIB (c.c.c)

⇒$\widehat{BIA}$ = 90°

⇒ BI ⊥ IK (3)

Xét ΔAHC và ΔAKC có:

AH = AK

CH = CK

AC chung

Do đó: ΔAHC = ΔAKC (c.c.c)

⇒ $\widehat{AKC}$  = 90°.

⇒ CK ⊥ KI (4)

Từ (3), (4) suy ra BI // CK.

x²y – xy + 2x – 1 = y² – xy² – 2y

⇔ x²y + xy² – xy – y² + 2x + 2y = 1

⇔ xy (x + y) – y(x + y) + 2 (x + y) = 1

⇔ (x + y) (xy – y + 2) = 1

Vì x, y nguyên nên:

$\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ xy-y+2=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x+y=-1\\ xy-y+2=-1\end{array}\right.\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=1-y\\ \left(1-y\right)y-y+2=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=-1-y\\ \left(-1-y\right)y-y+2=-1\end{array}\right.\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-3\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vậy (x; y) ∈ {(0; 1); (2; –1); (–2; 1); (2; –3)}.

Số báo khối lớp Ba mua là:

174 – 78 = 96 (tờ).

Số báo khối lớp Năm mua là:

174 + 93 = 267 (tờ).

Trung bình mỗi lớp mua số báo là:

(174 + 96 + 267) : 3 = 179 (tờ)

Đáp số: Mỗi lớp mua 179 tờ.

Tiền lương căn bản trong 1 giờ:  

200000 : 8 = 25000 (đồng).

Tiền lương tăng ca trong 1 ngày:   

(25000 . 3) . 150% = 112500 (đồng).

Tiền lương nhận được trong 1 tháng:

(200000 . 26) + 112500 . 10 = 6325000 (đồng).

Đáp số: 6325000 đồng.

Gọi chiều dài là a ; chiều rộng là b (m)

Ta có a + b = 5(a – b)

⇔ a + b = 5a – 5b

⇔ 6b = 4a

⇔ 3b = 2a

Lại có ab = 486

⇔ 2ab = 2 . 486

⇔ (3b) . b = 972

⇔ b² = 324

Suy ra b = 18 vì 18² = 324.

Suy ra a = 486 : 18 = 27

Chu vi hình chữ nhật là:

(27 + 18) . 2 = 90 (m).

Đáp số: 90 m.

a) Thể tích của hộp là:

20 . 10 . 8 = 1600 (cm³).

b) Diện tích xung quanh là:

2 . (20 + 10) . 8 = 480 (cm²).

Diện tích 2 đáy là:

20.10.2 = 400 (cm²).

Diện tích bìa cứng để làm hộp là:

480 + 400 = 880 (cm²).

Nếu đi từ B đến C với vận tốc ban đầu thì sau 2 giờ đoàn học sinh mới đến D cách C là 2 km. 

Vậy đoạn AB dài hơn đoạn BD là 2,5 km. Suy ra thời gian đi đoạn đường AB nhiều hơn thời gian đi đoạn đường BD (với vận tốc ban đầu) là 30 phút.

Trong 30 phút đi được 2,5 km.

Vậy vận tốc ban đầu là: 

2,5 . 2 = 5 (km/giờ).

Quãng đường AB dài: 

5 . 2,5 = 12,5 (km).

Quãng đường BC dài là:

12,5 − 0,5 = 12(km).

Quãng đường AC dài là: 

12,5 + 12 = 24,5 (km).

Đáp số: 24,5 km.

Quãng đường thứ nhất được sửa là :

1 hm = 0,1 km

Quãng đường thứ hai được sửa là:

0,1 : 2 = 0,05 (km)

Quãng đường dài số ki–lô–mét là:

0,05 + 0,5 = 0,55 (km)

Vậy quãng đường đó dài 0,55 km.

Vì 45 = 9 . 5 = 3 . 3. 5

Vậy 1 số chia hết cho 45 thì chia hết cho 3.

Gọi số cần tìm là A

Ta có: A . 4 + 18 = 7742

A = (7742 – 18) : 4

A = 1931.

Vậy số cần tìm là 1931.

Gọi số cần tìm là $\overline{ab}$  (a ≠ 0; a, b < 10)

Ta có:

$\overline{6ab}$ = 9 . $\overline{ab}$

⇔ 600 + $\overline{ab}$ = 9 .$\overline{ab}$

⇔ 600 = 8 .$\overline{ab}$

⇔ $\overline{ab}$  = 600 : 8

⇔$\overline{ab}$  = 75

Vậy số cần tìm là 75.

2x⁴ – x³ – 5x² + x + 2 = 0 (*)

⇔ (2x⁴ + x³ – 2x²) – (2x³ + x² – 2x) – (2x² + x – 2) = 0

⇔ x² (2x² + x – 2) – x (2x² + x – 2) – (2x² + x – 2) = 0

⇔ (2x² + x – 2)(x² – x – 1) = 0

⇔$\left[\begin{array}{l}2x^2+x–2=0\\ x^2–x–1=0\end{array}\right.$

⇔$\left[\begin{array}{l}x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{-1\pm \sqrt{17}}{4}\end{array}\right.$.

10 + 2x = 4⁵ : 4³

10 + 2x = 4² = 16

2x = 6

x = 3.

Vậy x = 3.

4³⁰ = 2³⁰ . 2³⁰ = 2³⁰ . (2²)¹⁵ = 2³⁰ . 4¹⁵

3.24¹⁰ = 3.3¹⁰.8¹⁰ = 3¹¹ . (2³)¹⁰ = 3¹¹ . 2³⁰

Mà 4¹⁵ > 3¹¹ hay 4³⁰ > 3¹¹

Vậy 2³⁰ + 3³⁰ + 4³⁰ > 3.24¹⁰.

a) Vì tứ giác ABCD là hình bình hành

Suy ra AB // CD, AB = CD.

Vì AB = CD mà M, N lần lượt là trung điểm AB, CD.

Suy ra AM = CN (1).

Mà AM // CN (M, N thuộc AB, CD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

b) Vì AMCN là hình bình hành nên AN//CM.

Xét tam giác ABE có

MF//AE, M là trung điểm AB

⇒ MF là đường trung bình của tam giác

⇒ F là trung điểm BE

Chứng minh tương tự với tam giác CDF, ta được E là trung điểm DF.

⇒ DE = EF = FB.

Vậy DE = EF = FB.

Chu vi hình chữ nhật là:

 6 . 4 = 24 (cm)

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

24 : 2 = 12 (cm).

Chiều rộng hình chữ nhật là:

(12 – 6) : 2 = 3 (cm).

Chiều dài hình chữ nhật là:

3 + 6 = 9 (cm).

Diện tích hình chữ nhật là:

9 . 3 = 27 (cm²).

Đáp số: 27 cm².

Số học sinh trung bình là:

45 . $\frac{7}{15}$= 21 (học sinh).

Tổng số học sinh giỏi và khá là:

   45 – 21 = 24 ( học sinh )

Số học sinh khá bằng 140% số học sinh giỏi tức là số học sinh khá bằng  $\frac{14}{10}$ lần số học sinh giỏi.

Số học sinh khá là:

 24 : ( 14 + 10 ) . 14 = 14 ( học sinh )

Số học sinh giỏi là:

 24 – 14 = 10 ( học sinh )

Đáp số : Giỏi : 10 học sinh; Khá : 14 học sinh; Trung bình : 21 học sinh.

Chiều rộng miếng bìa là:

18 : 2 = 9 (cm).

Diện tích miếng bìa là:

18 . 9 = 162 (cm²).

Gọi số cần tìm là n

Có n : 11 dư 6 ⇒ n – 6 chia hết cho 11 ⇒ n – 6 + 33 = n + 27 chia hết cho 11 (Do 33 chia hết cho 11) (1)

Có n : 4 dư 1 ⇒ n – 1 chia hết cho 4 ⇒ n – 1 + 28 = n + 27 chia hết cho 4 (Do 28 chia hết cho 4) (2)

Có n : 19 dư 11 ⇒ n – 11 chia hết cho 19 ⇒ n – 11 + 38 = n + 27 chia hết cho 19 (Do 38 chia hết cho 19) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

n + 27 chia hết cho các số 4 ; 11 ; 19 ⇒ n + 27 ∈ BCNN(4 ; 11 ; 19)

Lại có:

4 = 2²

11 = 11

19 = 19

BCNN (4; 11; 19) = 2² . 11 . 19 = 836.

Vậy n = 836 – 27 = 809.

Đổi : 1 giờ 12 phút = 1,2 giờ.

1,2 giờ xe đạp máy đi là:

97,5 – 75 = 22,5 (km )

Vận tốc là:

22,5 : 1,2 = 18,75 (km/giờ )

Quãng đường xe Honda đi là:

200 – 75 = 125 (km )

Đi 75 km trong:

75 : 18,75 = 4 (giờ )

Vận tốc xe Honda là:

125 : 4 = 31,25 (km/giờ ).

Gọi 5 số đó là a; b; c; d; e . ta có a+ b + c + d + e = 1

Không mất tính tổng quát, giả sử  0 < a < b < c < d < e 

Nhận xét: c + d <$\frac{2}{3}$  . Vì nếu c + d >  $\frac{2}{3}$

Ta có: 2e > c + d > $\frac{2}{3}$ ⇒ e  > $\frac{1}{3}$ ⇒ e + c + d > $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$   = 1 .

Mâu thuẫn với a + b + c + d + e = 1 và a, b, c, d, e không âm.

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

$cd < \frac{1}{4}{\left(c+d\right)}^2 \Rightarrow cd < \frac{1}{9}$

Mặt khác:

1 = a + b + c + d + e  > a + 3b + e  >  3b + e  > $2\sqrt{3be}$

Suy ra: $be\le {\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{1}{12}<\frac{1}{9}$

Ta có: ae < be <$\frac{1}{12}<\frac{1}{9}$  ; bc < cd < $\frac{1}{9}$ ; da < dc < $\frac{1}{9}$

Vậy có thể sắp xếp 5 số a, b, c, d, e theo thứ tự như sau: a, e, b, c, d đều thỏa mãn tích 2 số bất kì cạnh nhau không vượt quá $\frac{1}{9}$.

Tổng mới của hai số là:

46182 + 99 – 145 = 46136.

Đáp số : 46136.

Số thập phân là: 406,302.

Ta có: 3n + 1 chia hết cho 11 – 2n

⇒ 2(3n + 1) chia hết cho 11 – 2n

⇒ 6n + 2 chia hết cho 11 – 2n (1)

Mà 3(11 – 2n) chia hết cho 11 – 2n

⇒ 33 – 6n chia hết cho 11 – 2n (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 6n + 2 – (33 – 6n) chia hết cho 11 – 2n

Hay 35 chia hết cho 11 – 2n ⇒ 11 – 2n ∈ Ư(35)

⇒ 11 – 2n ∈ {1; 35; 7; 5}

⇒ 2n ∈ {10; 4; 6} (do n là số tự nhiên)

⇒ n ∈ {5; 2; 3}.

Vậy n ∈ {5; 2; 3}.

Trong hai số tự nhiên:

– Số nào có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn. Số nào có ít chữ số hơn thì bé hơn.

– Nếu hai số có chữ số bằng nhau thì so sánh từng cặp chữ số ở cùng một hàng kể từ trái sang phải.

Vậy sắp xếp đúng là: 6035, 9872, 24655, 63298, 63817, 90909.

Thứ tự sắp xếp đúng là: 42,48; 42,56; 43,13; 45,29; 45,3.

Gọi D là giao điểm của AH và BC

⇒ AD ⊥ BC

M là trung điểm BC nên $\frac{AM}{GM}=3$  (1)

Xét ΔADC và ΔBDH có:

$\widehat{ADC}=\widehat{BDH}$= 90°

$\widehat{DAC}=\widehat{DBH}$

Do đó ΔADC ᔕ ΔBDH(g.g)

⇒ $\frac{AD}{BD}=\frac{DC}{DH}\Rightarrow \frac{AD}{BD.DC}=\frac{1}{DH}$

⇒ $\frac{AD.AD}{BD.DC}=\frac{AD}{DH}$

 ⇒ tanB. tanC = $\frac{AD}{DH}$

⇒ $\frac{AD}{DH}$  = 3 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $\frac{AD}{DH}$ = $\frac{AM}{GM}$

⇒ HG // BC (định lý Thales đảo).

a) Giải đấu có số trận là: $C_6^2$  =15 trận

b) Gọi số trận hoà là: x (x ∈ ℕ)

⇒ Số trận không hoà là: 15 – x

Trong trận hoà thì cả hai đội đều tính là hoà nên số điểm của 1 trận hoà là 22 điểm

⇒ Số điểm của các trận hoà là: 2x (điểm)

Trong 1 trận không hoà có 11 độ thắng, 11 đội thua nên số điểm của 1 trận không hoà là 33 điểm

⇒ Số điểm của các trận không hoà là: 3(15 – x) (điểm)

Tổng số điểm là 41 điểm

⇒ 2x + 3(15 – x) = 41

⇔ x = 4

Vậy số trận hoà là 4 trận.

(6x + 1)² + (6x – 1)² – 2(1 + 6x)(6x – 1)

= [(6x + 1) – (6x – 1)]²

= (6x + 1 – 6x + 1)²

= 2²

= 4.

Theo đề bài ta có sơ đồ:

Dựa vào sơ đồ, ta thấy An có nhiều hơn Bình:

20 + 20 + 16 = 56 (viên bi)

Số viên bi An có là:

(120 + 56) : 2 = 88 (viên bi)

Số viên bi Bình có là:

120 – 88 = 32 (viên bi)

Đáp số: An: 88 viên bi

  Bình: 32 viên bi

Ta có: $\widehat{A}=\widehat{C}$ (tính chất hình bình hành)

$\widehat{A_2}=\frac{1}{2}\widehat{A}$( Vì AM là tia phân giác của $\widehat{BAD}$)

 $\widehat{C_2}=\frac{1}{2}\widehat{C}$( Vì CN là tia phân giác của  $\widehat{BCD}$ )

Suy ra: $\widehat{A_2}$=  $\widehat{C_2}$

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Hay AN // CM (1)

Mà  $\widehat{N_1}$ = $\widehat{C_2}$ (so le trong)

Suy ra:  $\widehat{A_2}$=$\widehat{N_1}$

⇒ AM // CN (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

Gọi số có dạng 

a_n = 11...1 có n chữ số 1

Xét dãy p số a₁, a₂, a₃,.., a_p

Nếu tồn tại 1 trong p số trên chia hết cho p thì ta có điều phải chứng minh

Nếu không tồn tại số nào chia hết cho p:

⇒ Khi chia p số trên cho p ta được p – 1 số dư

⇒ Tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư

Giả sử 2 số đó là a_m, a_n, m > n

⇒ a_m−a_n ⋮ p

⇒ 11...1000...0 ⋮ p có m – n chữ số 1, n chữ số 0

⇒11...1 . 10ⁿ ⋮ p

Vì p > 5 ⇒10ⁿ không chia hết cho p

⇒ 11...1 ⋮ p.

a) Ta có D, E là hình chiếu của M trên AB, AC

Nên DM ⊥ AB và ME ⊥ AC, hay $\widehat{ADM}=\widehat{AEM}$  = 90° 

 Xét tứ giác ADME có  $\widehat{DAE}=\widehat{ADM}=\widehat{AEM}$ = 90° 

Suy ra ADME là hình chữ nhật.

b) Gọi H là trung điểm BC

Ta có: AH ⊥ BC

ADME là hình chữ nhật nên DE = AM.

Mà AM ≥ AH nên DE ≥ AH

Dấu “=” xảy ra khi M ≡ H

Vậy DE có độ dài nhỏ nhất là AH khi M là trung điểm BC.

Ta có:

n (Ω) = 20 . 20 = 400

Gọi A là biến cố để tích số ghi trên hai quả cầu là số chia hết cho 6.

+ Trường hợp 1: quả ở hộp 1 chia hết cho 6 hoặc quả hộp 2 chia hết cho 6

Từ 1 đến 20 có 6, 12, 18 chia hết cho 6.

Số cách chọn là: 2. = 120 (cách)

+ Trường hợp 2: quả ở một hộp chia hết cho 3 (nhưng không chia hết cho 2), quả ở hộp còn lại là số chẵn (và không chia hết cho 3).

Từ 1 đến 20 có 3 số không chia hết cho 2 và chia hết cho 3 là: 3; 9; 15.

Từ 1 đến 20 có 7 số chia hết cho 2 và không chia hết cho 3 là: 2; 4; 8; 10; 14; 16; 20.

Số cách chọn là: 3.7.2 = 42 (cách)

n (A) = 120 + 42 = 162

P(A) = $\frac{162}{400}=\frac{81}{200}$ .

Số phần tử của A là:

6 . $A_6^3$ = 720.

Số cách chọn 1 số có hàng đơn vị là số 0 có:

$A_6^3$= 120 (cách)

Số cách chọn 1 số có hàng đơn vị là số 5 có:

5 .$A_5^2$ = 100 (cách)

Số cách chọn 1 số chia hết cho 5 là:

120 + 100 = 220 (cách)

Xác suất để số được chọn là một số chia hết cho 5 là:

220 : 720 = $\frac{11}{36}$ .

Lời giải:

126 học sinh nam có thể chia là số nhóm (mỗi nhóm 7 học sinh) là:

126 : 7 = 18 (nhóm).

Cứ 1 nhóm là có 3 học sinh nữ, cho nên số học sinh nữ là:

18 . 3 = 54 (học sinh).

Vậy trường có tổng số học sinh là:

126 + 54 = 180 (học sinh).

Đáp số: 180 học sinh.

Nhà bếp cần chuẩn bị số kg gạo là:

65 . 20 . 30 = 39000 (kg)

Đổi 39000kg = 39 tấn

Đáp số: 39 tấn gạo.

cos 3x = sin x

⇔ cos 3x – sin x = 0

⇔ cos 3x = sin x = cos$\left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

⇔ $\left[\begin{array}{l}3x=-x+\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ 3x=x-\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\\ x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + 2045

A = (x – 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3) + 2045

A = (x² + 5x – 6)(x² + 5x + 6) + 2045.

A = (x² + 5x)² – 6² + 2045

A = (x² + 5x)² + 2009

Vì (x² + 5x)² ≥ 0 với mọi x nên A ≥ 2009.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2009 khi: x² + 5x = 0

Suy ra: x = 0 hoặc x = – 5.

36 – y² = 8(x – 2020)²

⇔ $\frac{36–y^2}{8}={\left(x–2020\right)}^2$

Vì x, y ∈ ℕ suy ra: $\frac{36–y^2}{8}$ là một số chính phương

Mà y ≥ 0 suy ra: 0 ≤$\frac{36–y^2}{8}$ ≤ $\frac{36}{8}=4,5$

Suy ra:   $\left[\begin{array}{l}\frac{36–y^2}{8}=0\\ \frac{36–y^2}{8}=4\end{array}\right.$ ⇔ $\left[\begin{array}{l}y=6\\ y=2\end{array}\right.$

Với y = 6 thì x = 2020

Với y = 2 thì x = 2022.

Vậy (x; y) ∈ {(2020; 6); (2022; 2)}.

 Xét tam giác ADH, tam giác AEH lần lượt vuông tại D, E nên:

$\widehat{ADH}+\widehat{AEH}$= 90° + 90° = 180°

Suy ra tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn (O)

Mà AH là đường kính.

Vậy D, E thuộc (O) đường kính AH.

Ta có: 126 = 2 . 3² . 7

Số các ước số của 126 là:

(1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 2 . 3 . 2 = 12.

A = (2 + 2² ) + (2³ +2⁴ ) + ... + (2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

A = 2.(1+2) + 2³ .(1 + 2) + ... + 2⁵⁹.(1 + 2)

A = 2.3 +2³.3 + … + 2⁵⁹ .3

A = 3 . (2 + 2³ + ... + 2⁵⁹ )

Vì 3 chia hết cho 3 ⇒ 3 . (2 + 2³ + ... + 2⁵⁹ ) chia hết cho 3

⇒ A chia hết cho 3.

A = (2 + 2² + 2³ ) +... + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

A = 2. (1 + 2 + 2² ) +... + 2⁵⁸ .(1 + 2 + 2² )

A = 2.7 +... +2⁵⁸ .7

A = 7.(2 + ...+ 2⁵⁸ )

Vì 7 chia hết cho 7 ⇒7.(2 + ...+ 2⁵⁸ ) chia hết cho 7

⇒ A chia hết cho 7.

A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴ )+...+(2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

A = 2.(1+ 2 + 2² + 2³ )+...+ 2⁵⁷.( 1+ 2 + 2² + 2³)

A = 2.15 + ... +2⁵⁷ .15

A = 15.(2 + ... +2⁵⁷ )

A = 3.5.(2 + ... +2⁵⁷ )

vì 5 chia hết cho 5 ⇒ 3.5.(2 + ... +2⁵⁷ ) chia hết cho 5

⇒ A chia hết cho 5

Vậy A chia hết cho 3, 5, 7.

Các bội của 28 là: 0; 28; 56; 84; 112; 140;….

A = (100 – 1) . (100 – 2) . . . . . (100 – 99) . (100 – 100)

A = 99.98…1.0

A = 0.

Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là n và n + 1

Ta có:

n + n + 1 = 4025

2n = 4024

n = 2012.

Vậy 2 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 2012 và 2013.

a + b + c + d = 0

⇔ a + b = – (c + d)

⇔ (a + b)³ = – (c + d)³

⇔ a³ + b³ + 3ab (a + b) = –c³ – d³ – 3cd(c + d)

⇔ a³ + b³ + c³ + d³ = – 3ab(a + b) – 3cd(c + d)

⇔ a³ + b³ + c³ + d³ = 3ab(c + d) – 3cd(c + d)

⇔ a³ + b³ + c³ + d³ = 3(ab – cd)(c + d).

Vậy a³ + b³ + c³ + d³ = 3(ab – cd)(c + d).

Coi 6ha tương ứng bằng 3 đoạn thẳng dài như nhau thì mỗi đoạn thẳng tương ứng:

6 : 3 = 2 (ha)

Diện tích trồng nhãn của xã tương ứng bằng 5 đoạn thẳng và bằng:

2 . 5 = 10 (ha) = 100000 (m²)

Đáp số: 100000 m².

Đổi: 1 tạ = 100 kg

1 con bò tiêu thụ số cỏ trong 1 ngày là:

100 : 4 = 25(kg)

2 con bò ăn cỏ trong 30 ngày tương ứng với:

2 . 30 = 60 (con bò)

2 con bò trong 30 ngày tiêu thụ hết số cỏ:

25 . 60 = 1500 (kg)

Đổi: 1500 kg = 1,5 tấn

Số cây lớp 4A trồng được là:

(700 – 150) : 2 = 275 (cây)

Số cây lớp 4B trồng được là:

(700 + 150) : 2 = 425 (cây)

Đáp số: lớp 4A: 275 cây; lớp 4B: 425 cây.

Ta có: 24 = 5! : $\sqrt{5.5}$  : 1 = 120 : 5 : 1

Vậy ta có phép tính 5! : $\sqrt{5.5}$   : 1 = 24.

Vì $\frac{3}{1998}$ > $\frac{3}{2000}$ nên $1-\frac{3}{2000}$ > $1-\frac{3}{1998}$  hay .$\frac{1997}{2000}>\frac{1995}{1998}$

(–23). 63 + 23. 21 – 58. 23

= 23 . (–63 + 21 – 58)

= 23. (–100)

= –2300.

Gọi số học sinh lớp Mai là x

Vì sau khi chia xong còn dư 3 kẹo và 2 bim bim 

⇒ 75–3 chia hết cho x; 50 – 2 chia hết cho x

⇒ 72 chia hết cho x; 48 chia hết cho x

Ta có

X ∈ BC{72; 48} (x > 20; x ∈ ℕ}

⇒ x ∈ BC{72; 48} = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24}

⇒ x = 24 (vì 24 thỏa mãn lớn hơn 20)

Vậy lớp Mai có 24 học sinh.

Số cái áo 1 máy dệt trong 1 ngày là:

264 : 24 = 11 (cái )

Số máy sau khi thêm là:

24 + 12 = 36 (máy)

Số áo mà 36 máy dệt được trong một ngày là

11 . 36 = 396 (cái)

Đáp số: 396 cái áo.

Ta có: 3 tấn = 3000kg

4 tấn 5 tạ = 4500kg

Ta thấy 3000kg < 4500kg < 5300kg

⇒ 3tấn < 4 tấn 5 tạ < 5300kg

Vậy khối lượng theo thứ tự giảm dần là:

 5300kg; 4 tấn 5 tạ; 3 tấn.

a) Đặt AH = x

Ta có:

AB² = AH.BH hay 100 = x.BH ⇒ x = $\frac{100}{BH}=\frac{100}{21-CH}$ (1)

AC² = AH.CH hay 289 = x.CH (2)

Thay (1) vào (2) ta có:

289 = $\frac{100}{21-CH}$ .CH

⇔ 6069 – 289CH = 100CH

⇔ CH ≈ 15,6 (cm)

AH = 289 : 25,6 ≈ 18,5 (cm)

b) Xét tam giác ABC có: cos A = $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{-13}{85}$

Suy ra:$\widehat{A}$ ≈ 99°

Tương tự: cos B =   $\frac{B{A}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.BA.BC}=\frac{3}{5}$

Suy ra:$\widehat{B}$ ≈ 53°

$\widehat{C}$= 180° – 99° – 53° = 28°.

n⁴ + 64 = (n² + 8)² – (4n)² = (n² + 8 – 4n)(n² + 8 + 4n)

Ta thấy: n⁴ + 64 chia hết cho n² + 8 – 4n và n² + 8 + 4n tức n⁴ + 64 có nhiều hơn 2 ước.

Vậy n⁴ + 64 là hợp số.

3x² + 6y² + 2z² + 3y²z² – 18 = 6 (1)

⇔ 3(x – 3)² + 6y² + 2z² + 3y²z² = 33 (2)

Vì 3(x – 3)² + 6y² +3y²z² chia hết cho 3 và 33 chia hết cho 3.

 Suy ra: z² chia hết cho 3

Mà 2z² ≤ 33.

Suy ra:  ≤ 3.

Vì z nguyên nên z = 0 hoặc  = 3.

+ Với z = 0 thì (2) trở thành: (x – 3)² + 2y² = 11 (3)

Từ (3) suy ra: 2y² ≤ 11.

⇒  ≤ 2.

– Nếu y = 0 thì (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn

– Nếu = 1 từ (3) suy ra: x ∈ {0; 6}

+ Với  = 3 thì (2) trở thành: (x–3)² + 11y² = 5 (4)

Từ (4) suy ra: 11y² ≤ 5.

⇒ y = 0, (4) không có số nguyên x nào thỏa mãn

Vậy (x; y; z) ∈ {(0;1;0); (0;–1;0); (6;1;0); (6;–1;0)}.

a) A = {0; 3; 6; 9; 12; 15};

Ta thấy các số 0; 3; 6; 9; 12; 15 là các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 16 nên ta viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng là:

A = {x | x là số tự nhiên chia hết cho 3, x < 16}.

b) B = {5; 10; 15; 20; 25; 30};

Ta thấy các số 5; 10; 15; 20; 25; 30 là các số tự nhiên chia hết cho 5, lớn hơn 0 và nhỏ hơn 31 (hoặc ta có thể viết nhỏ hơn 32; …; 35).

Vậy ta có thể viết tập hợp B bằng các cách sau:

Cách 1:

B = {x | x là các số tự nhiên chia hết cho 5, 0 < x < 31}.

Cách 2:

B = {x | x là các số tự nhiên chia hết cho 5, 0 < x < 35}…

c) C = {10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90};

Ta thấy các số 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90 là các số tự nhiên chia hết cho 10, lớn hơn 0 và nhỏ hơn 100 (hoặc ta có thể viết nhỏ hơn 91; …; 99).

Vậy ta có thể viết tập hợp C bằng các cách sau:

Cách 1:

C = {x | x là các số tự nhiên chia hết cho 10, 0 < x < 91}.

Cách 2:

C = {x | x là các số tự nhiên chia hết cho 10, 0 < x < 100}…

d) D = {1; 5; 9; 13; 17}

Ta thấy các số 1; 5; 9; 13; 17 là các số tự nhiên thỏa mãn số sau hơn số trước 4 đơn vị (hay còn gọi là hơn kém nhau 4 đơn vị), lớn hơn 0 và nhỏ hơn 18.

Do đó ta viết tập hợp D là:

D = {x | x là các số tự nhiên hơn kém nhau 4 đơn vị, 0 < x < 18}.

Các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập được là:

123; 132; 231; 213; 321; 312.

Ta có:

1² + 2² + 3² + … + 10² = 385

Suy ra: 1² + 3² + 5² + 7² + 9² = 385 – (2² + 4² + 6² + 8² + 10²)

1² + 3² + 5² + 7² + 9² = 385 – 2² (1² + 2² + 3² + 4² + 5²)

12² + 14² + 16² + 18² + 20² = 2² (6² + 7² + 8² + 9² + 10²)

Suy ra: S = (12² + 14² + 16² + 18² + 20²) – (1² + 3² + 5² + 7² + 9²)

S = 2² (6² + 7² + 8² + 9² + 10²) – 385 + 2² (1² + 2² + 3² + 4² + 5²)

S = 2² (1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² + 10²) – 385

S = 4.385 – 385

S = 1155.

Vậy S = 1155.

Theo bài ra ta có:

y = x³ – 6x² – 1

y' = 3x² – 12x

Xét y' = 0 ta có:

3x² – 12x = 0

⇔ x² – 4x = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}\right.$

Ta có bảng biến thiên:

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị là A (0; –1) và B (4; –33).

Nếu 1 người ăn hết số gạo đó trong số ngày là:

14 . 5 = 70 ( ngày)

Số người sau khi thêm là:

5 + 2 = 7 (người)

7 người ăn số gạo đó trong số ngày là:

70 : 7 = 10 (ngày)

Đáp số: 10 ngày.

Gọi số nguyên dương có 3 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là  (a ≠ 0; a, b, c < 10)

Ta có: a.b.c = 18

Ta thấy: 18 = 1.3.6 = 1.2.9 = 3.3.2

Vậy lập được các số là: 136; 163; 361; 316; 613; 631; 921; 912; 192; 129; 219; 291; 332; 323; 233.

Vậy có 15 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải:

Ta có: 9 = 3.3

$\frac{2}{3}=\frac{2.30}{3.30}=\frac{60}{90}$

$\frac{7}{9}=\frac{7.10}{9.10}=\frac{70}{90}$

$\frac{11}{30}=\frac{11.3}{30.3}=\frac{33}{90}$

30 = 3.10

Vậy mẫu số chung nhỏ nhất là 90.

Giả sử n² – 14n – 256 là số chính phương

Suy ra: n² – 14n – 256 = a² (a ∈ ℕ^*).

⇔ n² – 7n – 7n + 49 – 305 = a²

⇔ (n – 7)² – a² – 305 = 0

⇔ (n – 7 + a)(n – 7 – a) = 305

Vì a, n đều là số tự nhiên nên n – 7 – a < n – 7 + a

Mà 305 = 1.305 = 5.61

+ Nếu n – 7 + a = 305 và n – 7 – a = 1

⇒ n – a = 8; n + a = 312

⇒ n = 160

+ Nếu n – 7 + a = 61 và n – 7 – a = 5

⇒ n – a = 12; n + a = 68

⇒ n = 40.

Vậy n = 40 hoặc n = 160.

Từ 2 đến 9 có số chữ số là:

(9 − 2) : 1 + 1 = 8 (số).

Để viết từ 2 đến 9 cần số chữ số là:

8 . 1 = 8 (chữ số).

Từ 10 đến 99 có số chữ số là:

(99 − 10) : 1 + 1 = 90 (số).

Để viết từ 10 đến 99 cần

Số chữ số là:

90 . 2 = 180 (chữ số).

Từ 100 đến 125 có số chữ số là:

(125 − 100) : 1 + 1 = 26 (số).

Để viết từ 2 đến 9 cần số chữ số là:

26 . 3 = 78 (chữ số).

Đồng hồ hình tròn có 12 con số ứng với 360 độ.

60 phút thì kim phút sẽ quay được 360 độ nên 1 phút thì kim phút sẽ quay được:

360 : 60 = 6 (độ)

12 giờ, kim giờ sẽ quay được 360 được nên 1 giờ thì kim giờ sẽ quay được:

360 : 12 = 30 (độ)

1 phút kim giờ quay được:

30 : 60 = 0,5 (độ)

Đồng hồ kim chỉ 1 giờ 15 phút tạo góc:

$\left|6.15-0,5.\left(1.60+15\right)\right|$ = 52,5 (độ).

Ta có:

(–5)³⁹ = [(–5)³]¹³ = (–125)¹³

(–2)⁹¹ = [(–2)⁷]¹³ = (–128)¹³

Vì (–125)¹³ > (–128)¹³ nên (–5)³⁹ > (–2)⁹¹.

Ta có:

2014 ≡ 1 (mod 3)

Suy ra: 2014²⁰¹³ ≡ 1 (mod 3) hay 2014²⁰¹³ – 1 chia hết cho 3

Mà 2014²⁰¹³ – 1 > 3 nên 2014²⁰¹³ – 1 là hợp số.

Vậy 2014²⁰¹³ – 1 và 2014²⁰¹³ + 1 không thể đồng thời là hai số nguyên tố.

Ta có:

AB² = AC² + BC²

AB =$\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{{12}^2+{22}^2}=2\sqrt{157}$

Vì tam giác ABC vuông tại C nên = 90°

$\widehat{B}$= 180° – 90° – 42°= 48°.

Lời giải:

20 – [30 – (5 – 1)²]

= 20 – [30 – 16]

= 20 – 14

= 6.

47 – [(45. 2⁴ – 5² . 12) : 14]

= 47 – (420 : 14)

= 47 – 30

= 17.

1 người trong 1 giờ quét được số mét vuông là

120 : 4 : 6 = 5 (m²).

8 người trong 1 giờ quét được số mét vuông là

5 . 8 = 40 (m²).

Để quét được 200 mét vuông cần số giờ là

200 : 40 = 5 (giờ).

Đáp số: 5 giờ.

Số thập phân đó là: 0,72.

Tổng của hai số là:

9 × 2 = 18

Số còn lại là:

18 – 12 = 6.

Đáp số: 6.

+ Trường hợp 1: Các số p_i đều lớn hơn 2

Do p_i nguyên tố nên p_i có dạng 4n + 1 hoặc 4n + 3.

⇒ p_i² chia 4 luôn dư 1.

p₁² + p₂² + p₃² + p₄² + p₅² + p₆² + p₇² chia 4 dư 3 hay vế trái có dạng 4k + 3

Mà vế phải (*) là p₈² có dạng 4t + 1 (vì là số chính phương)

Suy ra: Trường hợp 1 vô nghiệm.

+ Trường hợp 2: có 1 số nguyên tố chẵn (bằng 2), các số còn lại lẻ:

Giả sử số nguyên tố chẵn đó là p₁², khi đó vế trái là số chẵn và lớn hơn 2

Vế phải là số chẵn hay p₈ = 2 (vô lí)

Vậy trường hợp này loại.

+ Trường hợp 3: có 2 số bằng 2.

Giả sử p₁ = p₂ = 2.

Khi đó: p₁² + p₂² = 8 chia hết cho 8

⇒ p₃² + p₄² + p₅² + p₆² + p₇² chia 8 dư 7

Mà p₈² chia 8 dư 1.

Vậy trường hợp 3 vô nghiệm.

+ Trường hợp 4: có 6 số bằng 2, 1 số > 2

Giả sử: p₁ = p₂ = … = p₆ = 2, p₇ > 2.

Ta có: 24 + p₇² = p₈²

24 = (p₈ – p₇)( p₈ + p₇)

Ta thấy 24 = 3.8 = 12.2 = 1.24 = 4.6

Thử các trường hợp ta được p₇ = 5 và p₈ = 7 là thỏa mãn.

Vậy các số cần tìm là: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5.

Trung bình cộng của sáu số đó là:

42 : 6 = 7.

Đáp số: 7.

a) Nối O với C.

Có: CO, AO, OB là bán kính; AB là đường kính

⇒ CO = AO = OB = 10 (cm) =  $\frac{AB}{2}$

Có: I là trung điểm của OA (giả thiết) nên AI = IO = 5 (cm) = $\frac{AO}{2}$  .

Có:  CD⊥OA tại I  hay OI ⊥ CD tại I nên $\widehat{OIC}=\widehat{OID}$ = 90°.

Xét (O), có:

AO là 1 phần của đường kính

CD là dây cung không đi qua tâm

AO ⊥ CD tại I

⇒ I là trung điểm của CD (Mối quan hệ giữa đường kính và dây)

⇒ CI = ID = $\frac{CD}{2}$$5\sqrt{3}$  ⇔ CD = 2CI = 2ID

Xét ΔOIC vuông tại I có:

CO² = CI² + IO²

10² = CI² + 5²  

CI² = 75

⇒ CI =  (cm)

⇒ CD = 2CI = 2 . $5\sqrt{3}$  = $10\sqrt{3}$  (cm)

Gọi số quả cam là a

Thì số quả táo là 2a

Số quả xoài là 3a

Ta có: a + 2a + 3a = 18

6a = 18

a = 3

Vậy số quả cam là 3 quả.

Số quả táo là:

3 . 2 = 6 (quả).

Số quả xoài là:

3 . 3 = 9 (quả).

Đồng hồ hình tròn có 12 con số ứng với 360 độ.

60 phút thì kim phút sẽ quay được 360 độ nên 1 phút thì kim phút sẽ quay được:

360 : 60 = 6 (độ)

12 giờ, kim giờ sẽ quay được 360 được nên 1 giờ thì kim giờ sẽ quay được:

360 : 12 = 30 (độ)

1 phút kim giờ quay được:

30 : 60 = 0,5 (độ)

Gỉa sử góc  khi chỉ a giờ b phút thì được tính như sau:

=$\left|6°.b-0,5\left(60a+b\right)\right|$ .

1 người ăn hết số gạo trong số ngày là:

120 . 12 = 1440 (ngày)

80 người ăn hết số gạo là:

1440 : 80 = 18 (ngày)

Đáp số: 18 ngày.

S = x⁰ + x¹ + … + xⁿ

S . x = x¹ + x² + … + xⁿ⁺¹

S.x – S = (x¹ + x² + … + xⁿ⁺¹) – (x⁰ + x¹ + … + xⁿ)

S (x–1) = xⁿ⁺¹ – x⁰

S = $\frac{x^{n+1}–x^0}{x-1}$

S = $\frac{x^{n+1}–\text{ 1}}{x-1}$  .

Hiệu chiều dài và chiều rộng là:

9 + 9 = 18 (cm)

Chiều rộng mảnh đất là:

18 : (5 – 2) . 2 = 12 (cm)

Chiều dài mảnh đất là:

12 + 18 = 30 (cm)

Diện tích mảnh đất là:

30 . 12 = 360 (cm²).

Đáp số: 360 cm².

Đổi: 1 tấn 8 tạ = 18 tạ

Xe thứ hai chở được:

18 + 4 = 22 (tạ)

Cả hai xe chở được số tạ hàng là:

18 + 22 = 40 (tạ)

Đáp số : 40 tạ hàng

Ngày 2 bán được số kg gạo là:

252 : 3 = 84 (kg)

Ngày 3 bán được số kg gạo là:

252 . 2 = 504 (kg)

Trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được số kg gạo là:

(252 + 84 + 504) : 3 = 280 (kg)

Đáp số: 280 kg.

Độ dài cạnh AC là:

3,25 + 1,5 = 4,75 (cm).

Độ dài cạnh BC là:

3,25 + 1,75 = 5 (cm).

Chu vi hình tam giác ABC là:

3,25 + 4,75 + 5 = 13 (cm).

Đổi: 9m =  90dm, 6m = 60dm

Diện tích căn phòng là:

90 . 60 = 5400 (dm²)

Diện tích viên gạch là:

3 . 3 = 9 (dm²)

Cần số viên gạch là:

5400 : 9 = 600 (viên)

Đáp số: 600 viên gạch.

ab(a + b) – bc(b + c) – ac(c – a)

= a²b + ab² – bc(b + c) – ac² + a²c

= (a²b + a²c) + (ab² – ac²) – bc(b + c)

= a²(b + c) + a(b + c)(b – c) – bc(b + c)

= (b + c)(a² + ab – ac – bc)

= (b + c)(a + b)(a – c).

a³ + b³ + c³ = 3abc

(a + b + c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc) = 0

Vì a + b + c > 0 nên a² + b² + c² – ab – ac – bc = 0

⇔ 2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2ac – 2bc = 0

⇔ (a–b)² + (b–c)² + (c–a)² = 0

Vì (a–b)² + (b–c)² + (c–a)² ≥ 0 với mọi a, b, c nên để đẳng thức xảy ra thì:

$\left\{\begin{array}{l}a-b=0\\ b-c=0\\ c-a=0\end{array}\right.$hay $\left\{\begin{array}{l}a=b\\ b=c\\ c=a\end{array}\right.$

Vậy a = b = c.

Tổng số giá cũ và giá tăng là:

25 % + 100% = 125 %

Cần giảm giá để giá như ban đầu là:

25% : 125% =  $\frac{1}{5}$ hay 20%

Vậy cần giảm 20%.  

Một số giảm đi 20% tức là giảm đi  $\frac{1}{5}$của nó.

Số mới còn lại:

100% − 20% = 80% (số cũ)

Để số mới trở lại số cũ thì cần tăng thêm:

(100% : 80%) − 100% = 25%

Vậy phải giảm đi 25% để lại được số ban đầu.

Trung bình 3 bạn làm được số bông hoa là:

(16 + 19 + 5) : 2 = 20 (bông hoa)

Cả ba bạn làm được số bông hoa là:

20 × 3 = 60 (bông hoa)

Đáp số: 60 bông hoa.

Chiều cao của hình thang đó là :

2 × 144,5 : (12,5 + 4,5) = 17(m).

Diện tích mảnh đất hình thang lúc đầu là :

17 × (49 : 2) = 416,5 (m²).

Đáp số : 416,5 m² .

Phân xưởng phải sản xuất:

12 × 50 × 20 = 12000 (sản phẩm).

Nếu 20 công nhân, mỗi người làm 60 sản phẩm 1 ngày thì sẽ hoàn thành trong:

12000 : 20 : 60 = 10 (ngày).

Đáp số: 10 ngày.

Chiều dài thật của sân vân động là :

6 . 3000 = 18000 (cm) = 180 m

Chiều rộng thật của sân vân động là :

3 . 3000 = 9000 (cm) = 90m

Diện tích sân vận động là :

180 . 90 = 16200 (m²)

Đáp số: 16200 m².

Số sách đã cho là bội chung của 8, 10, 14, 20 và thuộc khoảng từ 250 đến 400.

Ta có:

8 = 2³

10 = 2.5

14 = 2.7

20 = 2².5

BCNN (8, 10, 14, 20) = 2³ . 5 . 7 = 280

Mà số sách trong khoảng từ 250 đến 400 cuốn nên số sách đã cho là 280 cuốn.

a) Vì số cần tìm chia hết cho 2 nên chữ số tận cùng phải là 4; số lớn nhất nên chữ số hàng trăm là 5. Vậy số cần tìm là 534.