Nửa chu vi của mảnh đất là: 96 : 2 = 48 (m).

Tổng số phần bằng nhau là: 5 + 3 = 8 (phần)

Chiều dài của mảnh đất là: 48 : 8 . 5 = 30 (m).

Chiều rộng của mảnh đất là: 48 – 30 = 18 (m).

Diện tích mảnh đất là: 30 . 18 = 540 (m²).

Diện tích phần đất xây nhà là: $540.\frac{1}{12}=45$   (m²).

Đáp số: 45 m².

a) Nửa chu vi sân vườn là: 64 : 2 = 32 (m).

Chiều dài của sân vườn là: 32 : (3 + 1) . 3 = 24 (m).

Chiều rộng của sân vườn là: 32 – 24 = 8 (m).

Diện tích khu vườn là: 24 . 8 = 192 (m²).

b) Số tiền mua lưới kẽm là: 64 . 100 000 = 6 400 000 (đồng).

Đáp số: a) 192 m²;

             b) 6 400 000 đồng.

Đổi: 25 ha = 250 000 m².

Diện tích vườn hoa chiếm số phần diện tích công viên là: $800:250000=\frac{2}{625}$ .

Đáp số: $\frac{2}{625}$ .

Tóm tắt: 750 người: 40 ngày.

                  ? người: 25 ngày.

Bài giải

Số người ăn hết số gạo trong 1 ngày là:

      750 . 40 = 30 000 (người).

Số người ăn hết gạo đơn vị đã chuẩn bị trong 25 ngày là:

    30 000 : 25 = 1 200 (người).

Số người chuyển đến thêm là:

      1 200 – 750 = 450 (người).

Đáp số: 450 người.

a) Số ngày 1 công nhân sửa xong đoạn đường là:

       12 . 8 = 96 (ngày).

Nếu đội công nhân có 12 người thì sửa xong đoạn đường trong số ngày là:

       96 : 12 = 8 (ngày).

b) Muốn sửa xong đoạn đường trong 6 ngày thì cần số công nhân là:

       96 : 6 = 16 (công nhân).

Đáp số: a) 8 ngày;

             b) 16 công nhân.

Lời giải

(7¹⁵.40 + 7¹⁵.9) : 7¹⁷

= (40 + 9) . 7¹⁵ : 7¹⁷

= 49 . 7¹⁵ : 7¹⁷

= 7² . 7¹⁵ : 7¹⁷

= 7^{2 + 15} : 7¹⁷

= 7¹⁷ : 7¹⁷

= 7^{17 – 17}

= 7⁰

= 1.

Giá tiền cái đầm trước khi giảm giá là:

297 000 : (100% – 40%) = 495 000 (đồng).

Đáp số: 495 000 đồng.

Số tuổi của bà là: 12 . 7 = 84 (tuổi).

Lan sinh vào năm: 2023 – 12 = 2011.

Số tuổi của mẹ sau 8 năm nữa là:

         32 + 8 = 40 (tuổi).

Số tuổi của Lan sau 8 năm nữa là:

        12 + 8 = 20 (tuổi).

Sau 8 năm nữa thì số tuổi của mẹ gấp số lần số tuổi của Lan là:

        40 : 20 = 2 (lần).

Đáp số: 2 lần.

Giá trị của 1 phần bằng nhau lúc ban đầu là:

      30 : 3 = 10 (viên bi).

Số viên bi ban đầu của An là:

     10 . 6 = 60 (viên bi).

Số viên bi ban đầu của Bình là:

     10 . 5 = 50 (viên bi).

Đáp số: An: 60 viên bi; Bình: 50 viên bi.

Ta có:

⦁ Thứ năm đầu tiên là ngày 2.

⦁ Thứ năm thứ hai là ngày 9.

⦁ Thứ năm thứ ba là ngày 16.

⦁ Thứ năm thứ tư là ngày 23.

⦁ Thứ năm thứ năm là ngày 30.

Ta không thể chọn thứ năm đầu tiên là ngày 1 hoặc ngày 3 vì trong tháng đó có 3 ngày thứ 5 trùng vào ngày chẵn.

Vậy ngày 26 của tháng đó là ngày Chủ nhật.

Điều kiện: x ∈ ℕ*.

Nhà toán học De Morgan sinh năm 1806 nên số tuổi của ông vào năm x² là x² – 1806.

Hay x = x² – 1806.

⇒ x² – x – 1806 = 0.

⇒ x² – 43x + 42x – 1806 = 0.

⇒ x(x – 43) + 42(x – 43) = 0.

⇒ (x + 42)(x – 43) = 0.

⇒ x – 43 = 0 hoặc x + 42 = 0.

⇒ x = 43 hoặc x = –42.

So với điều kiện x ∈ ℕ*, ta nhận x = 43.

Vậy vào năm x² đó, nhà toán học De Morgan 43 tuổi.

3 lần trung bình cộng số tạ thóc cả 4 xe chở được là:

      54 + 66 + 72 – 9 = 183 (tạ thóc).

Trung bình cộng số tạ thóc cả 4 xe chở được là:

      183 : 3 = 61 (tạ thóc).

Số tạ thóc xe thứ 4 chở được là:

      61 – 9 = 52 (tạ thóc).

Đáp số: 52 tạ thóc.

Ta có |x| + |3 – x| = 6   (1)

Bảng xét dấu:

Trường hợp 1: x < 0

Khi đó |x| = –x; |3 – x| = 3 – x

Phương trình (1) tương đương với: –x + 3 – x = 6.

⇔ –2x = 3.

$\iff x=-\frac{3}{2}$.

So với điều kiện x < 0, ta nhận $x=-\frac{3}{2}$ .

Trường hợp 2: 0 ≤ x ≤ 3

Khi đó |x| = x; |3 – x| = 3 – x

Phương trình (1) tương đương với: x + 3 – x = 0.

⇔ 0x = –3 (vô lí).

Trường hợp 3: x > 3.

Khi đó |x| = x; |3 – x| = –(3 – x)

Phương trình (1) tương đương với: x – 3 + x = 6.

⇔ 2x = 9.

$\iff x=\frac{9}{2}$.

So với điều kiện x > 3, ta nhận $x=\frac{9}{2}$ .

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{-\frac{3}{2};\frac{9}{2}\right\}$ .

Lời giải

Ta có 3x²(x – 1) + x – 1 = 0.

⇔ (x – 1)(3x² + 1) = 0.

⇔ x – 1 = 0 hoặc 3x² + 1 = 0 (vô nghiệm vì 3x² + 1 > 0).

⇔ x = 1.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

a)

Gọi P, Q lần lượt là tâm của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC.

Ta có:

⦁ $\widehat{BEH}=90°$  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính HB).

⦁ $\widehat{HFC}=90°$  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính HC).

Tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao:

AH² = AE.AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)    (1)

Tam giác ACH vuông tại H có HF là đường cao:

AH² = AF.AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)    (2)

Từ (1), (2), ta thu được AE.AB = AF.AC.

b) Ta có  $\widehat{BAC}=90°$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Tứ giác AEHF, có: $\widehat{AEH}=\widehat{EAF}=\widehat{AFH}=90°$  .

Suy ra tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

Gọi D là giao điểm của hai đường chéo AH và EF.

Suy ra DA = DH = DE = DF.

Xét ∆PED và ∆PHD, có:

PE = PH (bằng bán kính của nửa đường tròn đường kính HB);

DE = DH (chứng minh trên);

PD chung.

Do đó ∆PED = ∆PHD (c.c.c).

Suy ra  $\widehat{PED}=\widehat{PHD}=90°$(do AH ⊥ BC).

Vì vậy EF là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính HB.

Chứng minh tương tự, ta được EF là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính HC.

Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC.

c) Ta có AB là đường trung trực của đoạn HI (do I là điểm đối xứng với H qua AB).

Suy ra AH = AI.

Do đó tam giác AHI cân tại A.

Vì vậy AB vừa là đường trung trực, vừa là đường phân giác của tam giác AHI.

Suy ra $\widehat{IAE}=\widehat{EAH}$ .

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{HAF}=\widehat{FAK}$ .

Ta có $\widehat{IAK}=\widehat{IAE}+\widehat{EAH}+\widehat{HAF}+\widehat{FAK}=2\widehat{EAH}+2\widehat{HAF}$ .

$=2\left(\widehat{EAH}+\widehat{HAF}\right)=2.\widehat{EAF}=2.90°=180°$.

Vậy ba điểm I, A, K thẳng hàng.

d) Ta có ∆OAC cân tại O (OA = OC = R).

Suy ra  $\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$  (3)

Lại có ∆ABC vuông tại A. Suy ra   $\widehat{OCA}+\widehat{ABH}=90°$ (4)

Ta có ∆ABH vuông tại H. Suy ra   $\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=90°$ (5)

Từ (3), (4), (5), suy ra $\widehat{OAC}=\widehat{BAH}$ .

Mà $\widehat{IAB}=\widehat{BAH}$  (chứng minh trên).

Do đó $\widehat{OAC}=\widehat{IAB}$  .

Mà $\widehat{OAC}+\widehat{BAO}=90°$  .

Suy ra $\widehat{IAB}+\widehat{BAO}=90°$  .

Do đó $\widehat{IAO}=90°$ .

Vì vậy IA là tiếp tuyến của (O).

Mà BM cũng là tiếp tuyến của (O) (giả thiết).

Suy ra AM = BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Gọi N là giao điểm của AC và BM.

Ta có BM ⊥ BH (do BM là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)) và AH ⊥ BC (giả thiết).

Suy ra BM // AH.

Mà M là trung điểm BN (tam giác ABN vuông tại A có AM = BM).

Do đó CM đi qua trung điểm D của AH (do D là giao điểm của hai AH và EF trong hình chữ nhật AEHF).

Vậy ba đường thẳng MC, AH và EF đồng quy.

Gọi số cần tìm là  $\overline{ab}$(a, b ∈ ℕ, 0 < a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9).

Nếu viết thêm một chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì ta được số mới gấp 7 lần số cũ.

Suy ra số mới là $\overline{a0b}$   và $\overline{a0b}=7\overline{ab}$  .

Ta có $\overline{a0b}=7\overline{ab}$  .

⇒ 100a + b = 7(10a + b).

⇒ 100a + b = 70a + 7b.

⇒ 30a = 6b.

⇒ 5a = b.

Với a = 1, ta có: b = 5 (nhận).

Với a = 2, ta có: b = 10 (loại).

Vậy số cần tìm là 15.

Ta có x là số dương hay x > 0.

$\iff \frac{7-a}{2}>0$.

⇔ 7 – a > 0.

⇔ a < 7.

Vậy a < 7 thì x là số dương.

Tổng số phần bằng nhau là:

      3 + 7 = 10 (phần).

Giá trị của 1 phần là:

      60 : 10 = 6 (tấn gạo).

Số tấn gạo nếp có trong kho là:

      3 . 6 = 18 (tấn gạo).

Số tấn gạo tẻ có trong kho là:

      7 . 6 = 42 (tấn gạo).

Đáp số: 18 tấn gạo nếp; 42 tấn gạo tẻ.

Đổi: 30 phút = 0,5 h.

Quãng đường người đi xe đạp đi trong 30 phút là:

      s₁ = v₁.t₁ = 18.0,5 = 9 (km).

Quãng đường người đi bộ đi trong 1 h là:

      s₂ = v₂.t₂ = 4.1 = 4 (km).

Thời gian để người đi xe đạp đuổi kịp người đi bộ là:

      $t_3=\frac{s_1+s_2}{v_1-v_2}=\frac{9+4}{18-4}=\frac{13}{14}$  (h).

Vậy thời gian kể từ khi khởi hành đến khi người đi xe đạp đuổi kịp người đi bộ là:

Số 49 200 000 đọc là: bốn mươi chín triệu hai trăm nghìn.

Điều kiện: x ≠ 0.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}x-y=100\\ \frac{y^2}{x^2}=\frac{1}{9}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y+100\\ 9y^2=x^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=y+100\\ 9y^2={\left(y+100\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y+100\\ 9y^2=y^2+200y+10000\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=y+100\\ -8y^2+200y+10000=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y+100\\ \left[\begin{array}{l}y=50\\ y=-25\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=150\\ y=50\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=75\\ y=-25\end{array}\right.$ .

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là: S = {(150; 50); (75; –25)}.

Ta có 8x + 30 = 4(2x + 3) + 18.

Ta có 4(2x + 3) ⋮ (2x + 3).

Suy ra 8x + 30 ⋮ (2x + 3) khi 18 ⋮ (2x + 3).

Với x ∈ ℕ thì 2x + 3 ≥ 3 và 2x + 3 là số lẻ nên 2x + 3 ∈ {3; 9}.

Ta có bảng sau:

Vậy x ∈ {0; 3} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a)

b) Vì BC là dây cung lớn nhất nên AB là đường kính của đường tròn (O).

Suy ra O là trung điểm của BC.

Gọi M là trung điểm của AB.

Suy ra OM ⊥ AB (quan hệ giữa đường kính và dây cung) và $AM=\frac{AB}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}$ .

Tam giác AMO vuông tại M: OM² = AO² – AM² (Định lí Pytago).

$=R^2-{\left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{R}{4}$.

Suy ra $OM=\frac{R}{2}$ .

Tam giác ABC có O, M lần lượt là trung điểm của BC, AB.

Suy ra OM là đường trung bình của tam giác ABC.

Vậy AC = 2OM = R.

c) Ta có $\widehat{BAC}$  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Suy ra $\widehat{BAC}=90°$ .

Tam giác ABC vuông tại A: $\cos \widehat{ABC}=\frac{AB}{BC}=\frac{R\sqrt{3}}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  .

Suy ra $\widehat{ABC}=30°$ .

Tam giác ABC, có: $\widehat{ACB}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=180°-30°-90°=60°$ .

Vậy $\widehat{ABC}=30°$ ;  $\widehat{BAC}=90°$và $\widehat{ACB}=60°$ .

Lời giải

Số miếng bánh Mai đã ăn hết là:

$\frac{1}{3}.18=6$    (miếng bánh).

Số miếng bánh Chi đã ăn hết là:

 $\frac{1}{6}.18=3$   (miếng bánh).

Số miếng bánh Hải đã ăn hết là:

 $\frac{1}{9}.18=2$    (miếng bánh).

Số miếng bánh Minh đã ăn hết là:

    18 – 6 – 3 – 2 = 7 (miếng bánh).

Đáp số: 7 miếng bánh.

Khoảng cách giữa hai số hạng là: 30 : (11 – 1) = 3 (đơn vị).

Tổng của số hạng cuối cùng và số hạng đầu tiên là: 176 ⨯ 2 : 11 = 32.

Số hạng đầu tiên là: (32 – 30) : 2 = 1.

Số hạng cuối cùng là: (32 + 30) : 2 = 31.

Vậy dãy số cần tìm là: 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25; 28; 31.

Ta có a + b + c = 0. Suy ra $\left\{\begin{array}{l}b+c=-a\\ a+b=-c\\ c+a=-b\end{array}\right.$ .

Với b + c = –a, ta có b² + c² + 2bc = a².

Suy ra b² + c² = a² – 2bc.

Chứng minh tương tự, ta được: a² + b² = c² – 2ab và a² + c² = b² – 2ac.

Khi đó $B=\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-b^2-a^2}$

$=\frac{a^2}{a^2-a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2-b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2-c^2+2ab}$

$=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$

$=\frac{{\left(a+b+c\right)}^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{2abc}$

$=\frac{0^3-3\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}$$B=\frac{3}{2}$.

Vậy .

Tổng của số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng là:

     3400 ⨯ 2 : 10 = 680.

Hiệu của số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng là:

     (10 – 1) ⨯ 10 = 90.

Số hạng đầu tiên là:

     (680 – 90) : 2 = 295.

Số hạng cuối cùng là:

     (680 + 90) : 2 = 385.

Đáp số: Số hạng đầu tiên: 295;

             Số hạng cuối cùng: 385.

Ta có a, b, c là số nguyên tố. Suy ra a, b, c cũng là số tự nhiên.

Do đó a + b + c ∈ ℕ.

Vì vậy 3(a + b + c) ⋮ 3.

Suy ra abc ⋮ 3.

Do đó tồn tại ít nhất một trong ba số a, b, c chia hết cho 3.

Trường hợp 1: a = b = c = 3.

Ta có abc = 3(a + b + c).

Suy ra 3.3.3 = 3(3 + 3 + 3) (thỏa mãn).

Trường hợp 2: Tồn tại hai số chia hết cho 3.

Giả sử a, b chia hết cho 3. Tức là, a = b = 3.

Ta có abc = 3(a + b + c).

Suy ra 3.3.c = 3(3 + 3 + c).

Do đó 9c = 18 + 3c.

Vì vậy 6c = 18.

Suy ra c = 3.

Lúc này, ta thấy c = 3 không thỏa mãn điều kiện của trường hợp 2 vì chỉ có hai số chia hết cho 3.

Trường hợp 3: Nếu chỉ tồn tại một số chia hết cho 3.

Giả sử a chia hết cho 3. Tức là, a = 3.

Ta có abc = 3(a + b + c).

Suy ra 3bc = 9 + 3b + 3c.

Do đó bc = 3 + b + c.

Vì vậy bc – b – c + 1 = 4.

Suy ra b(c – 1) – (c – 1) = 4.

Do đó (b – 1)(c – 1) = 4   (*)

Vì b, c là số nguyên tố nên b – 1; c – 1 là số tự nhiên.

Vì vậy b – 1 ∈ Ư(4) = {1; 2; 4}.

Suy ra b ∈ {2; 3; 5}.

So với điều kiện của trường hợp 3, ta nhận b ∈ {2; 5}.

Thay b = 2 vào (*), ta được: c – 1 = 4. Suy ra c = 5.

Thay b = 5 vào (*), ta được c – 1 = 1. Suy ra c = 2.

Vậy các bộ số (a; b; c) thỏa mãn yêu cầu bài toán là (3; 3; 3), (3; 2; 5), (3; 5; 2), (2; 3; 5), (2; 5; 3), (5; 3; 2), (5; 2; 3).

Số chỗ ngồi của mỗi toa là: 10 . 6 = 60 (chỗ ngồi).

Ta có: 872 : 60 = 14 dư 32.

Suy ra cần thêm 1 toa để chở 32 khách tham quan.

Cần ít nhất số toa để chở hết số khách tham quan là: 14 + 1 = 15 (toa).

Đáp số: 15 toa.

Để chứng minh $\frac{12n+1}{30n+2}$  là phân số tối giản (n ∈ ℕ), ta cần chứng minh phân số này có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau (ước chung lớn nhất của hai số đó bằng 1).

Gọi d là ước chung của 12n + 1 và 30n + 2 (n ∈ ℕ).

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}12n+1⋮d\\ 30n+2⋮d\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}5.\left(12n+1\right)⋮d\\ 2.\left(30n+2\right)⋮d\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}60n+5⋮d\\ 60n+4⋮d\end{array}\right.$

⇒ (60n + 5) – (60n + 4) ⋮ d.

⇒ 1 ⋮ d.

⇒ d = 1.

Do đó 12n + 1 và 30n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy phân số $\frac{12n+1}{30n+2}$  là phân số tối giản (n ∈ ℕ).

Đổi: 300 000 m = 300 km.

300 km gấp 100 km số lần là:

       300 : 100 = 3 (lần).

Ô tô đi quãng đường 300 km thì tiêu thụ hết số lít xăng là:

        13 ⨯ 3 = 39 (lít xăng).

Vậy đi 300 000 m thì ô tô cần 39 lít xăng.

Lời giải

Ta có A = 4 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰.

Đặt B = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰.

Suy ra 2B = 2³ + 2⁴ + ... + 2²¹.

Ta có 2B – B = (2³ + 2⁴ + ... + 2²¹) – (2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰).

Suy ra B = (2³ – 2³) + (2⁴ – 2⁴) + ... + (2²⁰ – 2²⁰) + 2²¹ – 2² = 2²¹ – 2².

Khi đó A = 4 + B = 4 + 2²¹ – 2² = (2² – 2²) + 2²¹ = 2²¹.

Vậy A = 2²¹.

Ta có: OA = OB = R.

Suy ra tam giác OAB cân tại O.

Mà OH là đường trung tuyến của tam giác OAB.

Do đó OH cũng là đường cao của tam giác OAB.

Vì vậy tam giác OAH vuông tại H.

Suy ra  (Định lí Pitago).

$=O{A}^2-{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=R^2-2^2=2,5^2-2^2=2,25$.

Suy ra OH = 1,5 (cm).

Vậy H di động trên đường tròn tâm O bán kính 1,5 cm.

a) Kẻ OH ⊥ CD (H ∈ CD).

Suy ra H là trung điểm CD.

Do đó HC = HD (quan hệ giữa đường kính và dây cung)   (1)

Tam giác OMN cân tại O (do OM = ON).

Suy ra OH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác OMN.

Do đó HM = HN    (2)

Lại có CH = CM + MH và DH = DN + NH   (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra CM = DN.

b) Đặt OH = x (x > 0).

Tam giác OMN vuông cân tại O có OH là đường trung tuyến.

Suy ra OH = MH = NH = x.

Do đó HD = HN + ND = HN + MN = HN + 2HN = 3HN = 3x.

Tam giác OMH vuông cân tại H: $OM=\sqrt{O{H}^2+M{H}^2}=\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt{2}$ .

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác HOD vuông tại H, ta được:

OH² + HD² = OD².

⇔ x² + 9x² = R².

⇔ 10x² = R².

$\iff x^2=\frac{R^2}{10}$.

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OMH vuông tại H, ta được:

$O{M}^2=O{H}^2+M{H}^2=x^2+x^2=2x^2=2.\frac{R^2}{10}=\frac{R^2}{5}$.

Vậy $OM=\frac{R}{\sqrt{5}}$ .

Ta có (x – y)² + (y – z)² + (z – x)²

= x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2zx + x²

= 2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx

= 2(x² + y² + z² – xy – yz – zx).

Ta có (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = 4(x² + y² + z² – xy – yz – zx).

⇔ x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2zx + x² = 4(x² + y² + z² – xy – yz – zx).

⇔ 2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx = 4(x² + y² + z² – xy – yz – zx).

⇔ 2(x² + y² + z² – xy – yz – zx) = 4(x² + y² + z² – xy – yz – zx).

⇔ 2(x² + y² + z² – xy – yz – zx) = 0.

⇔ x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2zx + x² = 0.

⇔ (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = 0.

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ y-z=0\\ z-x=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y\\ y=z\\ z=x\end{array}\right.\iff x=y=z$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Vẽ Ax ⊥ AI sao cho Ax cắt CD tại J.

Tam giác AIJ vuông tại A có AD là đường cao:  $\frac{1}{A{D}^2}=\frac{1}{A{J}^2}+\frac{1}{A{I}^2}$  (*)

Xét ∆ADJ và ∆ABM, có:

$\widehat{ADJ}=\widehat{ABM}=90°$;

AD = AB (ABCD là hình vuông);

$\widehat{JAD}=\widehat{MAB}$ (cùng phụ với $\widehat{DAM}$ ).

Do đó ∆ADJ = ∆ABM (g.c.g).

Suy ra AJ = AM (cặp cạnh tương ứng).

Từ (*), suy ra $\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A{I}^2}=\frac{1}{a^2}$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Gọi số có 4 chữ số cần tìm là $\overline{abcd}$  (a ≠ 0; a, b, c, d < 10 và a, b, c, d ∈ ℕ).

Vì  $\overline{abcd}$chia hết cho 5 nên d = 0 hoặc d = 5.

Do đó d có 2 cách chọn.

Lại có:

⦁ a có 9 cách chọn (do a ≠ 0).

⦁ b có 10 cách chọn.

⦁ c có 10 cách chọn.

Vậy ta có tất cả 2.9.10.10 = 1800 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án C.

Ta có (x – 1) : 0,16 = –9 : (1 – x)

⇒ (x – 1) : 0,16 = –9 : [(–1).(x – 1)]

⇒ (x – 1) : 0,16 = 9 : (x – 1)

⇒ (x – 1)(x – 1) = 9 . 0,16

⇒ (x – 1)² = 1,44 = 1,2² = (–1,2)²

⇒ x – 1 = 1,2 hoặc x – 1 = –1,2

⇒ x = 1,2 + 1 = 2,2 hoặc x = –1,2 + 1 = –0,2.

Vậy x = 2,2 hoặc x = –0,2.

a) Ta có 650 = 2 . 25 . 13 = 25 . (2 . 13) = 25 . 26.

Vậy hai số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 650 là 25 và 26.

b) Ta có 1088 = 2⁶ . 17 = 2⁵ . (2 . 17) = 32 . 34.

Vậy hai số chẵn liên tiếp có tích bằng 1088 32 và 34.

Ta có: BC = BH + CH = 2 + 8 = 10 (cm).

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao, ta được:

⦁ AB² = BH.BC = 2.10 = 20. Suy ra $AB=2\sqrt{5}$  (cm).

 ⦁ AC² = CH.BC = 8.10 = 80. Suy ra $AC=4\sqrt{5}$  (cm).

Tam giác ABC vuông tại A:

⦁ .$\cos \widehat{ABC}=\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ Suy ra .

⦁ $\widehat{ACB}=90°-\widehat{ABC}\approx 90°-63°{26}^{\text{'}}=26°{34}^{\text{'}}$ .

Vậy BC = 10 cm; $AB=2\sqrt{5}$  cm;  $AC=4\sqrt{5}$cm; $\widehat{ABC}\approx 63°{26}^{\text{'}}$  và $\widehat{ACB}\approx 26°{34}^{\text{'}}$ .

Xét tổng 1 + 2 + 3 + ... + 49:

Số các số hạng là: (49 – 1) : 1 + 1 = 49 (số hạng).

Khi đó tổng là: 1 + 2 + 3 + ... + 49 = (49 + 1) ⨯ 49 : 2 = 1225.

Vậy khi lấy tổng các số tự nhiên từ 1 đến 49 cộng với 25, ta được: 1225 + 25 = 1250.